结构动力学5
对结构动力学的认识
结构动力学是一种研究结构在外部载荷下的动态响应和振动特性的学科。
它主要关注
的是结构在受到外部激励（如风、地震、交通等）时的振动响应，分析结构的稳定性、自然频率、振型和振幅等参数。
结构动力学的研究对于工程实践和安全评估具有重要
意义。
结构动力学研究的对象可以是各种类型的结构，如房屋、桥梁、塔楼、船舶、飞行器等。
在研究中，结构动力学通常采用数学模型来描述结构的振动响应，包括质点模型、连续体模型、有限元方法等。
在工程实践中，结构动力学的应用十分广泛。
例如，在建筑结构设计中，需要考虑地震、风荷载等外部载荷对结构的影响，通过结构动力学分析可以确定结构的合理构造
和材料选型；在航空航天领域，需要对飞行器结构进行动力学分析，以保证其安全性
和可靠性。
总之，结构动力学是一门研究结构在外部载荷下的动态响应和振动特性的重要学科，
对于工程实践和安全评估具有重要意义。
结构动力学5任意荷载反应时域频域
u( ) 0
5.1 时域分析方法—Duhamel积分
1、单位脉冲反应函数 u( ) 0
u( ) 1
m
无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
[n (t
)]
t
0
t
有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
h(t
)
u(t)
1
mD
e n (t )
sin[D (t
)]
t
0
t
5.1 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数
3、应用Fourier逆变换，由频域解U(ω)得到时域解u(t)：
U () 逆Fu(t)
5.2 频域分析方法—Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换
在用频域法分析中涉及到两次Fourier变换，均为无穷域 积分，特别是Fourier逆变换，被积函数是复数，有时 涉及复杂的围道积分。当外荷载是复杂的时间函数 （如地震动）时，用解析型的Fourier变换几乎是不可 能的，实际计算中大量采用的是离散Fourier变换。
i2nU ()
n2U ()
1 m
P()
单自由度体系运动的频域解为：
U () H (i)P()
H (i)
1 k
[1
(
1
/ n )2]
i[2
(
/ n )]
H(iω)—复频反应函数，i是用来表示函数是一复数。
再利用Fourier逆变换，即得到体系的位移解：
u(t) 1 H (i)P()eitd 2
例如，对于无阻尼体系，当存在非零初始条件时，问题 的完整解为：
u(t)
u(0)
cosnt
u(0)
n
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
结构动力学试题及答案
结构动力学试题及答案（本文按试题和答案格式进行编写）试题一：1. 请问什么是结构动力学？2. 简述结构动力学的研究对象和主要内容。
3. 结构动力学分析常用的方法有哪些？4. 结构动力学分析中常用的数学模型有哪些？5. 结构动力学的应用领域有哪些？答案一：1. 结构动力学是研究结构在外力作用下的动态响应及其稳定性的学科。
2. 结构动力学的研究对象是各种工程结构，主要内容包括结构的振动、冲击响应、瞬态响应和稳态响应等。
3. 结构动力学分析常用的方法有模态分析法、频率响应分析法、时程分析法等。
4. 结构动力学分析中常用的数学模型有单自由度体系、多自由度体系、连续体系等。
5. 结构动力学的应用领域广泛，包括建筑结构工程、桥梁工程、风力发电机组、地震工程等。
试题二：1. 结构动力学分析中，模态分析的基本原理是什么？2. 简述模态分析的步骤和计算方法。
3. 常用的模态分析软件有哪些？4. 请问什么是结构的固有频率和阻尼比？5. 结构的模态振型对结构动力响应有什么影响？答案二：1. 模态分析是基于结构的振动特性，通过求解结构的固有频率、模态振型和阻尼比等参数，来研究结构的动力响应。
2. 模态分析的步骤包括建立结构有限元模型、求解结构的固有频率和模态振型、计算结构的阻尼比等。
常用的计算方法有有限元法、拉普拉斯变换法等。
3. 常用的模态分析软件有ANSYS、ABAQUS、MSC.NASTRAN等。
4. 结构的固有频率是结构在无外力作用下自由振动的频率，阻尼比是结构振动过程中能量耗散的程度。
5. 结构的模态振型对结构动力响应有很大影响，不同的模态振型会导致不同的振动特性和反应。
试题三：1. 结构动力学分析中，频率响应分析的基本原理是什么？2. 简述频率响应分析的步骤和计算方法。
3. 频率响应分析和模态分析有什么区别？4. 结构的频率响应函数和传递函数有什么区别？5. 频率响应分析在结构设计中的应用有哪些？答案三：1. 频率响应分析是研究结构在单频激励下的响应特性，通过求解结构的频率响应函数，来获得结构的响应。
结构动力学
