高一下学期期期中考试数学试题(四校联考) Word版含答案

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2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．化简PA →−PB →+AB →所得的结果是（） A ．2AB →B ．2BA →C ．0→D ．PA →2．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α C ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β3．已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（） A ．145π3B ．116π3C ．65πD ．52π4．已知O 是原点，点A （﹣2，4），B （1，a ），若∠ABO 为钝角，则a 的取值范围是（） A ．（1，2） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，3）D ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，点P ，Q 分别是线段BB 1，AC 1上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（）A ．对于任意一点Q ，直线D 1Q 与直线BB 1是异面直线 B ．对于任意一点Q ，存在一点P ，使得CP ⊥D 1QC ．对于任意一点P ，存在一点Q ，使得CP ⊥D 1Q D ．以上说法都不正确7．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4，E 是AC 的中点，则DE 的长度为（）A ．2√377B ．2√177C ．√377D ．√1778．已知正四面体P ﹣ABC 内接于球，D 为棱AB 上点，满足AD ＝3DB ．若存在过D 点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（） A ．[2√3，4]B ．[2√2，4]C ．[2√2，6]D ．[2√3，6]二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设平面向量a →，b →，c →均为非零向量，则下列命题正确的是（） A ．若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →B ．若a →∥b →，则a →⋅b →=|a →||b →| C ．若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →D ．若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →∥b →10．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（） A ．AC ⊥B 1D 1 B ．A 1F ⊥AB 1 C ．BD 1⊥平面B 1EFD ．D 1F ∥平面A 1DE11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√2，则下列选项正确的是（） A ．若B =π4，1＜b ＜√2，则△ABC 有两解B ．若B ∈(π2，π)，b ＞√2，则△ABC 无解 C ．若A +B ＝2C ，则a +b 的最大值为2√2D ．若△ABC 为锐角三角形，且B ＝2C ，则sinA ∈(√24a ，12a)12．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝CC 1＝4，P 为棱B 1C 1的中点，Q 为棱BB 1上的动点，平面APQ 与棱A 1C 1交于点R ，则下列说法中正确的是（）A ．存在点Q ，使得A 1Q ⊥APB ．线段C 1R 长度的取值范围是[0，2]C ．当点Q 与点B 重合时，四棱锥C ﹣AQPR 的体积为16D ．设截面AQPR ，△APR ，△APQ 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 12S 2S 3∈[4，92]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷的相应位置． 13．已知平面向量a →=(4，3)，|b →|=2，a →与b →的夹角为60°，则|a →+b →|= ．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于．15．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，点D 在边AC 上，CD ＝1，AD ＝BD ＝3，则sin A 的值是． 16．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是3，E 是DD 1上的动点，P 、F 是上、下两底面上的动点，Q 是EF 中点，EF ＝2，则PB 1+PQ 的最小值是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，EC ＝2DE ，AE 交BD 于点F ．（1）若AF →=λAB →+μAD →，求λ和μ的值；（2）设P 是线段BC 的中点，求AF →⋅AP →的值．18．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点．（1）求证：直线DE ∥平面ABC 1；（2）若∠A 1AC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，求三棱锥D ﹣ABC 1的体积．19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ．（1）求角A ；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7，求△ABC 的面积．20．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，面P AC ⊥面ABC ，AP ⊥PC ，PC ＝2BC ＝2，∠ACP ＝∠ACB ＝45°．（1）求证：BC ⊥BP ；（2）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值．21．（12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD =√5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈（π2，π）．（1）当cos θ=−√55时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，面ABC ⊥面BCC 1B 1，且B 1C ⊥AB ，点D 为棱A1B1的中点．（1）求证：直线B1C⊥面ABC；（2）若AB＝1，AC=√3，BB1＝3，求直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值．2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．化简PA →−PB →+AB →所得的结果是（） A ．2AB →B ．2BA →C ．0→D ．PA →解：∵PA →−PB →+AB →=BA →+AB →=0→．故选：C ．2．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α C ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β解：对于A ，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，也可以相交，故A 错误，对于B ，若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或者m ⊂α，故B 错误，对于C ，若α⊥β，α⊥γ，不能得到β∥γ，例如正方体一个顶点处的三个平面分别为α，β，γ，故C 错误，对于D ，若m ∥α，m ⊥β，则由面面垂直的判定可知，α⊥β，故D 正确，故选：D ．3．已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（） A ．145π3B ．116π3C ．65πD ．52π解：如图，作AD ∥BC ，在Rt △ADE 中， AD =√AE 2−ED 2=√52−(5−2)2=4，即圆台的高为4，则该圆台的体积为V =13π（22+52+2×5）×4＝52π．故选：D ．4．已知O 是原点，点A （﹣2，4），B （1，a ），若∠ABO 为钝角，则a 的取值范围是（） A ．（1，2） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，3）D ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）解：点A （﹣2，4），B （1，a ）， BO →=（﹣1，﹣a ），BA →=（﹣3，4﹣a ），若∠ABO 为钝角，则BO →，BA →不共线，且BO →•BA →＜0， ∴3+a （a ﹣4）＜0，且a ﹣4≠3a ，∴1＜a ＜3．故选：C ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：∵a cos B ＝c ，∴由正弦定理得：sin A cos B ＝sin C ， ∴sin A cos B ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ， ∴cos A sin B ＝0，∴A =π2．又∵△ABC 是直角三角形⇔A =π2或B =π2或C =π2．∴“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的充分不必要条件．故选：B ．6．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，点P ，Q 分别是线段BB 1，AC 1上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（）A ．对于任意一点Q ，直线D 1Q 与直线BB 1是异面直线 B ．对于任意一点Q ，存在一点P ，使得CP ⊥D 1QC ．对于任意一点P ，存在一点Q ，使得CP ⊥D 1Q D ．以上说法都不正确解：对于A ：当点Q 为AC 1中点时，直线D 1Q 即直线D 1B ，与BB 1共面，故A 错误；对于B ：当BP =95时，△CBP 与△C 1CB 相似，CP ⊥BC 1，所以CP ⊥AD 1，因为CP ⊂面BCC 1B 1，C 1D 1⊥面BCC 1B 1，所以CP ⊥C 1D 1，又因为C 1D 1∩AD 1＝D 1，C 1D 1⊂面AC 1D 1，AD 1⊂面AC 1D 1，所以CP ⊥面AC 1D 1，D 1Q ⊂面AC 1D 1，所CP ⊥D 1Q ，故B 正确；对于C ：长方体中C 1D 1⊥面BCC 1B 1，CP ⊂面BCC 1B 1 所以对任意点P ，CP ⊥C 1D 1，而D 1Q 与C 1D 1不平行，所以不存在点Q 使得对任意点P ，CP ⊥D 1Q ，故C 错误；对于D ：B 选项正确，故D 错误，故选：B ．7．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4，E 是AC 的中点，则DE 的长度为（） A ．2√377B ．2√177C ．√377D ．√177解：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4，所以BC =√AB 2+AC 2=5，sin B =ACBC =45，因为BD CD=AB AC=34，又BD +CD ＝5，所以解得BD =157，在△ABD 中，又∠BAD ＝45°，由正弦定理BDsin∠BAD=ADsinB，可得157√22=AD45，解得AD =12√27，在△ADE 中，AE ＝2，∠EAD ＝45°，由余弦定理可得DE 2＝AE 2+AD 2﹣2AE •AD •cos ∠EAD ，可得DE 2＝22+（12√27）2﹣2×2×12√27×√22=14849，所以DE =2√377．故选：A ．8．已知正四面体P ﹣ABC 内接于球，D 为棱AB 上点，满足AD ＝3DB ．若存在过D 点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（） A ．[2√3，4]B ．[2√2，4]C ．[2√2，6]D ．[2√3，6]解：设正四面体棱长为a ，球半径为R ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝3π，r =√3，设PH ⊥平面ABC 于H ，则H 是△ABC 中心，且球心在PH 上，连接CH ，并延长与AB 交于点G ，连接OG ，OD ，DH ， PH ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PH ⊥AB ，AB ⊥GC ， ∵PH ∩GC ＝H ，∴AB ⊥平面OGC ， ∵OG ⊂平面OGC ，∴AB ⊥OG ，HC =23×√32a =√33a ，PH =√a 2−(33a)2=√63a ，则R 2＝（√63a −R ）2+（√33a ）2，解得R =√64a ，当截面过球心时，R =√3，此时棱长最短，故R =√64a =√3，a ＝2√2，当OD ⊥截面时，棱长最长，此时OD 2＝OG 2+GD 2＝OH 2+GH 2+GD 2＝（√612a ）2+（√36a ）2+（a 4）2，解得OD =√34a ，∴R 2＝3+（√34a ）2＝（√64a ）2，解得a ＝4．综上，a 的取值范围是[2√2，4]．故选：B ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设平面向量a →，b →，c →均为非零向量，则下列命题正确的是（） A ．若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →B ．若a →∥b →，则a →⋅b →=|a →||b →| C ．若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →D ．若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →∥b →解：对于A ，由a →⋅c →=b →⋅c →，得c →⋅(a →−b →)=0，则a →=b →或c →⊥(a →−b →)，选项A 错误；对于B ，a →⋅b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞，当a →，b →反向时，a →⋅b →=−|a →||b →|，选项B 错误；对于C ，若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2−2a →⋅b →+b →2，化简可得a →⋅b →=0，则a →⊥b →，选项C 正确；对于D ，若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →⊥c →，b →⊥c →，则a →∥b →，选项D 正确．故选：CD ．10．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（） A ．AC ⊥B 1D 1 B ．A 1F ⊥AB 1 C ．BD 1⊥平面B 1EFD ．D 1F ∥平面A 1DE解：对于选项A ，连接BD ，∵DD 1＝BB 1，DD 1∥BB 1，∴四边形B 1D 1DB 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1，又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥B 1D 1，故A 正确；对于选项B ，连接A 1B ， ∵BF ⊥平面ABB 1A 1∴BF ⊥AB 1，又∵A 1B ⊥AB 1，∴AB 1⊥平面A 1BF ， ∴AB 1⊥A 1F ，故B 正确；对于选项C ，连接BD ，AC ，AB 1，CB 1，∵DD 1⊥AC ，BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面BD 1D ， ∴AC ⊥BD 1，同理，AB 1⊥BD 1， ∵AC ∩AB 1＝A ，∴BD 1⊥平面AB 1C ， ∴BD 1⊥平面B 1EF 不成立，故C 错误；对于选项D ，若D 1F ∥平面A 1DE ，又∵平面A 1DE ∩平面AD 1F ＝LG ，∴D 1F ∥LG ， ∵L 是线段AD 1的中点， ∴LG 是△AD 1F 的中位线， ∴G 是线段AF 的中点，又∵E 是线段AB 的中点，∴EG 是△ABF 的中位线，∴EG ∥BC ，又∵AD ∥BC ，∴EG ∥AD ，这与EG ∩AD ＝D 相矛盾，故假设不成立，故D 错误．故选：AB ．11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√2，则下列选项正确的是（） A ．若B =π4，1＜b ＜√2，则△ABC 有两解B ．若B ∈(π2，π)，b ＞√2，则△ABC 无解 C ．若A +B ＝2C ，则a +b 的最大值为2√2D ．