第100-102课时：第十三章 导数——导数的应用(3)
导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
高中数学导数的应用教案
高中数学导数的应用教案
教学目标：学生能够理解导数的概念，掌握导数在实际问题中的应用，并能够运用导数解决相关问题。
教学重点和难点：掌握导数在实际问题中的应用。
教学准备：教师准备课件、实例题目，学生准备笔记本、笔。
教学过程：
一、导入（10分钟）
通过一个生活实例引入导数的概念，让学生初步了解导数在实际中的意义。
二、概念讲解（15分钟）
1. 温故导数的定义和性质；
2. 导数的应用领域；
3. 导数在实际问题中的意义和作用。
三、实例分析（20分钟）
教师通过实例问题，引导学生运用导数进行问题求解，如最值问题、速度问题等。
四、练习（15分钟）
让学生在课堂上进行练习题目，加深对导数应用的理解。
五、总结（10分钟）
通过讨论和总结，让学生掌握导数在实际问题中的应用方法，并复习导数的相关概念。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学知识。
教学反思：
通过实例讲解和练习，能够有效帮助学生掌握导数在实际问题中的应用方法。
同时，通过讨论和总结，可以使学生更深入地理解导数的概念和性质。
第十三章导数及其应用
考纲要求：1. 掌握函数在一点处的导数的定义和几何意义.2. 熟记基本的求导公式，掌握和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法 则.3. 理解可导数数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条 件;会求一些简单函数的最大值与最小值.第一节导数的概念与运算1. 导数的概念(1) 函数f(X)在点X 0处的导数如果函数f (X)的自变量X 在X 0处有增量A X ,那么函数y 相应地有增量3 = f (X o +A x) - f (X O ).如果 鹦詈存在，我们就说函数y = f(X)在X 0处可导，并把这 个极限叫做函数y = f(x)在X o 处的导数，记作厂(x o )或y'l x 去,即 …、f (X o +4) - f (X o ) f(xoZ 鹦 --------- Z X ------- .(2) 函数f (X)的导数如果f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说f(x)在开区间(a,b)内可导,对于开 区间内每一个确定的值X o ,都对应着一个确定的导数f'(x o ),这样就在开区间(a,b)内 构成一个新的函数，我们就把这一新的函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函数，记作 f'(X)或y'(指明 自变量 X 时记作 y X ),即f'(x) = y' = g m p —学— .如果函数y = f(x)在点X o 处可导,那么函数y = f(x)在点X o 处连续.但要注意,连续 不一定可导.(3) 导数的意义① 几何意义y = f(x)在点X o 处的导数,就是曲线y=f(x)在点(X o , f(x o ))处的切线 的斜率.也就是说,曲线y = f(x)在点(X o , f(X o ))处的切线的斜率是f'(X o ),相应地,切 线的方程为y -f (x o ) = f '(X o )(x - X o ).但要注意曲线在点(x o , y o )处的切线和曲线过点 (X o ,y o )处的切线是不同的两个意思.② 物理意义函数S=S(t)在点t o 处的导数s'(t o ),就是当物体运动在时刻t =t o 时的瞬时速度，即 V =S(t o );设V= V(t)是速度函数，则V (t o )表示物体在t = t o 时刻的加速度.2. 几种常见函数的导数(1) (2)(3) (4)—二章 导数及其应用r c = ____(sin X)，=(In(x n )' = _ (cos X)‘ = _ (log a X 心(uv)，=(c 是常数)；(U)' =v4. 复合函数的导数一般地：设函数U =^(x)在点X 处有导数U X =A (X),函数y = f(u)在点X 的对应点U 处有导数y U = f (u),则复合函数y = f (®(x))在点X 处的导数y ； = y U u ； = f '(u)®'(x).5. 函数的极值(1) 函数的单调性与导数的关系 如果函数f(x)在区间(a,b)内可导① f(x)：>0二f (X)在区间(a,b)上单调递增； ② f(x)<；0= f (X)在区间(a,b)上单调递减； ③ f(x)在区间(a, b)上单调递增=f '(X)"; ④ f (x)在区间(a, b)上单调递减=f '(X)< 0 . (2) 函数极值的定义设函数f (X)在点X o 处及其附近有定义，如果对X Q 附近的所有点，都有f(X)< f (X Q ), 则说f(Xo)是函数f (X)的一个极大值,记作y 极大值=f (X Q )；如果对X Q 附近的所有点,都 有f(X)A f(X Q ),则说f (X Q )是函数f (X)的一个极小值，记作y 极小值=f (X Q ).(3) 求函数f(x)的极值点的方法 ① 求导数f \x)； ② 求方程f(X)=0的根；③ 检查f(X)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值； 如果左负右正，那么f (X)在这个根处取极小值.⑷求函数在闭区间［a,b ］上的最值. ① 求f(x)在(a,b)上的极值.② 将f(x)在(a,b)上的各极值及f(a), f(b)进行比较，最大的一个是最大值，最小的 一个是最小值.3.和、差、积、商的导数 (U ±v) ‘ =(cu)'= 例1若f 点0)=2,则l k i 迪f (X Q -k) - f(X o )等于2kB. -2C.1f(X 0 -k)-f(X 0) 1丄 f'(Xo)=—1 2 x-2的距离的最小值是 ［解析】lim f(X Qk) f(X Q)—丄2k 2k T -k 例2点P 是曲线y =x 2-lnx 上任意一点，则P 到直线y =［解析】作曲线y=x 2-l nx 的与直线y = x- 2平行的切线，设其切点为21(X Q ,X Q -l nx o ),则 2XQ - — =1(X Q AO),解得 X Q =1 ,故切点为 Q(1,1),它到直线 y=x-2 X Q的距离罷即为所求.例3求曲线C ： y = x2+X过点P(1,1)的切线的方程.【解】因为点P(1,1)不在曲线C上，于是可设曲线过点P(1,1)的切线在曲线上的切点为Q(X o, y o),则切线的斜率为2x o +1 ,所以切线的方程为y -2x o -1 = X o(x- X o),又y —2x o —1 = X o(x—X o)过点P (1,1)，所以 1 —2x o —1 = X o(1 —x。