第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。
根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。
2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。
①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。
②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。
5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。
[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解
![[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解](https://img.taocdn.com/s3/m/198055225627a5e9856a561252d380eb629423b8.png)
前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。
1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。
二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。
2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。
克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。
之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。
为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。
本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。
所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。
达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
以下黑体字是注释，其它为原书文字。
[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。
为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。
结构动力学克拉夫
结构动力学克拉夫结构动力学是研究结构在外力作用下的变形和运动规律的学科。
它能够揭示结构的响应特性，并应用于工程和建筑物的设计、分析和优化等领域。
在结构动力学中，克拉夫方法是一种常用的数值分析方法，可以有效地求解结构的动力响应。
下面将详细介绍克拉夫方法的原理和应用。
克拉夫方法是一种离散激励动力分析方法，适用于求解线性多自由度系统的动力响应。
克拉夫方法的基本原理是离散化结构，将其简化为一系列互相连接的质点，然后通过求解质点的加速度、速度和位移来获取结构的动态特性。
克拉夫方法中引入了模态分析的概念，将结构的振型表示为一系列正交的模态，并通过求解每个模态的响应来得到结构的总响应。
在应用克拉夫方法进行结构动力分析时，首先需要建立结构的有限元模型。
该模型需要包括结构的几何形状、材料特性和边界条件等信息。
然后，通过解结构的动力方程可以得到结构的模态频率和振型。
一般情况下，结构的模态频率并不是均匀分布的，其中低频模态对结构的响应起主导作用。
因此，在求解结构的总响应时，可以只考虑前几个重要的低频模态。
在进行克拉夫分析时，需要给定一个外力激励。
这个外力激励可以是单个点的冲击载荷、均匀分布的动力载荷或者地震作用等。
通过将外力激励进行傅里叶变换，可以将其转化为频域中的振动谱。
然后，根据每个模态的频率和阻尼比，可以得到每个模态的响应谱。
最后，通过叠加所有模态的响应谱，可以得到结构的总响应谱。
这个总响应谱描述了结构在给定的外力激励下的动力响应特性。
克拉夫方法的优点是能够考虑结构的动态特性和边界条件，同时对结构的几何形状和材料特性并不敏感。
它可以用来分析和优化各种类型的结构，包括桥梁、建筑物、风力发电机塔等。
克拉夫方法可以帮助工程师预测结构的响应，并在设计阶段进行结构的优化，以提高结构的稳定性和安全性。
然而，克拉夫方法也有一些局限性。
首先，克拉夫方法仅适用于线性多自由度系统，对于非线性或者含有阻尼的系统，需要进行额外的处理。
5-结构动力学分析
又称时间——历程分析，用于确定承受随时间变化 的载荷的作用下结构的位移、应力及力。
