高中数学北师大版选修2-1练习第三章4.2-4.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点2含解析
高中数学选修2-1北师大版 圆锥曲线的共同特征 学案(含答案)
4.2 圆锥曲线的共同特征自主整理1.圆锥曲线的共同特征:圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离___________为定值e,当0<e<1时,圆锥曲线是___________;当e>1时,圆锥曲线是___________;当e=1时,圆锥曲线是___________.其中,e 是___________,定点是圆锥曲线的___________,定直线是圆锥曲线的___________.2.椭圆和双曲线都有两条准线,椭圆2222b y a x +=1(a>b>0)的准线方程为___________,2222b x a y +=1(a>b>0)的准线方程为___________,双曲线2222b y a x -=1(a>0,b>0)的准线方程为___________,双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)的准线方程为___________.3.抛物线有___________焦点___________,准线___________.高手笔记1.理解圆锥曲线的共同特征,由于e 的取值不同,导致圆锥曲线从形状上依次表示椭圆,双曲线和抛物线,应注意定义中的定点与定直线是对应的,如F 为左焦点时,l 为左准线,若F 为右焦点,则l 为右准线等.切记不可以左焦点F 对应右准线l 等情况发生.2.利用圆锥曲线的共同特征可以写出焦半径公式.如椭圆2222b y a x +=1(a>b>0)上一点P(x 0,y 0),则|PF 1|=a+ex 0,|PF 2|=a-ex 0.再如双曲线方程2222by a x -=1(a>0,b>0),若P(x 0,y 0)为双曲线右支上一点时,|PF 1|=a+ex 0,|PF 2|=ex 0-a.对于双曲线中的焦半径的表达式中,点P 在左,右两支上时,形式有所不同,此问题无需死记,只要运用圆锥曲线的共同特征,便可迅速求出结果来. 名师解惑如何求圆锥曲线的准线方程?剖析:首先应确定圆锥曲线的标准方程,根据焦点所在坐标轴,对应的准线方程形式写出相应的准线方程来.准线方程取决于圆锥曲线在坐标系中的位置,但准线到椭圆,双曲线中心的距离不变,据此可写出准线方程.准线总是垂直于焦点所在的坐标轴.椭圆和双曲线的准线方程形式有x=±c a 2或y=±ca 2,而抛物线的准线方程形式有x=±2p 或y=±2p .若椭圆,双曲线和抛物线方程不是标准方程时,它的准线方程就不是上面的形式,应根据曲线在坐标系中的位置来确定准线方程. 讲练互动【例1】已知定点A(-2,3),点F 为椭圆121622y x +=1的右焦点,点M 在椭圆上运动,求|AM|+2|MF|的最小值,及此时点M 的坐标.解析:应用椭圆的几何性质及圆锥曲线的共同特征,把式子中|MF|用点M 到相应准线的距离表示出来,利用这种转化,问题便迎刃而解.答案:因为a=4,b=23,所以c=22b a -=2.所以e=21.A 点在椭圆内,设M 到右准线的距离为d,则d MF ||=e,即|MF|=ed=21d,右准线l:x=8,所以|AM|+2|MF|=|AM|+d. 因为A 点在椭圆内,所以过A 作AK ⊥l(l 为右准线)于K,交椭圆于点M 0,则A,M,K 三点共线,即M 与M 0重合时,|AM|+d 最小为AK,其值为8-(-2)=10. 故|AM|+2|MF|的最小值为10,此时M 点坐标为(23,3). 绿色通道作出草图帮助分析问题.许多数学问题中常出现具有某种特征的数值,若能抓住这些数值的规律及特殊含义,加以分析,联想,可迅速获得问题的解答策略,否则会造成过程繁杂或在问题解决中产生思维障碍. 变式训练1.已知双曲线16922y x -=1的右焦点为F,点A(9,2),M 为双曲线上的动点,则|MA|+53|MF|的最小值为________________.解析:双曲线的离心率e=35,则dMF ||=e(d 为点M 到右准线l 的距离),右准线l 的方程为x=59,显然当AM ⊥l 时,|AM|+d 最小,而|AM|+53|MF|=|MA|+53de=|MA|+d,而|AM|+d 的最小值是A到l 的距离为9-53659=.答案:536【例2】在双曲线91622y x -=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. 解析:用圆锥曲线的共同特征转化两个距离间的关系,即建立方程求解.答案:设P 点坐标为(x 0,y 0),F 1,F 2分别为双曲线的左,右焦点,准线方程为x=±516.由于|PF 1|=2|PF 2|>|PF 2|,故P 在右支上. 所以516||01+x PF =e=516||02-x PF .因为|PF 1|=2|PF 2|,所以2(x 0-516)=x 0+516.所以x 0=548. 因为P 在双曲线上,所以16)548(2-920y =1.所以y 0=±53119.所以P(548,±11953).绿色通道在圆锥曲线的焦半径问题中,常用圆锥曲线的共同特征去转化问题,可使解题过程简便快捷,也可以直接设点构造方程来求解.变式训练2.已知双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0),F 1,F 2为双曲线的左,右焦点,点P 在双曲线上运动时,求|PF 1||PF 2|的最小值.答案:设P 点的横坐标为x 0,则x 02≥a 2.由圆锥曲线的共同特征,知|PF 1|=|x 0+ca 2|e=|a+ex 0|,|PF 2|=e|x 0-c a 2|=|ex 0-a|, 所以|PF 1||PF 2|=|ex 0-a||ex 0+a|=|ca 2x 02-a 2|.因为c 2≥a 2,x 02≥a 2,所以ca 2x 02≥a 2.所以|PF 1||PF 2|=c a 2x 02-a 2≥ca 2×a 2-a 2=c 2-a 2=b 2,即|PF 1||PF 2|的最小值为b 2.【例3】点M(x,y)与定点(3,0)的距离和它到定直线l:x=325的距离的比是常数53,求点M 的轨迹.解析:由圆锥曲线的共同特征可知,M 点的轨迹为椭圆,但方程是否为标准方程需分析讨论来确定.答案:由题设及圆锥曲线的共同特征,知M 点的轨迹是椭圆,且右焦点F(3,0),相应的右准线l:x=325, 所以ca 2-c=325-3=316,且a c =53.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=316,532c ca a c 解得c=3,a=5.因为c=3且F(3,0),所以椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,故方程为2222by a x +=1(a>b>0),由a=5,c=3,得b=4,故所求点M 的轨迹方程为162522y x +=1. 绿色通道题中没有明确椭圆的中心是否在原点,就不能知道方程是否为标准方程,因此也不能依定点(3,0)而直接得出c=3的结果.焦点坐标,准线方程与椭圆在坐标系中的位置有关,但是焦点到相应准线的距离ca 2-c 与椭圆在坐标系中的位置无关,此类问题也可用直接求轨迹方程的方法直接列出方程,再化简求得. 变式训练3.已知双曲线的右准线为x=4,右焦点F(10,0),离心率e=2,求双曲线的方程. 答案:设双曲线上任意一点M(x,y),由圆锥曲线的共同特征,得|4|)10(22-+-x y x =e=2,化简整理,得所求双曲线的方程为4816)2(22y x --=1. 教材链接【思考交流】曲线上的点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=516的距离的比是常数45,(1)求曲线方程;(2)指出与例2的相同处和不同处,与同学交流.答:(1)设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,曲线上的点M 满足d MF ||=45, 由此得|516|)5(22x y x -+-=45,即有22)5(y x +-=45|516-x|, 化简,得91622y x -=1. (2)本题与例2除常数的值不同外,其余的题设条件相同.由于例2中e=21∈(0,1),故得到的方程是椭圆的方程,本题中e=45>1,故得到的方程是双曲线的方程.。
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-1___第三章 圆锥曲线与方程3.4.2-3.4.3
一 二 思考辨析
首页
X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)椭圆������������22
+
名师点拨两条曲线有交点的充要条件是由这两条曲线的方程所 组成的方程组有实数解.方程组有几个解,则两条曲线就有几个交 点.
一 二 思考辨析
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X D 新知导学 INZHIDAOXUE
答疑解惑
AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
【做一做2】 求曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点.
由
������ = ������������ + 1, ������2 = 2������,
消去y,整理,得k2x2+2(k-1)x+1=0.
∴当k=0时,y=1;
当k≠0时,Δ=0⇒k=
1 2
.
∴直线方程为x-2y+2=0.
∴直线方程有三条,分别为x=0,y=1,x-2y+2=0.
