2018年吉林长春市中考数学试卷(含解析)

2018年吉林省长春市初中毕业、升学考试
数学学科
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1．（2018吉林省长春市，1，3）-1
5
的绝对值是
（A）-1
5
（B）
1
5
（C）-5 （D）5
【答案】B
【解析】根据负数的绝对值是它的相反数，可知-1
5
的绝对值是
1
5
.
【知识点】绝对值
2．（2018吉林省长春市，2，3）长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资约为2 500 000 000元，2 500 000 000这个数用科学记数法表示为
（A）0.25×1010（B）2.5×1010（C）2.5×109（D）25×108
【答案】C
【解析】把一个数写成｜a｜×10n的形式（其中1≤｜a｜＜10，n为整数），这种计数的方法叫做科学记数法．其方法是：（1）确定a，a是只有一位整数的数；（2）确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，且等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前面零的个数（含
整数数位上的零）2 500 000 000＝2.5×109
.故选C.错误!未找到引用源。

【知识点】科学记数法
3．（2018吉林省长春市，3，3）下列立体图形中，主视图是圆的是
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】空间几何体的三视图首先是要确定主视图的位置，然后要时刻遵循“长对正，高平齐，宽相等” 的规律，即是空间几何体的长对正视图的长，高对侧视图的高，宽对俯视图的宽.轮廓内看见的棱线用实线画出，看不见的棱线用虚线画出.主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
A. 圆锥的主视图为三角形，不符合题意；
B. 圆柱的主视图为长方形，不符合题意；
C.圆台的主视图为梯形，不符合题意；
D.球的三视图都是圆，符合题意；
故选D.
【知识点】立体图形三视图——主视图.
4．（2018吉林省长春市，4，3） 不等式3x —6≥0的解集在数轴上表示正确的是
1
2
3
1
2
3
1230–1123
（A ） （B ） (C) (D)
【答案】B
【解析】解一元一次不等式的步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项；
（4）合并同类项； （5）系数化为1．
此题只需移项，系数化为1即可. 解：3x —6≥0 3x ≥6 x ≥2
1
2
3
【知识点】一元一次不等式 5．（2018吉林省长春市，5，3） 如图，在△ABC 中，CD 平分 ∠ACB 交AB 于点D ,过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE 的大小为
E
D
A
B C
（A ）44° （B ）40° （C ）39° （D ）38°
【答案】C
【解析】根据三角形内角和定理，可以计算出∠ACB=180°—∠A —∠B=180°—54°—48°=78°，又CD 平分 ∠ACB ，所以∠DCB=39°，因DE ∥BC ，根据两直线平行，内错角相等，所以∠CDE=∠DCB=39°. 【知识点】角平分线；两直线平行，内错角相等；三角形内角和. 6．（2018吉林省长春市，6，3）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌
谣：今有杆不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺.同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为
（A ）五丈 （B ）四丈五尺 （C ）一丈 （D ）五尺
【答案】B
【解析】本题是利用相似求物高的问题，默认已知条件：太阳光是平行光线；同一时刻，甲物高/乙物高=甲影长/
乙影长.看实际问题：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺.同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸.提取关键信息：标杆高度-----一尺五寸，标杆影长----五寸，竹竿高度----未知数，竹竿影长一丈五尺，画出草图，设竹竿高度为x ，建立数学模型：
= x 一丈五尺
一尺五寸五寸
，解得x =四丈五尺.
【知识点】相似，数学文化，方程思想.
7．（2018吉林省长春市，6，3） 如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A 、B 在同一水平
面上）.为了测量A 、B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地出发，垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A 、B 两地之间的距离为
（A ）800sin α米 （B ）800tan α米 （C ）
800sin α米 （D ）800
tan α
米 α
A
C
B
【答案】D
【解析】由题中条件可知，在RT △ABC 中，∠ABC=α，AC=800米，建立数学模型tan α=
AC AB ，可得AB=800
tan α
米.