必须指定初始条件，如初始位移，速度，加速度等； 必须考虑阻尼和惯性力。 时间积分步长ΔT 要足够小。
三. 瞬态动力学分析
载荷——时间曲线。
每一个拐角都应作为一个载荷步
⑥
三. 瞬态动力学分析
主要方法
二. 谐响应分析
分析过程：
3. 后处理：
① 定义变量：TimeHist Postpro>Define Variables— Add——选择显示变量——选择点——选择方向 （可多次定义，变量号由2开始。变量号1自动定义 为频率，为图形横坐标）
② 定义显示图形形式：Utility Menu >PlotCtrls >Style> Graph>Modify Grid （可取缺省）
结构动力学研究对象
1. 运动状态下的机械或结构，承受惯性及与周围介质或结 构相互作用的动力载荷。例如，高速旋转的电机、离心 压缩机，高速运行的飞行器，以及往复运动的冲压机床等。 2. 承受动力载荷的结构，这些结构可能发生破裂、倾覆和 垮塌等破坏事故。例如，建于地面的高层建筑和厂房， 石化厂的反应塔和管道，核电站的安全壳和热交换器， 近海工程的海洋石油平台等。
Full法（完全法）
Reduced法（缩减法）
ModeSuperposition法（模态叠加法）
习题20
摆杆运动分析
图示为一摆杆的起摆位置。求小球一个周期内的位移 变化情况（除重力外，不考虑其它载荷）。
摆杆：L=0.2 m A=7.85E-5 m2 Ex=100 GPa Prxy=0.3 质量忽略 小球：m=0.25 kg
飞行器结构动力学 第5章 弹性体振动
第5章 工程振动测试和实验
5.1
弦 的 振 动
例5-1 设张紧弦在初始时刻被拨到如图5-2所示的位置， 然后无初速度地释放。求弦的自由振动。
图5-2
例5-1示意图
l 6h l x , 0 x 6 解：按题设，有 y ( x, 0) 6h l (l x) , xl 6 5l
y ( x, 0) 0 t
第5章 工程振动测试和实验
5.1
故有
弦 的 振 动
i 1, 2,
Ai 0 ,
12h l 6 ix 12h l ix Bi 2 x sin dx 2 (l x) sin dx 0 l l 5l l 6 l 72h i sin , i 1, 2, 2 5(i ) 6
( x, t ) X ( x)(t )
且有
(t ) A sin t B cos t
X ( x) C sin
c
x D cos
c
x
第5章 工程振动测试和实验
5.3 轴的扭转振动
轴在固定端的边界条件为
X (0) 0
（a）
轴在l端截面处的扭矩应为
GI p (l , t ) x
因而弦的自由振动可表示为（只写出前4项）：
y ( x, t )
72h 1 x sin cos 2 l l 5 2 1 3x 3 sin cos 9 l l T
T
t
0.866 2x 2 sin cos 4 l l T
T
t
0.866 4x 4 t sin cos 16 l l
dX dX (0) (l ) 0 dx dx
5-结构动力学(有限元计算)解读
结构运动方程
结构运动方程是描述外部动力作用与结构体 系动力变形关系的数学物理方程，又称动力平衡 方程。运动方程可就不同角度分类，例如，离散 体系运动方程和连续体系运动方程，单自由度体 系运动方程和多自由度体系运动方程，弹性体系 运动方程和非线性体系运动方程，时域运动方程 和频域运动方程等。运动方程有时域波动方程、 差分方程、一阶微分方程、二阶微分方程、积分 方程和频域方程等不同的数学表述方式。
大，且积分方程求解困难，故一般不采用式（3.2.4）进行实际振动分析。
频域运动方程
时域运动方程经傅立叶变换可得频域运动方程。多自由 度弹性体系在地震作用下的频域运动方程为：
U () Hdd ()Ug ()
3.2.5
式中： U ( ) 为频域的地震反应矢量； H dd ( ) 为系统传递函 数矩阵； Ug () 为频域中的地震动输入矢量。运动方程（5） 为复数代数方程组，体系的频域反应经傅立叶反变换可得时 域反应。
置的空间坐标； k ( x, ) 为体系的位移影响系数，即作用于 处的单位力在 x 处
m( ) 为杆的单位长度质量； 引起的位移；p( , t ) 为随位置和时间变化的外荷载；
为杆的长度； e 为自然对数的底， i 1 ， 为复阻尼系数。 具有积分微分方程形式的运动方程概念清晰，但位移影响系数的计算量
因为 u 不等于零，故可得与式 3.2.1.1-4 相同的方程。
哈密尔顿原理
哈密尔顿积分变分原理可表示为
t2
t1
δ(T V )dt δWnc dt 0
t1
t2
3.2.1.3-1
