2018届河北正定中学高三上学期第四次月考数学试题及答案
河北省定州中学2018届高三(承智班)上学期期末考试数学试题含答案
河北定州中学2017—2018学年度高三上学期数学期末考试试题一、单选题1．已知函数()cos xf x ex π-=+，下列说法中错误的是（ )A. ()f x 的最大值为2B 。
()f x 在()10,10-内所有零点之和为0C 。
()f x 的任何一个极大值都大于1 D. ()f x 在()0,10内所有极值点之和小于552．已知球O 与棱长为4的正方形1111ABCD A BC D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是 （ ） A 。
B 。
2⎤⎦C.⎡⎣ D.3．已知函数()()1ln ,0mf x x m x m x=-+->，当[]1,x e ∈时， ()0f x >恒成立,则实数m 的取值范围为( ） A 。
10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,+∞ C 。
()0,1 D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌，分别是红桃A ，梅花A ，方片A 以及黑桃A ，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：小明说：第1个盒子里面放的是梅花A ，第3个盒子里面放的是方片A ；小红说：第2个盒子里面饭的是梅花A ，第3个盒子里放的是黑桃A ; 小张说:第4个盒子里面放的是黑桃A ，第2个盒子里面放的是方片A ； 小李说：第4个盒子里面放的是红桃A ,第3个盒子里面放的是方片A ;老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半．"则可以推测,第4个盒子里装的是（ ） A. 红桃A 或黑桃A B. 红桃A 或梅花A C. 黑桃A 或方片A D 。
黑桃A 或梅花A 5．已知函数()2441,2{32436,2x x f x x x x --≤=-+->，若在区间()1,+∞上存在()1,2,,i x i n =，使得()()04iif x k k x =<<，则n 的取值不可能为（ ）A 。
河北省正定中学2017-2018学年高三上学期第三次月考(期中)数学试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.复数iz -=12，则复数z 的模是 A.1 B.2 C.3 D.22 【答案】B . 【解析】试题分析：因为22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，所以1z i =+==，故应选B . 考点：１、复数的概念；2、复数的四则运算； 2.等比数列{}n a 中，6453=a a ，则=4aA.8B.8-C. 8或8-D.16 【答案】C . 【解析】试题分析：由等比数列的性质知，2354a a a =，所以2464a =，所以48a =或48a =-，故应选C .考点：1、等比数列的性质. 3.若:01xp x <-,2:2q x x <,则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A .考点：1、充分条件；2、必要条件.4.已知向量(1,2)a =，⊥，则b 可以为A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(2,1)D ．(2,1)- 【答案】D . 【解析】试题分析：设(,)b x y =，则由⊥可得：20x y +=，即2x y =-，满足这个等式的只有选项D ，其中选项A ，2y x =，选项B ，2y x =-，选项C ，2x y =，故应选D . 考点：1、平面向量的数量积；2、平面向量的坐标运算. 5.“存在,0R x ∈使得02≤x ”的否定是A.不存在,0R x ∈使得02>x B. 存在,0R x ∈使得020>xC.对任意02,>∈x R xD. 对任意02,≤∈x R x 【答案】C .考点：1、全称；2、特称.6.已知sin()sin 3παα++=7sin()6πα+的值是A. C.45 D.45-【答案】D . 【解析】试题分析: 因为sin()sin 3παα++=sin cos cos sin sin 33ππααα++=即3sin 225αα+=，所以14cos 225αα+=，即4in()65s πα+=，所以74in()in()in()6665s s s πππαπαα+=++=-+=-，所以应选D . 考点：1、两角的正弦公式；2、三角函数的诱导公式.7.设,x y 均为正实数，且33122x y+=++，则xy 的最小值为A.4B.【答案】D .考点：1、基本不等式的应用.8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足①对任意的x 都有(4)()f x f x +=成立；②当[0,2]x ∈时，()22|1|f x x =--，则1()||f x x =在[4,4]-上根的个数是 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C . 【解析】试题分析：因为对任意的x 都有(4)()f x f x +=成立，所以奇函数()f x 是周期为4的周期函数. 当[0,2]x ∈时，2,01()22|1|24,12x x f x x x x ≤≤⎧=--=⎨-+≤≤⎩，则1()||f x x =在[4,4]-上根的个数等价于函数()f x 与函数1||y x =的图像的交点个数.由图可知，其交点的个数为5个，故应选C .考点：1、函数的周期性；2、分段函数；3、函数与方程.【思路点睛】本题主要考查了方程的根的存在性及个数判断、函数的周期性和函数的奇偶性，体现了化归与转化的数学思想，属中档题. 其解题的一般思路为：首先由题意可得奇函数()f x 是周期为4的周期函数，然后将问题“1()||f x x =在[4,4]-上根的个数”转化为“函数()f x 与函数1||y x =的图像的交点个数”，再分别作出两个函数的图像并结合函数图像得出所求的结果即可.9.函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象A.向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度【答案】A .()sin(2)sin(2(2)cos )3266f x x x x ππππ-==+-+=，由三角函数的图像的变换可知，将函数()f x 向左平移12π个单位长度可得到2()12cos[]cos 26y x x ππ=-=+，故应选A .考点：1、函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换；2、三角函数的诱导公式.10.已知数列{}n a 满足110,1n n a a a +==+，则13a =A.143B.156C.168D.195 【答案】C .考点：1、由数列的递推公式求数列的通项公式；2、等差数列.11.已知O 为ABC ∆的外心，2AB =,4AC =，若y x +=，且42x y +==A ．1B ．2 CD ．4 【答案】B . 【解析】试题分析：画出草图，如下图所示.因为y x +=，所以2AO xAB AO yAC AO =⋅+⋅，又因为O 为ABC ∆的外心，点,D E 分别为,AB AC 的中点，,OD OE 分别为两中垂线，则21cos 22AB AO AB AO DAO AB AD AB ⋅=∠===，21cos 82AC AO AC AO OAE AC AE AC ⋅=⋅∠=⋅==，所以2AO xAB AO yAC AO =⋅+⋅282(4)4x y x y =+=+=，所以2OA =，故应选B .考点：1、三角形的外心的性质；2、平面向量数量积的应用；【思路点睛】本题考查了三角形的外心的性质、平面向量数量积的运算和向量模的求解，渗透着转化与化归的数学思想，考查学生综合运用知识的能力和分析计算能力，属中档题. 其解题的一般思路为：首先将已知y x +=变形为2AO xAB AO yAC AO =⋅+⋅，然后根据向量数量积的几何意义分别求出AB AO ⋅，AC AO ⋅，进而可得出关于,x y 的代数式，最后利用42x y +=整体求解即可得出所求的结果.12.已知函数222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x ，使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值为 A.15 B.25 C.12D.1 【答案】A .考点：1、利用导数求曲线上过某点切线的斜率；2、直线方程.【思路点睛】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率和直线方程，渗透了数形结合和数学转化思想方法，属中高档题. 其解题的一般思路为：首先把函数()f x看作是动点2(,ln)M x x与动点(,2)N a a之间距离的平方，然后利用导数求出曲线2lny x=上与直线2y x=平行的切线的切点，进而得到曲线上点到直线距离的最小值，最后结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于45，于是由两直线斜率的关系列式即可求出实数a的值.第Ⅱ卷（共100分）（非选择题共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）13.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE BD⋅=__________．【答案】2.考点：1、平面向量的数量积的应用.14.若,x y满足不等式组212x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则12z x y=+的最小值是__________．【答案】32. 【解析】试题分析：首先根据已知条件画出其约束条件如下图所示，然后将目标函数12z x y =+进行变形为：12y x z =-+，所以要使得目标函数12z x y =+的最小值，由图可知，当其过点(1,1)B 时，取得最小值，且为min 131122z =⨯+=，故应填32.考点：1、简单的线性规划.15.由直线20x y +-=，曲线3y x =以及x 轴围成的图形的面积为__________． 【答案】34.考点：1、定积分的几何意义；2、微积分基本定理.【思路点晴】本题考查了定积分的几何意义和微积分基本定理，渗透着数形结合的数学思想，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据已知条件可画出其所表示的区域，然后对其进行适当分割，转化为求两部分面积即一个是曲边梯形和一个直角三角形的面积之和，再运用微积分基本定理和三角形的面积公式即可求出所求的答案.其解题的关键是正确的表示所求的区域的面积和适当的分割.16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21()21xx f x -=+，且22014(2)sin 3f a π-=，20142015(2)cos6f a π-=，则2015S =__________． 【答案】4030. 【解析】试题分析：因为22014(2)sinsin 33f a ππ-==-=，20142015(2)cos cos 66f a ππ-===2222221(2)21a a f a ----==+，2014201422014221(2)21a a f a ----==+，解之得222log a -=，201422log a -=，所以2201422(2)(2)log log 0a a -+-=+=，所以220144a a +=，所以1201522014201520152015403022a a a a S ++=⨯=⨯=，故应填4030. 考点：1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的性质；3、三角函数求值.【思路点晴】本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的前n 项和和三角函数求值，考查学生综合知识运用能力，属中高档题.其解题的一般思路为：首先由已知等式22014(2)sin3f a π-=，20142015(2)cos 6f a π-=，可解出22a -，20142a -的值，进而得出22014a a +的值，然后运用等差数列的性质可知2201412015a a a a +=+可求出所求的结果.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos sin 2sin sin()B A A A B -=-，且12,cos 4a C ==，求b 及ABC ∆的面积.【答案】4b =，122ABC S ∆=⋅=考点：1、三角函数的恒等变换；2、正弦定理；3、余弦定理. 18.（本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元.供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，*n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X 的分布列及平均值.【答案】（1）**60100,110,30200,10,n n n Ny n n n N⎧-≤≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩；（2）利润X 的分布列为：利润X 的平均值为：91131123863804405005305605050105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.（2）∵日需求量为8、9、10、11、12的利润分别为380、440、500、530、560. 其概率分别为911311,,,,505010510，∴利润X 的分布列为：利润X 的平均值为：91131123863804405005305605050105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.考点：1、频率分布表；2、离散型随机变量的分布列；3数学期望. 19.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10,1n a a >=，且221,2,n n n a S a +成等比数列，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nb a =，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证2n T <. 