【知识点】解直角三角形，锐角三角函数，俯角问题. 8．（2018吉林长春，8，3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，∠ABC =90°,CA ⊥x 轴，点C 在函数x
k
y =（x > 0）的图象上.若AB =2，则k 的值为 （A ）4
（B ）22 （C ）2 （D ）2
（第8题）
【答案】A
【思路分析】本题中，若能求出点C 的坐标，即可求出k 值. 由等腰直角三角形的性质，再利用勾股定理可求出斜边AC 的长，又AC ⊥x 轴，即可得出点C 纵坐标；由等腰直角三角形ABC 可知∠BAC=45°，又有AC ⊥x 轴可知∠CAO =90°，故∠OAB=45°，所以ΔOAB 是等腰直角三角形，进而可求出OA 的长，即可得点C 的横坐标. 【解题过程】解：在Rt ΔABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，AB=2 ∴ AC =4 ，∠BAC=45° ∵AC ⊥x 轴 ∴∠CAO =90° ∴∠OAB=45°
∴ΔOAB 是等腰直角三角形 又AB=2
由勾股定理OA 2+OB 2=AB 2 得OA=2 ∴点C 坐标为（2，22） 把点C （2，22）代入函数x
k
y =
（x > 0）得k = 4. 故选项A 正确. 【知识点】等腰直角三角形，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（2018吉林长春，9，3分）比较大小：10 3.（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】＞
【解析】∵ 3=9，10＞9 ∴10＞3. 【知识点】实数的大小比较 10．（2018吉林长春，10，3分）计算：a 2 ·a 3= . 【答案】a 5 【解析】a 2 ·a 3＝a 2+3＝a 5 【知识点】同底数幂的乘法
11. （2018吉林长春，11，3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，3）、（n ，3）.若直线y =2x 与线段AB 有公共点，则n 的值可以为 .（写出一个即可）
(第11题) 【答案】2
【解析】由点A 、B 的坐标分别为（1，3）、（n ，3）可知，线段AB // x 轴；令y =3得，x =23. ∴当x ≥2
3
时，直线y =2x 与线段AB 有公共点，故取n ≥
2
3
的数即可. 【知识点】平面直角坐标系，一次函数
12.（2018吉林长春，12，3分）如图，在ΔABC 中，AB=AC .以点C 为圆心，以CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D ，连结BD .若∠A =32°，则∠CDB 的大小为 度.
(第12题)
【答案】37
【解析】∵AB=AC ，∠A =32° ∴∠ACB =(180°－32°)÷2=74° 由尺规作图知，CB=CD ∴∠CBD=∠CDB 又∵∠CBD+∠CDB=∠ACB
∴∠CDB =
2
1
∠ACB=37° 【知识点】等腰三角形，三角形内角和，尺规作图，外角
13．（2018吉林长春，13，3分）如图,在Y
ABCD 中，AD=7，AB=32,∠B=60°.E 是边BC 上任意一点，沿AE 剪开，将ΔABE 沿BC 方向平移到ΔDCF 的位置，得到四边形AEFD ，则四边形AEFD 周长的最小值为 .
（第13题）
【答案】20
【思路分析】由平移性质可知，四边形AEFD 是平行四边形，且AD=7. 故当边AE 值最小时，四边形AEFD 周长有最小值.如图，作AE ⊥BC ，此时AE 有最小值.
【解题过程】解：如图，作AE ⊥BC .此时四边形AEFD 周长最小. 在R tΔAEB 中，∠AEB=90°,AB=32,∠B=60° ∴AE =AB·sin 60°=32×
2
3
=3 由平移性质可知，四边形AEFD 是平行四边形 ∴四边形AEFD 周长为2（AD +AE ）=2×(7+3)=20. 【知识点】平行四边形，平移，最值
14. （2018吉林长春，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2 + mx 交x 轴的负半轴于点A . 点B 是y 轴正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A ' 恰好落在抛物线上. 过点A ' 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C .若点A' 的横坐标为1，则A'C 的长为 .