式中： 包括应变能及任何保守外力 （如 T 为体系的总动能； V 为体系的位能， 重力）的势能； Wnc 为作用于体系的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载） 所作的功；δ 为在指定时间区间内所取的变分。哈密尔顿原理表明在任何时 间区间 t1 ~ t 2 内，动能和位能的变分与非保守力所作的功的变分之和必须等 于零。应用此原理可直接导出任何给定体系的运动方程。 在虚功分析中， 尽管功本身是标量， 但被用来计算功的力和位移都是矢 量。利用哈密尔顿原理建立运动方程时，不直接使用惯性力和弹性力，而代 之以动能和位能的变分项，平衡关系只与纯粹的标量（能量）有关，这是此 法与虚位移原理方法的区别。
结构动力学课后答案
结构动力学课后答案1.结构动力学是什么？结构动力学是力学领域中实验和理论上探讨结构动态行为方面的分支。
它讨论物体及其某种结构体系的运动特性，以洞察内部活动以及如何令该结构体系受到外力的影响，从而确定结构的性质，推断出其可能存在的破坏模式，以及分析出它将如何受到外力和其他外来因素的影响。
2.结构动力学主要包括哪些内容？结构动力学主要包括：(1)动力学方程——研究结构在外力作用下的运动情况；(2)振型理论：研究结构被动力激励时发生的振动行为；(3)稳定分析：研究结构稳定性；(4)低频动力学：完善弹性动力学；(5)控制力学：考虑施加力的时间变化，以便更准确的研究结构的动态行为。
3.什么是动力学方程？动力学方程是由牛顿第二定律推出的，用于描述结构受到力学影响时的动态行为，主要是用于定义影响结构的外力矩，内力矩以及外力与内力之间的相互作用，以及结构运动的加速度等因素。
根据力学方程，我们能够确定结构对外力的反应，从而有助于推测出可能存在的破坏模式以及抗破坏做出相应的措施。
4.什么是振型理论？振型理论是一种实验和理论研究，用于探讨结构被动力激励的情况下，结构的振动行为。
振型研究的目的是为了确定激励结构的物理特性，如其固有振型，以及自激振型在特定频率下的振幅。
振型理论可以作为一种鉴定有关领域物理属性的重要工具，其研究成果在工程中有着重要的应用，如结构安全性的分析，隔震技术的应用等。
5.什么是稳定分析？稳定分析是指对结构的稳定性进行多维度分析的过程，以期深入地研究结构的力学性质以及受到外力的影响，从而可以准确地预计出特定条件下结构的动态性能，从而设计出满足特定力学要求的合理结构。
其常用技术包括稳振型矩阵法、最大振幅法、偶联杆法、稳定椭圆法等。
6.什么是低频动力学？低频动力学是一种补充性弹性动力学理论，它完善了一般弹性动力学理论在低频谱中所提出的不准确性，它完善了原始方程，能够很好地模拟结构在低频范围内的动力行为，是结构动力学分析的重要补充，在结构设计和控制方向具有多重应用。
建筑结构的动力学分析
建筑结构的动力学分析建筑结构是指承载楼房结构设计使建筑物稳定，在考虑负载、力学和稳定性等因素的前提下，达到建筑设计师的预期目的。
动力学分析是一种在逐步缩小可用输入参数的同时，评估建筑结构模型响应的数理方法。
它通常用于描述建筑结构和建筑的可靠性和可行性。
在本文中，我们将探讨建筑结构动力学分析的原理和应用。
建筑结构动力学分析的原理建筑结构动力学分析的基本原理是将建筑模型作为一个系统，应用牛顿运动定律和欧拉-拉格朗日方程等基本物理学原理，通过分析外部刺激（如风和地震等），得到系统响应的动力学行为。
建筑结构的动力学响应通常分为三个主要领域：自然频率、阻尼和响应频率。
自然频率自然频率是建筑结构响应中的一个重要参数。
它是指在没有外部激励时，建筑结构本身发生的自然振动频率。
自然振动是建筑物不受刺激时的基本响应。
自然频率通常会随着系统的参数变化而变化。
阻尼在建筑结构的动力学响应中，阻尼是另一个重要的参数。
阻尼是指建筑结构中能量的损失或减少。
阻尼机制通常与材料和结构的特性有关。
在考虑阻尼时，有两种主要类型：线性阻尼和非线性阻尼。
对于线性系统，阻尼是通过额外的质量元素实现的。
响应频率响应频率是建筑结构响应的最后一个关键参数。
响应频率是指建筑结构在受到外界刺激时，其响应频率。
响应频率通常会受到分析模型的初始条件以及外部应力的影响。
应用建筑结构的动力学分析是工程师能够设计和优化建筑物并保持其稳定性的关键工具之一。
一些重要的应用领域包括以下几个方面：结构优化在建筑设计的初期，动力学分析通常会被用于确定建筑物设计的最佳几何形状和材质。
特别是在自然灾害易发的地区，通过动力学分析得出的结构可变性与其他因素的权衡，可以发现最有效的设计。
地震工程地震工程是建筑结构动力学分析的另一个重要领域。
地震是一种建筑结构面临的最具挑战性的外部刺激。
使用动力学分析工具可以帮助工程师预测这种刺激可能会对建筑物造成的损害。
风力学在建筑物的设计和风载荷的估算方面，动力学分析也有着重要的应用。
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案结构动力学学习题答案结构动力学是一门研究结构在外部力作用下的运动和响应的学科。
在学习结构动力学时，学生通常会遇到各种各样的学习题，这些学习题既考验了学生对知识的掌握程度，又帮助他们加深对结构动力学理论的理解。
下面我们就来看一些结构动力学学习题的答案。
1. 什么是结构动力学？结构动力学是研究结构在外部力作用下的振动特性和响应的学科。