【教案】校级公开课--导数的应用(教案)
《导数的应用》教学设计开课班级：高二（1）开课教师：教学设计背景本节是高中数学人教A版选修2-2第一章“导数在研究函数中的应用”内容基础上，进一步拓展延伸应用的内容。
导数除了在函数的单调性及函数的极值、最值等方面应用外，还可以应用于探究函数的零点或方程的解问题，以及应用于不等式证明问题，既灵活多变，又具有一定的综合能力要求，基于教材和学生知能背景及前期教学状况，相应作此导数的应用教学设计，以帮助学生进一步树立联系的观点利用导数处理问题的意识．学情分析学生前期已经学习导数在研究函数中的应用等内容，体会了导数的思想，初步感受了导数应用价值，初步具备了利用导数处理问题的意识和能力。
教学目标通过变式教学过程，用联系的观点，进一步探究导数在方程实根(或函数零点)问题、不等式问题、函数的极值或最值问题中的应用，培养运用函数与方程、化归与转化、数形结合及分类讨论等数学思想方法解决问题的能力。
培养学生综合思考问题的能力，以及克服困难解决问题的信心与毅力。
教学重点、难点重点应用导数导数在方程实根(或函数零点)问题、不等式问题、函数的极值或最值问题中的应用难点利用联系的观点，运用函数与方程、化归与转化、数形结合及分类讨论等数学思想解决问题教法变式教学、学生探究、引导讲授教学用具：多媒体教学过程一、复习回顾知识点一：导数的几何意义函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x, f(x))处的切线的斜率，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x))处的切线方程为y－y=f′(x) (x－x)知识点二：函数的单调性当函数y=f(x)在某个区间(),a b 内可导如果'()0f x >，则函数y=f(x)在这个区间上为增函数；如果'()0f x <，则函数y=f(x)在这个区间上为减函数．知识点三：函数的极值对于可导函数f(x)判断其极值的方法为如果在0x 附近的左侧'()0f x >，右侧'()0f x <，那么，0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧'()0f x <，右侧'()0f x >，那么，0()f x 是极小值.知识点四：函数的最值闭区间[a ，b]上连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求法为：○1求函数f(x)在(a ，b)内的极值；○2将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计
人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计
一、教学目标
1.了解导数的概念和定义，掌握求导数的基本方法；
2.学习导数的实际应用——求函数在某一点的切线方程和极值问题；
3.培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
二、教学重难点
1.理解导数的实际含义和应用；
2.掌握求解函数在某一点的切线方程和极值问题的方法。
三、教学内容及安排
1. 导数的实际应用
（1）求函数在某一点的切线方程
1.利用导数的定义求解切线斜率；
2.利用已知导数或导函数求解切线斜率；
3.利用点斜式求解切线方程。
（2）极值问题
1.利用导数判定函数极值；
2.利用求导法求解函数极值；
3.引入拉格朗日中值定理，深化对函数极值的理解。
2. 教学方法
1.讲解法：通过教师讲解，引导学生理解导数的概念和定义，掌握求导
数的基本方法；
2.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生理解导数的实际应用；
3.解题讲解法：通过解题的方式，引导学生掌握求解切线方程和极值问
题的方法。
四、教学评价
1.通过课堂练习检查学生掌握情况，通过评价实际应用的实验情况，检
查学生数学建模能力的提高情况；
2.给学生布置一定量的练习题目和实际问题，并进行评价。
五、教学反思
1.教学中注重基本概念与方法，让学生掌握基本技能，为后续的深入学
习打好基础；
2.在教学过程中，应尽可能考虑到实际应用的问题，注重培养学生的数
学建模能力；
3.在教学结束后，应及时组织学生进行复习和讨论，及时发现和纠正问
题，提高教学效果。
《导数的应用》ppt课件
设 x 1 cos , y 1 sin ,由x,y为正实数得: 0 .
xy
1
(1
2
cos
)si n
.
2
设 f ( ) 1 (1 cos )sin .
2
f
(
)
1
[
s i n2
(1
cos
) co s
]
(cos
1)(cos
1 ).
2
2
令 f ( ) 0,得 cos 1,cos 1 ;又0 , .
从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
2
1
2 3
(1
x)3
成立.
令 Y
x6
3
0
1 2x
,得
4.
x
1.
当x<-1时, Y 0,则Y单调减小;当-1<x<0时, Y 0,则
Y单调增加;当0<x<1时,Y 0,则Y单调减小;当x>1
时,Y 0 ,则Y单调增加. 故当x 1时,Y有最小值5/6,此时点 (1, 1 )为所求.
3
例4: 如图,在二次函数f(x)=
2 ( x 1)3( x 3
0).
