3.2.2 抛物线的简单性质 课件(北师大选修2-1)63036
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2018学年高中数学北师大版选修2-1课件：3.2.2 抛物线的简单性质 精品
【提示】 (1)x1x2＝p42； (2)y1y2＝－p2； (3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2 x1x2 ＝p，即当x1＝x2时，焦点弦最短，是 通径，为2p； (4)弦长|AB|＝si2np2α(α为AB的倾斜角)； (5)以AB为直径的圆必与准线l相切； (6)|A1F|＋|B1F|＝2p.
[再练一题]
1．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的
抛物线方程是( )
A．y2＝
3 6x
B．y2＝－
3 6x
C．y2＝± 63x
D．y2＝± 33x
【解析】 当抛物线焦点在x轴正半轴上时，如图所示， ∵△OAB为等边三角形，且边长为1.
∴A 23，12. 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
显然，当点P为直线AF与抛物线的交点时，和取得最小值，最小值为|AF|＝
1＋12＋1＝ 5.
(2)法一：设与直线4x－y－5＝0平行的直线方程为y＝4x＋b，与抛物线方程y
＝4x2联立并消去y，得4x2－4x－b＝0.
由Δ＝(－4)2－4×4×(－b)＝16＋16b＝0，得b＝－1，
∴切线方程为y＝4x－1. 再由4x2－4x＋1＝0，得x＝12，y＝4×12－1＝1.
(2)(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，
Q是直线PF与C的一个交点．若F→P＝4F→Q，则|QF|＝( )
7 A.2
B．3
5 C.2
D．2
【自主解答】 如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝4. 过Q作QH⊥l于H，则|QH|＝|QF|. 由题意，得△PHQ∽△PMF， 则有||HMQF||＝||PPQF||＝34， ∴|HQ|＝3.∴|QF|＝3.
2.3.2抛物线的简单几何性质(课件)高二数学(北师大版2019选择性)
法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
解法1 F1(1 , 0),
l的方程为：y x 1
x1
3
2
2
或
x2
y x 1
3y22 24x
x2
y1 2 2 2
y2 2 2 2
AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 = 8
解法2 F1(1 , 0),
(5)若 直 线AB的 倾 斜 角 为， 则|
AB
|
2p
sin2
归纳总结
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口
课堂练习
1，已知点A（-2，3）与抛物线 y2 2 px( p 0)
的焦点的距离是5，则P = 4
。
2，抛物线 y2 4x 的弦AB垂直x轴，若|AB|= 4 3 ，
则焦点到AB的距离为 2
。
3.已知直线x-y=2与抛物线 y2 4x 交于A、B
两点，那么线段AB的中点坐标是 (4, 2) 。
为y²=2px，则| PF |=?
|PF|=x0+p/2
OF
x
②若抛物线方程为
x²=2py，则| PF |=?
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物 线相交于两点，连接这两点的 线段叫做抛物线的焦点弦。
y
A ( x1, y1 )
F
O
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
解法1 F1(1 , 0),
l的方程为：y x 1
x1
3
2
2
或
x2
y x 1
3y22 24x
x2
y1 2 2 2
y2 2 2 2
AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 = 8
解法2 F1(1 , 0),
(5)若 直 线AB的 倾 斜 角 为， 则|
AB
|
2p
sin2
归纳总结
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口
课堂练习
1，已知点A（-2，3）与抛物线 y2 2 px( p 0)
的焦点的距离是5，则P = 4
。
2，抛物线 y2 4x 的弦AB垂直x轴，若|AB|= 4 3 ，
则焦点到AB的距离为 2
。
3.已知直线x-y=2与抛物线 y2 4x 交于A、B
两点，那么线段AB的中点坐标是 (4, 2) 。
为y²=2px，则| PF |=?
|PF|=x0+p/2
OF
x
②若抛物线方程为
x²=2py，则| PF |=?
