三角函数高考试题题型分类beta2
三角函数高考题型分类总结
三角函数高考题型分类总结根据出现频率和难度程度，三角函数的高考题型可以分为以下几类：1.求解三角函数值：给定某个角度，求其正弦、余弦、正切等函数值。
这是三角函数的基本应用，通常难度较低。
2.证明恒等式：要求学生运用三角函数的基本公式和性质，证明某些三角函数的恒等式。
难度较高。
3.解三角形：给定某些三角形的一些角度或边长，要求学生利用三角函数的基础知识求解其余角度或边长。
难度较高。
4.求解三角方程：给定某些三角函数的式子，要求学生解出该式的解集。
这种题型通常需要学生掌握一定的三角函数公式，难度较高。
5.综合应用：要求学生将三角函数运用到实际问题中，如求解高度、距离等。
考察学生对三角函数的理解和应用能力。
难度较高。
除了以上几种常见的题型，还可能出现一些变形题，需要学生根据题目情况灵活运用三角函数的知识。
总的来说，三角函数在高考中的重要性不言而喻，学生需要扎实掌握相关知识和技能。
6.三角函数的图像与性质：考察三角函数的图像、周期、奇偶性、单调性等性质，需要学生掌握函数图像的绘制和相关概念的理解。
7.复合三角函数：考察学生对三角函数复合的概念和公式的掌握，需要注意不同变换下函数值的变化。
8.三角函数的导数：考察学生对三角函数的导数概念和计算方法的掌握，包括链式法则、求导公式等内容。
9.反三角函数：考察学生对反三角函数的定义、性质和公式的掌握，需要注意定义域、值域和解的判断。
10.三角函数的应用：考察学生将三角函数用于实际问题的解决，如解决三角形、距离等问题。
总的来说，三角函数是高中数学中重要的一部分，掌握好三角函数的知识对于高考的成绩至关重要。
在复习中，学生需要注重基础知识的巩固，深入理解概念和定理，做好练习题和真题的训练，同时灵活应用所学知识解决实际问题。
高考三角函数重要题型总结(二)
高考三角函数重要题型总结(二)高考数学中，三角函数是一个非常重要的考点。
掌握三角函数的性质和应用，对于解题非常有帮助。
本文将对高考中常见的三角函数题型进行总结，以帮助同学们更好地备考。
一、基本概念和性质1. 三角函数的定义三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)和余割函数(csc)。
在平面直角坐标系中，给定一个角的顶点为原点，终边为射线，其与x轴的夹角为θ，定义如下：sinθ = y/r, cosθ = x/r, tanθ = y/x,其中 x,y,r分别表示点P的横纵坐标和到原点的距离。
2. 特殊角的三角函数值- sinθ和cosθ的值在零点、 $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$ 等角度上特殊。
- tanθ的值在零点、 $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$ 等角度上不存在。
- 余切函数、正割函数和余割函数的值具有定义域的约束关系。
3. 三角函数的基本性质- 任何角的sinθ和cosθ的平方和等于1，即sin²θ + cos²θ = 1。
- sinθ和cosθ的关系：sinθ = cos(θ- $\frac{\pi}{2}$ )。
- cosθ和tanθ的关系：cosθ = $\frac{1}{secθ}$=$\frac{1}{cosθ}$。
- sinθ和cotθ的关系：sinθ = $\frac{1}{cscθ}$=$\frac{1}{sinθ}$。
- tanθ和cotθ的关系：tanθ = $\frac{1}{cotθ}$=$\frac{1}{tanθ}$。
二、三角函数的图像和性质1. 正弦函数和余弦函数- y = A sin(Bx + C)函数图像的周期是 $\frac{2π}{B}$。
三角函数(学生版)--2020-2023高考真题数学专题分类汇编
专题五三角函数--2020-2023高考真题数学专题分类汇编真题卷题号考点考向2023新课标1卷8三角恒等变换给值求值15三角函数的性质及应用余弦型函数的零点问题2023新课标2卷7三角恒等变换给值求值16三角函数的图象与性质由部分图象求解析式、求函数值2022新高考1卷6三角函数的性质及应用求三角函数的解析式、求函数值2022新高考2卷6三角恒等变换三角求值9三角函数的图象与性质求三角函数的单调区间、对称轴、极值点、求切线方程2021新高考1卷4三角函数的性质及应用求三角函数的单调区间2021新高考2卷6三角恒等变换给值求值2020新高考1卷10三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式15三角函数的应用三角函数解决实际问题2020新高考2卷11三角函数的图象与性质由图象求三角函数的解析式16三角函数的应用三角函数解决实际问题【2023年真题】1.（2023·新课标I卷第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin6αβ=，则cos(22)αβ+=()A.79 B.19 C.19- D.79-2.（2023·新课标II 卷第7题）已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=()A.38- B.18-+ C.34- D.14-3.（2023·新课标I 卷第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4.（2023·新课标II 卷第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π=.【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=()A.1B.32C.52D.36.（2022·新高考II 卷第6题）若sin()cos())sin 4παβαβαβ+++=+，则()A.tan()1αβ+=-B.tan()1αβ+=C.tan()1αβ-=- D.tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则()A.()f x 在5(0,12π单调递减B.()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点C.直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D.直线32y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是()A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+()A.65-B.25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+()A.sin ()3x π+B.sin (2)3x π- C.cos (2)6x π+D.5cos (2)6x π-11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，cm A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为__________2.【答案解析】1.（2023·新课标I 卷第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+=即2221cos(22)12sin ()12(.39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2.（2023·新课标II 卷第7题）解：221511cos 36114sin ()sin 222816424ααα+----=====⇒=故选：.D 3.（2023·新课标I 卷第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<，得2 3.ω<故答案为：[2,3).4.（2023·新课标II 卷第16题）解：设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-23()sin(4.32f πππ=-=-5.（2022·新高考I 卷第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++=所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin( 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos44ππαβαβ=+++，cos )sin 44ππαβαβ+=+故sin()cos cos()sin 044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故22sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=，故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=-7.（2022·新高考II 卷第9题）（多选）解：由题意得：24()sin()033f ππϕ=+=，所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈，又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减;选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点;选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(2)32x π+=-，解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为3(0)2y x -=--，即3.2y x =-8.（2021·新高考I 卷第4题）解：由22262k x k πππππ-+-+，得222,33k xk k Z ππππ-++∈，所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：.A 9.（2021·新高考I 卷第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++，故选：.C 10.（2020·新高考I 卷第10题、II 卷第11题）（多选）解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误;解得2ω=±，点5(,1)12π-在函数图象上，当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈，解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC 11.（2020·新高考I 卷第15题、II 卷第16题）解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=，又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得22OJ AJ x ==，252OL JK x ==-，272DL DK LK DK OJ x =-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==，253252x -=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳一、三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的函数类型，它们在几何、物理等领域有着广泛的应用。
首先，角的概念是基础。
我们把平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
角可以用弧度制或角度制来度量。
弧度制是用弧长与半径之比来度量角的大小，公式为：弧长\（l ＝r\theta\），其中\（r\）为半径，＼（＼theta\）为圆心角的弧度数。
接下来是三角函数的定义。
在平面直角坐标系中，设点\（P(x,y)＼）是角\（＼alpha\）终边上非原点的任意一点，＼（r ＝＼sqrt{x^2 ＋y^2}＼），则有正弦函数\（＼sin\alpha ＝＼frac{y}｛r}＼），余弦函数\（＼cos\alpha ＝＼frac{x}｛r}＼），正切函数\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}（x ＼neq 0)＼）。
二、三角函数的基本性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是\（2\pi\），正切函数的周期是\（＼pi\）。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即\（＼sin(＼alpha) ＝＼sin\alpha\）；余弦函数是偶函数，即\（＼cos(＼alpha) ＝＼cos\alpha\）。
3、单调性正弦函数在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增，在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{3\pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减；余弦函数在\（2k\pi, ＼pi ＋2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减，在\（＼pi ＋ 2k\pi, 2\pi ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增；正切函数在\（（＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi)（k ＼in Z)＼）上单调递增。
2023年高考数学试题分项版——三角函数(解析版)
