2008年高考试题江苏卷13题别解
2008年江苏省高考数学试卷加详细解析
2008年江苏省高考数学试卷2008年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2008•江苏）若函数最小正周期为，则ω=_________．2．（5分）（2008•江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是_________．3．（5分）（2008•江苏）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=_________．4．（5分）（2008•江苏）若集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有_________个元素．5．（5分）（2008•江苏）已知向量和的夹角为120°，，则=_________．6．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是_________．7．（5分）（2008•江苏）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：序号i 分组（睡眠时间）组中值（G i）频数（人数）频率（F i）1 [4，5） 4.5 6 0.122 [5，6） 5.5 10 0.203 [6，7） 6.5 20 0.404 [7，8）7.5 10 0.205 [8，9]8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为_________．8．（5分）（2008•江苏）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为_________．9．（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C （c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为，请你完成直线OF 的方程：_________．10．（5分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为_________．11．（5分）（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是_________．12．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a 为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为_________．13．（5分）（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是_________．14．（5分）（2008•江苏）f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=_________．二、解答题（共12小题，满分90分）15．（15分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．16．（15分）（2008•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．17．（15分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．18．（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．19．（15分）（2008•江苏）（1）设a1，a2，…，a n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i）当n=4时，求的数值；（ii）求n的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，b n，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．20．（15分）（2008•江苏）已知函数，（x∈R，p1，p2为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，（1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）21．（2008•江苏）如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED2=EB•EC．22．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．23．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，求S=x+y的最大值．24．（2008•江苏）设a，b，c为正实数，求证：．25．（2008•江苏）记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记．当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．26．（2008•江苏）请先阅读：在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）•2=4cosx•（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n（x∈R，正整数n≥2），证明：．（2）对于正整数n≥3，求证：（i）；（ii）；（iii）．2008年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2008•江苏）若函数最小正周期为，则ω=10．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：根据三角函数的周期公式，即T=可直接得到答案．解答：解：.故答案为：10点评：本小题考查三角函数的周期公式，即T=．2．（5分）（2008•江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．解答：解析：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故．故填：．点评：本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．3．（5分）（2008•江苏）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=1．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数．解答：解：．∵，∴a=0，b=1，因此a+b=1故答案为1点评：本小题考查复数的除法运算．4．（5分）（2008•江苏）若集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有6个元素．考点：交集及其运算．分析：先化简集合A，即解一元二次不等式（x﹣1）2＜3x+7，再与Z求交集．解答：解：由（x﹣1）2＜3x+7得x2﹣5x﹣6＜0，∴A=（﹣1，6），因此A∩Z={0，1，2，3，4，5}，共有6个元素．故答案是6点评：本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．5．（5分）（2008•江苏）已知向量和的夹角为120°，，则=7．考点：向量的模．专题：计算题．分析：根据向量的数量积运算公式得，化简后把已知条件代入求值．解答：解：由题意得，=，∴=7．故答案为：7．点评：本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“”进行求解．6．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），满足条件的事件表示单位圆及其内部，根据几何概型概率公式得到结果．解答：解析：本小题是一个几何概型，∵试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），面积是42=16，满足条件的事件表示单位圆及其内部，面积是π×12根据几何概型概率公式得到∴故答案为：．点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．本题可以以选择和填空形式出现．7．（5分）（2008•江苏）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：序号i 分组（睡眠时间）组中值（G i）频数（人数）频率（F i）1 [4，5） 4.5 6 0.122 [5，6） 5.5 10 0.203 [6，7） 6.5 20 0.404 [7，8）7.5 10 0.205 [8，9]8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 6.42．考点：频率分布表；工序流程图（即统筹图）．专题：图表型．分析：观察算法流程图知，此图包含一个循环结构，即求G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5的值，再结合直方图中数据即可求解．解答：解：由流程图知：S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08=6.42，故填：6.42．