湖南省长沙市一中2020届高三月考试卷(七)文综(PDF版)
湖南省长沙市第一中学2020届高三第七次大联考数学(理)试题(含解析)
炎德·英才大联考长沙市一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U Z =，{}1,2,3,4A =，()(){}|130,B x x x x Z =+->∈，则()U A C B =I （ ） A. {}1,2 B. {}2,3C. {}1,2,3D. {}1,2,3,42. 已知复数12iz i-=+，则z 的共轭复数z =（ ） A. 1355i - B. 1355i + C. 1355i --D. 1355i -+ 3. 函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）A.B. C. D.4. ()()6121t t -+的展开式中，3t 项的系数为（ ） A. 20B. 30C. -10D. -245. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）A.114B.17C.314D.136. 如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是（ ）A.13009，600，11203B. 1200，500，300C. 1100，400，600D. 300，500，12007. 若,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 2θ=sin θ=（ ）A.35 B.45C.D.348. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的一点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ）A. 2B. 4C. 6D. 89. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，PA AB =，E 是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为（ ） A.16B.14C.13D.1210. 直线2x =与双曲线221169x y -=的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,a b R ∈，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A. 2ab =B. 224a b +≥C. 2a b -≥D. 2a b +≥11. 已知函数()cos sin 2f x x x =，给出下列命题： ①x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0T ≠，x R ∀∈恒有()()f x T f x +=成立；③()f x ；④()y f x =在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数. 以上命题中正确的为（ ） A. ①②③④B. ②③C. ①②③D. ①②④12. 已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13. 已知向量()1,4a =r ，()2,b k =-r，且()2a b +r r 与()2a b -r r 共线，则实数k =______.14. 某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(]1,2公里的学生有______人.15. 如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，cos PEF ∠=A ，B ，C ，D ，P 在同一球面上，则此球的体积为______.16. 如图，在ABC △中，AC BC ⊥，D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1CD =，CAB MBD DMB ∠=∠=∠，则AM =______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等差数列{}n a 和递增的等比数列{}n b 满足：11a =，13b =且35223b a a =+，242b a =+. （1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，n n kb S ≥恒成立，求实数k 的取值范围. 18. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AB AA =，160BAA ∠=︒.（1）求证：111AC B A ⊥； （2）若平面ABC ⊥平面11ABB A ，且AB BC =，求直线1CB 与平面1A BC 所成角的正弦值.19. 2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活.为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产.决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表：（1）研究员甲根据以上数据认为y 与x 具有线性回归关系，请帮他求出y 关于x 的线性回归方程$()$1y bx a =+$；（保留小数点后两位有效数字）（2）研究员乙根据以上数据得出y 与x 的回归模型：$()2 4.80.8y x=+.为了评价两种模型的拟合效果，请完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.01元）（备注：i e $称为相应于点(),i ix y 的残差）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（3）根据市场调查，生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元；生猪存栏数量达到1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元.若按（2）中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润？请说明理由.（利润＝收入－成本）参考公式：()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---⋅==--∑∑∑∑$，$$y bxa =+$. 参考数据：()()515.3iii x x y y =--=-∑，()52121.2ii x x =-=∑.20. 已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足2OP OA =u u u r u u u r u u r.（1）求出动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）设动直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，与圆227x y +=相交于两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），求直线1OP 、2OP 的斜率之积. 21. 已知函数()ln 1af x x x =+-（a R ∈，a 为常数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在(),e +∞内有极值，试比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()2211x y +-=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线1C 的极坐标方程； （2）曲线2C ：0,02πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，求OB OA的最大值及相应α的值.23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数()33f x x a x =-++. （1）若3a =，解不等式()6f x ≤；（2）若不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.炎德·英才大联考长沙市一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）参考答案一、选择题 1-5：CBDCB6-10：BDDBD11-12：DD1. C 【解析】由题()(){}|130,U C B x x x x Z=+-≤∈{}{}|13,1,0,1,2,3x x x Z =-≤≤∈=-，则(){}1,2,3U A C B =I ，故选C.2. B 【解析】1(1)(2)221132(2)(2)555i i i i i z i i i i ------====-++-，∴1355z i =+，故选B. 3. D 【解析】∵0a >，∴10a >，∴函数x y a =需向下平移1a个单位，不过()0,1点，所以排除A.当1a >时，∴101a <<，所以排除B.当01a <<时，∴11a>，所以排除C.