【答案】（1）n a n=；（2）21n b n=222111111111223(1)23n T n nn =++++<++++⨯⨯-⨯1111111(1)222231n n n=+-+-++-=-<-.（2）因为21n b n =，所以211(1)n b n n n =<-，所以222111111111223(1)23n T n nn=++++<++++⨯⨯-⨯1111111(1)222231n n n=+-+-++-=-<- 考点：1、等比数列；2、等差数列；3、放缩法证明数列不等式. 20.(本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．（1）证明：DF AE ⊥；（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 说明点D 的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：∵11AE A B ⊥，11//,A B AB AE AB ∴⊥，又∵11,AA AB AA AE A ⊥=∴AB ⊥面11A ACC .又∵AC ⊂面11A ACC ，∴AB AC ⊥，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则有()()()111110,0,0,0,1,,,,0,0,0,1,1,0,1222A E F A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()111,,,D x y z A D A B λ=且()0,1λ∈，即(),,1(1,0,0)x y z λ-=,则11(,0,1),,,122D DF λλ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭∵1110,1,,0222AE DF AE ⎛⎫=∴⋅=-= ⎪⎝⎭，；所以DF AE（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC.（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC理由，如下：考点：1、直线与直线垂直的判定定理；2、线面垂直的判定定理与性质定理；3、空间向量解立体几何问题的应用.【易错点睛】本题主要考查了直线与直线垂直的判定定理、线面垂直的判定定理与性质定理和空间向量解立体几何问题的应用，属中档题.解决这类空间立体几何问题最容易出现以下几处错误：其一是在运用空间向量求解立体几何问题如证明线线垂直或平行、线面垂直或平行和面面垂直等，不能结合已知条件建立适当地空间直角坐标系，进而导致错误；其二是在求解二面角问题时，不知道怎么判断这个二面角的大小，到底是锐角还是钝角，从而导致错误. 21.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(22A -，离心率为2，点12,F F 分别为其左右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥,求四边形PMQN 面积的最小值．【答案】（1）2212x y +=；（2）最小值为 【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程以及,,a b c 之间的关系，联立方程组即可得出所求的椭圆的方程；（2）由于直线MN 的斜率存在还是不存在我们并不知道，于是分两类进行讨论：当直线MN 的斜率不存在时，求出其弦长，进而得出四边形的面积；当直线MN 的斜率存在时，设出直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，然后将其方程与抛物线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式即可得出所求的结果.考点：1、抛物线的方程；2、椭圆的标准方程；3、直线与圆锥曲线的综合问题.【易错点睛】本题考查了椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的应用，同时考查直线和椭圆相交的综合问题，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属中档题.在求解该题过程中容易出现以下几处错误：其一是第二问中考虑问题不全面，往往漏掉直线的斜率不存在的情形，进而导致出现漏解或错解的情况；其二是在解决直线与圆锥曲线相交的综合问题中计算出现错误，进而导致结果的错误或者得不出结论的情况.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln x f x x=.(1)求函数()f x 在区间14[,]e e 上的最值；(2)若244()()ln m mxg x f x x-=+（其中m 为常数），当102m <<时，设函数()g x 的3个极值点为,,a b c ，且a b c <<，证明：021a b c <<<<.【答案】(1) 函数()f x 的最小值为2e ，最大值为2e ；（2）由题意得()222244()ln ln x m x m mx g x x x-+-==,()()2222ln 1ln m x m x x g x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=,令()22ln 1m h x x x =+-，有()222x mh x x -'=，所以函数()h x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增.因为函数()g x 有三个极值点,,a b c从而min ()()2ln 10,h x h m m m ==+<∴<当102m <<时，(2)2ln 0,(1)210h m m h m =<=-<，从而3个极值点中，有一个为2m ，有一个小于m ，有一个大于1.又a b c <<，0,2,1a m b m c ∴<<=>即0,212ba b m c <<=<<，故021a b c <<<<.试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞，()()22ln 1ln x x f x x-'=，令()0f x '=可得考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数在研究函数的极值或最值中的应用.。
2018届河北省正定中学高三上学期第三次月考数学试题及答案 精品
正定中学2018届高三上学期第三次月考数学试题一 选择题(每小题5分，共60分)1. 设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，则实数a 为( ) A.2 B. -2 C. 1-2 D. 122． 对于函数()R x x f y ∈=,，“()x f y =的图像关于y 轴对称”是“()x f y =是奇函数”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[]1,2内的位移为 ( )A.176B.143C.136D.1164．设a,b,c 是共面的单位向量，且0⋅=a b ，则()()⋅a +c b +c 的最大值是（ ）A ．0BC ．1-D ．15. 已知51cos 123πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2ππα-<<-，则cos 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）Ｂ．13- Ｃ．13Ｄ．6．已知数列}{n a 满足11-+-=n n n a a a (2≥n )，11=a , 32=a ，记n n a a a S +++= 21，则 下列结论正确的是A ．1100-=a ，5100=SB ．3100-=a ，5100=SC ．3100-=a ，2100=SD ．1100-=a ，2100=S7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π8. 已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．29. 已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 是ABC ∆的（ ）A.外心B.内心C.垂心D.重心10．已知tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是 （ ）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形 （D ）不能确定11．已知24(0)()(2)(0)a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩ 且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[-4,0]B ．[8,)-+∞C ．[4,)-+∞D ．(0,)+∞12. 若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题(每小题5分，共20分).13. 若全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |3－x x ＋1>0}，则M ∩(∁U N )等于________．14. 在平面几何里,有勾股定理“设△ABC 的两边AB,AC 互相垂直,则AB 2+AC 2＝BC 2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直,则____ ____________.” 15．若,,a b R a b +∈≠且，在①b ab a 232>+；②322355b a b a b a +>+； ③)1(222-->+b a b a ；④2>+baa b ； ⑤若0>m ，则mb ma b a ++<这五个不等式中，恒成立的有＿＿＿＿＿＿＿＿16. 已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，则关于x 的函数()()1g x f x x=+的零点个数为____ _______. 三、解答题(共70分). 17．(本小题满分10分)已知向量()()2sin ,cos m x x π=--，3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎭，函数()1f x m n =-⋅． (1)求函数()f x 的解析式；(2)当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；18．(本小题满分12分)已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；（Ⅱ）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．19. (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21017,100a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*cos()2()n n n b a n n π=+∈N ，求数列{}n b 的前n 项和.20. (本小题满分12分)数列{n a }满足112a =，112n na a +=-（1）求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等差数列； （2）若11n nb a =-,｛b n ｝的前n 项和为n B ,若存在整数m ，对任意n ∈N +且n ≥2都有320n n m B B ->成立，求m 的最大值.21. (本小题满分12分)已知函数)0(ln 1)(>+-=a x axxx f （1）若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）当1=a 时，求)(x f 在]2,21[上的最大值和最小值；（3）当1=a 时，求证对任意大于1的正整数n ，nn 1413121ln ++++> 恒成立.22．(本小题满分12分)已知函数2()(1)2ln(1).2a f x x a x x =+++- (Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与直线210x y -+=平行，求出这条切线的方程； (Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅲ）若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()2f x <-，求实数a 的取值范围.高三第三次月考数学试题答案一 选择题 1-5 ABADD 6-10 AABCA 11-12 CA18. 解：（Ⅰ）a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-.……………………………………1分又23MCN ∠=π，1cos 2C =-，∴222122a b c ab +-=-， ………………4分∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---， 恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c =又4c >，∴7c =. ………………………6分19. 解：(1)设{}n a 首项为1a ，公差为d ，则()1117,1029100,2a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得119,2,a d =⎧⎨=-⎩19(1)(2)212.n a n n ∴=+-⨯-=-（2）cos(π)2(1)2,n n n n n n b a n a =+=-+当n 为偶数时，()()()2312123(2)222n n n n T b b b a a a a =++⋅⋅⋅+=-++++-++⋅⋅⋅++()1212(2)22;212nn n n +-=-⨯+=---当n 为奇数时，()()()2312123(2)222n n n n T b b b a a a a =++⋅⋅⋅+=-++++-++⋅⋅⋅+-+()()()111231212119222222.122n n n n n n a a a a a n ++---=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+⨯+-=+--()()1122,222.n n n n n T n n ++⎧--⎪∴=⎨+-⎪⎩当为偶数当为奇数20. 