若△ABC 为锐角三角形，且B ＝2C ，则sinA ∈(√24a ，12a)解：对于A ，因为B =π4，1＜b ＜√2，所以c sin B ＜b ＜c ，则△ABC 有两解，A 正确；对于B ，因为B ∈(π2，π)，b ＞√2，所以△ABC 有且仅有一解，B 错误；对于C ，由{0＜π−3C ＜π20＜2C ＜π20＜C ＜π2得π6＜C ＜π4，则sinC ∈(12，√22)，因为asinA =csinC，所以sinA=asinCc∈(√24a，12a)，D正确；对于D，因为A+B＝2C，所以C=π3，又因为asinA =bsinB=csinC=√2√32=2√63，所以a=2√63sinA，b=2√63sinB，则a+b=2√63sinA+2√63sinB=2√63sinA+2√63sin(2π3−A)=2√63(32sinA+√32cosA)=2√2sin(A+π6 )，由0＜A＜2π3，得π6＜A+π6＜5π6，所以当A+π6=π2，即A=π3时，a+b取得最大值2√2，C正确．故选：ACD．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝4，P为棱B1C1的中点，Q为棱BB1上的动点，平面APQ与棱A1C1交于点R，则下列说法中正确的是（）A．存在点Q，使得A1Q⊥APB．线段C1R长度的取值范围是[0，2]C．当点Q与点B重合时，四棱锥C﹣AQPR的体积为16D．设截面AQPR，△APR，△APQ的面积分别为S1，S2，S3，则S12S2S3∈[4，92]解：∵CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），A1（4，0，4），B1（0，4，4），P（0，2，4），设点Q （0，4，a ），R （b ，0，4），其中0≤a ≤4，0≤b ≤4，对于A ，若存在点Q ，使得A 1Q ⊥AP ，且A 1Q →=（﹣4，4，a ﹣4），AP →=（﹣4，2，4）， A 1Q →⋅AP →=16+8+4（a ﹣4）＝0，解得a ＝﹣2，不合题意，故A 错误；对于B ，设AR →=mAP →+n AQ →，其中m ，n ∈R ，即（b ﹣4，0，4）＝m （﹣4，2，4）+n （﹣4，4，a ），即{−4m −4n =b −42m +4n =04m +an =4，可得b =16a−8+4，∵0≤a ≤4，则﹣8≤a ﹣8≤﹣4， ∴b =16a−8+4∈[0，2]，故B 正确；对于C ，当点P 与点B 重合时，a ＝0，b ＝1，此时R 为A 1C 1的中点，如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，则AB ∥A 1B 1，且A 1B 1＝AB ， ∴P 、R 分别为B 1C 1、A 1C 1的中点，则PR ∥A 1B 1，且PR =12A 1B 1，∴PR ∥AB ，且PR =12AB ，同理C 1R ∥AC ，且C 1R =12AC ，C 1P ∥BC 且C 1P =12BC ， ∴PR AB=C 1P BC=C 1R AC=12，∴几何体ABC ﹣RPC 1为三棱台，S △ABC =12AC ×BC =8，S △C 1PR =12C 1P ⋅C 1R =2， V ABC−GEC 1=13(S △ABC +S △C 1PR +√S ABC S △RPC 1)•CC 1=13×14×4=563， V C−RPC 1=13S △RPC 1⋅CC 1=13×2×4=83， ∴V C−ARPQ =V ABC−RPC 1−V C−RPC 1=16，故C 正确；对于D ，AP →=(−4，2，4)，AQ →=(−4，4，a)，则点Q 到直线AP 的距离为d 1=√|AQ →|2−(|AP →⋅AQ →||AP →|)2=√5a 2−68a−13，AR →=（b ﹣4，0，4），则R 到直线AP 的距离为d 2=√|AR →|2−(|AR →⋅AP →||AP →|)2=4√5a 2−68a−13(8−a)， ∴S 2S 3=d 2d 1=48−a， ∴S 12S 2S 3=(S 2+S 3)2S 2S 3=S 2S 3+S 3S 2+2=48−a +8−a4+2，令t ＝8﹣a ，0≤a ≤4，则t ∈[4，8]，则y =4t +t4+2，由双勾函数的性质知y =4t +t4+2在t ∈[4，8]上单调递增，则当t ＝4时，y min ＝4，当t ＝8时，y max =92， ∴S 12S 2S 3∈[4，92]，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷的相应位置． 13．已知平面向量a →=(4，3)，|b →|=2，a →与b →的夹角为60°，则|a →+b →|= √39 ．解：易知|a →|=√42+32=5，a →⋅b →=|a →||b →|cos60°=5×2×12=5，则|a →+b →|=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√25+10+4=√39．故答案为：√39．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于710．解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，连接DF ，取BC 的中点E ，连接EF ，EA ，所以异面直线BD 和AF 所成角就是∠EF A ，设棱长为2，可得EF ＝BD =√1+4=√5，AF =√1+4=√5，AE =√4−1=√3，所以cos ∠EF A =5+5−32×√5×√5=710．故答案为：710．15．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，点D 在边AC 上，CD ＝1，AD ＝BD ＝3，则sin A 的值是 √217．解：由AD ＝BD ＝3得∠ABD ＝∠BAD ，设∠ABD ＝∠BAD ＝θ，则∠BDC ＝2θ， △ABC 中，由正弦定理得BC sinθ=AC sin∠ABC，所以BC =4sinθsin π3=8√33sin θ， △BDC 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2+CD 2﹣2BD •CD •cos2θ，即64sin 2θ3=10﹣6cos2θ＝10﹣6（1﹣2sin 2θ），故sin 2θ=37=sin 2A ，由A 为三角形内角得sin A =√217．故答案为：√217． 16．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是3，E 是DD 1上的动点，P 、F 是上、下两底面上的动点，Q 是EF 中点，EF ＝2，则PB 1+PQ 的最小值是 3√6−1 ．解：以A ，B ，C ，D 为顶点构造棱长为2的正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′，由对称得PB ′＝PB 1，PB 1+PQ ＝PB ′+PQ ，因为E 是DD 1上的动点，F 是下底面上的动点，则△D 1EF 是直角三角形，Q 是EF 中点，且EF ＝2，故QD 1＝1，所以PB ′+PQ 取最小值时，D 1，Q ，P ，B ′四点共线，则D 1B′=3√6，此时PB 1+PQ =3√6−1，故答案为：3√6−1，四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，EC ＝2DE ，AE 交BD 于点F ．（1）若AF →=λAB →+μAD →，求λ和μ的值；（2）设P 是线段BC 的中点，求AF →⋅AP →的值．解：（1）因为在菱形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝AB ，EC ＝2DE ，所以DF FB=DE AB=13，由平面向量基本定理，可得AF →=AD →+DF →=AD →+14DB →=AD →+14(AB →−AD →)=14AB →+34AD →，所以λ=14，μ=34；（2）∵P 是线段BC 的中点，∴AP →=AB →+BP →=AB →+12AD →，∴AF →⋅AP →=(14AB →+34AD →)⋅(AB →+12AD →)=14AB →2+38AD →2+78AB →⋅AD →=14×4+38×4+78×2×2×12=1+32+74=174． 18．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点．（1）求证：直线DE ∥平面ABC 1；（2）若∠A 1AC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，求三棱锥D ﹣ABC 1的体积．（1）证明：方法一：连接CE 交AC 1于点G ，连接CD 交BC 1于点H ，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC ，BB 1∥CC 1， ∴EG GC =EC 1AC =12，∴DH HC=BD CC 1=12，∴EG GC=DH HC，DE ∥HG ，又∵EF ⊄面ABC 1，HG ⊂面ABC 1， ∴直线EF ∥平面ABC 1．方法二：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，取B 1C 1中点F ，连接DF ，EF ，∵D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点， ∴DF ∥BC 1，EF ∥A 1B 1，∴EF ∥AB ，又∵DF ⊄面ABC 1，BC 1⊂面ABC 1，EF ⊄面ABC 1，AB ⊂面ABC 1， ∴DF ∥面ABC 1，EF ∥面ABC 1，又∵DF ∩EF ＝F ，∴面DEF ∥平面ABC 1． ∵DE ⊂面DEF ，∴直线DE ∥平面ABC 1．（2）解：∵直线DE ∥平面ABC 1，∴V D−ABC 1=V E−ABC 1，又点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，设为h B =√3，∴V E−ABC 1=V B−AEC 1=13S △AEC 1⋅ℎB =13×12×1×√3×√3=12．19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ．（1）求角A ；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7，求△ABC 的面积．解：（1）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ，由正弦定理，可得：sin C tan A ＝2sin A sin C ，则cosA =12，又0＜A ＜π，∴A =π3；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7，在△ACD 中，AC 2＝AD 2+CD 2﹣2AD •CD •cos ∠ADC ，在△ABD 中，AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD •cos ∠ADB ， ∵CD ＝BD ，∠ADC ＝π﹣cos ∠ADB ，∴AC 2+AB 2＝2AD 2+2BD 2，∴(2c)2+c 2=2⋅√72+2BD 2，∴BC 2＝10c 2﹣28，在△ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =c 2+(2c)2−2c ⋅2c ⋅12， ∴BC 2＝3c 2＝10c 2﹣28，∴c ＝2， ∴S △ABC =12bcsinA =c 2sinA =2√3．20．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，面P AC⊥面ABC，AP⊥PC，PC＝2BC＝2，∠ACP＝∠ACB＝45°．（1）求证：BC⊥BP；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．（1）证明：过P作PH⊥AC交AC于H，连接HB，∵PH⊥AC，面P AC⊥面ABC，面P AC∩面ABC＝AC，∴PH⊥面ABC，∴PH⊥BC，∵∠ACP＝45°，∴CH=PC⋅sin∠ACP=√2，在△BCH中，HB=√CH2+BC2−2CH⋅BC⋅cos45°=1，∴CH2＝BC2+BH2，∴BC⊥BH，又∵PH∩HB＝H，∴BC⊥面PHB，∴BC⊥BP．（2）解：方法一：过H作HD⊥AC交AB于D，以H点为原点，分别以HD，HC，HP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，−√2，0)，C(0，√2，0)，P(0，0，√2)，B(√22，√22，0)， ∴PC →=(0，√2，−√2)，PB →=(√22，√22，−√2)，设面PBC的一个法向量n →1=(x 1，y 1，z 1)，则n →1⋅PB →=n →1⋅PC →=0，{√22x 1+√22y 1−√2z 1=0√2y 1−√2z 1=0，∴n →1=(1，1，1)，∵PC →=(0，√2，−√2)，PA →=(0，−√2，−√2)，设面P AC 的一个法向量n →2=(x 2，y 2，z 2)，则n →2⋅PA →=n →2⋅PC →=0，{√2y 2−√2z 2=0−√2y 2−√2z 2=0，∴n →2=(1，0，0)， ∴cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=1√3⋅1=√33．方法二：过H 作HM ⊥PB ，HN ⊥PC ，∵BC ⊥面PHB ，∴面PBC ⊥面PBH ，又∵HM ⊥PB ，面PBC ∩面HPB ＝PB ， ∴HM ⊥面PBC ，∴∠MNH 即为二面角A ﹣PC ﹣B 的平面角，在△PBH 中，PH =√2，HB ＝1，PH ⊥HB ，∴HM =√63，在△PHC 中，PH =HC =√2，PH ⊥HC ，∴HN ＝1， ∴sin ∠MNH =HMHN =√63，∴cos ∠MNH =√33．21．（12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD =√5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈（π2，π）．（1）当cos θ=−√55时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．（本题满分为14分）解：（1）在△ABD 中，由BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD •cos θ，得BD 2＝14﹣6√5cos θ，又cos θ=−√55，∴BD ＝2√5．∵θ∈（π2，π）， ∴sin θ=√1−cos 2θ=√1−(−√55)2=2√5，由BDsin∠BAD =ABsin∠ADB ，得：2√52√5=3sin∠ADB ，解得：sin ∠ADB =35， ∵△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠CDB =π2，且CD =BD =2√5，∴cos ∠ADC ＝cos （∠ADB +π2）＝﹣sin ∠ADB =−35，在△ACD 中，AC 2＝AD 2+DC 2﹣2AD •DC •cos ∠ADC ＝（√5）2+（2√5）2﹣2×√5×2√5×(−35)=37，解得：AC =√37．（2）由（1）得：BD 2＝14﹣6√5cos θ，S ABCD ＝S △ABD +S △BCD =12×3×√5×sinθ+12BD 2=7+3√52×sinθ−3√5cos θ ＝7+3√52（sin θ﹣2cos θ）＝7+152sin （θ﹣φ），此时，sin φ=25，cos φ=15，且φ∈(0，π2)，当θ﹣φ=π2时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ+π2，此时cos θ=25，sin θ=15， ∴BD 2＝14﹣6√5cos θ＝14﹣6√5×5)=26，即BD =√26．答：（1）当cosθ=−√55时，小路AC 的长度为√37百米；（2）草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为√26百米．22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，面ABC⊥面BCC1B1，且B1C⊥AB，点D为棱A1B1的中点．（1）求证：直线B1C⊥面ABC；（2）若AB＝1，AC=√3，BB1＝3，求直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值．（1）证明：∵AB⊥AC，∴作AH⊥BC交BC于点H．∵AH⊥BC，面ABC⊥面BCC1B1，面ABC∩面BCC1B1＝BC，∴AH⊥面BCC1B1，∴AH⊥B1C，又∵B1C⊥AB，∵AH∩AB＝A，∴B1C⊥面ABC．（2）解：∵AB⊥AC，AB⊥B1C，AC∩B1C＝C，∴AB⊥面AB1C，AB⊂面ABB1A1，∴面ABB1A1⊥面AB1C．过点C作CE⊥AB1，交直线AB1于点E．则CE⊥面ABB1A1．∴直线CD与面ABB1A1所成角即∠CDE，∵B1C⊥面ABC，∴B1C⊥AC，B1C⊥BC，B1C⊥面A1B1C1，∴B1C⊥A1B1．又AB＝1，AC=√3，BB1＝3，∴BC＝2，B1C=√5，AB1=2√2，CD=√212，CE=√304．∴sin∠CDE=√7014，即直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值为√7014．。