故选D.4. C 【解析】()61t +展开式的通项为16r rr T C t +=，所以()()6121t t -+的展开式中3t 项的系数为3266210C C -=-，故选C.5. B 【解析】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有()3,5，()5,7，()11,13，()17,19共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为28417P C ==.故选B. 6. B 【解析】根据程序框图得：①300y =，1i =，满足3i <；②400y =，2i =，满足3i <；③500y =，300z =，1200x =，3i =，不满足3i <.故输出的1200x =，500y =，300z =.故选B.7. D 【解析】∵,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1cos 28θ===-，∵2cos 212sin θθ=-，sin 0θ>，∴3sin 4θ==，故选D. 8. D 【解析】依题意得，OFM △的外接圆半径为6，OFM △的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上，圆心到准线2p x =-的距离等于6，即有642p p +=，由此解得8p =，故选D.9. B 【解析】取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，则//EF PB ，所以AEF ∠或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角.因为ABC △为正三角形，所以60BAC ∠=︒.设2PA AB a ==，因为PA ⊥平面ABC，所以AF =，AE =，EF =，所以1cos 4AEF ∠==，故选B.10. D 【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为34y x =±，联立直线2x =，解得32y =±，∴不妨设32,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，32,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),P x y ，∵OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ，∴22x a b =+，3322y a b =-，∵P 为双曲线C 上的任意一点，∴2233(22)221169a b a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=，∴1ab =， ∴222()244a b a b ab ab +=++≥=（a b =时等号成立），可得2a b +≥，故选D.11. D 【解析】①()()()()cos sin 2cos sin 2f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确；②()()2f x f x π+=，为周期函数，正确；③()()222sin cos 2sin 1sin x x x x f x ==-32sin 2sin x x =-，令sin t x =，[]1,1t ∈-，则()322y t t t =-，令2'260y t =-=，得3t =±，且()10y -=，39y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭为最大值，错误；④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11sin ,22x ⎡⎡⎤∈-⊆⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，正确.故选D. 12. D 【解析】()1(1)(1)1'ax a xf x x a x x +--+-==，1x >时，()'0f x <；01x <<时，()'0f x >， ∴()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，()()max 3112f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则()()312y f f x f t t a ⎛⎫==≤-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，∵()f t 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，则3112a -≥，43a ≥，∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选D.二、填空题13. -8 14. 360 15. 36π 16. 213. -8 【解析】由已知得，()23,42a b k +=-+r r ，()24,8a b k -=-r r，由于()2a b +r r 与()2a b -r r 共线，所以3(8)4(42)k k --=⨯+，得8k =-.故答案为-8.14. 360 【解析】依题意可知，样本中(]1,2公里的人数所占的比例为45150.1300-=，故全体学生中居住地到学校的距离在(]1,2公里的人数为36000.1360⨯=人.15. 36π 【解析】由题意得，底面ABCD 是边长为4的正方形，cos 2PEF ∠=1PO 为2.易知正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，记球心为O，则1AO =，PO AO R ==，12PO =，12OO R =-或12OO R =-（此时O 在1PO 的延长线上），在直角1AO O △中，2222211(2)R AO OO R =+=+-，解得3R =，所以球的体积为334433633V R πππ==⨯=.16. 2 【解析】设CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=，在AMB △中，902MBA θ∠=︒-，180BMA θ∠=︒-，由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ=-︒︒-，即cos 2sin AB AM θθ⋅=，在ACD △中，90ACD ∠=︒，2CDA θ∠=，由正切定义：tan 2AC θ=，在ACB △中，90ACB ∠=︒，BAC θ∠=，由余弦定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==，∴tan 2cos 2cos 2sin AM θθθθ⋅==. 三、解答题17.【解析】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由23522423351121b a a q d b a q d ⎧=+⎧=+⎪⇒⎨⎨=+=+⎪⎩⎩， 则231160q q -+=，解得23q =（舍去）或3， 所以3nn b =；代入方程组得2d =，因此21n a n =-.综上，21n a n =-，3nn b =.（2）由题意，()122n n n a a S n +==， 由*n N ∀∈，n n kb S ≥得23n n k ≥，设23n n n c =，222111(1)221333n n n n n n n n n c c ++++-++-=-=， 当1n =，210c c ->；当2n ≥，10n n c c +-<； 由数列{}n c 的单调性可得，{}()2max 49n c c ==， 所以4,9k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.18.【解析】如图，设AB 的中点为D ，连接CD ，1A D ， 又设2AB =，则1112AD AA ==. （1）在ABC △中，AC BC =，AB 的中点为D ，故AB CD ⊥， 在1ABA △中，1AB AA =，160BAA ∠=︒，所以1ABA △为等边三角形. 又AB 的中点为D ，所以1AB DA ⊥，因为AB CD ⊥，1AB DA ⊥，且1CD DA D =I ， 所以AB ⊥平面1CDA ，∵1CA ⊂平面1CDA ，所以1AC BA ⊥， 又11//AB B A ，所以111AC B A ⊥.（2）因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，平面ABC I 平面11ABB A AB =，且AB CD ⊥， 故CD ⊥平面11AA B B ，如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()1A，(C ，()1,0,0B -，()1B -，故(1CA =u u u r，(1,0,CB =-u u u r，(1CB =-u u u r，设平面1A CB 的法向量()1111,,n x y z =u r，则有11110x -=--=⎪⎩，令11z =，得()1n =u r，设直线1CB 与平面1A BC 所成角为θ，则111111sin cos ,CB n CB n CB n θ⋅====u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 故直线1CB 与平面1A BC19.【解析】（1）由题知： 4.4x =， 2.2y =，()()()1215.30.2521.2niii nii x x y y bx x ==---===--∑∑$， $ 2.20.25 4.4 3.30ay bx =-=+⨯=$， 故$()10.25 3.30y x =-+.