【优化方案】高考理数大一轮总复习练习：专题讲座五(含答案解析)

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2021年高考数学第一轮复习课后练习册子及其答案和详细解析

高考Байду номын сангаас复习课程--2021 年高考数学第一轮总复习
强化练习题
目录
第 1 讲集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第五章第4讲知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第五章第4讲知能训练轻松闯关1．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，n ∈N *，则S 60的值为( ) A ．990 B ．1 000 C ．1 100 D ．99解析：选A.n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.2．(2015·山东济南期末)已知{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( )A ．40B ．200C ．400D ．20解析：选C.S 20－2S 10＝20（a 1＋a 20）2－2×10（a 1＋a 10）2＝10(a 20－a 10)＝100d .又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d ，∴d ＝4. ∴S 20－2S 10＝400.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.158解析：选C.设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9（1－q 3）1－q ＝1－q61－q，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.4．(2015·皖西七校联考(一))已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan 225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 016＝( )A ．2 016B ．－2 016C ．3 024D ．－3 024解析：选C.∵a 1＝tan 225°＝1，∴a 5＝13a 1＝13，则公差d ＝a 5－a 15－1＝13－14＝3，∴a n ＝3n －2，∴(－1)n a n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 016＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＋…＋(a 2 016－a 2 015)＝1 008d ＝3 024.5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为( )A ．－34B ．－815C.34D.815解析：选 B.设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1，故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .所以1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为12⎝⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋116－3－116－1 ＝－815.6．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为________．解析：a 1＋...＋a k ＋...＋a 10 ＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－（2＋20）×102＝240－110＝130.答案：1307．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________．解析：a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n－1－12. 答案：－2 2n －1－128．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．(2014·高考安徽卷)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列{a n n }是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2. 从而b n ＝n ·3n.S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.② ①－②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32.所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.10．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N *恒成立．若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， ∵a 3－a 2＝8，则a 2＝8， ∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n （n ＋3）4.∴1S n ＝4n （n ＋3）＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3. ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13<229， ∴存在正整数k 的最小值为3.1．(2015·唐山市第一次模拟)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n＋1，则∑k ＝1na 2k ＝( )A.n （n ＋5）2B.3n （n ＋1）2C.n （5n ＋1）2D.（n ＋3）（n ＋5）2解析：选B.当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2，即3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3，当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得：3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴∑k ＝1na 2k ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n （n －1）2×3＝3n （n ＋1）2.2．已知F (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝n －1B ．a n ＝nC ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n 2解析：选C.∵F (x )＋F (－x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋12＝2，即若a ＋b ＝1，则f (a )＋f (b )＝2.于是，由a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，得2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋[f (1)＋f (0)]＝2n ＋2，∴a n ＝n ＋1.故选C.3．(2015·辽宁省五校上学期联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)na n ＝1.记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________．解析：依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.答案：4804．(2015·湖南长郡中学、衡阳八中等十二校联考)定义：称nx 1＋x 2＋…＋x n为n 个正数x 1，x 2，…，x n 的“平均倒数”，若正项数列{c n }的前n 项的“平均倒数”为12n ＋1，则数列{c n }的通项公式为c n ＝________．解析：由已知可得，数列{c n }的前n 项和S n ＝n (2n ＋1)，所以数列{c n }为等差数列，首项c 1＝S 1＝3，c 2＝S 2－S 1＝10－3＝7，故公差d ＝c 2－c 1＝7－3＝4，得数列的通项公式为c n ＝c 1＋(n －1)×4＝4n －1.答案：4n －15．(2015·广东广州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋pn ＋q (p ，q ∈R )，且a 2，a 3，a 5成等比数列．(1)求p ，q 的值；(2)若数列{b n }满足a n ＋log 2n ＝log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)法一：当n ＝1时， a 1＝S 1＝1＋p ＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋pn ＋q －[(n －1)2＋p (n －1)＋q ]＝2n －1＋p . ∵{a n }是等差数列，∴1＋p ＋q ＝2×1－1＋p ，得q ＝0. 又a 2＝3＋p ，a 3＝5＋p ，a 5＝9＋p ， ∵a 2，a 3，a 5成等比数列， ∴a 23＝a 2a 5，即(5＋p )2＝(3＋p )(9＋p )，解得p ＝－1.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .∵S n ＝n 2＋pn ＋q ，∴d 2＝1，a 1－d2＝p ，q ＝0. ∴d ＝2，p ＝a 1－1，q ＝0. ∵a 2，a 3，a 5成等比数列， ∴a 23＝a 2a 5，即(a 1＋4)2＝(a 1＋2)(a 1＋8)，解得a 1＝0. ∴p ＝－1.(2)由(1)得a n ＝2n －2. ∵a n ＋log 2n ＝log 2b n ，∴b n ＝n ·2a n ＝n ·22n －2＝n ·4n －1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n ＝40＋2×41＋3×42＋…＋(n －1)·4n －2＋n ·4n －1，①4T n ＝41＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n，②①－②得－3T n ＝40＋41＋42＋…＋4n －1－n ·4n ＝1－4n 1－4－n ·4n＝（1－3n ）·4n－13.∴T n ＝19[(3n －1)·4n＋1]．6．(选做题)(2015·浙江杭州第一次质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n，其中n ∈N *.(1)设b n ＝22a n －1，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设c n ＝4a n n ＋1，数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2(常数)， ∴数列{b n }是等差数列． ∵a 1＝1，∴b 1＝2，因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，由b n ＝22a n －1，得a n ＝n ＋12n.(2)由c n ＝4a n n ＋1，a n ＝n ＋12n ，得c n ＝2n，∴c n c n ＋2＝4n （n ＋2）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3，依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立，只需1c m c m ＋1≥3，即m （m ＋1）4≥3，解得m ≥3或m ≤－4，又m 为正整数，所以m 的最小值为3.。

【优化方案】高考理数大一轮总复习练习：专题讲座四(含答案解析)

1.如图，ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，E 、F 分别是AD 、DD 1的中点，则平面EFC 1B 和平面BCC 1所成二面角的正切值等于( ) A ．22 B. 3 C. 5 D.7解析：选A.设正方体的棱长为2，建立以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E(1，0，0)，F(0，0，1)，EB →＝(1， 2，0)，EF →＝(－1，0，1)．易知平面BCC 1的一个法向量为CD →＝(0，－2，0)，设平面EFC 1B 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则m·EB →＝x ＋2y ＝0，m·EF →＝－x ＋z ＝0，令y ＝－1，则m ＝(2，－1，2)，故cos 〈m ，CD →〉＝m·CD →|m||CD →|＝23×2＝13，tan 〈m ，CD →〉＝2 2.故所求二面角的正切值为2 2.2．(2016·唐山统考)已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，AB ＝BC ＝3，AC ＝3，若三棱锥D-ABC 体积的最大值为334，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．16πC ．12πD.163π 解析：选B.由题意可得，∠ABC ＝2π3，△ABC 的外接圆半径r ＝3，当三棱锥的体积取最大值时，V D ABC ＝13S △ABC ·h(h 为点D 到底面ABC 的距离)⇒334＝13×334×h ⇒h ＝3，设R为球O 的半径，则(3－R)2＝R 2－r 2⇒R ＝2，所以球O 的表面积为4π·22＝16π.3．已知多面体ABC-A 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示，则平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值是________．解析：由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A 1(0，0，2)，B(－2，0，0)，C(0，－2，0)，C 1(－1，－1，2)，则CC 1→＝(－1，1，2)，A 1C 1→＝(－1，－1，0)，A 1C →＝(0，－2，－2)．设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则由⎩⎪⎨⎪⎧m·A 1C 1→＝0，m·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－2y －2z ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1， 1)，而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝13＝33，故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33.答案：334.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折，给出下列四个结论：①DF ⊥BC ；②BD ⊥FC ；③平面BDF ⊥平面BCF ；④平面DCF ⊥平面BCF ，则上述结论可能正确的是________．解析：对于①，因为BC ∥AD ，AD 与DF 相交但不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立；对于②，设点D 在平面BCF 上的射影为点P ，当BP ⊥CF 时就有BD ⊥FC ，而AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D 在平面BCF 上的射影P 落在BF 上时，DP平面BDF ，从而平面BDF ⊥平面BCF ，所以③正确；对于④，因为点D 在平面BCF 上的射影不可能在FC 上，所以④不成立．答案：②③ 5．(2016·九江统考)如图所示，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB ＝λAD ＝λAA′(λ>0)，E ，F 分别是A′C′和AD 的中点，且EF ⊥平面A′BCD′. (1)求λ的值；(2)求二面角C A ′B E 的余弦值．解：以D 为原点，DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设AA′＝AD ＝2，则AB ＝2λ，D(0，0，0)，A ′(2，0， 2)，D ′(0，0，2)，B(2，2λ，0)，C(0，2λ，0)，E(1，λ，2)，F(1，0，0)．(1)EF →＝(0，－λ，－2)，D ′A ′→＝(2，0，0)，A ′B →＝(0，2λ，－2)，因为EF ⊥D′A′，EF ⊥A ′B ，所以EF →·D ′A ′→＝0，EF →·A ′B →＝0，即－2λ2＋4＝0，所以λ＝ 2.(2)设平面EA′B 的一个法向量为m ＝(1，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m·A′B →＝0，m·A′E →＝0，因为A ′B →＝(0，22，－2)，A ′E →＝(－1，2，0)，所以⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－1＋2y ＝0，所以y ＝22，z ＝1，所以m ＝⎝⎛⎭⎫1，22，1. 由已知得EF →为平面A′BC 的一个法向量，又EF →＝(0，－2，－2)，所以cos 〈m ，EF →〉＝m·EF →|m|·|EF →|＝－1－212＋⎝⎛⎭⎫222＋12×02＋（－2）2＋（－2）2＝－3102×6＝－155.又二面角CA′BE 为锐二面角，所以二面角CA′BE 的余弦值为155. 6．(2015·高考江苏卷)如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2， PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．(1)由题意知，AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)．因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)．设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则m·PC →＝0，m·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1. 所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量．从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m|＝33，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP →＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)，又CB →＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)，又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2 . 设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝⎛⎭⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.1．(2016·宣城一模)如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，O 为CD的中点，沿AO 将三角形AOD 折起，使DB ＝ 3.(1)求证：平面AOD ⊥平面ABCO ； (2)求直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值．解：(1)证明：在矩形ABCD 中，因为AB ＝2AD ＝2，O 为CD 的中点，所以△AOD ，△BOC 为等腰直角三角形，所以∠AOB ＝90°，即OB ⊥OA.取AO 的中点H ，连接DH ，BH ，则OH ＝DH ＝12AO ＝22，在Rt △BOH 中，BH 2＝BO 2＋OH 2＝52，在△BHD 中，DH 2＋BH 2＝⎝⎛⎭⎫222＋52＝3，又DB 2＝3，所以DH 2＋BH 2＝DB 2，所以DH ⊥BH.又DH ⊥OA ，OA ∩BH ＝H ，所以DH ⊥平面ABCO. 而DH平面AOD ，所以平面AOD ⊥平面ABCO.(2)分别以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，2，0)，A(2，0，0)， D ⎝⎛⎭⎫22，0，22，C ⎝⎛⎭⎫－22，22，0. 所以AB →＝(－2，2，0)， AD →＝⎝⎛⎭⎫－22，0，22，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，0.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，由⎩⎪⎨⎪⎧n·AB →＝0，n·AD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－22x ＋22z ＝0，即x ＝y ，x ＝z ，令x ＝1，则y ＝z ＝1，n ＝(1，1，1)．设α为直线BC 与平面ABD 所成的角，则sin α＝|BC →·n||BC →|·|n|＝23＝63，即直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值为63.2.如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°. (1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F-BE-D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．解：(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC. 因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，又DE∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面BDE. (2)因为DE ⊥平面ABCD ，所以∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°.所以EDBD＝ 3.由AD ＝3，得BD ＝32，DE ＝36，AF ＝ 6.如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，F(3，0，6)，E(0，0，36)， B(3，3，0)，C(0，3，0)．所以BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3，0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·BF →＝0，n·EF →＝0，即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4，2，6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →＝(3，－3，0)为平面BDE 的一个法向量．因为cos 〈n ，CA →〉＝n·CA →|n||CA →|＝626×32＝1313.故二面角F-BE-D 的余弦值为1313. (3)依题意，设M(t ，t ，0)(t>0)，则AM →＝(t －3，t ，0)，因为AM ∥平面BEF ，所以AM →·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2. 所以点M 的坐标为(2，2，0)，此时DM →＝23DB →，所以点M 是线段BD 上靠近B 点的三等分点．。

