经济数学基础线性代数部分重难点解析
线性代数各章节内容重点难点(大一第一学期)
线性代数各章节内容重点难点(大一第一
学期)
教学难点：向量空间、子空间、基、维数等概念的理解和应用，向量的内积和正交矩阵的性质的证明。
第一章：行列式
本章主要介绍了行列式的定义、性质和运算，以及克莱姆法则的应用。
学生需要了解行列式的基本概念和性质，掌握二、三、四阶行列式的计算方法，以及简单的n阶行列式的计算方法。
此外，学生还需要理解克莱姆法则的结论，并会应用于实际问题中。
本章教学难点在于行列式性质的证明。
第二章：矩阵
本章主要介绍了矩阵的概念和各种运算及其规律，包括单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等的性质，矩阵的线性运算、乘法、转置等，以及逆矩阵、伴随矩阵、初等变换、矩阵等价、矩阵秩等概念和方法。
学生需要掌握这些概念和方法，并能够灵活运用于实际问题中。
本章教学难点在于矩阵可
逆的充分必要条件的证明，初等矩阵及其性质，以及分块矩阵及其运算。
第三章：向量
本章主要介绍了向量的概念和相关性质，包括向量组的线性相关与线性无关的概念和性质，向量组的极大线性无关组的概念，向量组的等价和向量组的秩的概念，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，以及向量空间、子空间、基、维数等概念和向量的内积、正交矩阵等性质。
学生需要掌握这些概念和方法，并能够灵活运用于实际问题中。
本章教学难点在于向量空间、子空间、基、维数等概念的理解和应用，以及向量的内积和正交矩阵的性质的证明。
数学考研必备知识点线性代数的重点章节解析
数学考研必备知识点线性代数的重点章节解析一、引言线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域的科学研究和工程实践中。
作为数学考研的一门必备知识，掌握线性代数的重点章节非常关键。
本文将对数学考研必备知识点线性代数的重点章节进行解析，帮助考生全面理解和掌握这些内容。
二、向量空间向量空间是线性代数的基础，包括向量的加法、数乘和向量空间的性质等。
重点章节有：1. 线性相关性与线性无关性：讨论向量组的线性相关性与线性无关性，以及线性相关性的判定方法。
2. 向量空间的维数：介绍向量空间的维数概念及其性质，以及维数的计算方法。
3. 基与坐标：介绍向量空间的一组基及其坐标表示方法，以及基的变换与坐标的变换关系。
三、线性映射与线性变换线性映射与线性变换是线性代数的重要内容，涉及到线性变换的性质、线性变换的表示矩阵和线性映射的核与像等。
重点章节有：1. 线性变换与矩阵：介绍线性变换的定义和性质，并探究线性变换的代数表示——矩阵。
2. 线性变换的核与像：讨论线性变换的核与像的概念，以及它们的性质和计算方法。
3. 线性变换的合成与逆变换：研究线性变换的合成和逆变换的概念与性质，以及相应的计算方法。
四、特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，用于研究线性变换的本质特性。
重点章节有：1. 特征值与特征向量的定义：介绍特征值与特征向量的定义及其性质。
2. 特征值与特征向量的计算：探究特征值与特征向量的计算方法和求解步骤。
3. 对角化与相似矩阵：讨论矩阵的对角化概念及其条件，以及相似矩阵的性质和计算方法。
五、内积空间与正交变换内积空间与正交变换是线性代数的重要分支，包括内积空间的定义与性质、正交变换的概念与性质等。
重点章节有：1. 内积空间的定义与性质：介绍内积空间的定义和性质，包括内积的性质和内积空间的几何解释。
2. 正交向量与正交子空间：研究正交向量和正交子空间的概念、性质及其计算方法。
3. 正交变换与正交矩阵：探究正交变换的定义和性质，以及正交变换的矩阵表示——正交矩阵。
线性代数重点难点
线性代数重点难点一、重点内容及要求：1. 理解行列式的概念，能熟练运用行列式的基本性质以及行列式按行(列)展开定理计算行列式,会用Laplace定理和Cramer 法则解线性方程组。
2. 理解矩阵及其秩的概念，会用初等变换求其秩，掌握线性方程组有解、有唯一解以及无解的条件。
掌握用行的初等变换求方程组解的方法。
3. 会熟练运用矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算法则,会计算方阵乘积的行列式。
理解矩阵可求逆的概念，掌握利用伴随矩阵和初等变换求出矩阵逆的方法。
理解矩阵的初等变换和初等矩阵的关系, 理解初等变换和矩阵乘法的关系，掌握矩阵可逆的充要条件。
掌握分块矩阵的运算法则。
4. 理解线性空间、向量的线性组合和线性表示、向量组等价、向量组的线性相关线性无关以及向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的性质，能判断向量组的线性相关和无关性，会求出向量组的极大线性无关组、确定向量组的秩。
掌握子空间的判断条件，会求出线性空间的基、维数以及向量在一组基下的坐标。
理解基变换的概念，会求过渡矩阵、会用坐标变换公式。
掌握理解向量组的秩与矩阵秩的关系。
理解非齐次线性方程组的解与其导出的齐次线性方程组的解之间的关系、掌握齐次线性方程组基础解系的求法以及写出非齐次线性方程组的通解。
5. 理解内积和欧氏空间的概念，掌握Schmidt正交化方法，理解标准正交基、正交矩阵的概念及其相关性质。
6. 了解线性变换的概念，会写出在基下的矩阵。
理解线性变化和矩阵特定的一一对应关系。
理解并能熟练计算矩阵的特征值和特征向量，掌握矩阵的特征值和特征向量的相关性质。
理解相似矩阵的概念和性质。
掌握矩阵可相似对角阵的充要条件，能熟练地利用之化矩阵为对角阵。
理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，能熟练地用整交矩阵化实对称矩阵化为对角阵。
7. 理解二次型及其秩的概念，理解对称矩阵和二次型的一一对应关系，理解二次型的标准形、规范形概念以及惯性定理，熟练利用配方法和正交矩阵化二次型为标准形。
《经数》考试分析(线性代数)
ABT BT AT BA AB
所以，AB是对称矩阵
3、设A是 m n 矩阵，
试证明 AAT 是对称矩阵
证明：因为
AAT T AT T AT AAT
所以 AAT 是对称矩阵