探究一
探究二
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则||������������������������||=e=12,∴|MN|=2|MF|,
即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|,
当A,M,N同时在垂直于右准线的一条直线上时,|AM|+2|MF|取得
最小值, 此时 yM=yA=√3,代入1������62 + 1������22=1,
北师大版高中数学选修2-1精练：第三章 圆锥曲线与方程 习题课3 Word版含答案
习题课——直线与圆锥曲线的综合问题课后训练案巩固提升A组1、直线y=x+b交抛物线y=x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为( )A、-1B、0C、1D、2详细解析:设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，将y=x+b代入y=x2，化简可得x2-2x-2b=0，故x1+x2=2，x1x2=-2b，所以y1y2=x1x2+b( x1+x2 )+b2=b2、又OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即-2b+b2=0，则b=2或b=0，经检验b=0时，不满足OA⊥OB，故b=2、正确答案:D2、( 2016·全国丙高考)已知O为坐标原点，F是椭圆C:=1( a>b>0 )的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴、过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E、若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A、B、C、D、详细解析:由题意，不妨设直线l的方程为y=k( x+a )，k>0，分别令x=-c与x=0，得|FM|=k( a-c )，|OE|=ka、设OE的中点为G，由△OBG∽△FBM，得，即，整理，得，故椭圆的离心率e=，故选A、正确答案:A3、已知双曲线=1( a>0，b>0 )的渐近线均和圆C:x2+y2-6x+8=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A、=1B、=1C、-y2=1D、x2-=1详细解析:圆C:x2+y2-6x+8=0可化为( x-3 )2+y2=1，∴圆心为( 3，0 )，半径为1、双曲线=1( a>0，b>0 )的渐近线方程为y=±x、∵双曲线的渐近线与圆C相切，∴=1、又双曲线的右焦点为圆C的圆心，∴c=3、结合c2=a2+b2解得b=1，a=2、∴双曲线的方程为-y2=1、故选C、正确答案:C4、已知双曲线=1( a>0，b>0 )与直线y=2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )A、( 1，)B、( 1，)∪( ，+∞ )C、( ，+∞ )D、[，+∞ )详细解析:直线y=2x必过原点，要使直线与双曲线有交点，则双曲线渐近线的斜率|k|>2，即>2，则有>4，所以e2=>5，所以e>、故选C、正确答案:C5、若过椭圆=1内一点( 2，1 )的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是、详细解析:设弦两端点分别为A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，则=1，=1，两式相减并把x1+x2=4，y1+y2=2代入得，=-、∴所求直线的方程为y-1=-( x-2 )，即x+2y-4=0、正确答案:x+2y-4=06、过原点的直线l与双曲线C:=1( a>0，b>0 )的左、右两支分别相交于A，B两点，F( -，0 )是双曲线C的左焦点，若|FA|+|FB|=4，=0，则双曲线C的方程为、详细解析:∵，∴FA⊥FB，∴△AFB为直角三角形、∵过原点的直线l与双曲线C:=1( a>0，b>0 )的左、右两支分别相交于A，B两点，F( -，0 )是双曲线C的左焦点，∴|AB|=2、设|FB|=x，则|FA|=4-x，∴x2+( 4-x )2=12，∴x2-4x+2=0，∴x=2±，∴|FB|=2+，|FA|=2-，∴2a=|FB|-|FA|=2，∴a=，∴b=1，∴双曲线C的方程为-y2=1、正确答案:-y2=17、设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A为抛物线上一点，且=-4，则点A的坐标为、详细解析:设A，则，∵F( 1，0 )，∴、∴=-=-4、整理得，+12-64=0，∴=4，即y0=±2、∴点A坐标为( 1，±2 )、正确答案:( 1，±2 )8、焦点分别为( 0，5)和( 0，-5)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程、解设椭圆的方程为=1( a>b>0 )，且a2-b2=( 5)2=50，①由消去y，得( a2+9b2 )x2-12b2x+4b2-a2b2=0、设弦两端点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=、∵，∴，即a2=3b2，②此时Δ>0、由①②得a2=75，b2=25，∴椭圆的方程为=1、9、抛物线y2=x上存在P，Q两点关于直线y-1=k( x-1 )对称，求k的取值范围、解设P( x1，y1 )，Q( x2，y2 )，∴①-②，得( y1-y2 )( y1+y2 )=x1-x2，∴∴y1+y2=-k、∴-1=k=[( y1+y2 )2-2y1y2-2]、∴-k-2=k[k2-2y1( -k-y1 )-2]，∴2k+2k2y1+k3-k+2=0，∴Δ=4k4-8k( k3-k+2 )>0，∴k( -k3+2k-4 )>0，∴k( k3-2k+4 )<0，∴k( k+2 )( k2-2k+2 )<0，∴k∈( -2，0 )、10、导学号90074086如图，已知抛物线C的顶点为O( 0，0 )，焦点为F( 0，1 )、( 1 )求抛物线C的方程;( 2 )过点F作直线交抛物线C于A，B两点、若直线AO，BO分别交直线l:y=x-2于M，N两点，求|MN|的最小值、解( 1 )由题意可设抛物线C的方程为x2=2py( p>0 )，则=1，所以抛物线C的方程为x2=4y、( 2 )设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，直线AB的方程为y=kx+1、由消去y，整理得x2-4kx-4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=-4、从而|x1-x2|=4、由解得点M的横坐标x M=、同理，点N的横坐标x N=、所以|MN|=|x M-x N|==8、令4k-3=t，t≠0，则k=、当t>0时，|MN|=2>2、当t<0时，|MN|=2、综上所述，当t=-，即k=-时，|MN|的最小值是、B组1、等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2=2px( p>0 )，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，点A在x轴上方，则△ABO的面积是( )A、8p2B、4p2C、2p2D、p2详细解析:由抛物线的对称性及OA⊥OB知直线OA的方程为y=x，由得A( 2p，2p )，则B( 2p，-2p )，所以|AB|=4p，所以S△ABO=×4p×2p=4p2、故选B、正确答案:B2、抛物线y=2x2上两点A( x1，y1 )，B( x2，y2 )关于直线y=x+m对称，且x1·x2=-，则m等于( )A、B、2 C、D、3详细解析:依题意知k AB==-1，而y2-y1=2( )，∴x2+x1=-，且在直线y=x+m上，即+m，y2+y1=x2+x1+2m，∴2( )=x2+x1+2m，2[( x2+x1 )2-2x2x1]=x2+x1+2m，∴2m=3，m=、正确答案:A3、已知两直线x=±1分别过椭圆=1的两个焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是、详细解析:由题意知椭圆的焦点坐标为( ±，0 )，∵两直线x=±1分别经过椭圆的两个焦点，∴4-b2=1，∴b2=3、∴椭圆方程为=1、直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是将直线方程与椭圆方程联立后，所得一元二次方程的判别式Δ≤0，即方程( 4k2+3 )x2+16kx+4=0的判别式162k2-16( 4k2+3 )≤0，即k2≤，∴-≤k≤、正确答案:-≤k≤4、设F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为、详细解析:易知a=2，b=1，c=，所以F1( -，0 )，F2( ，0 )，设P( x，y )，则=( --x，-y )·( -x，-y )=x2+y2-3=x2+1--3=( 3x2-8 )，因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆的短轴端点时，有最小值-2、当x=±2，即点P为椭圆的长轴端点时，有最大值1、正确答案:1，-25、已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A( 0，6)、当△APF周长最小时，该三角形的面积为、详细解析:设双曲线的左焦点为F1，如图、由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+( 2a+|PF1| )+|AF|=|PA|+|PF1|+( 2a+|AF| )、由于2a+|AF|是定值，要使△APF的周长最小，则应使|PA|+|PF1|最小，即P，A，F1三点共线、∵A( 0，6)，F1( -3，0 )，∴直线AF1的方程为=1，即x=-3、将其代入x2-=1得y2+6y-96=0，解得y=2或y=-8( 舍去)，因此点P的纵坐标为2、∴S△APF==·|F1F|·y A-·|F1F|·y P=×6×6×6×2=12、正确答案:126、已知椭圆+y2=1，求斜率为2的弦的中点轨迹方程、解设直线与椭圆相交所得弦为AB，A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，弦的中点为M( x，y )，则两式相减，得( x1-x2 )( x1+x2 )+2( y1-y2 )( y1+y2 )=0、因此=-=-=2，所以x+4y=0，由题意知点M( x，y )落在椭圆内部，则有+y2<1，即<1，解得-<x<，因此所求的轨迹方程为x+4y=0、7、已知点M( -2，0 )，N( 2，0 )，动点P满足条件|PM|-|PN|=2、记动点P的轨迹为W、( 1 )求W的方程;( 2 )若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值、解( 1 )依题意，知点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，因此所求方程为=1( x>0 )、( 2 )当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0，此时A( x0，)，B( x0，-)，=2、当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程=1中，得( 1-k2 )x2-2kbx-b2-2=0，①依题意可知方程①有两个不相等的正数根，设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，则得|k|>1，=x1x2+y1y2=x1x2+( kx1+b )( kx2+b )=( 1+k2 )x1x2+kb( x1+x2 )+b2==2+>2、综上可知的最小值为2、8、导学号90074087已知点A( x1，y1 )，B( x2，y2 )( x1x2≠0 )是抛物线y2=2px( p>0 )上的两个动点，O是坐标原点，向量满足||=||、设圆C的方程为x2+y2-( x1+x2 )x-( y1+y2 )y=0、( 1 )求证线段AB是圆C的直径;( 2 )当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值、( 1 )证明因为||=||，所以( )2=( )2，即+2-2，整理，得=0，所以x1x2+y1y2=0、①设M( x，y )是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则=0，即( x-x1 )( x-x2 )+( y-y1 )( y-y2 )=0、展开上式并将①式代入，得x2+y2-( x1+x2 )x-( y1+y2 )y=0、从而可知线段AB是圆C的直径、( 2 )解设圆C的圆心坐标为( x，y )，则因为=2px( p>0 )，=2px2( p>0 )，所以x1x2=、由( 1 )知x1x2+y1y2=0，所以x1x2=-y1y2，所以-y1y2=、因为x1x2≠0，所以y1y2≠0，所以y1y2=-4p2、所以x=)=+2y1y2 )-( y2+2p2 )，所以圆心的轨迹方程为y2=px-2p2、设圆心C( x，y )到直线x-2y=0的距离为d，则d=、当y=p时，d有最小值，由题设得，所以p=2、。