广东新高考数学理科一轮总复习课时练习5.6不等式选讲(含答案详析)

第6讲不等式选讲1．不等式|x －2|>x －2的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)2．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥33．不等式1≤|x －3|≤6的解集是( )A ．{x |－3≤x ≤2或4≤x ≤9}B ．{x |－3≤x ≤9}C ．{x |－1≤x ≤2}D ．{x |4≤x ≤9}4．若不等式|ax ＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a 等于( )A ．8B ．2C ．－4D ．－25．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( )A ．[－5,7]B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)6．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围________．7．(2011年天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，则集合A ∩B ＝__________. 8．(2011年陕西)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________．9．已知函数f (x )＝|x －7|－|x －3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)当x <5时，不等式|x －8|－|x －a |>2恒成立，求a 的取值范围．10．(2013年新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．第6讲不等式选讲1．A 2.D 3.A 4.D5．D 解析：方法一：当x ≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x ≥10，即x ≤－4，∴x ≤－4.当－3<x <5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x ≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，即x ≥6，∴x ≥6. 综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．故选D.方法二：可用特值检验法，首先x ＝0不是不等式的解，排除A 、B ；x ＝6是不等式的解，排除C.故选D.6．(5,7) 7.{x |－2≤x ≤5}8．(－∞，－3]∪[3，＋∞) 解析：当x ≤－1时，|x ＋1|＋|x －2|＝－x －1－x ＋2＝－2x ＋1≥3；当－1<x ≤2时，|x ＋1|＋|x －2|＝x ＋1－x ＋2＝3；当x >2时，|x ＋1|＋|x －2|＝x ＋1＋x －2＝2x －1>3；综上可得|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以只要|a |≥3，解得a ≤－3或a ≥3.即实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．9．解：(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，(x ≤3)，10－2x ，(3<x <7)，－4(x ≥7)，图象如图D75所示．(2)∵x <5，∴|x －8|－|x －a |>2，即8－x －|x －a |>2，即|x －a |<6－x ，对x <5恒成立．即x －6<x －a <6－x 对x <5恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，a >2x －6对x <5恒成立．又∵x <5时，2x －6<4，∴4≤a <6.∴a 的取值范围为[4,6)．图D7510．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图D76所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．图D76 (2)当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎝⎛⎭⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43.。

2021年高考数学一轮复习专题讲座五知能训练轻松闯关

2021年高考数学一轮复习专题讲座五知能训练轻松闯关1．(xx·郑州市质检)每年春季在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”活动，已成为最有影响力的全民健康活动之一，每年的参与人数不断增多，然而也有部分人对该活动的实际效果提出了疑问．对此，某新闻媒体进行了网上调查，在所有参与调查的人中，持“支持”、“保留意见”和“不支持”态度的人数如下表所示：(1)个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；(2)接受调查的人同时要对这项活动进行打分，其中6人打出的分数如下：9．2，9．6，8．7，9．3，9．0，8．2，把这6个人打出的分数看作一个总体，从中任取2个数，求这2个数与总体平均数之差的绝对值都不超过0．5的概率．解：(1)所有参与调查的人数为800＋100＋450＋150＋200＋300＝2 000，由分层抽样知：n＝45900×2 000＝100．(2)总体平均数x－＝9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.26＝9．0，从这6个数中任取2个的所有可能取法为：(9．2，9．6)、(9．2，8．7)、(9．2，9．3)、(9．2，9．0)、(9．2，8．2)、(9．6，8．7)、(9．6，9．3)、(9．6，9．0)、(9．6，8．2)、(8．7，9．3)、(8．7，9．0)、(8．7，8．2)、(9．3，9．0)、(9．3，8．2)、(9．0，8．2)，共计15种．由|x－9．0|≤0．5知，当所取的2个数都在[8．5，9．5]内时符合题意，即(9．2，8．7)、(9．2，9．3)、(9．2，9．0)、(8．7，9．3)、(8．7，9．0)、(9．3，9．0)符合，共计6种，所以所求概率P＝615＝25．2．(xx·东北四市联考) 在海岛A上有一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观察站P．有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11∶00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处，到11∶10时，又测得该船在岛北偏西45°，俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度；(2)求船从B到C的行驶过程中与观察站P的最短距离．解：(1)设船速为x km/h，则BC＝x6km．在Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，∴AB＝1tan 30°＝3．同理，在Rt△PCA中，AC＝1tan 60°＝33．在△ACB 中，∠CAB ＝15°＋45°＝60°，∴由余弦定理得BC ＝（3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332－2×3×33cos 60°＝213， ∴x ＝6×213＝221(km/h)， ∴船的航行速度为221 km/h ．(2)法一：作AD ⊥BC 于点D (图略)，∴当船行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小．此时，AD ＝AB ·AC ·sin 60°BC ＝3×33×32213＝3147． ∴PD ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31472＝25914． ∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为25914km ．法二：由(1)知在△ACB 中，由正弦定理ACsin B ＝BC sin 60°，∴sin B ＝33×32213＝2114．作AD ⊥BC 于点D (图略)，∴当船行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小．∴PD ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31472＝25914． ∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为25914 km ． 3．(xx·福建福州模拟)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有(8－t －251×0．2)t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40．∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋15x有解，等价于x＞25时，a≥150x＋16x＋15有解，∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10．2．∴当该商品明年的销售量a至少应达到10．2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．4．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年投入各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)．(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．问哪种方案较合算？解：由题意知，每年投入的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．则f(n)＝50n－[12n＋n（n－1）2×4]－72＝－2n2＋40n－72．(1)获取纯利润就是要求f(n)＞0，故由－2n2＋40n－72＞0，解得2＜n＜18．又n∈N*，故从第三年开始获利．(2)①平均利润为f（n）n＝40－2(n＋36n)≤16，当且仅当n＝6时取等号．故此方案获利6×16＋48＝144万美元，此时n＝6．②f(n)＝－2n2＋40n－72＝－2(n－10)2＋128，当n＝10时，f(n)max＝128．故此方案共获利128＋16＝144万美元．比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案较合算． a`24635 603B 总<J26336 66E0 曠29993 7529 甩22402 5782 垂{I{34373 8645 虅29824 7480 璀29377 72C1 狁。