解：（1）112n n a a +=-， 121111111112n n n n na a a a a +-===-+----- ∴111111n n a a +-=--- ∴1{}1n a -为首次为-2，公差为-1的等差数列∴11n a -=-2+（n-1）×（-1）=-（n+1） ∴1n n a n =+(2)111n n b n n +=-= 令3111++1+23nn n n C B B n n =-=++ ∴111111++2+33(n+1)13n n C C n n n n+-=+---++=1111+13+23n+33n+1n n -+++ =12122-03+23n+33n+13n+33n+3n +>-= ∴C n+1-C n >0∴｛C n ｝为单调递增数列∴3min 62111119()345620n n B B B B -=-=+++=∴192020m <∴m<19 又m N *∈ ∴m 的最大值为18 21. （1）由已知得)0(1)('2>-=x axax x f ， 依题意得012≥-axax 对任意),1[+∞∈x 恒成立， 即xa ax 101≥⇒≥-对任意),1[+∞∈x 恒成立，而1)1(max =x1≥∴a（2）当1=a 时，21)('xx x f -=，令0)('=x f ，得1=x ，若]1,21[∈x 时，0)('<x f ，若]2,1[∈x 时，0)('>x f ，故1=x 是函数在区间]2,21[上的唯一的极小值，也是最小值，即0)1()(min ==f x f ，而2ln 21)2(,2ln 1)21(+-=-=f f ，由于0216ln ln 2ln 223)2()21(3>-=-=-e f f ，则2ln 1)21()(max -==f x f22. 【答案】（Ⅰ）2()11f x ax a x '=+++-，得切线斜率为(2)23k f a '==+ 据题设，2k =，所以13a =-，故有2(2)3f =所以切线方程为(2)2(2),y f x -=-即63100x y --=(Ⅱ）221(1)(1)()1(1)111ax x a x ax a f x ax a x x x x +-++-+'=+++==>---当0a =时，1(),1x f x x +'=-由于1x >，所以1()01x f x x +'=>-，可知函数()f x 在定义区间(1,)+∞上单调递增当0a ≠时，1(1)()()1a a x x a f x x -+-'=-，若0a >，则11a a-<，可知当1x >时，有()0f x '>，函数()f x 在定义区间(1,)+∞上单调递增若0a <，则11a a ->，可得当1(1,)a x a -∈时，()0f x '>；当1(,)a x a-∈+∞时，()0f x '<.所以，函数()f x 在区间1(1,)a a -上单调递增，在区间1(,)a a-+∞上单调递减。
2018届高三第四次月考数学试卷(理)
河北正定中学2018届高三第四次月考数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码的准考证号码、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
如需改动用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷上的答案无效。
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知U 是全集，M 、N 是U 的两个子集，若Φ=≠N M U N M ,，则下列选项中正确的是( )A ．N M C U =B ．M NC U = C ．φ=)()(N C M C U UD ．U N C M C U U =)((2．等差数列{}n a 的公差0d <，且22111a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时n =( )A.6B.5C.5或6D.6或73．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =+1的图象按向量a r平移得到，则向量a r可以为（ ）A.(,1)3πB. (,1)3π- C. (,1)6π- D. (,1)6π4．定义在R 上的函数x x x f x x f x f x f 2)(,]2,0[),(3)2()(2-=∈=+时当满足，则)(,]2,4[x f x 时--∈的最小值是（ ）A ．－91B ．91 C ．31-D ．－15．已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量、满足||||-=+，则实数a 的值是 （ ）A ．2B ．－2C ．6或－6D ．2或－26．设偶函数()log a f x x b =-在(,0)-∞上单调递增，则)2()1(++b f a f 与的大小关系是（ ）A ．)2()1(+=+b f a fB ．)2()1(+>+b f a fC ．)2()1(+<+b f a fD ．不能确定7．若函数)(2),()(1x f x y x fy x f y -===-且函数存在反函数的图象过点（2，1），则函数x x f y 2)(1-=-的图象一定过点( )A.(3,2)B.(2,3)-C.(4,3)-D.(3,4)-8．从原点O 引圆222()(2)1x m y m -+-=+的切线y kx =，当m 变化时，切点P 的轨迹方程是（ ）A. 222x y +=B. 22(1)2x y -+=C. 22(1)(1)3x y -+-=D.223x y += 9.在坐标平面上，不等式组211y x y x ⎧≥-⎪⎨≤+⎪⎩所表示的平面区域的面积为（ ）A. B.83C.3D.210．已知02x π<<，且0t >，t 为常数，11()1sin f x sinx x=+-的最小值是9，则t =（ ） A ．3 B ．2 2 C ．4 D ．3 2 11．如图所示，在△OAB 中，OA ＞OB ，OC ＝OB ，设OA →＝a ，OB →＝b ，若AC →＝λ·AB →，则实数λ的值为A ．a ·(a －b )|a －b |B ．a ·(a －b )|a －b |2C ．a 2－b 2|a －b |D ．a 2－b 2|a －b |212.已知12,F F 为椭圆E 的两个左右焦点，抛物线C 以1F 为顶点，2F 为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率e满足12PF e PF=，则e 的值为（ ）B.22-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2018届河北省正定中学高三上学期第三次月考数学试题及答案 精品
高三年级第一学期第三次月考数学试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)． 1.已知集合M ={5,6,7}，N ={5,7,8}，则( ) A ．M N ⊆ B. N M ⊇ C. }{7,5=N M ID ．}{8,7,6=N M Y2.下面四个条件中，使a b >成立的充要条件是( ) A ． 1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b >D ．33a b >3. 已知O 为坐标原点，向量,3,(31),OA OB ==-u u u r u u u u r （1），且2AP PB =u u u r u u u r,则点P 的坐标为( )A ． (24)-，B ．24()33-， C ． 71()33， D ．(24)-，4.函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ为常数，0,0)A ω>>的部分图象如右图所示，则(0)f 的值为( ) A ．2B.22C.0D.2-5．已知3sin 2)(x x x f +=+1(x ∈R),若f (a )=3,则f (-a )的值为( )A ．-3 B.-2 C.-1 D.06．已知实数,x y 满足20,0,3,x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩则|4|z x y =+的最大值为( ) A.9 B. 17 C. 5 D.157．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47109,a a a ++=14377S S -=,则使n S 取得最小值时n 的值为 ( ) A ．4 B.5 C.6 D.7 8. 已知函数=)(x f x x 2cos 2sin 3+，下面结论错误．．的是( )A ．函数)(x f 的最小正周期为B ．)(x f 可由x x g 2sin 2)(=向左平移6π个单位得到C ．函数)(x f 的图象关于直线6π=x 对称 D ．函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π上是增函数 9.已知{a n }为等比数列，下面结论中正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2 B ．a 21＋a 23≥2a 22 C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2 D ．若a 3>a 1，则a 4>a 210 已知函数f (x )x x sin )21(-=，则f (x )在[0,2]π上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 11.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π 12.函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-，总有()0f x ≥成立，则a =( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13. 在ABC∆中，6B π∠=,1AC =,3AB =,则BC的长度为________.14.已知 i 、j 、k 为两两相互垂直的单位向量， 非零向量a =1a i +2a j +3a k (123,,a a a ∈R )，若向量a 与向量i 、j 、k 的夹角分别为α、β、γ，则=++γβα222cos cos cos ____.15. 设,M m 分别是()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则()()d ()ba mb a f x x M b a -≤≤-⎰，由上述估值定理，估计定积分2212d x x --⎰的取值范围是 .16．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，,2==BC AC D 是ABC ∆内切圆圆心，设P 是⊙D 外的三角形ABC 区域内的动点，若CB CA CP μλ+=，则点),(μλ所在区域的面积为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. (本小题满分10分)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC ∆、ABD ∆.经测量AD= BD=14 , BC=10 , AC=16 , C D ∠=∠. （Ⅰ）求AB 的长度；（Ⅱ）若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由. 18．（本小题满分12分）已知数列}{na 为公差不为零的等差数列，11=a，各项均为正数的等比数列}{nb 的第1项、第3项、第5项分别是2131a a a，，.（Ⅰ）求数列}{na 与}{nb 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n b a 的前n 项和.19．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和？并求出此时商品的每件定价．20. （本小题满分12分）如图,在多面体ABCDEF 中， ABCD 为菱形，060ABC ∠=,EC ⊥面ABCD, FA ⊥面ABCD,G 为BF 的中点，若EG//面ABCD.(Ⅰ)求证:EG ⊥面ABF ;（Ⅱ）若AF AB =，求二面角B-EF-D 的余弦值.21 （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知定点()2,0A -、()2,0B ，M 为动点，且直线MA 与直线MB 的斜率之积为14-，设动点M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过定点()1,0T -的动直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得SP SQ ⋅u u r u u u r为定值，若存在求出s 的值；若不存在请说明理由.22. （本小题满分12分）已知函数1()ln (0)1f x a x a x =+≠-在)21,0(内有极值.（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若),2(),21,0(21+∞∈∈x x ，且)2,21[∈a 时，求证：432ln )()(12+≥-x f x f .高三年级第三次月考数学答案1—12 CDCAC BBBBB CD 13—16 1或2; 1；3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦17. (本小题满分10分) 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 161021610cos AB AC BC AC BC C C =+-⋅=+-⋅⋅ ①在ABD ∆中，由余弦定理及C D ∠=∠整理得2222222cos 1414214cos AB AD BD AD BD D C=+-⋅=+-⋅ ② (2)分由①②得：222221414214cos 161021610cos C C +-⋅=+-⋅⋅ 整理可得1cos 2C =，……………4分又C ∠为三角形的内角，所以60C =o , 又C D ∠=∠,AD BD =,所以ABD ∆是等边三角形，故14AB =，即A 、B 两点的距离为14.……………6分 （Ⅱ）小李的设计符合要求.