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物 线相交于两点，连接这两点的 线段叫做抛物线的焦点弦。
y
A ( x1, y1 )
F
O
北师大版选修1-1：2.2.2抛物线的简单几何性质(课件)
2
探究6 探究 设抛物线 y = 2 px 上两动点 ， 为该抛物线 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) M为该抛物线 上一定点， 上一定点，且MA⊥MB，则直线 ⊥ ，则直线AB 是否过定点？ 是否过定点？
2
探究7 探究 若M为抛物线 y = 2px( p > 0) 为抛物线 上一个定点， 、 是抛物线上的两 上一个定点，A、B是抛物线上的两 个动点， 个动点，且 kMA ⋅ kMB = r (r为非零常 为非零常 过定点。 数)，求证：直线 过定点。 ，求证：直线AB过定点
变式1过抛物线 变式 过抛物线 y = 2 px( p > 0) 上一定 点 P( x0 , y0 )( y0 > 0) ，作两条直线分别 交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，若直 p 线AB的斜率为定值 − y ，证明直线 的斜率为定值 0 PA与PB的倾斜角互补 的倾斜角互补. 与 的倾斜角互补
2
M B 直线MA 将“探究6”的 A ⊥ M ⇔ “直线 探究 的 0”变为 与直线MB的倾斜角之差为 的倾斜角之差为90 变为 与直线 的倾斜角之差为 直线MA与直线 与直线MB的倾斜角之和 “直线 与直线 的倾斜角之和 =1,直线 为900”，即 A ⋅ kMB = r ，r =1,直线 ， kM AB过定点. 过定点. 过定点 M B 将“探究6”的 A ⊥ M ⇔ “直线MA 探究 的 直线 0”变为 与直线MB的倾斜角之差为 的倾斜角之差为90 变为 与直线 的倾斜角之差为 直线MA与直线 与直线MB的倾斜角之和 “直线 与直线 的倾斜角之和 不过定点， 为1800”，直线 不过定点，但可得 ，直线AB不过定点 到：
变式3 如图， 变式 如图，抛物线 y = 2 px( p > 0) ， 过点P(1,0)作斜率为 的直线 交抛物 作斜率为k的直线 过点 作斜率为 的直线l交抛物 线于A、 两点 两点， 关于 关于x轴的对称点 线于 、 B两点， A关于 轴的对称点 轴于Q点 为C，直线 交x轴于 点，当k变化 ，直线BC交 轴于 变化 探究点Q是否为定点 是否为定点？ 时，探究点 是否为定点？
探究6 探究 设抛物线 y = 2 px 上两动点 ， 为该抛物线 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) M为该抛物线 上一定点， 上一定点，且MA⊥MB，则直线 ⊥ ，则直线AB 是否过定点？ 是否过定点？
2
探究7 探究 若M为抛物线 y = 2px( p > 0) 为抛物线 上一个定点， 、 是抛物线上的两 上一个定点，A、B是抛物线上的两 个动点， 个动点，且 kMA ⋅ kMB = r (r为非零常 为非零常 过定点。 数)，求证：直线 过定点。 ，求证：直线AB过定点
变式1过抛物线 变式 过抛物线 y = 2 px( p > 0) 上一定 点 P( x0 , y0 )( y0 > 0) ，作两条直线分别 交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，若直 p 线AB的斜率为定值 − y ，证明直线 的斜率为定值 0 PA与PB的倾斜角互补 的倾斜角互补. 与 的倾斜角互补
2
M B 直线MA 将“探究6”的 A ⊥ M ⇔ “直线 探究 的 0”变为 与直线MB的倾斜角之差为 的倾斜角之差为90 变为 与直线 的倾斜角之差为 直线MA与直线 与直线MB的倾斜角之和 “直线 与直线 的倾斜角之和 =1,直线 为900”，即 A ⋅ kMB = r ，r =1,直线 ， kM AB过定点. 过定点. 过定点 M B 将“探究6”的 A ⊥ M ⇔ “直线MA 探究 的 直线 0”变为 与直线MB的倾斜角之差为 的倾斜角之差为90 变为 与直线 的倾斜角之差为 直线MA与直线 与直线MB的倾斜角之和 “直线 与直线 的倾斜角之和 不过定点， 为1800”，直线 不过定点，但可得 ，直线AB不过定点 到：
变式3 如图， 变式 如图，抛物线 y = 2 px( p > 0) ， 过点P(1,0)作斜率为 的直线 交抛物 作斜率为k的直线 过点 作斜率为 的直线l交抛物 线于A、 两点 两点， 关于 关于x轴的对称点 线于 、 B两点， A关于 轴的对称点 轴于Q点 为C，直线 交x轴于 点，当k变化 ，直线BC交 轴于 变化 探究点Q是否为定点 是否为定点？ 时，探究点 是否为定点？
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
高中数学选修2-1北师大版 抛物线的简单性质 课件(36张)
3．设P是拋物线x2＝2y上的一点，若P到此拋物线 的准线距离为8.5，则P点的坐标是________．
解析： p 设 P 点纵坐标为 y0，则 y0＋ ＝y0＋0.5＝ 2
8.5，∴y0＝8，∴x0＝± 4，即 P 点坐标为(± 4,8)．
答案： (±4,8)
4． 已知抛物线的顶点为坐标原点， 对称轴为 x 轴， 且与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2 3，求这 条抛物线的方程．
2．2 拋物线的简单性质
学课前预习学案
太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应 用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是拋物线一 部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．你知道它的 原理是什么吗？ [提示] 太阳光线(平行光束)射到拋物镜面上，经 镜面反射后，反射光线都经过拋物线的焦点，这就 是太阳能灶能把光能转化为热能的理论依据．
讲课堂互动讲义
根据拋物线的性质求标准方程 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 3x2＋4y2＝12 的长轴所在的直线，抛物线焦点到顶 点的距离为 5，求抛物线的方程及准线方程．
[思路导引] 先确定拋物线的方程形式，再求p值．
[边听边记] x 轴上，
x2 y2 椭圆方程可化为 ＋ ＝1， 其长轴在 4 3
[规范解答]
方法一：如图，
1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴， x2 y2 准线过椭圆 ＋ ＝1 的焦点，求抛物线的方程． 16 52
解析： x2 y2 椭圆 ＋ ＝1 的焦点在 y 轴上， 16 52
焦点坐标为(0，－6)，(0,6)． 故抛物线的准线方程为 y＝－6 或 y＝6.