点评：本题考查读频率分布直方图、算法流程图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．8．（5分）（2008•江苏）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为ln2﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：欲实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．解答：解：y′=（lnx）′=，令=得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，∴ln2=×2+b，∴b=ln2﹣1．故答案为：ln2﹣1点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9．（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C （c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为，请你完成直线OF 的方程：．考点：直线的一般式方程；归纳推理．专题：转化思想．分析：本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线OE的方程为，分析A（0，a），B（b，0），C（c，0），P（0，p），我们可以类比推断出直线OF的方程为：．解答：解：由截距式可得直线AB：，直线CP：，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．故答案为：．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．10．（5分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．考点：归纳推理；等比数列的前n项和．专题：压轴题；规律型．分析：观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．解答：解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．11．（5分）（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是3．考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．12．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a 为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：抓住△OAP是等腰直角三角形，建立a，c的关系，问题迎刃而解．解答：解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故，解得，故答案为．点评：本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力．13．（5分）（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是2．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；压轴题．分析：设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．解答：解：设BC=x，则AC=x，根据面积公式得S△ABC=AB•BCsinB=×2x，根据余弦定理得cosB===，代入上式得S△ABC=x=，由三角形三边关系有，解得2﹣2＜x＜2+2．故当x=2时，S△ABC取得最大值2．点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题．14．（5分）（2008•江苏）f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=4．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜0等三种情形，当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．解答：解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥设g（x）=，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；当x＜0即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．答案为：4点评：本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．二、解答题（共12小题，满分90分）15．（15分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．考点：两角和与差的正切函数．分析：（1）先由已知条件得；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ；最后利用tan（α+β）=解之．（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．解答：解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，因为α为锐角，则sinα＞0，从而同理可得，因此．所以tan（α+β）=；（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=，又，故，所以由tan（α+2β）=﹣1得．点评：本题主要考查正切的和角公式与转化思想．16．（15分）（2008•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．解答：证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．17．（15分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．考点：在实际问题中建立三角函数模型．分析：（1）（i）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式．（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．解答：解：（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），则，故，又OP=10﹣10tanθ，所以，所求函数关系式为②若OP=x（km），则OQ=10﹣x，所以OA=OB=所求函数关系式为（Ⅱ）选择函数模型①，令y′=0得sin，因为，所以θ=，当时，y′＜0，y是θ的减函数；当时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=时，．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处．点评：本小题主要考查函数最值的应用．①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．18．（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．考点：二次函数的图象；圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0，因为x0，y0不依赖于b得取值，所以得到1﹣y0=0即y0=1，代入x02+y02+2x0﹣y0=0中即可求出定点的坐标．解答：解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．令x=0得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=﹣b﹣1．所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b=0．（3）圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0（*）为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0=0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0=0，解得经检验知，（﹣2，1）均在圆C上，因此圆C过定点．点评：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．19．（15分）（2008•江苏）（1）设a1，a2，…，a n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i）当n=4时，求的数值；（ii）求n的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，b n，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．考点：等差数列的性质；等比关系的确定；等比数列的性质．