三、矩阵的初等行变换 与矩阵 的秩、逆矩阵
矩阵的初等行变换是一种 很重要的运算方法，用这种方 法我们可以求矩阵的阶梯形、 矩阵的秩和逆矩阵等. 下一章讨 论线性方程组的问题，初等行 变换同样是重要的方法.
1 0 0
1 1 0
1 0 1
0
1 1
2
1
0 1
2
0
0
1
2
1 1 0 0 1 0
0 0 1
1
2 1 1
3 2 0
1
1
2 0
1
1 0 0
00 10 01
3
2 1 1
3 2 0
1
1
2 0
1
2 2 2
2 2 2
3
(A
B ) 1
2 1
1
3 2 0
1
1
2 0方程组
1、线性方程组 1 3
2 6
x1 x2
5 9
满足结论（ ）
(A) 有惟一解 (B) 有解
(C) 有无穷多解 (D) 无解
思路：
用方程组解的情况判定定理来判别
由
A
1 3
2 6
5 9
(2)(1)(3)10
2 0
5 6
知
r(A) r(A)
所以原方程无解 选项是D
2、若线性方程组的增广
矩阵为
1 2
线性代数知识重难点和常考题型汇总
②、
a11 a21
a12
a22
a1 n a2 n
x1
x2
b1
b2
Ax
b
（向量方程，
A为mn
矩阵， m
个方程， n 个未知数）
am1
am 2
amn xm
bm
⑦、 r( AB) min(r( A), r(B)) ；（※）⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且 AB 0 ，则：（※） Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX 0 解（转置运算后的结论）； 3
Ⅱ、 r( A) r(B) n ⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则 r( AB) r( A) r(B) n ；
③、 a1
a2
an
x1
x2
（全部按列分块，其中
b1 b2
）；
xn
bn
④、 a1 x1 a2 x2 an xn （线性表出）
⑤、有解的充要条件： r( A) r( A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；
3，代数余子式和余子式的关系：
M ij (1)i j Aij
Aij (1)i j M ij
4，设 n 行列式 D ：
n ( n 1)
线性代数重点总结
线性代数重点总结线性代数是现代数学领域的重要分支，它研究线性方程组、向量空间、线性映射等代数结构和它们之间的关系。
在应用数学、工程学、计算机科学等领域中，线性代数起着举足轻重的作用。
本文将以1500字左右的篇幅，对线性代数的重点内容进行总结，旨在为读者提供一份简明扼要、重点突出的学习指南。
第一部分：线性方程组与矩阵1.1 线性方程组的定义及解的存在唯一性线性方程组由多个线性方程组成，它的解是使得方程组中所有方程都成立的解集。
如果线性方程组有解，且解是唯一的，那么称线性方程组是可解且解唯一的。
1.2 线性方程组的矩阵形式将线性方程组用矩阵和向量表示可以简化计算过程。
线性方程组的系数矩阵A、未知数向量X和常数向量B之间满足AX=B的关系。
1.3 线性方程组的消元法高斯消元法和高斯-约当消元法是求解线性方程组的常用方法。
通过对矩阵进行初等行变换，将线性方程组转化为更简化的形式，从而求出解。
1.4 矩阵的运算矩阵的加法、减法和数乘是常见的矩阵运算。
此外，还有矩阵的乘法、转置和逆矩阵等运算。
1.5 矩阵的特征值与特征向量特征值和特征向量描述了矩阵的特征性质。
特征值是方程Ax=λx 的解，其中A是方阵，λ是特征值，x是非零向量。
特征向量则是对应于特征值的非零向量。
第二部分：向量空间与线性映射2.1 向量空间的定义与性质向量空间是具有线性结构的集合。
它满足加法封闭性、数乘封闭性、零向量存在性、加法逆元存在性等性质。
2.2 线性独立与线性相关向量空间中的向量集合线性相关指存在非零向量使得线性组合等于零向量。
线性独立则是指不存在非零向量使得线性组合等于零向量。
2.3 矩阵的秩与行列式矩阵的秩是指矩阵的极大线性无关行（列）数。
行列式是一个与矩阵相关的数值。
2.4 线性变换和线性映射线性变换是定义在向量空间上的函数，它保持向量空间的线性结构。
线性映射是指保持向量空间的线性结构和运算的函数。
第三部分：特殊的矩阵3.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是指矩阵的转置与自身相等。
线性代数中常见的难题,易错题目解析
线性代数中常见的难题,易错题目解析
1、代数精度：在数值分析中，精度指的是数值计算中所得结果的可靠性，也就是说计算结果是否正确取决于数值计算的精度。
此题目可能会难以回答，要求学生根据自身的数学定义和知识框架来理解和作答，其中的考点是数值计算的精度与数值计算成果的可靠性之间的关系。
2、矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵的数学定义，它表示某个矩阵的列数减去它的0行的数目，考察学生对该数学概念的理解程度。
因此，求解矩阵的秩需要对矩阵中的元素进行运算，并判断结果来计算矩阵的秩。
3、线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是一个线性方程组的重要概念，表示该线性方程组的解的性质。
系数矩阵的求解主要是根据矩阵操作的行列式计算方法、决定系统的可解性来确定系数矩阵的结构。
4、矩阵乘法：矩阵乘法是线性代数最重要的基本概念之一，它以秩、矩阵维数和矩阵中元素的乘法计算来表示两个矩阵的乘积结果。
矩阵乘法可以有效地解决实际问题，是解决线性方程组最常用的工具之一。
5、矩阵求逆：矩阵求逆是线性代数中常见的概念，它表示将矩阵转换成单位矩阵的变换。
考生在面对本题时，除了熟悉矩阵求逆的基本概念外，还需要掌握大量的乘法和除法运算，以及应用消元法计算矩阵求逆的过程。
6、行列式：行列式是一种矩阵形式的数形式，它由矩阵中各元素的行列式代数计算所构成的一种数字的结果。
通过行列式可以判断矩阵的可逆性、行列式的值与矩阵元素有关。
学生在解答本题时，要掌握行列式的基本概念和行列式的计算方法，以及应用行列式来确定矩阵的可逆性的过程。
浙江省考研数学复习资料线性代数重难点剖析