理由如下： 1sin 2ABD S AD BD D ∆=⋅ 1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅因为AD BD ⋅>AC BC ⋅所以ABD ABC S S ∆∆>…………10分18解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d, 数列{}n b 的公比为q, 由题意得：23121a a a =, ……………2分 2(12)1(120)d d ∴+=⨯+,24160d d -=,0d ≠Q ,4,d ∴=所以43n a n =-.………………4分于是{}1351,9,81,n b b b b ===的各项均为正数, ,所以q=3，13n n b -∴=.……………………6分（Ⅱ）1(43)3n n n a b n -=-,0122135393(47)3(43)3n n n S n n --∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯L .1231335393(47)3(43)3n n n S n n -=+⨯+⨯++-⨯+-⨯L (8)分两式两边分别相减得：2312143434343(43)3n n n S n --=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L (10)分231114(3333)(43)343(13)1(43)313(54)35n n n nn n n n --=+++++--⨯⨯⨯-=+--⨯-=-⨯-L19；解：(1)设每件定价为t 元，依题意得 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意知当x ＞25时， 不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．由于150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10，当且仅当150x ＝x6，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2.当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.20. (本小题满分12分)解:(Ⅰ)取AB 的中点M ，连结GM,MC ，G 为BF 的中点, 所以GM //FA,又EC ⊥面ABCD, FA ⊥面ABCD, ∵CE//AF,∴CE//GM,………………2分 ∵面CEGM ⋂面ABCD=CM, EG// 面ABCD,∴EG//CM,………………4分∵在正三角形ABC 中，CM ⊥AB,又AF ⊥CM ∴EG ⊥AB, EG ⊥AF,∴EG ⊥面ABF.…………………6分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系,设AB=2, 则B （0,0,3）E(0,1,1) F （0，-1，2） EF =(0，-2,1) , EB =(3,-1，-1), DE =(3,1， 1),………………8分 设平面BEF 的法向量1n =（z y x ,,）则⎩⎨⎧=--=+-0302z y x z y 令1=y ，则3,2==x z , ∴1n =（2,1,3）…………………10分 同理，可求平面DEF 的法向量 2n =（-2,1,3）设所求二面角的平面角为θ，则 θcos =41-.…………………12分21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设动点(,)(2)M x y x ≠，则,22MA MB y yk k x x ==+-.……………2分 11,,4224MA MBy y k k x x =-∴⋅=-+-Q即221(2)4x y x +=≠±.……………………4分（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为(1)0y k x k =+≠，则联立方程组22(1)44y k x x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得2222(14)8440k x k x k +++-=, 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则212221228,1444.14k x x kk x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩……………………6分1122(,),(,)SP x s y SQ x s y =-=-u u r u u u rQ2212121212121212()()(1)SP SQ x x s x x y y x x s x x s k x x x x ∴=-++=-++++++u u r u u u r Q g22221212(1)()()k x x k s x x k s =++-+++22222222(1)(44)()(8)1414k k k s k k s k k+---=+++++ 22222222222481(4)(1)48441414s s s k s k sk k s s k k ++-++++--==++,………………8分若SP SQ ⋅u u r u u u r 为定值，则须2248144s s s ++=-， 即178s =-即可，此时定值为3364.…………………………10分当l 的斜率不存在时，((1,P Q --, 验证当17(,0)8S -,3364SP SQ ⋅=u u r u u u r . 由上可知存在定点17,08S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得SP SQ⋅u u r u u u r 为定值.…………………12分22．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由11ln )(-+=x x a x f 得：22/)1()12()(-++-=x x ax a ax x f ， 方法1：因为0,a ≠令21()(2)1g x x x a=-++, 可求(0)10,g =>令1()02g <或221101,22(21)40,1()0.2a a a g ⎧<+<⎪⎪⎪∆=+->⎨⎪⎪>⎪⎩……………2分 则20<<a . …………… 4分方法2：由0)12(2=++-a x a ax 得：2)1(-=x xa ，令2)1()(-=x x x g ，3/)1()1()(-+-=x x x g ，)21,0(∈x Θ，则0)1()1()(3/>-+-=x x x g 则函数)(x g 在)21,0(上单调递增；……2分 又2)21(,0)0(==g g ，20<<∴a . ……………4分方法3：由0)12(2=++-a x a ax 得：211)1(2-+=-=xx x xa ， 令21)(-+=x x x h ，)21,0(∈x ，则01)(22/<-=x x x h ，)(x h ∴在)21,0(∈x 上单调递减，且021)21()(>=>h x h ，则函数211)(1-+=xx x h 在)21,0(∈x 上单调递增；……… 2分20<<∴a . ……………4分（注意：若只求出211-+xx 的值域为）（2,0而不说明单调性扣1分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：22/)1()12()(-++-=x x ax a ax x f , 设0)12(2=++-a x a ax )20(<<a 的两根为βα，. 则：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+112βαβαa ，得：βα<<<<2210 , ………………………….6分2/2(21)(0,)(,)()0(1)ax a x ax f x x x αβ-++∈+∞=>-当和时, ，函数)(x f 单调递增；2/21(21)()(2)()02(1)ax a x a x f x x x αβ-++∈=<-当，和，时,，函数)(x f 单调递减； 则)()(),()(21βαf x f f x f ≥≤ , ………………………8分则11ln 11ln )()()()(12----+=-≥-ααββαβa a f f x f x f ,=ln ()1a βαβααβαβ-+-++21[ln ]a βββ=+-)1,12(=⋅+=+βαβαa利用 ………………………10分令)2(1ln )(2>-+=x xx x x h , 则0)1()(22/>+=x x x h ，则函数)(x h 单调递增，232ln 2)2()(+=≥h x h .0232ln 21ln 2>+≥-+∴βββ，又)2,21[∈a 则432ln ]1[ln 2+≥-+βββa , 所以：432ln )()(12+≥-x f x f .………12分 另解：（其余同上）11ln 11ln )()()()(12----+=-≥-ααββαβa a f f x f x f , =ln()1a βαβααβαβ-+-++ , 1[-2ln ]a ααα=+-.)1,12(=⋅+=+βαβαa利用……………10分令)210(-1ln 2-)(<<+=x x x x x h , 则012)(22/<---=x x x x h ，则函数)(x h 单调递减，232ln 2)21()(+=≥h x h , 0232ln 21ln 2->+≥-+∴ααα，又)2,21[∈a , 则432ln ]1ln 2-[+≥-+αααa ,所以：432ln )()(12+≥-x f x f . ………………12分。
河北正定中学2018届高三联考试卷1(数学文)
绝密★启封前文科数学本试题卷共6页，全卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 1i 1i+-等于 A.i B.i - C.2i D.2i -2．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R3. 若()f x 是定义在(),a b 上的任意一个初等函数,则“存在一个常数M 使任意(,)∈x a b 都有()≤f x M 成立”是“()f x 在(),a b 上存在最大值”的A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D.充分必要条件4.若01,1a b c <<>>，则A ．1ab c ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．log 1a b >C ．b ca a > D ．log log >a a c b5. 已知1cos 3α=，则C. π1sin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D. ()1cos π3α-= 6.原先要求A 、B 、C 三人共同完成某项工作中的9道工序（每道工序的工作量一样,每人完成其中的3道工序），A 完成了此项工作中的5道工序，B 完成了此项工作中的另外4道工序，C 因事假未能参加此项工作，因此他需付出90元贴补A 和B ，则A 应分得这90元中的 A.45元 B.50元 C.55元 D.60元7. 已知点()1,2P 在双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线上，则C 的离心率是A.B.C.8. 如图是一个算法流程图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是A ．910a ≤<B ．910a <≤C ．1011a <≤D ．89a <≤9.设函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误．．的是 A ．()f x 的一个周期可为2π- B ． ()f x 的图像关于直线4π3x =对称 C ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()πf x +的一个零点为π12x =10.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥A B A P 11-的左视图可能为A B C D11. 函数()()4121x f x ex +=-+的图像大致为12.在数列{}n a 中，已知)1*+=∀∈n a n N ，则数列{}n a 满足：()1*n n a a n +<∀∈N 的充要条件为 . A.11>-a B.13>aC.1113 或 a a <->D.113-<<a第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答。
河北正定中学高三数学第四次测试 理 人教版
河北正定中学高三年级第四次考试数学(理科)试题一、选择题1．已知集合{}2,0xA y y x -==<，集合{}12B x y x==，则A B =（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞2．已知,a b 是非零实数，1a ibi i-=+，则=a （ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3． 不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠对任意(0,)4x π∈都成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,)4πB (,1)4πC ．(,1)(1,)42ππD ．[,1)4π4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线被抛物线2112y x =-所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD 5．有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六人依次站在六边形的六个顶点上传球，从Ａ开始，每次可随意传给相邻的两人之一，若在５次之内传到Ｄ，则停止；若５次之内传不到Ｄ， 则传完５次也停止传球。