它主要研究结构在地震、风载等外部力作用下的动力响应，以及结构的振动特性和控制。
2. 结构的自由振动频率如何计算？结构的自由振动频率可以通过结构的刚度矩阵和质量矩阵来计算。
首先需要求解结构的特征值和特征向量，然后根据特征值来计算结构的自由振动频率。
3. 结构的阻尼比对结构动力学有什么影响？阻尼比是衡量结构在振动过程中能量损失的比例。
阻尼比越大，结构的振动响应越快速衰减；阻尼比越小，结构的振动响应越慢。
因此，阻尼比对结构的振动特性和稳定性有着重要的影响。
4. 结构的地震响应如何进行分析？结构的地震响应可以通过有限元分析、时程分析和频率响应分析等方法进行。
这些方法可以帮助工程师评估结构在地震作用下的受力情况，从而指导结构的设计和加固。
5. 结构的振动控制方法有哪些？结构的振动控制方法包括主动控制、被动控制和半主动控制等。
主动控制是通过外部激励来控制结构的振动；被动控制是通过阻尼器、减震器等被动装置来控制结构的振动；半主动控制则是结合了主动和被动控制的特点，通过智能控制系统来控制结构的振动。
通过以上学习题的答案，我们可以看到结构动力学是一个复杂而又有趣的学科，它涉及到结构的振动特性、动力响应和振动控制等多个方面。
通过对这些学习题的学习和理解，我们可以更好地掌握结构动力学的理论知识，为今后的工程实践打下坚实的基础。
结构动力学-5节
ɺɺ1 = −X11ω2 sin(ω t +α) y ɺɺ2 = −X21ω2 sin(ωt +α) y
位移与惯性力同频同步。 位移与惯性力同频同步。 m2
X2
第一阵型可视为由惯性力 mω2 X11 1
m2ω2 X21 mω2 X11 1
m2ω2 X21 所产生的静位移。第二阶振型 也如此。
mnω Xn
2
mn
Xn
X2
X1
ω
1
ω
2
[I ] −[ f ][m] = 0
⇒([k] −ω2 [m]){X} = {0}
[ f ][k] = [I ]
[k](
1
ω
[I ] −[ f ][m]){X} = {0} 2
解频率方程得方程的n 解频率方程得方程的n个正根
ω1,ω2 ,⋯ n ω
---频率谱 ---频率谱
ω2 将 ω1和 分别代入方程
(k11 − m1ω12 ) X11 + k12 X 21 = 0 X11 k12 = X 21 m1ω12 − k11
k11X1 + k12 X 2 − m1ω 2 X1 = 0
k21X1 + k22 X 2 − m2ω 2 X 2 = 0 2 (k11 − m1ω2 ) X12 + k12 X 22 = 0 X12 k12 = 2 X 22 m1ω2 − k11
ɺ y1(t) X11ω1 cos(ω1t +α1) X11 = = ɺ y2 (t) X21ω1 cos(ω1t +α1) X21
3, 体系发生自由振动时，是两种特解（简谐振动）的叠加 体系发生自由振动时，是两种特解（简谐振动） 四个未 ɺ y1 X 11 X 12 = sin(ω1t + α1 ) + sin(ω2t + α 2 ) 知数，由 y2 X 21 X 22 边界条件 确定。 发生按振型的自由振动是有条件的； 发生按振型的自由振动是有条件的；
结构动力学5
t
在ti≤t≤ti+1时段内体系的运动方程： 初值条件：
τ
&& & mu (τ ) + cu (τ ) + ku (τ ) = p (τ ) = pi + α iτ
u (τ )
τ =0
& = ui , u (τ )
τ =0
& = ui
运动方程的特解:
αi 1 u p (τ ) = ( pi + α iτ ) − 2 c k k
5.1 数值算法中的基本问题
根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为 两大类： 隐式方法：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立 求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的 平方成正比，例如Newmark—β法、Wilson —θ法。 显式方法：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联 立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线 性关系，如中心差分方法（无阻尼时）。
2
+
c ⎞ 2m ⎞ c ⎞ ⎛ ⎛ m ui +1 = pi − ⎜ k − 2 ⎟ ui − ⎜ 2 − ⎟ ⎟ ui −1 2 ∆t ⎠ 2 ∆t ⎠ ∆t ⎠ ⎝ ⎝ ∆t
⎛ 1 ⎞ B = e −ζωn ∆t ⎜ sin ω D ∆t ⎟ ⎜ω ⎟ ⎝ D ⎠