则
f
( x)
1 x
1 x2
( x 1)
2( x 1)2
(x
1)3
2x 1 x2 ,
令f (x) 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f (x) 0;x>1时,f (x) 0 ,所以x=1是f(x)的 极小值点.
所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.
令
S(
x)
0
导数的应用教学课件ppt
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
导数的概念及应用PPT课件
高三备课
.
1
高考考纲透析：（理科）
• (1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、 加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在
一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导 函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个 函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数 的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解 可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函 数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数 在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指 单峰函数)的最大值和最小值。
.
5
热点题型1: 函数的最值
已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值 为20，求它在该区间上的最小值．
.
6
变式新题型1： 已知 f (x) ax3 6a2x b, x [1, 2] 的最大值为3，最小值为 29 ，求 a, b 的值。
.
7Байду номын сангаас
热点题型2: 函数的极值
已知函数 f (x) ax3 bx2 3x在 x 1
处取得极值.（1）讨论 f (1和) f (1是) 函数 f (x)的极大值还是极小值；（2）过点 A(0, 16)作曲线 y f (x)的切线，求此切线方程.
.
8
变式新题型2：
已知 f (x) x3 ax2 bx c和 g(x) x2 3x 2
变 蔡澔淇 她用胖嘟嘟的小手紧握着婴儿床的栏杆坐着，舌尖不住地舔着刚长出的两颗门牙，灵澈的眼珠子骨碌地转动，四处张望。初夏晌午的阳光穿过葡萄棚，在她身上洒满了点点金圈。一片葡萄叶摇曳着飘下，落在她的脚跟前。 她挪动一下圆滚滚的胖腿，好奇地望着那片落叶。一个黑点 在树叶边缘晃动，过了一会成了一条肥厚的黑线，滑过树叶表面，不声不息地直朝她游动。带毛的黑线爬上了她白嫩的脚踝，小腿肚，膝盖……她觉得一阵刺痒，那肥厚的黑线直往上爬，越来越近，毛茸茸的身躯越来越大。转眼间一团黑毛已附在她肩上，黑团中有两粒小眼直盯着她。“达达 ﹣﹣，达﹣﹣达﹣﹣”她惊慌地尖叫，小手死命地挥舞，重心一个不稳，躺卧下来。那黑团又开始移动，逐渐逼近，逐渐庞大…… ? “你还好吧？”交往快两年，未曾牵过手的他紧紧搂住她的双肩，焦急的望着她。 她虚弱地点点头，深吸了口气：“我从小就对毛虫敏感，见了毛虫不是作呕 就是昏倒。刚才昏过去多久了？” “大概一两分钟，把我吓坏了，”他将她扶正，轻声补上，“奇怪，这么晚了，怎么会有毛虫出现？” 她紧依着他，相偎坐着。见到毛虫引起的疙瘩已消尽了，代之的是满脸燥热。她瞥了他揽着她肩膀的手一眼，偷偷抱怨：这么晚出现，再半小时宿舍就要 关门了。 “妈咪﹣﹣妈咪﹣﹣”最断人肠的呼喊将她手中的蚂蚁上树炒出锅外。她慌忙跑过去，小女儿蜷缩在婴儿床的一角，满脸诧异的哭叫着。一条毛虫肆无忌惮地在婴儿床的栏杆上爬行，她一阵昏花，用了四十年的心脏几欲罢工。小女儿挣扎着想爬起来，令人心碎的哭泣成了啜搐。她咬 咬牙，解下围裙往栏杆用力一挥，毛茸肥圆的毛虫滚落于地。她抬起脚，闭起眼重重一踏，觉得脚下一阵瘫软。 ? “不要怕，”她强抑住胸腹的翻腾，轻抚着女儿泪水纵横的苍白面颊，“不要怕，毛虫并不可怕。” 她坐在摇椅内小憩，枯皱的手握着身旁婴儿床的栏杆。初夏晌午的阳光穿过 葡萄棚，在她身上洒满点点金圈。 “奶奶，”是小孙女清稚的童音，“那是什么？” ?她朝小孙女圆胖小手指的方向望过去，一条肥厚的黑线正由阳光下往阴影处滑动。日光下鲜明的黑线掀开了她人生的相簿，一组组幻灯片在眼前跳动。她深吸口气，咧开干瘪的嘴，露出仅剩两颗门牙朝小孙 女笑笑。 “那是蝴蝶的幼虫。”她说。 【注释】①蚂蚁上树：四川名菜 （选自《台湾极短篇小说集》） ? 故事?场景的组合 （1）阅读小说先关注故事。请根据故事内容，各用一个词填空。 小小的毛毛虫、伴随着“她”走过童年、青年、中年，直至老年； 小小的婴儿床，承载了“她”、 “女儿”、“孙女”的童年。 故事以毛毛虫为线索，始于初遇时的 ，历经再见时的恐惧，终于凝望时的。 ? 语言?意义的蕴含 （2）画线句中，“她”两次说“不要怕”，仅仅是在安慰女儿吗？清写出你的看法和理由。 ◆称呼?人物的标识 （3）小说中没有出现主人公的名字，都是用“她” 来代替。请说说作者的意图。 ? 标题?主旨的暗示 （4）结合选文，谈谈你对小说标题“蜕变”的理解。 【考点】9E：小说阅读综合． 【分析】这篇小说以“毛毛虫”为线索，写了她人生的四个阶段，第一阶段（开头到“逐渐逼近，逐渐庞大”），写她童年时对毛毛虫的畏惧；第二阶段（ “你还好吧”到“再半小时宿舍就要 关门了”），写她青年时对毛毛虫的畏惧，以及男友对她的关爱；第三阶段（“妈咪﹣﹣妈咪”到“毛虫并不可怕”），写她中年时，看到女儿对毛毛虫的畏惧，勇敢上前扑打；第四阶段（“她坐在摇椅内小憩”到结尾），写她老年时，小孙女指着毛毛虫 问她那是什么，她淡定地说，那是蝴蝶的幼虫． 【解答】（1）本题考查内容的理解．这篇小说以“毛毛虫”为线索，写了她人生的四个阶段，但文中出现的她又不仅仅指她一人，文章写她成长的四个阶段中，那小小的婴儿床边哭叫的有“她”，有她的“女儿”，还有她的“孙女”． （2） 本题考查句子情感的理解． 这里写“她”两次说“不要怕”，是“她”的中年阶段，此时的“她”已为人母，看见自己的孩子受到惊吓，自然会去安慰．