2017《优化方案》高考理科数学(北师大版)一轮复习练习选修4-5不等式选讲第2讲知能训练轻松闯关Word版含答

1．如果x >0，比较(x －1)2与(x ＋1)2的大小．解：(x －1)2－(x ＋1)2＝[(x －1)＋(x ＋1)][(x －1)－(x ＋1)]＝－4x .因为x >0，所以x >0，所以－4x <0，所以(x －1)2<(x ＋1)2.2．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 证明：法一：a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b＝a 3－b 3－ab 2＋a 2b －a 3＋b 3＋a 2b －ab 2（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝2a 2b －2ab 2（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ），因为a >b >0，所以a －b >0，ab >0，a 2＋b 2>0，a ＋b >0.所以a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b>0，所以a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 法二：因为a >b >0，所以a ＋b >0，a －b >0.所以a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a 2－b 2a 2＋b 2·a ＋b a －b＝（a ＋b ）2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. 所以a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 3．(2015·高考湖南卷)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a >0，b >0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．4．已知a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c .证明：法一：因为a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，所以a ＋b ＋c ＝ 1bc ＋ 1ca ＋ 1ab <1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c. 所以a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 法二：因为1a ＋1b ≥21ab＝2c ； 1b ＋1c ≥21bc ＝2a ；1c ＋1a ≥21ac＝2b . 所以以上三式相加，得1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋c . 又因为a ，b ，c 互不相等，所以1a ＋1b ＋1c >a ＋b ＋c . 法三：因为a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .所以a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 5．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3. 由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.6．(2016·贵州省六校第一次联考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b＝2⎝⎛⎭⎫a ＋b a ＋a ＋b b＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ×a b＋4＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，所以1a ＋1b ＋1ab≥8. (2)因为⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8. 所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9.。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第五章第5讲知能训

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第五章第5讲知能训练轻松闯关1．(2015·山西省四校联考)设等差数列{a n }和等比数列{b n }首项都是1，公差与公比都是2，则ab 1＋ab 2＋ab 3＋ab 4＋ab 5＝( )A ．54B ．56C ．58D ．57解析：选 D.由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4，5}B ．{4，32}C ．{4，5，32}D ．{5，32}解析：选C.a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.3．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0解析：选C.设b n ＝2a 1 a n ，则b n ＋1＝2a 1 a n+1 ，由于{2 a 1 a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2 a 1a n >2 a 1 a n+1 .∵y ＝2x是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.4．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n ＋1＝a n ＋n ·2n，则a n ＝( )A ．(n －2)·2nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，所以a n ＋1－a n ＝n ·2n，所以a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n－1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)．设T n ＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)，则2T n ＝(n －1)×2n＋(n －2)×2n －1＋(n －3)×2n －2＋…＋2×23＋1×22，两式相减得T n ＝(n －2)·2n＋2(n ≥2)，所以a n ＝(n －2)·2n ＋2＋a 1＝(n －2)·2n (n ≥2)．又n ＝1时，上式成立，所以选A.5．(2015·湖南澧县一中等三校联考)在等比数列{a n }中，0<a 1<a 4＝1，则能使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0成立的最大正整数n 是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，其公比为1q，因为0<a 1<a 4＝1，所以q >1且a 1＝1q3.又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即a 1（1－q n ）1－q≤1a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－1q，把a 1＝1q3代入，整理得q n ≤q 7，因为q >1，所以n ≤7，故选C.6．(2013·高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64，27＝128.则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：6 7．在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________．解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，又a n >0，∴a 4a 5＝2.再由基本不等式，得a 4＋a 5≥2a 4a 5＝2 2.∴a 4＋a 5的最小值为2 2.答案：2 28．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”．答案：是9．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ，∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数， ∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋n （n －1）2×(－1)＝9n －n22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n (n ∈N *)．10．(2014·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…·a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n . 解：(1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1，而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0，得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1，所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。

优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习第六章第5讲 .

所以 AP∥平面 BEF.
②由题意知 ED∥BC，ED＝BC，所以四边形 BCDE 为平行四边形，因此 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD，所以 AP⊥CD，因此 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面 PAC，
所以 BE⊥平面 PAC.
[解] (1)①由已知得 2Sn＝a2n＋an，且 an>0，当 n＝1 时， 2a1＝a21＋a1，解得 a1＝1(a1＝0 舍去)；当 n≥2 时，有 2Sn－1＝a2n－1＋an－1. 于是 2Sn－2Sn－1＝a2n－a2n－1＋an－an－1，即 2an＝an2－an2－1＋an－an－1. 于是 an2－an2－1＝an＋an－1，即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1. 因为 an＋an－1>0，所以 an－an－1＝1(n≥2)．故数列{an}是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
2．证题的三种思路 (1)分析法证题的一般思路：分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件． (2)综合法证题的一般思路：用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．
法二：由两直线平行可知 bcos B－acos A＝0，由余弦定理，得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a＝b 或 a2＋b2＝c2. 若 a＝b，则两直线重合，不符合题意，

2021-2022年高考数学大一轮复习精品讲义第五章数列(含解析)