专题：探究型；分类讨论；反证法．分析：（1）根据题意，对n=4，n=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，进而推广到n≥4的所有情况．（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可．解答：解：（1）①当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0．若删去a2，则a32=a1•a4，即（a1+2d）2=a1•（a1+3d）化简得a1+4d=0，得若删去a3，则a22=a1•a4，即（a1+d）2=a1•（a1+3d）化简得a1﹣d=0，得综上，得或．②当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项．若删去a3，则a1•a5=a2•a4，即a1（a1+4d）=（a1+d）•（a1+3d）化简得3d2=0，因为d≠0，所以a3不能删去；当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，a n﹣2，a n﹣1，a n中，由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a1•a n=a3•a n﹣2，这与d≠0矛盾；同样若删去a n﹣1也有a1•a n=a3•a n﹣2，这与d≠0矛盾；若删去a3，，a n﹣2中任意一个，则必有a1•a n=a2•a n﹣1，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项）综上所述，n=4．（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1，b2，b n，其中b x+1，b y+1，b z+1（0≤x ＜y＜z≤n﹣1）为任意三项成等比数列，则b2y+1=b x+1•b z+1，即（b1+yd）2=（b1+xd）•（b1+zd），化简得（y2﹣xz）d2=（x+z﹣2y）b1d（*）由b1d≠0知，y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0当y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾．故y2﹣xz与x+z﹣2y同时不为0，所以由（*）得因为0≤x＜y＜z≤n﹣1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数．于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．例如n项数列1，，，，满足要求．点评：本题是一道探究性题目，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及学生的运算能力和推理论证能力．20．（15分）（2008•江苏）已知函数，（x∈R，p1，p2为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，（1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）考点：指数函数综合题．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）对所有实数成立，等价于f1（x）≤f2（x）对所有实数x成立等价于，即对所有实数x均成立，分析容易得证；再证必要性：对所有实数x均成立等价于，即|p1﹣p2|≤log32，（2）分两种情形讨论：①当|p1﹣p2|≤log32时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度；②当|p1﹣p2|＞log32时，a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f （a）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度．解答：解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数x）等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x）这又等价于，即对所有实数x均成立．（*）由于|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤|（x﹣p1）﹣（x﹣p2）|=|p1﹣p2|（x∈R）的最大值为|p1﹣p2|，故（*）等价于，即|p1﹣p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论（i）当|p1﹣p2|≤log32时，由（1）知f（x）=f1（x）（对所有实数x∈[a，b]）则由f（a）=f（b）及a＜p1＜b易知，再由的单调性可知，函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度为（参见示意图）（ii）|p1﹣p2|＞log32时，不妨设p1＜p2，，则p2﹣p1＞log32，于是当x≤p1时，有，从而f（x）=f1（x）；当x≥p2时，有从而f（x）=f2（x）；当p1＜x＜p2时，，及，由方程解得f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标为（1）显然，这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知综上可知，在区间[a，b]上，（参见示意图）故由函数f1（x）及f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0﹣p1）+（b﹣p2），由于f（a）=f（b），即，得p1+p2=a+b+log32（2）故由（1）、（2）得综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为．点评：考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证明方法．21．（2008•江苏）如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED2=EB•EC．考点：与圆有关的比例线段；二阶行列式与逆矩阵；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明．分析：根据已知EA是圆的切线，AC为过切点A的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得．解答：证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，所以∠CAE=∠CBA．又因为AD是ÐBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．又EA2=EC•EB，所以ED2=EB•EC．点评：此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理．注意：切线长的平方应是EB和EC的乘积．22．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．考点：圆的标准方程；矩阵变换的性质．专题：计算题．分析：由题意先设椭圆上任意一点P（x0，y0），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′（x0′，y0′），得到两点的关系式，再由点P在椭圆上代入化简．解答：解：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，则点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x0′，y0′）则有，即，所以又因为点P在椭圆上，故4x02+y02=1，从而（x0′）2+（y0′）2=1所以，曲线F的方程是x2+y2=1点评：本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目．23．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，求S=x+y的最大值．考点：椭圆的参数方程．专题：计算题；转化思想．分析：先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求．解答：解：因椭圆的参数方程为（ϕ为参数）故可设动点P的坐标为，其中0≤ϕ＜2π．因此所以，当时，S取最大值2．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．24．（2008•江苏）设a，b，c 为正实数，求证：．考点：平均值不等式；不等式的证明．专题：证明题．分析：先根据平均值不等式证明，再证．解答：证明：因为a，b，c 为正实数，由平均不等式可得，即，所以，，而，所以，点评：本题考查平均值不等式的应用，n个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．25．（2008•江苏）记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记．当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．用空间向量求直线间的夹角、距离．考点：计算题；压轴题．专题：。