2023年高考数学试题分项版——三角函数（解析版）一、选择题1．(2023·新高考Ⅰ卷，8)已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）A.79B.19 C.19-D.79-【答案】B【解析】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B.2．(2023·新高考Ⅱ卷，7)已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=（）A.358- B.158- C.354D.14-+【答案】D【解析】因为215cos 12sin 24αα+=-=，而α为锐角，解得：sin 2α=14==．故选：D ．3．(2023·全国甲卷理，7)“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选：B4．(2023·全国甲卷理，10)已知()f x 为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数，则() y f x =与1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.5．(2023·全国甲卷文，12)函数()y f x =的图象由cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.6．(2023·全国乙卷理，6)已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.32B.12-C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5π3sin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.7．(2023·全国乙卷文，4)在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5π C.310π D.25π【答案】C 【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A ∠的值，最后利用三角形内角和定理可得A ∠的值.【详解】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2A A ==，则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C.8．(2023·全国乙卷文，10)已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5π3sin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.9．(2023·北京卷，7)在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选：B.10．(2023·天津卷，5)已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =，一个周期为4，则()f x 的解析式可能为（）A.sin 2x π⎛⎫⎪⎝⎭B.cos 2x π⎛⎫⎪⎝⎭C.sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭D.cos 4x π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在2x =处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A 选项中242T ππ==，B 选项中242T ππ==，C 选项中284T ππ==，D 选项中284T ππ==，排除选项CD ，对于A 选项，当2x =时，函数值sin 202π⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故()2,0是函数的一个对称中心，排除选项A ，对于B 选项，当2x =时，函数值cos 212π⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭，故2x =是函数的一条对称轴，故选：B.二、填空题1．(2023·新高考Ⅰ卷，15)已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．【答案】[2,3)【解析】因为02πx ≤≤，所以02πx ωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，故答案为：[2,3).2．(2023·新高考Ⅱ卷，16)已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =______．【答案】32【解析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=，由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，k ∈Z ，由图可知，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=．因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ππ3k ϕ+=，即8ππ3k ϕ=-+，k ∈Z ．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又因为()00f <，所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()23πsin 4ππ32f ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：32．3．(2023·全国甲卷理，16)在ABC 中，2AB =，60,6BAC BC ∠=︒=，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则AD =_________．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：1212AD b +==+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+，由正弦定理可得，2sin 60sin sin b B C==，解得：sin 4B +=，sin 2C =，因为1+>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．4．(2023·全国乙卷文，14)若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】55-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：55-.5．(2023·北京卷，13)已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________，β=_________．【答案】①.9π4②.π3【解析】【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02<<<αβ，则00tan tan <αβ，取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k -=+-+=-+-αβαβαβ，因为()1200π2π2π,02k k -≥-<-<αβ，则()()12003π2π02k k -=-+->>αβαβ，即12k k >，则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ，即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为：9ππ;43.三、解答题1．(2023·新高考Ⅰ卷，17)已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．解：（1）3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，310sin 10A ∴==.（2）由（1）知，10cos 10A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin (210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==.2．(2023·新高考Ⅱ卷，17)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积D 为BC 中点，且1AD =．（1）若π3ADC ∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求,b c ．解：（1）方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1113313sin 12222822ADC ABC S AD DC ADC a a S =⋅∠=⨯⨯==，解得4a =，在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+-⋅∠，即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=，解得c =，则cos 14B ==，21sin 14B ===，所以sin tan cos 5B B B ==.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1113313sin 12222822ADC ABC S AD DC ADC a a S =⋅∠=⨯⨯==，解得4a =，在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADB =+-⋅∠，即214122132b =+-⨯⨯⨯=，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=，π6C =，过A 作AE BC ⊥于E ，于是33cos ,sin 22CE AC C AE AC C ====，52BE =，所以tan 5AE B BE ==.（2）方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩，整理得222122a b c +=+，而228b c +=，则a =，又11sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =-，于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++-=+= ，即2416a +=，解得a =，又131sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.3．(2023·全国甲卷文，17)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=．（1）求bc ；（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】（1）1（2）34【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc A bc A A+-===，解得：1bc =．【小问2详解】由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A B a B b A c A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B B A B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以3sin 2A =，故ABC 的面积为1133sin 12224ABC S bc A ==⨯⨯=△．4．(2023·全国乙卷理，18)在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【答案】（1）14；（2）310.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC 的值为BC =，然后由余弦定理可得57cos 14B =，最后由同角三角函数基本关系可得21sin 14B =；(2)由题意可得4ABD ACD S S =△△，则15ACD ABC S S =△△，据此即可求得ADC △的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =22257cos 214a c b B ac +-==，sin 14B ===.【小问2详解】由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则111321sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭ △△.5．(2023·北京卷，17)设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭．（1）若(0)2f =-，求ϕ的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭；条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3ϕ=-.（2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1ω=，π6ϕ=-.【解析】【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈，所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-.所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同．6．(2023·天津卷，16)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分別是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠=．（1）求sin B 的值；（2）求c 的值；（3）求()sin B C -．【答案】（1）1313（2）5（3）26-【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sin C ，再由平方关系求出cos ,cos B C ，即可由两角差的正弦公式求出．【小问1详解】由正弦定理可得，sin sin a b A B =，即2sin120sin B = ，解得：sin 13B =；【小问2详解】由余弦定理可得，2222sin a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得：5c =或7c =-（舍去）．【小问3详解】由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即5sin120sin C =，解得：sin 26C =，而120A =o ，所以,B C 都为锐角，因此cos 26C ==，cos 13B ==，故()sin sin cos cos sin 1326132626B C B C B C -=-=⨯-⨯=-．。
高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题答案
（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求 的长，在 中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点 到直线 的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决．
解析：（1）如图， ， ，
由于 ，所以
由余弦定理得
所以船的行驶速度为 （海里/小时）．
（2）方法一：如上面的图所示，以 为原点建立平面直角坐标系，
设点 的坐标分别是 ， 与 轴的交点为 ．
由题设有， ，
，
所以过点 的直线 的斜率 ，直线 的方程为 ．
又点 到直线 的距离 ，所以船会进入警戒水域．
解法二：如图所示，设直线 与 的延长线相交于点 ．在 中，由余弦定理得，
例13.设二次函数 ，已知不论 ， 为何实数，恒有 和 ．为 ，求 ， 的值．
分析：由三角函数的有界性可以得出 ，再结合有界性探求．
解析：（1）因为 且 恒成立，所以 ，又因为 且 恒成立，所以 ，从而知 ， ，即 ．