2021-2022年高考数学大一轮复习精品讲义第五章数列（含解析）对应学生用书P71基础盘查一数列的有关概念(一)循纲忆知了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n项和)(二)小题查验1．判断正误(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列( )(2)同一个数在数列中可以重复出现( )(3)a n与{a n}是不同的概念( )(4)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材例题改编)写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－12，13，－14；(2)2,0,2,0.答案：(1)a n＝－1n＋1n(2)a n＝(－1)n＋1＋1基础盘查二数列的表示方法(一)循纲忆知1．了解数列三种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)；2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．(二)小题查验1．判断正误(1)数列是一种特殊的函数( )(2)毎一个数列都可用三种表示法表示( )(3)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对∀n∈N*，都有a n＋1＝S n＋1－S n( )答案：(1)√(2)×(3)√2．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝an2a n＋3，则a5等于________．答案：1 161基础盘查三数列的分类(一)循纲忆知了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等)．(二)小题查验1．(人教B版教材例题改编)已知函数f(x)＝x－1x，设a n＝f(n)(n∈N*)，则{a n}是________数列(填“递增”或“递减”)答案：递增2．对于数列{a n}，“a n＋1＞|a n|(n＝1,2…)”是“{a n}为递增数列”的________条件．答案：充分不必要对应学生用书P71[必备知识]数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[提醒] 不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一．[题组练透]1．已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎨⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数，②a n ＝1＋－1n2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④解析：选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式． 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)，n ∈N *. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n×1nn ＋1，n ∈N *.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1，n ∈N *.[类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．考点二由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)[必备知识]数列的前n 项和通常用S n 表示，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则通项a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[提醒] 若当n ≥2时求出的a n 也适合n ＝1时的情形，则用一个式子表示a n ，否则分段表示．[典题例析]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n＋b . 解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[类题通法]已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[演练冲关]已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n＋2n ＋1，求a n .解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合于此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.考点三由递推关系式求数列的通项公式(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．[多角探明]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.n ＋1n n 1．在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .求数列{a n }的通项公式．解：由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3. 以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n n ＋12.又∵a 1＝1，∴a n ＝n n ＋12.角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n 2．(1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，求数列{a n }的通项公式． (2)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，求数列{a n }的通项公式．解：(1)由题意，得a n ＋1－a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3－1n .(2)由题意知a n ＋1－a n ＝2n，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.角度四：形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n 4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． [类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三、四)转化为特殊数列求通项．对应A 本课时跟踪检测二十九一、选择题1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A.n2n ＋1 B.n 2n －1 C.n2n －3D.n 2n ＋3解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1B ．n 2C.n ＋12n 2D.n 2n －12解析：选D 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2n －12.3．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92D.132解析：选B ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72.故选B.4．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024解析：选C 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8，a 9＝512.故选C.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝kn 2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)解析：选A 由S n ＝kn 2得a n ＝k (2n －1)．因为a n ＋1＞a n ，所以数列{a n }是递增的，因此k ＞0，故选A.6．(xx·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 二、填空题7．在数列－1,0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的第____________项．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：108．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3－3×2n ，n ∈N *，则a n ＝________. 解析：分情况讨论：①当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－3×21＝－3；②当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3－3×2n)－(3－3×2n －1)＝－3×2n －1.综合①②，得a n ＝－3×2n －1.答案：－3×2n －19．(xx·大连双基测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n－1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n＋3，两式相减得a n ＝3n.答案：3n10．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：28 三、解答题11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2n －1(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2n －1＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．第二节等差数列及其前n 项和对应学生用书P73基础盘查一等差数列的有关概念 (一)循纲忆知理解等差数列的概念(定义、公差、等差中项)． (二)小题查验 1．判断正误(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列的公差是相邻两项的差( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．(人教A 版教材例题改编)判断下面数列是否为等差数列．(只写结果) (1)a n ＝2n －1； (2)a n ＝pn ＋q (p 、q 为常数)．答案：(1)是 (2)是基础盘查二等差数列的有关公式 (一)循纲忆知1．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；2．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题； 3．了解等差数列与一次函数的关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的( )(2)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数( )(3)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝________.答案：114(75n －5n 2)基础盘查三等差数列的性质 (一)循纲忆知掌握等差数列的性质及其应用． (二)小题查验1．判断正误(1)在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q ，则一定有m ＋n ＝p ＋q ( ) (2)数列{a n }，{b n }都是等差数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等差数列( )(3)等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，一定还是等差数列( )(4)数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋5，则数列{a n }的公差与函数y ＝3x ＋5的图象的斜率相等( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．(北师大版教材例题改编)已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________ 答案：－15－n3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于________．答案：88对应学生用书P74考点一等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n2.[题组练透]1．(xx·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－723.在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.[类题通法]等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．考点二等差数列的判断与证明(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识](1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．[提醒] 要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．[一题多变][典型母题]已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．[解] (1)证明：∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n.由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12nn －1，又∵a 1＝12，不适合上式．∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.[题点发散1] 试说明本例中数列{a n }是不是等差数列．解：当n ≥2时，a n ＋1＝－12n n ＋1，而a n ＋1－a n ＝－12n n ＋1－－12nn －1＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n n －1n ＋1.∴当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列． [题点发散2] 若将本例条件改为“a 1＝2，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)”，问题不变，试求解．解：(1)∵S n ＝S n －12S n －1＋1，∴1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2.∴1S n －1S n －1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，即S n ＝12n －32. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝1，－2⎝⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72n ≥2.[题点发散3] 若本例变为：已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1，∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列． [类题通法]等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .[提醒] 在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．考点三等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.[典题例析]1．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24D ．－8解析：选C ∵a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24， ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.2．(xx·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．解析：∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，∴a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，∴a 9＜0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大．答案：83．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 答案：604．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.∵a 1＋a n ＝36，n ＝18，∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.[类题通法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . [演练冲关]1．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37解析：选C 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.2．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．解：∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.法二：∴S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 法三：由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.对应B 本课时跟踪检测三十[A 卷——夯基保分]一、选择题1．设S n 为等差数列的前n 项和，公差d ＝－2，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝0.又已知d ＝－2，则a 11＝a 1＋10d ＝a 1＋10×(－2)＝0，解得a 1＝20.2．(xx·兰州、张掖联考)等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156解析：选B ∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24， ∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝13×42＝26，故选B.3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C 由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10.4．(xx·辽宁鞍山检测)已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( )A ．1 006×2 013B ．1 006×2 014C ．1 007×2 013D ．1 007×2 014解析：选C 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.5．(xx·洛阳统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.6．(xx·河北唐山一模)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( )A.n n ＋52 B.n 5n ＋12C.3nn ＋12D.n ＋3n ＋52解析：选C 当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2,3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3.当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n n －12×3＝3n n ＋12，选C.二、填空题7．(xx·江西高考)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78 8．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．解析：∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0. ∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10. 答案：109．(xx·无锡一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，所以数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案：21110．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数，故使得a n b n为整数的正整数n 的个数是5.答案：5 三、解答题11．(xx·长春调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 1＝3，S 5－S 2＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S n,22(a n ＋1＋1)，S n ＋2成等比数列，求正整数n 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S 5－S 2＝3a 1＋9d ＝27，又a 1＝3，则d ＝2，故a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可得S n ＝n 2＋2n ，又S n ·S n ＋2＝8(a n ＋1＋1)2，即n (n ＋2)2(n ＋4)＝8(2n ＋4)2，化简得n 2＋4n －32＝0，解得n ＝4或n ＝－8(舍)，所以n 的值为4.12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求a n 和S n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .解：(1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴通项公式a n ＝4n －3. ∴S n ＝na 1＋n n －12×d ＝2n 2－n .(2)由(1)知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.[B 卷——增分提能]1．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.∴a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2n ＋1－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小． ∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15－29＋2×15－312＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.2．(xx·安徽宿州调研)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：∵f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， ∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， ∴数列{a n }为等差数列．(2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， ∴当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝n [5＋8－3n ]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8)＝7＋n －2[1＋3n －8]2＝3n 2－13n ＋282.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.3．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2， ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋9n .(2){S n }是“特界”数列，理由如下：由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝S n ＋2－S n ＋1－S n ＋1－S n2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①.而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n ∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．第三节等比数列及其前n 项和对应学生用书P76基础盘查一等比数列的有关概念 (一)循纲忆知理解等比数列的概念(定义、公比、等比中项)． (二)小题查验 1．判断正误(1)常数列一定是等比数列( ) (2)等比数列中不存在数值为0的项( )(3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列( ) (4)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≠1 B ．a ≠0或a ≠1 C ．a ≠0 D ．a ≠0且a ≠1答案：D基础盘查二等比数列的有关公式(一)循纲忆知1．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题； 3．了解等比数列与指数函数的关系． (二)小题查验 1．判断正误(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n( )(2)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a( )答案：(1)× (2)×2．(人教A 版教材习题改编)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则q ＝________，S 4＝________.答案：－4 51基础盘查三等比数列的性质 (一)循纲忆知掌握等比数列的性质及应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)q ＞1时，等比数列{a n }是递增数列( )(2)在等比数列{a n }中，若a m ·a n ＝a p ·a q ，则m ＋n ＝p ＋q ( )(3)在等比数列{a n }中，如果m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，那么a m ·a n ＝a 2k ( )(4)若数列{a n }是等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列( )(5)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×2．(北师大版教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列 C ．公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列答案：B对应学生用书P76考点一等比数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.[提醒] 运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论．[题组练透]1．(xx·东北三校联考)已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为( )A.43(210－1) B.43(210＋1) C.43(2－10－1) D.43(2－10＋1) 解析：选C ∵2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1a n ＝－12.又a 2＝1，∴a 1＝－2，∴数列{a n }是首项为－2，公比为q ＝－12的等比数列，∴S 10＝a 11－q101－q＝－21－2－101＋12＝43(2－10－1)，故选C. 2．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：选C 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，∴1＋q ＋q2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.3．(xx·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1解析：选D 设{a n}的公比为q ，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52 ①，a 1q ＋a 1q 3＝54②，由①②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n＝2n －1，选D.4．设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13.当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1，两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)，即6a n ＝9(a n －a n －1)，∴a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)∵b n ＝1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，∴{b n }是首项为3，公比为13的等比数列，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .[类题通法]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.考点二等比数列的判定与证明(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的表达式为a n ＋1a n＝q . 2．等比中项G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .[提醒] 在等比数列中每项与公比都不为0.[一题多变][典型母题]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知c n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n∴a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.[题点发散1] 在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2), 证明：{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∴b n ＋1b n ＝12，数列{b n }是等比数列． [题点发散2] 本例条件变为：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．试判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列．解：由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n.令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n . ∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列． [类题通法]等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．考点三等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k，…为等比数列，公比为q k；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 4n 不一定构成等比数列．[典题例析]1．(xx·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，答案：142．(xx·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋lna 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50. 答案：50[类题通法]等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[演练冲关]1．(xx·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 8＝a 6＋2a 4即为a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4，解得q 2＝2(负值舍去)，又a 2＝1，所以a 6＝a 2q 4＝4.答案：4。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第五章第2讲知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第五章第2讲知能训练轻松闯关1．(2014·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14解析：选B.法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8.2．(2015·潍坊质检)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d ＝( )A ．1B ．2C ．3 D.53解析：选B.在等差数列{a n }中，S 3＝3（a 1＋a 3）2＝3（a 1＋6）2＝12，解得a 1＝2，又a 3＝a 1＋2d ＝2＋2d ＝6，解得d ＝2.3．(2015·新乡许昌平顶山第二次调研)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选A.设等差数列的公差为d ，由等差数列的性质可得2d ＝a 3－a 1＝4，得d ＝2，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.S k ＋2－S k ＝a k ＋2＋a k ＋1＝2(k ＋2)－1＋2(k ＋1)－1＝4k ＋4＝36，解得k ＝8.4．已知函数f (x )＝2x，等差数列{a n }的公差为 2.若f (a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)＝( )A ．0B ．2－6C ．2－2D ．－4解析：选B.依题意得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝2－5×2＝－8，所以f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝2－6，故选B.5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5，6}D ．{7}解析：选C.在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0，得S 10＝10（a 1＋a 10）2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，S 11＝11（a 1＋a 11）2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6.6．(2014·高考北京卷)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．解析：∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0. ∴数列的前8项和最大，即n ＝8. 答案：87．(2015·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n }为该等差数列，依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n （a 1＋a n ）2，∴210＝70n2，∴n ＝6. 答案：68．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________．解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：1309．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1，即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2，解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)．(2)a 2n ＝4S n －2a n －1，① a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )，即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )． ∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝2n －1. 10．(2015·南昌模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n，∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，∴a n ＝1b n＝12n －1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1.1．已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且当n ＝1时其图象过点(2，8)，则a 7的值为( )A.12 B ．7 C ．5 D ．6解析：选C.由题意知y ′＝2a n x ，∴2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，∴a n －a n －1＝12.又n＝1时其图象过点(2，8)，∴a 1×22＝8，得a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公差为12的等差数列，a n ＝n 2＋32，得a 7＝5.2．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a nn}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4解析：选D.因为d >0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3nd ＝4d >0，所以p 4是真命题．3．(2015·东北三校联考)已知正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n ＋1＋a na n －1＝2，则a 12＝________．解析：∵a n a n ＋1＋a n a n －1＝2，∴1a n ＋1＋1a n －1＝2a n ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为1a 1＝12，公差为1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，∴a n ＝2n ，∴a 12＝16. 答案：164．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 答案：19415．(2014·高考湖北卷)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0，解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.6．(选做题)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3（lg a n ）（lg a n ＋1）的前n 项和，求T n ； (3)求使T n >14(m 2－5m )对所有的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合．解：(1)证明：依题意，a 2＝9a 1＋10＝100，故a 2a 1＝10. 当n ≥2时，a n ＋1＝9S n ＋10，a n ＝9S n －1＋10，两式相减得a n ＋1－a n ＝9a n ，即a n ＋1＝10a n ，a n ＋1a n＝10，故{a n }为等比数列，且a n ＝a 1q n －1＝10n (n ∈N *)， ∴lg a n ＝n .∴lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋1)－n ＝1，即{lg a n }是等差数列．(2)由(1)知，T n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝3－3n ＋1. (3)∵T n ＝3－3n ＋1， ∴当n ＝1时，T n 取最小值32.依题意有32>14(m 2－5m )，解得－1<m <6，故所求整数m 的取值集合为{0，1，2，3，4，5}．。