但结合前文对“她”的描述，可以知道“她”天生怕毛毛虫，特别是青年时，她见到毛毛虫“不是作呕就是昏倒”，所以这里的“不要怕” 还应是对“她”自己的安慰，安慰自己不要怕，要保护好女儿． （3）本题考查写作人称在文中的作用分析．解答此题要读懂小说内容，结合小说的主旨分析作者的意图． 初读本文，一定会觉得内容很乱，情节无法连贯，但仔细一分析，发现“她”在文中分别指代她、她的女儿和孙女，作者 是想让情节看似连贯却又错乱，引起读者的深思，最终恍然大悟．这样更能突出全文的主旨，耐人寻味． （4）本题考查标题含义的理解．解答此题要结合内容与主旨分析标题的表义与深层含义． 从文中反复出现的黑色毛毛虫来年地，“蜕变”指黑色的毛毛虫蜕变成美丽的蝴蝶；从文中“她 ”的成长过程，又可以看出，暗指她经历岁月的风霜，由幼弱、胆小的少女变为沉稳、大胆的具有母性的女人． 代谢： （1）女儿 孙女 （2）不仅仅是在安慰女儿，也是在安慰自己．前文写了她在童年与青年时对毛毛虫的畏惧，特别是青年时，她见到毛毛虫“不是作呕就是昏倒”，现在为 人母了，看见女儿受到惊吓，出于母性，是安慰女儿不要怕，出于自己的本性，也是在安慰自己不要怕． （3）她在文中分别指代她、她的女儿和孙女，作者用同一人称代词指代不同的人，意在让情节看似连贯却又错乱，引起读者的深思，最终恍然大悟．这样更能突出全文的主旨，耐人寻味 ． （4）“蜕变”表义指黑色的毛毛虫蜕变成美丽的蝴蝶，暗指她经历岁月的风霜，由幼弱、胆小的少女变为沉稳、大胆的具有母性的女人． （2017江苏扬州）12． 后生可畏 刘斌立 （1）我第一次去鉴睿律师楼，就注意到了前台旁边多了一张不怎么和谐的小桌子。一个大男孩模样的小伙子 ，睡眼惺忪地在那捧着厚厚的《刑法》，有一页没一页的翻着。 （2）我问律师楼的合伙人李信，他一脸嬉笑地回答：“这孩子他爸是我们律师楼的大客户，也是老朋友了。他想让他儿子考律师，非得要我们把这孩子安排在这打杂，一边让他看书备考。其实我们啥事也 没给他安排，让他自己 在那天天待着呢。” （3）“哦，这孩子看着还挺老实的。”我随口应和道。 （4）“老实！您可别小瞧这小子，听他爸说，他一心要当摇滚乐手，跟着一个不靠谱的摇 滚乐队干了两年的鼓手。”老李边说边摇着头。 （5）后来我再去律师楼的时候，都会下意识地看看这个叫常远的“摇滚 ”男孩，他也是经常应景似得挺朋克，一会夹克上带钉，一会头发颜色又变了。 （6）那年律考后没几天，我去律师楼办事，发现常远那桌子没了，人也没了踪影。问道老 李，没想到老李苦笑着说：“那小子跑了，据说和一个摇滚乐队跑到青海茫崖矿区那边，在矿区的一个小镇上的酒吧里演 出呢。他爹差点没气背过去，已经发誓不管他了。” （7）我又惊讶又好笑，随着老李附和道“现在的年轻人啊”。 （8）一年以后一天，我突然接到鉴睿律师楼李信律师的微信。“还记得那个玩摇滚乐的男孩吗？他又回来了！这次主动来求我，要继续准备考律师，还在我这打杂看书。
导数及其应用课件
个数便是确定的了，它除了不依赖于定义
中的区间分法和 的取法外，也不依赖
于符号 b
＝ f (t)dt
ab，f (x因)dx此中，的定积积分分变记量号ｘ中，的即积分ab f (变x)dx
a
量可以用任何字母来表示．此外，对于定
a x b 积分符号
化范围是
b
a f (x)dx
，意味着积分变量
（五）求函数 y = f ( x ）在点x 。处的导数有两 种方法，即导数定义法和导函数的函数值法．
（六）导数的应用
１利用导数判断函数的单调性
2 函数的极值
（l ）设函数 f ( x ）在点 x 。的附近有定义，如果对附 近所有的点都有：
（2 ）可导函数 f ( x ）在极值点处的导数为０，但 导数为０的点不一定是极值点。
由于定积分反映的是函数在一个区间上的整体性质，所以 不能用它来研究函数的局部性质，例如有两个在 [ a ，b]上 可积的函数 f (x)和 g ( x ) ，若
则由定积分的性质知道
• 奇函数或偶函数在对称区间上的定积分的结论也是 很有用的，但要求被积函数是奇函数或偶函数，积 分区间是对称区间 [- a , a ] ．不过在解题时可以活 用，例知:
（1）在闭区间［a ，ｂ］上连续的函数 f ( x ) ，在 ［ a ，ｂ］上必有最大值和最 小值． （2 ）利用导数求最值的步骤：
① 求 f （x ）在（ a , b ）内的极值；
② 将 f ( x ）的各极值与 f ( a ) , f （b ）比较， 确定 f （x ）的最大值和最小值．
（七）定积分的概念
１关于定积分的定义
在定 f （x ）在 ［a , b ］上连续或可导的条件 相比是最弱的条件，即 f （x ）在［ a ，ｂ］ 上有以下关系：
2021年高考数学复习 第9799课时 第十三章 导数导数的应用()名师精品教案
2021年高考数学复习 第97-99课时 第十三章 导数-导数的应用(2)名师精品教案导数与微分是在极限的基础上发展起来的研究变量的一个数学分支，是解决实际问题的重要的数学工具。
如求曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的最值以及不等式的证明等问题，均可以导数作为研究的工具，根据导数的意义进行求解和证明。
关于导数的应用，我们将分两个讲座研究，分别是函数问题和切线与速度的问题。
一、利用导数研究函数的单调性若函数在某个区间内可导，则当时，在此区间上为单调增函数；而当时，在此区间上为单调减函数。
利用上述性质，可以研究函数的单调性。
注意点：（1）同一函数的两个单调区间不能并起来（2）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，但它是一种一般性的方法。
二、利用导数求函数的最值求闭区间上的可导函数的最大（小）值的方法是：首先求出此函数在开区间内的驻点，然后计算函数在驻点与端点处的值，并将它们进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值，这里无须对各驻点讨论其是否为极大（小）值点。
如果函数不在闭区间上可导，那么求函数的最大（小）值时，不仅要比较此函数在各驻点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。
一般地，求在闭区间上连续，在开区间内可导的函数在闭区间上最值的步骤为： ⑴求在区间内的根，即导数为0的点（不必确定它是极大值点还是极小值点），求出这些导数为0的点的函数值；⑵求在闭区间两端点处的函数值，即与；⑶将导数为0的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值。