浙江省考研数学复习资料线性代数重难点剖析线性代数是数学的一个重要分支，也是考研数学中的一门重要课程。
在浙江省考研数学中，线性代数占据着相当大的比重，因此熟练掌握线性代数的知识点和解题方法对于考生来说至关重要。
本文将针对浙江省考研数学复习资料中的线性代数部分，对其中的重难点进行剖析，帮助考生加深理解和掌握。
1. 向量空间与线性变换向量空间是线性代数的基础概念之一，在考研数学中经常遇到。
首先，我们需要掌握向量空间的定义、性质和相关定理。
例如，零向量的唯一性、向量加法与标量乘法的满足的条件、子空间的定义和判定等。
此外，还需熟练掌握线性变换的概念、矩阵表示和性质。
特别是线性变换的零空间和像空间的计算方法，在解线性方程组和矩阵的运算中具有重要作用。
2. 矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中不可或缺的内容。
在浙江省考研数学复习资料中，矩阵与行列式的相关知识点经常被考察。
矩阵的运算规则、特殊矩阵的性质、矩阵的转置和逆等都是需要重点掌握的内容。
同时，行列式的计算方法、行列式的性质和应用也需要我们深入了解。
尤其是逆矩阵的计算和行列式的性质在解线性方程组和计算矩阵的特征值等方面具有重要作用。
3. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，也是浙江省考研数学中的难点。
我们需要熟练掌握特征值和特征向量的定义、求解特征值和特征向量的方法，并且了解它们在不同领域的应用。
尤其是对于对角化矩阵的理解和运用，可以在矩阵运算和线性变换中简化计算。
4. 线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一大难点，也是浙江省考研数学中常常遇到的题型。
我们需要掌握常数项的齐次和非齐次线性方程组的解法，包括行阶梯形矩阵的求解、高斯消元法和矩阵求逆法等。
此外，还需要了解线性方程组解的存在唯一性和解的结构等相关概念。
5. 内积空间与正交变换内积空间和正交变换是线性代数中的高级内容，也是浙江省考研数学中的高级难点。
我们需要掌握内积的定义和性质，理解正交向量和正交子空间的概念，了解正交矩阵和正交变换的特点。
线性代数重难点大纲
绪论从高科技本质上就是数学技术到CT 技术到数学应用到数学建模到黑客帝国2的矩阵母。
工程数学之线性代数《线性代数》主要讲述矩阵的初步理论及其应用，包括矩阵的代数运算；矩阵的秩与初等变换；矩阵的特征值、特征向量与相似，以及线性方程组和二次型。
n 维向量空间相关性理论则是本课程的难点所在。
全书各部分以线性空间与线性变换为主线，逐渐阐述欧氏空间的理论，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，一方面为学生学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，另一方面培养学生建立数学模型解决实际问题的能力。
第一章 行列式内容概述：行列式是线性代数中的一个重要概念。
本章从二、三元方程组的解的公式出发，引出二阶、三阶行列式的概念，然后推广到n 阶行列式，并导出行列式的一些基本性质及行列式按行（列）展开的定理，最后讲用行列式解n 元方程组的克拉默法则。
第一节 行列式的定义和性质教学目的：复习二阶、三阶行列式的概念，了解逆序概念，掌握到n 阶行列式定义和性质。
重点难点：n 阶行列式定义和性质 教学过程：一、 复习二阶、三阶行列式的概念 1．二阶行列式我们从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。
在线性代数中，将含两个未知量两个方程式的线性方程组的一般形式写为（1）， 用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当112212210a a a a -≠时，有 （2）：（1） （2）这就是二元方程组的解的公式。
但这个公式不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶行列式的概念。
我们称记号（3）为二阶行列式，它表示两项的代数和：11221221a a a a -（3）即定义（4）二阶行列式所表示的两项的代数和，可用下面的对角线法则记忆：从左上角到右下角两个元素相乘取正号，这条连线为主对角线；从右上角到左下角两个元素相乘取负号，这条连线为副对角线（或次对角线），即：由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所以又称它为二元方程组的系数行列式，并用字母D 表示；如果将D 中第一列的元素a 11，a 21 换成常数项b 1，b 2 ，则可得到另一个行列式，用字母D 1表示，按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：，这就是公式（2）中x 1 的表达式的分子。
经济数学基础线性代数部分重难点解析
第三部 线性代数 第1章 行列式1．了解或理解一些基本概念（1）了解n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念； （2）了解n 阶行列式性质，尤其是：性质1 行列式D 和其转置行列式T D 相等；性质2 若将行列式的任意两行（或列）互换，则行列式的值改变符号； 性质3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式记号的外面；性质5 若将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上，则行列式的值不变．例1 设行列式211201231--=D ，则D 中元素223=a 的代数余子式23A = 。
解 由代数余子式的定义ij A ij ji M +-=)1(，其中ij M 为ij a 的余子式，可知 23A =11311131)1(32-=-+。
应该填写 1131-。
例2 下列等式成立的是（ ） ，其中d c b a ,,,为常数。
A ．acb d dc ba -= B ．111111c bd a d c b a +=++C ．d c b a d c ba 22222= D ．111111c b d a d c b a ⋅=⋅⋅ 解 因为 dc ba d cb acd a b a b c d a c b d ≠-==-=-，所以选项A 是错误的。