（2）①经计算，可得下表：222221(0.40)(0.15)(0.30)(0.15)(0.20)Q =+-+-+-+，222(0.14)(0.1)Q =+，因为12Q Q >，故模型$()2 4.80.8y x=+的拟合效果更好. （3）若生猪存栏数量达到1万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为4.80.8 1.2810+=元， 这样一天获得的总利润为()7.5 1.281000062200-⨯=（元）； 若生猪存栏数量达到1.2万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为4.80.8 1.212+=元， 这样一天获得的总利润为()7.2 1.21200072000-⨯=（元），因为7200062200>，所以选择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润.20.【解析】（1）因为2OP OA =u u u r u u u r u u r，即()())()00002,00,2,x y x x y ==，所以02x x =，0y =，所以012x x =，0y y =， 又因为1AB =，所以22001x y +=，即22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22143x y +=. 所以曲线C 的标准方程为22143x y +=. （2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+.由方程组22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=.∵直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，∴()()2221(8)4434120km k m ∆=-+-=，即2243m k =+.由方程组227y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()2221270k x kmx m +++-=， 则()()2222(2)4170km k m ∆=-+->.设()111,P x y ，()222,P x y ，则12221kmx x k -+=+，212271m x x k -⋅=+，设直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，所以()()1212121212kx m kx m y y k k x x x x ++==()22121212k x x km x x mx x +++=222222222272711771m kmk km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+，将2243m k =+代入上式，得2122333444k k k k -+==--.当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±. 此时，圆227x y +=与l 的交点1P ，2P 也满足1234k k =-. 综上，直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值34-. 21.【解析】（1）定义域为()()0,11,+∞U ，()2221(2)1(1)(1)'f x a x a x x x x x -++=-=--，设()()221h x x a x =-++，()224a ∆=+-，当40a -≤≤时，()2240a ∆=+-≤，此时()0h x ≤，从而()'0f x ≥恒成立，故函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是增函数；当4a <-时，函数()()221h x x a x =-++图象开口向上，对称轴202a x +=<，又()010h =>， 所以此时()0h x ≥，从而()'0f x ≥恒成立，故函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是增函数；当0a >时，()2240a ∆=+->，设()()221h x x a x =-++有两个不同的实根1x ，2x ，其中1220x x a +=+>，121x x ⋅=，令1201x x <<<，则1x =，2x =令()'0f x >，得10x x <<或2x x >；令()'0f x <，得11x x <<或21x x <<，故函数()f x 在()10,x 上是增函数，在()2,x +∞上是增函数，在()1,1x 上是减函数，在()21,x 上是减函数. 综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是增函数；当0a >时，函数()f x在(2)0,2a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭上是增函数，在(2)2a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上是增函数，在(2)2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上是减函数，在(2)1,2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上是减函数.（2）要使()y f x =在(),e +∞上有极值，由（1）知0a >，①则()()221h x x a x =-++有一变号零点在区间(),e +∞上，不妨设2x e >，又因为121x x ⋅=，∴1210x e x e<<<<，又()01h =， ∴只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()211210a e e -++<，∴12a e e>+-，② 联立①②可得：12a e e>+-. 从而1a e -与1e a -均为正数.要比较1a e -与1e a -的大小，同取自然底数的对数， 即比较()1ln a e -与()1ln e a -的大小，再转化为比较ln 1e e -与ln 1a a -的大小. 构造函数()()ln 11xx x x ϕ=>-，则()211ln '(1)xx x x ϕ=---，再设()11ln m x x x =--，则()21'xm x x-=，从而()m x 在()1,+∞上单调递减， 此时()()10m x m <=，故()'0x ϕ<在()1,+∞上恒成立，则()ln 1xx x ϕ=-在()1,+∞上单调递减.综上所述，当12,a e e e ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，11a e e a --<； 当a e =时，11a e e a --=； 当(),a e ∈+∞时，11a e ea -->.22.【解析】（1）∵4y x -=-，∴直线l 的普通方程为：40x y +-=， 直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=.曲线1C 的普通方程为222x y y +=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴1C 的参数方程为：2sin ρθ=.（2）直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=，令θα=，则4cos sin OA αα=+.又2sin OB α=，∴()1sin sin cos 2OB OA ααα=⋅+ 2111sin sin cos (1cos 2sin 2)224ααααα=+=-+1244πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∵02πα<<，∴32444πππα-<-<，∴242ππα-=，即38πα=时，OB OA.23.【解析】（1）3a =，()3336f x x x =-++≤， 当3x ≤-时，3336x x ---≤，解得32x ≥-，∴x ∈∅； 当31x -<≤时，3336x x -++≤，解得0x ≥，∴[]0,1x ∈； 当1x >时，3336x x -++≤，解得32x ≤，∴31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 综上所述，不等式()6f x ≤的解集为3|02x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+，等价于()162f x a x >--+恒成立， 即3931x a x a -++>-恒成立.∵()()393393x a x x a x -++≥--+9a =+，∴91a a +>-， 当9a <-时，91a a -->-，解得a ∈∅； 当9a ≥-时，91a a +>-，解得4a >-.∴4a >-时，不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+.。
精品解析：2020届湖南省长沙市第一中学高三月考卷(七)理科数学试卷(解析版)