(第14题)
【答案】3 【思路分析】如下图，A'C 与y 轴交于点D. 因为点A 与点A' 关于点B 对称，则AB=A'B ；又因A'C// x 轴，则ΔABO ≌ ΔA'BD ，AO=A'D. 点A' 的横坐标为1，即A'D=AO=1.所以点A 坐标为(-1，0)，把点A (-1，0)代入函数解析式可求得m 值，进而可知A' 坐标，由A'C// x 轴，可求出点C 横坐标，即可求出A'C 的长.
【解题过程】解：如图，A'C与y轴交于点D.
∵点A与点A'关于点B对称
∴AB=A'B
又A'C// x轴
∴∠A'DB=∠AOB=90°,∠DA'B=∠OAB
∴ΔABO ≌ΔA'BD
∴AO=A'D
∵点A' 的横坐标为1
∴A'D=AO=1
∴A坐标为(-1，0)
把(-1,0) 代入抛物线解析式y=x2 + mx 得m=1
∴抛物线解析式为y=x2 + x
∴A' 坐标为（1，2）
令y=2得，x1 = -2 , x2=1
∴A'C=1-(-2)=3.
【知识点】待定系数法求抛物线解析式，对称的性质，平行线的性质，三角形全等，直角坐标系中求线段长度三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（2018吉林长春，15，6分）先化简，再求值：
221
11
x
x x
-
+
--
，其中51
x=-.
【思路分析】本题是同分母分式的加法运算，直接分母不变，分子相加即可，然后利用因式分解进行化简，最后代入求值.
【解题过程】解：原式＝
221
1 x
x
-+
-
＝
21
1 x
x
--
＝()()
11
1
x x
x
+-
-
＝1
x+
将51
x=-代入，得，原式＝511
-+＝5
.
【知识点】分式的化简求值
16．（2018吉林长春，16，6分）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率.（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B）
（第16题）
【思路分析】本题共有3张卡片，且是有放回抽取，依据题意用列表法或画树状图法分析所有可能出现的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可. 【解题过程】解法一： 解：列表如下
A 1 A 2
B
A 1 （A 1，A 1） （A 1，A 2） （A 1，
B ）
A 2 （A 2，A 1） （A 2，A 2） （A 2，
B ） B
（B ，A 1）
（B ，A 1）
（B ，B ）
由表知，所有可能出现的结果有9种，其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的情况有4种，并且每一种情况出现的可能性都是相同的. 所以， P(两张卡片上的图案都是“金鱼”)=
49
. 解法二：
解：根据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图知，所有可能出现的结果有9种，其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的情况有4种，并且每一种情况出现的可能性都是相同的. 所以， P(两张卡片上的图案都是“金鱼”)=
49
. 【知识点】随机事件的概率，列表法，树状图法
17. （2018吉林长春，17，6分）图①、图② 均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 线段OM 、ON 的端点均在格点上，在图①、图② 给定的网格中以OM 、ON 为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上. 要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形.
（2）所画的两个四边形不全等.
A 2 A 1
A 1
B A 2 A 2 A 1 B A 2 B A 1 B
图①
图②
O N
M
M
N
O
【思路分析】
依据题意，理解格点的定义，结合轴对称的图形的定义和性质以及题目的要求，做出符合要求的图形.例如，可作出∠MON 的平分线，其平分线与格点的交点即为另一个顶点.
【解题过程】
图②
图①
O N
M
M
N
O
【知识点】新定义（格点）的理解；轴对称；
18.（2018吉林长春，18，7分）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元.店方表示：如果多购，可以优惠. 结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润. （1）每套课桌椅的成本. （2）求商店的利润. 【思路分析】
（1）设每套课桌椅成本为x 元，则优惠后的单价为（100-x ）元，然后依据商店获得了同样多的利润，列出关于x 的方程，最后求出方程的解，即可.
（2）总利润=每套课桌椅的利润×课桌椅的套数. 【解题过程】
（1）解：设每套课桌椅的成本为x 元.
由题意得60（100-x ）=72（100-3-x ） 解得x =82.
答：每套课桌椅的成本是82元.
