二阶常微分方程两点边值问题的近似解法
二阶阶微分方程的解法及应用课件
参数法是一种求解二阶微分方程的方法，通 过引入参数，将微分方程转化为关于参数的 常微分方程。这种方法适用于具有特定形式 的一阶和二阶微分方程，特别是当微分方程 的解与某个参数有关时。通过求解关于参数 的常微分方程，我们可以找到微分方程的解
二阶阶微分方程的解法及应用课件
目 录
• 二阶阶微分方程的基本概念 • 二阶阶微分方程的解法 • 二阶阶微分方程的应用 • 二阶阶微分方程的数值解法 • 二阶阶微分方程的边界值问题
01 二阶阶微分方程的基本概 念
二阶阶微分方程的定义
二阶阶微分方程是包含两个未知函数 和它们的二阶导数的方程。
二阶阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y', y''...) = 0，其中 F 是一个给定的函 数，x 和 y 是未知函数及其导数。
供需模型
01
二阶微分方程可以用来描述商品价格随时间和供需关系的变化
。
投资回报
02
在金融领域，二阶微分方程可以用来预测股票价格的变化和投
资回报。
经济增长
03
在研究经济增长时，二阶微分方程可以用来描述人均收入随时
间的变化。
在工程中的应用
控制系统
在自动化和控制工程中，二阶微分方程被用来描述系 统的动态响应和稳定性。
一维边界值问题
一维边界值问题是指求解一个关于一个自变量的二阶微分方程，同时给出该自变 量在两个特定点的取值条件。
一维边界值问题通常用于描述一个物理系统在一维空间中的行为，例如弦的振动 、波的传播等。解决这类问题通常需要使用打靶法、有限差分法等数值方法。
多维边界值问题
多维边界值问题是指求解一个关于多个自变量的二阶微分方 程组，同时给出这些自变量在多维空间中的边界条件。
边值问题的数值解法在具体求解常微分方程时-2022年学习资料
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-=323-z2=-x32+4y2?-y20=0, 20=0。-取h=0.02,用经典R-K法分别求这两个方程组解yx和y2x的计算值y1:和-y2i,然后按 8.6.6得精确解-6=,t2=0.x-y21-的打靶法计算值》：，部分点上的计算值、精确值和误差列于表8 12。-版核防行：小人学影学烧
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-值得指出的是，对于线性边值问题86.2，一个简单 实用的方法是用解-析的思想，将它转化为两个初值问题：-y"+pxyi+qxy =fx-ya=a,ya=0: 「片+px5+gxy2=0,-ly2a=a,y2a=l。-求得这两个初值问题的解yx和y2x,若y2b≠0 容易验证-a高-8.6.6-为线性两点边值问题8.6.2的解。-例8.7用打靶法求解线性边值问题-版核防行 小人学影学烧
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-y”+y-4y=12x2-3x,0<x<1,-1 0=0,y1=2,-其解的解析表达式为yX=x4+x。-解先将该线性边值问题转化为两个初值问题-y0=0, 1=0,-y2+y%-4y2=0,-y20=0,y1=1。-令乙1=2=y?，将上述两个边值问题分别降为一 方程组初值问题-31=-x31+4y1+12x2-3x,-y,0=0,z10=0,-版权防行：小人学影学烧
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-表8-12-Xi-yu-y2i-yx-y-yl-0.2--0.002407991-0.204007989-0.2016000053-,0.2016000 00-0.53×10-8-0.4--0.006655031-0.432255024-0.425600008 -0.4256000000-0.80x108-0.6-0.019672413-0.709927571-0. 2960000830.7296000000-0.83×108-0.145529585-1.06407038 -1.2096000058-1.2096000000-0.58x108-0.475570149-1.524 28455-2.00000000002.0000000000-例8.8用打靶法求解线性边值问题-4y"+y =2x3+16,-y2=8,y3=35/3。-要求误差不超过0.5×106，其解析解是yx=x2+8/x。 解对应于8.6.4的初值问题为-版凤防行：小人学数：学烧
二阶微分方程解法
二阶微分方程解法
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0。
特征方程
r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py’+qy=0的通解。
两个不相等的实根r1,r2，y=C1er1x+C2er2x。
两个相等的实根r1=r2，y=(C1+C2x)er1x。
一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ，