由行列式性质4可知，111111c b d a d c b a +=++，所以选项B 是正确的。
因为d c ba d cb a dc b a 242222≠=，所以选项C 是错误的。
因为1111,11c b d a cd ab d c b a ⋅-=⋅⋅=))((c b d a --，111111c b d a d c b a ⋅≠⋅⋅，所以选项D 是错误的。
例3 行列式4321100001000010=D = 。
解 按第1列展开行列式，得6300020001)1(432130000200001014-=-==+D故应该填写 –6。
2．掌握行列式的计算方法化三角形法：利用行列式性质化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值。
经济数学基础重难点解析
例3
(1)若某种商品的需求量q是价格p的函数，q=100·2-p，则它的需求弹 性Ep=
(2)某商品的需求弹性为Ep=-bp(b>0)。那么，当价格p提高1%时， 需求量将会（ ）
A.增加bp B.减少bp
C.减少bp% D.增加bp%
解 (1)
E p q (p p )q '(p )p ( 1 1 0 0 2 2 p 0 0 p ln 2 ) p ln 2
保会通财务软件 bhtsoft/
经济数学基础重难点解析
保会通财务软件
保会通财务软件 bhtsoft/
第一章 函数
一、函数的概念
1、函数的定义域 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的全体。它的基本要求是： (1)分式的分母不能为零。 (2)偶次方根下的表达式非负。 (3)对数函数中的真数表达式大于零。 如果函数是由多个表达式的代数和构成，则定义域为使各表达式有意义
当|Ep|=1时，商品需求量相对变化的百分比等于相对价格 的百分比，此时无论是降价还是涨价，对收入基本没有影 响。
当|Ep|<1时，商品的需求量相对变化的百分比，此时，降 价将使收入减少，反之适当涨价，需求量虽然降低，但降 低的幅度小于涨价的幅度，因此，收入将会增加。
保会通财务软件 bhtsoft/
保会通财务软件 bhtsoft/
三、需求弹性 由需求弹性公式
E pq (p p )q '(p )lim q ( p p )//q p (p ) 可知，之需pp比求的弹极性限是(△需p求→q0()p。)的因相此对，改需变求量弹性可q与q((以pp价)) 理格解p为的需相求对量改变变化量的
导数运算的重点是复合函数求导数，难点是复合函数求导数和隐函 数求导数。
线性代数 复习重点和难点
线性代数复习重点和难点第一章行列式（1）2、3 阶及n阶行列式二阶、三阶行列式概念，行列式的元素的余子式和代数余子式概念， n阶行列式的展开定义。
（2）行列式的性质用行列式的性质计算行列式。
（3）行列式的计算二阶、三阶行列式的计算；用降阶法（按行或按列展开法）计算数字元素行列式的方法。
（4）克莱姆法则克莱姆法则；齐次线性方程组有非零解的条件。
第二章矩阵（1）矩阵的概念及几种特殊的矩阵矩阵的定义，特殊矩阵的结构（零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、上三角矩阵、下三角矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵、单位矩阵、矩阵的相等、方阵的行列式）。
（2）矩阵的运算矩阵加法法则；数乘矩阵法则；矩阵乘法。
（3）逆矩阵逆矩阵概念，矩阵可逆的充分必要条件；求可逆矩阵的逆矩阵。
求解矩阵方程。
（4）分块矩阵分块矩阵的概念；矩阵运算时分块的方法。
（5）矩阵的初等变换与初等方阵矩阵的初等变换，对矩阵施以初等行变换与列变换。
将矩阵化为初等变换标准形。
初等方阵的概念，初等方阵左乘矩阵与右乘矩阵的性质及其运用。
初等变换求可逆方阵的逆矩阵的方法。
第三章线性方程组（1）线性方程组的消元解法矩阵的初等行变换与方程组高斯消元法的关系；将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵并根据简化形阶梯形矩阵判断方程组解的情况。
非齐次线性方程组解的判定条件。
齐次线性方程组解的判定条件。
（2）n 维向量的概念n 维向量的概念。
向量加法法则及运算律。
数乘向量法则及运算律。
n 维向量空间概念。
（3）向量间的线性关系线性组合（线性表出）概念；几个重要结论（零向量可由任何向量组线性表出；任何n 维向量可由n 维单位向量组线性表出；向量组中任何向量可由该组向量线性表出）。
向量的线性相关与线性无关概念。
分量已给出的向量组的线性相关和线性无关性的判定方法。
向量组的线性性质（线性相关向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表出；若βααα,,,,21s 线性相关，而s ααα,,,21 线性无关，则β可由s ααα,,,21 唯一线性表出）。
山东省考研数学复习资料线性代数重点难点解析
山东省考研数学复习资料线性代数重点难点解析线性代数作为数学的一个重要分支，是考研数学科目中的一项重难点内容。
在山东省考研的数学复习中，线性代数的学习和掌握尤为重要。
本文将针对山东省考研数学复习中线性代数部分的重点难点进行解析，帮助考生更好地应对考试。
一、向量与矩阵向量和矩阵是线性代数的基础概念，也是后续内容的重要基础。
在复习过程中，考生需牢固掌握向量和矩阵的定义、性质及运算规则。
特别是对于向量的线性相关与线性无关、矩阵的秩、特征值等概念和以及相应的计算方法，需要做到熟练运用。
二、线性方程组线性方程组是线性代数的核心内容，也是考试中经常出现的题型。
考生需要熟悉线性方程组的解的存在性和唯一性相关定理，并能够应用高斯消元法、矩阵的初等变换等方法求解线性方程组。
此外，对于齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解空间、基础解系等概念，也需要进行深入理解和掌握。
三、线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数的重要内容，对于考生来说也是相对较难的部分。