精品推荐高中数学 3.4.2-3.4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点课后作业 北师大版选修2-1
4.2 圆锥曲线的共同特征4.3 直线与圆锥曲线的交点1.给出下列曲线,其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是( )①4x+2y-1=0;②x2+y2=3;③+y2=1;④-y2=1.A.①③B.②④C.①②③D.②③④解析:如果不深入思考,采用直线方程y=-2x-3与四个曲线方程分别联立求交点,比较复杂,且易出现差错,作为选择题,可考虑采用排除法.∵y=-2x-3可变形为4x+2y+6=0,显然与直线4x+2y-1=0平行,故排除选项A,C;将y=-2x-3代入③+y2=1,并整理,得9x2+24x+16=0,即(3x+4)2=0,解得x=-,y=-.故已知直线与曲线③有交点,可排除选项B.故选D.答案:D2.我们把离心率等于“黄金分割比”的双曲线称为“优美双曲线”.设双曲线=1是优美双曲线,F是其左焦点,A是它的右顶点,B(0,b)是其虚轴上一点,则∠ABF等于( )A.120°B.90°C.75°D.60°解析:由e=和点F(-c,0),A(a,0),B(0,b),可计算得·=0,故∠ABF=90°.答案:B3.已知抛物线y2=4x与直线x-y=2交于A,B两点,那么线段AB的中点坐标是( )A.(4,2)B.(2,4)C.(-4,-2)D.(-2,-4)解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),把直线y=x-2代入抛物线方程y2=4x中,得x2-8x+4=0, ∴x1+x2=8,=4,-2=2.∴AB的中点坐标为(4,2).答案:A4.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于( )A.3B.4C.3D.4解析:设直线AB的方程为y=x+b,由⇒x2+x+b-3=0⇒x1+x2=-1,得AB的中点M,又M在直线x+y=0上,∴b=1,∴x2+x-2=0,∴|AB|==3.答案:C5.直线y-kx-1=0(k∈R)与椭圆(或圆)=1恒有公共点,则m的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(0,5)C.(0,k)D.(1,5)解析:直线y=kx+1过定点(0,1).依题意,点(0,1)在椭圆(或圆)上或其内部,∴≤1,且m>0.∴m≥1.答案:A6.若AB为过椭圆=1中心的弦,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值为( )A.6B.12C.24D.48解析:不妨设F1为左焦点,即F1(-3,0).当直线AB斜率不存在时,△F1AB的面积为S=×3×8=12;当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx.与椭圆方程联立,消去y得,(16+25k2)x2=400.令A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=0,x1x2=.∴|AB|=·|x1-x2|=·=·.又点F1到直线AB的距离为d=,∴△F1AB的面积为S=d·|AB|=···=60=60<12.答案:B7.已知动点P的坐标(x,y)满足,则动点P的轨迹是.解析:表示动点P到定点(1,1)的距离,表示动点P到定直线x+y+2=0的距离,即原等式表示动点P到定点(1,1)和定直线x+y+2=0的距离之比等于常数,且0<<1,因此动点P的轨迹为椭圆.答案:椭圆8.(2014安徽高考)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为.解析:设B在x轴上的射影为B0,由题意得,|B0F1|=|F1F2|=,得B0坐标为,即B点横坐标为-.设直线AB的斜率为k,又直线过点F1(-c,0),∴直线AB的方程为y=k(x+c).由得(k2+b2)x2+2ck2x+k2c2-b2=0,其两根为-和c,由根与系数的关系得解之,得c2=,∴b2=1-c2=.∴椭圆方程为x2+y2=1.答案:x2+y2=19.直线l:ax+by-3a=0与双曲线=1只有一个公共点,则l共有条,它们的方程是.解析:当b=0时,l:x=3,∴=1,∴y=0,此时,l与双曲线只有一个公共点;当b≠0时,消去y,得(4b2-9a2)x2+54a2x-9(9a2+4b2)=0.(*)若4b2-9a2=0,即=±时,方程(*)为x=3,只有一个公共点,此时l:y=±(3-x),即2x±3y-6=0;若4b2-9a2≠0,即≠±时,二次方程(*)的判别式Δ=542a4+36(4b2-9a2)(4b2+9a2)=36(81a4+16b4-81a4)=36×16b4>0,此时直线l与双曲线必有两个交点.综上所述,l共有3条,其方程为x-3=0或2x±3y-6=0.答案:3 x-3=0或2x±3y-6=010.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.解:设抛物线y2=4x上的B,C两点关于直线y=kx+3对称,则直线BC的方程为x=-ky+m(k≠0), 代入y2=4x,得y2+4ky-4m=0.①设点B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点M(x0,y0),则y0==-2k,则x0=2k2+m.∵点M(x0,y0)在直线y=kx+3上,∴-2k=k(2k2+m)+3.∴m=-.②又∵直线BC与抛物线交于不同的两点,∴方程①中,Δ=16k2+16m>0.把②式代入化简,得<0,即<0,解得-1<k<0,即k的取值范围是(-1,0).11.(2014重庆高考)如图,设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由=2得|DF1|=c.从而|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=.所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0.由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0.解得x1=-或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.12.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点且互相垂直,又知C的一个焦点与A(1,-1)关于直线y=x-1对称.(1)求双曲线C的方程;(2)是否存在直线y=kx+n与双曲线C交于P,Q两点,使PQ恰被点平分?(3)设直线y=mx+1与双曲线C的右支交于B,D两点,另一直线l经过M(-2,0)及BD的中点,求直线l在y轴上的截距t的取值范围.解:(1)由于双曲线C的两条渐近线过坐标原点且互相垂直,则两条渐近线方程为y=±x,设双曲线C的方程为x2-y2=a2,又A(1,-1)关于y=x-1的对称点为(,0),即双曲线C的一个焦点为(,0), ∴2a2=2,a2=1,得双曲线C的方程为x2-y2=1.(2)假设存在,由⇒(1-k2)x2-2knx-n2-1=0,由,即.①∵y1=kx1+n,y2=kx2+n,∴y1+y2=k(x1+x2)+2n,∴2=k+2n.②由①②得k=,n=.此时直线方程为y=x+,经检验符合题意.故存在直线y=x+与双曲线C交于P,Q两点,使PQ恰被点平分.(3)由⇒(1-m2)x2-2mx-2=0,令f(x)=(1-m2)x2-2mx-2,直线与双曲线右支交于两点,等价于方程f(x)=0在[1,+∞)上有两个不等实根.∴⇒⇒-<m<-1,又BD中点为,∴直线l的方程为y=(x+2),令x=0,得t=,由-<m<-1,得-2-<-2m2+m+2<-1,∴t∈(-2,-2).备选习题1.设椭圆=1长轴的两端点为M,N,异于M,N的点P在椭圆上,则PM与PN的斜率之积为( )A.-B.-C.D.解析:由已知可设P(x0,y0),M(-2,0),N(2,0),则k PM·k PN=·.因为=1,所以×3.所以k PM·k PN=(4-)·=-.答案:A2.已知曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O为坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.解:(1)由消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.由得k的取值范围为(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)得x1+x2=-,x1x2=-.又∵l过点D(0,-1),∴S△OAB=S△OAD+S△OBD=|x1|+|x2|=|x1-x2|=.∴(x1-x2)2=(2)2,即=8,解得k=0或k=±.3.设A,B是双曲线x2-=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点.(1)求直线AB的方程.(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C,D两点,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?解:(1)由题意,知直线AB与x轴不垂直,设其斜率为k,则其方程为y=k(x-1)+2,代入双曲线方程并整理,得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由根与系数的关系及点N是AB的中点,知x1+x2==2.解得k=1.因此,直线AB的方程为y=x+1.(2)A,B,C,D四点共圆.理由:线段AB的垂直平分线的方程为y=-x+3,代入双曲线方程,得x2+6x-11=0.设C,D两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),由根与系数的关系,得x3+x4=-6,x3x4=-11.则|x3-x4|==4.据弦长公式,得|CD|=|x3-x4|=4.又设CD的中点为M,则M点的坐标为(-3,6),由直线AB的方程y=x+1和双曲线方程x2-=1可求得点A(-1,0),B(3,4),所以点A(-1,0)到点M的距离为|MA|=2,由于点C,D是线段AB的垂直平分线上的两点,所以点B到点M的距离等于点A到点M的距离.这样点A,B,C,D到点M的距离均等于2,故A,B,C,D四点共圆.。
高中数学第三章圆锥曲线与方程4.2_4.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点北师大版选修
将上式两边平方，化简得x22＋y2＝1.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 曲线上的点 M(x，y)到定点 F( 3，0)的距离和它到定直线 l：x＝233
的距离的比是常数 26，求曲线方程.
解
设
d
是点
M
到直线
l
的距离，根据题意，曲线上的点
M
满足：|MdF|＝
6 2.
由此得，
x－ 32＋y2
2
3
3－x
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 已知双曲线的一个焦点为 F1(－ 3，0)，且渐近线为 y＝± 2x， 过点 A(2,1)的直线 l 与该双曲线交于 P1、P2 两点. (1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；
解析答案
(2)过点B(1,1)，能否作直线l′，使l′与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且 B是线段Q1Q2的中点？请说明理由. 解 假设存在直线l′，同(1)可得l′的斜率为2，l′的方程为y＝2x－1.