当准线方程为y＝－6时，设抛物线方程为x2＝ 2py(p＞0)， 则p＝12，所求抛物线的方程为x2＝24y； 当准线方程为y＝6时，设抛物线方程为x2＝－ 2py(p＞0)， 则p＝12，所求抛物线的方程为x2＝－24y. 故所求抛物线的方程为x2＝24y或x2＝－24y.
高中数学北师大版选修2-1 3.2.2.2抛物线的简单性质习题课 课件(33张)
1
∴b=0 或 b= 2.
当 b=0 时 ,A,B 两点有一个点与原点 O 重合 ,不符合条件,∴b=2. 答案 :2
-6-
第2课时 抛物线的简单性质习题课
题型一 题型二 题型三 题型四
Hale Waihona Puke M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
【做一做1】 与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为 ( ) A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0 C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0 解析:设与直线2x-y+4=0平行的直线为2x-y+m=0,联立y=x2得x22x-m=0. 由Δ=4+4m=0,得m=-1, ∴所求切线方程为2x-y-1=0. 答案:D
-5-
第2课时 抛物线的简单性质习题课
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
【做一做 2】 直线 y=x+b 交抛物线 y= x2 于 A,B 两点,O 为抛 物线的顶点,OA⊥OB,则 b 的值为 ������ = ������ + ������, 解析 :由 1 2 得 x2-2x-2b=0, ������ = ������
-3-
第2课时 抛物线的简单性质习题课
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
高二数学北师大版选修2-1课件3.2.2 抛物线的简单性质
p
p 0,2 y=2
p
说明 :(1)以 y2=2px(p>0)为例,抛物线上的点趋向于无穷远时,该点的斜 率接近于 x 轴的斜率,即抛物线 y2=2px 向右延长到无穷远时,其曲线与 x 轴 接近平行. (2)对于抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 AB,A(x1,y1),B(x2,y2),有以下结论: ①|AB|=x1+x2+p; 2 ������ ②若直线 AB 的倾斜角为 α,则|AB|= 2 ;
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一 求抛物线方程
【例 1 】 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M(m,-3)到焦点的距离为 5,求 m 的值、抛物线方程和准线方程. 分析 :因顶点在原点,对称轴是 y 轴,点 M(m,-3)位于第三或第四象限,故 可确定所求抛物线方程为 x2=-2py(p>0). 解法一:点为 F 0,- . 2 ∵M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5, ������ 2 = 6������, 故
1 ������ ������
三、抛物线标准方程的四种形式
图像
标准方 2 y =2px(p>0) 程 对称轴 x 轴 顶点 原点 p 焦点坐 ,0 标 2 准线方 p x=-2 程
y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) y轴 p - ,0 2 x=2
p
p 0, 2 y=-2
1
2
1 .给出一个抛物线的方程(能够化为标准方程的形式),判断其焦点位于 哪条坐标轴上以及焦点的坐标 剖析 :如果所给的抛物线的方程不是标准方程的形式,首先将其转化为 标准方程的形式,如果方程中含的是 x 的一次项,则其焦点就在 x 轴上,并且 焦点的横坐标恰好就是一次项系数除以 4 得到的;相应的准线方程是与对 ������ 称轴垂直的一条直线,其方程为 x=- (其中 m 表示一次项系数).同理 ,将其方 程转化为标准方程的形式后,如果含的是 y 的一次项,同样有类似上述结论.
p 0,2 y=2
p
说明 :(1)以 y2=2px(p>0)为例,抛物线上的点趋向于无穷远时,该点的斜 率接近于 x 轴的斜率,即抛物线 y2=2px 向右延长到无穷远时,其曲线与 x 轴 接近平行. (2)对于抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 AB,A(x1,y1),B(x2,y2),有以下结论: ①|AB|=x1+x2+p; 2 ������ ②若直线 AB 的倾斜角为 α,则|AB|= 2 ;
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型一 求抛物线方程
【例 1 】 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M(m,-3)到焦点的距离为 5,求 m 的值、抛物线方程和准线方程. 分析 :因顶点在原点,对称轴是 y 轴,点 M(m,-3)位于第三或第四象限,故 可确定所求抛物线方程为 x2=-2py(p>0). 解法一:点为 F 0,- . 2 ∵M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5, ������ 2 = 6������, 故
1 ������ ������
三、抛物线标准方程的四种形式
图像
标准方 2 y =2px(p>0) 程 对称轴 x 轴 顶点 原点 p 焦点坐 ,0 标 2 准线方 p x=-2 程
y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) y轴 p - ,0 2 x=2
p
p 0, 2 y=-2
1
2
1 .给出一个抛物线的方程(能够化为标准方程的形式),判断其焦点位于 哪条坐标轴上以及焦点的坐标 剖析 :如果所给的抛物线的方程不是标准方程的形式,首先将其转化为 标准方程的形式,如果方程中含的是 x 的一次项,则其焦点就在 x 轴上,并且 焦点的横坐标恰好就是一次项系数除以 4 得到的;相应的准线方程是与对 ������ 称轴垂直的一条直线,其方程为 x=- (其中 m 表示一次项系数).同理 ,将其方 程转化为标准方程的形式后,如果含的是 y 的一次项,同样有类似上述结论.