湖北省襄阳市四校2013-2014学年高一下学期期中联考数学试题 Word版含答案

一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．） 1. 等比数列}{n a 中，如果5a 5=，8a 25=，则2a 等于（）C.5D.12.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c,若cos cos a cA C =，则△ABC 的形状是（）A.等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 3. 在等差数列{an}中, 若357911200a a a a a ++++=, 则5342a a -的值为（）A. 80B. 60C. 40D. 204. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12 ，且a ＞b ，则∠B 等于 ( ) A.5π6 B. 2π3 C. π3 D . π65. 已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列, Sn 是{an}的前n 项和, 且425S S =, 则数列{n a 1}的前5项和为（）A.31 B . 1631C. 1116D. 116.在△ABC 中, 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2a =, b+c=7, cosB=14-, 则c =（）A. 3B. 4C. 5D. 67. 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,D 为垂足，AD 在ABC ∆的外部，且BD: CD:AD=2:3:6，则tan BAC ∠= （）A. 1B. 17C. 15D. 578.等差数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为S ，T ，R ，则（）.A ()22S T S T R +=+ .B 3()R T S =- .C 2T SR = .D 2S R T +=9. 已知数列{n a }中，1a =21，n n a a =+1+2312++n n （n )+∈N ，则数列{n a }的通项公式为（）A.11+=n a n B. 21212++-+=n n n a n C.1n n a n =+ D. 12n n a n +=+10.已知函数()sin cos =+f x m x n x ，且()6f π是它的最大值，(其中m 、n 为常数且0≠mn )给出下列命题：①()3f x π+是偶函数； ②函数()f x 的图象关于点8(,0)3π对称；③3()2-f π是函数()f x的最小值；④m n=. 其中真命题有 ( )A. ①②③④B.②③C. ①②④D.②④ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡上)11.sin105cos105的值为 .12. 数列｛na ｝中，5,2,2121==-=++a a a a a n n n ，则5a 为___________.13.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若32,2ABC b c S ∆===，则A=__________. 14. 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为35,24n n a n b n =+=+，则它们的公共项按从小到大的顺序组成的新数列{}n c 的通项公式为___________.15. 将正奇数排成如下图所示的三角形数阵（第k 行有k 个奇数），其中第i 行第j 个数表示为ija (i,j ∈N*).例如4215a =,若ija =2013,则i-j=______.三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（本题满分12分）已知3cos()cos sin()sin 5α-ββ-α-ββ=-，(,)2πα∈π，求sin(2)3πα+的值．17.（本题满分12分）在△ABC 中，已知 A B >,且tan A 、tan B 是方程26510x x -+=的两个根.（1）求tan A 、tan B 、tan()A B +的值; （2）若△ABC 的面积.18. （本题满分12分）如图，小岛A 的周围3.8海里内有暗礁.一艘渔船从B 地出发由西向东航行，观测到小岛A 在北偏东75°，继续航行8海里到达C 处，观测到小岛A 在北偏东60°.若此船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？19.（本题满分12分）设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2nn n a b =的前n 项和为n T ，求n T .20.（本题满分13分）已知函数2()2sin ()234f x x x π=-+-，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， (1)求()f x 的最大值和最小值;(2)若方程()f x m =仅有一解,求实数m 的取值范围.21.（本题满分14分）在等比数列.,,64,65,}{*15371N n a a a a a a a n n n ∈<==++且中（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前5项的和5S ；（3）若nn a a a T 242lg lg lg +⋅⋅⋅++=，求Tn 的最大值及此时n 的值.2013—2014学年度下学期高一期中考试数学试题参考答案一．选择题 1---10 DAADC ABBCD二．填空题 11.1-4 12. 19 13. 233ππ或14. 62n c n =+ 15. 28 三．解答题16．解：由33cos()cos sin()sin cos 55α-ββ-α-ββ=-⇒α=-2分又由(,)2πα∈π及22sin cos 1x x +=得4sin 5α= 4分所以4324sin 22sin cos 2()5525α=αα=⨯⨯-=-6分 2222347cos 2cos sin ()()5525ααα=-=--=-8分sin(2)sin 2cos cos 2sin3332417()()25225πππ∴α+=α+α=-⨯+-= 12分17、解：（1）由所给条件，方程26510x x -+=的两根11tan ,tan 23A B ==.………2分 ∴tan tan tan()1tan tan A BA B A B ++=-………………………………………………………………4分1123111123+==-⨯……………………………………………………………………………… 6分（或由韦达定理直接给出）(2)∵ 180=++C B A ,∴)(180B A C +-= . 由（1）知，tan tan()1C A B =-+=-，∵C 为三角形的内角，∴sin C =…………………………………………8分襄州一中枣阳一中∵，1tan ,2A =A为三角形的内角，∴sin A =，由正弦定理得：sin sin AB BCC A =∴.BC ==.……………………………………………………………………9分由1tan 3B =∴sin B =∴1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅1122==………………………………12分（亦可由其它边角关系求）18解法1在ABC ∆中，000000907515,9060150B C =-==+=,所以015A =.……4分又已知BC=8，所以AC=8. ……8分过点A 作AD ⊥BC,垂足为D,在直角三角形ACD 中，01sin 30842AD AC ==⨯=＞3.8 ……11分所以此船继续前行没有触礁的危险 . ……12分解法2 过点A 作AD ⊥BC,垂足为D,由已知，BC=8，∠BAD=75°, ∠CAD=60°…4分在直角三角形ABD 中，0tan tan 75BD AD BAD AD =∠=，在直角三角形ACD 中，同法可得0tan tan 60CD AD CAD AD =∠=,……………8分所以BC=BD-CD=00(tan 75tan 60)AD -，所以0084tan 75tan 60AD ==-＞3.8 ……………………11分所以此船继续前行没有触礁的危险 . ………………………………12分 19. 解：（1）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S a a a a =++=+，……2分由成等差数列得，=，即=， ……3分解得11a =，故21n a n =-； ……6分（2）211(21)()222nn n n n a n b n -===-，12311111()3()5()(21)()2222n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ， ① ①12⨯得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，② ……8分①-②得，2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯ 11111(1)11222(21)()122123121222n n n n n n +-+-=⨯---⨯--=-- …… 10分 ∴4212333222n n n n n n T -+=--=-． …… 12分20.解：(1)2()2sin ()234cos(2)222f x x x x x ππ=-+-=--- ………………1分2sin 222cos(2)26x x x π=--=+- ………………3分27,(2),42636x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ………………4分所以当7266x ππ+=，即2x π=时，m ()2ax f x =- …………5分当26x ππ+=，即512x π=时，min ()4f x =- ………………6分(2) 方程()f x m =仅有一解，则函数()2cos(2)26f x x π=+-在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，的图像与函数()g x m =的图像仅有一个交点。

浙江省浙东北联盟(ZDB)四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

浙东北联盟（ZDB ）四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷总分150分考试时间120分钟选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（）A B. C. D. 2. 设l ，m ，n 是不同的直线，m ，n 在平面内，则“且”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知一个正方体外接球的体积为，则这个正方体的体积为（）A 3 B. C. D. 84.，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，点E ，F ，G ，H 分别是棱，，，的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为（）A. B.C. D. 6. 若两个非零向量与满足，则向量与夹角为（）A. B. C. D. .的.的()5,12a = a 512,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭512,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭125,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭512,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭αl m ⊥l n ⊥l α⊥92π2783a b ⋅=- b a a -r 13a b - 13b r 1111ABCD A B C D -11B C 1C C 1B B AB π6π4π3π2a b 2a b a b b +=-= a b + a b - π6π32π35π67. 已知某圆台的上、下底面半径分别为、，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）A. B. C. D. 8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和都是正三角形，，，且B ，A ，D 三点共线，设点P 是内的任意一点，则的最小值为（）A 5 B. C.D. 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（）A. B. C. D. 10. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（）A. 0B.C.D. 11. 如图，正方体的棱长为2，是线段的中点，是线段的中点，是线段上的一个动点，则下列结论中正确的是（）.1r 2r 213r r =13π920π926π926π323π23πABC V ADE V 4AB =2AE =ACE △PA PC PE ++{}12e e ，{}1212ee e e +-，{}1221e e e e -- ，{}21122364e e e e -- ，1212133e e e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ ，ABC V π4A =b =ABC Vc a -4-321111ABCD A B C D -E 11B C F 1CC P 1A DA.B. 可能是直角C. 三棱锥的体积为定值D. 的周长的最小值为非选择题部分三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）12. 水平放置的斜二测直观图为，已知，，则的面积为______.13. 已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为______.14. 已知向量，，满足，，，，则的取值范围为______.四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知向量，，.（1）求满足的实数x ，y 的值；（2）若，求实数x 的值.16. 如图，在直三棱柱中，，、分别是BC 、的中点，.（1）证明：平面；1C P 1B PC ∠A PEF -PEF !ABC V A B C '''V 2A B B C ''''==60A B C '''∠=︒ABC V a b c 4a = 2b = ,3a b π= ()()20a c b c -⋅-= a c ⋅ (),1a x = ()2,3b =-r ()6,1c =- 2c a yb =+ ()4//a c b + 111ABC A B C -12AA AB AC ===M N 1CC 1AB MN ⊥MN ⊥1AB M（2）求点到平面的距离.17. 某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：米，米，.（1）求的值；（2）若点分别为边上的点，且米，米，又点在以C 为圆心，为半径的圆弧上（内部），准备将四边形区域种植郁金香.设，求四边形的面积关于的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）18. 如图在直角梯形中，，，点E 为CD 的中点，以A 为圆心AD 为半径作圆交AB 于点G ，点P 为劣弧DG （包含D ，G 两点）上的一点，AC 与劣弧、BE 分别交于点F ，H .（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量，求实数x ，y 的值；（3）若向量与的夹角为，求的最小值.19. 如图在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点E 为AD中点，1C 1AB M 100AB AD ==160BC =2120BAD BCD ∠∠==︒cos BDC ∠,E F ,BC CD 80CE =60CF =I CF FG BCD △CEIF ECI ∠θ=CEIF θABCD 2BC AD =2BC CD ==AF BE αBH xBD y AC =+ BP CP βcos βP ABCD -ABCD PA PD ⊥44AD AB ==2PA=PC =（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）点F 为对角线AC 上的点，且，垂足为G ，求FG 与平面ABCD 所成的最大角的正弦值.PAD ⊥ABCD B PC E --FG PB ⊥浙东北联盟（ZDB）四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】ACD非选择题部分三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1），（2）【16题答案】【答案】（1）证明略；（2【17题答案】【答案】（1）（2），其中为锐角且，最大值为【18题答案】【答案】（1（2），（3）0【19题答案】【答案】（1）证明略（2） []420，2x =1y =-2x =-35()S θϕ=+ϕtan ϕ=23x =415y =58（3。

高一下学期期中联考试题数学word版有答案

下学期高一年四校第一次联考高一数学期中试卷（考试时间：120 分钟满分：150 分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1、若0,10a b <-<<，则下列不等式中正确的是( )A 、 a>ab>ab 2B 、ab 2>ab>a C 、ab>a>ab 2D 、ab>ab 2>a 2、如果等差数列{}n a 中，==++7543,12S a a a 则( ) A 、14 B 、21 C 、2 8 D 、 35 3、如图，已知A ，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得45AC =m ， 45ACB ∠= ，105CAB ∠= ，则A ，B 两点间的距离为（）A 、mB mC mD 、m4、在下列函数中，最小值为2的是（）A 、()0,55≠∈+=x R x xx y B 、()101lg 1lg <<+=x xx y C 、()R x y xx∈+=-33D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛<<+=20sin 1sin πx x x y 5、在ABC △中，若则c),b(b c)-c)(a (a +=+∠A=( ) A 、900B 、1200C 、600D 、15006、已知等比数列，且项和前56,8a S n,n ,0641n ==+>S a a 则公比为( ) A 、2 B 、－3 C 、 2或－3 D 、2或37、若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 值是（） A 、－10 B 、－14 C 、 10 D 、 148、若a,b,c 成等比数列，m 是a,b 的等差中项，n 是b,c 的等差中项，则=+ncm a ( ) A 、4 B 、3 C 、2 D 、 19、已知集合M={},04|2>-x x N=,12|⎭⎬⎫⎩⎨⎧<x x 则M ∩N=( ) A 、{}2|>x x B 、{}2|<x x C 、 N D 、M10、某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2m 2、3 m 2，用A 种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B 种金属板可造甲、乙产品各6个，则A 、B 两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省？( ) A 、A 用3张，B 用6张 B 、A 用4张，B 用5张C 、 A 用2张，B 用6张D 、A 用3张，B 用5张11、．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立，则13221111++++n n a a a a a a =（） A 、12+n n B 、122+n n C 、122+n n D 、）（121+n n12、设⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤≥+0y 0,x 04-y -8x 02y -x 2y x,满足的约束条件，若目标函数z=abx+y 的做大值为8，ab 均大于0，则b a +的最小值为（） A 、 2 B 、4 C 、8 D 、16二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13、在△ABC 中，BC ＝1，角C ＝120°，cos A ＝32，则AB ＝________. 14、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 15、若0,0>>b a ，且1=+b a ，则⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-111122b a 的最小值是。