在复习过程中，考生需要详细了解线性空间的定义和性质，熟悉子空间和商空间的概念，并能够判断一个给定的子空间是否为一个线性空间。
对于线性变换的概念以及线性变换的矩阵表示和特征值、特征向量的计算方法，也需要有清晰的认识和掌握。
四、内积空间与特征值内积空间和特征值是线性代数的扩展内容，是考试中的难点。
考生需要对内积空间的定义和内积的性质有深入理解，掌握柯西不等式和施瓦茨不等式等重要定理的应用。
在特征值的计算上，需要掌握特征多项式的定义和计算方法，并能够通过特征多项式求得特征值和特征向量。
五、奇异值分解与特征分解奇异值分解和特征分解是线性代数的高级内容，但在考试中也有可能出现相关题目。
考生需要了解奇异值和奇异向量的概念，并能够应用奇异值分解的方法求解问题。
对于特征分解的应用，考生需要理解特征分解的定义和性质，掌握对称矩阵和正交矩阵的特征分解方法。
六、实际问题的线性代数模型线性代数作为数学的应用学科，具有很强的实际应用性。
上海市考研数学线性代数重难点剖析
上海市考研数学线性代数重难点剖析线性代数作为数学的一个重要分支，是大多数理工科学生在考研数学中必修的一门课程。
而在上海市的考研数学中，线性代数更是属于重点考查的一部分。
本文将对上海市考研数学线性代数的重难点进行剖析，帮助考生深入了解这些难点，并提供相应的解题思路。
一、矩阵的主元与秩矩阵的主元与秩是考研数学中线性代数的重要内容，也是考生需要重点掌握的知识点。
在解题过程中，首先需要确定矩阵的主元位置，然后计算矩阵的秩。
对于复杂的矩阵问题，可以通过高斯消元法、初等变换等方法来求解。
考生可以结合具体例题进行练习，提高解题技巧和速度。
二、线性方程组的解法线性代数中，线性方程组是一个重点和难点。
对于给定的线性方程组，需要通过高斯消元法或矩阵求逆的方法来求解。
此外，线性方程组的解的存在性与唯一性也是一个需要重点关注的问题。
考生需要熟悉线性方程组的解的判定条件，掌握解的性质和计算方法。
三、特征值与特征向量特征值与特征向量是研究矩阵的一个重要概念，也是考生需要重点掌握的内容。
对于给定的方阵，需要通过求解特征值和特征向量来进行分析和计算。
在求解过程中，可以利用特征多项式和特征方程的性质来简化计算。
此外，特征值和特征向量的相关概念和定理也需要考生进行深入理解和掌握。
四、线性空间与基线性空间与基是线性代数中的基本概念，也是考生需要重点掌握的内容。
线性空间描述了向量空间的性质和结构，基是线性空间的一个重要组成部分。
考生需要熟悉线性空间和基的定义、性质，了解向量空间的子空间和维数的相关概念，并能够运用到解题过程中。
五、二次型与正交对角化二次型是线性代数中一个重要的概念，与正交对角化也是一个需要重点关注的内容。
考生需要掌握二次型的定义、矩阵表示和正定、负定以及半正定、半负定的判定条件。
此外，还需要了解正交对角化的方法和步骤，并能够应用到具体问题中。
总结：上海市考研数学线性代数的重难点主要包括矩阵的主元与秩、线性方程组的解法、特征值与特征向量、线性空间与基、二次型与正交对角化等内容。
线性代数难点解析
一章行列式一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。
2、掌握：行列式的基本性质及推论。
3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。
二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。
三、重要公式1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-14、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi四、题型及解题思路1、有关行列式概念与性质的命题2、行列式的计算（方法）1）利用定义2）按某行（列）展开使行列式降阶3）利用行列式的性质①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。
②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。
③逐次行（列）相加减，化简行列式。
④把行列式拆成几个行列式的和差。
4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式5）数学归纳法，多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。
注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。
4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出第二章矩阵一、重点1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1）交换律一般不成立，即AB≠BA2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2(AB)k≠AkBk(A+B)(A-B)≠A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。
线性代数难点解析
线性代数难点解析一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。
2、掌握：行列式的基本性质及推论。
3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。
二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。
三、重要公式1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-14、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi四、题型及解题思路1、有关行列式概念与性质的命题2、行列式的计算（方法）1）利用定义2）按某行（列）展开使行列式降阶3）利用行列式的性质①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。
②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。