高中数学选修1-1北师大版 2-3-2抛物线的简单性质 课件(60张)
典
例精析
类型一 抛物线的简单几何性质 [ 例 1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重 合于椭圆 9x2＋4y2＝36短轴所在的直线， 抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方 程． [ 分析 ] 先确定抛物线方程的形式，再依 条件求待定参数．
[ 解]
2 2 x y 椭圆 9x2＋ 4y2＝ 36 可化为 ＋ ＝ 1， 得抛物 4 9
迁移体验1 已知抛物线的焦点F在x轴上， 直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、 B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等 于4，求此抛物线的标准方程．
解：由题意，抛物线方程为 y2＝2px(p≠ 0)， p p 焦点 F( ， 0)，直线 l：x＝ ， 2 2 p p ∴A、 B 两点坐标为( ，p)，( ，－p)， 2 2 ∴|AB|＝2|p |. ∵△OAB 的面积为 4， 1 p ∴ · | |· 2|p |＝4，∴p＝ ± 2 2. 2 2 ∴抛物线方程为 y2＝± 4 2x.
x2＝－ 2py (p>0)
图象
焦点 准线
p F( ， 0) 2 p x＝－ 2 x≥ 0， y∈ R
p F(－ ， 0) 2 p x＝ 2 x≤ 0， y∈ R x轴
p F(0， ) 2 p y＝－ 2 x∈ R， y≥ 0
p F(0，－ ) 2 p y＝ 2 x∈ R， y≤ 0 y轴
性 质
范围 对称轴 顶点 离心率 开口 方向
5．求抛物线x2＝y上到直线2x－y －4＝0的距离最小时的点P的坐 标． 2
解：设点 P(x，y)，则 x ＝y. P 到直线 2x－y－4＝0 的距离为 |2x－ y－4| 5 d＝ ＝ |2x－x2－4|＝ 5 5 5 2 5 |x －2x＋4|＝ [(x－1)2＋3]． 5 5 ∴当 x＝ 1 时，d 最小，此时 y＝1，∴P(1,1)为所求．
3.2.2 抛物线的简单性质 课件(北师大选修2-1)62029
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类型 顶点
y2＝－2px x2＝ y2＝2px(p>0)
(p>0) 2py(p>0) O(0,0)
x2＝－ 2py(p>0)
离心率 性 开口方向
向右
e＝1 向左
向上
向下
质
过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点
通径
P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2| ＝ 2p .
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1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 3．抛物线的离心率是确定的，e＝1； 4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且 它们到顶点的距离相等，均为p2.
∴3＝2p 或 3＝(－2p)×(－1)，p＝32.
故所求抛物线的方程为 y2＝3x 或 y2＝－3x.
返回
[一点通] 由抛物线的性质求抛物线的标准方程时， 关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p的值， 其主要步骤为：
返回
1．以椭圆x2＋2y2＝1中心为顶点，右顶点为焦点的 抛物线的标准方程为________． 解析：∵椭圆x2＋2y2＝1的中心为原点，右顶点为(1,0)， ∴p2＝1，p＝2且抛物线的焦点在x轴正半轴上． ∴所求抛物线的标准方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x
返回
4．平面上点P到定点(0，－1)的距离比它到y＝2的距离小1， 则点P轨迹方程为________． 解析：由题意，即点P到(0，－1)距离与它到y＝1距离相等， 即点P是以(0，－1)为焦点的抛物线，方程为x2＝－4y. 答案：x2＝－4y
返回
5．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点 P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)， 求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最 小值时P点坐标． 解：将x＝3代入抛物线方程 y2＝2x，得y＝± 6.
北师大版选修2-1高中数学3.2.2《抛物线的简单性质》ppt课件
则|AB|= 1 + k2|x1-x2|= 1 + k2 (x1 + x2)2-4x1x2
或|AB|=
1 + k12|y1-y2|=
1
+
1 k2
(y1 + y2)2-4y1y2.
另外,要注意直线方程斜率不存在时的情况.
-15-
ห้องสมุดไป่ตู้
2.2 抛物线的简单性质
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S 随堂练习 UITANG LIANXI
点评解决直线与圆锥曲线的交点问题时,主要方法是构建一元二
次方程,判断其解的个数,确定斜率或直线的倾斜角时,应特别注意斜率为 0 和斜率不存在两种情形,还应注意在抛物线中,直线和曲线有一个公共点并 不一定相切.
-19-
思路分析:因为圆和抛物线都关于 x 轴对称,所以它们的交点也关于 x 轴对称,即公共弦被 x 轴垂直平分,于是由弦长等于 2 3,可知交点纵坐标为 ± 3.
-9-
2.2 抛物线的简单性质
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
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2.2 抛物线的简单性质
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S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
探究四
③由 Δ<0,即 2k2+k-1>0,解得 k<-1 或 k>12.
