人教A版必修5：第二章章末复习课 Word版含解析

第二章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．2．求数列的通项(易错点)(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．(3)当已知数列{a n}中，满足a n＋1a n＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n，常利用恒等式a n＝a1·a2a1·a3a2·…·a na n－1.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．3．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)⇔{a n}是等差数列；a n＋1 a n＝q(q为常数，q≠0)⇔{a n}是等比数列．(2)中项公式法：2a n＋1＝a n＋a n＋2⇔{a n}是等差数列；a2n＋1＝a n·a n＋2(a n≠0)⇔{a n}是等比数列．(3)通项公式法：a n＝an＋b(a，b是常数)⇔{a n}是等差数列；a n＝c·q n(c，q 为非零常数)⇔{a n}是等比数列．(4)前n项和公式法：S n＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列；S n＝aq n－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．4．求数列的前n项和的基本方法(易错点)(1)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(2)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(3)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．(4)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(5)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和S n公式．专题一等差、等比数列的判断判定一个数列是等差或等比数列有如下多种方法：[n n12n n a n＋1，其中n＝1，2，3，….(1)若{a n}是等比数列，试求数列{b n}的前n项和S n的公式．(2)当{b n}是等比数列时，甲同学说：{a n}一定是等比数列；乙同学说：{a n}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？解：(1)因为{a n}是等比数列，a1＝1，a2＝a，所以a≠0，a n＝a n－1.又b n＝a n·a n＋1，则b1＝a1·a2＝a，b n＋1b n＝a n＋1·a n＋2a n·a n＋1＝a n＋2a n＝a n＋1a n－1＝a2，即{b n}是以a为首项，a2为公比的等比数列．所以，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ， a ＝1，－n ， a ＝－1，a （1－a 2n ）1－a 2， a ≠±1.(2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下：法一：设{b n }的公式比为q ，则b n ＋1b n ＝a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 且a ≠0，又a 1＝1，a 2＝a ，a 1，a 3，a 5…，a 2n －1，…是以1为首项，q 为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是以a 为首项， q 为公比的等比数列．即{a n }为：1，a ，q ，aq ，q 2，aq 2，…，当q ＝a 2时，{a n }是等比数列；当a ≠a 2时，{a n }不是等比数列． 法二：{a n }可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下： 设{b n }的公式为q .①取a ＝q ＝1时，a n ＝1(n ∈N *)，此时b n ＝a n a n ＋1＝1，{a n }、{b n }都是等比数列． ②取a ＝2，q ＝1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n 为奇数），2 （n 为偶数）.b n ＝2(n ∈N *)．所以{b n }是等比数列，而{a n }不是等比数列．归纳升华判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．[变式训练] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝5S n －3，求数列{a n }的通项公式．解：当n ＝1时，因为a 1＝5a 1－3，所以a 1＝34.当n ≥2时，因为a n ＝5S n －3， 所以a n －1＝5S n －1－3， 所以a n －a n －1＝5(S n －S n －1)． 即a n －a n －1＝5a n ，a na n －1＝－14，所以{a n }是首项a 1＝34，公比q ＝－14的等比数列．所以a n ＝a 1qn －1＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n －1(n ∈N *)． 专题二 数列的通项公式的求法 (1)定义法：定义法是指直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．(2)已知S n 求a n .若已知数列的前n 项和S n 与a n 的关系，求数列{a n }的通项a n 可用公式a n＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）求解． (3)由递推公式求数列通项法．对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．(4)待定系数法(构造法)．求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法．[例2] (1)等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25，则数列{a n }的通项公式为________________；(2)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1，则数列{a n }的通项公式为______________．解析：(1)设数列{a n }的公差为d (d ＞0)， 因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 23＝a 1a 9， 即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )⇒d 2＝a 1d ， 因为d ≠0，所以a 1＝d .① 因为S 5＝a 25，所以5a 1＋5×42·d ＝(a 1＋4d )2.②由①②得：a 1＝35，d ＝35，所以a n ＝35＋(n －1)·35＝35n .(2)n ＝1时，a 1＝S 1，所以a 1＝2a 1－1，即a 1＝1，n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝2(a n －a n －1)＋2·(－1)n ， 所以a n ＝2a n －1＋2·(－1)n －1，a n －1＝2a n －2＋2·(－1)n －2，a 2＝2a 1－2， 所以a n ＝23[2n －2＋(－1)n －1]．又因为a 1＝1适合a n ＝23[2n －2＋(－1)n －1]，所以a n ＝23[2n －2＋(－1)n －1]．答案：(1)a n ＝35n(2)a n ＝23[2n －2＋(－1)n －1]归纳升华(1)已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n的关系求解．