（2）由（1）得每套课桌椅的成本是82元，所以商店的利润是
60（100-x）=60（100-82）=1080
答：商店的利润是1080元
【知识点】一元一次方程解决实际问题；总利润=每套课桌椅的利润×课桌椅的套数
19.（2018吉林长春，19，7分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D.已知⊙O的半径为6，∠C= 40°.
（1）求∠B的度数.
(2)求»AD
的长.(结果保留π)
【思路分析】
本题考查了圆的切线的性质，直角三角形两锐角的关系；以及弧长的计算公式．
（1）由切线的性质可得，△ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余可求∠B的度数
（2）利用弧长公式：l=错误!未找到引用源。

;连结OD，构造弧AD所对的圆心角，半径为6，直接利用公式即可；
【解题过程】
（1）∵AC是
e O的切线, AB是⊙O的直径
∴AB⊥AC
即∠BAC = 90°．
∴∠B +∠C= 90°
∵∠C= 40°
∴∠B = 90°-∠C
= 90°- 40°
= 50°
（2）连结OD
∵∠B = 50°
∴∠AOD= 100°
∵半径r=6
∴»AD
的长: l=错误!未找到引用源。

= 错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

【知识点】圆的切线的性质；直角三角形的性质；弧的计算公式，圆周角定理
20.（2018吉林长春，20，7分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查.该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数.数据如下：
20 21 19 16 27 18 31 29 21 22
25 20 19 22 35 33 19 17 18 29
18 35 22 15 18 18 31 31 19 22
整理上面数据，得到条形统计图：
样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：
统计量平均数众数中位数
数值23 m 21
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中众数m的值为.
(2)为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励.如果想让一半左右的工人能获奖，应根据
来确定奖励标准比较合适.(填“平均数”、“众数”、或“中位数”)
（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手.若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数.
【思路分析】
（1）根据众数的定义，由统计图可以直接得到m的值；
（2）本小题考查了中位数的定义；想让一半左右的工人能获奖刚好与中位数的定义相吻合；
（3）先求样本30人中生产能手的比例，用样本估计总体即可
【解题过程】（1）18
（2）中位数
（3）错误!未找到引用源。

=100
答：该部门生产能手的人数为100人
【知识点】条形统计图；平均数；众数；中位数；样本估计总体
21. （2018吉林长春，21，8分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口，从某一时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口，储存罐内的水泥量y （立方米）与时间x （分）之间的部分函数图像如图所示.
（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量.
（2）当3≤x≤5.5时，求y 与x 之间的函数关系式.
（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是 ________立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为
________分钟.
【思路分析】本题主要考察一次函数实际问题中的注水问题，其中输入速度和输出速度不变是关键，可以抓住这一题眼来解答.
【解题过程】（1）3
15=5.答：每分钟向储存罐内注入的水泥量为5立方米. （2）y=4x+3 （3≤x≤5.5）
设解析式为ykx+b ，该函数经过（3,15）和（5.5,25）两点
则15=325 5.5k b k b +⎧⎨=+⎩解得43
k b =⎧⎨=⎩ ∴y 与x 之间的函数关系式y=4x+3 （3≤x≤5.5）
（3）1，11
当0≤x≤3时，储存罐每分钟增加5立方米，当3≤x≤5.5时，储存罐每分钟增加4立方米，
则储存罐每分钟向运输车输出的水泥量为5-4=1立方米；
若要输出的水泥总量达到8立方米，则输出口需打开8分钟，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为8+3=11分钟.
【知识点】一次函数实际问题
22.（（2018吉林长春，22，9分））在正方形ABCD 中，E 是边CD 上一点（点E 不与点C 、D 重合），连结BE.
【感知】如图①，过点A 作AF ⊥BE 交BC 于点F.易证△ABF ≌△BCE.（不需要证明）
【探究】如图②，取BE 的中点M ，过点M 作FG ⊥BE 交BC 于点F ，交AD 于点G.
（1） 求证：BE=FG
（2） 连结CM.若CM=1，则FG 的长为 ________.