数学北师大课件：3.2.2抛物线的几何性质(选修2-1)
D.x 2
1 2
y
（三）、例题讲解：
练习2：顶点在坐标原点，对称轴是X轴，点M （-5, 2 5 )到焦点距离为6,则抛物线的标准方 程为
A.y2 4x
B.y2 2x
C.y2 2x
D.y2 4x或x2 36y
（三）、例题讲解：
变式题2：已抛物线C的顶点在坐标原 点，焦点F在X轴的正半轴上,若抛物 线上一动点P到A(2, 1/3),F两点的距 离之和最小值为4,求抛物线的标准方 程。
（三）、例题讲解：
变式题3：已知直线y=(a+1)x与曲线 y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值.
（三）、例题讲解：
练习5：已知直线y=kx+2与抛物线 y2=8x恰有一个公共点,则实数k的值为
A.1
B.1或 3
C .0
D.1或 0
（三）、例题讲解：
例4：已知过点Q(4,1)作抛物线y2=8x 的弦AB,恰被Q平分,求弦AB所在的直线 方程.
(
p ,0) 2
x
p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x
x2 = 2py （p>0）
F
(0,
p) 2
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y≤0 x∈R
y轴
（三）、例题讲解：
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M（２，2 2 ），求 它的标准方程，并用描点法画出图形。
课堂练习：
求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;
北师大版高中数学选修(2-1)-3.2《抛物线》第一课时参考课件1
2 x=- p
2
F(- p ,0) 2 p
x= 2
p F (0, )
2 y=- p
2
F (0, -ຫໍສະໝຸດ p )2p y=
2
例题讲解
例1根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)已知抛物线的焦点坐标是F (2,0);
(2)已知抛物线的准线方程是x 3 . 2
解:(1)设抛物线的标准方程为
y2 2 px( p 0).
这个定点 F叫作抛物线的焦点 ,这条定直线 l叫 做作抛物线的准线 .
分析推导
依抛物线定义,建立如右图 平面直角坐标系
由图知: 准线l与x轴垂直,垂足为点K, l 焦点F在x轴上, KF的中点为坐标系的
y M
原点O.
K
O
F
x
设 KF p( p 0), 则焦点F的坐标为 p ,0
2
准线l的方程为 x p . 2
设点M (x, y)是抛物线上任意一点,点M到l•的距离为d.
由抛物线定义,则抛物线上的点M满足 : MF d.
故: MF (x p)2 y2 ,d x p ,
2
2
所以: (x p)2 y2 x p .
2
2
将上式两边平方并化简,得 :
其焦点坐标为
p 2
,
0
.根据题意有
p 2
2,即p
4,
故标准方程为y2 8x.
(2)设抛物线的标准方程为: y2 2 px( p 0),
其准线方程为x 3 . 2
由题意有 p 3 ,故p 3. 22
因此, 标准方程为y2 6x.
小结：
2
F(- p ,0) 2 p
x= 2
p F (0, )
2 y=- p
2
F (0, -ຫໍສະໝຸດ p )2p y=
2
例题讲解
例1根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)已知抛物线的焦点坐标是F (2,0);
(2)已知抛物线的准线方程是x 3 . 2
解:(1)设抛物线的标准方程为
y2 2 px( p 0).
这个定点 F叫作抛物线的焦点 ,这条定直线 l叫 做作抛物线的准线 .
分析推导
依抛物线定义,建立如右图 平面直角坐标系
由图知: 准线l与x轴垂直,垂足为点K, l 焦点F在x轴上, KF的中点为坐标系的
y M
原点O.
K
O
F
x
设 KF p( p 0), 则焦点F的坐标为 p ,0
2
准线l的方程为 x p . 2
设点M (x, y)是抛物线上任意一点,点M到l•的距离为d.
由抛物线定义,则抛物线上的点M满足 : MF d.
故: MF (x p)2 y2 ,d x p ,
2
2
所以: (x p)2 y2 x p .
2
2
将上式两边平方并化简,得 :
其焦点坐标为
p 2
,
0
.根据题意有
p 2
2,即p
4,
故标准方程为y2 8x.
(2)设抛物线的标准方程为: y2 2 px( p 0),
其准线方程为x 3 . 2
由题意有 p 3 ,故p 3. 22
因此, 标准方程为y2 6x.
小结：
高中数学 3.2第2课时抛物线的简单性质课件 北师大版选
• 2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上
的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于( )
• A．4
B．4或－4
• C．－2 D．－2或2
• [答案] B
[解析] 由题设条件可设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，又点 P 在抛物线上，则 k2＝4p，
∵|PF|＝4∴p2＋2＝4，即 p＝4，∴k＝±4.