长沙市一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡，上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U Z =，{}1,2,3,4A =，{}(1)(3)0,B x x x x z =+->∈，则()U A C B ⋂=（ ） A. {}1,2 B. {}2,3C. {}1,2,3D. {}1,2,3,4【答案】C 【解析】 【分析】计算{1,0,1,2,3}U B =-ð，再计算()U A B ∩ð得到答案.【详解】由题{|(1)(3)0,}{|13,}{1,0,1,2,3}U B x x x x Z x x x Z =+-∈=-∈=-剟?ð， 则(){1,2,3}U A B ⋂=ð， 故选：C .【点睛】本题考查了集合的交集和补集的计算，意在考查学生的计算能力.2.已知12iz i -=+，则z =（ ） A. 1355i - B. 1355i +C. 1355i -- D. 1355i -+ 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由共轭复数的概念得结论.【详解】∵()()()()21212213222555i i i i i i z i i i i -----+====-++-， ∴1355z i =+. 故选：B .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 3.函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）． A. B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ， 当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.考点：函数图象的平移.4.()61-2(1)t t +的展开式中，3t 项的系数（ ）A. 20B. 30C. 10-D. 24-【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】6(1)t +展开式的通项为16r rr T C t +=.所以6(12)(1)t t -+的展开式中3t 项的系数为3266210C C -=-， 故选：C .【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生对于二项式定理的应用.5.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）A.114B.17C.314D.13【答案】B 【解析】 【分析】根据题意共包含2828C =个基本事件，4种情况满足条件，得到答案.【详解】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)共四对，包含4个基本事件， 所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为28417P C ==. 故选：B .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 6.如图所示的程序框图，则输出的,,x y z 的值分别是（ ）A.13009，600，11203B. 1200，500，300C. 1100，400，600D. 300，500，1200【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图得：①300,1y i ==，满足3i <；②400,2y i ==，满足3i <； ③500,300y z ==，1200,3x i ==，不满足3i <.故输出的1200,500,300x y z ===. 故选：B .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力. 7.若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，37sin 2=θ，则sin θ= A.35B.45C.7 D.34【答案】D 【解析】【详解】11cos 232cos 2=-,sin 422824πππθθθπθθ-⎡⎤⎡⎤∈∴∈∴==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，， 【考点定位】本题从常规角度看考查了三角函数的求值，其中重点对倍角公式、平方关系等重点考查.而从答题技巧角度看，只是简单的代入检验，由于给定了,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使问题更趋于简单化8.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F M 是抛物线C 上的一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】OFM ∆的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上，得到642p p +=，计算得到答案.【详解】OFM ∆的外接圆半径为6，OFM ∆的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上， 圆心到准线2px =-的距离等于6，即有642p p +=，由此解得8p =， 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中参数的计算，意在考查学生的综合应用能力.9.在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，ABC ∆为等边三角形，PA AB =，E 是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为 A.16B.14C.13D.12【答案】B 【解析】试题分析：取BC 的中点F ，连接,EF AF ，则EF PB P ，所以AEF ∠或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角．因为ABC ∆为正三角形，所以60BAC ∠=︒．设2PA AB a ==，因为PA ⊥平面ABC ，所以3,2,2AF a AE a EF a ===，所以222(2(2(31cos 4222a a a AEF a a∠==⨯⨯，故选B ．考点：1、异面直线所成角；2、线面垂直的性质定理；3、余弦定理．【方法点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．10.直线2x =与双曲线221169x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,,a b R O ∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. 2ab = B. 224a b +≥C. 2a b -≥D. 2a b +≥【答案】D 【解析】 【分析】不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到1ab =，再利用均值不等式得到答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为34y x =?，联立直线2x =，解得32y =±，∴不妨设332,,2,,(,)22A B P x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ， ∴3322,22x a b y a b =+=-， ∵P 为双曲线C 上的任意一点，∴2233(22)221169a b a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=，∴1ab =， ∴222()244a b a b ab ab +=++=…（a b =时等号成立），可得||2a b +…， 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线和不等式的综合应用，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 11.已知函数()cos sin 2f x x x =，给出下列命题： ①x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0,T x R ≠∀∈恒有()()f x T f x +=成立；③()f x ； ④()y f x =在[,]66ππ-上是增函数. 以上命题中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的性质和值域依次判断每个选项得到答案.【详解】①()cos()sin(2)cos sin2()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确； ②(2)()f x f x π+=，为周期函数，正确；③()223()2sin cos 2sin 1sin 2sin 2sin f x x x x x x x ==-=-，令sin ,[1,1]t x t =∈-，则3()22y t t t =-，令2260y t '=-=，得t =(1)0,y y -==⎝⎭为最大值，错误；④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11sin ,2233x ⎡⎡⎤∈-⊆-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，正确.故选：D .