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。
2.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=f(x)。
先求y”+py’+qy=0的通解
y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)。
则
y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解。
求
y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
①f(x)=Pm(x)eλx型。
令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数。
②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型。
令y*=xkeλx ［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数。
二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数
接着对常见的变系数线性微分方程进行分类，介绍了如何用 幂级数解法和弗罗贝尼乌斯级数解法求解正则奇点的二阶常微分 方程。
最后对常见的施图姆-刘维尔型微分方程的特征值和特征函 数的性质作了系统的介绍。
sin 9 ))| = sin 2 9 - 2 cos9 = (1 - x2 ) - 2x
这样式(5.1-20)可以写成
(1- x2 ) - 2x + n(n + 1)-
y = 0 (5.1-21)
式(5.1-21)是常见的勒让德方程的一般形式， 称为连带勒让德方程。
17
5.1.2
令m = 0 ，得到
(2) 若p(x)和q(x)中至少有一个不满足(x _ x0 )p(x), (x _ x0 )2 q(x)在
x0点解析， 则x0称为方程(5.3-1)的本性奇点。在本性奇点附近， 方
x 程至少有一解在x0 有本性奇点，
而另一解可能是y =
w
an
(x
_
)n+p
x0
，
n=0
但它往往是发散的， 这种情况在数理方程中不多见， 这里不讨论它。
上式代入式(5.1-7)，得到
(5.1-8)
p p + R，， 2
R，+ 入p2
= - = O，， 山
RR
O
式中山为常数。上式是两个常微分方程，分别是
p2 + p + (入p2 - 山)R = 0
(5.1-9)
O，，+ 山O = 0
8
5.1.1
由于V(p,9)是单值函数，所以内(9)应满足周期性边界条件，因而有
二阶线性偏微分方程的分类与总结
要点一
要点二
信号处理
在信号处理中，信号的传递和处理往往涉及到二阶线性偏微分方程，例如差分方程、卷积等，通过求解可以得到信号的频谱、滤波效果等性质。
在工程中的应用
二阶线性偏微分方程的求解方法
在物理中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率，例如反应速度与反应物浓度的关系，通过求解可以得到反应速率常数等参数。
化学振荡
某些化学反应会经历振荡现象，即反应物浓度周期性地变化，二阶线性偏微分方程可以描述这种现象，通过求解可以得到振荡的频率、幅度等性质。
Hale Waihona Puke 在化学中的应用控制工程
要点三
Laplace变换法是一种通过将时域问题转换到复域问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
概述
Laplace变换法
适用于具有初始条件、冲击激励等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如RLC电路中的电压电流关系等。
适用范围
将原方程中的未知函数进行Laplace变换，得到复域中的解析解，再通过反变换得到时域中的解。
04
概述
适用范围
步骤
行波法
分离变量法
要点三
概述
分离变量法是一种通过将多变量问题分解为多个单变量问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有周期性、边界条件等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如Sturm-Liouville方程等。
步骤
将原方程中的未知函数按照某种方式分解为多个单变量函数，通过对每个单变量函数分别求解，最终得到原方程的解。
打靶法
打靶法常微分方程边值问题数值解法- 正文用某种离散化数值步骤求出常微分方程边值问题在离散点上的近似解的方法。
各种实际问题导出不同类型的边值问题。
较简单的有二阶常微分方程两点边值问题：求函数y=y(x)，x∈【α,b】，使它满足微分方程和边值条件式中ƒ、g1、g2为已知函数；α与b为两个给定的端点。
较一般地有一阶常微分方程组两点边值问题:求N个函数使其满足微分方程组和边值条件式中诸ƒn、g i是已知函数;r为给定的自然数。
有些问题因求解区间是无穷区间而被称作奇异边值问题，相应的边界条件变为对解在无穷远处渐近行为的限制,例如,要求y(x)在区间【0，)上平方可积或要求当x趋于无穷时，y(x)趋于某极限值。