解析答案
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当堂检测
12345
1.直线 y＝x＋m 与椭圆x42＋y2＝1 有两个不同的交点，则 m 的范围是( D )
A.－5＜m＜5
B.m＜－ 5，或 m＞ 5
C.m＜ 5
D.－ 5＜m＜ 5
解析 将 y＝x＋m 代入x42＋y2＝1，
有5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－80(m2－1)＞0，得m2＜5，
解析答案
(3)求过点 P12，12且被 P 点平分的弦所在直线的方程. 解 由①式，弦所在的直线的斜率 k＝－2xy00＝－12，故其方程为 y－12＝－12x－21， 即2x＋4y－3＝0. 反思与感悟 将圆锥曲线上的两点A、B的坐标代入圆锥曲线的方程，然 后将两式作差并进行变形，可得到弦AB的斜率与弦中点的坐标之间的关 系式.(这种方法一般称之为点差法)此关系式可用于解决如下问题： (1)以定点为中点的弦的方程；(2)平行弦中点的轨迹； (3)过定点的弦的中点的轨迹；(4)对称问题.
高中北师大版数学选修2-1学案 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点 含答案
离比点到准线的距离；(ⅱ)必须是点到焦点的距离与点到对应准线的距
离比，求双曲线的方程一般采用定义法和待定系数法．
3．点与椭圆的位置关系：
x2 已知点 P(x0，y0)，椭圆 C： ＋
a2
y2 ＝1(a>b>0)，则点 P 与椭圆 C 的 b2
位置关系有：
Earlybird
晨鸟教育
x20 y20
x20 y20
晨鸟教育
4．2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲线的交点
知识点 圆锥曲线的共同特征及直线与圆锥曲线的交点
[填一填] 1．圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比
为定值 e.当 0<e<1 时，圆锥曲线是椭圆；当 e>1 时，圆锥曲线是双曲 线；当 e＝1 时，圆锥曲线是抛物线．
5
5
5
36
6
由 x＝ 得 y＝± 14.
5
5
36
( ∴ 点 P 的坐标为
5
6 14
.
) ， ± 5
规律方法 圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它
到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共同特
征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直线的距离的
转化，从而使运算得以简化．
[答一答] 直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥 曲线只有一个交点时，一定相切，这种说法对吗？为什么？
Earlybird
晨鸟教育
提示：直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点，是正确的．但 直线与圆锥曲线只有一个交点时，不一定相切．
因为直线与双曲线、抛物线只有一个交点时，还有相交的情况， 若直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行或重合时， 都属直线与双曲线、直线与抛物线相交，而非相切．
北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》曲线与方程
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
2
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线
l
点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
y
x=y（或x- y=0）方程
l
0
x-y=0
x
含有关系：
（1）
l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
北师大版高中数学选修2-1 第三章《圆锥曲线与方程》
1
Ⅰ、曲线与方程
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为 y kx ____________ b 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线 x-y=0 方程是______________ 3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为 2 2 2 _______________________. ( x a) ( y b) r
18
由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方 程，一般有下面几个步骤： (1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数 对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)} (3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； (5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点 都在曲线上. 说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相 同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况， 可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略 19 步骤（2），直接列出曲线方程.
3.4.2-3.4.3《圆锥曲线的共同特征及直线与圆锥曲线的交点》课件(北师大版选修2-1)
共点，显然①、②均不适合，因为椭圆上的点(x,y)中 |x|≤5,|y|≤4. 而直线y=x,y=2x+1与椭圆均有二个交点.
答案：③④
x 2 y 2 (a>b>0)，点F为其右焦点，离心 4.(15分)已知椭圆 2 + 2 =1 a b 2 c ,点A在椭圆上，d为点A到定直线l:x= a 的距离. 率e= c a AF
直线l与双曲线C:
(1)无公共点； (2)有一个公共点； (3)有两个不同的公共点. 【解析】由 y=kx+1 3x2-y2=3消去y整理得 (3-k2)x2-2kx-4=0
①
当3-k2≠0时，Δ=（-2k）2+16(3-k2)=12(4-k2)
7.(2010·郑州高二检测)已知双曲线的中心在原点，右顶点
m 点的直线斜率为 2 ，则 的值为(
(A) 2
2
2 (B) 2 3 3
n
) (D)
3 2
(C)1
【解题提示】设出A、B坐标，代入方程作差即可.
【解析】
3.下列四条直线： ①l1:y=2；②l2:y=x+ 1 ；③l3:y=2x-1；④l4:y=x+1.与抛物线 y2=2x相交的是( (A)③ (B)④ )
一、选择题（每题5分，共15分） 1.(2010·嘉兴高二检测)若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点，
x 2 y2 + 的交点个数为( =1 9 4
则过点P(m,n)的直线与椭圆
(A)至少1个 (B)2个
)
(C)1个
(D)0个
3.4.2-3.4.3《圆锥曲线的共同特征及直线与圆锥曲线的交点》课件(北师大版选修2-1)
(C)②③
(D)①③
【解析】
二、填空题（每题5分，共10分）
x 2 y 2 上任一点到其左焦点F 的距离与到定直线 4.已知椭圆 + =1 1 25 16 x=- 25 的距离之比为其离心率,F2为其右焦点,若椭圆上一点P 3 满足P到直线x=- 25 的距离为10，M满足OM= 1 (OP+OF1)，则 2 3
直线l与双曲线C:
(1)无公共点； (2)有一个公共点； (3)有两个不同的公共点. 【解析】由 y=kx+1 3x2-y2=3消去y整理得 (3-k2)x2-2kx-4=0
①
当3-k2≠0时，Δ=（-2k）2+16(3-k2)=12(4-k2)
7.(2010·郑州高二检测)已知双曲线的中心在原点，右顶点
m 点的直线斜率为 2 ，则 的值为(
(A) 2
2
2 (B) 2 3 3
n
) (D)
3 2
(C)1
【解题提示】设出A、B坐标，代入方程作差即可.
【解析】
3.下列四条直线： ①l1:y=2；②l2:y=x+ 1 ；③l3:y=2x-1；④l4:y=x+1.与抛物线 y2=2x相交的是( (A)③ (B)④ )
因为点M到直线AP的距离为1，
1.(5分)北京奥运会主体育场“鸟巢”的简化钢结构俯视图如
图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，从外层椭圆
顶点A、B向内层椭圆引切线AC、BD.设内层椭圆方程为
2 2 x 2 y 2 (a>b>0)，外层椭圆方程为 x + y =1 + 2 =1 2 (ma) 2 (mb) 2 a b 9 (a>b>0,m>1),AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为 16
高中数学北师大版选修2-1练习：第三章4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点 2 含解析
, [学生用书单独成册]) [@^%*~][A.基础达标]1．过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 [~&#^@] C ．3条 D ．4条 [@%&*^]解析：选B.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x 轴平行． [#@^%~]2．方程（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|表示的曲线是( )A ．椭圆B ．双曲线 [&#@~%]C ．抛物线D ．线段解析：选B.因为（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|，所以（x －1）2＋（y －1）2|x ＋y ＋2|2＝2>1. [*&@^%]所以由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线．3．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，直线l ：9x ＋y －5＝0与椭圆C 相交于A 、B两点，点P 为弦AB 的中点，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，192 C ．(1，－4)D ．(－1，14)解析：选A.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y)，把y ＝5－9x 代入y 29＋x 2＝1整理得45x 2－45x ＋8＝0，x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝5－9x 1＋5－9x 2＝1，故x ＝x 1＋x 22＝12，y ＝y 1＋y 22＝12，因此P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12. [#*&^@]4．若椭圆上的点P 到一个焦点的距离最小，则点P 是( ) A ．椭圆短轴的端点 B ．椭圆长轴的一个端点 [@#*&%]C ．不是椭圆的顶点D ．以上都不对解析：选B.由圆锥曲线的共同特征知，点P 到右焦点的距离|PF 2|＝de ＝(a 2c －x 0)e ＝a －ex 0.当x 0＝a 时，|PF 2|最小． [&*#~^]5．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x|4＝1交点的个数为( )A ．0B ．1 [#~@&^]C ．2D ．3解析：选D.当x ≤0时，曲线方程可化为x 24＋y 29＝1，即椭圆y 轴左侧部分；当x ＞0时，曲线方程可化为y 29－x 24＝1，即双曲线y 轴右侧部分，如图可知直线y ＝x ＋3与曲线有三个交点．[*@#^&]6．曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋2有________个公共点．解析：y ＝1－x 2可化为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其图形为半圆，在同一坐标系中画出两曲线的图形，直线与半圆相切． [@%^*~]答案：17．已知斜率为1的直线过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长是________． [@%~#&]解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1得5x 2－83x ＋8＝0.所以设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝835，e ＝32，|AB|＝2×2－e(x 1＋x 2)＝4－32×835＝85. [&#@*%]答案：85[*#&~%]8．直线y ＝kx ＋1与曲线mx 2＋5y 2＝5m(m>0)恒有公共点，则m 的取值范围是________．解析：将y ＝kx ＋1代入mx 2＋5y 2＝5m ，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m)＝0，对k ∈R ，总有实数解． [~#*%^]所以Δ＝20m(m －1＋5k 2)≥0，对k ∈R 恒成立． 因为m>0，所以m ≥1－5k 2恒成立，所以m ≥1. 即m 的取值范围为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) [&^%#*]9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e ＞1＋2，左、右焦点分别为F 1，F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得PF 1是P 到l 的距离d 与PF 2的等比中项？解：设在左半支上存在P 点，使|PF 1|2＝|PF 2|·d ，由双曲线的第二定义知|PF 1|d ＝|PF 2||PF 1|＝e ，即|PF 2|＝e|PF 1|.① 再由双曲线的第一定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，② 由在△PF 1F 2中有|PF 1|＋|PF 2|≥2c ， [%@^#&]所以2ae －1＋2aee －1≥2c.③ 利用e ＝ca，由③式得e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤1＋ 2. [~#%*@]因为e ＞1，所以1＜e ≤1＋2，与已知e ＞1＋2矛盾．所以不存在符合条件的点P.10．