2008年江苏省高考数学试卷及部分答案
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率3.),(11R b a bi a ii∈+-+表示为，则b a += 4.{}73)1(2-<-=x x x A ，则A Z 的元素的个数 5.b a ,的夹角为120，,3,1==b a 则=-b a 56在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率7. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ）， 随机选择了50位老人进行调查。
下表是这50位老人日睡眠时间的 频率分布表。
序号 （i ） 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率 （i F ）1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.203 [6,7) 6.5 20 0.404 [7,8) 7.5 10 0.20 5 [8,9) 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是 。
8.直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b= ▲ 9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。
2008年江苏高考数学试题(含答案详解)
2008年普通高校招生统一考试江苏卷(数学)1. ()cos()6f x wx π=-的最小正周期为5π，其中0w >，则w = 。
【解析】本小题考查三角函数的周期公式。
2105T w w ππ==⇒=。
答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 。
【解析】本小题考查古典概型。
基本事件共66⨯个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P ==⨯。
答案112 3.11i i-+表示为a bi +(,)a b R ∈，则a b += 。
【解析】本小题考查复数的除法运算， 1,0,11ii a b i-=∴==+ ，因此a b +=1。
答案14. {}2(1)37,A x x x =-<-则A Z 的元素个数为 。
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。
由2(1)37x x -<-得2580x x -+<因为0∆<，所以A φ=，因此A Z φ= ，元素的个数为0。
答案05.,a b 的夹角为0120，1,3a b == ，则5a b -= 。
【解析】本小题考查向量的线形运算。
因为1313()22a b ⋅=⨯⨯-=-，所以22225(5)2510a b a b a b a b -=-=+-⋅ =49。
因此5a b -=7。
答案76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
【解析】本小题考查古典概型。
如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯。
答案16π7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是 。
2008年高考试题理科数学(江苏卷)及答案解析
精心整理2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1．若函数cos(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= .2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ．Z 中有 3，则|5a 在平面直角坐标系xoy 中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于是线是，于按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为11．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz 的最小值是12 34 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 ………………12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为13．满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值14．设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 15．锐角αβ，（1）求（2）求16． （1（217．A ，B 及CD 长度为y （1（i ）（ii （2 18．（1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论． 19．（1）设12,,,n a a a 是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i ）当4n =时，求1ad的数值；（ii ）求n 的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b ，，，n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 20．已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若（1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；（2）设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上21：从A A ．选修如图，求证：2ED EB EC =．B ．选修—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy F ，求FC ．选修D ．选修设a ，b 22．λ．当APC ∠23．在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1) x x ''=-， 由求导法则，得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-，化简得等式：sin 22cos sin x x x =．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++（x ∈R ，正整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑． （2）对于正整数3n ≥，求证：（i ）1(1)C 0nkknk k =-=∑；（ii ）21(1)C 0nkk nk k =-=∑；（iii ）11121C 11n nk n k k n +=-=++∑． 2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题1、10；2、112；3、1；4、6；5、7；6、16π；7、6.42；8、ln2－1；9、1c 2、共36、E7、9、想填1yp=，11c b -的交点F 满足此方程，又原点10、n －1）11、229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12、【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c=，解得c e a ==13、【解析】设BC ＝x ，则AC ，根据面积公式得：ABC S ∆=1sin 2AB BC B =根据余弦定理得：2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x+-+-==244x x -=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =14、【31x -+≥0设()g x 上单调当x ＜0()g x 二、15、（1因所以tan()αβ+=17tan tan 2311tan tan 172αβαβ++==---⨯; （2）132tan(2)tan[()]111(3)2αβαββ-++=++==---⨯, 从而由tan(2)1αβ+=-得324παβ+=.16、证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点．∴EF 是△ABD 的中位线，∴E F ∥AD ，∵E F ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴直线E F ∥面ACD ； （2）∵AD ⊥BD ，E F ∥AD ，∴E F ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F,∴BD ⊥面EFC ，∵B D ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD17、【解析】（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad)，则10cos cos AQ OA θθ==,故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-， 所以y =②若OP=(cos 20cos θθ-令'y =0，所以θ=π当θ⎛∈ ⎝θ=6π时，min y km 处。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案-江苏卷