【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12.已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1 B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】求导得到()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，得到max 3()(1)12f x f a ==-，计算得到答案.【详解】1(1)(1)()1,1ax x f x ax a x x x+-'=-+-=>时，()0f x '<；01x <<，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，max 3()(1)12f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则3[()]()12y f f x f t t a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭…， ∵()f t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 则3411,23a a -厖，∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：D .【点睛】本题考查了根据函数值域求参数，意在考查学生的综合应用能力.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13.已知向量(1,4),(2,)a b k ==-r r ，且(2)a b +r r与(2)-r r a b 共线，则实数k =________【答案】8- 【解析】 【分析】计算得到2(3,42),2(4,8)a b k a b k +=-+-=-r r r r，再根据向量共线计算得到答案. 【详解】由己知得，2(3,42),2(4,8)a b k a b k +=-+-=-r r r r，由于(2)a b +r r与(2)-r r a b 共线，所以3(8)4(42)k k --=⨯+，得8k =-.故答案为：8-.【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力.14.某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(]1,2公里的学生有_____人. 【答案】360 【解析】 【分析】直接根据比例关系计算得到答案.【详解】依题意可知，样本中(1,2]公里的人数所占的比例为45150.1300-=， 故全体学生中居住地到学校的距离在(1,2]公里的人数为36000.1360⨯=人. 故答案为：360.【点睛】本题考查了总体的估计，意在考查学生的应用能力.15.如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别是,AB CD 的中点，2os c PEF ∠=，若,,,,A B C D P 在同一球面上，则此球的体积为______.【答案】36π 【解析】 【分析】正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，根据22211R AO OO =+计算得到答案.【详解】由题意得，底面ABCD 是边长为4的正方形，2os 2c PEF ∠=，故高1PO 为2. 易知正四棱锥P ABCD-外接球的球心在它的高1PO 上，记球心为O ，则11122,,2,2AO PO AO R PO OO R =====-或12OO R =-（此时O 在1PO 的延长线上），在直角1AO O ∆中，2222211(22)(2)R AO OO R =+=+-，解得3R =，所以球的体积为334433633V R πππ==⨯=. 故答案：36π.【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 16.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =__________.【答案】2 【解析】 【分析】根据正弦定理得到cos 2sin AB AM θθ⋅=，计算tan 2cos cos AC AB θθθ==，化简得到答案.【详解】设CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=.在AMD ∆中，902MBA θ︒∠=-，180BMA θ︒∠=-，由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ︒︒=--，即cos 2sin AB AM θθ⋅=， 在ACD ∆中，90,2ACD CDA θ︒∠=∠=，由正切定义：tan 2AC θ=， 在ACB ∆中，90ACB ︒∠=，BAC θ∠=，由余弦定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==，。
湖南省长沙市一中2020届高三月考语文试卷
湖南省长沙市一中2020届高三月考试卷(一）语文一、现代文阅读(36分）(一)论述类文本阅读(本题共3小题.9分）阅读下面的文字，完成1-3题。
最近，中华有声历史资料数字化工程惹上了官司.有人批评其质量堪忧，有人质疑其在数字化过程中，将一些珍贵的原声母带交给日本公司，使这些母版文物有可能被盗录和损毁。
谁是谁非，当事人各执一词然而此次事件，使传统文化资源的数字化工程得以进入公众视野。
保护音像遗产就是保护我们的集体记忆，通过数字化方式保存我国珍贵的音像档案意义重大，但关键在于其获得永久性保存后，如何才能变成活的文化？在全球化、信息化、數字化时代.传统文化资源面临着双重悖论。
第一重悖论，在全球化时代，大众流行文化成为传统文化的掘墓人。
同时，全球化时代又呼唤传统文化的复兴。
以电影、电视、流行音乐为代表的大众流行文化，用“全球通用”的审美标准席卷全球，鲸吞蚕食各国各地区传统文化的生存空间，迅速消弭多样性、异质化的地方性文化。
这种全球趋同化的大众流行文化浪潮，使得很多非西方社会的民族和人群，愈益面临失去独特文化身份的危险。
只有接续传统文化的根脉，复兴传统文化资源，我们才能在全球化浪潮中站稳脚跟，获得文化身份和价值情感认同。
第二重悖论，信息化、教车化既给传统文化的生存发展带来威胁，也为其重煥生机提供契机。
为什么从前人们喜欢看戏，现在不喜欢呢？这变化的背后就是信息化、数字化的技术力量。
在信息、交通都不发达，文化娱乐活动匮乏时，建立在地域文化基础上的传统文化，得以较好地传承发展。
随着信息和交通的便捷，尤其是进入信息化、数字化时代后，地域色彩浓厚的传统文化面临巨大冲击，当人们打开智能手机，就可以观看电影、电视、视频时，很多人就不愿意走进剧院看那些古老的地方剧种了。
传统戏剧如此。
其他领域和门类的传统文化亦然。
但是，信息化、数宇化是一种技术力量.它们打破了传统文化的传播限制，使其有可能在全球范围内获取知音。
如3D全景声京剧电影《霸王别姬》，从2014年登陆好莱坞杜比剧院后热度一直不减。
湖南省长沙市第一中学2020届高三语文下学期第七次月考试题(含解析)
长沙市一中2020届高三月考试（七）语文本试卷共10页，时量150分钟，满分150分。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成各题。
人文学科。
包含文学、哲学、历史一类的科目在内。
而比较广义的文学包括音乐艺术。
比较广义的哲学包括宗教，合而言之，是一个人生经验的总纪录。
人文学科所能给我们的是生活上的一些条理规律，一些真知灼见，约言之。
就是生活上已经证明为比较有效的一些常理。
如果完全没有这些。
人类的生命怕早就已经寂火，不会维持到今日。
分而言之，文学艺术以至于宗教所给我们的经验是属于情感生活一方面的。
即多少可以使我们领会前人对于环境中的事物、情绪上有过一些什么买际的反应，对于喜怒哀乐的触发作过一番什么有效的控制。
艺术作品之所以为伟大，文学纪录之所以为真实，全都因为一个原则。
就是孟子所说的“得我心之所同然”。
所谓我心，指的当然是后来一切读者与赏鉴者的心，用现代的话来说。
就是它们有力量打动我们共同的心弦。
有力量触及基本人性的痒处。
打动与触及得越多，它们就越见得富有实验性，越见得伟大。
李杜的诗歌、莎士比亚的剧本、贝多芬的乐曲……可以百读不厌，不因时代地域的不同而贬落它们的价值。
原因就在此。
说到我心之所同然，或共同的心弦，或基本的人性，就等于说，有了这一类文物的凭借，后来的人，无论在别的生活方面如何大异其趣，各不相谋，至少在最根本的情感生活上，可以相会，可以交通。
哲学与历史的功效也如此。
所不同的是，哲学所关注的是理智与思想生活，而历史关注的是事业生活；前人的经验里，究竟想到了些什么，知道了些什么，有过什么行为、什么成就，思想有何绳墨，行事有何准则，撇开了哲学与历史，后人是无法问津的。
历史可以供给行事的准则，小之如个人的休戚，大之如国家民族的兴衰，都可以就前人经验里截取一些事例作为参考，这就是前人说的“以古为鉴”。
每一个人，每一个时代的社会，懂得如何利用这镜子，来整饬其衣冠，纠正其瞻视，解蔽的工具岂不是又多了一件？近代的心理、伦理、社会、政治一类和行为问题有关的学问到如今并没有能提供什么实际的标准，让我们遵循之后，定能长维康乐，避免危亡；即使有一些细节的贡献，也往往得诸历史的归纳。
湖南长沙一中2020届高三4月模拟试卷(含答案详解)