抛物线y 2＝2px(p>0)与直线y ＝x ＋1相切，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2)是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点．(1)求p 的值；(2)若直线AB 与x 轴交于点Q(－1，0)，且|QA|＝2|QB|，求直线AB 的斜率；(3)若AB 的垂直平分线l 与x 轴交于点C ，且|AF|＋|BF|＝8，求点C 的坐标．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px （p>0），y ＝x ＋1得y 2－2py ＋2p ＝0(p>0)有两个相等实根，即Δ＝4p 2－8p ＝4p(p －2)＝0，得p ＝2为所求． (2)设直线AB 的方程为x ＝my －1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －1得y 2－4my ＋4＝0， 由|QA|＝2|QB|得y 1＝2y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，联立解出m ＝±342，故直线AB 的斜率k ＝1m ＝±232.(3)抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1， [~^#%*]且|AF|＋|BF|＝8，由定义得x 1＋x 2＋2＝8，则x 1＋x 2＝6. 设C(m ，0)，由C 在AB 的垂直平分线上，从而|AC|＝|BC|， 则(x 1－m)2＋y 21＝(x 2－m)2＋y 22，(x 1－m)2－(x 2－m)2＝－y 21＋y 22， [%#~&^](x 1＋x 2－2m)(x 1－x 2)＝－4(x 1－x 2)， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2－2m ＝－4，又因为x 1＋x 2＝6，所以m ＝5，则点C 的坐标为(5，0)．[B.能力提升]1．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y(y －mx －m)＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( ) [%&@^*]A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，＋∞ 解析：选B.C 1：(x －1)2＋y 2＝1， [&^%*~] C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m(x ＋1)． [#&^%@]当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点； [#*%^@]当m ≠0时，要满足题意，需要圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m(x ＋1)有两个交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m<0或0<m<33. [#@*&~]综上知－33<m<0或0<m<33.2．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25，55 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25，35D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，55 解析：选A.要保证椭圆与圆有4个交点，只要保证b<b2＋c<a 即可． [@~#*^]⎩⎪⎨⎪⎧b<b2＋c ，b 2＋c<a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b<b ＋2c ，b ＋2c<2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2c>b ，①2（a －c ）>b.②由①得4c 2>b 2＝a 2－c 2，5c 2>a 2，c 2a 2>15，即e 2>15，故e>55.由②得4(a 2＋c 2－2ac)>b 2＝a 2－c 2，即3a 2－8ac ＋5c 2>0.两边同除以a 2，得5e 2－8e ＋3>0，即(e －1)(5e －3)>0，解得e>1(舍去)或e<35，则55<e<35.3．已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫112，3为一定点，F 为双曲线x 29－y 227＝1的右焦点，M 在双曲线右支上移动，当|AM|＋12|MF|取最小值时，则点M 的坐标为________． [&%^~*]解析：因为a ＝3，b ＝33，所以c ＝6，e ＝2，如图所示，过M作MP垂直于准线l于点P，则|MF||MP|＝2，所以12|MF|＝|MP|.所以|AM|＋12|MF|＝|AM|＋|MP|≥|AP|.所以当且仅当A，M，P三点共线时，|AM|＋12|MF|最小．所以y M＝y A＝3.代入双曲线方程，得x M＝23，故M(23，3)．答案：(23，3)4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F, 右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F 到l的距离为d2, 若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为________．解析：依题意，d2＝a2c－c＝b2c.又|BF|＝c2＋b2＝a，所以d1＝bc a .由已知可得b2c＝6·bca，所以6c2＝ab，即6c4＝a2(a2－c2)，整理可得a2＝3c2，所以离心率e＝ca＝3 3.答案：335．已知椭圆M 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，焦距为43，且两准线间距离为1633.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)过椭圆M 的上顶点A 作两条直线分别交椭圆于点B ，C(异于点A)，且它们的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝－14，求证：直线BC 恒过一个定点，并求出该定点坐标．解：(1)由题意得，2c ＝43，2a 2c ＝1633，所以a ＝4，c ＝2 3.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝2， [%&~#*]又因为焦点在x 轴上，所以椭圆M 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)由题意得，椭圆M 的上顶点为A(0，2)，不妨设直线AB 的斜率为k 1，则直线AB 的方程为y ＝k 1x ＋2，与椭圆M 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1.整理得(1＋4k 21)x 2＋16k 1x ＝0， 又x B ≠0，所以x B ＝－16k 11＋4k 21，所以y B ＝－8k 21＋21＋4k 21. [#*~&%]同理可得x C ＝－16k 21＋4k 22，y C ＝－8k 22＋21＋4k 22，又k 1k 2＝－14，所以把k 2＝－14k 1代入x C ，y C ，得x C ＝16k 11＋4k 21，y C ＝8k 21－21＋4k 21，因为x B ＋x C ＝0，y B ＋y C ＝0， 所以点B ，C 关于原点对称．即无论直线AB 的斜率k 1取何值时，直线BC 恒过一个原点． [&@%~#]所以直线BC 恒过一个定点，定点坐标为(0，0)．6．(选做题)求过点P(0，1)且与抛物线y2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解：若直线斜率不存在，则过P(0，1)的直线方程为x ＝0.直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线斜率存在，设为k ，则过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0， [~@%^*]①当k ＝0时，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1.即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点； ②当k ≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点， 则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0.所以k＝1 2，所以直线方程为y＝12x＋1.综上所述，所求直线方程为x＝0或y＝1或y＝12x＋1.1．1 生活数学知识点1 我们生活在丰富多彩的数学世界中1．2017·宜昌谜语：干活两腿脚，一腿勤，一腿懒，一脚站，一脚转．打一数学学习用具，谜底为( )A．量角器B．直尺C．三角板D．圆规2．正常人行走时的步长大约是( )A．0.5 cm B．5 m C．50 cm D．50 m3．大象是世界上最大的陆栖动物，它的体重可达到好几吨，下列动物的体重最接近它的百万分之一的是( )A．啄木鸟B．袋鼠C．蜜蜂D．公鸡知识点2 数学为生活服务4．2017·太原三模三国魏景元四年(公元263年)，由我国古典数学理论的奠基人之一刘徽完成了《九章算术注》十卷，《重差》为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是( )A．《海岛算经》B．《孙子算经》C．《九章算术》D．《五经算术》5.小舒家的水表如图1－1－1所示，该水表的读数是(精确到0.1)( )图1－1－1A．1476.538 m3B．91476.538 m3C．1476.5 m3D．91476.5 m36．某人的身份证号码是320106************，此人2018年的周岁数是________．7．某班有语文、数学两个课外兴趣小组，参加语文小组的有28名学生，参加数学小组的有30名学生，既参加语文小组又参加数学小组的有15名学生，则参加了课外兴趣小组的学生共有________人．8．甲、乙、丙三位同学在玩报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6……依次循环下去，当报出的数为2018时，游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分，当报数结束时，甲同学的得分是________分．9．妈妈杀完鱼后，让小明帮助烧鱼．他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅、将锅烧热、将油烧热、煎烧，各道工序共花了17分钟(见下面程序表)，你能帮小明重新安排一个顺序，使花费的时间最少吗？洗鱼,(2分钟))切鱼,(2分钟))切姜葱,(1分钟))洗锅,(2分钟))将锅烧热,(2分钟))将油烧热,(3分钟))煎烧,(5分钟))10．用6枚同样大小的硬币，摆成如图1－1－2①所示的三角形形状，试问：至少要移动几枚硬币，就能使图①变成图②所示的三角形形状？你能说出具体的移动办法吗？图1－1－21．D 2.C3．C4．A 5.C 6.137．43 .8．336 9． 解：洗锅→⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤将锅烧热→将油烧热洗鱼→切鱼→切姜葱→煎烧10．解：至少要移动2枚硬币．将图①的最下面一行的第1个与第3个硬币分别移到第一行的硬币的左边和右边．选择易错题专题1、（2017宝山第1题）下列物理量中，反映物质特性的是 （ ）A 密度。
高中数学北师大版版选修2-1课时作业第三章 圆锥曲线与方程4.2_4.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点
圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点课时目标.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单的应用.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题．．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到的距离与它到的距离之比为定值.当时，该圆锥曲线为椭圆；当时，该圆锥曲线为抛物线；当时，该圆锥曲线为双曲线．．曲线的交点设曲线：(，)＝，：(，)＝，(，)是与的公共点(\\(,))，故求曲线交点即求方程组(\\((，(＝(，(＝))的实数解．一、选择题．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为、、、，其大小关系为( )．<<<．<<<．<<<．<<<．直线＝与曲线＋＝(∈且≠)的公共点的个数为( )．．．．．已知双曲线－＝ (>，>)的右焦点为，若过点且倾斜角为°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )．() ．(－)．(，＋∞) ．，＋∞)．已知抛物线的方程为＝，过点(，－)和点()的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是( )．(－∞，－)∪(，＋∞)∪．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)．若直线＝＋和椭圆＋＝有且只有一个交点，那么的值为( )．已知抛物线＝(>)，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为( )．＝．＝－．＝．＝－二、填空题．已知长方形，＝，＝，则以、为焦点，且过、两点的椭圆的离心率为．．过椭圆＋＝的右焦点作一条斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则△的面积为．．点()平分双曲线－＝的一条弦，则这条弦所在直线的方程是．三、解答题．中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，它的离心率为，与直线＋－＝相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．能力提升．设抛物线＝的焦点为，过点(，)的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，＝，则△与△的面积之比等于( )．设双曲线：－＝ (>)与直线：＋＝相交于两个不同的点、.()求双曲线的离心率的取值范围；()若设直线与轴的交点为，且＝，求的值．。
2018-2019学年北师大版选修2-1 3.4.2圆锥曲线的共同特征 课件(23张)
的距离和它到一条定直线（ l l不
F ）的距离的比等于常数 e的点的轨迹，
当 0 e 1 时，它是椭圆；
当 e 1 时，它是抛物线；
o
y M
L
d
当 e 1 时，它是双曲线.