• 5．一条直线与一个圆相切的充要条件是这条直线与这个圆 有且只有一个公共点，但不能说一条直线与一条抛物线相切 的充要条件是这条直线与这条抛物线有且只有一个公共点
• 当一条直线与一条抛物线只有一个公共点时，这条直线未必 与该抛物线相切，例如平行于抛物线的对称轴的直线与该抛 物线只有一个公共点，但这条直线并不与这条抛物线相 切．当直线不与抛物线的对称轴平行时，可以根据公共点的 个数来判断直线与抛物线相离、相切或相交的位置关系．
知识要点解读
• 1．在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较
对称轴 对称中心
顶点 焦点 准线 渐近线 离心率
椭圆
双曲线
x轴和y轴
(0,0)
4个
2个
2个
不研究
无 e∈(0,1)
2条 e∈(1，＋∞)
抛物线
x轴或y轴 无
1个(0,0) 1个 1条 无 e＝1
2.参数 p(p＞0)对抛物线开口大小的影响 因为过抛物线的焦点 F 且垂直于对称轴的弦的长度是 2p，所 以 p 越大，开口越大． 3．抛物线的图象具有的特征 抛物线是轴对称图形，其焦点 F 和准线与对称轴的交点关于 原点 O 对称，即若准线与对称轴的交点为 M，则 O 为 MF 的中点． 4．点 P(x0，y0)与抛物线 y2＝2px(p＞0)的位置关系 (1)P(x0，y0)在抛物线 y2＝2px(p＞0)内部⇔y20＜2px0. (2)P(x0，y0)在抛物线 y2＝2px(p＞0)外上⇔y20＝2px0. (3)P(x0，y0)在抛物线 y2＝2px(p＞0)外部⇔y20＞2px0.
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1．抛物线 y2＝2px 上的点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离(焦 半径)：|PF|＝x0＋p2.
2．若过抛物线 y2＝2px 的焦点的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p(焦点弦公式)．当 AB⊥x 轴时，AB 为通径且|AB|＝2p.
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3．已知顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴 的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点 坐标和准线方程． 解：当焦点在x轴正半轴上时， 设方程为y2＝2px(p>0)． 当x＝p2时，y＝±p，由|AB|＝2p＝8，得p＝4.
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故抛物线方程为y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，准线 方程为x＝－2. 当焦点在x轴的负半轴上时， 设方程为y2＝－2px(p>0)． 由对称性知抛物线方程为y2＝－8x， 焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
－2px(p>0)，
设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)， 则|y1|＋|y2|＝2 3，即 y1－y2＝2 3. 由对称性知 y2＝－y1，∴y1＝ 3. 将 y1＝ 3代入 x2＋y2＝4 得 x＝±1， ∴点(1， 3)、(－1， 3)分别在抛物线 y2＝2px、y2＝－2px 上．
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问题1：抛物线有几个焦点？ 提示：一个． 问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？ 提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点． 问题3：抛物线有对称中心吗？ 提示：没有． 问题4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？ 提示：有；1条．
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抛物线的简单性质 x2＝－
类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0) 2py(p>0)
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类型 顶点
y2＝－2px x2＝ y2＝2px(p>0)
(p>0) 2py(p>0) O(0,0)
x2＝－ 2py(p>0)
离心率 性 开口方向
向右
e＝1 向左
向上
向下
质
过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点
通径
P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2| ＝ 2p .
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1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 3．抛物线的离心率是确定的，e＝1； 4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且 它们到顶点的距离相等，均为p2.
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)B(x2，
y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|的值为
()
A．10
B．8
C．6
D．4
解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.
∴由抛物线定义知：
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝
x1＋x2＋2＝6＋2＝8. 答案：B
求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． [思路点拨] 解答本题可设出A、B两点坐标，并 用A、B的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的 距离为圆的半径．
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[精解详析] 设直线 l 与抛物线两交点 A、B 坐标分别为
(x1，y1)、(x2，y2)，则中点 Mx1＋2 x2，y1＋2 y2
∴3＝2p 或 3＝(－2p)×(－1)，p＝32.
故所求抛物线的方程为 y2＝3x 或 y2＝－3x.
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[一点通] 由抛物线的性质求抛物线的标准方程时， 关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p的值， 其主要步骤为：
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1．以椭圆x2＋2y2＝1中心为顶点，右顶点为焦点的 抛物线的标准方程为________． 解析：∴p2＝1，p＝2且抛物线的焦点在x轴正半轴上． ∴所求抛物线的标准方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x
由已知条件可知，点 M 与点 F 的距 离等于它到直线 x＋4＝0 的距离．
根据抛物线的定义，点 M 的轨迹是以 F(4,0)为焦点的抛物线，且p2＝4，即 p＝8.
因为焦点在 x 轴的正半轴上，所以点 M 的轨迹方程为：y2＝16x.