(2)由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝BA －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．[变式训练] 设数列{a n }是首项为1的正项数列，且a n ＋1－a n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，求{a n }的通项．解：因为a n ＋1－a n ＋a n ＋1·a n ＝0. 所以1an ＋1－1a n ＝1.又1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列． 故1a n ＝n ，所以a n ＝1n (n ∈N *)． 专题三 数列求和数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n 项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有：(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n 项和公式)； (2)分组求和法； (3)错位相减法； (4)倒序相加法；(5)裂项相消法．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互拆消，从而求得其和；(6)并项求和法．一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．[例3] (1)已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和S n ＝________________.(2)设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1.①求数列{a n}的通项公式；②令b n＝na n，求数列{b n}的前n项S n.(1)解析：设等比数列{a n}的公比为q，则a4a1＝q3＝27，解得q＝3，所以a n＝a1q n－1＝3·3n－1＝3n，故b n＝log3a n＝n，所以1b n b n＋1＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1.则S n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.答案：n n＋1(2)解：①由已知，当n≥1时，a n＋1＝[(a n＋1－a n)＋(a n－a n－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝22n－1.②由b n＝na n＝n·22n－1知S n＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n·22n－1①从而22·S n＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n·22n＋1②①－②得(1－22)S n＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即S n＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．归纳升华用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．[变式训练]设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项；(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，①所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝n－13，②由①－②得3n－1a n＝13，所以a n＝13n，在①中，令n＝1，得a1＝13，所以数列{a n}的通项公式a n＝13n(n∈N*)．(2)因为b n＝na n＝n·3n，所以S n＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③所以3S n＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④由④－③得2S n＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)＝n·3n＋1－3（1－3n）1－3，所以S n＝（2n－1）·3n＋14＋34.专题四函数与方程思想(1)在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d(或q)，n，a n及S n，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值．(2)数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数．运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题．等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n 项和公式与二次函数也有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题．[例4] (1)已知数列{a n }的首项为a 1＝21，前n 项和为S n ＝an 2＋bn ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝2n ＋1＋a ，则S n 的最大值为________； (2)若等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2·a 4·a 6＝45.则通项公式a n ＝__________________．解析：(1)由T n ＝2·2n ＋a ，可求得a ＝－2，所以S n ＝－2n 2＋bn ，所以数列{a n }为等差数列，又因为a 1＝21，S n ＝－2n 2＋bn ，故b ＝21－(－2)＝23，所以S n ＝－2n 2＋23n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2342＋5298，当n ＝6时，S n 取得最大值66. (2)因为a 1＋a 7＝2a 4＝a 2＋a 6，所以a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5， 所以a 2＋a 6＝10且a 2·a 6＝9，所以a 2，a 6是方程x 2－10x ＋9＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 6＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，a 6＝1.若a 2＝1，a 6＝9，则d ＝2，所以a n ＝2n －3； 若a 2＝9，a 6＝1，则d ＝－2，所以a n ＝13－2n . 故a n ＝2n －3或a n ＝13－2n . 答案：(1)66 (2)2n －3或13－2n 归纳升华函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n (q ＞0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1·(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)也与指数函数相联系．[变式训练] 夏季高山上的温度从山脚起，每升高100 m ，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度是26 ℃，问此山相对于山脚处的高度是多少？解：因为每升高100 m 温度降低0.7 ℃，所以该处温度的变化是一个等差数列问题．设山脚温度为首项a 1＝26，山顶温度为末项a n ＝14.8，所以26＋(n －1)(－0.7)＝14.8，解得n ＝17.此山的高度为(17－1)×100＝1 600(m)．故此山相对于山脚处的高度是1 600 m.。