F
标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
图形
y
焦点坐标
x
准线方程
2
o
y x 2 1 2 a b (a b 0)
北师大版《普通高中课程标准实验教科书》·数学 ·选修2-1 圆锥曲线的共同特征
4.2圆锥曲线的共同特征
一、 创设情境，引入新课
请同学们回忆以下知识： 1.求曲线方程的一般步骤; 2.椭圆、抛物线、双曲线的定义及标准方程； 3.椭圆、抛物线、双曲线的离心率的取值范围.
思考：
圆锥曲线的方程有什么共同特征吗？ 圆锥曲线的方程都是二元二次方程。
2
2
y
( c, 0) x a c
o
x
a (0, c) y c
2
x y 2 1 2 a b (a 0, b 0)
2
2
y
o
x
a ( c, 0) x c
2
y 2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
y
o
x
a (0, c) y c
问题3：曲线上的点M(x,y)到定点 16 F(5,0)的距离和它到定直线L: X= 5 5 的距离的比是常数 4 ，求曲线方程。
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意， MF 5 曲线上的点M满足： ? d 4 ( x 5) 2 y 2 5 由此得 16 4 x 5 即有4 ( x 5) 2 y 2 16 5 x x y 两边平方，并化简得 1 16 9
【教学参考】高二北师大版数学选修2-1同步作业：第3章 圆锥曲线的共同特征 Word版含答案[ 高考]
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圆锥曲线的共同特征 同步练习【选择题】1．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 ( ) （A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6162．椭圆221925x y +=的准线方程是 ( ) （A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2543．椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a , b , c ，则其焦点到相应准线的距离P 是 ( ) （A ）2a c （B ）2b c （C ）2b a （D ）2a b4．圆锥曲线42x +my 2=1有一条准线为x=4，则m 的值只能是（ ） A ．- 5 B ．5 C ．-3 D ．35．如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的（ ）A ．18倍B ．12倍C ．9倍D ．4倍6.已知点M 在椭圆上，椭圆方程为252x +162y =1,M 点到左准线的距离为2.5，则它到右焦点的距离为 ( )A.7.5B.12.5C.2.5D.8.57．双曲线7922y x -=1上一点P 到左焦点的距离为5，则P 到右准线的距离为（ ） A 415 B 6 C 433 D 212 8．设椭圆2222by a x +=1(a>b>0)的离心率为e ，焦距为2c ，则椭圆上的一点M(x 0,y 0) 到它的两个焦点的距离分别是（ ）A ．ex 0+c,ex 0-cB .c+ex 0,a-ex 0C ．a+ex 0,a-ex 0D ．ex 0+a,ex 0-a【填空题】9．动点P(x,y)到直线x=5的距离与它到点F(1,0)的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程为10．若双曲线14522=-y x 上一点P 到一条准线的距离是35，则到另一条准线的距离是11．椭圆13422=+y x 上有一点A(x 1,y 1)到左焦点的距离为25，则x 1的值为 12．已知圆x 2+y 2-6x-7=0与抛物线y 2=2px(p>0)的准线相切，则p=【解答题】13．求经过定点P(1,2)以x 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程。
北师大版高中数学选修2-1课堂训练圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点
课堂练习(二十一)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1有两个不同的交点，则m 的范围是( )A ．－5＜m ＜5B ．m ＜－5，或m ＞ 5C ．m ＜ 5D ．－5＜m ＜ 5D [将y ＝x ＋m 代入x 24＋y 2＝1，有5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－80(m 2－1)＞0，得m 2＜5，∴－5＜m ＜ 5.] 2．方程2·（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|表示的曲线是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．线段D ．抛物线D [∵2·（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|， ∴（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|2.即点P (x ，y )到点(1，1)的距离与它到定直线x ＋y ＋2＝0的距离相等，∴点P 的轨迹是抛物线．]3．若直线y ＝2(x －1)与椭圆x 25＋y 24＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.53B.53C.553D.33C [由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝53，分别代入y ＝2(x －1)，得y 1＝－2，y 2＝43.∴|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝553.] 4．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条B [因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1，0)是双曲线的右顶点，所以过P (1，0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．]5．已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 B [设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.]二、填空题6．中心在原点的双曲线，若它的实半轴长为2，一条准线的方程为x ＝－12，则该双曲线的离心率e ＝________．4 [由于双曲线的中心在坐标原点，∴x ＝－a 2c ＝－12，即a 2c ＝12.又实半轴长为2，所以上式变为2a c ＝12，∴c a＝4，即e ＝4.]7．已知一条过点P (2，1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．x －y －1＝0 [依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0.]8．已知直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支相交于不同两点，则k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0①， 直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支相交于不同两点，即方程①有两个不同的正实数解，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16k 2＋40（1－k 2）＞0，4k 1－k2＞0，－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1.] 三、解答题9．已知椭圆x 225＋y 29＝1，直线l ：4x －5y ＋40＝0，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？若存在，求出最小距离；若不存在，请说明理由．[解] 由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线l 与椭圆不相交． 设直线m 与椭圆相切且平行于直线l ， 则直线m 的方程可以设为4x －5y ＋k ＝0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋k ＝0，x 225＋y 29＝1消去y ，得25x 2＋8kx ＋k 2－225＝0.令Δ＝0，得64k 2－4×25×(k 2－225)＝0， 解得k 1＝25，k 2＝－25.由图可知，当k ＝25时，直线m 与椭圆的切点到直线l 的距离最近，此时直线m 的方程为4x －5y ＋25＝0，直线m 与直线l 间的距离d ＝|40－25|16＋25＝154141，即最小距离为154141.10．椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，椭圆C 2＝x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点坐标为(5，0)，斜率为1的直线l 与椭圆C 2相交于A ，B 两点，线段AB 的中点H 的坐标为(2，－1)．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设P 为椭圆C 2上一点，点M ，N 在椭圆C 1上，且OP →＝OM →＋2ON →.问：直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．[解] (1)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，H (x H ，y H )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2A a 2＋y 2Ab 2＝1，x 2B a 2＋y 2Bb2＝1，∴y A －y B x A －x B ＝－b 2a 2·x A ＋x B y A ＋y B ＝－b 2a 2·x Hy H . 又∵直线l 的斜率为1，点H 的坐标为(2，－1)，∴1＝－b 2a 2·2－1，即a 2＝2b 2.又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝5，a 2＝10， ∴椭圆C 2的方程为x 210＋y 25＝1.(2)设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．∵OP →＝OM →＋2ON →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋2x 2，y 0＝y 1＋2y 2.又∵x 20＋2y 20＝10，∴(x 1＋2x 2)2＋2(y 1＋2y 2)2＝10， 即x 21＋2y 21＋4(x 22＋2y 22)＋4x 1x 2＋8y 1y 2＝10， 又∵x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，∴10＋4x 1x 2＋8y 1y 2＝10，即x 1x 2＋2y 1y 2＝0. ∴k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12. [能力提升练]1．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105C [设椭圆与直线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. 则有x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4（t 2－1）5＝4255－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.]2．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B.938C.6332D.94D [由已知得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故直线AB 的方程为y ＝tan 30°·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －34 ①y 2＝3x ②将①代入②并整理得13x 2－72x ＋316＝0，∴x 1＋x 2＝212，∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.又原点(0，0)到直线AB 的距离为d ＝3413＋1＝38. ∴S △OAB ＝12|AB |d ＝12×12×38＝94.]3．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2，1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB 的中点，则直线AB 的斜率为________．6 [法一：显然直线AB 存在斜率， 设AB 斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 方程为y －1＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2）＋1，x 2－y 23＝1， 得(3－k 2)x 2＋(4k 2－2k )x －4k 2＋4k －4＝0，∴x 1＋x 2＝2k －4k23－k2＝4，∴k ＝6.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，且x 21－y 213＝1，x 22－y 223＝1.两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）3.显然x 1－x 2≠0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝3（x 1＋x 2）y 1＋y 2＝6，即k AB ＝6.] 4．已知椭圆x 24＋y 23＝1，若对于直线y ＝4x ＋m ，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称，则实数m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，21313 [设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为椭圆上关于直线y ＝4x ＋m 对称的两点，P (x ，y )为弦P 1P 2的中点，则3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12，两式相减得，3(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即3(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝－14，∴y ＝3x ，这就是弦P 1P 2中点P 轨迹方程． 它与直线y ＝4x ＋m 的交点必须在椭圆内，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x y ＝4x ＋m ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－my ＝－3m ，则必须满足y 2<3－34x 2，即(3m )2<3－34m 2，解得－21313<m <21313.即当m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，21313时，椭圆上总有不同两点关于直线y ＝4x ＋m 对称．]5．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．[解] (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1， 即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝{4x ， x ≥0，，0， x ＜0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x ＜0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①(ⅰ)当k ＝0时，此时y ＝1. 把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. (ⅱ)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)． ②设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(a)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＜0，x 0＜0，由②③解得k ＜－1，或k ＞12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(b)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 0≥0， 由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k ＜0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(c)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 0＜0，由②③解得－1＜k ＜－12，或0＜k ＜12.即当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.。