一、范例分析例1．设函数)0)(,()(>-a a a x f 在区间内为奇函数且可导，证明：内的偶函数.证明：对任意xx f x x f x x f x x f x f a a x x x ∆--∆--=∆--∆+-=-'-∈→∆→∆)()]([lim )()(lim )(),,(00由于为奇函数，)()(),()]([x f x f x x f x x f -=-∆--=∆--∴， 于是)()()(lim )()(lim)(00x f xx f x x f x x f x x f x f x x '=∆--∆-=∆+∆--=-'→∆→∆，因此即内的偶函数。
《导数的概念及应用》课件
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数在实际生活中的应用教学课件
数值模拟与仿真
数值模拟
导数可以用于数值模拟中的偏微分方程求解，例如在物理学、化学和生物学 等领域中，利用导数求解偏微分方程可以模拟自然现象的规律。
计算机仿真
导数可以用于计算机仿真中的参数优化和模型验证，例如在金融、交通和生 态等领域中，利用导数进行参数优化和模型验证可以提高仿真结果的准确性 和可靠性。
2023
《导数在实际生活中的应 用教学课件》
目录
• 导数概述 • 导数在物理中的应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程中的应用 • 导数的进一步应用
01
导数概述
导数的定义
1 2
定义
导数是函数值随自变量变化的速度，即函数在 某一点的导数表示函数在这一点变化率的大小 。
数学表达
如果函数y = f(x)在x = x0处可导，则称f'(x0)为 函数f(x)在x0处的导数。
稳定性
在船舶设计中，导数可以帮助分析船体的稳定性。例如，通过分析船体的重心以 及浮力的变化，利用导数可以确定最优的船体设计以实现稳定的航行。
05
导数的进一步应用
最优控制与决策
最优控制
导数可以用于求解最优控制问题，例如在工程、经济和金融 等领域中的最优控制策略，以实现系统性能的最优。
决策分析
导数可以用于决策分析中的最优选择问题，例如在风险评估 和预测分析中，利用导数求解最优投资组合或最优路径选择 等。
边际成本与边际收益
边际成本
导数可以用来描述成本的变化率，即边际成本。在经济学中 ，边际成本是指增加一单位产量所增加的成本。通过导数， 我们可以分析不同生产规模下的边际成本，从而优化生产决 策。
边际收益
与边际成本相对应，导数也可以用来描述收益的变化率，即 边际收益。在经济学中，边际收益是指增加一单位产量所增 加的收益。通过导数，我们可以分析不同生产规模下的边际 收益，从而优化销售决策。
导数及其应用教案
导数及其应用教案导数及其应用教案一、教学目标：1. 了解导数的定义和性质；2. 掌握导数的计算方法；3. 了解导数的应用领域及其作用。
二、教学内容：1. 导数的定义和性质；2. 导数的计算方法；3. 导数在函数图像研究中的应用；4. 导数在物理、经济等领域的应用。
三、教学过程：1. 导入导数的概念，引出导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
给出导数的定义：若函数在点a处的导数存在，则称函数在点a处可导，记为f'(a)。
2. 介绍导数的计算方法：a. 用导数定义法计算：根据导数的定义，利用极限运算求出导数；b. 用基本导数公式计算：介绍常见函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等；c. 用导数运算法则计算：介绍导数的四则运算法则，包括常数倍、和差、积、商。
3. 导数在函数图像研究中的应用：a. 求函数的增减区间：根据函数的导数求出函数的增减性和极值点；b. 求函数的凹凸区间和拐点：根据函数的导数求出函数的凹凸性和拐点。
4. 导数在物理、经济等领域的应用：a. 导数表示速度和加速度：介绍物理学中速度和加速度的概念，并利用导数计算速度和加速度；b. 导数表示边际效应和弹性：介绍经济学中边际效应和弹性的概念，并利用导数计算边际效应和弹性。
5. 总结导数的应用：导数在数学、物理、经济等领域中都有广泛的应用，帮助我们研究函数的性质、分析物体的运动和评估经济的效益等。
四、教学方法：1. 讲授导数的定义和性质，引导学生思考导数的计算方法；2. 结合例题和实际问题，让学生动手计算导数和应用导数；3. 培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生思考导数的实际应用。
五、教学评价：1. 练习题：布置一些导数计算和应用题目，要求学生独立完成；2. 口头回答问题：提问学生导数的定义和应用，检查学生对导数的理解程度；3. 个案分析：根据学生的学习情况，进行个别辅导和评价。
六、板书设计：导数的概念：导数是函数在某一点处的变化率，用极限表示。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用(第3课时)预习导航 新人教A版选修2
预习导航新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用（第3课时）预习导航新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用（第3课时）预习导航新人教A版选修2-2的全部内容。
时）预习导航新人教A版选修2-21．函数f(x）在闭区间［a,b］上的最值一般地，如果在区间[a,b］上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考1函数的极值与最值有何区别与联系?提示：（1）函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．（2）函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有,例如：常量函数就没有极大值，也没有极小值．（3)极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点取得．有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值,最值只要不在端点处则一定是极值．思考2如果函数f（x）在开区间（a，b)上的图象是连续不断的曲线，那么它在(a，b)上是否一定有最值？若f（x)在闭区间［a，b］上的图象不连续，那么它在[a，b］上是否一定有最值？