（2）由 且 恒成立得 ， 即 ，将 代如得 ，即 ．
3．若 ， 与 的夹角为 ，则 （）
A． B． C． D．
4．若 为 的内心，且满足 ，则 的形状为
（）
A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．钝角三角形
5．在 中，若 ，则 是（）
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
6．已知向量 、 、 ，则直线 与直线 的夹角的取值范围是（）
（3） ，
因为 ，所以当 时 ，由 ，解得 ， ．
点评：本题的关键是 ，由 利用正余弦函数的有界性得出 ，从而 ，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用．
三角函数高考题及练习题(含答案)
三角函数高考题及演习题（含答案）1. 控制正弦函数.余弦函数.正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;控制函数y ＝Asin (ωx＋φ)的图象及性质．2. 高测验题中,三角函数题相比较较传统,地位靠前,平日是以简略题情势消失,是以在本讲温习中要重视三角常识的基本性,特别是要闇练控制三角函数的界说.三角函数图象的辨认及其简略的性质(周期.单调性.奇偶.最值.对称.图象平移及变换等)．3. 三角函数是每年高考的必考内容,多半为基本题,难度属中档偏易．这几年的高考增强了对三角函数界说.图象和性质的考核．在这一讲温习中要看重解三角函数题的一些特别办法,如函数法.待定系数法.数形结正当等．1. 函数y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．答案：π 奇解析：y ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin2x.2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3解析：在(0,＋∞)内作出函数y ＝lgx.y ＝sinx 的图象,即可得到答案．3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ),⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的一条对称轴为x ＝π12,则φ＝________．答案：π4解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2,k ∈Z ,即φ＝k π＋π4,k ∈Z .因为|φ|<π2,所以φ＝π4. 4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0π3上的最大值是2,则ω＝________．答案：34解析：由0≤x≤π3,得0≤ωx≤ωπ3<π3,则f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0π3上单调递增,且在这个区间上的最大值是2,所以2sin ωπ3＝2,且0<ωπ3<π3,所以ωπ3＝π4,解得ω＝34.题型二 三角函数界说及应用问题例1设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ,个中角θ的极点与坐标原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边经由点P(x,y),且0≤θ≤π.(1) 若点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1232,求f(θ)的值;(2) 若点P(x,y)为平面区域⎩⎨⎧x ＋y≥1x≤1y≤1上的一个动点,试肯定角θ的取值规模,并求函数f(θ)的最小值和最大值．解：(1) 依据三角函数界说得sin θ＝32,cos θ＝12,∴ f (θ)＝2.(本题也可以依据界说及角的规模得角θ＝π3,从而求出f(θ)＝2)．(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2,又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6,∴当θ＝0,f (θ)min ＝1;当θ＝π3,f (θ)max ＝2. (注： 留意前提,应用三角函数的界说,一般情形下,研讨三角函数的周期.最值.单调性及有关盘算等问题时,常可以先将函数化简变形为y ＝Asin (ωx＋φ)的情势)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α.β,它们的终边分离与单位圆订交于A.B 两点,已知A.B 的横坐标分离为210.255.求：(1) tan (α＋β)的值; (2) α＋2β的值．解：由题意得cos α＝210,cos β＝255,α.β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0π2,所以sin α＝1－cos2α＝7210,sin β＝1－cos2β＝55, 是以tan α＝7,tan β＝12.(1) tan (α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2) tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3）×12＝－1.又α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫03π2,所以α＋2β＝3π4.题型二 三角函数的图象与解析式问题例2函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A.ω.φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示．(1) 求f(0)的值;(2) 若0<φ<π,求函数f(x)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0π3上的取值规模．解：(1)由题图可知A ＝2,∵T 4＝7π12－π3＝π4,∴ω×7π12＋φ＝2k π＋3π2, ∴φ＝2k π＋π3(k∈Z ),∴ f(0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ＋π3＝62.(2) φ＝π3,f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为0≤x≤π3,所以π3≤2x ＋π3≤π,所以0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1,即f(x)的取值规模为[0,2]．(注：本题重要考核正弦.余弦.正切函数及y ＝Asin (ωx＋φ)的图象与性质以及引诱公式,应用数形联合思惟,属于中档题)已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx (A.B.ω是常数,ω＞0)的最小正周期为2,并且当x ＝13时,f(x)max ＝2.(1) 求f(x)的解析式;(2) 在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤214234上是否消失f(x)的对称轴？假如消失,求出其对称轴方程;假如不消失,请解释来由．解：(1) 因为f(x)＝A2＋B2sin (ωx＋φ),由它的最小正周期为2,知2πω＝2,ω＝π.又当x ＝13时,f(x)max ＝2,知13π＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z ),即φ＝2k π＋π6(k∈Z ),所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx＋2kπ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx＋π6(k∈Z )．故f(x)的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx＋π6.(2) 当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称轴,令πx ＋π6＝k π＋π2(k∈Z ),解得x＝k ＋13(k∈Z ),由214≤k ＋13≤234,解得5912≤k ≤6512.又k∈Z ,知k ＝5,由此可知在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤214234上消失f(x)的对称轴,其方程为x ＝163.题型三 三角函数的性质与图象的移动问题例3把函数f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0),所得函数的图象关于直线x ＝17π8对称．(1) 求m 的最小值;(2) 证实：当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17π8－15π8时,经由函数f(x)图象上随意率性两点的直线的斜率恒为负数;(3) 设x 1,x 2∈(0,π),x 1≠x 2,且f(x 1)＝f(x 2)＝1,求x 1＋x 2的值．(1) 解：f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2x ＝1－cos2x 2－sin2x ＋3·1＋cos2x2＝cos2x －sin2x ＋2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.因为将f(x)的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0),得到g(x)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π4＋2的图象,又g(x)的图象关于直线x ＝17π8对称, 所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫17π8＋m ＋π4＝k π,即m ＝（2k －9）4π(k∈Z )．因为m>0,所以m 的最小值为π4.(2) 证实：因为x∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17π8－15π8,所以－4π<2x ＋π4<－7π2,所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17π8－15π8上是减函数．所以当x 1.x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17π8－15π8,且x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2),从而经由随意率性两点(x 1,f(x 1))和(x 2,f(x 2))的直线的斜率k ＝f （x1）－f （x2）x1－x2<0.(3) 解：令f(x)＝1,所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－22.因为x∈(0,π),所以2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π49π4.所以2x ＋π4＝3π4或2x ＋π4＝5π4,即x ＝π4或x ＝π2.因为x 1.x 2∈(0,π),x 1≠x 2,且f(x 1)＝f(x 2)＝1,所以x 1＋x 2＝π4＋π2＝3π4已知函数f(x)＝2sin ωx,个中常数ω>0.(1) 若y ＝f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π42π3上单调递增,求ω的取值规模;(2) 令ω＝2,将函数y ＝f(x)的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数y ＝g(x)的图象,区间[a,b](a,b ∈R 且a<b)知足：y ＝g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有知足上述前提的[a,b]中,求b －a 的最小值．解：(1) 因为ω>0,依据题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π20<ω≤34.(2) f(x)＝2sin2x,g(x)＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1,g(x)＝0sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12x ＝k π－π3或x ＝k π－712π,k∈Z, 即g(x)的零点相邻距离依次为π3和2π3,故若y ＝g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3. 已知函数f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值;(2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后,得到函数y＝g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间．解：(1) f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32sin （ωx＋φ）－12cos （ωx＋φ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋φ－π6.因为f(x)为偶函数,所以对x∈R ,f(－x)＝f(x)恒成立,是以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ωx＋φ－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋φ－π6,即－sin ωxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＋cos ωxsin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝sin ωxcos (φ－π6)＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6,整顿得sin ωxcos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0.因为ω＞0,且x∈R ,所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0.又0＜φ＜π,故φ－π6＝π2.所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π2＝2cos ωx.由题意得2πω＝2×π2,所以ω＝2,故f(x)＝2cos2x,是以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后,得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象,所以g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2k π≤2x－π3≤2k π＋π(k∈Z ),即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k∈Z )时,g(x)单调递减,是以g(x)的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤kπ＋π6kπ＋2π3(k∈Z )．