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第三章4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点 2
, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x 轴平行．2．方程（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|表示的曲线是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段解析：选B.因为（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|，所以（x －1）2＋（y －1）2|x ＋y ＋2|2＝2>1. 所以由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线．3．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，直线l ：9x ＋y －5＝0与椭圆C 相交于A 、B 两点，点P 为弦AB 的中点，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，12B.⎝⎛⎭⎫－12，192 C ．(1，－4) D ．(－1，14)解析：选A.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，把y ＝5－9x 代入y 29＋x 2＝1整理得45x 2－45x ＋8＝0，x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝5－9x 1＋5－9x 2＝1，故x ＝x 1＋x 22＝12，y ＝y 1＋y 22＝12， 因此P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12.4．若椭圆上的点P 到一个焦点的距离最小，则点P 是( )A ．椭圆短轴的端点B ．椭圆长轴的一个端点C ．不是椭圆的顶点D ．以上都不对解析：选B.由圆锥曲线的共同特征知，点P 到右焦点的距离|PF 2|＝de ＝(a 2c－x 0)e ＝a －ex 0.当x 0＝a 时，|PF 2|最小．5．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3解析：选D.当x ≤0时，曲线方程可化为x 24＋y 29＝1，即椭圆y 轴左侧部分；当x ＞0时，曲线方程可化为y 29－x 24＝1，即双曲线y 轴右侧部分，如图可知直线y ＝x ＋3与曲线有三个交点．6．曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋2有________个公共点．解析：y ＝1－x 2可化为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其图形为半圆，在同一坐标系中画出两曲线的图形，直线与半圆相切．答案：17．已知斜率为1的直线过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1得5x 2－83x ＋8＝0. 所以设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝835，e ＝32， |AB |＝2×2－e (x 1＋x 2)＝4－32×835＝85. 答案：858．直线y ＝kx ＋1与曲线mx 2＋5y 2＝5m (m >0)恒有公共点，则m 的取值范围是________．解析：将y ＝kx ＋1代入mx 2＋5y 2＝5m ，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，对k ∈R ，总有实数解．所以Δ＝20m (m －1＋5k 2)≥0，对k ∈R 恒成立．因为m >0，所以m ≥1－5k 2恒成立，所以m ≥1.即m 的取值范围为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＞1＋2，左、右焦点分别为F 1，F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得PF 1是P 到l 的距离d 与PF 2的等比中项？解：设在左半支上存在P 点，使|PF 1|2＝|PF 2|·d ，由双曲线的第二定义知|PF 1|d ＝|PF 2||PF 1|＝e ，即|PF 2|＝e |PF 1|.①再由双曲线的第一定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，②由在△PF 1F 2中有|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，所以2a e －1＋2ae e －1≥2c .③ 利用e ＝c a，由③式得e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤1＋ 2. 因为e ＞1，所以1＜e ≤1＋2，与已知e ＞1＋2矛盾．所以不存在符合条件的点P .10．抛物线y 2＝2px (p >0)与直线y ＝x ＋1相切，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点．(1)求p 的值；(2)若直线AB 与x 轴交于点Q (－1，0)，且|QA |＝2|QB |，求直线AB 的斜率；(3)若AB 的垂直平分线l 与x 轴交于点C ，且|AF |＋|BF |＝8，求点C 的坐标．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px （p >0），y ＝x ＋1得y 2－2py ＋2p ＝0(p >0)有两个相等实根， 即Δ＝4p 2－8p ＝4p (p －2)＝0，得p ＝2为所求．(2)设直线AB 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －1得y 2－4my ＋4＝0， 由|QA |＝2|QB |得y 1＝2y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，联立解出m ＝±342， 故直线AB 的斜率k ＝1m ＝±232. (3)抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1，且|AF |＋|BF |＝8，由定义得x 1＋x 2＋2＝8，则x 1＋x 2＝6.设C (m ，0)，由C 在AB 的垂直平分线上，从而|AC |＝|BC |，则(x 1－m )2＋y 21＝(x 2－m )2＋y 22，(x 1－m )2－(x 2－m )2＝－y 21＋y 22，(x 1＋x 2－2m )(x 1－x 2)＝－4(x 1－x 2)，因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2－2m ＝－4，又因为x 1＋x 2＝6，所以m ＝5，则点C 的坐标为(5，0)．[B.能力提升]1．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33 C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－33∪⎝⎛⎭⎫33，＋∞ 解析：选B.C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需要圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两个交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意， 则－33<m <0或0<m <33. 综上知－33<m <0或0<m <33. 2．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫55，35B.⎝⎛⎭⎫25，55C.⎝⎛⎭⎫25，35D.⎝⎛⎭⎫0，55 解析：选A.要保证椭圆与圆有4个交点，只要保证b <b 2＋c <a 即可． ⎩⎨⎧b <b 2＋c ，b 2＋c <a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b <b ＋2c ，b ＋2c <2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2c >b ，①2（a －c ）>b .② 由①得4c 2>b 2＝a 2－c 2，5c 2>a 2，c 2a 2>15，即e 2>15，故e >55.由②得4(a 2＋c 2－2ac )>b 2＝a 2－c 2，即3a 2－8ac ＋5c 2>0.两边同除以a 2，得5e 2－8e ＋3>0，即(e －1)(5e －3)>0，解得e >1(舍去)或e <35，则55<e <35. 3．已知A ⎝⎛⎭⎫112，3为一定点，F 为双曲线x 29－y 227＝1的右焦点，M 在双曲线右支上移动，当|AM |＋12|MF |取最小值时，则点M 的坐标为________． 解析：因为a ＝3，b ＝33，所以c ＝6，e ＝2，如图所示，过M 作MP 垂直于准线l 于点P ，则|MF ||MP |＝2， 所以12|MF |＝|MP |.所以|AM |＋12|MF |＝|AM |＋|MP |≥|AP |. 所以当且仅当A ，M ，P 三点共线时，|AM |＋12|MF |最小． 所以y M ＝y A ＝3.代入双曲线方程，得x M ＝23，故M (23，3)．答案：(23，3)4．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F , 右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2, 若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________． 解析：依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c. 又|BF |＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bc a . 由已知可得b 2c ＝6·bc a， 所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33. 答案：335．已知椭圆M 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，焦距为43，且两准线间距离为1633. (1)求椭圆M 的标准方程；(2)过椭圆M 的上顶点A 作两条直线分别交椭圆于点B ，C (异于点A )，且它们的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝－14，求证：直线BC 恒过一个定点，并求出该定点坐标． 解：(1)由题意得，2c ＝43，2a 2c ＝1633， 所以a ＝4，c ＝2 3.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝2，又因为焦点在x 轴上，所以椭圆M 的方程为x 216＋y 24＝1. (2)由题意得，椭圆M 的上顶点为A (0，2)，不妨设直线AB 的斜率为k 1，则直线AB 的方程为y ＝k 1x ＋2，与椭圆M 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1. 整理得(1＋4k 21)x 2＋16k 1x ＝0，又x B ≠0，所以x B ＝－16k 11＋4k 21， 所以y B ＝－8k 21＋21＋4k 21. 同理可得x C ＝－16k 21＋4k 22，y C ＝－8k 22＋21＋4k 22， 又k 1k 2＝－14，所以把k 2＝－14k 1代入x C ，y C ， 得x C ＝16k 11＋4k 21，y C ＝8k 21－21＋4k 21， 因为x B ＋x C ＝0，y B ＋y C ＝0，所以点B ，C 关于原点对称．即无论直线AB 的斜率k 1取何值时，直线BC 恒过一个原点．所以直线BC 恒过一个定点，定点坐标为(0，0)．6．(选做题)求过点P (0，1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．解：若直线斜率不存在，则过P (0，1)的直线方程为x ＝0.直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线斜率存在，设为k ，则过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0， ①当k ＝0时，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1.即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；②当k ≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0.所以k ＝12， 所以直线方程为y ＝12x ＋1. 综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.。
2020—2021学年高中数学北师大版选修2-1课件：第三章-圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点
的交点
2020/9/15
第一章 常用的逻辑用语
学习导航 学习 1.了解圆锥曲线的共同特征．(重点) 目标 2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系、交点及弦 长问题．(难点) 学法 1.通过例题认识椭圆、双曲线、抛物线的联系与 区别． 指导 2．通过例题加深对坐标法的理解.