⎧ ⎡⎛ 2 1 ⎪ 2ζ ζ −ζωn ∆t ⎢⎜ 1 − 2ζ +e − C= ⎨ ⎢⎜ ω D ∆t k ⎪ ω n ∆t 1−ζ 2 ⎣⎝ ⎩ ⎤⎫ ⎞ ⎟ sin ω ∆t − ⎛1 + 2ζ ⎞ cos ω ∆t ⎥ ⎪ ⎜ ⎬ D D ⎜ ω ∆t ⎟ ⎟ ⎟ ⎥⎪ n ⎝ ⎠ ⎠ ⎦⎭
& u (τ ) = A1 + (ω D A3 − ζω n A2 )e −ζω nτ cos ω Dτ − (ω D A2 + ζω n A3 )e −ζω nτ sin ω Dτ
结构动力学5
p(t )e
i j t
dt
p(t )e
k k 0
N 1
i j t k
t t
p(t )e
k k 0
N 1
i
2kj N
将离散化的谱值代入Fourier逆变换公式，并应用矩形积 分公式得：
1 u (t k ) 2 1 2
U ( )e
it k
p(τ)dτ的动力反应
：
du(t ) p( )d h(t ) , t
在任意时间t结构的反应， 等于t以前所有脉冲 作用下反应的和 ：
u (t ) du
0
t
p( )h(t )d
0
t
5.1 时域分析方法—Duhamel积分 2、对任意荷载的反应
无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式 ：
1 U ( ) i 2 nU ( ) n U ( ) P( ) m
2 2
U ( ) F u(t ) , P( ) F p(t )
5.2 频域分析方法—Fourier变换法
2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )
结构动力学
（2003春）
结构动力学
第五章
单自由度体系对任意荷载的反应
在实际工程中，很多动力荷载既不是简谐荷载，也 不是周期性荷载，而是随时间任意变化的荷载，需要 采用更通用的方法来研究任意荷载作用下体系的动力 反应问题。
本章介绍三种动力反应问题的分析方法： 时域分析方法—Duhamel积分法， 频域分析方法—Fourier变换法， 时域逐步积分法—中心差分法；Newmark—β法； Wilson—θ法。
土木工程中的结构动力学分析
土木工程中的结构动力学分析
结构动力学分析是土木工程中一个重要的研究领域，主要用于确定结构在动荷载作用下的反应规律，以便进行合理的动力设计。
结构反应是指结构的位移、速度、加速度、内力等，也称为结构响应。
在结构动力分析中，通常将质量的位移作为求解时的基本未知量，当质量的位移求出后，即可求出其他反应量，如速度、加速度、内力等。
因此，确定体系上有多少独立的质量位移对问题的求解甚为关键，这个问题归结为振动自由度问题。
在振动过程中的任一时刻，确定体系全部质量位置所需的独立参数个数，称为体系的振动自由度。
在结构动力分析中，要确定体系中所有质量的运动规律，需建立质量运动与动荷载及结构基本参数间的关系方程，即运动方程。
结构动力学分析类型包括：模态分析、谐响应分析、响应谱分析、随机振动响应分析、瞬态动力学分析、刚体动力分析、显式动力分析等。
以上信息仅供参考，如有需要，建议咨询专业人士。
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2 EIl 5 m l / 60
2
120 EI ml4
2
10.95 EI 2 m l
2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)
q Y ( x) x(l 3 2lx2 x 3 ) 24EI
l 2 5 qY ( x ) dx q l 120EI 0 2 l 2 q 2 31 9 m Y ( x ) dx 0 m 24 EI 630 l
h0
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所
附加的约束， Ritz 提出了改进方法： 1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
5
1 , 2 n 都满足前述两个条件。 a2 2 an n Y ( x) a1 1
（a1、a2、·········、an是待定常数）
§10-6 近似法求自振频率 1、能量法求第一频率——Rayleigh法
变能U 之和应等于常数。
※根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有
1
根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T 和应
最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大）， 速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：
替，即
1 l U 0 q( x)Y ( x)dx 2
2
l 0 m[Y ( x)]
l 0 q( x)Y ( x)dx 2
dx miYi2
例12 试求等截面简支梁的第一频率。
3
1）假设位移形状函数为抛物线