高三数学：淮阴中学四校2023-2024学年高三下学期期初测试联考试题和答案

2024届高三年级第二学期期初测试数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

共4页，总分150分，考试时间120分钟。

第I 卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－2x －3＜0}，集合B ＝{x ∈R |log 2(x ＋2)＜1}，则A ∩B ＝A .(－3,2)B .(－2,3)C .(－2,0)D .(－1,0)2．已知复数z 满足(1－i )z ＝3－i ，则复数|z |＝A .2BC .D 3．在∆ABC 中，“A ＝B ”是“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3,4,5,6,8,10,12,13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为A .47B .328C .1112D .3565．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为3π，则该圆台的体积为A .433B .533πC .733D .8336．若(2－x )10的展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A ＋B ＋C ＝A .4095B .4097C .－4095D .－40977．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则233x y x y x y+++的最大值为A .2425B .98-C .98-D .348．若x 1，x 2是关于x 的方程3sin2x －cos2x ＝a 在［0,2π］内的两根，则tan (x 1＋x 2)的值为A .－3B .3D .－13D .13二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2019-2020学年无锡市江阴市四校高一(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年无锡市江阴市四校高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知点，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是()A. B.C. D.2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则sinBsin3B等于()A. ac B. cbC. baD. bc3.若直线与圆相交于两点，且(其中为原点)，则的值为()A. 或B.C. 或D.4.过三点A(1,−1)，B(1,4)，C(4,−2)的圆的方程是()A. x2+y2−7x−3y+2=0B. x2+y2+7x−3y+2=0C. x2+y2+7x+3y+2=0D. x2+y2−7x+3y+2=05.在△ABC中，若a=2，c=4，B=60°，则b等于()A. 2√3B. 12C. 2√7D. 286.若圆与圆的公共弦长为，则的值为A. B. C. D. 无解7.设m，n是两条不同的直线α，β是两个不同的平面，以下判断正确的是()A. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αB. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC. 若m⊥n，n//α，则m⊥αD. 若m//β，β⊥α，则m⊥α8.如图，圆O的直径AB与弦CD交于点E，且E为OA的中点，若OA=2，∠BCD=30°，则线段CE的长为()A. 1B. 3√55C. 3√77D. √62二、单空题（本大题共8小题，共40.0分）9.三条直线l1：x+y−1=0，l2：x−2y+3=0，l3：x−my−5=0围成一个三角形，则m的取值范围是______ ．10.在△ABC中，A=30°，B=120°，b=12，则c=______ ．11.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于________．12.将直线l1：x+y−3=0绕着点P(1,2)按逆时针方向旋转45°后得到直线l2，则l2的方程为______．13.在极坐标系中，点(2,π3)到直线ρcos(x−π6)=0的距离是______ ．14.已知对任意的有恒成立，则的值等于__15.如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.若CB=2，CE=4，则AD的长为．16.已知圆，直线，若直线与圆恒有公共点，则实数的最小值是_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN=C1N.(1)证明：A1E⊥平面AC1D；(2)若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为√10，求异面直线BM与NE所20成角的余弦值．18.已知△ABC中，2√2(sin2A−sin2C)=(a−b)sinB，外接圆半径为√2．(1)求∠C；(2)求△ABC面积的最大值．19.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?20.下列命题是否正确，并说明理由：(1)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；(2)过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行．21.设抛物线C：x2=2py(p>0)的准线被圆O：x2+y2=4所截得的弦长为√15，(1)求抛物线C的方程；(2)设点F是抛物线C的焦点，N为抛物线C上的一动点，过N作抛物线C的切线交圆O于P、Q两点，求△FPQ面积的最大值．22.已知直线：y=k(x+2)与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．(1)试将S表示成的函数S(k)，并求出它的定义域；(2)求S的最大值，并求取得最大值时k的值．【答案与解析】1.答案：B解析：直线横过点，；若直线与线段AB相交，结合图象得，故B为正确答案．考点：1、直线的斜率公式；2、恒过点问题．2.答案：D解析：解：∵A+B+C=π，A=2B，∴sinBsin3B =sinBsin(A+B)=sinBsin(π−C)=sinBsinC．再结合正弦定理得：sinBsinC =bc，所以sinBsin3B =bc．故选：D．由已知及三角形内角和定理，诱导公式可得sinBsin3B =sinBsin(A+B)=sinBsin(π−C)=sinBsinC，再结合正弦定理即可得解．本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键，属于基础题．3.答案：A解析：试题分析：圆的圆心，半径是等腰三角形，腰长为1，所以弦长，底边上的高即圆心到直线的距离为考点：直线与圆相交的弦长问题点评：直线与圆相交时圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成的直角三角形三边关系是常用的知识点4.答案：A解析：解：设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，将A(1,−1)，B(1,4)，C(4,−2)三点代入方程得到方程组{1+1+D −E +F =0, 1+16+D +4E +F =0, 16+4+4D −2E +F =0, 解得D =−7，E =−3，F =2，故圆的方程为x 2+y 2−7x −3y +2=0，故选：A ．设圆的一般方程，将点代入可得圆的方程．考查求圆的一般方程，属于基础题．5.答案：A解析：解：∵在△ABC 中，a =2，c =4，B =60°，∴由余弦定理得：b =√a 2+b 2−2abcosB =√4+16−2×2×4×12=2√3，故选：A ．利用余弦定理，把已知的a ，c 和cos B 代入即可求得答案．本题主要考查了余弦定理的应用．余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边．当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角．6.答案：A解析：试题分析：圆的圆心为原点O ，半径．将圆与圆相减，可得，即得两圆的公共弦所在直线方程为．原点O 到的距离d =||，设两圆交于点A 、B ，根据勾股定理可得=()2+()2∴，∴=±2.故选A ..考点：圆与圆的位置关系．7.答案：A解析：解：由m，n是两条不同的直线α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥α，则m//n，再由n⊥α，得到m⊥α，故A正确；在B中，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故B错误；在C中，若m⊥n，n//α，则m与α相交、平行或m⊂α，故C错误；在D中，若m//β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：A．在A中，由m⊥α，n⊥α，得m//n，再由n⊥α，得到m⊥α；在B中，m与α相交、平行或m⊂α；在C中，m与α相交、平行或m⊂α；在D中，m与α相交、平行或m⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8.答案：C解析：本题考查正余弦定理的应用．由正弦定理可得CEsinB =312，CE=6sinB，AC=4sinB，△ACE中，由余弦定理求出sin B，即可求出线段CE的长．解：连接AC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BCD=30°，∴∠ACE=60°．由正弦定理可得CE sinB =312，∴CE =6sinB ， ∵AC =4sinB ，∴△ACE 中，由余弦定理可得1=(4sinB)2+(6sinB)2−2×4sinB ×6sinB ×12，∴sinB =√714， ∴CE =6sinB =3√77．故选C ．9.答案：(−∞,−4)∪(−4,−1)∪(−1,2)∪(2,+∞)解析：由三条直线中的任意两条平行求得m 的值，再由三条直线相交于一点求得m 的值，则l 1，l 2，l 3不能围成一个三角形的m 的所有取值组成的集合可求．本题考查了两直线平行的条件，考查了两直线交点坐标的求法，是基础题．解：当直线l 1：x +y −1=0平行于l 3：x −my −5=0时，m =−1．当直线l 2：x −2y +3=0平行于l 3：x −my −5=0时，m =2，当三条直线经过同一个点时，由{x +y −1=0x −2y +3=0解得直线l 1与l 2的交点(−13,43) 代入l 3：x −my −5=0，解得m =−4；综上，m 为−1或2或−4时三条直线不能构成三角形．故当三条直线围成三角形时，m 的取值范围(−∞,−4)∪(−4,−1)∪(−1,2)∪(2,+∞)，故答案为：(−∞,−4)∪(−4,−1)∪(−1,2)∪(2,+∞)．10.答案：4√3解析：解：在△ABC中，A=30°，B=120°，则C=30°，由正弦定理，得csin30°=12sin120°，解得c=4√3，故答案为：4√3．易求角C，由正弦定理得csin30°=12sin120°，解出即可．该题考查正弦定理及其应用，熟记定理的内容并能灵活应用是解题关键．11.答案：解析：试题分析：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，取A1C1的中点E，则连B1E，B1E垂直于A1C1，所以B1E垂直于平面ACC1A1，连AE，则角B1AE就是AB1与侧面ACC1A1所成角。

浙江四校2024年高一10月联考数学试题+答案

2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科试题卷命题人：浦江中学徐德荣校对人：浦江中学于杭君考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A BxA ==，则()AA B ∩= （） A.{}2,3,5 B.{}3,4,9 C.{}1,4,9 D.{}1,2,3 2.如图，已知全集U =R ，集合{}{}1,2,3,4,5,12A B xx ==−≤≤∣，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.3B.4C.7D.83.已知,x y ∈R ，则“0xy =”是“220x y +=”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知0,0a b a +><，那么,,,a b a b −−的大小关系是（） A.b a b a >−>−> B.a b a b >−>−> C.b a a b >−>>− D.a b a b >>−>−5.命题“230,x x x ∃>>”的否定是（） A.230,x x x ∀>> B.230,x x x ∀>≤ C.230,x x x ∀≤≤ D.230,x x x ∃>≤6.若命题“[]21,3,20x x x a ∃∈−−−≤”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是（）A.1−B.0C.1D.37.已知关于x 不等式()()20x ax b x c−+≥−的解集为(](],21,2∞−−∪，则（）A.2c =B.点(),a b 在第二象限C.22y ax bx a +−的最大值为3aD.关于x 的不等式20ax ax b +−≥的解集为[]2,1−8.若数集{}()1212,,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥ 具有性质P ：对任意的,(1),i j i j i j n a a ≤<≤与j ia a 中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则（）A.“权集”中一定有1B.{}1,2,3,6为“权集”C.{}1,2,3,4,6,12为“权集”D.{}1,3,4为“权集”二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二.五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知{}*32,A xx n n ==+∈N ∣，{}{}**53,,72,B xx n n C xx n n ==+∈==+∈N N ∣∣，若()x A B C ∈∩∩，则下列选项中符合题意的整数x 为（）A.23B.133C.233D.33310.根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A.自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积.B.购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.用第一种方式购买比较经济.C.某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率等于2a b+. D.金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店内购买20g 黄金，店员先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.记顾客实际购得的黄金为g x ，则20x >.11.若正实数,x y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（）A.xy 有最大值为18B.14x y+有最小值为6+ C.224x y +有最小值为12 D.()1x y +有最大值为12三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校举办秋季运动会时，高一某班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，借助韦恩图，可知同时参加田赛和径赛的有__________人.13.甲､乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度x （千米/时）的平方成正比，比例系数为2，固定部分为5000元.为使全程运输成本最小，汽车的速度是__________千米/时. 14.若一个三角形的三边长分别为,,a b c ，记()12p a b c =++，则此三角形面积S ，这是著名的海伦公式.已知ABC 的周长为9,2c =，则ABC 的面积的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60 ，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值.16.（本题满分15分）已知集合{}215A xx =−≤−≤∣､集合{}()121B x m x m m =+≤≤−∈R ∣. （1）若4m =，求()A B ∪R ；（2）设命题:p x A ∈；命题:q x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围 17.（本题满分15分）如图，ABDC 为梯形，其中,AB a CD b ==，设O 为对角线的交点.GH 表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL 表示平行于两底且使梯形ABLK 与梯形KLDC 相似的线段，EF 表示平行于两底且过点O 的线段，MN 表示平行于两底且将梯形ABDC 分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段,,,GH KL EF MN与代数式2112a b a b++之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？18.（本题满分17分）已知二次函数22y ax x c =++（1）若0y >的解集为{23}xx −<<∣，解关于x 的不等式220x ax c +−<；（2）若a c >且1ac =，求22a ca c+−的最小值；（3）若2a <，且对任意x ∈R ，不等式0y ≥恒成立，求442a c a++−的最小值.19.（本题满分17分）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈∣，{|,,}T x x a b a b A ==−∈（实数,a b 可以相同）（1）若集合{}2,5A =，直接写出集合S T ､；（2）若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+；（3）若集合{}02021,,A x x x S T ⊆≤≤∈∩=∅N ，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.2024学年第一学期高一年级10月四校联考数学学科参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 ADBCBADB二､多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.14.由海伦公式及基本不等式求解即：9,22pc AB ===，则a b +=周长927c −=−=，故()()()2972;p a p b p a b S −+−=−+=−= 99222a b−+− ==≤= 等号成立时，9922a b −=−，即72a b == 15.设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点,B C 作下底的垂线，垂足分别为,E F，则,2a BE AE DF ===，则下底22a aAD b a b =++=+，该等腰梯形的面积())22b a b S a b a ++==+=，所以()2300a b a +=，则30022ab a =−，所用篱笆长为300300322302222a a l a b a a a ++−+≥，当且仅当300322aa =，即()()10m ,10m ab =时取等号.所以，当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m . 16.（1）由题意可知{}{}21516A xx x x =−≤−≤=−≤≤∣∣，若{}()4,57,{1,7}m B xx A B x x x ==≤≤∪=<−>R ∣∣ .（2）命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴集合B 是集合A .真子集，当B =∅时，121m m +>−，解得2m <，当B ≠∅时，12111216m m m m +≤−+≥− −≤（等号不能同时成立），解得722m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围为7,2∞ −17.因为GH 是梯形ABDC 的中位线，所以22AB CD a bGH++==；因为梯形ABLK 与梯形KLDC 相似，所以AB KL KL CD=，所以KL；因为,AEO ACD DOF DAB ∽∽，所以,OE OA OF OD b DA a AD ==，所以1OE OF b a+=，所以 111OE OF a b==+，所以211EF a b=+，设梯形,MNDC ABNMABDC 的面积分别为12,,S S S ，高分别为12,,h h h ，则()()()121211,22S S S a b h b MN h a MN h ==+=+=+，所以()()1122a b h a b h h a MN b MN+++=++，所以()11112a b a MN b MN ++= ++ ，所以MN =由图可知，EF KL GH MN <<<，即2112a b a b+<<<+证明：显然2112a ba b +><+因为222a b ab +>，所以()2222()a b a b+>+<，所以2112a b a b+<<<+18.（1）由已知220ax x c ++>的解集为{23}x x −<<∣，且0a <，所以2,3−是方程220ax x c ++=的解，所以()223,23ca a−+=−−×=，所以2,12a c =−=，所以不等式220x ax c +−<可化为24120x x −−<，所以26x −<<，故不等式220x ax c +−<的解集为{26}xx −<<∣ （2）因为1ac =，所以()222()22a c a c ac a c a c a c a c+−+==−+−−− 因为a c >，所以0a c −>，由基本不等式可得()222a c a c a c a c+=−+≥−−当且仅当1a cac −=时等号成立，即当且仅当ac 所以22a c a c+−的最小值为；（3）因为对任意x ∈R ，不等式220ax x c ++≥恒成立，所以0,440a ac >−≤，所以2444411440,1,22211c a c a a a a a ac a a a++++++>≥=≥−−−，令21t a =−，则20,1t t a >=+，所以()2(1)211444482t t a c t a t t++++++≥=++≥−，当且仅当23,1ac a==时等号成立，即当且仅当23,32a c ==时等号成立，所以442a c a++−的最小值为8. 19.（1）因为集合{}{}2,5,,,,{|,,}A S x x a b a b A T x x a b a b A ===+∈==−∈∣，所以由224,257,5510+=+=+=，可得{}4,7,10S =，220,550,253−=−=−=，可得{}0,3T =. （2）由于集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，则T 集合的元素在2131413242430,,,,,,x x x x x x x x x x x x −−−−−−中，且2131414342410,x x x x x x x x x x x x <−<−<−−<−<−，而A T =，故A 中最大元素4x 必在T 中，而41x x −为7个元素中的最大者，故441x x x =−即10x =，故{}2340,,,A x x x =，故T 中的4个元素为2340,,,x x x ，且324243,,x x x x x x −−−与234,,x x x 重复，而3230x x x <−<，故322x x x −=即322x x =，而4340x x x <−<，故4340x x x <−<，故432x x x −=或433x x x −=，若43224x x x ==，则{}2222220,,2,4,43A x x x x x x T =−=∉，与题设矛盾；故432x x x −=即4132x x x x +=+（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12k a a a <<< ，则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a −<+<+<<+<+<+<<+< ， 112131121,,k S k a a a a a a a a T k ∴≥−−<−<−<<−∴≥S T ∩=∅ ，由容斥原理31,S T S T k S T ∪=+≥−∪中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，()21,312140431,k k S T a k a k k ∪≤+∴−≤+≤≥∈N ，即314043,1348k k −≤∴≤.实际上当{}674,675,676,2021A = 时满足题意，证明如下：设{},1,2,,2021,A m m m m =++∈N ，则{}2,21,22,,4042S m m m =++ ，{}0,1,2,,2021Tm − ，依题意有20212m m −<，即2673,3m >故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{}674,675,676,,2021A = 时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1348.。