直线与圆锥曲线的位置关系
方法归纳 (1)判定直线与椭圆的位置关系 通过联立方程的解的个数及解的属性(即公共点是交点、相 切)来判定． (2)对于直线与双曲线、抛物线的位置关系的判定 一要注意对消元之后的方程二次项系数是否为零进行讨论; 二要注意对判别式的讨论．
3.(1)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公 共点，求k的取值范围； (2)求过点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线 方程．
1.已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的 距离的2倍．求动点M的轨迹C的方程．
直线与圆锥曲线的交点及弦长问题 6
方法归纳 直线与圆锥曲线一般弦长的计算： (1)直接求出交点坐标，代入两点距离公式； (2)联立方程组，利用判别式、根与系数关系代入弦长公式 求解．
2.已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两 个点，线段AB的中点为M(2，2)，则△ABF的面积等于 ____2____．
技法导学 圆锥曲线第二定义(共同特征)的应用
数学思想
圆锥曲线中的探究型问题
1.圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线的共同特征是：圆锥曲线上的点到一个定点的距离 与它到一条定直线的距离之比为__定__值__e__． 当_0_<_e_<_1___时，圆锥曲线是椭圆；当__e_>_1_时，圆锥曲线是双 曲线；当_e_＝__1__时，圆锥曲线是抛物线．
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, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条解析：选B.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x 轴平行．2．方程（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|表示的曲线是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．线段解析：选B.因为（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|，所以（x －1）2＋（y －1）2|x ＋y ＋2|2＝2>1.所以由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线．3．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，直线l ：9x ＋y －5＝0与椭圆C 相交于A 、B 两点，点P 为弦AB 的中点，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，12B.⎝⎛⎭⎫－12，192 C ．(1，－4) D ．(－1，14) 解析：选A.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，把y ＝5－9x 代入y 29＋x 2＝1整理得45x 2－45x ＋8＝0，x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝5－9x 1＋5－9x 2＝1，故x ＝x 1＋x 22＝12，y ＝y 1＋y 22＝12，因此P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12.4．若椭圆上的点P 到一个焦点的距离最小，则点P 是( ) A ．椭圆短轴的端点 B ．椭圆长轴的一个端点 C ．不是椭圆的顶点 D ．以上都不对解析：选B.由圆锥曲线的共同特征知，点P 到右焦点的距离|PF 2|＝de ＝(a 2c－x 0)e ＝a －ex 0.当x 0＝a 时，|PF 2|最小．5．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D.当x ≤0时，曲线方程可化为x 24＋y 29＝1，即椭圆y 轴左侧部分；当x ＞0时，曲线方程可化为y 29－x24＝1，即双曲线y 轴右侧部分，如图可知直线y ＝x ＋3与曲线有三个交点．6．曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋2有________个公共点．解析：y ＝1－x 2可化为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其图形为半圆，在同一坐标系中画出两曲线的图形，直线与半圆相切．答案：17．已知斜率为1的直线过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1得5x 2－83x ＋8＝0.所以设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝835，e ＝32，|AB |＝2×2－e (x 1＋x 2)＝4－32×835＝85.答案：858．直线y ＝kx ＋1与曲线mx 2＋5y 2＝5m (m >0)恒有公共点，则m 的取值范围是________．解析：将y ＝kx ＋1代入mx 2＋5y 2＝5m ，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，对k ∈R ，总有实数解． 所以Δ＝20m (m －1＋5k 2)≥0，对k ∈R 恒成立． 因为m >0，所以m ≥1－5k 2恒成立，所以m ≥1. 即m 的取值范围为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＞1＋2，左、右焦点分别为F 1，F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得PF 1是P 到l 的距离d 与PF 2的等比中项？解：设在左半支上存在P 点，使|PF 1|2＝|PF 2|·d ，由双曲线的第二定义知|PF 1|d ＝|PF 2||PF 1|＝e ，即|PF 2|＝e |PF 1|.①再由双曲线的第一定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，② 由在△PF 1F 2中有|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，所以2a e －1＋2ae e －1≥2c .③利用e ＝ca，由③式得e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤1＋ 2.因为e ＞1，所以1＜e ≤1＋2，与已知e ＞1＋2矛盾． 所以不存在符合条件的点P .10．抛物线y 2＝2px (p >0)与直线y ＝x ＋1相切，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点．(1)求p 的值；(2)若直线AB 与x 轴交于点Q (－1，0)，且|QA |＝2|QB |，求直线AB 的斜率； (3)若AB 的垂直平分线l 与x 轴交于点C ，且|AF |＋|BF |＝8，求点C 的坐标．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px （p >0），y ＝x ＋1得y 2－2py ＋2p ＝0(p >0)有两个相等实根，即Δ＝4p 2－8p ＝4p (p －2)＝0，得p ＝2为所求． (2)设直线AB 的方程为x ＝my －1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －1得y 2－4my ＋4＝0， 由|QA |＝2|QB |得y 1＝2y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，联立解出m ＝±342，故直线AB 的斜率k ＝1m ＝±232.(3)抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1，且|AF |＋|BF |＝8，由定义得x 1＋x 2＋2＝8，则x 1＋x 2＝6. 设C (m ，0)，由C 在AB 的垂直平分线上，从而|AC |＝|BC |，则(x 1－m )2＋y 21＝(x 2－m )2＋y 22，(x 1－m )2－(x 2－m )2＝－y 21＋y 22， (x 1＋x 2－2m )(x 1－x 2)＝－4(x 1－x 2)， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2－2m ＝－4，又因为x 1＋x 2＝6，所以m ＝5，则点C 的坐标为(5，0)．[B.能力提升]1．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－33∪⎝⎛⎭⎫33，＋∞解析：选B.C 1：(x －1)2＋y 2＝1， C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需要圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两个交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m <0或0<m <33.综上知－33<m <0或0<m <33.2．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫55，35B.⎝⎛⎭⎫25，55 C.⎝⎛⎭⎫25，35 D.⎝⎛⎭⎫0，55解析：选A.要保证椭圆与圆有4个交点，只要保证b <b2＋c <a 即可．⎩⎨⎧b <b2＋c ，b 2＋c <a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b <b ＋2c ，b ＋2c <2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2c >b ，①2（a －c ）>b .②由①得4c 2>b 2＝a 2－c 2，5c 2>a 2，c 2a 2>15，即e 2>15，故e >55.由②得4(a 2＋c 2－2ac )>b 2＝a 2－c 2，即3a 2－8ac ＋5c 2>0.两边同除以a 2，得5e 2－8e ＋3>0，即(e －1)(5e －3)>0，解得e >1(舍去)或e <35，则55<e <35.3．已知A ⎝⎛⎭⎫112，3为一定点，F 为双曲线x 29－y 227＝1的右焦点，M 在双曲线右支上移动，当|AM |＋12|MF |取最小值时，则点M 的坐标为________．解析：因为a ＝3，b ＝33，所以c ＝6，e ＝2，如图所示，过M 作MP 垂直于准线l 于点P ，则|MF ||MP |＝2，所以12|MF |＝|MP |.所以|AM |＋12|MF |＝|AM |＋|MP |≥|AP |.所以当且仅当A ，M ，P 三点共线时，|AM |＋12|MF |最小．所以y M ＝y A ＝3.代入双曲线方程，得x M ＝23，故M (23，3)． 答案：(23，3)4．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F , 右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2, 若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．解析：依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c.又|BF |＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bca.由已知可得b 2c ＝6·bca，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33.答案：335．已知椭圆M 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，焦距为43，且两准线间距离为1633.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)过椭圆M 的上顶点A 作两条直线分别交椭圆于点B ，C (异于点A )，且它们的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝－14，求证：直线BC 恒过一个定点，并求出该定点坐标．解：(1)由题意得，2c ＝43，2a 2c ＝1633，所以a ＝4，c ＝2 3.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝2，又因为焦点在x 轴上，所以椭圆M 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)由题意得，椭圆M 的上顶点为A (0，2)，不妨设直线AB 的斜率为k 1，则直线AB 的方程为y ＝k 1x ＋2，与椭圆M 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1.整理得(1＋4k 21)x 2＋16k 1x ＝0，又x B ≠0，所以x B ＝－16k 11＋4k 21，所以y B ＝－8k 21＋21＋4k 21.同理可得x C ＝－16k 21＋4k 22，y C ＝－8k 22＋21＋4k 22， 又k 1k 2＝－14，所以把k 2＝－14k 1代入x C ，y C ，得x C ＝16k 11＋4k 21，y C ＝8k 21－21＋4k 21， 因为x B ＋x C ＝0，y B ＋y C ＝0， 所以点B ，C 关于原点对称．即无论直线AB 的斜率k 1取何值时，直线BC 恒过一个原点． 所以直线BC 恒过一个定点，定点坐标为(0，0)．6．(选做题)求过点P (0，1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．解：若直线斜率不存在，则过P (0，1)的直线方程为x ＝0.直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线斜率存在，设为k ，则过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，①当k ＝0时，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1.即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；②当k ≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点， 则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0.所以k ＝12，所以直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.。