还有些实际问题因要求解满足多个点上的条件而被称作多点边值问题。
近年来，对反映边界层现象的奇异摄动边值问题提出了一些新的数值解法。
此外，关于存在多个解的分歧现象数值解问题也引起人们的注意。
打靶法主要思路是:适当选择和调整初值条件,(选什么)求解一系列初值问题，使之逼近给定的边界条件。
如果将描述的曲线视作弹道，那么求解过程即不断调整试射条件使之达到预定的靶子,所以称作打靶法或试射法,此类方法的关键是设计选取初值的步骤。
对非线性边值问题可通过下列步骤求数值解：①计算初值问题的数值解y1。
若g(y1(b),y姈(b))=B,近似地满足，则y1即为所求；否则进行②。
②计算初值问题的数值解y2,若g(y2(b),y娦(b))=B近似地满足，则y2即为所求；否则令m＝3进行③。
③将g(y(b),y┡(b))视为y(α)的函数,用线性逆插值法调整初值，即计算然后进行④。
④计算初值问题的数值解y m并进行判定：若b点边值条件近似地满足,则y m即为所求;否则令m+1崊m转向③继续计算直到满意为止。
特别地，若微分方程是线性的，则打靶法变成线性组合法，即根据常微分方程理论适当选取初值可得到一组线性独立解，利用它们的线性组合导出边值问题的解。
二阶常微分方程的解法
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一六届）题目：二阶常微分方程的解法院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：潘陆学号08120146指导教师：刘陆军南京师范大学泰州学院教务处制摘要：本文主要是介绍了二阶常微分方程众多解法中的三种，分别为特征方程法，拉普拉斯变换法和常数变易法，研究并讨论了二阶常微分方程在特征方程法中特征方程根为实根，复根和重根的情形。
我们选用了弹簧振子系统的振子运动，用这三种不同的方法来解决该问题。
关键词：二阶常微分方程；特征根法；常数变易法；拉普拉斯变换Abstract:The main purpose of this paper is the second-order ordinary many differential equation solution of three, respectively as the characteristic equation method, Laplace transform method and variation of constants method, study and discuss the second-order often differential equation in the characteristic equation of the roots of the characteristic equation for real roots, complex roots and root weight. We choose the spring oscillator the oscillator motion, these three different methods to solve the problem.Keywords: second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform目录1 绪论 (3)1.1 二阶常微分方程的起源和发展史 (3)1.2 二阶常微分方程的介绍 (3)1.3 研究二阶常微分方程的目的与意义 (4)2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (5)2.1 特征方程法 (5)2.1.1 特征根是两个实根的情形 (5)2.1.2 特征根有重根的情形 (6)2.2 常数变易法 (7)2.3 拉普拉斯变换法 (9)3 二阶常微分方程解法的应用（分析例题） (11)3.1 特征方程法 (11)3.2 常数变易法 (13)3.3 拉普拉斯变换法 (14)4 结论和启示 (16)谢辞 (18)参考文献 (19)1 绪论1.1 二阶常微分方程的起源和发展史既然说到了微分方程，就不能不提到海王星的故事，它的发现是人类智慧的硕果，微分方程在其中扮演了重要的角色，并且在其中也包含数学演绎法的作用。
北京大学数学物理方法经典课件第九章——二阶常微分方程
分离空间坐标变量
连带Legendre方程、Bessel方程
16
m 阶 Bessel 方程
x y '' xy ' x m
2 2
2
y0
2
l 阶连带 Legendre 方程
d y dy m 1 x dx 2 2 x dx l l 1 1 x 2 y 0
r2 RY
常数
1 2 R 1 Y 1 2Y (r ) (sin ) l ( l 1) 2 2 R r r Y sin Y sin
1 Y 1 2Y (sin ) 2 l ( l 1)Y 0 2 sin sin
2 2
5
d 2 R dR l ( l 1) R 0 2 dt dt
因式分解
d d dt l 1 dt l R 0
解为：
D R(r ) Cr l 1 r
l
式中：C和D为积分常数.