提示：一般地，若函数f(x）的图象是一条连续不断的曲线，那么f(x)在闭区间[a，b］上必有最大值和最小值．这里给定的区间必须是闭区间,如果是开区间，那么尽管函数是连续函数，那么它也不一定有最大值和最小值．2．求函数y＝f（x)在［a，b］上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f（x)在（a,b）内的极值；（2）将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a)，f（b)比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．思考3如果f(x）在闭区间[a，b］上恰好为单调函数,那么如何求f(x）在［a，b]上的最值？提示：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f（x)在闭区间［a，b]上递增时，f（a)是最小值,f（b）是最大值；当f(x)在闭区间［a，b］上递减时，f(a)是最大值，f(b）是最小值．思考4如果在开区间（a,b)上的函数y＝f(x)只有一个极值点，那么函数f(x）在开区间（a，b)上有最值吗?如果在(a，b）上有两个或两个以上极值点时,f（x)在(a，b）上有最值吗？提示:若y＝f(x）在(a，b)上只有极大值点时,则f(x）有最大值，无最小值，且最大值为极大值；若y＝f（x）在（a，b）上只有极小值点时，则f（x）有最小值,无最大值，且最小值为极小值．如果在（a，b）上有两个或两个以上极值点时,则f（x)在（a,b）上不一定有最值,常见的有以下几种情况：如图，图（1)中的函数y＝f（x)在（a，b）上有最大值而无最小值;图（2）中的函数y＝f(x）在(a,b）上有最小值而无最大值；图（3)中的函数y＝f(x)在（a,b）上既无最大值也无最小值；图(4)中的函数y＝f（x）在（a,b)上既有最大值又有最小值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：导数的应用3：切线与速度的问题(3课时)一．用导数求曲线的切线函数()f x 在0x 处导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0f x '。
于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。
利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。
用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。
如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。
如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点，最后根据两点式确定切线方程。
二．用导数求瞬时速度物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t =时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。
利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。
三．范例分析例1．求过抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）上一点P （x 0，y 0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。
分析：为求斜率，先求导函数：y'=2ax+b ，故切线方程为y －y 0=(2ax 0+b)(x －x 0)即 y=(2ax 0+b)x －ax 20+c ，亦即y=(2ax 0+b)x －ax 20+c.抛物线焦点：F （2b a -,244ac b a-），它关于切线的对称点之横坐标当x 0，说明从焦点发出的光线射到（x 0，y 0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。
要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。
解：显然，y 0=ax 20+bx 0+cy'=2ax+b 故在P 点处切线斜率为2ax 0+b ，切线方程y －(ax 20+bx 0+c)=(2ax 0+b)(x －x 0)， 亦即y=(2ax 0+b)x －ax 20+c.由于y=ax 2+bx+c 按向量=24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭平移即得到y=ax 2，只须证明过其上一点（x 0，ax 20）的切线l ：y=2ax 0x －ax 20 满足：焦点关于l 的对称点为（m ，n ）.当x 0≠0时0200114214222n a max n m a ax ax ⎧-⎪=-⎪⎪⎨⎪+⎪=⋅-⎪⎩，消去n. 知 m=x 0.当x 0=0时，切线为y=0，F 之对称点横坐标显然是0，故从焦点发出的光线射到（x 0，ax 20）后被抛物面反射后的方程为x=x 0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.例2．求函数y=x 4+x －2 图象上的点到直线y=x －4的距离的最小值及相应点的坐标.分析：首先由424y x x y x ⎧=+-⎨=-⎩得x 4+2=0 知，两曲线无交点.y'=4x 3+1，切线要与已知直线平行，须4x 3+1=1，x=0.故切点：（0 , －2）一般地，当直线l 与y=f(x)的图像无交点时，与l 平行的切线与l 间距离应为图像上点到l 的 距离的最值，以最小值为例（如图）与l 平行的 直线若与曲y=f(x)相交，（A 为一交点），则l'与l 间必存在y=f(x)上的点C ，显然，C 点到l 的距离小于l 与l'间的距离，亦即A 到l 的距离.当然，我的也可用参数直接考虑：设(x 0，x 40+x 0－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离4d ==≥=上述等号当且仅当x 0=0时取得，故相应点坐标为（0，-2）。