那么从开始到停止，可能出现的不同传法种数是（ ） Ａ．24 Ｂ．26 Ｃ．30 Ｄ．28 6．已知向量,AB CD 夹角是60︒，4,6AB CD ==，并且E 、F 分别是BC 和AD 的中点，则EF =（ ）Ａ．52Ｂ．3 7． 二面角l αβ--的平面角为56π，直线a ⊥平面α，直线b ⊂平面β，则直线a 与b 所成的角的范围为（ ） A ．[0,]2πB ．[,]62ππC ．[,]32ππD ．[0,]3π8．已知02απβπ<<<<，0θπ≤<，并且sin()sin()θαθβ-=-，则θ等于（ ）A ．1()2αβπ++ B ．1()2αβ+ C ． 1()2αβπ+-D ．1()2βα-9．函数3y ax =的图象与直线1y x =-相切，则a 的值为（ ）A ．18 B ．32 C ．427 D ．82710．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝1cm ，AD ＝32cm ，并且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2cm ，点Q 是平面PCD 上一个动点，则线段BQ 长度的最小值为（ ）A B C ． D ．311． 定义域为R 的函数()(2)(2)g x f x f x =---关于直线12x =对称，并且在1[1,]2- 上是单调递增函数，则集合{|()0,||10}M x g x x ==≤中元素的个数为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．1212．设椭圆22143x y +=的右焦点为F ，斜率为(0)k k >的直线经过F 并且与椭圆相交于 点A 、B ．若53AF FB =，则k 的值为（ ）A B C ． D ．3二、填空题13．若51x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 项的系数是80，则实数a 的值为 ．14．等差数列{}n a 中，若561012a a a ++=，则数列{}n a 前15项的和为 ．15O 中有一个各棱长都相等的内接正三棱柱111ABC A B C -，则此三棱柱的棱长为 ． 16．函数33cos 24sin sin 2xy x x-=+的最小值为 ．三、解答题17．已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，向量(m =-(cos ,sin )n A A =，且1m n ⋅=. （I ）求角A 的值； （II ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan C .18. 如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，1=AD ，2=CD ，⊥D A 1平面ABCD ，1AA 与底面ABCD 所成角为θ，θ2=∠ADC ．（I ）若45=θ，求直线C A 1与该平行六面体各侧面所成角的最大值；（II ）求平行六面体1111D C B A ABCD -的体积V 的取值范围．19．学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动.（1）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；（2）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量， 求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.20．已知数列{}n a 的前n 项和()1122n n n S a -=--+（n 为正整数）（1）求数列{}n a 的通项公式；高考资源网（2）若1n nc a n n +=，12n n T c c c =+++，求n T .21．已知定点(1,0)C -及椭圆2235x y +=，过点C 的动直线与该椭圆相交于,A B 两点.（I ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （II ）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.22．已知函数2()ln (0)f x x ax x a =-+>（I ）求a 的最大值，使函数()f x 在(0,)+∞内是单调函数； （II ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，总有()0f x ≤，求a 的取值范围．河北正定中学高三年级第四次考试·数学理科答案BADAB DCCDA AA 13.12- 14.60 15.617．解：（1）因为1m n ⋅=1623cos 1sin()A A A A ππ⇒-=⇒-=⇒=所以60A =；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）221sin2cos sin 3B B B+-=-⇒222(sin cos )cos sin 3B B B B +-=-⇒sin cos cos sin 3B B B B +-=-tan 11tan 3tan 2B B B +-⇒=-⇒=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 8511tan tan()tan(60)C A B B +=-+=-+=所以tan C =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 18.解：（1）由平行六面体的性质，知直线C A 1与该平行六面体各侧面所成角的大小有两个， 其一是直线C A 1与侧面D D AA 11所成角的大小，记为α； 其二是直线C A 1与侧面B B AA 11所成角的大小，记为β．45=θ， 90=∠∴ADC ，即AD CD ⊥又⊥D A 1 平面ABCD ，D A CD 1⊥∴⊥∴CD 平面D D AA 11，所以，D CA 1∠即为所求．所以，2arctan =α………2分分别以1,,DA DC DA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系xyz O -，可求得)1,2,0(1-=C A ，侧面B B AA 11的法向量)1,0,1(=n ， 所以，C A 1与n 所在直线的夹角为1010arccos，=arcsin β． 所以，直线C A 1与侧面B B AA 11所成角的大小为1010arcsin．…5分 综上，直线C A 1与该平行六面体各侧面所成角的最大值为2arctan ． ………6分 （2）由已知，有θtan 1=DA ，由面积公式，可求四边形ABCD 的面积为θ2sin 2，……………8分平行六面体1111D C B A ABCD -的体积θθθ2sin 4tan 2sin 2=⋅=V ．……………10分 所以，平行六面体1111D C B A ABCD -的体积V 的取值范围为)4,0(． ……………12分 19．解：（1）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的A ,则其概率为1142268().15C C P A C == ………4分 答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为158……5分 （2）随机变量4,3,2=ξ 24262(2);5C P C ξ=== ……6分1142268(3);15C C P C ξ===………8分 22261(4);15C P C ξ===………10分∴随机变量ξ的分布列为∴2818234.515153E ξ=⨯+⨯+⨯= ……12分20．解：（1）由()1122n n n S a -=--+得()11122nn n S a ++=--+，．．．．．．．．2分 两式相减得()1112nn n n a a a ++=-++，即11221n n n n a a ++=+．．．．．．．．4分得数列{}2nn a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以2n nn a = *()n N ∈．．．．6分（2）由（1）及1n nc a n n +=得12)(1)(nnc n =+．．．．．．．．．．．．．．．．8分 所以231111222223()4()(1)()nn T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ (1) 234111111222222()3()4()(1)()n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ (2)．．．．．10分 由(1)-(2)得323nn n T +=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）设直线:(1)AB y k x =+，将:(1)AB y k x =+代入椭圆的方程2235x y +=，消去y 整理得2222(31)6350k x k x k +++-=．．．．．．．．．．2分设11(,)A x y ，则4222122364(31)(35)0631k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩因为线段AB 的中点的横坐标为12-，解得3k =±所以直线AB的方程为10x ±+=．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使得MA MB ⋅位常数，．．．5分(1)当直线AB 与x 轴不垂直时，由（1）知2122631k x x k +=-+，21223513k x x k-⋅=+ 所以1212()()MA MB x m x m y y ⋅=--+=22221212(1)()()k x x k m x x k m ++-+++22614133(31)2m k m m ++=+--，．．．．7分 因为MA MB ⋅是与k 无关的常数，从而有76140,3m m +==-，．．．．9分 此时49MA MB ⋅=． (2)当直线AB 与x 轴垂直时,此时结论成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分综上可知，在x 轴上存在定点7(,0)3M -，使49MA MB ⋅=为实数．．．．12分22．。
正定县高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
正定县高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 使得（3x 2+）n （n ∈N +）的展开式中含有常数项的最小的n=（ ）A ．3B ．5C ．6D ．102． 复数z 为纯虚数，若（3﹣i ）•z=a+i （i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ）A ．﹣B ．3C ．﹣3D ．3． 函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2，x ∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x 0，使f （x 0）≤0的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．4． 已知命题p ：“∀∈[1，e]，a ＞lnx ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2﹣4x+a=0””若“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，4]B ．（0，1]C ．[﹣1，1]D ．（4，+∞）5． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．A ．B ．C ．D ．6． 过抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）A ．24B ．80C ．64D ．2408． 已知等差数列{a n }满足2a 3﹣a +2a 13=0，且数列{b n } 是等比数列，若b 8=a 8，则b 4b 12=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．169． 给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）A ．{}4,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．以上情况都有可能 10．函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ） A.32-B.1-C. 2-D. 3-【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.11．若双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．212．为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题．二、填空题13．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ． 14．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为．16．若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则k的取值范围是．17．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是．三、解答题19．如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；（2）求二面角E﹣AC﹣D所成平面角的余弦值．20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点12,F F为其左、右焦点，直线的参数方程为222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数，t R ∈）. （1）求直线和曲线C 的普通方程；（2）求点12,F F 到直线的距离之和.21．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为PC 的中点，．求证：PC ⊥BC ；（Ⅱ）求三棱锥C ﹣DEG 的体积；（Ⅲ）AD 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面MEG ．若存在，求AM 的长；否则，说明理由．22．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．23．已知奇函数f（x）=（c∈R）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．