题型四 三角函数图象及性质.三角公式分解应用例4 已知函数f(x)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x －1,x ∈R .(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若h(x)＝f(x ＋t)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π60对称,且t∈(0,π),求t 的值;(3) 当x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4π2时,不等式|f(x)－m|<3恒成立,求实数m 的取值规模．解：(1)因为f(x)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3,故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π(k∈Z ),又t∈(0,π),故t ＝π3或5π6.(3) 当x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4π2时,2x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π62π3,∴ f (x)∈[1,2]．又|f(x)－m|＜3,即f(x)－3＜m ＜f(x)＋3, ∴ 2－3＜m ＜1＋3,即－1＜m ＜4.已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在统一周期内,当x ＝π12时,f(x)取得最大值3;当x ＝712π时,f(x)取得最小值－3.(1) 求函数f(x)的解析式;(2) 求函数f(x)的单调递减区间;(3) 若x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3π6时,函数h(x)＝2f(x)＋1－m 有两个零点,求实数m 的取值规模．解：(1) 由题意,A ＝3,T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫712π－π12＝π,ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π得φ＝π3＋2k π,k ∈Z .又 －π<φ<π,∴φ＝π3,∴ f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2) 由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π,得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π,即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π,k ∈Z .∴函数f(x)的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12＋kπ7π12＋kπ,k ∈Z.(3) 由题意知,方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3π6上有两个根．∵ x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3π6,∴ 2x ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π32π3.∴m －16∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－321,∴ m ∈[1－33,7)． 1. (2013·江西卷)设f(x)＝3sin3x ＋cos3x,若对随意率性实数x 都有|f(x)|≤a ,则实数a 的取值规模是________．答案：a≥2解析：f(x)＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,|f(x)|≤2,所以a≥2.2. (2013·天津卷)函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0π2上的最小值是________．答案：－223. (2013·全国卷)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合,则|φ|＝________．答案：5π64. (2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A.ω.φ是常数,A>0,ω>0)．若f(x)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6π2上具有单调性,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,则f(x)的最小正周期为________． 答案：π解析：由f(x)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6π2上具有单调性,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知,函数f(x)的对称中间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π30,函数f(x)的对称轴为直线x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2π3＝7π12,设函数f(x)的最小正周期为T,所以12T ≥π2－π6,即T≥2π3,所以7π12－π3＝T4,解得T ＝π.5. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx ＋cosx)－12.(1) 若0<α<π2,且sin α＝22,求f(α)的值;(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(解法1)(1) 因为0<α<π2,sin α＝22,所以cos α＝22.所以f(α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋22－12＝12.(2) 因为f(x)＝sinxcosx ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4,所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2,k ∈Z ,得k π－3π8≤x ≤k π＋π8,k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤kπ－3π8kπ＋π8,k ∈Z .(解法2)f(x)＝sinxcosx ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1) 因为0<α<π2,sin α＝22,所以α＝π4.从而f(α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2) T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2,k ∈Z ,得k π－3π8≤x ≤k π＋π8,k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤kπ－3π8kπ＋π8,k ∈Z .6. (2013·北京卷)已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x.(1) 求f(x)的最小正周期及最大值;(2) 若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2π,且f(α)＝22,求α的值．解：(1) 因为f(x)＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2xsin2x ＋12cos4x ＝12(sin4x ＋cos4x)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4,所以f(x)的最小正周期为π2,最大值为22. (2) 因为f(α)＝22,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2π,所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫9π417π4,所以4α＋π4＝5π2,故α＝9π16.(本题模仿高考评分尺度,满分14分)设a>0,函数f(x)＝asinxcosx －sinx －cosx,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0π2的最大值为G(A)．(1) 设t ＝sinx ＋cosx,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0π2,求t 的取值规模,并把f(x)暗示为t 的函数m(t);(2) 求G(A)．解：(1) t ＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∵ x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0π2,∴ x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π43π4,∴22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1,∴ 1≤t ≤2,即t 的取值规模为[1,2]．(3分) (另解：∵ x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0π2,∴ t ＝sinx ＋cosx ＝1＋sin2x.由2x∈[0,π]得0≤sin2x ≤1,∴ 1≤t ≤2)∵ t ＝sinx ＋cosx,∴ sinxcosx ＝t2－12,(5分)∴ m(t)＝a·t2－12－t ＝12at 2－t －12a,t ∈[1,2],a>0.(7分)(2) 由二次函数的图象与性质得：①当1a <1＋22,即a>2(2－1)时,G(A)＝m(2)＝12a －2;(10分)②当1a ≥1＋22,即0<a≤2(2－1)时,G(A)＝m(1)＝－ 2.(13分)∴ G(A)＝⎩⎪⎨⎪⎧12a －2a>2（2－1）－20<a≤2（2－1）.(14分)1. 若π4＜x ＜π2,则函数y ＝tan2xtan 3x 的最大值为________．答案：－8解析：令tanx ＝t∈(1,＋∞),y ＝2t41－t2,y ′(t)＝－4t3（t ＋2）（t －2）（1－t2）2,得t ＝2时y 取最大值－8.2. 已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2x,求：(1) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值;(2) f(x)的最大值和最小值．解：(1) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3＝－1＋34＝－14.(2) f(x)＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x)＝3cos 2x －1,x ∈R .因为cosx ∈[－1,1],所以当cosx ＝±1时,f(x)取最大值2;当cosx ＝0时,f(x)取最小值－1.3. 已知A 为△ABC 的内角,求y ＝cos 2A ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋A 的取值规模．解： y ＝cos 2A ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋A ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋A 2 ＝1＋cos2A 2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3cos2A －sin4π3sin2A ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos2A ＋32sin2A ＝1＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3.∵ A 为三角形内角,∴ 0＜A ＜π,∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3≤1,∴ y ＝cos 2A ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋A 的取值规模是[12,32]．4. 设函数f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x 2＋4t 3＋t 2－3t ＋4,x ∈R ,个中|t|≤1,将f(x)的最小值记为g(t)．(1) 求g(t)的表达式;(2) 评论辩论g(t)在区间(－1,1)内的单调性并求极值．解：(1) f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x 2＋4t 3＋t 2－3t ＋4＝sin 2x －2tsinx ＋4t 3＋t 2－3t ＋3＝(sinx －t)2＋4t 3－3t ＋3.因为(sinx －t)2≥0,|t|≤1,故当sinx ＝t 时,f(x)达到其最小值g(t),即g(t)＝4t 3－3t ＋3.(2) g′(t)＝12t 2－3＝3(2t ＋1)(2t －1),－1＜t ＜1.由此可见,g(t)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1－12和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121上单调增,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－212上单调减,微小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2,极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4.。
三角函数高考题型分类总结
三角函数高考题型分类总结
在高考数学中，三角函数是一个重要的考点，通常会涉及到以下几种题型分类：
1. 求特殊角的值：考生需要掌握常见角度（如30°、45°、60°）对应的正弦、余弦、正切值等，以及这些值的简单性质。
2. 求三角函数的基本关系：包括正弦定理、余弦定理、正切的定义等。
考生需要能够根据已知条件利用这些关系式求解各种三角函数的值。