解：y'= 4x 3+1，令4x 3+1=1，x=0. 由此知过曲线上点（0，－2）的切线方程y=x+2 与已知直线平行，它到已知直线距离最近，为d ==例3．已知一直线l 经过原点且与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求直线l 的方程。
分析： 设切点为（x 0，y 0），则y 0＝x 03－3x 02＋2x 0，由于直线l 经过原点，故等式的两边同除以x 0即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x 0处的切线斜率，便可建立关于x 0的方程。
在两边同除以x 0时，要注意对x 0是否为0进行讨论。
解：设直线l ：y ＝k x 。
∵y'＝3x 2－6x ＋2， ∴y'|x =0＝2，又∵直线与曲线均过原点，于是直线y ＝k x 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2相切于原点时，k ＝2。
若直线与曲线切于点(x 0，y 0) (x 0≠0)，则k ＝x y ，∵y 0＝x 03－3x 02＋2x 0， ∴x y =x 02－3x 0＋2， 又∵k ＝y'|0x x =＝3x 02－6x 0＋2，∴x 02－3x 0＋2＝3x 02－6x 0＋2， ∴2x 02－3x 0＝0，∵x 0≠0， ∴x 0＝23， ∴k ＝x 02－3x 0＋2＝－41，故直线l 的方程为y ＝2x 或y ＝－41x 。
例4．已知曲线3:x y C =及其上一点)1,1(1P ，过1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的另一公共点为2P （不同于1P ），过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的另一公共点为3P （不同于2P ），…，得到C 的一列切线1l ，2l ，…，n l ，…，相应的切点分别为1P ，2P ，…，n P ，…。
（1）求n P 的坐标；（2）设n l 到1+n l 的角为n θ，求n n θtan lim ∞→之值。
解：（1）设),(3n n n a a P ，过n P 作C 的切线。
C 在n P 处的切线n l 的方程为：32)(3nn n a a x a y +-=，代入3x y =，并整理得0)2()(2=+-n n a x a x 。
即n a x =（舍去）或n a x 2-=。
由题意11=a ，n n a a 21-=+，从而1)2(--=n n a ，（n ∈N*） 即))2(,)2(()1(31----n n n P ；（2）n l 的斜率1)1(2243)2(33--⋅=-⋅==n n n n a k 。
1+n l 的斜率n n k 431⋅=+。
12111443143431tan --++⋅⋅+⋅-⋅=⋅+-=n n n n n n n n n k k k k θ。
04941414343lim tan lim 2=+⋅-=∞→∞→n n nn n n θ例5．在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离s ＝27t －0.45t 2（单位是米），这列火车在刹车后几秒钟才停车？刹车后又运行了多少米？解：当火车运行速度为0时，火车停车。
v ＝s'＝(27t －0.45t 2)'＝27－0.9t ， 令27＝0.9t ＝0，得t ＝30（秒）， 则s ＝27×30－0.45×302＝405（米），故这列火车在刹车后30秒钟才停车，刹车后又运行了405米。
例6．求曲线y ＝21x在横坐标为x 0的点处的切线方程，并求此曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度。
分析：先根据导数的几何意义求出曲线在点x 0处的切线方程，从而求出切线被两坐标轴所截线段，再用基本不等式求其最小值。
解：由导数的定义可得y /＝－32x ，则过(2001,x x )点的切线方程为)(210320x x x x y --=-，由此得切线在x 轴与y 轴上的交点分别为A(23x 0，0)，B(0，203x )。
则|AB|2＝402020402098989949x x x x x ++=+≥4279898933402020=⋅⋅⋅x x x ， ∴|AB|≥233，当且仅当4020989x x =，即x 0＝±2时，等号成立。
故最短长度为233。
例7．如图，已知圆心为O ，半径为1的圆与直线l 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 。
又知当AP=43π时，点P 的速度为v ，求这时点M 的速度。
（1984年·全国高考附加题）分析： 设AP 的长为x ，AM 的长为y ，用x 表示y ，并用复合函数求导法则对时间t 进行求导。
解：如图，作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COA=θ， 由题意弧AC 的长为x 32，半径OC=1，可知θ=x 32，考虑θ∈（0，π）。
∵△APM ∽△DCM ，∴DCDMAP AM =。
∵DM=y- (1-cos x 32)，DC=sin x 32，∴x x y xy 32sin )32cos 1(--=∴xx x x y 32sin )32cos 1(--=。
上式两边对时间t 进行求导，则 t x t x y y '⋅'='。
∴t y '=t x x x x x x x x x x x '⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+--2)32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin (当π43=x 时，v x t ='，代入上式得点M 的速度v y t 22)43()843(2---='πππ。