优化方案(新课标)高考数学一轮复习第五章第3讲知能训练轻松闯关

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习第五章第3讲知能训练轻松闯关1．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( ) A ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选C.(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.2．(2015·山东淄博期末)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：选C.由等比数列的性质得 a 3a 9＝a 26＝2a 25， ∵q >0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q＝2，故选C.3．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.15 B ．－15 C ．5 D ．－5解析：选D.由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为3的等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，又a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13(33×9)＝－5.4．(2015·四川广元质检)等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝( )A ．－20B ．15 C.152 D.203 解析：选C.因为a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，所以q 2＋q －6＝0，即q ＝2或q ＝－3(舍去)，所以a 1＝12.则S 4＝12（1－24）1－2＝152.5．已知数列{a n }，则有( )A ．若a 2n ＝4n ，n ∈N *，则{a n }为等比数列B ．若a n ·a n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，则{a n }为等比数列C ．若a m ·a n ＝2m ＋n ，m ，n ∈N *，则{a n }为等比数列D ．若a n ·a n ＋3＝a n ＋1·a n ＋2，n ∈N *，则{a n }为等比数列解析：选C.若a 1＝－2，a 2＝4，a 3＝8，满足a 2n ＝4n ，n ∈N *，但{a n }不是等比数列，故A错；若a n ＝0，满足a n ·a n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，但{a n }不是等比数列，故B 错；若a n ＝0，满足a n ·a n ＋3＝a n ＋1·a n ＋2，n ∈N *，但{a n }不是等比数列，故D 错；若a m ·a n ＝2m ＋n ，m ，n ∈N *，则有a m ·a n ＋1a m ·a n ＝a n ＋1a n ＝2m ＋n ＋12m ＋n ＝2，则{a n }是等比数列． 6．(2013·高考北京卷)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则：由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20.①由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.答案：2 2n ＋1－27．(2014·高考广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：508．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项公式a n ＝________．解析：∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1，(n ≥2)②①－②可得a n －a n －1＋a n ＝0，即得a n a n －1＝12，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，则a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n .答案：12n9．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2a 1＋4d ＝8，∴a 1＝0，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4. ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2.∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n－1.10．(2015·陕西宝鸡质检)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n，∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．1．(2015·山东莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 015＝( )A ．92 014B ．272 014C ．92 015D ．272 015解析：选D.由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n ，b n ＝3n.又c n ＝ba n ＝33n，∴c 2 015＝33×2 015＝272 015.2．(2015·广东珠海质量监测)等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N *)项，则a 2k ＋1＝192，则S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1q (a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126q＋192＝255，解得q ＝－2，而S奇＝a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－192×（－2）21－（－2）2＝255，解得a 1＝3，故选C. 3．(2015·北京市海淀区高三上学期期末测试)数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋m a m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：∵a n ＋ma m＝a n ，∴a n ＋m ＝a n ·a m ，∴a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8；令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为a 1＝2，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.答案：8 2n ＋1－24．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．解析：由条件得：f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，即a n ＋1＝a n ·12，所以数列{a n }是首项与公比均为12的等比数列，求和得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以12≤S n <1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 5．(2015·江西南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列，所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5，即2a 6－3a 5＋a 4＝0，所以2q 2－3q ＋1＝0，因为q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ， T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. 6．(选做题)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，所以q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍去)，从而a 2＝6，所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1.(2)由(1)知，c n ＝3b n －λ·2a n3＝3n－λ·2n.由题意，c n ＋1>c n 任意的n ∈N *恒成立，即3n ＋1－λ·2n ＋1>3n －λ·2n恒成立，亦即λ·2n<2·3n恒成立，即λ<2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n恒成立．由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n min＝2×32＝3，故λ<3，即λ的取值范围为(－∞，3)．。

(新课标)高考数学一轮复习专题讲座五知能训练轻松闯关

（新课标）高考数学一轮复习专题讲座五知能训练轻松闯关【优化方案】（新课标） 2016 高考数学一轮复习专题讲座五知能训练轻松闯关1．(2015 ·郑州市质检) 每年春天在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”活动，已成为最有影响力的全民健康活动之一，每年的参加人数不停增加，但是也有部分人对该活动的实质成效提出了疑问．对此，某新闻媒体进行了网上检查，在全部参加检查的人中，持“支持”、“保存建议”和“不支持”态度的人数以下表所示：支持保存建议不支持男800450200女100150300(1) 在全部参加检查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了 45 人，求n的值；(2) 接受检查的人同时要对这项活动进行打分，此中 6 人打出的分数以下： 9．2，9．6，8． 7，9． 3， 9．0， 8． 2，把这 6 个人打出的分数看作一个整体，从中任取 2 个数，求这 2个数与整体均匀数之差的绝对值都不超出0． 5 的概率．解： (1) 全部参加检查的人数为800＋ 100＋450＋ 150＋ 200＋ 300＝ 2 000 ，45由分层抽样知： n＝900×2 000＝100．－9.2 ＋ 9.6 ＋ 8.7 ＋ 9.3 ＋ 9.0 ＋ 8.2(2) 整体均匀数x＝6＝9．0，从这 6 个数中任取 2 个的全部可能取法为： (9 ．2，9．6) 、(9 ．2，8．7) 、(9 ．2，9．3) 、(9 ． 2，9．0) 、(9 ．2，8．2) 、(9 ．6，8．7) 、(9 ．6，9．3) 、(9 ．6，9．0) 、(9 ．6，8．2) 、(8 ． 7，9．3) 、(8 ．7，9．0) 、(8 ．7，8．2) 、(9 ．3，9．0) 、(9 ．3，8．2) 、(9 ．0，8．2) ，合计 15 种．由 | x－9．0| ≤0． 5 知，当所取的 2 个数都在 [8 ． 5，9． 5] 内时切合题意，即(9 ． 2，8．7) 、(9 ．2，9． 3) 、(9 ．2，9．0) 、 (8 ．7，9．3) 、(8 ． 7，9．0) 、(9 ．3，9． 0)6 2切合，合计 6 种，因此所求概率P＝15＝5．2．(2015 ·东北四市联考)在海岛A上有一座海拔 1 km 的山岳，山顶设有一个察看站P．有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11∶00 时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为 30°的B处，到 11∶10 时，又测得该船在岛北偏西45°，俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度；(2) 求船从B到C的行驶过程中与察看站P的最短距离．x解： (1) 设船速为x km/h ，则BC＝6 km ．在 Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，1∴ AB＝tan 30°＝3．1 3同理，在 Rt △PCA中，AC＝tan 60°＝3．在△ ACB 中，∠ CAB ＝ 15°＋ 45°＝ 60°， ∴由余弦定理得BC ＝23 2321 （3）＋ 3－ 2× 3× 3 cos 60 °＝ 3 ，21∴ x ＝6×＝ 2 21(km/h) ， 3∴船的航行速度为 2 21 km/h ．(2) 法一：作 AD ⊥ BC 于点 D ( 图略 ) ，∴当船行驶到点 D 时， AD 最小，进而 PD 最小．3 33× ×此时，＝ AB · AC · sin 60° ＝3 2 ＝ 3 7．ADBC21143∴ PD ＝3 22591＋ 7＝．14 14∴船内行驶过程中与察看站P 的最短距离为259 km ．14ACBC法二：由 (1) 知在△ ACB 中，由正弦定理 sin B ＝sin 60°，3 33 × 221∴ sin B ＝21 ＝14 ．3作⊥于点 ( 图略 ) ，∴当船行驶到点D 时，最小，进而最小．AD BCDADPD此时， AD ＝ AB sin B ＝ 3×21 37．＝1414∴ PD ＝322591＋ 714 ＝14 ．∴船内行驶过程中与察看站P 的最短距离为259 km ．143．(2015 ·福建福州模拟 ) 某种商品本来每件售价为 25 元，年销售 8 万件．(1) 据市场检查，若价钱每提升 1 元，销售量将相应减少 2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件订价最多为多少元？(2) 为了扩大该商品的影响力，提升年销售量，企业决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提升订价到 x 元．企业拟投入 61( x 2－ 600) 万元作为技改花费，投入 501万元作为浮动宣传花费．试问：当该商品明年的销售量 a万元作为固定宣传花费，投入5x起码应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件订价．解： (1) 设每件订价为 t 元，t － 25依题意，有 (8 － × 0． 2) t ≥25×8，1整理得 t 2－ 65t ＋1 000 ≤0，解得 25≤ t ≤40．∴要使销售的总收入不低于原收入，每件订价最多为40 元．(2) 依题意， x ＞25 时，121不等式 ax ≥25×8＋ 50＋ 6( x － 600) ＋ 5x 有解， 15011等价于 x ＞ 25 时， a ≥＋ x ＋有解，150 1 150 1∵ x ＋ 6x ≥ 2 x ·6x ＝ 10( 当且仅当 x ＝ 30 时，等号建立 ) ， ∴ a ≥10． 2．∴当该商品明年的销售量 a 起码应达到 10．2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件订价为 30 元．4．某台商到大陆一创业园投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年投入各样经费12 万美元，此后每年增添 4 万美元，每年销售蔬菜收入 50 万美元，设 f ( n ) 表示前 n 年的纯收入 ( f ( n ) ＝前 n 年的总收入－前 n 年的总支出－投资额 ) ．(1) 从第几年开始获得纯收益？ (2) 若干年后，该台商为开发新项目，有两种办理方案：①年均匀收益最大时，以48万美元销售该厂；②纯收益总和最大时，以 16 万美元销售该厂．问哪一种方案较合算？解：由题意知，每年投入的经费是以 12 为首项， 4 为公差的等差数列．则 f ( n ) ＝ 50n －[12 n ＋ n （n － 1） ×4] － 72＝－ 2n 2＋ 40n －72． 2(1) 获得纯收益就是要求 f ( n ) ＞ 0，故由－ 2n 2＋ 40n － 72＞ 0，解得 2＜ n ＜ 18．又 n ∈N * ，故从第三年开始赢利．f （ n ） 36(2) ①均匀收益为 n ＝ 40－ 2( n ＋ n ) ≤16，当且仅当 n ＝6 时取等号．故此方案赢利 6×16＋ 48＝ 144 万美元，此时 n ＝ 6．② f ( n ) ＝－ 2n 2＋ 40n － 72＝－ 2( n － 10) 2＋ 128，当 n ＝ 10 时， f ( n ) max ＝ 128．故此方案共赢利 128＋ 16＝ 144 万美元．比较两种方案，在赢利同样的前提下，第①种方案只要 6 年，第②种方案需要 10 年，应选择第①种方案较合算．。