3. 化简与证明：考生需要根据三角函数的性质进行化简或证明，例如利用和差化积、倍角公式、半角公式等来简化复杂的三角函数表达式。
4. 解三角函数方程：要求考生解出满足某个条件的三角函数方程，例如求解sin x = 0、cos x = 1/2等。
解题方法包括利用特殊角的周期性、利用图像、利用性质变形等。
5. 三角函数的图像与性质：要求考生根据给定的函数表达式画出三角函数的图像，并利用图像分析函数的周期性、单调性、奇偶性等性质。
6. 三角函数的应用：考生需要掌握利用三角函数解决实际问题的方法，例如利用正弦定理解决三角形的边长或角度、利用余弦定理解决三角形的边长或角度、利用正切函数解决两点之间的高度差等。
这些是一些常见的三角函数的高考题型分类，通过理解和掌握这些题型，考生可以更好地应对高考数学中的三角函数相关题目。
当然，具体的考题形式还需要根据不同的考试要求和出题风格来进行针对性的准备。
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换各种题型归纳分析三角恒等变换基础知识及题型分类汇总一、知识点：一）公式回顾：cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $，简记为C（$\alpha\pm\beta$）sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $，简记为S（$\alpha\pm\beta$）sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$，简记为S2cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$，简记为C2tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$，其中$\alpha\neq\frac{k\pi}{2}$，简记为T2二）公式的变式1\pm\cos2\alpha=2\cos^2\alpha$，简记为1±C2frac{1\pm\cos\alpha}{2}=\sin^2\frac{\alpha}{2}$，简记为S2/2sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cos\frac {\alpha\mp\beta}{2}$，简记为S±Scos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\al pha-\beta}{2}$，简记为C+Ccos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$，简记为C-Ctan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$，简记为T1辅助角（合一）公式：begin{cases}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\\\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\\\cos(-\alpha)=\cos\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\\\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\\\cos(\frac {\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\end{cases}$二典例剖析：基础题型例1：已知$\sin2\alpha=\frac{5\pi}{13}$，$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，求$\sin4\alpha$，$\cos4\alpha$，$\tan4\alpha$。
三角函数大题常考题型
三角函数大题常考题型一、引言三角函数是高中数学中非常重要的概念之一，也是数学建模与应用中常用的工具之一。
三角函数大题在高中数学考试中经常出现，对学生的理解与运用能力提出了很高的要求。
本文将从定义、基本性质、常见题型和解题技巧等方面，对三角函数大题进行全面、详细、完整且深入地探讨，帮助读者更好地理解和应对该题型。
二、三角函数的定义三角函数由单位圆上一点的坐标值定义，分为正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)和余割函数(csc)六个。
其定义如下：1.正弦函数(sin)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的y坐标值；2.余弦函数(cos)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的x坐标值；3.正切函数(tan)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的y坐标值除以x坐标值；4.余切函数(cot)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的x坐标值除以y坐标值；5.正割函数(sec)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的x坐标值的倒数；6.余割函数(csc)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的y坐标值的倒数。
三、基本性质三角函数有许多重要的基本性质，下面我们将简要介绍其中的一些：1. 周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)和cos(x+2π)=cos(x)成立。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数没有周期。
2. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，而余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数都是既不奇也不偶的。
3. 对称性正弦函数的图像关于y轴对称，即sin(-x)=-sin(x)，而余弦函数的图像关于x轴对称，即cos(-x)=cos(x)。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数都没有对称性。
4. 定义域和值域正弦函数和余弦函数的定义域是全体实数，值域是闭区间[-1,1]；正切函数和余切函数的定义域是全体实数，值域是实数集合；正割函数的定义域是实数集合，值域是(-∞,-1]∪[1,∞)，而余割函数的定义域是实数集合，值域是(-∞,-1]∪[1,∞)。
(完整)高考题历年三角函数题型总结(2),推荐文档
高考题历年三角函数题型总结⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z oooo第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z oooo第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z oooo终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是P xyAOM T ()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；αα22sec tan 1=+;αα22csc cot 1=+()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．(3)1cot tan =•αα;1sec cos =•αα;1csc sin =•αα 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 公式的变形：()βαβαβαtan tan 1)tan(tan tan μ•±=±，2cos 12cosαα+±=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=辅助角公式()22sin cos sin αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB=A． 万能公式万能公式其实是二倍角公式的另外一种变形：2tan 12tan2sin 2ααα+=，2tan 12tan 1cos 22ααα+-=，2tan 12tan2tan 2ααα-=14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x B ωϕ=A ++，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．函数性 质对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴三角函数题型分类总结一．求值1、sin330︒= tan690° = o585sin =2、（1）α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= （2）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . （3）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+=3、(1) 已知5sin ,5α=则44sin cos αα-= . (2)设(0,)2πα∈，若3sin 5α=，则2cos()4πα+= .（3）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+= 4下列各式中，值为23的是( ) （A ）2sin15cos15︒︒ （B ）︒-︒15sin 15cos 22（C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22 5. (1) sin15cos75cos15sin105+oooo=(2)cos 43cos77sin 43cos167oooo+= 。
最新高考三角函数题型归类
5。考查三角函数与其他内容的综合。
例7、 的三内角 所对边的长分别为 设向量 , ,若 ,则角 的大小为
(A) (B) (C) (D)
例8、设函数 ，其中向量 ， ， ， 。
（Ⅰ）、求函数 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数 的图像按向量 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的 。
高考三角函数题型归类
例1、（1）若△ 的内角 满足 ，则 =（）
A. B. C. D.
（2）已知
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值。
2。考查三角函数的图象与性质。
例2已知函数
（I）求函数 的最小正周期和单调增区间；
（II）函数 的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到？
已知函数 ,则 的值域是
(A) (B) (C) (D)
3。考查三角恒等变形与解三角形的知识。
例3。如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD= ,∠ABC= .
(1)证明： ;
(2)若AC= DC,求 的值.
例4。已知 是三角形 若 ，求tanC
例5、如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是
边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，
设MGA＝（ ）
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）
表示为的函数
（2）求y＝ 的最大值与最小值
4。考查三角函数在实际生活中的的应用。
例6、如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1 ）？
数学必修四三角函数题型分类
三角函数题型分类总结题型一：求值（1）直接求值：一般角→0至360度之间的角→第一象限的角 （2）已知sin A ，求cos A 或tan A ：1sin22=+ααcon αααcon sin tan =记住两类特殊的勾股数：3、4、5；5、12、13 （3）运用公式化简求值（4）齐次式问题（5）终边问题（6）三角函数在各象限的正负性1、sin330︒= tan690° = o585sin =2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= （2）（09北京文）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= .（3） (07陕西) 已知5sin ,5α=则44sin cos αα-= . （4）（07浙江）已知3cos()22πϕ+=，且||2πϕ<，则tan ϕ＝ 3、α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+= 4、 若2tan =α ,则ααααcos sin cos sin -+=5、2sin cos sin 2cos =-+αααα,则α在第_____象限；6、 （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = 7、已知 3)tan(=+απ,则）（απα-3sin )cos(⋅-=________ 8、31tan -=α,则αααα22cos 3cos sin 2sin -+=_________. 9、若2cos 3α=，α是第四象限角,则sin(2)sin(3)cos(3)απαπαπ-+---＝___ 10、已知3sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭值为________； 11、αααsin 3cos sin 2=-，则αcos =________；1、设)34sin(π-=a ，)35cos(π-=b ，)411tan(π-=c ，则 （ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<2、已知tan160o＝a ，则sin2000o的值是 ( )A.a1＋a2B.－a1＋a2C.11＋a2D.－11＋a23、已知tan100k =，则sin80的值等于 （ ）A21kk + B 21kk-+ C 21k k + D 21k k +- 4、已知f （cosx ）=cos3x ，则f （sin30（ ）A ．1B ．23C ．0D ．－1 5、若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（ ）A ．}42|{Z k k ∈+=ππαα B ．}42|{Z k k ∈-=ππαα C ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα6、已知1sin()63πα+=，则cos()3πα-的值为（ ）A 12B 12- C 13 D 13-7、如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+=（ ）A 12- B 12 C 32- D 32 8、已知53)2cos(=-πα，则αα22cos sin -的值为 （ ） A ．257 B ．2516- C ．259D ．257-9.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =（ ） （A ）21（B ）2 （C ）21- （D ）2- 10、若角α的终边经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23P ，则αtan 的值为 （ ） A ．12-B ．32-C ． 3D ．33-11、下列各三角函数值中，取负值的是（ ）A.sin(-6600) B.tan(-1600) C.cos(-7400) D.sin(-4200)cos57012、α角是第二象限的角，│2cosα│=2cosα-,则角2α属于： （ ）A ． 第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限.13、已知cos tan 0θθ⋅<，那么角θ是 （ ） Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角 14、已知()2,A a -是角α终边上的一点，且5sin 5α=-，求cos α的值． 15、已知：关于x 的方程22(31)0x x m -++=的两根为sin θ和cos θ，(0,2)θπ∈。