例8．已知5)(23-+-=x x kx x f 在R 上单调递增，记ABC ∆的三内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若ac b c a +≥+222时，不等式[])4332()cos(sin 2+<+++m f C A B m f 恒成立． （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）求角B cos 的取值范围； （Ⅲ）求实数m 的取值范围．解：(1)由5)(23-+-=x x kx x f 知123)(2+-='x kx x f ， )(x f 在R 上单调递增，lAPOCMl A P OC MD∴0)(>'x f 恒成立，∴03>k 且0<∆，即0>k 且0124<-k ，∴31>k ，当0=∆，即31=k 时，22)1(123)(-=+-='x x kx x f ，∴1<x 时0)(>'x f ，1>x 时，0)(>'x f ，即当31=k 时，能使)(x f 在R 上单调递增，31≥∴k ．(2) ac b c a +≥+222，由余弦定理：2122cos 222=≥-+=ac ac ac b c a B ，∴30π≤<B ， (3) )(x f 在R 上单调递增，且[])4332()cos(sin 2+<+++m f C A B m f ，所以223333sin cos()sin cos()44m B A C B A C +++<--++223329sin cos cos cos 44B B B B =-++=++=87)21(cos 2≥++B ，故82<-m m ，即9)1(2<-m ，313<-<-m ，即40<≤m ，即160<≤m ．例9．已知函数14)(234-+-=ax x x x f 在区间)1,0[单调递增，在区间)2,1[单调递减.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若点A （x 0,f (x 0)）在函数f (x )的图象上，求证点A 关于直线x =1的对称点B 也在函数f (x )的图象上；（Ⅲ）是否存在实数b ，使得函数1)(2-=bx x g 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的值；若不存在，试说明理由.解：（Ⅰ）由函数)2,1[,)1,0[,14)(334在区间单调递增在区间-+-=ax x x x f 单调递减，321,().(1)0.()4122,41220 4.x f x f f x x x ax a a '∴=∴='=-+∴-+=⇒=时取得极大值（Ⅱ）0000(,())1(2,()),A x f x x B x f x =-点关于的对称点坐标为4320000220043200(2)(2)4(2)4(2)1(2)[(2)2]1441().1().f x x x x x x x x x f x A x B f x -=---+--=----=-+-=∴=点关于直线的对称点也在函数的图象上（Ⅲ）函数等价于方程个交点的图象恰有的图象与函数,3)(1)(2x f bx x g -=43224322432244113,44114(4)0,0,4(4)00.164(4)0,0 4.40.x x x bx x x x bx x x b x x x x b b b b b -+-=--+-=-⇒++-==∴-+-=∆=-->⎧∴∴>≠⎨-≠⎩ 恰有个不等实根是其中一个根方程有两个非不等实根且四、专题训练1．一质点在运动中经过的路程S 和经历的时间t 有关系S=5－3t 2，则它在[1,+△t]内的平均速度为（ C ）（A ）3△t+6 （B ）－3△t+6 （C ）3△t －6 （D ）－3△t －6提示：22[53(1)][531]63t V t t-+--⨯==-+ 选（C ） 2．曲线y=13x 3－x 2+5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为 （ D ）（A ） 3π （B ）4π （C ）2π （D ）34π提示：y'=x 2－2x. 当x=1时，y'=－1 选（D ）3．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为 （ C ）A ．（3，9）B ．（－3，9）C ．（49,23）D ．（49,23-）4．某质点的运动方程是2)12(--=t t S ，则在t=1s 时的瞬时速度为（ B ）A ．－1B ．－3C ．7D ．135．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是（ D ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x6．某物体的运动方程为233+=t s ，则该物体在2=t 时的瞬时速率是（ A ） （A ）36 （B ）26 （C ）14 （D ）287．曲线2x y =与曲线3x y =的公共切线的条数是 （ B ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．0条 8．曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P 0点的坐标是（ B ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4) 9．给出下列命题：(1)若函数f(x)=|x|，则f’(0)=0；(2)若函数f(x)=2x 2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则xy∆∆=4+2Δx(3)加速度是动点位移函数S(t)对时间t 的导数；(4)y=2cosx +lgx ，则y’=-2cosx ·sinx+x1其中正确的命题有（ B ）A. 0个B.1个C.2个 D .3个8．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ D ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x9．已知函数bx ax x x f --=23)(的图象与x 轴切于点（1，0），则)(x f 的极值为（ A ） A ．极大值274，极小值0 B ．极大值0，极小值274C ．极小值－274，极大值0D ．极大值－274，极小值0 10．已知二函数344,3x y a x y =+=，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为 （ C ）A ．0B ．12C ．0或12D ．4或111．如果曲线03223x x x y x y =-=+=在与处的切线互相垂直，则x 0的值为 . （6363） 12．曲线551x y =上一点M 处的切线与直线x y -=3垂直，则切线的方程是_______________________ 0455(=--y x 或)0455=+-y x 13．求曲线y = sin x 在点x =π处的切线方程。