球函数方程，令
Y ( )( )
l-阶勒让德方程 u 是轴对称的，对φ的转动不改变 u 。
d 2 d (1 x 2 ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
m0
d d sin sin l (l 1)sin 2 m2 0 d d 0, 有限值
1 u 1 2 u u ( ) 2 ( )0 2 z z
令 u( , , z) R( )( ) Z ( z)
d 2 R Z dR RZ d 2 d 2Z Z 2 R 2 0 2 2 d d d dz
二阶常微分方程解存在的问题
二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法——特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。
接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。
另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法——拉普拉斯变换法。
最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。
1.引言1.1常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。
这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。
在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。
因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。
他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。
用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。
17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
1927－1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。
第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。
40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。
平面二阶偏微分方程组的边值问题
平面二阶偏微分方程组的边值问题
平面二阶偏微分方程组是将二阶变分操作应用到平面区域上的一种重要方法，其又称为非线性偏微分方程系统或二阶偏微分方程组。
这种方程组常常被用来求解弹性理论、热传导、流体动力学等众多物理现象中的重要问题，这些现象处于不同的变量域。
对平面二阶偏微分方程组的边界值问题提出的要求是提供一组独立的条件，用于定义边界上的解，即在边界上解的某个变量的值必须可以从边界上的这组条件中确定，而这组条件又是由解的一些给定特性定义的。
其中，一种常见的边界条件是“自由边界”，在这种情况下，在边界上得到的解值必须满足解在边界点处满足一定标准，如解必须是一个恒定的特定值，这也就确定了边界条件。
另一种常见的边界条件是“内禀边界”，这种边界条件要求解的某个变量只有在某个内禀函数下才能被确定，故边界条件也可以称为内禀函数条件。
在这种情况下，边界上具体的解值可以根据所计算出来的内禀函数来计算，然后可以得到特定的边界条件，而这些边界条件也是独立的，可以用于求解整个问题。
总之，平面二阶偏微分方程组的边界值问题可以抽象地认为是将某个物理场的动力学特性定义在边界上的一种重要的分析方法，它是从二阶变分的角度来理解平面问题的解的一种重要框架，是解决物理量在多变量域中的多维动力学问题中的常用方法。
求解常微分二阶方程两点边值
浅谈求解常微分二阶方程的两点边值摘要：本文运用简化解法，不直接求解常微分二阶求导方程的两点边值，而是通过将其转为泛函极值问题，然后构造一个近似函数，其能无限逼近可行函数，通过2点3次埃尔米特插值求解，最后求得常微分二阶求导方程的两点边值问题的近似值。
关键词：常微分二阶求导方程；两点边值问题；泛函极值原理常微分二阶求导方程的两点边值问题有很多解法，比如将常微分二阶求导方程的两点边值的问题转化为非线性算子方程tx=0的求解问题，同时利用newton迭代法给出其近似值等方法，本解法是利用泛函极值原理，将两点边值问题转化为泛函极值问题，利用2点3次埃尔米特插值构造一个近似函数，将两点边值问题转化为一个多元单目标的简化问题，然后再运用微粒群算法来求得常微分二阶求导方程的两点边值问题的近似值。
对于一般的常微分二阶求导方程，等式两边同时乘以待定因子，可以发现，常微分二阶求导方程表现为其自共轭微分方程的形式（r （ｘ）ｙ″）′＋s（ｘ）ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ（ａ）＝ｙａ，ｙ（ｂ）＝ｙｂ。
根据泛函极值原理，得到：ｍｉｎｂａ（r（ｘ）ｙ′２－s（ｘ）ｙ２＋２ｙｆ（ｘ））ｄｘ，ｙ（ａ）＝ｙａ，ｙ（ｂ）＝ｙｂ，则对常微分二阶求导方程两边值问题的求解，简化为对泛函极值问题的求解。
观察满足泛函极值问题的边值条件的函数ｙ（ｘ），发现：1.函数的形参个数与该调用的实参个数相同。
2.每个实参的类型与对应形参的类型匹配。
可见，函数y（z）为可行函数。
而可行函数y（z）构成的集合也为可行函数。
所以满足该条件的极小值函数一定为可行函数。
观察上述式子，可知泛函极值问题为：ｍｉｎs（y）＝ｂａｆ（ｘ，ｙ，ｙ′）ｄｘ，ｙ（ａ）＝ｙａ，ｙ（ｂ）＝ｙｂ。
采用2点3次埃尔米特插值来构造可行函数类中的近似可行函数v（ｘ），可以较好解决这类泛函极值问题。
在两个端点所确定的区间内，用2点3次埃尔米特插值，可以使函数值逐渐接近原函数，一阶微分也如此．要想无限接近原函数，就得把区间无限细分为多段，在其中的每一段各个分点，采用2点3次埃尔米特插值多项式来接近可行函数ｙ（ｘ），假设其在各个分点的函数为ｙ（i）（i=0，1，2，…，m-1），在各个分点的一阶导数为ｙ′（i）（i=0，1，2，…，m-1）。
二阶常微分方程边值问题的数值解法
摘要本文主要研究二阶常微分方程边值问题的数值解法。
对线性边值问题，我们总结了两类常用的数值方法，即打靶法和有限差分方法，对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。