高考三角函数重要题型总结(二)
高考三角函数重要题型总结(二)高考三角函数重要题型总结(二)高考三角函数重要题型总结（二）1、（本小题满分12分）如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。
（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。
2.在△ABC中，内角A,B,C，对边的边长分别是a,b,c.已知c2,C3DCEAB.（Ⅰ）若△ABC的面积等于3，求a,b;（Ⅱ）若sinB2sinA，求△ABC 的面积.3.．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB3，bsinA4．（Ⅰ）求边长a；（Ⅱ）若△ABC的面积S10，求△ABC的周长l．4.．在△ABC中，cosA513，cosB35．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）设BC5，求△ABC的面积．5.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知bca（Ⅰ）A的大小;（Ⅱ）2sinBcosCsin(BC)的值.6.在△ABC中，tanA=142223bc，求：,tanB=35.(I)求角C的大小;(II)若AB边的长为17，求BC边的长7.已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．(1)若ABAC0，求c的值；(2)若c5，求sin∠A的值．8.．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围。
9.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅱ)求B的大小;(Ⅲ)若a=310.在△ABC中，已知内角A33,c=5,求b.,边BC23,设内角B=x，周长为y.（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式和定义域（Ⅱ）求y的最大值tanC37．11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，5（1）求cosC；（2）若CBCA，且ab9，求c．212.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bSinA.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a33,c5，求b.扩展阅读：高考三角函数重要题型总结1高考三角函数重要题型总结（一）巩固性训练1．已知函数f(x)cos(2x3)2sin(x4)sin(x4)（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[2.已知函数f(x)sinx（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，23212,2]上的值域。
三角函数高中题目
三角函数高中题目三角函数是数学中重要的概念之一，也是高中数学学习中的重要内容。
通过解答三角函数的题目，可以加深对三角函数概念的理解，提升数学运用能力。
下面列举一些高中三角函数的常见题目，供同学们练习。
1. 已知三角函数的相关值，求其它函数值1.1 已知$\\cos\\theta= \\dfrac{4}{5}$，且$\\theta$在第一象限，求$\\sin\\theta$和$\\tan\\theta$的值。
1.2 若$\\sin\\alpha= \\dfrac{1}{2}$，$\\alpha$在第二象限，求$\\cos\\alpha$和$\\cot\\alpha$的值。
1.3 若$\\tan\\beta= -2$，$\\beta$在第三象限，求$\\sin\\beta$和$\\cos\\beta$的值。
2. 利用三角函数解直角三角形问题2.1 已知直角三角形中，一条直角边长为5，另一条直角边长为12，求斜边长。
2.2 若一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求其正弦、余弦和正切值。
2.3 在一个直角三角形中，斜边为13，一条直角边为5，求另一条直角边的长。
3. 三角函数方程的解法3.1 解方程$\\sin x = \\cos x$在区间$[0, 2\\pi]$内的所有解。
3.2 解方程$\\tan^2 y = 1$在区间$[0, 2\\pi]$内的所有解。
3.3 求解方程$\\sin^2z + \\cos^2z=1$在实数范围内的解。
4. 三角函数的性质运用4.1 证明$\\tan(\\dfrac{\\pi}{4} - x) = \\dfrac{1-\\tanx}{1+\\tan x}$。
4.2 证明$\\dfrac{\\sin\\alpha-\\sin\\beta}{\\cos\\alpha + \\cos\\beta} = \\tan(\\dfrac{\\alpha-\\beta}{2})$。
高考三角函数试题分类解析
高考三角函数试题分类解析第1题.已知函数()π124cos x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值． 答案：解：（Ⅰ）由cos 0x ≠得()x k k π≠π+∈2Z ， 故()f x 的定义域为x x k k ⎧π⎫≠π+∈⎨⎬2⎩⎭Z ，．（Ⅱ）因为4tan 3α=-，且α是第四象限的角， 所以43sin cos 55αα=-=，，故12()cos f αααπ⎛⎫-- ⎪4⎝⎭=212cos 222cos 1sin 2cos 2cos 2cos 2sin cos cos 2(cos sin )14.5αααααααααααα⎫--⎪⎝⎭=-+=-==-=第2题.已知函数1sin 2()cos xf x x-=．（I ）求()f x 的定义域；（II ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值． 答案：解：（Ⅰ）由cos 0x ≠得()x k k π≠π+∈2Z ，故()f x 的定义域为x x k k ⎧π⎫≠π+∈⎨⎬2⎩⎭Z ，．（Ⅱ）因为4tan 3α=-，且α是第四象限的角， 所以43sin cos 55αα=-=，，故1sin 2()cos f ααα-=12s i n c o sc o s 4312553549.15ααα-=⎛⎫-⨯-⨯⎪⎝⎭== 第3题. 3已知ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，3sin 5α=，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）Ａ．17Ｂ．7 Ｃ．17-Ｄ．7-答案：3．Ａ第4题.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值是2-，则ω的最小值等于（ ）Ａ．23Ｂ．32Ｃ．2 Ｄ．3答案：9．Ｂ第5题.．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值是2-，则ω的最小值等于________．答案：32第6题.若ABC △的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=（ ） AB． C ．53 D ．53-答案： A第7题.．已知2sin 23α=，(0)a ∈π，，则sin cos αα+=（ ）ABCDαβＢ． Ｃ．53Ｄ．53-答案：Ａ第8题.若ππ()sin(sin()(0)44f x a x b x ab =++-≠是偶函数，则有序实数对()a b ，可以是 （________）．（写出你认为正确的一组数字即可）答案： (11)-，（注：只要满足0a b +=的一组数字即可） 试题难度：0.7 考查目标：数学思考第9题.如图3，D 是直角ABC △斜边BC 上一点，AB AD =，记CAD α∠=，ABC β∠=． （Ⅰ）证明sin cos 20αβ=＋；（Ⅱ）若AC =，求β的值．答案：本小题主要考查三角函数及三角形的基础知识，同时考查根据公式进行简单证明、正确运算、合理变形的能力．满分12分． 解：（I ）如图，因为πππ(π2)2222BAD αββ=-=--=-∠， 所以πsin sin 2cos 22αββ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 即sin cos 20αβ+=．（II ）在ADC △中，由正弦定理得sin sin(π)DC ACαβ=-，即sin DC α=．所以sin βα=． 由（I ），s i n c o s 2αβ=-，所以2sin 22sin )βββ==-．即2sin 0ββ-=．解得sin β=或sin β=图3因为π02β<<，所以sin β=从而π3β=．第11题.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x x =++∈，R ，求 （Ⅰ）函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间． 答案：（I ）()()31cos 21cos 2sin 222x xf x x +-=++2sin 2cos2x x =++π224x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，4分∴ 当ππ22π+42x k +=，即()ππ+8x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值2（II ）解：()π224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由题意得()πππ2π22π+242k x k k -+∈Z ≤≤，即()3ππππ+88k x k k -∈Z ≤≤． 因此，()f x 的单调增区间是()3ππππ+88k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z ，． 12分 第12题.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x x =++∈，R ，求 （Ⅰ）函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间．答案：本小题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力．满分12分． （I ）解法一：()()31cos 21cos 2sin 222x xf x x +-=++2sin 2cos2x x =++π224x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，4分∴当ππ22π+42x k +=，即()ππ+8x k k =∈Z 时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是ππ+8x x k k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，．8分解法二：()()222sin cos sin 22cos f x x x x x =+++π1sin 21cos 2224x x x ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭，4分∴当ππ22π+42x k +=，即()ππ+8x k k =∈Z 时，()f x取得最大值2 因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是ππ+8x x k k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，．8分（II ）解：()π224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由题意得()πππ2π22π+242k x k k -+∈Z ≤≤，即()3ππππ+88k x k k -∈Z ≤≤． 因此，()f x 的单调增区间是()3ππππ+88k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z ，． 12分 试题难度：0.6 考查目标：双基简单应用第13题. （2006全国理）17．（本小题满分12分）ABC △的三个内角为AB C ，，，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值．答案：解：由πA B C ++=，得π222B C A+=-， 所以有cos sin 22B C A+=．22cos 2cos2cos 2sin212sin 2sin22132(sin )222B CA AA A AA ++=+=-+=--+．当1sin 22A =，即π3A =时，cos 2cos2B C A ++取得最大值32． 第14题.ABC △的三个内角为AB C ，，，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值．答案：解：由A B C ++=π，得222B C A+π=-， 所以有cos sin 22B C A+=．cos 2cos cos 2sin 22B C AA A ++=+212sin 2sin 22A A=-+2132sin 222A ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．当1sin22A =，即3A π=时，cos 2cos2B C A ++取得最大值32． 第15题.