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[一点通] 由于抛物线上的点到焦点距离与到准线 距离相等，所以常把抛物线上点到焦点距离转化为到准 线距离处理．即：若p(x0，y0)是抛物线y2＝2px上任意一 点，则p到焦点F的距离为|PF|＝x0＋p2(称为焦半径)．
3．解决与焦点弦有关的问题：一是注意运用焦点弦所 在直线方程和抛物线方程联立方程组，再结合根与系数的关 系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，注意整体思 想的运用．
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图像
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类型
y2＝－2px
x2＝－
y2＝2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
(p>0)
2py(p>0)
焦点
F(p2，0)
F(－p2，0) F(0，p2)
F(0，－p2)
性 准线 x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
质
范围 x≥0，y∈R x≥0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
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2．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为
顶点且过A，B的抛物线方程是
()
A．y2＝ 63x
B．y2＝－ 63x
C．y2＝±
3 6x
D．y2＝±
3 3x
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解析：当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时，如图所示，∵△OAB 为 等边三角形，且边长为 1.∴A 23，12. 设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)， ∴14＝2p·23，∴p＝ 123， ∴抛物线方程为 y2＝ 63x， 同理，当抛物线的焦点在 x 轴负半轴上时，方程为 y2＝－ 63x. 答案：C
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[例1] 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2 3 ，求这条 抛物线的方程．
[思路点拨] 因为圆和抛物线都关于x轴对称，所以 它们的交点也关于x轴对称，即公共弦被x轴垂直平分， 于是由弦长等于2 3，可知交点纵坐标为± 3.
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[精解详析]如图，设所求抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)或 y2＝
理解教材 新知
知识点
第 三 章
§2 2.2
把握热点 考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
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太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常 生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受 面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的 曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜 面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶 把光能转化为热能的理论依据．
(3 分)
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2
＝x1＋x2＋p
(6 分)
设圆心 M 到准线 x＝－p2的距离为 d，
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则 d＝x1＋2 x2＋p2＝x1＋2x2＋p， ∴d＝|A2B|， 即圆心到准线 x＝－p2的距离等于圆的半径． ∴以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
(9 分) (10 分) (12 分)
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7．(2011·山东高考改编)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦 点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中 点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为________． 解析：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．过焦点F(，0)且斜率 为1的直线方程为y＝x－ p ，与抛物线方程联立可得y2－ 2 2py－p2＝0. 由线段AB的中点的纵坐标为2，得y1＋y2＝2p＝4. 所以p＝2，故抛物线标准方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x
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[例2] 若动点M到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0 的距离小1，求动点M的轨迹方程．
[思路点拨] “点M与点F的距离比它到直线l：x＋5＝0 的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0 的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x＋4＝0 为准线的抛物线．
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[精解详析] 如图，设点 M 的坐标为 (x，y)．
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4．平面上点P到定点(0，－1)的距离比它到y＝2的距离小1， 则点P轨迹方程为________． 解析：由题意，即点P到(0，－1)距离与它到y＝1距离相等， 即点P是以(0，－1)为焦点的抛物线，方程为x2＝－4y. 答案：x2＝－4y
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5．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点 P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)， 求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最 小值时P点坐标． 解：将x＝3代入抛物线方程 y2＝2x，得y＝± 6.
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[一点通] (1) ．涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑 利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离． (2) ．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB是抛物线y2＝ 2px(p>0)过焦点F的一条弦，则①|AB|＝x1＋x2＋p， ②x1·x2＝p42，y1y2＝－p2.
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∵ 6>2，∴A在抛物线内部．
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设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－12的距离为 d， 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 由图可知，当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为72， 设 P(x0，y0)，则 y0＝2， ∴x0＝2. 故 P 点坐标为(2,2).
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[例3] (12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线l过抛物 线焦点Fp2，0与抛物线交于A、B两点．
1．抛物线 y2＝2px 上的点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离(焦 半径)：|PF|＝x0＋p2.
2．若过抛物线 y2＝2px 的焦点的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p(焦点弦公式)．当 AB⊥x 轴时，AB 为通径且|AB|＝2p.
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3．已知顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴 的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点 坐标和准线方程． 解：当焦点在x轴正半轴上时， 设方程为y2＝2px(p>0)． 当x＝p2时，y＝±p，由|AB|＝2p＝8，得p＝4.
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故抛物线方程为y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，准线 方程为x＝－2. 当焦点在x轴的负半轴上时， 设方程为y2＝－2px(p>0)． 由对称性知抛物线方程为y2＝－8x， 焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
－2px(p>0)，
设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)， 则|y1|＋|y2|＝2 3，即 y1－y2＝2 3. 由对称性知 y2＝－y1，∴y1＝ 3. 将 y1＝ 3代入 x2＋y2＝4 得 x＝±1， ∴点(1， 3)、(－1， 3)分别在抛物线 y2＝2px、y2＝－2px 上．
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问题1：抛物线有几个焦点？ 提示：一个． 问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？ 提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点． 问题3：抛物线有对称中心吗？ 提示：没有． 问题4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？ 提示：有；1条．
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抛物线的简单性质 x2＝－
类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0) 2py(p>0)
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类型 顶点
y2＝－2px x2＝ y2＝2px(p>0)
(p>0) 2py(p>0) O(0,0)
x2＝－ 2py(p>0)
离心率 性 开口方向
向右
e＝1 向左
向上
向下
质
过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点
通径
P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2| ＝ 2p .
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1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 3．抛物线的离心率是确定的，e＝1； 4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且 它们到顶点的距离相等，均为p2.
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)B(x2，
y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|的值为
()
A．10
B．8
C．6
D．4
解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.