浙江省2023-2024学年高一下学期3月四校联考数学试题含答案

2023学年第二学期高一年级四校联考数学学科试题卷（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,2,3,4}A =，{1,2,3,4,6}A B = ，{2,4}A B ⋂=，则B =（）A.{1,2,4} B.{2,3,4}C.{2,4,6}D.{1,4,6}【答案】C 【解析】【分析】根据集合的交集和并集概念及运算即可求解.【详解】因为{1,2,3,4}A =，{1,2,3,4,6}A B = ，所以6B ∈，{1,2,3,4,6}B ⊆.又因为{1,2,3,4}A =，，{2,4}A B ⋂=，所以2B ∈，4B ∈，1B ∉，3B ∉.故{2,4,6}B =故选：C.2.设()()1122,,,a x y b x y == ，则“1212y y x x =”是“//a b ”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件【答案】A 【解析】【分析】先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案.【详解】若1212y y x x =，则1221x y x y =，即12210x y x y -=，故//a b ，充分性成立，不妨设()()0,1,0,2a b == ，此时//a b，但不满足1212y y x x =，故必要性不成立，所以“1212y y x x =”是“//a b ”的充分非必要条件.故选：A3.已知向量(3,4)a = ，(2,)b m =- ，(2,1)c =-，若()a b c -⊥ ，则m =（）A.6- B.2- C.6D.132【答案】A 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可求解.【详解】根据题意，()5,4a b m -=-，又()a b c -⊥，所以()0a b c -⋅= ，即()()52410m ⨯+-⨯-=，解得6m =-.故选：A4.在四边形ABCD 中，O 为任意一点，若0OA OB OC OD -+-=，则（）A.四边形ABCD 是矩形B.四边形ABCD 是菱形C.四边形ABCD 是正方形D.四边形ABCD 是平行四边形【答案】D 【解析】【分析】根据向量的减法可得AB DC =，进而分析求解即可.【详解】因为0OA OB OC OD -+-= ，则0BA DC +=uu r uuu r r ，即AB DC =，可知,AB CD 两边平行且相等，所以四边形ABCD 是平行四边形，但没有足够条件判断ABCD 是否为矩形、菱形或正方形，故ABC 错误，D 正确.故选：D.5.在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.4a =，5b =，6c =B.a =2b =，45A =oC.10a =，45A =o ，70B =D.3a =，2b =，60A =【答案】B 【解析】【分析】由余弦定理可判定选项A ，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B ，C ，D.【详解】对于A ，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A 错误；对于B ，根据正弦定理sin sin a b A B =得，sin 3B == ，又b a >，45B A ∴>= ，B 有两解，故B 符合题意；对于C ，由正弦定理：sin sin a b A B =得：sin 410sin 70in 750b ==，C 只有一解，故C 不符合题意.对于D ，根据正弦定理sin sin a b A B =得，2sin 60sin 33B == ，又b a <，60B A ∴<=o ，D 只有一解，故D 不符合题意.故选：B6.已知六边形ABCDEF 为正六边形，且AC a =，BD b =，以下不正确的是（）A.2133DE a b=-+B.1133BC a b=+C.2233AF a b=-+D.2433BE a b=-+【答案】C 【解析】【分析】根据正六边形的特征求出12,33MC a AM a == ,12,33BM b MD b ==，再由向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解.【详解】如图，设AC BD M= 因为六边形ABCDEF 为正六边形，所以120ABC BCD ︒∠=∠=，且ABC DCB ≅ .又ABC 是等腰三角形，所以30BAC BCA ︒∠=∠=，从而可有90ACD DBA ︒∠=∠=，则1sin 302CM BM AM AM ︒===，所以12,33MC a AM a == ,同理有12,33BM b MD b == .所以2133DE BA MA MB a b ==-=-+，所以选项A 不符合题意；1133BC BM MC b a =+=+，所以选项B 不符合题意；1233AF MD a b CD CM ==+=-+，所以选项C 符合题意；24233B a b E AF ==-+，所以选项D 不符合题意.故选：C7.鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A 测得山顶P 得仰角为45︒，沿倾斜角为15︒的斜坡向上走了90米到达B 点（A ，B ，P ，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 得仰角为60︒，则鼎湖峰的山高PQ 为（）米A.45B.45C.)901D.)901【答案】B 【解析】【分析】在ABP 中，利用正弦定理求AP ，进而在Rt PAQ 中求山的高度.【详解】在ABP 中，则453015BPA ∠=-= ,()180180451515135,ABP BAP APB ∠=-∠-∠=---=因为sin sin AP ABABP APB=∠∠，且()sin15sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 454-=-=-=，则290sin 90sin1352sin sin15624AB ABP AP APB ⨯∠===∠oo，在Rt PAQ中，则sin 45452PQ AP === .故选：B.8.已知点P 是ABC 所在平面内的动点，且满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭(0)λ>，射线AP 与边BC 交于点D ，若23BAC π∠=，||1AD = ，则||BC 的最小值为（）A.B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】由已知得AB AC AP AB ACλ⎛⎫⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 在BAC ∠的平分线上，即AD 为BAC ∠的角平分线，利用正弦定理得2sin BD B =，2sin CD C=，可知112sin sin BC B C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质可求最小值.【详解】AB AB 表示与AB 共线的单位向量，AC AC 表示与AC 共线的单位向量，AB AC AB AC ∴+uu u r uuu r uu u r uuu r 的分向与BAC ∠的平分线一致，AB ACOP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uu r Q uu u r uuu r ，AB AC OP OA AP ABACλ⎛⎫⎪∴-==+ ⎪ ⎪⎝⎭uu u ruuu r uu u r uu r uu u r uu u r uuu r 所以点P 在BAC ∠的平分线上，即AD 为BAC ∠的角平分线，在ABD △中，3BAD π∠=，||1AD =，利用正弦定理知：2sin sin 3sin AD BD B Bπ=⨯=同理，在ACD中，2sin sin 3sin AD CD C Cπ=⨯=1122sin sin 2sin sin BC BD CD B C B C ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中3B C π+=分析可知当6B C π==时，BC取得最小值，即min 3122sin 6BC π=⨯⨯=故选：C二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.1(1,2)e =- ，2(5,7)e =B.1(4,5)e =-，211,54e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.1(2,3)e = ，2(0,0)e =D.1(1,2)e =- ，2(2,1)e =【答案】AD 【解析】【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示判断作答.【详解】由于17250-⨯-⨯≠，所以1(1,2)e =- ，2(5,7)e =不共线，可以作为基底，A 正确；由于()1145045⎛⎫⨯--⨯-= ⎪⎝⎭，所以1(4,5)e =- ，211,54e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭共线，不可以作为基底，B 错误；由于零向量与任意非零向量都共线，所以1(2,3)e = ，2(0,0)e =共线，不可以作为基底，C 错误；11220-⨯-⨯≠，所以1(1,2)e =- ，2(2,1)e =不共线，可以作为基底，D 正确.故选：AD 10.函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.)3π(2y f x =+是奇函数C.π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D.若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,66t ∈【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(26f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(2)2co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ()cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin(cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin(cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,66t ∈，D 正确.故选：ACD11.在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，O 为ABC 内的一点，设AO AB AC λμ=+，则下列说法正确的是（）A.若O 为ABC 的重心，则23λμ+=B.若O 为ABC 的外心，则2532λμ+=C.若O 为ABC 的内心，则38λμ+=D.若O 为ABC 的垂心，则716λμ+=【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由重心可知0OA OB OC ++=，根据AB OB OA =- ，AC OC OA =- ，整理可得11AO OB OC λμλμλμ=+---- ，即可判断；对B ，由等腰三角形的性质可得λμ=，由外心可知2222222AO AB AC AB AC λλλ=++⋅ ，结合余弦定理可得AB AC ⋅uu u r uuu r ，进而判断；对C ，由内心可知0BC OA AC OB AB OC ⋅+⋅+⋅=，结合11AO OB OC λμλμλμ=+---- ，即可求解判断；对D ，由垂线可知OB AC ⊥，则()2AO AC OB OA AC AC λλ⋅=-⋅+ ，整理可得()21AO AC AC λλ-⋅= ，而AO AE EO =+，代入求解，即可判断.【详解】对于A 选项，重心为中线交点，则0OA OB OC ++= ，即AO OB OC =+，因为()()AO AB AC OB OA OC OA λμλμ=+=-+-，则11AO OB OC λμλμλμ=+---- ，所以11λλμ=--，11μλμ=--，所以23λμ+=，故A 正确；对于B 选项，外心为垂直平分线交点，即ABC 的外接圆圆心，因为5AB AC ==，设D 为边BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，//AO AD，所以λμ=，因为AO AB AC λμ=+ ，所以2222222AO AB AC AB AC λλλ=++⋅ ，在ABC 中，2222525367cos 225525AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，则24sin 25A ==，22sin BCR AO A== ，所以22226725252552425225λλλ⎛⎫ ⎪=++⋅⨯⨯ ⎪ ⎪⨯⎝⎭，易知0λ>，所以2564λ=，所以2532λμ+=，故B 正确；对于C 选项，内心为角平分线交点，AB ACc b、分别为AB AC 、方向上的单位向量，∴AB AC c b+平分BAC ∠,(AO λ∴= AB ACc b +)，令bc a b c λ=++∴bc AO a b c =++（AB ACc b+)化简得()0a b c OA bAB c AC ++++=∴0aOA bOB cOC ++=则0BC OA AC OB AB OC ⋅+⋅+⋅=，即6550OA OB OC ++=，所以5566AO OB OC =+ ，由A 选项，则516λλμ=--，516μλμ=--，则165λμ==，所以58λμ+=，故C 错误；对于D 选项，垂心为高线交点，设BE AC ⊥，垂足为边AC 上点E ，则B ，E ，O 共线，根据等腰三角形的性质，已知AO AB AC λμ=+，λμ=，所以()()2AO AC AB AC AC OB OA AC AC λλλ⋅=+⋅=-⋅+ ，因为OB AC ⊥，则2AO AC OA AC AC λλ⋅=-⋅+ ，即()21AO AC AC λλ-⋅= ，因为AO AE EO =+，所以()()21AE EO AC AC λλ-+⋅= ，即()21AE AC AC λλ-⋅= ，因为11sin 22ABC S AB AC A AC BE =⋅⋅=⋅ ，所以245BE =，所以75AE ==，所以()271555λλ-⨯⨯=⨯，解得732λ=，所以716λμ+=，故D 正确.故选：ACD【点睛】知识点点睛：ABC 的“四心”，可知：（1）重心O 为中线交点，则0OA OB OC ++=；（2）内心O 为角平分线交点，内切圆圆心，则0BC OA AC OB AB OC ⋅+⋅+⋅=；（3）外心O 为垂直平分线交点，外接圆圆心，则OA OB OC ==；（4）垂心O 为高线交点，则0OA BC OB AC OC AB ⋅=⋅=⋅=.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量a →与b →的夹角为30︒，||a →=||1b →=，则||a b →→+=__________．【解析】【分析】根据a b +=【详解】∵31cos302a b ⋅=⨯︒=，∴a b += ..13.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b ¹，2c =，sin 2A =，22cos cos cos sin 22A B A A B -=-，则ABC 的面积是__________．【答案】33+【解析】【分析】由已知利用三角函数恒等变形化简，得ππsin(2)sin(2)66A B -=-，可得2π3A B +=，从而可得π3C =，又π4A =，正弦定理可求a ，再由三角形面积公式得解.【详解】由题意得，1cos 21cos 2sin 2sin 22222A B A B ++-=-，即11sin 2cos 2sin 2cos 22222A AB B -=-，ππsin(2sin(2)66A B -=-，由a b ¹得，A B ≠，又()0,πA B +∈，得ππ22π66A B -+-=，即2π3A B +=，所以π3C =；由2c =，2sin 2A =，sin sin a c A C =得3a =，由a c <，得A C <，从而π4A =，2cos 2A =，故ππππππ62sin sin sin cos cos sin 3434344B +⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，所以ABC 的面积为133sin 23S ac B +==．故答案为：333+14.已知函数1π()sin sin 224f x m x x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭在π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则满足条件的所有m 的值组成的集合是_________．【答案】{}22,3--【解析】【分析】将原函数转化为同角三角函数21π1π()sin 2sin 12424f x m x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用对勾函数的性质数形结合，分类讨论处理即可.【详解】解：21ππ1π1π()sin cos 2sin 2sin 12422424f x m x x m x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=-+-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1ππsin [0,1],2π242t x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-∈∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，则221π1πsin 2sin 1212424m x x t mt ⎛⎫⎛⎫-+-+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()20210f x t mt =⇔++=*当0=t 时，显然()0f x =无解；当10t ≥>时()*可化为12m t t-=+.利用对勾函数的性质与图象可知（如下图所示）：)22,m ⎡-∈+⎣∞①当m -=时，即1π2sin 242x t ⎛⎫-==⎪⎝⎭，此时πx =或2πx =，符合题意；②当3m -=时，即1t =或12t =，此时3π2x =或5π6x =，符合题意；③当3m ->时，即12t <，由1π1πsin ,2π2422t x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-<∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭可得1ππ0,246x ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，易知当012t t =<时，只有一个解0x 满足，不符合题意；④当()m -∈时，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭即1π1sin ,1242x ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程12m t t -=+有两根，不妨记为12,t t ，其中11π1sin ,2422t x ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只有一个根，21πsin 242t x ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有两个根，故方程有3个解，也不符合题意.∴满足条件的所有m 的值组成的集合是：{}3--.故答案为：{}3--四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平面直角坐标系中，已知点(1,2)A --，(3,1)B ，(4,3)C --．（1）求向量AB 在AC的投影向量的坐标；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）93,22⎛⎫⎪⎝⎭（2）52．【解析】【分析】（1）由投影向量的定义求解即可；（2）由数量积的定义和模长公式求出cos BAC ∠，再由同角三角函数的基本公式求出sin BAC ∠，最后由三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】因为(4,3)AB = ，(3,1)AC =--，所以AB 在AC 上的投影向量为：2224(3)3(1)393,(3)(1)222AB AC AC AC AC AC⋅⨯-+⨯-⎛⎫⋅=⋅=-= ⎪-+-⎝⎭．【小问2详解】5AB ==，AC == ，4(3)3(1)15AB AC ⋅=⨯-+⨯-=-，cos 10AB AC BAC AB AC⋅∴∠==-⋅ ，()0,πA ∈，sin 10BAC ∴∠=，115sin 522102ABCS AB AC BAC ∴=⋅⋅∠=⨯= ．16.已知函数()()222log log 2f x x x =--．（1）若()0f x <，求x 的取值范围；（2）当184x ≤≤时，求函数()f x 的值域．【答案】（1）1,42⎛⎫⎪⎝⎭（2）9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）设2log t x =，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数的定义域解不等式即可；（2）设2log t x =，可得[]2,3t ∈-，该函数可转化为关于t 的二次函数，根据二次函数的性质求值域.【小问1详解】设2log t x =，0x >，R t ∈，所以()()222log log 20f x x x =--<，即220t t --<，解得12t -<<，所以21log 2x -<<，解得142x <<，即1,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）得，当184x ≤≤，[]2,3t ∈-，所以函数可转化为22y t t =--，[]2,3t ∈-，当12t =时，y 取最小值为94-，当2t =-或3t =时，y 取最大值为4，即当x =()f x 取最小值为94f =-，当14x =或8x =时，()f x 取最大值为()1844f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.17.如图，在ABC 中，D 是BC 中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．（1）用AB ，AC表示AO ；（2）过点O 作直线交线段AB 于点G ，交线段AC 于点H ，且23AG AB = ，AH t AC =，求t 的值；（3）若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，求ABAC的值．【答案】（1）1144AO AB AC=+（2）25t =（3）ABAC=【解析】【分析】（1）由E ，O ，C 三点共线，得(1)AO AE AC μμ=+- ，又AO AD λ= ，从两个角度用AB ，AC表示AO，从而得,λμ的值得解；（2）因为H ，O ，G 三点共线，所以(1)AO mAG m AH =+- ，转化为用AB ，AC表示AO ，可得,m t 的值；（3）用AB ，AC表示,AO EC ，从而进行数量积运算.【小问1详解】因为A ，O ，D 三点共线，所以AO AD λ=，()R λ∈，且E ，O ，C 三点共线，所以存在实数μ，使(1)AO AE AC μμ=+-，其中D 是BC 中点，且2BE EA =，所以()()11112222113AO AD AB AC AB AC AO AE AC AB AC λλλμμμμ⎧⎛⎫==+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+-=+-⎪⎩即()123112μλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得12λ=，34μ=，所以1144AO AB AC =+ ．【小问2详解】因为H ，O ，G 三点共线，所以存在实数m ，使(1)AO mAG m AH =+-，其中23AG AB = ，AH t AC = ，所以2(1)3m AO AB m t AC =+-，根据平面向量基本定理可得：()2134114m m t ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即3825m t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以25t =．【小问3详解】11166443AB AC AO EC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22312233AB AC AB AC ⎛⎫=-++⋅ ⎪⎝⎭，整理可得：2213AC AB =，所以ABAC =18.已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，cos()cos sin cos a B C a A B A -+=．（1）求A 的大小；（2）若2BC =，将射线BA 和射线CA 分别绕点B ，C 顺时针旋转15︒，30︒，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC ∠=︒，求AD ．【答案】（1）60A =︒（2）3．【解析】【分析】（1）利用两角和（差）的余弦公式展开得到sin sin sin cos a B C B A =，再利用正弦定理将边化角，即可求出tan A ，从而得解；（2）在ABC 中，由正弦定理求出AC ，再在BCD △中，由正弦定理求出CD ，最后在ACD 中利用余弦定理计算可得.【小问1详解】cos cos()A B C =-+，cos()cos sin cos a B C a A B A -+=，cos()cos()sin cos a B C a B C B A ∴--+=，cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin cos a B C a B C a B C a B C B A ∴+-+=，sin sin sin cos a B C B A ∴=，由正弦定理可得sin sin sin sin cos A B C C B A =，又在ABC 中sin 0C >，sin 0B >，所以tan A =，又因为0180A <<︒︒，所以60A =︒．【小问2详解】依题意15ABD ∠=︒，30DBC ∠=︒，所以=45ABC ∠︒，所以180604575ACB ∠=︒-︒-︒=︒，又30ACD ∠=︒，所以180********BDC ∠=︒-︒-︒-︒=︒，在ABC中，由正弦定理得sin sin 23BC AC ABC BAC =∠==∠，在BCD △中，由正弦定理得1sin sin 22BC CD DBC BDC =∠==∠，于是，在ACD中，由余弦定理得AD =3=．19.古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a ，b ，c 计算三角形面积的公式：S =，这个公式常称为海伦公式.其中，()12p a b c =++.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a ，b ，c 计算三角形面积的公式：S =，这个公式常称为“三斜求积”公式.（1）利用以上信息，证明三角形的面积公式1sin 2S ac B =；（2）在ABC 中，8a c +=，sin tan22cos B AA=-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合余弦定理分析证明；（2）利用三角恒等变换结合正弦定理分析可得2b a c =+，再运用题中公式结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为222cos 2c a b B ac +-=，即222cos 2c a b ac B +-=，可得S =12==且()0,πB ∈，则sin 0B >，所以1sin 2S ac B =.【小问2详解】因为2sin2sin cossin 222tan 21cos cos 2cos 22B B BB B B B B ===+，由题意可得sin sin 1cos 2cos B AB A=+-，即()()sin 2cos sin 1cos B A A B -=+，整理得()2sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin B A A B A B A A B A C =++=++=+，由正弦定理可得28b a c =+=，即42a cb +==，ABC的面积S ==因为()2164a c ac +≤=，当且仅当a c=时，等号成立，则S =≤所以ABC 面积的最大值为。