③逐次行（列）相加减，化简行列式。
④把行列式拆成几个行列式的和差。
4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式5）数学归纳法，多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。
注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。
4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax ＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出第二章矩阵一、重点1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1）交换律一般不成立，即AB≠BA2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2(AB)k≠AkBk(A+B)(A-B)≠A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。
线性代数易错点及重点知识点
线性代数易错及重点知识点 翔翔总结，不晓得大家看得懂不324712432的余子式是327134722412，而不是23271 上三角和下三角行列式都是a1a2a3.....an=A反三角行列式为A*（-1）^n(n-1)/2行列式的一行的代数余子式分别乘以另一行元素，值为零。
正反三角行列式如果不记得公式了，可以通过上下换行的形式变成正三角行列式。
克莱姆法则D=22211211a a a a ,D1=222121a b a b D2=22211211a a a a x1=D1/D 同理x2=D2/D 范德蒙法则：行列式的值=(x n -x n-1)(x n -x n-2)……(x n -x 1)(x n-1-x n-2……)(x 2-x 1)若一个线性方程组有非零解，则它的行列式式值等于零。
行列式中行叫c ，列叫r写行列式变换过程中要在等号上写变换方法，如c2-c3.不然老师看不懂步骤，无法给分 化三角行列式先化第一列，在化第二列，按顺序来化，这样才不会出现问题。
n 维向量分横向量和列向量。
写向量时一定要记得在上面加箭头任意一个n 维向量都能由n 个n 维单位向量线性表示如果b1=k1a1+k2a2+k3a3,线性表示不一定要求k1,k2,k3不全为零。
如果一个向量a 线性相关，则a=0由一个非零向量构成的向量组一定线性无关。
即a ≠0则a 这个向量组线性无关。
含有零向量的向量组一定线性相关例a1=（1，1）a2=（2，3）求这两个向量组是否线性相关解：k1a1+k2a2=0 k1(1,1)+k2(2,3)=0K1+2k2=0 k1+3k2=0 3121≠0所以k 全是零解，所以线性无关 a3=a1+a2,则a1,a2,a3线性相关一个向量组中的一个向量可由其他向量线性表示，那么这个向量组线性相关，能线性表示不一定要k 不全为零，但是线性相关一定要不全为零两个向量线性相关除非他们对应分量成比例。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
经济数学基础线性代数部分重难点解析第三部 线性代数 第1章 行列式1．了解或理解一些基本概念（1）了解n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念；（2）了解n 阶行列式性质，尤其是： 性质1 行列式D 与其转置行列式TD 相等； 性质2 若将行列式的任意两行（或列）互换，则行列式的值改变符号；性质3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式记号的外面；性质5 若将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上，则行列式的值不变．例1 设行列式21121231--=D ，则D 中元素223=a的代数余子式23A = 。
解 由代数余子式的定义ijA ijj i M +-=)1(，其中ijM 为ija 的余子式，可知23A =11311131)1(32-=-+。
应该填写1131-。
例 2 下列等式成立的是（ ） ，其中d c b a ,,,为常数。
A ．ac bd d c b a -= B ．111111c b d a dcba +=++C ．d c b a dcb a22222= D ．111111c bd a d c ba ⋅=⋅⋅解 因为dc b ad c b a c d a b a b c d a cb d ≠-==-=-，所以选项A 是错误的。
由行列式性质4可知，111111cb d a d cba +=++，所以选项B 是正确的。
因为dc bad c b a d c b a 242222≠=，所以选项C 是错误的。
因为1111,11c bd a cd ab d c b a ⋅-=⋅⋅=))((c b d a --，111111c b d a d c b a ⋅≠⋅⋅，所以选项D 是错误的。
例3 行列式4321100001000010=D = 。
解 按第1列展开行列式，得6300020001)1(432130000200001014-=-==+D故应该填写 –6。
2．掌握行列式的计算方法 化三角形法：利用行列式性质化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值。
降阶法：利用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素，然后按这零元素最多的行（或列）化成低一阶行列式，直至降到三阶或二阶行列式，最后直接计算。
例4 计算行列式121212121121121。
解 此行列式的特点是每一行或每一列的元素之和相等，利用这个特点将行列式的第二、三列都加到第一列相应的元素上，再化为三角形行列式求值。
121212121121121=1212212122112=212100212112--=21002102112-=21- 例5 计算行列式9213100161313121-----------解 用降阶法求之。