已知函数2π()sin ()0002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭，，，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(12)，． （Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）计算(1)(2)(2008)f f f +++…．答案：解：（Ⅰ）2sin ()cos(22)22A Ay A x x ωϕωϕ=+=-+． ()y f x =∵的最大值为2，0A >，222A A+=∴，2A =． 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，22ω1π⎛⎫= ⎪22⎝⎭∴，4ωπ=．22()cos 21cos 2222f x x x ϕϕππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭∴．()y f x =∵过(12)，点．cos 21ϕπ⎛⎫+=- ⎪2⎝⎭∴．22k ϕπ+=π+π2∴，k ∈Z ，2k ϕπ2=π+2∴，k ∈Z ，k ϕπ=π+4∴，k ∈Z ． 又ϕπ0<<2∵，ϕπ=4∴．（Ⅱ）解法一：ϕπ=4∵．1cos 1sin y x x πππ⎛⎫=-+=+⎪222⎝⎭∴．(1)(2)(3)(4)21014f f f f +++=+++=∴．又∵()y f x =的周期为4，20084502=⨯，∴(1)(2)(2008)45022008f f f +++=⨯= ．第16题. cos 43cos77sin 43cos167+的值为________． 答案： 12- 第17题.已知函数()()2ππ22sin 612f x x x x R ⎛⎫⎛⎫=-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求使函数()f x 取得最大值的x 的集合答案：解：（Ⅰ）ππ()2()1cos 2()1212f x x x =-+--π1π22cos 2112212x x ⎤⎛⎫⎛⎫=---+⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ2sin 21126x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 213x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2ππ2T ∴==． （Ⅱ）当()f x 取最大值时，πsin(2)13x -=，有ππ22π32x k -=+， 即5ππ()12x k k =+∈Z 试题难度：0.6 考查目标：双基简单应用第18题.．cos43cos77sin 43cos167︒︒+︒︒的值为 ． 答案： 12- 第19题.已知函数2()22sin (R)612f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求使函数()f x 取得最大值的x 的集合． 答案：解：（I ）()ππ21cos 21212f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1π22cos 2112212x x ⎤⎛⎫⎛⎫=---+⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ2sin 21126x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 213x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2ππ2T ∴==．（II ）当()f x 取最大值时，πsin 213x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，有ππ22π+32x k -=，即()5ππ+12x k k =∈Z ， ∴所求x 的集合为5ππ+12x x =k k ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．试题难度：0.7 考查目标：双基简单应用第20题. （2006陕西文）18．（本小题12分）已知函数2()22sin (R)612f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求使函数()f x 取得最大值的x 的集合． 解：（I ）()ππ21cos 21212f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1π22cos 2112212x x ⎤⎛⎫⎛⎫=---+⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ2sin 21126x ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 213x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2ππ2T ∴==．（II ）当()f x 取最大值时，πsin 213x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，有ππ22π+32x k -=，即()5ππ+12x k k =∈Z ，∴所求x 的集合为5ππ+12x x =k k ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．第21题.求函数ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域和最小正周期．答案：解：ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 22x x = 6分 π2sin 26x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． 8分∴函数ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是[]22-，，最小正周期是π 第22题.函数sin cos y x x =的最小正周期是 ． 答案： π第23题.如图，在ABC △中，21AC BC ==，，3cos 4C =． （I ）求AB 的值；（II ）求sin(2)A C +的值．答案：本小题考查同角三角函数关系，两角和公式，倍角公式，正弦定理，余弦定理等基础知识，考查基本运算能力及分析和解决问题的能力．满分12分． （1）解：由余弦定理，2222cos 341221 2.4AB AC BC AC BC C=+-=+-⨯⨯⨯=那么，AB =．（2）解：由3cos 4C =且0C <<π，得sin 4C ==，由正弦定理，sin sin AB BC C A=．解得sin sin 8BC C A AB ==，所以，cos 8A =．由倍角公式sin 22sin sin A A A ==ABC ABC且29cos 212sin 16A A =-=，故sin(2)sin 2cos cos 2sin A C A C A C +=+=第24题.．已知34αβπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，，312sin()sin 5413αββπ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭，，则cos ______4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 答案： 5665-第25题.设函数2()sin cos f x x x x ωωωα=++（其中0ω>∈，a R ），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6． （I ）求ω的值；（II ）如果()f x 在区间π5π36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，α的值．答案：解：（I ）()1πcos 2sin 2sin 222232f x x x a x a ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭． 依题意得πππ2632ω+= ，解之得12ω=．（II ）由（I ）知，()πsin 32f x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，又当π5π36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，π7π036x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，故1πsin 123x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，从而()f x 在π5π36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上取得最小值12a -+．因此，由题设知122a -++=12a =． 试题难度：0.6 考查目标：双基简单应用第26题.若10cos sin 2222βααβαβπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=-=- ⎪ ⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，则cos()αβ+的值等于（ ）Ａ． Ｂ．12-Ｃ．12答案：Ｂ第27题.已知sin ααπ=<<π2，，则tan α= ． 答案： 2- 第28题.设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0a ω>∈R ，），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间5ππ⎡⎤-⎢⎥36⎣⎦，，求a 的值．答案：解：（Ⅰ）1()2sin 22f x x x a ωω=+πsin 232x a ω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． 依题意得πππ2632ω+=·． 解得12ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，π()sin 32f x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． 又当π5π36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，π7π036x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，， 故1πsin 123x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，从而()f x 在π5π36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上取得最小值12a -+．因此，由题设知12a -+= 故a =．。
高中三角函数的题型库
高中三角函数的题型库一、引言高中数学中的三角函数是一个重要的概念，涉及到角度的度量、三角比的定义与计算、三角函数的图像与性质等内容。
掌握三角函数的性质，对于解决与角度有关的问题、分析三角函数的变化规律都具有重要作用。
在高中数学的学习过程中，我们经常会遇到各种类型的三角函数题，因此建立一个题型库，对不同类型的三角函数题进行分类归纳，有助于学生理解和掌握三角函数的相关知识，提高解题能力。
二、三角函数初步2.1 三角比的定义三角函数的定义是三角函数的基础，也是理解与计算三角函数的重要前提。
三角比的定义包括正弦、余弦、正切等，具体如下：1.正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正弦值sinθ等于对边与斜边的比值：sinθ = 对边/斜边。
2.余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，余弦值cosθ等于邻边与斜边的比值：cosθ = 邻边/斜边。
3.正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，正切值tanθ等于对边与邻边的比值：tanθ = 对边/邻边。
2.2 三角函数的图像与性质三角函数的图像和性质是高中数学中的重点之一。
通过观察和研究三角函数的图像，我们可以了解它们的周期性、对称性和变化规律。
常见的三角函数图像包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1.正弦函数的图像：正弦函数的图像表示为y = sinx，其周期为2π，在区间[0, 2π]内，正弦函数的函数值在[-1, 1]之间变化。
正弦函数是奇函数，关于原点对称。
2.余弦函数的图像：余弦函数的图像表示为y = cosx，其周期也为2π，在区间[0, 2π]内，余弦函数的函数值在[-1, 1]之间变化。
余弦函数是偶函数，关于y轴对称。
3.正切函数的图像：正切函数的图像表示为y = tanx，其周期为π，在区间[-π/2, π/2]内，正切函数的函数值的变化范围为负无穷到正无穷。
正切函数具有周期性，并且有垂直渐近线。
三、常见的三角函数题型在高中数学中，我们经常会遇到各种各样的三角函数题。
高中数学三角函数例题
高中数学三角函数例题三角函数是高中数学中的重要内容，理解三角函数的概念以及解题方法对于学生的学习至关重要。
在本文中，我们将通过一系列具体例题来帮助读者更好地掌握三角函数的应用。
弧度制与度数制转换例题1：角α的弧度数是60°，求其对应的角度制表示。
解：已知角α的弧度数是60°，则其对应的角度制表示为$\\frac{60\\pi}{180} = \\frac{\\pi}{3}$ rad。
函数值计算例题2：若$\\sin{\\beta} = \\frac{4}{5}$，且$\\beta$为第二象限角，求$\\cos{\\beta}$的值。
解：由已知条件可知 $\\sin{\\beta} = \\frac{4}{5}$，又因为$\\beta$为第二象限角，所以$\\cos{\\beta} < 0$。
利用三角函数的关系式$\\sin^2{\\beta} + \\cos^2{\\beta} = 1$，可得$\\cos{\\beta} = -\\frac{3}{5}$。
三角函数图象例题3：绘制函数$y = 2\\sin{2x}$的图象。
解：首先画出函数$y = \\sin{x}$的图象，并根据函数的性质得到$y = 2\\sin{2x}$的图象是在x轴方向上压缩了2倍，在x轴方向上拉伸了2倍，振幅为2。
按照压缩和拉伸的规律绘制图象。
三角恒等式证明例题4：证明$\\sec{A} - \\cos{A} =\\frac{\\sin{A}}{\\cos{A}}$。
解：对于左边的表达式，我们可以利用三角函数的定义和基本三角函数的关系逐步进行变化，最终可以得到$\\frac{\\sin{A}}{\\cos{A}}$，即与右边的表达式相同，因此原式成立。
通过以上例题，希望读者对三角函数的应用有了更深入的认识。
在学习过程中，多做练习，加深对概念的理解，相信能够轻松掌握相关知识。
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2p 3
+ 2α = D.