关键字：常微分方程边值问题；打靶法；差分法；ABSTRACTThis article mainly discusses the numerical methods for solving Second-Order boundary value problems for Ordinary Differential Equations. On the one hand, we review two types of commonly used numerical methods for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. For each method, we give both the exact calculating steps , we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example.Key words：Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations；Shooting Method；Finite Difference Method；目录第一章引言................................................................................................................... - 1 -第二章二阶线性常微分方程.................................................................................. - 2 -2.1试射法（“打靶”法） ............................................................................................ - 3 -2.1.1简单的试射法............................................................................................ - 3 -2.1.2 基于叠加原理的试射法........................................................................... - 4 -2.2 有限差分法......................................................................................................... - 10 -2.2.1 有限差分逼近的相关概念...................................................................... - 11 -2.2.2 有限差分方程的建立............................................................................. - 13 -2.2.3 其他边值条件的有限差分方程............................................................. - 14 -2.2.4 有限差分方程的解法............................................................................. - 16 -第三章二阶非线性微分方程........................................................ 错误!未定义书签。
第5章两点边值问题求解方法介绍
x a, b
y1 y2 z , z 2 其中： 1
解得： y1 ( x; ), y2 ( x; ), z1 ( x; ), z2 ( x; ) 得到的终端值和对α的偏导数： y1 y1 (b; ), (b; )
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 12
y1 y
( x ) y2 ( x ) y1
y2 (a) 初值问题的解为： y1 ( x; ), y2 ( x; ) y1 (b; ) B 找到α满足： y1 (a) A,
2018/10/14 航空航天中的计算方法
如何求α？
Page 6
5.2 打靶法 打靶法的几何解释：
如果边值条件形式可写为： gL ( y(a)) 0, gR ( y(a)) 0
其中gL和gR的维数之和等于m，则边界条件为分离的。
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 5
5.2 打靶法 5.2 打靶法 以二阶系统为例，考虑边值问题： y( x ) f ( x, y( x), y( x)), x a, b
迭代求解公式： m 1 m B y1 (b; m )
结束条件：
2018/10/14
y1 (b; m )
y1 (b; ) ?
Page 10
1 y1 (b;m1 ) B
航空航天中的计算方法
5.2 打靶法 差分法求偏导数
y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) y1 (b; 0 ) 1 0
线性近似：按割线求根
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 9
5.2 打靶法 5.1.2 牛顿法 求解非线性方程（组）： y1 (b; ) B 在已知初值α0的处Taylor展开： y1 2 y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) (b; 0 ) 1 0 O 1 0 B y1 B y ( b ; ) (b; 0 ) 线性近似： 1 0 1 0
二阶常微分方程的解法及其应用.
目录1 引言 (1)2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1)2.1 特征方程法 (1)2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2)2.1.2 特征根有重根的情形 (2)2.2 常数变异法 (4)2.3 拉普拉斯变化法 (5)3 常微分方程的简单应用 (6)3.1 特征方程法 (7)3.2 常数变异法 (9)3.3 拉普拉斯变化法 (10)4 总结及意义 (11)参考文献 (12)二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。