【应用】如图③，取BE 的中点M ，连结CM.过点C 作CG ⊥BE 交AD 于点G ，连结EG 、MG.若CM=3，则四边形GMCE 的面积为 ________.
【思路分析】（1）通过平移GF ，将图2的问题转化为图1的问题，利用正方形的性质和全等三角形的判定和性质解决问题.
（2）通过直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半及对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线成绩的一半解决问题。

【解题过程】（1）证明：将GF 平移到AH 处，则AH ∥GF ，AH=GF
∵GF ⊥BE ，∴AH ⊥BE ，∴∠ABE+∠BAH=90°
∵四边形ABCD 是正方形
∴ＡB ＝BC, ∠ABH=∠BCE=90°
∴∠ABE+∠CBE=90°
∴∠BAH=∠CBE
在△ABH ≌△BCE 中
∠BAH=∠CBE
ＡB ＝BC
∠ABH=∠BCE
∴△ABH ≌△BCE
∴BE=AH
∴BE=FG
（2）2 应用：在Rt △BCE 中，∠BCE=90°，CM 是BE 边上的中线，∴BE=2CM=6，由（1）得BE=CG=6，又∵ME=21BE=3，且BE ⊥CG ，∴S 四边形GMCE=2
63 =9. 【知识点】正方形的性质，全等三角形的判定及性质，以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.
23.（2018长春，23，10分）
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4,动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动.过点P 作PD ⊥AC 于点D （点P 不与A 、B 重合），作∠DPQ=60°，边PQ 交射线DC 于点Q ，设点P 的运动时间为t 秒，
（1）用含t 的代数式表示线段DC 的长.
（2）当点Q 与点C 重合时，求t 的值.
H
（3）设△PDQ 于△ABC 重叠部分图形的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式.
（4）当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，直接写出t 的值. Q
D
B
C
A P
【思路分析】（1）有题意可知CD=AC-AD,在△APD 中，由AP=2t ，可知PD=t,AD=3t ，可求CD=23-3t.
（2）当Q 与C 重合时，DC=DQ=DA,即D 为 AC 中点，列方程即可求出t 的值.
（3）求两三角形的重叠面积，注意到点Q 落在射线DC 上，所以重叠面积有多重情况.当点Q 在线段AC 上时，重叠图形为△PDQ ；当点Q 落在DC 延长线上时，重叠图形是一个四边形，通过面积差可求重叠面积.
（4）需要分三种情况讨论：落在AB 中点，AC 中点和BC 中点，分别画出符合题意的图形，充分利用垂直平分线的性质和三角形三边关系，列方程求出t 的值.
【解题过程】解：（1）在Rt △AOD 中
∵AP=2t,∠A=30°，
∴AD=3t ，
在Rt △ABC 中，∵AB=4， ∴BC=2，AC=23，
∴CD=AC-AD=23-3t
（2）如图23-1
∵∠DPQ=60°，
∴△DPQ ≌△DPA （ASA ）
∴DQ=DA ；
∴当Q 与C 重合时，D 为AC 中点 即3t=3，∴t=1.