湖南长沙一中2020届高三4月模拟试卷文 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21iz =-，则z =（ ） A ．1BCD ．22．设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,3,4}P =，{3,4,5}Q =，则()U P Q =I ð（ ） A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}3．设32a -=，3log 5b =，cos100c =︒，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若954S =，则5a =（ ） A ．10B ．8C ．6D ．45．函数211()ln 22f x x x =+-的图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．6．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，则所选5名学生的学号可能是（ ）A ．1，2，3，4，5B ．5，26，27，38，49C ．2，4，6，8，10D ．5，15，25，35，457．已知π(0,)2α∈，若2sin sin 21αα+=，则tan α=（ ）A ．12B ．13C ．14D．28．若向量(2,1)=-a ，(3,2)=-b ，则3+a b 与2+a b 的夹角余弦值为（ ）A．2-B．2-C．10-D．13-9．德国数学家莱布尼兹（1646年1716-年）于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在我国科技水平比较落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图（1692年1765-年）为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年开始，历时近30年证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创了先河．如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值（其中P 表示π的近似值）．若输入10n =，则输出的结果P 的值是（ ）A ．11114(1)35717P =-+-++L B ．11114(1)35719P =-+-+-L C ．11114(1)35721P =-+-++LD ．11114(1)35721P =-+-+-L10．已知π04θ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=⋅的（ ） A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等11．ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2sin a A ，且b c +=，则cos A =（ ）A．16B．25C．34D．2312．已知椭圆222:1(02)4x yC bb+=<<，作倾斜角为3π4的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点M，O为坐标原点，OMu u u u r与MAu u u r的夹角为θ，且tan3θ=，则b=（）A．1B．2C．3D．6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线(1)xy x e=+在点(0,1)处的切线的方程为．14．已知{}n a是等比数列，它的前n项和为n S，且34a=，48a=-，则5S=．15．函数2()4sin cos cos2sin4422x x x xf x=+的最小值为．16．如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，对角线1DB与平面11ADD A，ABCD，11DCC D的夹角分别为α，β，θ，若111118A B BB C B++=，2221111124A B BB C B++=，则sin sin sinαβθ++=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌得到如下22⨯列联表：（1）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，然后从这5名学生中随机选取3名做深度采访，求这3名学生中恰有2名挑同桌的概率；（2）根据以上22⨯列联表，问是否有95%以上的把握认为"性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）18．（12分）已知等比数列{}n a的前n项和为n S，7127S=，且8a是216a和514a的等差中项．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）当20a>时，令22logn n nb a a=+，求数列{}nb的前n项和nT．19．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，CB ⊥平面11BAA B ，122CB BB AB ===，160BAA ∠=︒． （1）证明：平面11BAC ⊥平面ABC ；（2）若E 为AC 的中点，求点E 到平面11BA C 的距离．20．（12分）已知函数()cos xf x e x =-的导函数为()g x ．（1）证明：()g x '在区间(π,0)-存在唯一零点；（2）若对任意x ∈R ，()cos f x ax x ≥-恒成立，求a 的取值范围．21．（12分）已知动点P 到点1(,0)2的距离比到直线1x =-的距离小12，设点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过曲线C 上一点00(2,)(0)M y y >作两条直线1l ，2l 与曲线C 分别交于不同的两点A ，B ，若直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，且121k k=，证明：直线AB过定点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是22233141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为102sin cosρθθ=+．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）过曲线C上的任意一点M作与l夹角为π3的直线，交直线l于点N，求MN的最大值与最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知a，b，c为正实数，且1a b c++=．（1）求证：14116a b c++≥；（2≤湖南长沙一中文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】∵2(1i)1i (1i)(1i)z +==+-+，∴z = 2．【答案】D【解析】∵{3,4,5}Q =，∴{1,2,6}U Q =ð，∴(){1,2}U P Q =I ð． 3．【答案】B【解析】∵32(0,1)a -=∈，3log 51b =>，cos100cos800c =︒=-︒<，∴b a c >>． 4．【答案】C 【解析】∵19599()925422a a a S +⋅===，所以56a =． 5．【答案】C【解析】由()()f x f x -=，得()f x 为偶数，图象关于y 轴对称，排除D ；2131()022f ee =-+<，排除A ；211()022f e e =+>，排除B ，故选C ．6．【答案】D【解析】采用系统抽样时，要求将总体分成个数相等的若干部分，抽样的间隔也要求相等， 间隔一般为总体的个数除以样本容量，∴间隔为50105=， 只有D 答案中的编号间隔为10． 7．【答案】A 【解析】22221sinsin 21sin cos sin 2cos tan 2ααααααα+==+⇒=⇒=．8．【答案】C【解析】3(3,1)+=-a b ，2(4,3)+=-a b ，设3+a b 与2+a b 的夹角为θ，则cos θ==． 9．【答案】B【解析】根据框图计算循环依次为112S i =⎧⎨=⎩，2112213S i ⎧=-⎪⨯-⎨⎪=⎩，311132314S i ⎧=-+⎪⨯-⎨⎪=⎩，L ，911113529110S i ⎧=-+-+⎪⨯-⎨⎪=⎩L ，1011111357210111S i ⎧=-+-+-⎪⨯-⎨⎪=⎩L ， 此时1110i =>，输出4P S =，即为π的近似值． 10．【答案】D【解析】双曲线1C 的实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2=， ∴离心率为11cos e θ=； 曲线2C 的实轴长为2sin θ，虚轴长2sin tan θθ，焦距为2tan θ=， ∴离心率为2tan 1sin cos e θθθ==，可知选项D 正确． 11．【答案】C【解析】由三角形面积公式可得21sin sin 2ABC S bc A a A ==△，所以22a bc =， 又222222222()2843cos 2244b c a b c bc a a a a A bc bc a +-+----====． 12．