应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIALEQUATION AND ITS APPLICATIONAbstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect.Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform1 引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。
二阶线性常微分方程的两点边值问题的新解法
摘 要 ：基 于 变 分 原 理 ，将 二 阶线 性 常 微 分 方 程 的 两 点 边值 问题 转 化 为 等 价 的变 分 问 题 （ 即泛 函 极 值 问 题 ） ，利 用 两 点 三次 Ｈｅｍｉ 插 值 构 造一 个 逼 近可 行 函数 的 近 似 函 数 ，从 而将 问 题 转 化 为一 个 多 元 单 目标 优 化 问 题 ，最后 运 用 ｒ ｔ ｅ
第３ ５卷 第 ４期
Ｖｏ ．３ １ ５
ＮＯ ４．
西 南 师 范 大 学 学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｏ ｔｗｅ ｔ ｈｎ ｒ ｌＵｎｖｒｉ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ｏ ｕｈ ｓ Ｃ ｉａＮｏｍａ ｉｅｓ ｙ（ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ Ｓ ｔ ｉ
单 目标 优化 问题 ，最后运 用粒 子群优 化算 法来求解 该优 化 问题 ．
１ 两点 边 值 问题 等 价 的 变 分 问题
考 虑二 阶线性 常微分方 程 的两点边 值 问题 ：
＋ ｐ（ ｙ ＋ ｑ ｘ ｙ— ｆ ｚ） ｘ） ； （） （、
ｌ ａ （ ）一 Ｙ ， （ ）一 ６ 。 ６ 对于微 分方程 ＋ ｐ ｘ ｙ ＋ ｑｘ） （ ） （ ｙ一 － ） 厂 ，以待 定 因子 （ 乘 等式两 边得 ： （ ）
二 阶线 性 常微 分方 程的 两点边值 问题转 化为 自共轭 的 常微 分 方程的 两点边值 问题 ：
ｆ Ｐ（ ） ） （ １ ＋ Ｑ（ — Ｆ（ ｚ ｚ） ）
１ ）一 Ｙ Ｊ ｎ （
，
（ ） 一 Ｙ ６ ６
收 稿 日期 ：２ ０ ０ ９—０ —１ ５ １
作 者 简 介 ：马
一
ｅｐ ） ，以此 式乘 以 ＋ｐ（ ） ｑ ｘ ｙ一 厂 ． 两 端有 Ｊ（ｄ ｘｚ ｘｙ ＋ （ ） （） ｚ
数理方程第二章 关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论-6
( m n )
对应于不同特征值的特征函数在a,b上带权函数(x)互相正交。
（4 ） 本征函数系 yn ( x) , n 1,2,, n, , 在
a , b 上构成完备系。 Nhomakorabea即：对于一个任意函数f(x) ，在区间 [a,b]上，只要满足具有一 阶连续导数、二阶分段连续导数；同时满足斯特姆-刘维尔型 方程的边界条件，那么一定可以将f(x)按本征函数系展成绝对 b 且一致收敛的级数。 ( x) f ( x) y ( x) d x
则无论方程是齐次还是非齐次，必须首先作函数的代换，使其转化为
齐次边界条件问题，方可进行求解。
三、非齐次方程、非齐次边界条件的定解问题（无论初始条件如何），一定
要将其转化为：非齐次方程+齐次边界条件来处理。
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分离变量法的军事策略 ：
— —分兵合围，各个击破
分离变量法的哲学思想 ：
2
到此为止，所求解的各种问题只牵涉具有边界的空间。但 这并不意味分分离变量法就不可以应用于无界空间。事实上， 稍加推广还是可以应用的。所说的推广，指的是间断的本征值 为连续本征值所取代，线性叠加为积分所取代。
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实施分离变量法应该注意的几个问题：
一、根据边界条件的形状，选取适当的坐标系。选取的原则是：使对应 的坐标系，边界条件的表达式最为简单。如 圆、圆环、扇形区域→极坐标系； 圆柱形区域→柱坐标系； 球形区域→球坐标系。 二、若边界条件是非齐次的，又没有其它可利用的条件来确定特征函数，
关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论参考了孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院26关于二阶常微分方程本征值问题的一些结论常微分方程在齐次边界条件下的本征值以及本征函数1有界弦的自由振动3圆形域内laplace方程的定解问题sincos分离变量法的实质将时间变量视为参变量
无穷区间上二阶微分方程的边值问题
无穷区间上二阶微分方程的边值问题关于无穷区间上二阶微分方程的边值问题，一般可以简化为形如$$ay''+by'+cy=f$$的形式，其中a、b、c、f是定值，y是之所以赋予的
变量。
它的边界条件可以写作$y(a)=\alpha，y(b)=\beta$ (其中a、b为所求范围，$\alpha$、$\beta$为已知常数)，根据计算机科学家汤姆·普拉
特（Tom Prather）提出的汇总帽定理，它有0个或者无数个解。
对于
无穷区间上赋予了边界条件的二阶微分方程，要实现解析解，首先要
求解波动方程，即方程等号右边为0的情形。
若存在唯一的波动方程，那么该解可以与相应的边界条件相结合，又可以解出解析解。
但是，
当存在多个波动方程时，要找到与边界条件相符合的波动函数比较困难，此时求解可能会遇到无法解析解的情况。
在解决无穷区间上二阶微分方程边值问题时，一般常使用数值方法，
即采用某种数学工具实现近似解，以近似解求得结果较好地接近原方
程的解析解。
具体来说，在利用数值方法解决边值问题时，首先要根
据认识出模型，然后使用有限元素方法，基于有限的几何元素组合，
构建出所求区间的函数，进一步求解边界条件。
最后，根据有限元素
方法的拟合结果，采用相应的数学技巧，实现对边界条件的满足，进
而求得实际解，从而解决边值问题。
当然，在解决边值问题中，除了有限元素方法以外，还有一些数值方法，例如装置积分法、积分变换法以及动态系统法，它们都可以用来
代替有限元素方法，以求解像无穷区间上的二阶微分方程边值问题这
样的边值问题，只是由于不同的方法特点，在实际应用中，个别方法会更加有效率。
二阶积分微分系统的两点边值问题
二阶积分微分系统的两点边值问题
王国灿;金丽
【期刊名称】《大连交通大学学报》
【年(卷),期】2003(024)002
【摘要】研究形如εx"(t)=f(t,x(t),[Tx](t),x'i(t),ε),x(0)=A,x(1)=B的积分微分系统的两点边值问题,利用上下解方法得到了解的存在性与渐近估计.