1221513412122130001513141219213100161313121--------=----------=-----------1520511205101412=---=------= 例6 计算行列式466353331---+---x x x解 用降阶法求之。
466353331---+---x x x =416313301)2(426323301------+=-+--+---x x x x x x x=]9)1)[(2(1331)2(103313301)2(2--+=----+=------+x x x x x x x x=)10)(8)(2(--+x x x 。
3．知道克拉默法则．第2章 矩阵1．了解或理解一些基本概念（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；（2）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质；（3）理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；（4）了解矩阵秩的概念；（5）理解矩阵初等行变换的概念。
例1 若A ，B 是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（ ）。
A ．000＝或＝，则＝若B A AB B ．2222)+(B B A A B A +⋅+＝C. 若秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 则秩0)(≠ABD. 若秩,)(n A = 秩,)(n B =则秩n AB =)(解 A ： 00＝或＝B A 只是0＝AB 的充分条件，而不是必要条件，故A 错误；B ：222)+(B A B B A A B A +⋅+⋅+＝，矩阵乘法一般不满足交换律，即A B B A ⋅≠⋅，故B 错误；C ：由秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 说明A ，B 两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能是0矩阵，故秩0)(≠AB 不一定成立，即C 错误；D ：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D 正确。
例2 矩阵13210011000010001000-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩是( )A. 1B. 2C. 3D. 4解 化成阶梯形矩阵后，可知有3个非0行，故该矩阵的秩为3。
例3 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--913210063，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=801962B则矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 。
解 根据乘法法则可知，矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 3×2＋（－1）×9＋9×0＝－3 应该填写-3例4 设A 是m ⨯n 矩阵,B 是s ⨯n 矩阵, 则运算有意义的是 。
A ．TAB B ．AB C ．A T B D ．A T B T解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，它们的乘积才有意义，故矩阵TAB 有意义。
正确的选项是A 。
例5 设方程XA －B =X ，如果A －I 可逆，则X = 。
解 由XA －B =X ，得XA －X =B ，X (A －I )=B ，故X = B (A －I )－1。
应该填写B (A －I )－12． 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质； 3．熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。
例6 设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=210321B ，计算TBA I -．解：因为 TBA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2435所以T BA I -⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=24351001⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1436例7 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡367601012b b a a ，求常数a ，b 。
解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡3676010122a ab b a ab b b a a由 6,7,32==+=ab b a a ，得a = 3，b = 2例8 设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =．解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1301102110015321)(I A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13251001所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-13251A且1-=BA X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=13253221⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1101．