江苏省无锡市四校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题

(2)过点
O
的直线与边
AB
，
AC
分别交于点
E，F（图
2），设
uuur EB
=
l
uuur AE
，
uuur FC
=
m
uuur AF
．
（i）求证 2l + m 为定值；
（ii）设△AEF 的面积为 S1 ， VABC 的面积为 S2 ，求 S1 的最小值． S2
22．如图，某公园改建一个三角形池塘，∠C = 90o ， AB = 2 百米， BC =1 百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
江苏省无锡市四校 2022-2023 学年高一下学期期中联考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数
z
=
2+i 1-i
，则
z
×
z
=
（
）
A．1
B． 3 2
C．2
D． 5 2
2．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形，则原平面图形的面积为（）
分别为 3cm ， 4cm ， 5cm .
试卷第51 页，共33 页
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V ；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.
21．如图所示，在
VABC
中，
P
在线段
BC
上，满足
uuur 2BP
=
uuur PC
，
O
是线段

湖北省高一下学期期中联考数学试题 Word版含解析

高一年级期中教学质量抽测
数学
本试卷共 4 页，22 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
4
28
令 kπ π π ，解得 k 1 Z ，不合题意；
பைடு நூலகம்2 84
4
令 kπ π π ，解得 k 0 Z ，符合题意； 2 88
故 C 正确，D 错误；
故选：C.
5. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一
个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为 S1 ，小正方形的
0
，则 cos
A
0 ，由
A0, π
，则 A
为锐角，
但△ABC 不一定为锐角三角形，故 D 错误；故选：C
2. 已知 A3, 2 ， B 1, 5 ， C 1, 2 ，则 cos BAC （）
A. 2 5 25
B. － 2 5 25
C. 5 25
D. － 5 25
【答案】B
【解析】
【分析】确定
AB
B. 4 3 5
C. 4 3 3 5
D. 4 3 3 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得 3 sin C sin A sin Asin C ，得到 2
cos A 2
3 ，求得 A π ，再由 tan B 3 ，求得 sin B, cos B 的值，由 sin C sin( A B) 求得 sin C 的