7 9
( A )
B. − 1 C. 1 3 3 √ 50◦ + tan 70◦ − 3 tan 50◦ tan 70◦ 的值是 √ √ B. − 3 C. 33 √ 20◦ + tan 40◦ + 3 tan 20◦ · tan 40◦ 的值是
( B D. − √ 3 −3 4 . .
2
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 ( D ) D. [ p , p) 4 2 ( B ) D. ( p , p) 4 2 ( B )
29.使 tan α ≥ cot α 成立的角 α 的一个取值区间是 A. (0, p ] 4 A. (− p ， −p ) 2 4
p) A. ( p , 3p ) ∪ (p, 54 2 4 p , 3p ) C. ( p , 3p ) ∪ ( 54 2 4 2
A. −
3 2
B. − 1 2
C.
1 2
D.
3 2
给值求值 公式的正向使用，逆向使用，变形使用，角度变换.
12 p )， 5.如果 cos θ = − 13 ， θ ∈ (p，32 那么 cos (θ + p ) 的值等于 4
√ 7 − 26 2
.
6.若 sin ( p + α) = 3 ， 则 cos 2α = 2 5
√
√ − 3 3
.
， 那么 α + β =
比较大小 利用三角函数的单调性或有界性. 不等式相关问题要注意特殊值法，排除错误选 项.
2 18.sin 5 p， cos 6 p， tan 7 p 从小到大的顺序是 5 5
tan 7 p > sin 2 p > cos 6 p 5 5 5
. ( D )
19.对任意的锐角 α， β， 下列不等关系中正确的是 A. sin (α + β ) > sin α + sin β C. cos (α + β ) < sin α + sinβ B. sin (α + β ) > cos α + cos β D. cos (α + β ) < cos α + cos β
θ 2
( D )
D.
1 2
tan (α + β ) < tan
α+β 2
( A ) < cot
θ 2
> cot
θ 2
B. tan
θ 2
C. sin
θ 2
> cos
θ 2
D. sin
θ 2
< cos
θ 2
23.若 A、 B、 C 是 A. sin A < sin C
ABC 的三个内角， 且 A < B < C（C = p ） ， 则下列结论中正确的是 2 B. cot A < cot C C. tan A < tan C D. cos A < cos C ( A )
43.函数 y = cos4 x − sin4 x 的最小正周期是 A. p 2 B. p C. 2p D. 4p
( B )
44.若函数 f (x) = cos2 ωx − sin2 ωx 的最小正周期是 4p， 则常数 ω 的值是 A.
1 4
( D )
B.
1 2
C. ± 1 2
D. ± 1 4 ( A )
26.若角 α 满足条件 sin 2α < 0, cos α − sin α < 0， 则α在 A. 第一象限 B. 第二象限
α 2
C. 第三象限
27.已知 α 为第三象限角， 则 A. 第一或第二象限 28.若 A、 B 是锐角
所在的象限是 C. 第一或第三象限
B. 第二或第三象限
ABC 的两个内角， 则点 P (cos B − sin A, sin B − cos A) 在
31.已知点 P (sin α − cos α, tan α) 在第一象限， 则在 [0, 2p] 内 α 的取值范围是
三、 三角函数的图象与性质 三角函数的图象 三角函数的图象可用来写不等式的解集， 判断一个函数的图象的位置， 可考 虑特殊点验证 + 合情猜想. 32.在 (0, 2p) 内， 使 sin x > cos x 成立的 x 取值范围为
√
3
D. −1 +
√
3
3.在直角坐标系中， 已知两点 A(cos 80◦ , sin 80◦ ), B (cos 20◦ , sin 20◦ ), 则 |AB | 的值是 A.
1 2
B.
√
2 2
C.
3 2
D. 1
√
( D ) ( D )
p − sin p )(cos p + sin p ) = 4.(cos 12 12 12 12
三角函数高考试题题型分类
一、 求值问题 给角求值 公式的正向、 逆向使用. 1.sin 600◦ 的值是 A.
1 2
( D ) B. − 1 2 C.
√ 3 2
D. − √
√
3 2
2.tan 300◦ + cot 405◦ 的值是 √ √ A. 1+ 3 B. 1 − 3
√
( B ) C. −1 −
p, p] A. [− 34 4
( A ) D. [0, p] ( D )
y y x o x
34.函数 y = −x · cos x 的部分图象是图 1 中的
y x o B y x
o A
o
C
D
图1
35.函数 y = tan
y o x
5 π 3
x 2
在一个周期内的图象是图 2 中的 −p 3
y y x
7 π 6
( A )
y x o x
5 π 6
π
o
6
−π 3
−2 π 3
o
4 π 3
−π 6
A
B
C
D
图2
36.如图 3 是周期为 2p 的三角函数 y = f (x) 的图像， 那么 y = f (x) 可以写成 ( D )
3
y 1 O 1 x 1
y x O
11 π 12
图3
A. sin (1 + x) B. sin (−1 − x) C. sin (x − 1)
7 − 25
. ( D )
24 7
7.若 x ∈ − p ,0 ， 且 cos x = 4 ， 则 tan 2x = 2 5 A.
7 24 α =2， 则 2 7 B. − 24
C. −4 3
D. − 24 7 −1 7 . ( A ) D. cos α =
√ 1− 5 2
8.已知 tan
tan α 的值为
38.函数 f (x) = A. p 2
sin 2x cos x
的最小正周期是 B. p C. 2p D. 4p
( C )
39.函数 y = 3 sin ( x +p ) 的周期、 振幅依次是 2 3 A. 4p， 3 B. 4p， −3 C. p， 3 D. p， −3 40.函数 y = sin ( p − 2x) + cos 2x 的最小正周期是 3 A. p 2 B. p C. 2p D. 4p ) + 3 cos (3x + p ) 的最小正周期是 41.函数 y = 4 sin (3x + p 4 4 A. 6p B. 2p
给值求角 同值同区间法：即两角相等，必须这两角有相同的同名三有函数值，而且在这个函 数的一个单调区间内.
1
15.已知 sin 2α = − sin α(α ∈ ( p , p))， 则 cot α = 2
16.已知 sin α = cos 2α(α ∈ ( p , p))， 则 tan α = 3 . 2 √ p p 17.方程 x2 + 3 3x + 4 = 0 的两根分别为 tan α 与 tan β , 且 α, β ∈ − , 2 2 2 − p . 3 二、 不等式问题
20.若 0 < α < β < p ， sin α + cos α = a， sin β + cos β = b， 则 4 A. a < b B. a > b C. ab < 1 D. ab > 2
( A )
21.设 α， β 是一个钝角三角形的两个锐角， 下列四个不等式中不正确的是 √ A. tan α · tan β < 1 B. sin α + sin β < 2 C. cos α + cos β > 1 22.设 θ 是第二象限角， 则必有 A. tan
) 的值为 ， tan(α + p 4
√ 1பைடு நூலகம் 5 2
9.一直角三角形的三内角的正弦成等比数列， 其最小内角为 α， 则 A. sin α =
√ 5−1 2
B. cos α =
√
5−1 2
C. sin α =
10.若 sin p −α = 1 ， 则 cos 6 3 A. − 7 9 11.tan √ A. 3 12.tan
5 A. sin 7 p > sin 4 p 7
( B B. tan( 15 p) > tan(− p ) 8 7
9 D. cos(− 3 p) > cos(− 4 p) 5
)
C. sin(− p ) < sin(− p ) 6 5 47.函数 y = 2sin x 的单调增区间是 , 2k p + p ](k ∈ Z) A. [2k p − p 2 2 C. [2k p − p, 2k p](k ∈ Z)