EI
m
x
y
Y ( x) x(l x)
满足边界条件且与第 一振型相近
l
3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频
率计算公式中得到的ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an 的可能组合，确实获得了最小的ω2值。 所选的a1，a2，…，an使 ω2 获得最小值的条件是
2 0, (i 1,2, , n) ai
这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式 等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往 越准。
例：用Rayleigh—Ritz 法求等截面悬臂梁的最初几个频率。 解：悬臂梁的位移边界条件为：
7
I
设：Y a11 a2 2 a1 x 2 a2 x3
3）假设
2
Y ( x) asin
EIa
4 2 2
x
l
9.87 EI 2 m l
第一振型的精确解。
精 EI [ Y ( x )] dx 9 . 8696 EI 2 0 确 l2 2 解 l m[Y ( m x)] dx
2l 2
3
ma l
4 EI
似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算
高频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形
形式。曲率小，拐点少。
4、通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作 为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代
Umax=Tmax
※求Umax ，Tmax
ω
位移幅值
设： y( x, t ) Y ( x) sin(t ) l l l l 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 m ( x )v cos ( t ) m ( x ) Y ( x ) dx Tmax mdx ( x) Y ( x)dx EI [ Y ( x )] dx ※求频率 2 02 0 2 20 l0 2 l EI [ Y ( x )] dx 1 0 l 2 22 2 U max 1 l EI[ Y ( x )] dx 2 l y m2 [Y ( x )] 2 dx2 l 1 2 2 [Y dx miY dx sin ( 0x)] ( m U 0EI t ( ) EI[ Y x)] dx i
ml
4
l
2
0
例 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0x/l。
4
h0 x 解： 截面惯性矩： I 1 12 l h0 x m 单位长度的质量： l
3
x l
满足边界条件：Y (l ) 0,Y (l ) 0
x 2 设位移形状函数： Y ( x) a(1 ) l
2 5 Eh 1.581 h0 2 0 , 4 2 l l2
E
1.534h0 与精确解 l2
E
l 2 EI [ Y ( x )] dx 2 0 l 2 m [ Y ( x )] dx 0
相比误差为3%
Rayleigh 法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线 代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种 约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于 对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。
只取第一项 代入：
l
x
l
2 1 x 2 1
0
jdx, kij EIi
[ k ] [ m] 0
2
mij m i j dx
如梁上还有集中质量mi，
. v y Y ( x) cos(t )
20
x 2
2
0
Yi为集中质量mi处的位移幅值。
0
※假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：
2
1、必须满足运动边界条件：
（铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0） 尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。 2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振 型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近