24．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．正定县高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：（3x2+）n（n∈N+）的展开式的通项公式为T r+1=•（3x2）n﹣r•2r•x﹣3r=•x2n ﹣5r，令2n﹣5r=0，则有n=，故展开式中含有常数项的最小的n为5，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．2．【答案】D【解析】解：∵（3﹣i）•z=a+i，∴，又z为纯虚数，∴，解得：a=．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．【答案】C【解析】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选C【点评】本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的关键4．【答案】A【解析】解：若命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，则a＞lne=1，若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0”为真命题，则△=16﹣4a≥0，解得a≤4，若命题“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，则，解得：1＜a≤4．故实数a的取值范围为（1，4]．故选：A．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．5．【答案】D【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．故选：D．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．6．【答案】A【解析】解：∵x2=2y，∴y′=x，∴抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B（1，），∵x2=2y的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，∴直线l的方程为y=，∴|AF|=1．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．7．【答案】B【解析】试题分析：8058631=⨯⨯⨯=V ,故选B. 考点：1.三视图；2.几何体的体积. 8． 【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可得a 3+a 13=2a 8，即有a 82=4a 8，解得a 8=4（0舍去）， 即有b 8=a 8=4，由等比数列的性质可得b 4b 12=b 82=16．故选：D ．9． 【答案】A 【解析】试题分析：()()()()((1))14,((2))14,((3))32,((4))34,f g f f g f f g f f g f ========故值域为{}4,2.考点：复合函数求值． 10．【答案】D【解析】易知周期112()1212T π5π=-=π，∴22T ωπ==.由52212k ϕπ⨯+=π（k ∈Z ），得526k ϕπ=-+π（k Z ∈），可得56ϕπ=-，所以5()2cos(2)6f x x π=-，则5(0)2cos()6f π=-=，故选D. 11．【答案】B【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，圆（x ﹣2）2+y 2=2的圆心（2，0），半径为，双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，可得：， 可得a 2=b 2，c=a ，e==．故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．12．【答案】C【解析】根据分层抽样的要求可知在C 社区抽取户数为2492108180270360180108=⨯=++⨯．二、填空题13．【答案】 ．【解析】解：∵抛物线C 方程为y 2=4x ，可得它的焦点为F （1，0）， ∴设直线l 方程为y=k （x ﹣1），由，消去x 得．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=，y 1y 2=﹣4①． ∵|AF|=3|BF|，∴y 1+3y 2=0，可得y 1=﹣3y 2，代入①得﹣2y 2=，且﹣3y 22=﹣4， 消去y2得k 2=3，解之得k=±．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．14． 【解析】15．【答案】2．【解析】解：在△ABM中，由余弦定理得：cosB==．在△ABC中，由余弦定理得：cosB==．∴=．即b2+c2=4bc﹣8．∵cosA==，∴sinA==．∴S=sinA=bc=．∴当bc=8时，S取得最大值2．故答案为2．【点评】本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．16．【答案】（﹣1，0）．【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，5），B（2，7），C（2，2k+5）△ABC的形状随着直线AC：y=kx+5斜率的变化而变化，将直线AC绕A点旋转，可得当C点与C1（2，5）重合或与C2（2，3）重合时，△ABC是直角三角形，当点C位于B、C1之间，或在C1C2的延长线上时，△ABC是钝角三角形，当点C位于C1、C2之间时，△ABC是锐角三角形，而点C在其它的位置不能构成三角形综上所述，可得3＜2k+5＜5，解之得﹣1＜k＜0即k的取值范围是（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）【点评】本题给出二元一次不等式组，在表示的图形为锐角三角形的情况下，求参数k的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．17．【答案】10cm【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，∴A′B==10cm．故答案为：10．【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．18．【答案】0【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），=﹣1+0+1=0，∴A1E⊥GF，∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．故答案为：0．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD ∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD ∵CD⊆平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；（2）取AD中点O，连接EO，∵△PAD中，EO是中位线，∴EO∥PA∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∵AC⊆平面ABCD，∴EO⊥AC过O作OF⊥AC于F，连接EF，则∵EO、OF是平面OEF内的相交直线，∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC∴∠EFO就是二面角E﹣AC﹣D的平面角由PA=2，得EO=1，在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=∵O 是AD 的中点，∴OF=×=∵EO=1，∴Rt △EOF 中，EF==∴cos ∠EFO==【点评】本题给出特殊的四棱锥，叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了平面与平面所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．20．【答案】（1）直线的普通方程为2y x =-，曲线C 的普通方程为22143x y +=；（2）22． 【解析】试题分析：（1）由公式cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．21．【答案】【解析】解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PDICE=D，∴BC⊥平面PCD，又∵PC⊂面PBC，∴PC⊥BC．（II）解：∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵E是PC的中点，∴．∴．（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．下面证明之：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥平面PA，又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG，在正方形ABCD中，∵O是AC中点，∴△OCG≌△OAM，∴，∴所求AM的长为．【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f （x ）的定义域为（0，+∞），因为，所以，，所以，a=1．所以，，． 由f'（x ）＞0解得x ＞2；由f'（x ）＜0，解得 0＜x ＜2．所以f （x ）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．（Ⅱ） ，由f'（x ）＞0解得； 由f'（x ）＜0解得．所以，f （x ）在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，当时，函数f （x ）取得最小值，．因为对于∀x ∈（0，+∞）都有f （x ）＞2（a ﹣1）成立，所以，即可． 则． 由解得．所以，a 的取值范围是 ．（Ⅲ） 依题得，则．由g'（x ）＞0解得 x ＞1； 由g'（x ）＜0解得 0＜x ＜1．所以函数g （x ）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又因为函数g （x ）在区间[e ﹣1，e]上有两个零点，所以，解得． 所以，b 的取值范围是．【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣=，比较系数得：c=﹣c，∴c=0，∴f（x）==x+；（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，当x∈[2，+∞）时，1﹣＞0，∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（2）=．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．24．【答案】【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．。
河北省正定县第三中学高二数学4月月考试题 理
河北省正定县第三中学2017-2018学年高二数学4月月考试题 理一、选择题（12×5=60）1．已知集合M ＝{1，－2,3}，N ＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个数为( )A ．18个B ．10个C ．16个D ．14个2．某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为( )A ．8B ．16C ．24D ．603．将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．18 种B ．24 种C ．36 种D ．72种4．二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．2126．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)．甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74 现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )、P (A |B )的值分别是( )A.14，59B.14，49C.15，59D.15，497．某人参加一次考试，4道题中解对3道即为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率是( )A ．0.18B ．0.28C ．0.37D ．0.488．设随机变量X 服从正态分布N (3,4)，若P (X ＜2a －3)＝P (X ＞a ＋2)，则a ＝( ) A ．3 B.53 C ．5 D.739．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 10．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．1011．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3,4)，则P (2＜X ≤4)等于( )A.910 B.710 C.35 D.1212．若X ～B (n ，p)，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3×2－2B ．2－4C ．3×2－10D ．2－8二、填空题（4×5=20）1．农科院小李在做某项试验时，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答)2．若A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B ，C 相邻，则不同的排法有________种(用数字作答)．3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．4．已知x ，y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝1.46x ＋a ，则实数a ^的值为________．三、解答题17．