2017《优化方案》高考理科数学(北师大版)一轮复习练习第5章数列第2讲知能训练轻松闯关Word版含答案

1．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．3解析：选C.由题意可得S 3＝3a 1＋3d ＝12＋3d ＝6，解得d ＝－2，故选C. 2．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为( ) A ．24 B ．39 C ．104 D ．52解析：选D.因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48，所以a 4＋a 10＝8，其前13项的和为13（a 1＋a 13）2＝13（a 4＋a 10）2＝13×82＝52，故选D.3．(2016·新余质检)在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )A ．24B ．48C ．66D ．132解析：选D.数列{a n }是等差数列，故a 6＋3d ＝12(a 6＋6d )＋6，所以a 6＝12.又S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6，所以S 11＝132.4．(2016·淮北、淮南模拟)如果等差数列{a n }中，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝( )A ．－11B ．10C ．11D ．－10解析：选 A.由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，得S n n ＝a 1＋（n －1）2d ，由S 1010－S 88＝2，得a 1＋92d －⎝⎛⎭⎫a 1＋72d ＝2，解得d ＝2，S 1111＝a 1＋102d ＝－11＋5×2＝－1，所以S 11＝－11.5．(2016·江西省白鹭洲中学高三模拟)等差数列{a n }中a 10a 9＜－1，它的前n 项和S n 有最大值，则当S n 取得最小正值时，n ＝( ) A ．17 B ．18 C ．19 D ．20解析：选A.由题意知，a 1＞0，d ＜0，因为a 10a 9＜－1，所以a 10＜－a 9＜0，即2a 1＜－17d .所以S 18＝（a 1＋a 18）×182＝（2a 1＋17d ）×182＜0，S 17＝（a 1＋a 17）×172＝（2a 1＋16d ）×172＝(a 1＋8d )×17＞0.故选A.6．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( ) A ．{5} B ．{6} C ．{5，6} D ．{7}解析：选C.在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0，得S 10＝10（a 1＋a 10）2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，S 11＝11（a 1＋a 11）2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6. 7．(2016·淮北质检)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝__________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a 5＝a 4＋d ＝1＋ (－2)＝－1. 答案：－1 8．(2016·驻马店调研)若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －4，则a n ＝________．解析：由3a n ＋1＝3a n －4，得a n ＋1－a n ＝－43，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝15，公差d ＝－43，所以a n ＝15－43(n －1)＝49－4n 3.答案：49－4n 39．(2016·东北三校联考)已知正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n ＋1＋a na n －1＝2，则a 12＝________．解析：因为a n a n ＋1＋a n a n －1＝2，所以1a n ＋1＋1a n －1＝2a n，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为1a 1＝12，公差为1a 2－1a 1＝12，所以1a n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，所以a n ＝2n ，所以a 12＝16.答案：1610．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a na n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．解析：依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)．答案：(－8，－7) 11．(2016·无锡质检)已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6.(1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列．解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0，故S n ＝2n 2－4n . (2)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6，a 1＝－2也满足．故a n ＝4n －6(n ∈N *)．因为a n ＋1－a n ＝4，所以数列{a n }成等差数列．12．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1， a 2的值．(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1，即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1. 当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2，解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2n ＝4S n －2a n －1，① a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )，即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )．因为数列{a n }各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a n ＝2n －1.1．(2016·唐山统考)若等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12解析：选C.法一：因为关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集为[0，22]，所以c ＝0，22＝a 1－d 2－d 2，且d 2＜0，即a 1＝－212d ＞0，则S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝d2n 2－11dn ，所以在对称轴n ＝11处，S n 取得最大值．法二：因为关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集为[0，22]，所以c ＝0，22＝a 1－d 2－d2，且d 2＜0，即a 1＝－212d ＞0，则a 11＝a 1＋10d ＝－d 2＞0，a 12＝a 1＋11d ＝d2＜0，故使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是11. 2．(2016·河北省衡水中学模拟)有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为a mk (m ，k ＝1，2，3，…，n ，n ≥3)，公差为d m ，并且a 1n ，a 2n ，a 3n ，…，a nn 成等差数列．若d m ＝p 1d 1＋p 2d 2(3≤m ≤n ，p 1，p 2是m 的多项式)，则p 1＋p 2＝________．解析：由题意知a mn ＝1＋(n －1)d m ，则a 2n －a 1n ＝[1＋(n －1)d 2]－[1＋(n －1)d 1]＝(n －1)·(d 2－d 1)，同理，a 3n －a 2n ＝(n －1)·(d 3－d 2)，a 4n －a 3n ＝(n －1)(d 4－d 3)，…，a nn －a (n －1)n ＝(n －1)·(d n －d n －1)．又因为a 1n ，a 2n ，a 3n ，…，a nn 成等差数列，所以a 2n －a 1n ＝a 3n －a 2n ＝…＝a nn －a (n －1)n ，故d 2－d 1＝d 3－d 2＝…＝d n －d n －1，即{d n }是公差为d 2－d 1的等差数列，所以d m ＝d 1＋(m －1)(d 2－d 1)＝(2－m )d 1＋(m －1)d 2.令p 1＝2－m ，p 2＝m －1，则d m ＝p 1d 1＋p 2d 2，此时p 1＋p 2＝1. 答案：1 3．(2016·宿州模拟)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)．(1)设函数y ＝f (x )的图像的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3，所以数列{a n }为等差数列．(2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|，所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n （b 1＋b n ）2＝n [5＋（8－3n ）]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8， S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8)＝7＋（n －2）[1＋（3n －8）]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n ＝⎩⎨⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3（lg a n ）（lg a n ＋1）的前n 项和，求T n ；(3)在(2)的条件下，求使T n >14(m 2－5m )对所有的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合．解：(1)证明：依题意，a 2＝9a 1＋10＝100，故a 2a 1＝10.当n ≥2时，a n ＋1＝9S n ＋10，a n ＝9S n －1＋10，两式相减得a n ＋1－a n ＝9a n ，即a n ＋1＝10a n ，a n ＋1a n＝10，故{a n }为等比数列，且a n ＝a 1q n －1＝10n (n ∈N *)，所以lg a n ＝n .所以lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋1)－n ＝1，即{lg a n }是等差数列．(2)由(1)知，T n ＝3⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝3⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝3－3n ＋1.(3)因为T n ＝3－3n ＋1，所以当n ＝1时，T n 取最小值32.依题意有32>14(m 2－5m )，解得－1<m <6，故所求整数m 的取值集合为{0，1，2，3，4，5}．。