【总页数】4页(P3-6)
【作者】王国灿;金丽
【作者单位】大连铁道学院,文理分院,辽宁,大连,116028;大连铁道学院,文理分院,辽宁,大连,116028
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.二阶Hammerstein型积分微分差分方程的两点边值问题 [J], 金丽;王国灿
2.二阶混合型积分微分差分方程的两点边值问题的存在性与唯一性 [J], 王国灿
3.一类非线性二阶微分系统两点边值问题 [J], 马如云
4.Banach空间二阶非线性积分-微分方程组两点边值问题 [J], 谢胜利;瞿娟
5.一类二阶非线性微分积分方程两点边值问题 [J], 李广兵;唐先华
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打靶法在常微分方程边值问题中的一些应用_安乐
0引言常微分方程边值问题是常微分方程理论的重要组成部分,在众多科学技术领域中有着非常广泛的应用,见文献[4-7]。
打靶法是解微分方程的数值方法，其基本思想是将微分方程的边值问题转化为初值问题来求解,其特点是精度高,程序简单,实用性强。
1968年P.B.Baily、L.F.Shampine、P.E.Waltman[1]结合常微分方程初值问题的基本理论和打靶法,研究了非线性二阶常微分方程两点边值问题u″=f（t，u（t），u′（t）），t∈（a，b）（1）解的存在性。
本文试图研究更广泛的非线性常微分方程两点边值问题u″=f（t，u（t），u′（t）），t∈（a，b）（2）u（a）=A，cu（b）+du′（b）=B（3）解的存在性,并讨论其唯一性,从而推广文献[1]的结果，其中c，d，A，B∈R均为常数,并且c2+d2≠0，a，b∈R为满足a<b的常数,我们将给出并证明如下结果:定理1(解的存在性)设cd>0,设f:[a,b]×R2→R 连续并且满足对第二、三变元的Lipschitz条件，如果存在常数N>0使得：│f(t,y,p)│≤N,A(t,y,p)∈[a,b]×R2(4)则对任意A,B∈R,二阶常微分方程两点边值问题(2) -(3)至少有一个解。
定理2(解的唯一性)设f:[a,b]×R2→R连续并且满足对第二、三变元的Lipschitz条件│f（t，y2，p2）-f（t，y1，p1│≤L│y2-y1│+K│P2-P1│(5)如果存在常数N>0使得：│f(t,y,p)│≤N,A(t,y,p)∈[a,b]×R2(6)则当L+K充分小时,对任意A,B∈R,二阶常微分方程两点边值问题式(2)-(3)有且仅有一个解。
特别地,当c=0时,边值问题式(2)-(3)就是著名的Robin边值问题,在力学和热学中具有重要的应用背景。
1预备结果为了证明存在性定理,我们需要如下两个预备打靶法在常微分方程边值问题中的一些应用Shooting Method in the Application of Ordinary Difference Equations Boundary Value Problem安乐An Le（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水741001）（College of Mathematics and Statics,Tianshui Normal University,Gansu Tianshui741001）摘要：本文运用打靶法研究非线性二阶常微分方程两点边值问题u″=f（t，u（t），u′（t）），t∈（a，b）u （a）=A，cu（b）+du′（b）=B解的存在性与唯一性,其中f：[a，b]×R2→R连续。