【答案】B【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得121212122()()()()04x x x x y y y y b-+-++=， ∵12121y y x x -=--，∴00204x y b-=，即2004y b x =， 设直线OM 的倾斜角为α，则π4θα=+或3π4θα=-，∴tan 1tan 1tan αθα+=±-，又200tan 4y b x α==，∴2214314b b +=-，解得22b =，即b =第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】21y x =+【解析】∵(2)xy x e '=+，∴切线斜率2k =，∴切线方程为12y x -=，即21y x =+．14．【答案】11【解析】因为34a =，48a =-，所以432a q a ==-，因此512481611S =-+-+=． 15．【答案】1 【解析】22()4sincos cos 2sin 2sin cos (12sin )14422222x x x x x x xf x =+=--+Qπsin cos 1)14x x x =-+=-+，所以函数()f x的最小值为1．16．【答案】3【解析】连接1DA ，DB ，1DC ，由长方体的性质知，11A DB α∠=，1BDB β∠=，11C DB θ∠=， ∵2221111124A B BB C B ++=，∴1DB =∴11111111111111sin sin sin A B BB C B A B BB C B DB DB DB DB αβθ++++=++===．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）35；（2）有95%以上的把握认为．【解析】（1）根提分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A ，B ，C ， 不挑同桌有2人，记为d ，e ，从这5人中随机选取3人，基本事件为ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，Ade ，BCd ，BCe ，Bde ，Cde 共10种，这3名学生中恰有2名要挑同桌的事件为ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，BCd ，BCe 共6种， 故所求的概率为63105P ==． （2）根据以上22⨯列联表，计算22100(30102040) 4.7619 3.84170305050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，对照临界值表知，有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．18．【答案】（1）见解析；（2）41(1)32n n n n T --=+． 【解析】（1）由8a 是216a 和514a 的等差中项，得82521614a a a =+，即7411187a q a q a q =+，所以63780q q --=， 即33(8)(1)0q q -+=，解得公比2q =或1-．当2q =时，由7171(1)12711a q S a q-==⇒=-，所以12n n a -=； 当1q =-时，由7171(1)1271271a q S a q-==⇒=-，所以1127(1)n n a -=⋅-． （2）当20a >时，知12n n a -=，∴212log 41n n n n b a a n -=+=+-， 所以数列{}n b 的前n 项和(14)(1)41(1)14232n nn n n n n T ----=+=+-． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）5． 【解析】（1）因为CB ⊥平面11BAA B ，可得1CB A B ⊥，在1AA B △中，由余弦定理可得，1A B =22211AB A B AA +=，所以1AB A B ⊥， 又因为AB CB B =I ，所以1A B ⊥平面ABC ，又因为1A B ⊂平面11BA C ，所以平面11BAC ⊥平面ABC ．（2）由已知得，11C B CB ∥，∴11C B ⊥平面11BAA B，所以1BC =11AC = 由（1）可得，1A B =1A B ⊥平面111A B C，则11111122BA C S A C BA =⨯⨯=△， 因为11AC A C ∥，AC ⊄平面11BA C ，11A C ⊂平面11BA C ，所以AC ∥平面11BA C ， 从而点E 到平面11BA C 的距离等于点A 到平面11BA C 的距离， 设点E 到平面11BA C 的距离为d ，由111111E BA C A BA C C BAA V V V ---==，得1111112332BA C S d ⨯⨯=⨯⨯△，所以5d =， 即点E 到平面11BA C的距离为5． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）[0,]e ．【解析】（1）()()sin x g x f x e x '==+，则()cos x g x e x '=+，因为cos y x =与xy e =在(π,0)-均为增函数，故()g x '在(π,0)-为增函数，又π(π)10g e-'-=-<，且(0)20g '=>，则(π)(0)0g g ''-<，结合零点存在性定理知()g x '在区间(π,0)-存在唯一零点．（2）构造函数()()(cos )xF x f x ax x e ax =--=-，x ∈R ，由题意知()0F x ≥恒成立．①当0a <时，11()10a F e a=-<，与题意矛盾，舍去；②当0a =时，()0xF x e =>，符合题意；③当0a >时，()xF x e a '=-，∴()F x '为增函数，当(,ln )x a ∈-∞时，()0F x '<，即()F x 在(,ln )a -∞单调递减； 当(ln ,)x a ∈+∞时，()0F x '>，即()F x 在(ln ,)a +∞单调递增， 则ln min ()(ln )ln (1ln )aF x F a ea a a a ==-=-， 要使()0F x ≥对任意x ∈R 恒成立，即需使min ()0F x ≥，即(1ln )0a a -≥，解得0a e <≤， 综上所述，a 的取值范围为[0,]e ．21．【答案】（1）22y x =；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意可知，动点P 到点1(,0)2的距离与到直线12x =-的距离相等，所以点P 的轨迹是以1(,0)2为焦点，直线12x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为22y x =．（2）易知(2,2)M ，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为x my b =+，联立22x my b y x =+⎧⎨=⎩，得2220y my b --=，所以121222y y m y y b +=⎧⎨=-⎩，所以21221222x x m b x x b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩， 因为12121222122y y k k x x --=⋅=--，即121212122()2()y y y y x x x x -+=-+， 所以222440b b m m --+=，所以22(1)(21)b m -=-，所以2b m =或22b m =-+，当22b m =-+时，直线AB 的方程为22x my m =-+，过定点(2,2)，与M 重合，舍去； 当2b m =时，直线AB 方程为2x my m =+，过定点(0,2)-，所以直线AB 过定点(0,2)-．22．【答案】（1）22:1(3)94x y C x +=≠-，:2100l x y +-=；（2）最小值为3，最大值 【解析】（1）222131:221x t t C y tt ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，平方相加后得22194x y+=，又2223363(3,3]11t x t t -==-+∈-++，即曲线C 的普通方程为221(3)94x y x +=≠-， ∵直线l 的极坐标方程为102sin cos ρθθ=+，即cos 2sin 10ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为2100x y +-=．（2）∵点M 为曲线C 上的任意一点，∴设点M 的坐标为(3cos ,2sin )αα， 点M 到直线l的距离为d ==其中3tan 4ϕ=，∴)10πsin 3d MN αϕ==+-，当sin()1αϕ+=时，MN当sin()1αϕ+=-时，MN取得最大值 23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）∵a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=， 故14114144()()6b c a c a ba b c a b c a b c a a b b c c++=++++=++++++6642416≥+=+++=，当且仅当14a c==，12b=时，等号成立，即14116a b c++≥．（2）3=332332332153()()9 3222323a b c a b c+++++++++≤++===当且仅当13a b c===时，等号成立，≤。
2020届长沙市一中高三第1次月考试卷-文数试卷
姓!名!