例9 设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011120A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=110012B ，计算1T )(-AB .解 因为 T AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011120⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1112且 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10110112][TI AB⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→10112130⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→3231101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→323110313101所以1T )(-AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32313131例10 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301111010A ，求逆矩阵1)(--A I ．解：因为)(A I -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---201101011，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-101210011110001011100201010101001011)(I AI⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→11010012101012001110100011110010101所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--110121120)(1A I例11 设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．证 因为 B B A A ==TT，，且 TTT)()()(BA AB BA AB +=+TT T T B A A B += AB BA +=BA AB += 所以 AB ＋BA 是对称矩阵．例12 设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．证 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2。
所以 A 为可逆矩阵．第3章 线性方程组1．了解线性方程组的有关概念：n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解。
2．理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。
例1 线性方程组⎩⎨⎧=-=+0223221x x x x 的系数矩阵是( )。
A ．2×3矩阵B ． 3×2矩阵C ．3阶矩阵D ．2阶矩阵解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵。
正确的选项是A 。
例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( )。
A ．可能有非零解B ．有无穷多解C ．无解D ．有唯一解 解 线性方程组AX =B 有唯一解，说明秩(A ) = n ，故AX = 0只有唯一解（零解）。
正确的选项是D 。
例3 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解。
A ．1B ．4C ．2D ．12解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λ→021021此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021=λ-，从而λ＝12，即正确的选项是D 。
例4 若非齐次线性方程组A m ×n X = B 有唯一解，那么有 ( )。
A ．秩(A ，B )＝n B ．秩(A )＝nC ．秩(A )＝秩（A ，B ）D ．秩(A ）＝秩(A ，B )＝n解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知D 正确。
例5 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3.又因为r (A ) ≠ r (A )，所以方程组无解. 例6 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++-=++032038204214321321x x x x x x x x x x 的一般解．解： 因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000012101301121036300111103238120111A所以，一般解为：⎩⎨⎧+=--=43243123x x x x x x ， 其中3x ，4x 是自由未知量．例7 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-+-=++-1232122023432143214321x x x x x x x x x x x x解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=13 1101311001231123211212101231A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→001001301038001002001311001231因为 秩(⎺A ) = 秩(A ) = 3， 所以 方程组有解。