2017《优化方案》高考理科数学(北师大版)一轮复习练习第5章数列第3讲知能训练轻松闯关Word版含答案

1．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1，0，0，0，….2．如果数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 5等于( )A ．32B ．64C ．－32D ．－64解析：选A.易知数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，a 4a 3，a 5a 4，…，a n a n －1，…的通项为a n a n －1＝(－2)n －1，故a 5＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4＝1×(－2)×2×(－22)×4＝32.3．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A.15 B ．－15 C ．5 D ．－5 解析：选D.由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为3的等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，又a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13(33×9)＝－5.4．(2016·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 016＝( ) A ．92 015 B ．272 015 C ．92 016 D ．272 016解析：选D.由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n .又c n ＝ba n ＝33n ，所以c 2 016＝33×2 016＝272 016. 5．(2016·开封一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝2n (n ∈N *)，则下列数列中一定为等比数列的是( ) A ．{a n } B ．{a n －1} C ．{a n －2} D ．{S n }解析：选C.由S n ＋a n ＝2n (n ∈N *)，①可得S n －1＋a n －1＝2(n －1)(n ≥2，n ∈N *)，②，①－②得a n ＝12a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －2＝12(a n －1－2)(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1，a 1－2＝－1≠0，所以{a n －2}一定是等比数列，故选C. 6．(2016·福州质检)已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( ) A ．512 B ．256 C ．81 D ．16解析：选 A.由题意可知，a 3a 4a 7q ＝a 3a 7a 4q ＝a 3a 7a 5＝a 35＝8，Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝(a 1a 9)·(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95，所以Ⅱ9＝83＝512.故选A. 7．(2015·高考广东卷)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________．解析：因为 a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝a ·c ＝(5＋26)(5－26)＝1.又b >0，所以b ＝1. 答案：18．(2016·北京海淀区高三检测)已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋ma m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋ma m＝a n ，所以a n ＋m ＝a n ·a m ，所以a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8；令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为a 1＝2，公比q ＝2的等比数列，所以S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.答案：8 2n ＋1－29．(2016·沈阳质量监测)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5＝a 2q 3，求得q ＝12，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1⎝⎛⎭⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12a n －1⎝⎛⎭⎫12a n ＝14a n －1a n (n ≥2)．设b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是以8为首项，以14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝323(1－4－n )．答案：323(1－4－n )10．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________．解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150. 答案：15011．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋4d ＝8，所以a 1＝0，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得 q ＋q 2＝a 4.因为a 4＝6，所以q ＝2或q ＝－3. 因为等比数列{b n }的各项均为正数，所以q ＝2.所以{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n－1.12．(2016·太原模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，2S 2，3S 3成等差数列，且S 4＝4027. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证S n <32.解：(1)设等比数列{a n }的公比为q . 因为S 1，2S 2，3S 3成等差数列，所以4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)，所以a 2＝3a 3，所以q ＝a 3a 2＝13.又S 4＝4027，即a 1（1－q 4）1－q＝4027，解得a 1＝1，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1.(2)证明：由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <32.1．设{a n }是各项均为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1，2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( ) A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：选D.因为A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….所以a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列． 2．(2016·太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则a n ＝________．解析：因为S n ＝2a n ＋n ①，所以S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1②，②－①，可得a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1＝2(a n －1)，又因为a 1＝－1，所以数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以a n －1＝(－2)·2n －1＝－2n ，所以a n ＝1－2n . 答案：1－2n3．(2016·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列． (1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n 个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列，所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5，即2a 6－3a 5＋a 4＝0，所以2q 2－3q ＋1＝0，因为q ≠1，所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n ＝34⎝⎛⎭⎫32n，T n ＝34×32－⎝⎛⎭⎫32n ＋11－32＝94⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1. 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q . (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n 3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，所以q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍去)，从而a 2＝6，所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1.(2)由(1)知，c n ＝3b n －λ·2a n 3＝3n －λ·2n .由题意，c n ＋1>c n 对任意的n ∈N *恒成立，即3n ＋1－λ·2n ＋1>3n －λ·2n 恒成立，亦即λ·2n <2·3n 恒成立，即λ<2·⎝⎛⎭⎫32n 恒成立．由于函数y ＝⎝⎛⎭⎫32n 是增函数，所以⎣⎡⎦⎤2·⎝⎛⎭⎫32n min＝2×32＝3，故λ<3，即λ的取值范围为(－∞，3)．。

2017《优化方案》高考理科数学(北师大版)一轮复习练习选修4-5不等式选讲第1讲知能训练轻松闯关Word版含答

1．求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋x －2≥3 或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2，故原不等式的解集为{x |x ≥1}．2．(2016·忻州联考)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即|x |<|a |＋1.3．(2015·高考重庆卷改编)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值．解：由于f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |，当a ＞－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1，x ＜－1，－x ＋2a ＋1，－1≤x ≤a ，3x －2a ＋1，x ＞a .作出f (x )的大致图像如图所示，由函数f (x )的图像可知f (a )＝5，即a ＋1＝5，所以a ＝4.同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，所以a ＝－6.所以实数a 的值为4或－6.4．(2016·九江第一次统考)已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≤－12； (2)若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a ＝2，所以f (x )＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2<x <3，－1，x ≥3，所以f (x )≤－12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3，5－2x ≤－12 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，－1≤－12，解得114≤x <3或x ≥3，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥114. (2)由不等式的性质可知f (x )＝|x －3|－|x －a |≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|，所以若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，32. 5．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0.当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23＜x ＜2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x ＞a .所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．6．(2016·河南省八校联考)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|.(1)求函数y ＝f (x )的最小值；(2)若f (x )≥ax ＋a 2－72恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －4，x <－12，3x －2，－12≤x ≤3，x ＋4，x >3，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上是减小的，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上是增加的，所以当x ＝－12时，y ＝f (x )取得最小值， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－72. (2)由g (x )＝ax ＋a 2－72的图像恒过点⎝⎛⎭⎫－12，－72及函数y ＝f (x )的图像可知－1≤a ≤1.1．(2016·辽宁省五校协作体联考)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数t ，使f ⎝⎛⎭⎫t 2≤m －f (－t )成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ，所以a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，所以a －3＝－2，所以a ＝1.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫t 2≤m －f (－t )，所以|t －1|＋|2t ＋1|＋2≤m ，令y ＝|t －1|＋|2t ＋1|＋2，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3t ＋2，t ≤－12，t ＋4，－12<t <1，3t ＋2，t ≥1.所以y min ＝72，所以m ≥72. 2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a <3)的最小值为2.(1)解关于x 的方程f (x )＝a ；(2)若存在x ∈R ，使f (x )－mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|x －4－(x －a )|＝|a －4|(当(x －4)(x －a )≤0时取等号)，知|a －4|＝2，解得a ＝6(舍去)或a ＝2.方程f (x )＝a 即|x －4|＋|x －2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x ≤4.(2)不等式f (x )－mx ≤1即f (x )≤mx ＋1，由题意知y ＝f (x )的图像至少有一部分不在直线y ＝mx＋1的上方，作出对应的图像观察可知，m ∈(－∞，－2)∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 3．(2016·云南省统考)已知a 、b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)若f (x )>2，求实数x 的取值范围；(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a 、b 都成立，求实数x 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤1，1，1<x ≤2，2x －3，x >2.由f (x )>2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3>2，解得x <12或x >52. 所以所求实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，所以f (x )≤2.因为f (x )>2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >52，所以f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤52，所以所求实数x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，52.4．已知函数f (x )＝|x －2|.(1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≤2；(2)若a >0，求证：f (ax )－af (x )≤2f (a ＋1)．解：(1)由题意，得f (x )＋f (x ＋1)＝|x －1|＋|x －2|，因此只需解不等式|x －1|＋|x －2|≤2.当x ≤1时，原不等式等价于－2x ＋3≤2，即12≤x ≤1；当1<x ≤2时，原不等式等价于1≤2，即1＜x ≤2；当x >2时，原不等式等价于2x －3≤2，即2<x ≤52. 综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤52. (2)证明：由题意f (ax )－af (x )＝|ax －2|－a |x －2|.当a >0时，f (ax )－af (x )＝|ax －2|－a |x －2|＝|ax －2|－ |2a －ax |≤|ax －2＋2a －ax |＝2|(a ＋1)－2|＝2f (a ＋1)．。

