湖北省八校2018届高三第二次联考理科数学试卷(Word版含答案)

绝密★启用前鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2018届高三第二次联考理科数学试题命题学校：鄂南高中 审题学校：襄阳四中本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|2,}xA y y x R ==∈，{|}B x y x R ==∈，则A B =A ．{}1B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]2．若复数z 满足22zi z i +=-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则1z +=AB ．2 CD ．33．在矩形A B C D 中，4,3A B A D ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得A B P ∆与A D P ∆的面积都不小于2的概率为A ．14 B ．13 C ．47 D ．494．已知函数()(1)()f x x a x b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为A ．(2,4)B ．(,2)(4,)-∞+∞ C ．(1,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．已知双曲线22212xyaa-=-a 的值为A ．1B ．2-C ．1或2-D ．-1 6．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为,,A B C ，则A ．ABC += B ．2B A C =C ．3A B C B +-=D ．22()A B A B C +=+7．执行如图所示的程序框图，若输入0,2m n ==，输出的 1.75x=，则空白判断框内应填的条件为A ．1?m n -<B ．0.5?m n -<C ．0.2?m n -<D ．0.1?m n -< 8．将函数()2s in 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为 A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=9．在239(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是A ．119B ．120C ．121D ．720 10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为A ．1603B ．160C ．2563D ．6411．已知椭圆22:143xyC +=，直线:4l x =与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B两点，点C 在直线l 上，则“B C //x 轴”是“直线A C 过线段E F 中点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．下列命题为真命题的个数是①ln 32<；②ln π<③15<；④3ln 2e <A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．平面向量a 与b的夹角为045，(1,1),1a b =-=，则2a b +=__________．14．已知实数,x y 满足约束条件2001x y x y k x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =+的最小值为3，则常数k =__________．15．考虑函数xy e =与函数ln y x =的图像关系，计算：21ln exd x =⎰__________．16．如图所示，在平面四边形A B C D 中，2A D =，4C D =， A B C ∆为正三角形，则B C D ∆面积的最大值为__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >且22n n n S a a =+()n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0()n a n N *>∈，令1(+2)n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，四边形A B C D 与B D E F 均为菱形，F A F C =，且60D A B D B F ∠=∠=︒． （1）求证：A C ⊥平面B D E F ；（2）求直线A D 与平面A B F 所成角的正弦值．19．(12分)某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准a ，用电量不超过a 的部分按平价收费，超出a 的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[280,300)分组的频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中x 的值并估计该市每户居民月平均用电量μ的值； （2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量X 服从正态分布()2,N μσ（ⅰ）估计该市居民月平均用电量介于240μ～度之间的概率；（ⅱ）利用（ⅰ）的结论，从该市．．所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于240μ～ 度之间的户数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y ．20．（12分）如图，圆22:4O x y +=，(2,0),(2,0)A B -，D 为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线分别交直线2x =和2x =-于,E F 两点，连,A F B E 交于点G ，若点G 形成的轨迹为曲线C .（1）记,A F B E 斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值并求曲线C 的方程； （2）设直线:(0)l y x m m =+≠与曲线C 有两个不同的交点,P Q ，与直线2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T ，求O P Q ∆的面积与O ST ∆面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值．21．(12分)已知函数2()(1+)1xf x a x e =-．（1）当0a ≥时，讨论函数()f x 的单调性； （2）求函数()f x 在区间[0,1]上零点的个数．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）已知直线l 的参数方程为22x y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），曲线C 的极坐标方程为2sin 4c o s ρθθ=.（1）分别将直线l 的参数方程和曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线l 经过点(0,1)，求直线l 被曲线C 截得线段的长．23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）已知函数()241,f x x x x R =-++∈ （1）解不等式()9f x ≤；（2）若方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围．湖北省八校2018届高三第二次联考参考答案及评分说明 理科数学【提示】11．若//B C x 轴；不妨设A C 与x 轴交于点G ，过A 作//A D x 交直线l 于点D则：F D AG D E BCA CC D ==，E G C E A DC D=两次相除得：F G A D D E E GB CC E⋅=又由第二定义：A D A F D EB CB FC E==1F G E G∴=∴G为E F 的中点反之，直线AB 斜率为零，则BC 与x 轴重合 12．构造函数ln ()x Fx =求导分析单调性可知①③④正确（注：构造函数ln ()x F x x=也可）16．设,A D C A C D αβ∠=∠=，由余弦定理可知：22016co s A C α=-，212c o s 8A CA Cβ+=又由正弦定理：22s in s in s in s in A C A Cαββα=⇒=1112s in s in ()2(s in o s )2(2322228B C D S B C C D B C B C A CA Cπαβββ∆∴=⋅+=+=+4s in ()3πα=-+所以最大值为4+17．