（10分）设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？18．（12分）已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．19．（12分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7.(1)请完成上面的列联表；（把列联表自己画到答题卡上）(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋dP(K2≥k0)0.100.050.0250.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.63520．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．21．（12分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]．(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[35,40)岁的人数；(2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动，再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人．记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为X，求X的分布列及均值．22．（12分）已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.2018年4月联考试题 高二数学（理科）答案1~5 BCCBA 6~10 AADBC 11~12 BC13. 120种 14. 144种 15. 0.72 16. —0.6117. 解：(1)利用分类加法计数原理：5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)国画有5种不同选法，油画有2种不同的选法，水彩画有7种不同的选法，利用分步乘法计数原理得到5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)选法分三类，分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画，由分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有5×2＋2×7＋5×7＝59(种)不同的选法．18. 解：(1)通项公式为因为第6项为常数项，所以k ＝5时，3n －2×5＝0，即n ＝10. (2)令310－2k＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C102212＝445. (3)根据通项公式，由题意k ∈N ，0≤k ≤10，令310－2k＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－23r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数，∴r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C102212x 2，C105215，C108218x －2. 19. 解：(1)(2)K 2＝55×50×30×75105×(10×30－20×452≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”． 20. 解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有 125,135, 145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C93＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1,1，因此P (X ＝0)＝93＝32， P (X ＝－1)＝93＝141， P (X ＝1)＝1－141－32＝4211.所以X 的分布列为则E (X )＝0×32＋(－1)×141＋1×4211＝214.21. 解：(1)∵小矩形的面积等于频率，∴除[35,40)外的频率和为0.70，∴x ＝51－0.70＝0.06.故500 名志愿者中，年龄在[35,40)岁的人数为 0.06×5×500＝150(人)．(2)用分层抽样的方法，从中选取 20 名，则其中年龄“低于 35 岁”的人有12 名，“年龄不低于 35 岁”的人有8 名．故 X 的可能取值为 0,1,2,3，P (X ＝0)＝203＝28514，P (X ＝1)＝203＝9528，P (X ＝2)＝203＝9544，P (X ＝3)＝203＝5711，故 X 的分布列为∴E (X )＝0×28514＋1×95＋2×95＋3×57＝95. 22. 解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C70＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝2－1－37＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝2－1＋37＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187.。
河北省正定县第三中学2017-2018学年高二数学4月月考试题 理
河北省正定县第三中学2017-2018学年高二数学4月月考试题 理一、选择题（12×5=60）1．已知集合M ＝{1，－2,3}，N ＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个数为( )A ．18个B ．10个C ．16个D ．14个2．某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为( )A ．8B ．16C ．24D ．603．将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．18 种B ．24 种C ．36 种D ．72种4．二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．2126．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)．甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74 现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )、P (A |B )的值分别是( )A.14，59B.14，49C.15，59D.15，497．某人参加一次考试，4道题中解对3道即为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率是( )A ．0.18B ．0.28C ．0.37D ．0.488．设随机变量X 服从正态分布N (3,4)，若P (X ＜2a －3)＝P (X ＞a ＋2)，则a ＝( ) A ．3 B.53 C ．5 D.739．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 10．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．1011．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3,4)，则P (2＜X ≤4)等于( )A.910 B.710 C.35 D.1212．若X ～B (n ，p)，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3×2－2B ．2－4C ．3×2－10D ．2－8二、填空题（4×5=20）1．农科院小李在做某项试验时，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答)2．若A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B ，C 相邻，则不同的排法有________种(用数字作答)．3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．4．已知x ，y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝1.46x ＋a ，则实数a ^的值为________．三、解答题17．（10分）设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？18．（12分）已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．19．（12分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7.(1)请完成上面的列联表；（把列联表自己画到答题卡上）(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d20．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．21．（12分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]．(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[35,40)岁的人数；(2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动，再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人．记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为X，求X的分布列及均值．22．（12分）已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.2018年4月联考试题 高二数学（理科）答案1~5 BCCBA 6~10 AADBC 11~12 BC13. 120种 14. 144种 15. 0.72 16. —0.6117. 解：(1)利用分类加法计数原理：5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)国画有5种不同选法，油画有2种不同的选法，水彩画有7种不同的选法，利用分步乘法计数原理得到5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)选法分三类，分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画，由分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有5×2＋2×7＋5×7＝59(种)不同的选法．18. 解：(1)通项公式为因为第6项为常数项，所以k ＝5时，3n －2×5＝0，即n ＝10. (2)令310－2k＝2，得k ＝2， 故含x 2的项的系数是C102212＝445. (3)根据通项公式，由题意k ∈N ，0≤k ≤10，令310－2k＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－23r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数，∴r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为C102212x 2，C105215，C108218x －2. 19. 解：(1)(2)K 2＝55×50×30×75105×(10×30－20×452≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”． 20. 解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有 125,135, 145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C93＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1,1，因此P (X ＝0)＝93＝32， P (X ＝－1)＝93＝141，P (X ＝1)＝1－141－32＝4211. 所以X 的分布列为则E (X )＝0×32＋(－1)×14＋1×42＝21.21. 解：(1)∵小矩形的面积等于频率，∴除[35,40)外的频率和为0.70，∴x ＝51－0.70＝0.06.故500 名志愿者中，年龄在[35,40)岁的人数为 0.06×5×500＝150(人)．(2)用分层抽样的方法，从中选取 20 名，则其中年龄“低于 35 岁”的人有12 名，“年龄不低于 35 岁”的人有8 名．故 X 的可能取值为 0,1,2,3，P (X ＝0)＝203＝28514，P (X ＝1)＝203＝9528， P (X ＝2)＝203＝9544，P (X ＝3)＝203＝5711，故 X 的分布列为∴E (X )＝0×28514＋1×95＋2×95＋3×57＝95. 22. 解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C70＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝2－1－37＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝2－1＋37＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187.。