2025届四校联考高三数学期中考试试卷及答案

上海（四校联考）2024学年高三数学第一学期期中考试试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合{}265<0A x x x =-+，{}0,1,2B =，则A B ⋂=___________．【答案】：{}22．已知向量(1,2)a =- ，(3,2)b = ，则b 在a方向上的数量投影为_____________．【答案】：52.53．曲线xy e =在点(01)，处的切线方程为_______．【答案】：1y x =+4．某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为__________．【答案】：1205．二项式6(3x 的展开式中，常数项为_______．【答案】：18-6．关于x 的方程100910152024x x x +++-=的解集为__________．【答案】：{}07．已知>0x ，>0y ，4x y xy +=，则x y +的最小值为________．【答案】：98．《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺.”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为________平方尺．【答案】：41π9．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为2x xe e shx --=，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移12个单位，再向上平移2个单位，得到函数()y f x =的图象，并且数列{}n a 满足条件(2025n na f =，则数列{}n a 的前2024项和2024S =________________．【答案】：202310.已知椭圆Γ：22143x y +=，点1F 和2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则12PF F △内切圆半径的最大值为__________．【答案】：404811.在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+________．【答案】：3312．若关于x 的方程2(ln )20x x e a x x a -⋅-+-=在(0,1]上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是________．【答案】：311(,]3e e二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13．设z C ∈，则1z R z+∈是1z =的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】：B14．在ABC △中，10BC =，M 为BC 中点，4AM =，则AB AC ⋅= （）．A .9-B .16-C .9D .16【答案】：14. A15．已知定义在R 上的函数()y f x =，其导数为()f x '，记()()g x f x '=，且()()4f x f x x --=，()(2)0g x g x +-=，则下列说法中正确的个数为（）．（1）(0)1g =；（2）()f x y x=的图象关于(0,2)对称；（3）()(2)0f x f x +-=；（4）21()nk g k n n==-∑．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】：B16．已知正项数列{}n a 满足1112ln n n n a a a ++=-，下列说法正确的是（）．A ．当10<<1a 时，数列{}n a 单调递减B ．当1>1a 时，数列{}n a 单调递增C ．当10<<1a 时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，01<2n n a D ．当1>1a 时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，0<2n n a 【答案】：D三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.【解析】：（1）成绩在区间[80,100]的比例为：(0.0100.005)100.150.35+⨯=<；（2分）成绩在区间[70,100]的比例为：0.150.04100.550.35+⨯=>，因此65%分位数位于区间[70,80)；（4分）因此入围分数为：0.40.27010750.4-+⨯=，因此入围分数应设为75分；（6分）（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此0,1,2X =，(0)P X =2426C C =25=（8分）1124268(1)15C C P X C ⋅===（10分）(2)P X =2226C C=115=，则X 的概率分布为：01228151515⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（12分）所以X 的数学期望为812[]1215153E X =⨯+⨯=.（14分）18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()y f x =是定义在(1,1)-上的奇函数，并且当0x >时，()cos sin(223x x f x π=⋅+2cos 2x（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求关于x 的不等式21(log 1)()(0)2f x f x f ++-<的解集.【解析】：（1）当01x <<时，()fx 1sin()234x π=-+；（2分）当0x =时，()0f x =；当10x -<<时，0x ->，()()f x f x -=-=1sin(234x π+-；（4分）因此1sin(1234()0, 0133sin()1 0234x x f x x x x ππ⎧-+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+--⎪⎩<<<<；（6分）（2）当(0,1)x ∈时，13336x ππππ---<<<，因此有()y f x =在(0,1)上严格增；（8分）而当0x =时1333sin()02342x π-+=>，因此有()y f x =在(1,1)-上严格增；原不等式可化为：21(log 1)()2f x f x +-<；（10分）而()y f x =是定义在(1,1)-上的严格增函数，所以221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-+⎪⎪--⎨⎪⎪+-⎪⎩<<<<<；（12分）因此不等式的解集为11(,42.（14分）19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱锥P ABC -中AC BC ⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC AC ===，4BC =，E ,F 分别是PC ，PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l.（1）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在AC 的同侧），且直线PQ 与直线EF 所成的角为4π，求平面PBQ 与平面AEF 所成的锐二面角的余弦值.【解析】：（1）证明：BC AC ⊥ ，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =BC ∴⊥平面PAC ；（2分）又E 、F 分别为PB 、PC 的中点，//BC EF ∴；（4分）EF ∴⊥平面PAC ；（6分）（2）BC AC ⊥ ，∴以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,4,0)B，P，1(,0,)22E，1(,2,22F ，而//EF BC ，BC 不在平面AEF 上，EF ⊂平面AEF ，//BC ∴平面AEF ，//l BC ∴，设Q 点坐标为(2,,0)(0)y y ≥，(1,PQ y = ，(0,2,0)EF = ，cos ,PQ EF ∴=2=，即2y =，则Q 点坐标为(2,2,0)；（8分）设平面PBQ 的法向量000(,,)n x y z = ，即0n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取01x =，可得n = ；（10分）设平面AEF 法向量为111(,,)m x y z = ，则0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取11x =，可得m = ；（12分）cos ,5m n ∴== ，即平面PBQ 与平面AEF所成的锐二面角的余弦值为5.（14分）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知点G 是圆22:(1)16T x y ++=上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为(1,0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线OM 、ON 的斜率分别为1k 和2k 且1234k k =-，则MON △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长OP 至Q ，使3OQ OP =，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E于A 、B 两点，求AQB △面积的最大值.【解析】：（1）RH RG =，则42RT RH RT RG GT TH +=+===>，则曲线C 是以(1,0)-和(1,0)为焦点，4为长轴的椭圆；（2分）设椭圆方程为22221x y a b +=，则2,1a c ==，2223b a c =-=，曲线C ：22143x y +=；（4分）（2）设(2cos )M ϕϕ，(2cos )N θθ，则123sin 3sin 2cos 2cos k k ϕθϕθ==⋅34-，即cos()0θϕ-=；（7分）12cos 2cos )2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△为定值；（10分）（3）设点(,)Q x y ，则点(,33x y P ，代入椭圆方程得到曲线E ：2213627x y +=；当直线l 的斜率不存在时：设:([2,2])l x n n =∈-，代入E 中有223274y n =-，则2AQB AOB S S ==≤△△（12分）当直线l 斜率存在时：设:l y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，代入E 的方程：222(43)841080k x mkx m +++-=，则122843km x x k -+=+，2122410843m x x k -=+；（14分）122AQB AOBS S m x x ==-==△△；（16分）而l 与椭圆C 有公共点，代入得：222(43)84120k x kmx m +++-=，由0∆≥有2243k m +≥，记2243m t k =+，则AQB S =≤△，综上，AQB △面积的最大值为.（18分）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()y f x =的表达式为()(2ln )()f x x ax x a R =-∈.（1）当1a =时，求()y f x =的单调增区间；（2）若当1x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：5740472ln1012233420232024+++⨯⨯⨯ >.【解析】：（1）1a =时，2()(2ln )2ln f x x x x x x x =-=-，则()2(ln 1)f x x x '=--（2分）令()ln 1g x x x =--，则1()1g x x'=-，则()g x 在(0,1)上严格减，(1,)+∞上严格增，则()(1)0g x g ≥=，即()f x 在(0,)+∞上严格增，因此函数()y f x =的增区间为(0,)+∞；（4分）（2）()22(1ln )2(ln 1)f x ax x ax x '=-+=--，记()ln 1h x ax x =--，则1()h x a x'=-，若1a ≥，则1a1≤，即1x >时()0h x >，()f x ∴在(1,)+∞上严格增，()(1)1f x f a >=>，满足要求；（6分）若(0,1)a ∈，则11a >，1(1,x a ∈时()0h x <，则1()(1,f x a 在上严格减，故当1(1,x a ∈时，()(1)1f x f a <=<，不满足要求；（8分）若(,0]a ∈-∞，则()0h x <，()f x 在(1,)+∞上严格减，则()(1)1f x f a <=<，不满足要求；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.（10分）（3）由（2）可知1a =时2()2ln 1f x x x x =->，则12ln (1)x x x x <->，取21n x n +=+，则221232ln112(1)(2)n n n n n n n n n ++++<-=+++++，即2322ln (1)(2)1n n n n n ++>+++；（14分）20222022112323420242ln 2ln()2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++∴>=⨯⨯⨯=+++∑∑ ，即572334+⨯⨯40472ln101220232024++⨯ >.。

福建省泉州市四校晋江磁灶中学等2024_2025学年高一数学下学期期中联考试题

福建省泉州市四校（晋江磁灶中学等）2024-2025学年高一数学下学期期中联考试题第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数)1(i i -在复平面内表示的点位于（）A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限 2.要得到函数)32cos(π+=x y 的图像，只须要将函数)62cos(π+=x y 的图像（）A.向左平移6π个单位长度B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度 3.如图，已知OAB ∆的直观图O A B '''∆是一个直角边长是1的等腰直角三角形，那么OAB ∆的面积是（）A.21 B.22C.1D.24.设n m ,是两条不同的直线，βα，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若,////βαm m ，则βα//B.若,n m m ⊥⊥，α则α⊥nC.若,//n m m ，α⊥则α⊥nD.若,αβα⊥⊥m ，则β//m5.已知53)tan(=+βα，41)4-tan(=πβ，那么=+)4tan(πα（） A.237 B.2313 C.1813 D.1836.若向量）（2,1=→a ，）（1,0=→b ，→→→→+-b a b k a 2与共线，则实数k 的值为（） A.1- B.2- C.1 D.27.已知圆锥的表面积为π9，且它的侧面绽开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A.1B.3C.2D.28.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为 BC 的中点，F 为 AE 的中点，则→DF =( )A.→→+-AD AB 4321B.→→-AD AB 4321C.→→-AD AB 2131D.→→+AD AB 32219.已知三棱锥ABC P -的三条侧棱两两相互垂直，且,2,7,5===AC BC AB 则此三棱锥的外接球的体积为（）A.38π B.328π C.316π D.332π 10.已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，4-π=x 是函数)(x f 的一个零点，且4π=x 是图像的一条对称轴，若)(x f 在），（69ππ上单调，则ω的最大值为（）A.18B.17C.15D.13二、多项选择题:本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，至少有2个选项是符合题目要求，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得2分，正确选项全部选出的得5分.11.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，则以下结论正确的事（）A.异面直线D A 1与1AB 所成的角为060B.直线D A 1与1BC 垂直C.直线D A 1与1BD 平行D.三棱锥CD A A 1-的体积为361a 12.ABC ∆是边长为1的等边三角形，已知向量,→→=a AB ,→→=b AC 则下列说法中正确的是（）A.)()(→→→→-⊥+b a b a B.23=⋅→→BC AB C.72=+→→b a D.若)2//()2(→→→→++b a b a λλ，则2=λ第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.=-000036cos 24cos 36sin 24sin ______________.14.已知平行四边形ABCD 的顶点)7,6(),1,3(),2,1(C B A ---,则顶点D 的坐标为___________.15.如图，在三棱柱的侧棱A A 1和B B 1上各有一动点P ,Q 且满意BQ P A =1，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥ABQP C -与三棱柱ABC C B A -111的体积比为_______________.16.如图，某湖泊湿地为拓展旅游业务，现打算在湿地内建立一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为0120的马路长度均超过2千米，在两条马路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建立两条观光线路PM ，PN ，测得2=AM ，千米，2=AN 千米，060=∠MPN ，则PN PM +的最大值为__________千米.四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知复数iiz -+=23. （1）求z 的共轭复数-z ；（2）若i b az -=+1，求实数b a ,的值.18.（本小题满分12分）已知向量,→a →b 的夹角为060，且）（1,0=→a . （1）若2=→b ，求→b 的坐标；（2）若)()(→→→→-⊥+b a b a ，R ∈λ，求→→+b a λ的最小值.第15题图第16题图19.（本小题满分12分）如图，ABCD PA 矩形⊥所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． (1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为045，求证：PCD MN 平面⊥.20.（本小题满分12分）已知函数3)6sin(sin 4)(--=πx x x f .（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的值域.21.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设()7cos cos a B b A ac +=，且sin2sin A A =.（1）求A 及a ；（2）若2b c -=，求BC 边上的高.22.（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，060=∠ABC ，ABCD AEFC 平面平面⊥，AC EF //,AB AE =,EF AC 2=.（1）求证：AEFC BED 平面平面⊥；（2）若四边形AEFC 为直角梯形，且AC EA ⊥，求二面角D FC B --的余弦值.草稿纸2024年春季四校联合测试高一年数学科试卷（参考答案）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ACDCABBBBD【解析】10.二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分. 11. ABD 12. AC二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.2114.）6,2( 15. 3:1 16.34 【解析】15.设三棱柱的体积为V ，侧棱和上各有一动点P ，Q 满意，四边形PQBA 与四边形的面积相等，故四棱椎的体积等于三棱锥的体积，因为三棱锥等于三棱柱的体积的，所以四棱锥与三棱柱的体积比为16.设，因为，所以在中，由正弦定理得，，所以，，因此．因为，所以．所以当，即时，取到最大值三、解答题:本大题共6小题，共70分.17. （1）i z -=-1 （2）2,1=-=b a【解析】解：（1）因为i ii i i i i i z +=+=+-++=-+=1555)2)(2()2)(3(23所以i z -=-1 （2）由（1）得，i ai b a b i a b az -=++=++=+1)()1(所以由复数的相等得，1,1=+-=b a a 且，解得2=b18. （1）)1,3()1,3(-==→→b b 或（2）23【解析】解：（1）设),(y x b =→，因为→→→→→→⋅>=<ba b a b a ,cos 且y y x b a =⨯+⨯=⋅→→10，11022=+=→a ，所以有2160cos 0⨯=y，解得1=y 又因为222=+=→y x b ，所以3±=x ，即)1,3()1,3(-==→→b b 或（3）因为)()(→→→→-⊥+b a b a ，所以0)()(=-⋅+→→→→b a b a ，即22→→=b a 所以1==→→b a所以202222260cos 212)(λλλλλλ++=+⋅+=+=+→→→→→→→→→→b a b b a a b a b a43)21(122++=++=λλλ所以，当21-=λ时，→→+b a λ有最小值为2319.【解析】证明(1)取PD 的中点E ，连接NE 、AE ，如图．又∵N 是PC 的中点，∴NE//DC ，NE=12DC又∵DC //AB ，AM ＝12AB ，∴AM =12CD ，∴NE=AM ，∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . ∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD . (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PDA 即为PD 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ，∴AE ⊥PD . 又∵MN ∥AE ，∴MN ⊥PD . ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD . 又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD . ∵AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE .∴CD ⊥MN ，又CD ∩PD ＝D ，∴MN ⊥平面PCD .20.（1）22T ππ==（2）[2,1]-【解析】解：（1）因为()4sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭4sin sin cos cos sin 66x x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos x x x =--cos 2)sin 2x x =---sin 22x x =-2sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以22T ππ==. （2）因为64ππ≤≤-x ，所以322ππ≤≤-x .所以32326πππ≤+≤-x ，所以1)32sin(21≤+≤-πx . 所以2)32sin(21≤+≤-πx故()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[2,1]-. 3,7)1.(21π==A a 14213)2(=h【解析】解:（1）因为()7cos cos a B b A ac +=，依据正弦定理得， 7sin cos sin cos sin ,7A B B A a C +=7sin sin ,7C a C ∴=又因为sin 0,C ≠7.a ∴=sin2sin ,2sin cos sin ,A A A A A =∴=因为sin 0,A ≠所以1cos 2A =，(0,),.3A A π∈π∴=（2）由（1）知，7,.3a A π==由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-2227,7(),b c bc b c bc ∴=+-∴=-+因为2b c -=，所以74,bc =+所以 3.bc =设BC 边上的高为h .11333sin 3.2224ABC S bc A ∴==⨯⨯=△11337,224ABC S ah h =∴⨯=△，321.14h ∴=22.（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以，又因为平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，所以平面AEFC，因为平面BDE，所以平面平面AEFC．（2）解：如图，连接FO，因为，四边形AEFC为直角梯形，且，所以可得四边形AEFO为矩形，，因为平面AEFC，平面AEFC，所以，因为，BD，平面ABCD，，所以平面ABCD，即平面ABCD，因为平面ABCD，所以，因为O为BD中点，所以，又，．所以．过B作交FC于G，则，所以为二面角的平面角，在中，所以，，同理，在中，由三角形面积公式得，则，在中，，所以二面角的余弦值为．。