∴由抛物线定义知：
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝
x1＋x2＋2＝6＋2＝8. 答案：B
求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． [思路点拨] 解答本题可设出A、B两点坐标，并 用A、B的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的 距离为圆的半径．
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[精解详析] 设直线 l 与抛物线两交点 A、B 坐标分别为
(x1，y1)、(x2，y2)，则中点 Mx1＋2 x2，y1＋2 y2
∴3＝2p 或 3＝(－2p)×(－1)，p＝32.
故所求抛物线的方程为 y2＝3x 或 y2＝－3x.
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[一点通] 由抛物线的性质求抛物线的标准方程时， 关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p的值， 其主要步骤为：
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1．以椭圆x2＋2y2＝1中心为顶点，右顶点为焦点的 抛物线的标准方程为________． 解析：∴p2＝1，p＝2且抛物线的焦点在x轴正半轴上． ∴所求抛物线的标准方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x
由已知条件可知，点 M 与点 F 的距 离等于它到直线 x＋4＝0 的距离．
根据抛物线的定义，点 M 的轨迹是以 F(4,0)为焦点的抛物线，且p2＝4，即 p＝8.
因为焦点在 x 轴的正半轴上，所以点 M 的轨迹方程为：y2＝16x.
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[一点通] 由于抛物线上的点到焦点距离与到准线 距离相等，所以常把抛物线上点到焦点距离转化为到准 线距离处理．即：若p(x0，y0)是抛物线y2＝2px上任意一 点，则p到焦点F的距离为|PF|＝x0＋p2(称为焦半径)．
3．解决与焦点弦有关的问题：一是注意运用焦点弦所 在直线方程和抛物线方程联立方程组，再结合根与系数的关 系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，注意整体思 想的运用．
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类型
y2＝－2px
x2＝－
y2＝2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
(p>0)
2py(p>0)
焦点
F(p2，0)
F(－p2，0) F(0，p2)
F(0，－p2)
性 准线 x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
质
范围 x≥0，y∈R x≥0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
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2．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为
顶点且过A，B的抛物线方程是
()
A．y2＝ 63x
B．y2＝－ 63x
C．y2＝±
3 6x
D．y2＝±
3 3x
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解析：当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时，如图所示，∵△OAB 为 等边三角形，且边长为 1.∴A 23，12. 设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)， ∴14＝2p·23，∴p＝ 123， ∴抛物线方程为 y2＝ 63x， 同理，当抛物线的焦点在 x 轴负半轴上时，方程为 y2＝－ 63x. 答案：C
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[例1] 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2 3 ，求这条 抛物线的方程．
[思路点拨] 因为圆和抛物线都关于x轴对称，所以 它们的交点也关于x轴对称，即公共弦被x轴垂直平分， 于是由弦长等于2 3，可知交点纵坐标为± 3.
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[精解详析]如图，设所求抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)或 y2＝
理解教材 新知
知识点
第 三 章
§2 2.2
把握热点 考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
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太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常 生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受 面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的 曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜 面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶 把光能转化为热能的理论依据．
(3 分)
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2
＝x1＋x2＋p
(6 分)
设圆心 M 到准线 x＝－p2的距离为 d，
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则 d＝x1＋2 x2＋p2＝x1＋2x2＋p， ∴d＝|A2B|， 即圆心到准线 x＝－p2的距离等于圆的半径． ∴以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
(9 分) (10 分) (12 分)
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7．(2011·山东高考改编)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦 点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中 点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为________． 解析：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．过焦点F(，0)且斜率 为1的直线方程为y＝x－ p ，与抛物线方程联立可得y2－ 2 2py－p2＝0. 由线段AB的中点的纵坐标为2，得y1＋y2＝2p＝4. 所以p＝2，故抛物线标准方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x
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[例2] 若动点M到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0 的距离小1，求动点M的轨迹方程．
[思路点拨] “点M与点F的距离比它到直线l：x＋5＝0 的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0 的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x＋4＝0 为准线的抛物线．
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[精解详析] 如图，设点 M 的坐标为 (x，y)．
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4．平面上点P到定点(0，－1)的距离比它到y＝2的距离小1， 则点P轨迹方程为________． 解析：由题意，即点P到(0，－1)距离与它到y＝1距离相等， 即点P是以(0，－1)为焦点的抛物线，方程为x2＝－4y. 答案：x2＝－4y
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5．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点 P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)， 求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最 小值时P点坐标． 解：将x＝3代入抛物线方程 y2＝2x，得y＝± 6.
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[一点通] (1) ．涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑 利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离． (2) ．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB是抛物线y2＝ 2px(p>0)过焦点F的一条弦，则①|AB|＝x1＋x2＋p， ②x1·x2＝p42，y1y2＝－p2.
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∵ 6>2，∴A在抛物线内部．
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设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－12的距离为 d， 由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 由图可知，当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为72， 设 P(x0，y0)，则 y0＝2， ∴x0＝2. 故 P 点坐标为(2,2).
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[例3] (12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线l过抛物 线焦点Fp2，0与抛物线交于A、B两点．