高考数学一轮复习讲练测(浙江版)：第05章测试题答案解析

高考数学讲练测【新课标版】【测】班级 __________ 姓名 _____________ 学号 ___________ 得分 __________一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1．【【百强校】 2016 届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测】复数 z 2i 3 1 2i 的实部与虚部之和为（）A ．-3B ． -11C ． 6D ． 4【答案】 B2.【洛阳市 2016 年高三综合练习题（五）】平面向量 a 与 b 的夹角为 60°， a 2,0 , b 1，则 a 2b 等于（）A ． 23B ．4C ．12D ．16【答案】 A 【分析】2222 4 4 1 2 cos60 12 ，所以 a 2b 2 3，选 A.a 2b a 4b 4a b 23.【名校学术结盟﹒2016 届高考押题卷一】已知向量 a, b 的夹角为 120°，且 a2, b 3 ，则向量 2a3b 在向量 2a b 方向上的投影为（）1913 6 135 6 8 3A ．B ．13 C ．6D ．1313【答案】 A【分析】1a b 2 3 ()32，向量2a3b在向量2a b方向上的投影为(2a 3b)(2a b) 4 4 3 98(3)1919 13| 2a b | 4 494(3)1313，选 A.4.【云南省部分学校（玉溪一中等）高三12 月份统考】在ABC 中，点D在BC边上，且CD 2DB ， CD r AB sAC ，则r s = （）2B ．4C．3D．0A．33【答案】 D【分析】由题设，CD 22AC )22 CB( AB AB AC 3333又 CD r AB sAC ，所以 r 2, s2r s0 ，应选D. 335. 【【百强校】 2016届山西晋城市高三放学期三模】1i已知复数 4 2i (i 为虚数单位),则z复数 z 在复平面上的对应点所在的象限是（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 A6.【【百强校】 2016 届云南省曲靖一中高考复习质量监测六】设向量a cos25 ,sin 25，b sin 20 ,cos 20，若t是实数，且u a tb ，则 u 的最小值为（）A ．2B ．12 C．21D．2【答案】 C【分析】由题意可知 a b 1，a b cos25 sin 20 sin 25 cos20sin 452 , 所以22u2 a tb222ta b2t22t 1t21 u a t 2 b，所以当22t 2时， u 的最小值为2，应选 C. 227.a, b 是两个向量，a1, b 2 ,且 ( a b) a ,则 a 与 b 的夹角为（）A．30° B.60 ° C.120 ° D.150 °【答案】 C【分析】由 (a b) a 知，( a22=-1 ，所以b) a = a a b =0，所以 a b acos a,b =a b=1，所以 a 与 b 的夹角为120，应选 C. | a ||b |28.【【百强校】2016 届湖北七市教研协作体高三 4 月联考】已知会合 A {1,i } ， i 为虚数单位，则以下选项正确的选项是（）A ．1A B ．i4A C．1 iA D．| i | A i 1 i【答案】 C9.【湖北省要点中学高三上学期第三次月考】已知点 A 1,3 ， B 4, 1 ，则与AB同方向的单位向量是（）A． 3 ,4B． 4 , 3C． 3 , 4 D ． 4 , 3 55555555【答案】 A.【分析】因为点 A 1,3 ， B 4, 1 ，所以 AB (3, 4)，AB 5 ，所以与 AB 同方向的单位向量为AB(3, 4)(3,4) ，故应选 A.AB55510.【山东省东营市、潍坊市 2016 届高三放学期第三次模拟】已知向量a ,b 的夹角为 60 ，且 a 1, 2ab3 ，则 b（）A ．1B ．2C ．3D ． 2【答案】 A【分析】由 | 2a b |2 4 | a |2 4a b |b |2 44 | a || b |cos60 |b |24 2 | b | |b |23 ，解得| b | 1，应选 A ．11.【山西省右玉一中 2016 届高三放学期模拟】已知两个单位向量a, b 的夹角为60 ，且满足 a (ab) ，则实数的值为（）A ．-2B ． 2C ．2D ． 1 【答案】 B【分析】因 a (ab) ,故 a ( a21b)0 ,即 aa b 0 ，也即 10 ,所以2 ,应选2B.12.【重庆南开中学高三 9 月月考】在△ ABC 中，E ，F 分别在边 AB,AC 上，D 为 BC 的中点，知足 |AE||CF || AB| 2， DE DF0 ,则 cos A = ()|EB| |FA||AC|A ． 0B ．3 3 92C ．D ．416【答案】 D应选： D ．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。

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1．(2016·长春质量检测)若F(c ，0)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a 27，则该双曲线的离心率e ＝( ) A.53 B.43 C.54D.85解析：选C.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝b a ，tan 2θ＝2aba 2－b 2，因此△OAB 的面积可以表示为12·a ·atan 2θ＝a 3b a 2－b 2＝12a 27，解得b a ＝34，则e ＝54.故选C.2．(2016·山西省考前质量检测)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点E 在C 的准线上，且在x 轴上方，线段EF 的垂直平分线与C 的准线交于点Q ⎝⎛⎭⎫－1，32，与C 交于点P ，则点P 的坐标为( ) A ．(1，2) B ．(2，22) C ．(3，23)D ．(4，4)解析：选D.由题意，得抛物线的准线方程为x ＝－1，F(1，0)．设E(－1，y)，因为PQ 为EF 的垂直平分线，所以|EQ|＝|FQ|，即y －32＝（－1－1）2＋⎝⎛⎭⎫322，解得y ＝4，所以k EF ＝4－0－1－1＝－2，k PQ ＝12，所以直线PQ 的方程为y －32＝12(x ＋1)，即x －2y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即点P 的坐标为(4，4)，故选D.[来源:学科网]3．已知F 1、F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________．解析：易知当P ，Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大．由于F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P(0，1)，所以PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，所以PF 1→·PF 2→＝－2. 答案：－24．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为2π3，离心率为e ，则a 2＋e 22b 的最小值为________．解析：由题意，ba ＝3，所以b ＝3a ，所以c ＝2a ，e ＝2，a 2＋e 22b ＝a 2＋423a ＝a 23＋23a ≥233(当且仅当a ＝2时取等号)，则a 2＋e 22b 的最小值为233.答案：2335.(2016·山西省四校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．A 、B 是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线y ＝kx(k>0)与椭圆相交于E 、F 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值．解：(1)由题意知：e ＝c a ＝32，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又圆x 2＋y 2＝b 2与直线x －y ＋2＝0相切，所以b ＝1，所以a 2＝4，故所求椭圆C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设E(x 1，kx 1)，F(x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，将y ＝kx 代入椭圆的方程x 2＋y 24＝1整理得：(k 2＋4)x 2＝4，[来源:Z_xx_]故x 2＝－x 1＝2k 2＋4，① 因为A(1，0)，B(0，2)，故由两点式得直线AB 的方程为：2x ＋y －2＝0，设点E ，F 到直线AB 的距离分别为h 1，h 2，则 h 1＝|2x 1＋kx 1－2|5＝2（2＋k ＋k 2＋4）5（k 2＋4），h 2＝|2x 2＋kx 2－2|5＝2（2＋k －k 2＋4）5（k 2＋4），|AB|＝22＋1＝5，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB|(h 1＋h 2)＝12×5×4（2＋k ）5（k 2＋4）＝2（2＋k ）k 2＋4＝24＋k 2＋4kk 2＋4＝21＋4k k 2＋4＝21＋4k ＋4k≤22，当k 2＝4(k>0)，即k ＝2时，上式取等号．所以当四边形AEBF 面积取最大值时，k ＝2.6.(2016·河南省八校联考)已知点P(2，3)，Q(2，－3)在椭圆x 216＋y 212＝1上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点．(1)若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 的面积的最大值；(2)当A 、B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝12x ＋t ，把其代入x 216＋y 212＝1，得x 2＋tx ＋t 2－12＝0，由Δ＝t 2－4(t 2－12)>0，解得－4<t<4，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－12.四边形APBQ 的面积S ＝12×6×|x 1－x 2|＝348－3t 2，所以当t ＝0时，S max ＝12 3.(2)当∠APQ ＝∠BPQ ，则直线PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，直线PA 的方程为y －3＝k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k （x －2），x 216＋y 212＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8(3－2k)kx ＋4(3－2k)2－48＝0，则x 1＋2＝8（2k －3）k3＋4k 2，同理直线PB 的方程为y －3＝－k(x －2)，可得x 2＋2＝－8k （－2k －3）3＋4k 2＝8k （2k ＋3）3＋4k 2，所以x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k3＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k （x 1－2）＋3＋k （x 2－2）－3x 1－x 2＝k （x 1＋x 2）－4k x 1－x 2＝12，所以直线AB 的斜率为定值12.1．(2016·洛阳统考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，一个焦点与抛物线y 2＝4x的焦点重合，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－b 2a 2，判断△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．解：(1)由题意得c ＝1，又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0得m 2<3＋4k 2.因为x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－3）3＋4k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m)·(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋mk(x 1＋x 2)＋m 2＝3（m 2－4k 2）3＋4k 2.由k OA ·k OB ＝－b 2a 2＝－34得y 1y 2＝－34x 1x 2，即3（m 2－4k 2）3＋4k 2＝－34·4（m 2－3）3＋4k2，化简得2m 2－4k 2＝3，满足Δ>0. 由弦长公式得|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·48（4k 2－m 2＋3）（3＋4k 2）2＝24（1＋k 2）3＋4k 2.又点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m|1＋k 2，所以S △AOB ＝12·d ·|AB|＝12 24（1＋k 2）3＋4k 2·|m|1＋k 2 ＝1224m 23＋4k 2＝ 3×2m 23＋4k 2＝ 3×（3＋4k 2）3＋4k 2＝ 3.故△AOB 的面积为定值 3.2．(2016·太原模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F 1、F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3. (1)求椭圆的方程；(2)若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．解：(1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2面积取最大值，此时S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|OP|＝bc ，所以bc ＝43，[来源:学科网]因为e ＝12，所以b ＝23，a ＝4，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)得椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，则F 1的坐标为(－2，0)，因为AC →·BD →＝0，所以AC ⊥BD ，①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14，②当直线AC 的斜率k 存在且k≠0时，则其方程为y ＝k(x ＋2)，设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，所以|AC →|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24（k 2＋1）3＋4k 2，此时直线BD 的方程为y ＝－1k(x ＋2)，同理，由⎩⎨⎧y ＝－1k （x ＋2），x 216＋y212＝1，可得|BD →|＝24（k 2＋1）3k 2＋4，所以|AC →|＋|BD →|＝24（k 2＋1）4k 2＋3＋24（k 2＋1）3k 2＋4＝168（k 2＋1）2（3k 2＋4）（4k 2＋3），[来源:学科网ZXXK]令t ＝k 2＋1(k≠0)，则t>1，所以|AC →|＋|BD →|＝16812＋t －1t2，因为t>1，所以0<t －1t 2≤14，所以|AC →|＋|BD →|∈⎣⎡⎭⎫967，14.[来源:学§科§网] 由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.。