高一数学下学期期中联考试题含解析试题

二中、四中2021-2021学年高一数学下学期期中联考试题〔含解析〕考试时量：120分钟分值：150分一、选择题〔每一小题5分，一共12小题〕1.以下说法正确的选项是〔〕A. 锐角是第一象限角B. 第二象限角是钝角C. 终边一样的角一定相等D. 不相等的角，终边必定不同【答案】A【解析】【分析】由题意逐一考察所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考察所给的选项：A. 锐角是第一象限角，题中说法正确；B. 是第二象限角，但不是钝角，题中说法错误；C. 和是终边一样的角，但是不相等，题中说法错误；D. 和不相等，但是终边一样，题中说法错误；应选：A.【点睛】此题主要考察角的概念的推广与应用，属于根底题.的是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意逐一考察所给函数的最小正周期即可.【详解】逐一考察所给函数的最小正周期：A. 的最小正周期为；B. 的最小正周期为；C. 的最小正周期为；D. 的最小正周期为；应选：A.【点睛】此题主要考察三角函数的最小正周期及其断定等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.3.以下区间中，使函数为增函数的是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】解:因为使函数为增函数，那么结合正弦函数图像可知，选C，，且，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得到x的方程，解方程即可确定x的值.【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：.应选：B.【点睛】此题主要考察向量垂直的充分必要条件，属于根底题.5.以下各式中正确的选项是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】逐一考察所给的不等式是否成立即可.【详解】由三角函数的单调性和性质可得：,而，所以，选项A错误；，，故，选项B错误；，选项C正确；，选项D错误；应选：C.【点睛】此题主要考察三角函数的单调性，三角函数值的大小比拟问题等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.6.是第二象限角，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合同角三角函数根本关系和三角函数的符号即可确定三角函数式的值.【详解】由题意可得：，故，是第二象限角，那么，故.应选：B.【点睛】此题主要考察同角三角函数根本关系，象限角的符号问题等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.的图象向右平移个单位长度，所得的函数解析式是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用平移变换的结论即可确定函数的解析式.【详解】由函数平移变换的性质可知，平移变换后函数的解析式为：.应选：C.【点睛】此题主要考察三角函数的平移变换，属于根底题.8.，且点位于之间，，那么点坐标为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】应用利用向量的坐标运算即可确定点P的坐标.【详解】由题意可得：，设点P的坐标为：，结合平面向量的坐标运算有：，即：,据此可得：，解得，即点P的坐标为.应选：C.【点睛】此题主要考察向量一共线的应用，平面向量的坐标运算等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.9.，，，那么〔〕A. 、、三点一共线B. 、、三点一共线C. 、、三点一共线D. 、、三点一共线【答案】A【解析】【分析】由题意结合向量的运算法那么和向量一共线定理考察所给的选项是否正确即可.【详解】由题意可知：，故，选项A正确；，选项B错误；，选项C错误；由于，选项D错误；应选：A.【点睛】此题主要考察向量的运算，向量一共线的充分必要条件等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.10.，函数的图象关于直线对称，那么的值可以是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以因为函数的图象关于直线对称，所以的值可以是，选D.是所在平面内一点，且满足，那么的形状是〔〕A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】由题意结合向量的运算法那么和三角形的性质即可确定三角形的形状.【详解】设点M为BC边的中点，由题意可得：，，据此结合题意可知：，由三角形的性质可知：的形状是直角三角形.应选：B.【点睛】此题主要考察向量的运算法那么，由向量解决三角形形状问题的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.在一个周期内的函数图像如下图。

高一数学下学期四校联考期中检测试卷及答案

高一四校期中联考数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．等差数列｛an ｝中，s10=120，那么a2＋a9= 2．等比数列｛an ｝中，满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7= 3．已知、、，则的边上的高所在直线方程为4．已知直线y=ax －2和y=（a ＋2）x ＋1互相垂直，则实数a 等于 5．在△ABC 中，已知A=450，B=150，a=1，则这个三角形的最大边的长为 6．在△ABC 中，已知a2＋b2－ab=c2，则∠C 的大小为7．已知等比数列｛an ｝中，a2=1，则其前三项和s3的取值范围是8．过点P （1，2）作一直线l ，使直线l 与点M （2，3）和点N （4，－5）的距离相等，则直线l 的方程为9．一个凸多边形各个内角的度数组成公差为50的等差数列，且最小内角为1200，则此多边形为边形10．已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则z=x －y 的最大值为11．已知数列｛an ｝是公差不为零的等差数列，若a1=1, 且a1，a2，a5成等比数列，则an=12. 定义“等积数列”为：数列｛an ｝中，对任意n ∈N*，都有anan+1=p （常数），则数列｛an ｝称为等积数列，p 为公积，现已知数列｛an ｝为等积数列，且a1=1，a2=2，则当n 为奇数时，前n 项和sn=13．不等式 ++>0的解集是{|α<<β}, 其中β>α>0，则不等式2- +>0的解集是14．等差数列的前项和为，公差. 若存在正整数，使得，则当（）时，有an sn （填“>”、“<”、“=”）二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)求与点M （4，3）的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.16．（本题满分14分）已知在等差数列{an}中，a1=31，sn 是它的前n 项的和，2210s s =（1）求sn ；（2）这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值.)1 , 1(-A )1 , 3(B )3 , 1(C ABC ∆BC a 2x b x c x x c x b x a {}n a n n S 0<d (3)m m ≥m m a S =n m >+∈N n17．（本小题满分14分）已知f （x ）=－3x2＋a （6－a ）x ＋b. 解关于a 的不等式f （1）>0;当不等式f （x ）>0的解集为（－1，3）时，求实数a ，b 的值.18. (本小题满分16分)汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”。

广东省东莞市四校年高一下册第二学期期中联考数学试题及答案【精校】.doc

东莞市四校联考第二学期期中考试高一年级数学学科试卷题号一二三四五六总分得分项是符合题目要求的。

1.圆2)3()1(22=++-y x 的圆心和半径分别为 ( ) A.2),3,1(- B.2),3,1(- C.2),3,1(- D.2),3,1(- 2.设)3,1,2(A ，)0,1,0(B 则点A 到点B 距离为（） A.13 B.12 C.13 D.323.一个扇形的弧长与面积都是5，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A ．rad 2B ．rad 23C ．rad 1D ．25rad4.已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则 ( ) A ．1312- B ．135- C ．135 D ．13125.圆1)1(:221=+-y x O 和圆9)3(:221=-+y x O 的位置关系是（）A.相交B.相切C.外离D.内含 6.已知函数)2sin()(π-=x x f ，下面结论错误的是（）A.函数)(x f 的最小正周期为π2B.函数)(x f 在区间]2,0[π上是增函数C.函数)(x f 的图像关于直线0=x 对称D.函数)(x f 为奇函数7.函数sin 2y x =的图像可由函数sin(2)3y x π=-的图像得到 ( )A ．向左平移3π个单位B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位8.已知31cos =α，97cos =β，且)2,0(,πβα∈，则=-)cos(βα （） A.21- B.2723 C.21 D.2723-9.函数),0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为（） A.)32sin(2π+=x y B.)32sin(2π-=x yC.)32sin(2π-=x y D.)322sin(2π+=x y 10.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

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2012—2013学年度第二学期期中模块考试
高一数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题(共12个小题，每小题5分，满分共60分；在所给的四个选项中，只有一项是正确的.)
1. 已知3α=-，则角α的终边所在的象限是 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2. 已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则AB AC ⋅
等于（）
A ．-2
B ．-6
C ．2
D ．3 3. 设函数()sin(2-
)2
f x x π
=，则()f x 是（）
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为
2π的奇函数 D ．最小正周期为2
π
的偶函数 4. 要得到函数cos 2y x =的图象，只需将cos(2)4
y x π
=+的图象（）
A ．向左平移8π个单位长度
B ．向右平移8π
个单位长度
C ．向左平移4π个单位长度
D ．向右平移4
π
个单位长度
5. 已知(1,2)a =
和点(0,3)A -直线l 通过点A 且平行于a ，则直线l 的方程是 ( )
A ．230x y --= B. 230x y ++= C. 260x y --= D. 260x y ++=
6. 若平面向量→
b 与向量)1,2(=→a 平行，且52||=→b ，则→
b = （）
A )2,4(
B )2,4(--
C )3,6(-
D )2,4(或)2,4(-- 7. 函数tan(2)4
y x π
=+
的图象的对称中心是 ( )
A ．(,0)4k k Z π
π-
∈ B. (
,0)24k k Z ππ
-∈
C. (
,0)28k k Z ππ-∈ D. (,0)48
k k Z ππ-∈
8. 若32ππα<<
（） A ． 2cot α
B ．2cot α-
C ． 2csc α
D ．2csc α-
8π 9. 若1sin(
)3
3π
α-=
，则5cos(
)6
π
α- 的值为（） A ．
13 B. 1
3- C.
D. 10. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则2x y +的值为（）
A ．0 B. 2 C.
2
1
D. －2 11. 设(3,sin )a α= ，)b α= ，且//a b
，则锐角α为（）
A ．0
30 B ．0
60 C ．0
75 D ．0
45 12. 若02θπ≤<且满足不等式cos sin
2
2
θ
θ
>，那么角θ的取值范围是（）
A ．(04
π， B ．3(
,
)44ππ
C ．(02
π， D ．5(,44ππ
第Ⅱ卷（非选择题共60分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，请将答案写到答题纸上.）
13. 已知点A(－1,5)和向量(6,9)AB =
,则点B 的坐标为 .
14. 设扇形的半径长为2cm ，面积为2
4cm ，则扇形的圆心角的弧度数是
15. 设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a
，)1,1(2-=-a b ，则=θcos ______________．
16. 已知函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><
的图像如图所示，则函数的解析式
为=)(x f .
三. 解答题（本大题共4个小题，共44分. 请将答案写到答题纸上）
17. （本小题10分）已知向量(3,2),(1,0),a b →
→
=-=-
（1）求|2|a b +
；
（2）当(3)//2xa x b a b +-+
时，求x 的.
18. （本小题10分）已知0<<, tan = -2απα （1）求cos α的值；
（2）求2
2
2sin sin cos cos αααα-+的值.
19. （本小题12分）已知向量(1,2),(,1)a b x →
→
==
（1）若,a b <>
为锐角，求x 的范围；（2）当(2)(2)a b a b +⊥-
时，求x 的值.
20. （本小题12分）已知函数()sin(3)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<在12
x π
=
时取得最大
值4．
(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若[,0]4
x π
∈-
,求()f x 的值域.
第III 卷（选作题共30分）
21. （本小题15分）已知(sin ,1),(sin ,cos ),()a x b x x f x a b →
→
→→
===⋅ (1)若()1f x ≥，求x 的范围； (2)求()f x 的最大值以及此时x 的值.
22. （本小题15分）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<的一条对称轴是8
x π
=．
(1) 求ϕ；
(2) 在给定坐标系画出()f x 在[,]22
x ππ
∈-
的图像； (3) 若[0,]x π∈,求()f x 的单调递减区间.
高一数学试题答题纸
2012—2013学年度第二学期期中模块考试
高一数学参考答案
一、选择题
CABBA DDDBA BC 二、填空题
13. （
5,14） 14.2 15. 10
16. 13sin()26x π+
三、解答题
17解：（1）
2(3,2)(2,0)
(1,2)a b →
→
+=-+-=-
|2|a b +=
（2）(3)(3,2)(3,0)(43,2)xa x b x x x x x +-=-+-=--
(3)//2243(2)01
xa x b a b x x x +-+----== 当时（）解得：
18.解：（1）因为0<<, tan = -2απα，
<<,2
π
απ所以cos α
=5
-
(2)原式＝222222
2sin sin cos cos 2tan tan 111
sin cos tan 15
ααααααααα-+-+==++ 19.解：（1）若,a b <>
为锐角，则0a b →→⋅>且,a b →→不同向
20,2a b x x →→
⋅=+>∴>-
当1
2
x =时，,a b →→同向
1
22
x x ∴>-≠且
(2)2(12,4),(2)(2,3)a b x a b x +=+-=-
221)(2)34023140
7
2
2
x x x x x x +-+⨯=-++===-（即解得：或
20.解：（1）3
22π
ωπ
=
=
T (2)()4
12
432,()
12
2
2,()4
04
()4sin(3)
4
f x x A k k Z k k Z f x x π
π
π
ϕππ
ϕπϕπ
π
ϕπ
=∴=⨯+=
+∈=
+∈<<∴=
∴=+ 在时取得最大值且即又
（3）[,0]4
x π
∈-
时，3[,]4
24
x π
ππ
+
∈-
1sin(3)42
x π-≤+≤
44sin(3)4
x π
-≤+≤ ()f x
的值域为[-
21.解：（1）2
2
()sin cos 1cos cos f x a b x x x x →→
=⋅=+=-+
221cos cos 1cos cos 00cos 1[2,
2]2
2
x x x x x x k k k Z
π
π
ππ-+≥∴-≤≤≤∈-
++∈
（2）2
2
()sin cos 1cos cos f x a b x x x x →→
=⋅=+=-+
22max cos ,[1,1]
151()24
1522()2334
x t t y t t t t x k x k k Z f x ππππ=∈-=-++=--+==-+=+∈=
设当即或，时，
22.解：（1）28
2
k π
π
ϕπ⋅
+=
+
,4
k k Z π
ϕπ∴=
+∈
30,1=-4
k π
πϕϕ-<<∴=-时，Q
(2) ()f x 在[,]22
x ππ
∈-
的图像
(3)3()sin(2-
)4
f x x π= 3322-2242k x k πππππ+≤≤+
59,88
k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 若[0,]x π∈，单调递减区间为5[0,],[
,]8
8
π
ππ。