（1）1(1)n n a -=-或n a n =；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++． 解析：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11a =当2n ≥时，2211122n nn n n n n a a a a a S S ---++=-=-，即111()(1)0n n nn n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+1(1)n n a -∴=-或n a n= (6)分（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()(2)22nb n n nn ==-++1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-+++ ………………12分 18．（1）见解析；（25解析：（1）设A C 与B D 相交于点O ，连接F O ，∵四边形A B C D 为菱形，∴A C B D ⊥，且O 为A C 中点， ∵F A F C =，∴A C F O ⊥,又FO B D O =，∴A C ⊥平面BD E F .…………………5分（2）连接D F ，∵四边形B D E F 为菱形，且60D B F ∠=︒，∴D B F ∆为等边三角形， ∵O 为B D 中点，∴F O B D ⊥，又A C F O ⊥，∴F O ⊥平面A B C D .∵,,O A O B OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，………7分 设2A B =，∵四边形A B C D 为菱形， 60D A B ∠=︒，∴2,B D A C == ∵D B F ∆为等边三角形，∴O F =. ∴)()()(0,0,0,1,0,0,1,0,0,0A B D F -，∴()()()1,0,0,,0A F A B A D =-==.设平面A B F 的法向量为(),,n x y z =，则3030A Fn x A B n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，得()1,3,1n =.设直线A D 与平面A B F 所成角为θ，………10分 则1s in c o 5s ,5A D nA D nA D nθ⋅===⋅.…………………12分注：用等体积法求线面角也可酌情给分 19．（1）0.0075,225.6x μ==；（2）（ⅰ）15（ⅱ）分布列见解析，3()5E Y =解析：（1）由(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=得0.0075x =………………2分1700.041900.192100.222300.252500.152700.12900.05225.6μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………4分 （2）（ⅰ）()()11225.62401224025P X PX⎡⎤<<=->=⎣⎦……………6分（ⅱ）因为513,Y B ⎛⎫⎪⎝⎭～，()331455iiiP Yi C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3i =.所以13()355E Y =⨯=.…………………………12分20．（1）1214k k ⋅=-，221(0)4xyy +=≠；（2）53m =-，5解析：（1）设000(,)(0)D x y y ≠，易知过D 点的切线方程为004x x y y +=，其中22004xy +=则04242(2,),(2,)x x E F y y -+-，0022000012224242164414416164x x y y x y k k y y -+--∴⋅=⋅===---…………3分设(,)G x y ，由2212111(0)42244y y xk k y y x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=≠-+故曲线C 的方程为221(0)4xyy +=≠…………………5分（2）22225844044y x m x m x m x y=+⎧⇒++-=⎨+=⎩，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55mx x m x x -+=-⋅=， …………………7分由22=6420(44)055m m m ∆-->⇒-<<且0,2m m ≠≠± ……………8分与直线2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T (2,2),(1,1)S m T m ∴+---∴∴，令3+,(35,35m t t =∈-+且1,3,5t ≠则……………10分当，即45,33t m ==-时，255…………………12分21．（1）见解析；（2）见解析. 解析：（1）2'()(21)xf x a x a x e=++ ……………1分当0a =时，'()0xf x e =≥，此时()f x 在R 单调递增；……………2分当0a >时，2=44a a ∆-①当01a <≤时，0∆≤，2210a x a x ++≥恒成立，'()0f x ∴≥，此时()f x 在R 单调递增； (3)分②当1a >时，令1211'()011,11f x x x aa=⇒=---=-+-x1(,)x -∞ 1x12(,)x x 2x 2(,)x +∞'()f x ＋ 0 － 0 ＋ ()f x即()f x 在1(,11)a-∞---和1(11,)a -+-+∞上单调递增；在11(11,11)aa ----+-上单调递减；……5分综上：当01a ≤≤时，()f x 在R 单调递增；当1a >时，()f x 在1(,11a-∞---和1(11,)a -+-+∞上单调递增；在11(11,11)aa----+-上单调递减；…………………6分（2）由（1）知，当01a ≤≤时，()f x 在[0,1]单调递增，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；当1a >时，1110a---<且1110a-+-<，()f x ∴在[0,1]单调递增；(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；当0a <时，令1'()0110f x x a=⇒=-+->（负值舍去）①当1111a-+-即103a -≤<时，()f x 在[0,1]单调递增，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；②当1111a-+-即13a <-时若(1)0f >即1113a e-<<-时，()f x 在1[0,11)a-+-单调递增，在1[11a-+-，单调递减，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；若(1)0f ≤即11a e≤-时，()f x 在1[0,11)a-+-单调递增，在1[11a-+-，单调递减，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有零点0x =和在区间1[11a-+-，有一个零点共两个零点；综上：当11a e ≤-时，()f x 在区间[0,1]上有2个零点；当11a e>-时，()f x 在区间[0,1]上有1个零点.…………………12分22．（1）0x y a +-=，24y x =；（2）8.解析：（1）显然y x a =-+⇒0x y a +-= …………………2分由可得，即， …………………5分（2）直线2222x y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 过(0,1)，则1a =将直线的参数方程代入得，121222t t t t ⎧+=-⎪⎨⋅=⎪⎩由直线参数方程的几何意义可知，.…………………10分注：直接用直角坐标方程联立计算也可23．（1）；（2）19[,7]4a ∈.解析：（1）可化为2339x x >⎧⎨-≤⎩或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩； 或或；不等式的解集为； …………………5分（2）由题意：2()f x x a =-+25,[0,2]a x x x ⇔=-+∈ 故方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[0,2]上有交点当[0,2]x ∈时，2195[,7]4yx x =-+∈19[,7]4a ∴∈。