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炎德英才大联考长沙市一中#$#$届高三月考试卷一
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数!学文科
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长沙市一中高三文数备课组组稿
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数学!文科"试题!一中版"!第!.页!共"页"
!"!!本小题满分!#分" 某种零件的质量指标值以分数!满分!$$分"来衡量%并根据分数的高低 划分三个等级%如下表#
分数 7 7)3#
3#$7)31
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等级
不合格
合格
优秀
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程%检验员随机抽取了!$$件 零件%进行质量指标 值 检 查%将 检 查 结 果 进 行 整 理 得 到 如 下 的 频 率 分 布 直方图#
槡.-!则-, '!!!!!
!%!函数.!$"'8$(#$)!#的图象在点!$%#"处的切线方程为!!!!! !1!正三棱锥&)#%3!底面+#%3 为正三角形%顶点 & 在底面的射影为底
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2020届长沙市一中高三第1次月考试卷-文数试卷
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+!在犯错误的概率不超过%2的前提下认为爱好该项运动与性别无关
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-!有30!%2以上的把握认为爱好该项运动与性别无关
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湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考化学试题(word版含解析)
湖南省长沙市一中2020届高三月考试卷(一)化学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页时量90分钟满分100分可能用到的相对原子质量:H～1 C～12 O～16 Na～23 Fe～56一、选择题(本题有16个小题，每小题3分，共48分，每小题只有一个选项符合题意)1.2019年北京园艺会的主题是“绿色生活美丽家园”。
下列有关该园艺会的说法正确的是(D)A.大会交通推广使用的是利用原电池原理制成的太阳能电池汽车，可减少化石能源的使用B剧场里使用的建筑材料第五形态的碳单质一“碳纳米泡沫”，其与石墨烯互为同分异构体C.传统烟花的制作常加入含有铂、铁、钾、钙、铜等金属元素的发光剂，燃放时呈现美丽的颜色，大会庆典禁止使用D.秸秆经加工处理成吸水性的材料植物纤维，可用作食品干燥剂，符合大会主题【解析】A.太阳能电池是一种对光有响应并能将光能直接转换成电能的器件，如太阳能硅板等，不是利用原电池原理制成的，故A错误:B分子式相同，结构不同的化合物互为同分异构体，而“碳纳米泡沫”与石墨烯均是碳元素组成的单质，应该为同素异形体，故B错误;C.铂、铁元素灼烧不产生美丽的颜色，所以烟花的制作一般不含铂和铁，故C错误:D.植物纤维具有吸水性，并且无毒，可用作食品干燥剂，所以秸秆经加工处理成植物纤维，符合“绿色生活，美丽家园”的大会主题，故D正确。
2.设N A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是(A)A.3mol单质Fe完全转化为Fe3O4，失去8N A个电子B.1 mol Cu和足量热浓硫酸反应可生成N A个SO3分子C.标准状况下，22.4LN2和H2的混合气体中含有N A个原子D.23gNa与足量H2O反应完全后可生成N A个氢气分子3.下图是分离乙酸乙酯，乙酸和乙醇混合物的实验操作流程图:在上述实验过程中，所涉及的三次分离操作分别是(B)A.①蒸馏②过滤③分液B.①分液②蒸馏③蒸馏C.①蒸馏②分液③分液D.①分液②蒸馏③结晶、过滤4.下列化学方程式中，不能正确表达反应的颜色变化的是(C)A.向CuSO4溶液中加人足量Zn粉溶液蓝色消失:Zn+CuSO4=Cu+ZnSO4B.澄清的石灰水久置后出现白色固体:Ca(OH)2+CO2=CaCO3↓+H2OC.Na2O2在空气中放置后由淡黄色变为白色;2Na2O2=2Na2O+O2↑D.向Mg(OH)2悬浊液中滴加足量FeCl3溶液出现红褐色沉淀:3Mg(OH)2+2FeCl 3=2Fe(OH) 3+3MgCl25.(Ga)与铝同主族，曾被称为“类铝”，其氧化物氢氧化物均为两性化合物。