椭圆几何性质(一)

e 1 (b)2 a
椭圆的焦点弦和通径
运用一、由椭圆方程写几何性质
例1.求椭圆16x2+25y2=400中x,y的取值范围，以及长
轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标，离心y率大小。
解：把已知方程化成标准方程：
x2 y2
B1
1
52 42
这里a=5,b=4,所以c= 25 16=3 A1 F1 O
B1(0,b)
间、基本点之间、
基本线之间以及它
们相互之间的关系 （位置、数量之间 的关系）
A1 F1 o
F2
A2 x
B2(0,-b)
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程
x2 a2

y2 b2
1(a

b

0)
y2 a2

x2 b2
1(a

b

0)
y B2
A2 y
Baidu Nhomakorabea
图形
O A1 F1
F2 A2 x
F2
运用三、椭圆的离心率的求法
运用三、椭圆的离心率的求法
运用三、椭圆的离心率的求法
运用三、椭圆的离心率的求法
圆长轴和短轴的一个端点. a 3，b 2

x2 9

y2 4
1 为所求椭圆的标准方程 .
(2) 由已知: 2a 20，e c 3 ， a 10，c 6 .
a5
b2 a2 c2 64 .
所以椭圆方程为：x2
y2
1或
y2
x2
1
100 64 100 64
B2
B1
O
x
B1
F1
A1
范围 a x a,b y b a y a,b x b
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率
A1(-a,0), A2(a,0) B1(0,-b), B2(0,b)
A1(0,-a), A2(0,a) B1(-b,0), B2(b,0)
2.1.2椭圆的简单几何性质
第一课时
自主学习
1、阅读课本P37---40页例4前内容，重点理解椭圆的几何性质以及离心率的意义。 并完成下列表格：
方程
x2 a2

y2 b2
1(a b 0)
y2 a2

x2 b2
1(a b 0)
B2 y
A2 y
图形
O A1 F1
F2 A2 x
F2
2）e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭圆就越圆
3）特例:e =0,则 a = b,则 c=0,两个焦点重合,椭圆方程变为圆 的方程
小结一：基本元素
(1)基本量：a、b、c、e（共四个量）
(2)基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）
(3)基本线：对称轴（共2条线） y
请考虑：基本量之
x F2 A2
5 x 5,4 y 4
B2
椭圆的长轴和短轴长分别为2a=10和2b=8,
两个焦点分别为F1（-3，0）和F2（3，0），
四个顶点分别为A1（-5，0）、A2（5，0）、 B1（0，-4）、B2（0，4）。 离心率e

c a

3 5
例2、根据前面所学有关知识画出下列图形
A1
和短轴。
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
o
B2(0,-b)
A2 x
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
y
(1)离心率的取值范围：
因为 a > c > 0，所以0 <e< 1
o
x
(2)离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭圆就越扁
二、对称性：
x a
2 2

y2 b2
1(a b 0)
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称,
原点是椭圆的中心.
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图
象关于原点成中心对称。 y
（1） x2 y 2 1 25 16
（2） x2 y 2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
运用二、由性质求椭圆方程 例2、根据下列条件，求椭圆的标准方程：
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
三、椭圆的顶点
在
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
中，令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？
*顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
y B1(0,b)
*长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴
（1）长轴长为短轴长的2倍，且过点（2，-6）
（2）若以直线3x 4 y 12 0与两坐标轴的交点分别作为 顶点和焦点
自主学习反馈 课本P41第3题、第4题、第5题
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P（-3，0），Q（0，-2）；
（2）长轴长等于20，离心率等于
3 5
.
解：（1）由椭圆的几何性质可知，点P、Q分别为椭
B1
O F1
B2 x
B1
A1
范围 _ x _,b y b _ y _, _ x _
对称性
顶点 离心率
2、完成课本P41第3题、第4题、第5题
一、椭圆的范围
由
x2 a2

y2 b2
1
x2 a2

1和
y2 b2
1
y
即 x a和 y b
o
x
说明：椭圆位于矩形之中。