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2018学年度高三第四次月考数 学 试 题一 选择题(每小题5分，共60分)1．设复数1234,z i z t i =+=+且12,z z R ⋅∈则实数t 等于（ ）A ．43B ．34 C ． －43 D ．－342.已知,m n 分别是两条不重合的直线，,a b 分别垂直于两不重合平面,αβ，有以下四个命题：①若,//m a n b ⊥，且αβ⊥，则//m n ；②若//,//m a n b ，且αβ⊥，则m n ⊥； ③若//,,m a n b ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若,,m a n b ⊥⊥且αβ⊥，则//m n ．其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③3. 为得到函数2cos(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移712π个长度单位 B. 向右平移712π个长度单位C. 向左平移76π个长度单位D. 向右平移76π个长度单位4．在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足2AP PM =,则()PA PB PC ⋅+ 等于（ ）A. 49-B. 43-C. 43D. 495．在△ABC 中，tan A 是第3项为－4，第7项为4的等差数列的公差，tan B 是第3项为13，第6项为9的等比数列的公比，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形6. 一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为（ ）A ． 4243ππ++和B ．2π+和43πC ．43π和 D ．83π和 7.已知函数()sin 3,(1,1),f x x x x =+∈-，如果2(1)(1)0f a f a -+-< ，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),21,-∞-+∞B.C.(,2)-∞- D. (1,)+∞8．已知与函数()()110,1x f x a a a -=+>≠图像关于y x =对称的函数的图象恒过定点A ，且点A 在直线80mx ny +-=上，若0,0,m n >>则12m n+的最小值为（ ） Ａ.1- Ｂ.1 Ｃ.2Ｄ.9．已知,x y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a 的范围为（ ）A.1a ≥B.1a ≤-C. 11a -≤≤D. 1a ≥或1a ≤-10．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++(t 的单 位:s ,v 的单位:/m s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m )是（ ）A ．125ln5+B ．11825ln3+ C ．425ln5+ D ．450ln 2+11. 三棱锥P ABC -的四个顶点都在体积为5003π的球的表面上，底面ABC 所在的小圆的面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为（ ）A. 7B. 7.5C. 8D. 912. 函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤<+=210,12161121,1)(3x x x x x x f 和函数)0(16sin )(>+-=a a x a x g π，若存在]1,0[,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ]2321，（ B. ）2,1[C.]231，（ D.]221，（二 填空题(每小题5分，共20分).13. 如图，A 1B 1C 1﹣ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是____________. 14，已知A (－2, 3), B (3, 2)，过点P (0, －2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是____________. 15.在三棱锥P-ABC 中，给出下列四个命题：① 如果PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，那么点P 在平面ABC 内的射影是∆ABC 的垂心；② 如果点P 到∆ABC 的三个顶点的距离都相等，那么点P 在平面ABC 内的射影是∆ABC 的内心； ③ 如果棱PA 和BC 所成的角为60︒,PA=BC=2,E 、F 分别是棱PB 、AC 的中点,那么EF=1;④ 如果三棱锥P-ABC 的各棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的正投影（投影线垂直投影面）的面积都不大于12;其中正确命题的序号是____________.16．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，,2==BC AC D 是ABC ∆内切圆圆心，设P 是⊙D 外的三角形ABC 区域内的动点，若μλ+=，则点),(μλ所在区域的面积为________． 三、解答题(共70分). 17．(本小题满分10分)已知等差数列{}n a ,n S 为其前n 项的和，56a =,618S =，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3n an b =，求数列{}n b 的前n 项的和．18.（本小题满分12分）已知函数x x x x f ωωωcos sin 3cos )(2⋅-= )0(>ω的最小正周期是π.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间和对称中心； （Ⅱ）若A 为锐角ABC ∆的内角，求)(A f 的取值范围.19.（本小题满分 12 分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式()21063a y x x =+--，其中36x <<，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知2=a ，b =60B ︒=.(Ⅰ)求c 的值及ABC ∆的面积S ； （Ⅱ）求)2sin(C A +的值.21.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，22,4======BC AB AC PC PB PA (Ⅰ)求证：平面ABC ⊥平面APC(Ⅱ)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值； (Ⅲ)若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M PA C --的大小为6π，求BM 的最小值.22．（本小题满分12分）已知函数)121(ln 2)12(21)(2<<++-=a x x a ax x f ． (I)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)函数)(x f 在区间[1，2]上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由；(Ⅲ)若任意的21,x x ∈(1，2)且1x ≠2x ，证明：.21|)()(|12<-x f x f (注：)693.02ln ≈高三第四次月考数学试题答案1-5 BDAAB 6-10 ABBCC 11-12 CD13.1014.54(,)23- 15. ①③④16.1(32π--17．解：（1）依题意1146,65618.2a da d+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩………2分解得12,2.ad=-⎧⎨=⎩42-=nan.……5分（2）由（Ⅰ）可知423-=nnb，+19nnbb=，所以数列{}n b是首项为91，公比为9的等比数列，…7分1(19)19(91)1972nn-=--数列{}n b的前n项的和1(91)72n-.………………10分18. 解：（1）xxxfωω2sin2322cos1)(-+=21)32cos(++=πωx，………2分πωπ==22T，1=ω，1()cos(2)32f x xπ∴=++ ,………4分ππππππππkxkZkkxk+-≤≤+-∴∈≤+≤+-632,,2322,函数)(xf的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-ππππkk6,32，Zk∈………6分Zkkkxkx∈+∴+=+=+),21,212(212,232πππππππ对称中心为令………8分所以)(Af的取值范围为)1,21⎢⎣⎡- (2)12分19.解：(Ⅰ)因为5x=时11y=，所以101122aa+=⇒=；……………2分(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量2210(6)3y xx=+--，所以商场每日销售该商品所获得的利润：121)32cos(21,20<++≤-∴<<ππAA222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-，……………4分()()()()()2()1062363046f x x x x x x ⎡⎤'∴=-+--=--⎣⎦， ……………7分令/()0f x =得4x =，或6x =（舍去），函数()f x 在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当4x =时，函数()f x 取得最大值(4)42f =.………11分答：当销售价格4x =时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. ……………12分20.解：（Ⅰ） 2a =，b =60B ︒=，由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-. ………2分2174222c c ∴=+-⨯⨯⨯.3分2230c c ∴--=. 3c =或1c =-（舍）. ∴3c =. …4分∴1sin 2S ac B =132222=⨯⨯⨯=. …6分（Ⅱ）在ABC ∆中，b =60B =?， ∴2sin A=. …8分∴sin A =…9分 a b <， ∴A 为锐角.∴cos A =. …10分180120A C B +=?=?，∴()()1sin 2sin 120sin 2214A C A A A +=?=-=…12分 21．解：（1）取AC 中点O,因为AP=BP ，所以OP ⊥OC 由已知易得三角形ABC 为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA ≌⊿POB ≌⊿POC,∴OP ⊥OB ，∴OP ⊥平面ABC, ∵OP 在平面PAC 中，∴平面ABC ⊥平面APC .……4分（2）以O 为坐标原点,OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, 32), ……5分∴)32,2,0(),32,0,2(),0,2,2(=-=-=→→→AP PB BC 设平面PBC的法向量),,(1z y x n =，由0,011=∙=∙n PB n BC 得方程组：⎩⎨⎧=-=+-0322022z x y x ，取)1,3,3(1=→n ……6分 ∴ 721,cos 1>=<→→n AP .∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为721. ……8分（3）由题意平面PAC 的法向量)0,0,2(2→→==OB n ， 设平面PAM 的法向量为)0,,(),,,(3n m M z y x n = ∵)0,2,(),32,2,0(+==n m 又因为0,033=∙=∙n AM n .∴⎩⎨⎧=++=+0)2(0322y n m x z y 取)1,3,)2(3(3-+=mn n.2223cos ,(2)422n n n m n m <>=⇒+=⇒+= 2222264(2)51285()55BM m n m m m =-+=-+=-+，minBM=，此时62(,,0)55M ……12分22.解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >.（Ⅰ） (1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ……………2分112a << ，112a ∴<<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a 上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. …………4分 （Ⅱ）先求()f x 在[1,2]x ∈的最大值.由（Ⅰ）可知，当112a <<时，()f x 在1[1,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， Ax故max 11()()22ln 2f x f a a a==---.………………6分 由12a >可知11ln ln ln 12e a >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 故不存在符合条件的a ，使得()0f x >. ………………8分 （Ⅲ）当112a <<时，()f x 在1[1,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 只需证明11()(1)2f f a -<，11()(2)2f f a -<都成立， 也可得证命题成立．………………10分131()(1)12ln 22a f f a a a-=--- 设31()12ln 22a g a a a =---，2(31)(1)()02a a g a a--'=<， ()g a ∴在1(,1)2上是减函数，151()()2ln 2242g a g <=-<11()(2)22ln 22f f a a a a-=-- 设1()22ln 22h a a a a=--，22(21)()02a h a a -'=> ()h a ∴在1(,1)2上是增函数，311()(1)2ln 21ln 4222h a h <=-=+-<综上述命题成立. ………………12分 另解:当112a <<时，2()(21)f x ax a x '=+-+，(1,2)x ∈()f x '在（上单调递减，在2）上单调递增，(1)10f a '=->， (2)0f '=，2212f a '=-+-=--由导数的几何意义有对任意12,(1,2)x x ∈，12x x ≠2121max21()()1()()()2f x f x f x f x f x x x -'-≤<<-．…………12分。