Q
D
B C A
P
图23-1
（3）当点Q 落在CD 上，即0＜t ＜1时，如图23-2，
此时重叠部分为△DPQ ，∴S=12
DP DQ g =2133.22t t t =g g
Q
D
B
C A P
图23-2
当Q 落在DC 延长线上，即1≤t ＜2时，如图23-3，
此时DPQ CKQ S S S =-△△
∵CQ=DQ-DC=DA-DC=3t -（23-3t ）=23(1)t -，
∵∠CQK=30°，∴CKQ S △=2123(1)2(1)232t t ?-=g （t-1）
∴DPQ CKQ S S S =-△△=22133323432 3.22
t t t t -=-+-g （t-1） 综上所述：22323343232
t S t t ìïï=íï-+-ïïî （0＜t ＜1）； （1≤t ＜2）. K Q
D
B C
A P
图23-3 （4）t 的值为
12，34，54. 提示：当PQ 垂直平分线过AB 中点F 时（如图23-4），此时AF=2，FP=FQ
∵∠DPF=60°，∴△PQF 时等边三角形，
所以PF=PQ=AP=2t=1
∴t=12
； F Q
D
B
C
A P
图23-4
当PQ 的垂直平分线过AC 中点E 时（如图23-5），此时EP=EQ
∵∠AQP=30°，
∴∠EPQ=30°
∴EP ⊥AP ，
∵AP=2t ，∴AE=2PE=2433
t AP = ∵AE=3，
∴t=
34
. E Q D
B
C A P
图23-5
当PQ 的垂直平分线过BC 中点H 时（如图23-6） ，
设PQ 的垂直平分线交AB 延长线与点G ，
则△GPQ 为等边三角形，∴∠PGH=30°，PG=PQ=PA=2t,
∵∠ABC=60°，∴BG=BH=1， ∴PG+PA=AG ,
即4t=5,
∴t=54
. 综上t 的值为
12，34，54. G H Q D
B C
A P
图23-6
【知识点】（1）含30°角的直角三角形的三边关系
（2）化动为静，用字母表示线段长
（3）数相结合，计算三角形，四边形面积
（4）垂直平分线的性质
（5）等边三角形的判断和性质
（6）三角形的外角定理
（7）列、解方程
24.（2018长春，第24题，12分）
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，AD ⊥y 轴于点E （点A 在点D 的左侧）.经过E 、D 两点的函数2112y x mx =++（x ≥0）的图象记为1G ，函数2112
y x mx =---（x ＜0）的图象记为2G ，其中m 是常数，图象1G 、2G 合起来得到的图象记为G.设矩形ABCD 的周长为L.
（1）当点A 的横坐标为-1时，求m 的值.
（2）求L 与m 之间的函数关系式.
（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时，求L 的值.
（4）设G 在-4≤x≤2上最高点的纵坐标为0y ，当03
92
y ≤≤时，直接写出L 的取值范围. x y
B A
C
D O
【思路分析】（1）通过关于坐标轴对称的点的坐标规律，可求得矩形四个顶点坐标，把点D （1,1）带入可得m 的值.
（2）由于抛物线过D 、E 两点，D 、E 关于对称轴对称，∵抛物线对称轴为x=m,∴D （2m ，0），可得L=8m+4.
（3）由于2G 上x ＜0，∴当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时，顶点必在AD 上.即2112
m -=1，可得m 的值.
（4）抛物线的最值问题主要看自变量范围内是否包含顶点，开口向下时，若包含顶点，则顶点处取得最大值；若不包含顶点，则在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，右侧y 随x 的增大而减小.所以需要根据对称轴的位置进行讨论.
【解题过程】解：（1）∵点A 、D 关于y 轴对称 ∴D 点坐标为（1,1）
又∵抛物线1G 过点D ，将点（1，1）带入1G ，得
m=12.
(2)∵D 、E 两点关于抛物线1G 的对称轴x=m 对称，
∴点D 的坐标为（2m,1）
∴L=8m+4.
(3)∵x ＜0，
∴当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时（如图24-1），只能是它的顶点落在AD 上时，
即（-m ，
2112m -）落在AD 上， ∴2112
m -=1， ∵m ＞0，
∴m=2，
∴L=8m+4=20. x y
B A
C D O
(4)有题意1G 的顶点坐标为（m ，
2112m +），2G 的顶点坐标为（-m ，2112
m -）. ①若0＜m≤2，则在1G 的顶点处取得最大值，∴2311922m +≤≤，解得1≤m≤2； ②若2＜m≤4，1G 在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，即当x=2时，y=2m-1最大 ∴32192m -≤≤，∴2＜m≤4；
③若m ＞4，2G 在x=-4处取得4m-9，则3992m -≤4≤，∴942m ＜≤， 综上所述：912m ≤≤，∵L=8m+4,∴12≤L≤40.
【知识点】（1）矩形的对称性
（2）抛物线的顶点坐标公式
（3）抛物线的增减性
（4）数形结合思想
（5）分类讨论思想
（6）自变量范围，函数值的范围的意义.。