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差()()()222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径5.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。
2008年江苏省高考数学试卷及答案详解
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式:样本数据1x ,2x ,L ,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A I Z 的元素的个数 ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。
2008年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷
2008年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1. ()cos()6f x wx π=-的最小正周期为5π，其中0w >，则w = 。
【解析】本小题考查三角函数的周期公式。
2105T w w ππ==⇒=。
答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 。
【解析】本小题考查古典概型。
基本事件共66⨯个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P ==⨯。
答案112 3.11i i-+表示为a bi +(,)a b R ∈，则a b += 。
【解析】本小题考查复数的除法运算， 1,0,11ii a b i-=∴==+ ，因此a b +=1。
答案14. {}2(1)37,A x x x =-<-则A Z 的元素个数为 。
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。
由2(1)37x x -<-得2580x x -+<因为0∆<，所以A φ=，因此A Z φ= ，元素的个数为0。
答案05.,a b 的夹角为0120，1,3a b == ，则5a b -= 。
【解析】本小题考查向量的线形运算。
因为1313()22a b ⋅=⨯⨯-=-，所以22225(5)2510a b a b a b a b -=-=+-⋅ =49。
因此5a b -=7。
答案76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
【解析】本小题考查古典概型。
如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD 的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯。
答案16π 7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是 。
2008年江苏省高考数学试卷加详细解析
2008 年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14 小题，每小题 5 分，满分70 分）1．（ 5 分）（2008?江苏）若函数最小正周期为，则ω=_________．2．（ 5 分）（2008?江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1， 2， 3， 4，5， 6 个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是_________．3．（ 5 分）（2008?江苏）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=_________．4．（ 5 分）（2008?江苏）若集合 A={x| （ x﹣ 1）2＜ 3x+7 ， x∈R} ，则 A ∩Z 中有 _________个元素．5．（ 5 分）（2008?江苏）已知向量和的夹角为120°，，则= _________．6．（ 5 分）（2008?江苏）在平面直角坐标系xoy 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投点在 E 中的概率是_________ ．7．（ 5 分）（2008?江苏）某地区为了解 70﹣ 80 岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了 50 位老人进行调查，下表是这 50 位老人睡眠时间的频率分布表：序号分组组中值频数频率i（睡眠时间）（ G i）（人数）（ F i）1[4 ，5） 4.560.122[5 ，6） 5.5100.203[6 ，7） 6.5200.404[7 ，8）7.5100.205[8 ，9]8.540.08在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为_________．8．（ 5 分）（2008?江苏）设直线 y= x+b 是曲线 y=lnx （ x＞0）的一条切线，则实数 b 的值为_________．9．（ 5 分）（2008?江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A（ 0， a）， B（ b，0）， C （ c， 0），点 P（ 0， p）在线段AO 上的一点（异于端点），这里 a， b，c，p 均为非零实数，设直线BP，CP 分别与边 AC ， AB 交于点 E，F，某同学已正确求得直线OE 的方程为，请你完成直线OF 的方程：_________．10．（ 5 分）（ 2008?江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（ n≥3）从左向右的第3 个数为_________．11．（5 分）（ 2008?江苏）设x， y， z 为正实数，满足x﹣ 2y+3z=0 ，则的最小值是_________．12．（ 5 分）（ 2008?江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的焦距为2c，以 O 为圆心， a 为半径作圆M ，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为_________．13．（ 5分）（ 2008?江苏）满足条件AB=2 ， AC=BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是_________．14．（ 5分）（ 2008?江苏） f （ x） =ax3﹣3x+1 对于 x∈[﹣1， 1] 总有 f （ x）≥0 成立，则 a=_________．二、解答题（共 12 小题，满分 90分）215．（ 15 分）（ 2008?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于 A ， B 两点．已知 A ， B 两点的横坐标分别是，．（ 1）求 tan（α+β）的值；（ 2）求α+2β的值．16．（ 15 分）（ 2008?江苏）如图，在四面体ABCD 中， CB=CD ，AD ⊥ BD ，点 E，F 分别是 AB ，BD 的中点．求证：（1）直线 EF∥面 ACD ；（2）平面 EFC⊥面 BCD ．17．（ 15 分）（ 2008?江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点 A ，B 及 CD 的中点P 处．AB=20km ，BC=10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与 A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ， BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm ．（1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设∠ BAO= θ（ rad），将 y 表示成θ的函数；（ii ）设 OP=x（ km），将 y 表示成 x 的函数；（2）请你选用（ 1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．2经18．（15 分）（ 2008?江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，记二次函数 f（ x）=x +2x+b（ x∈R）与两坐标轴有三个交点．过三个交点的圆记为C．（ 1）求实数 b 的取值范围；（ 2）求圆 C 的方程；（ 3）问圆 C 是否经过定点（其坐标与 b 的无关）？请证明你的结论．19．（ 15 分）（ 2008?江苏）（1）设 a1， a2，⋯， a n是各项均不为零的n（ n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（ i ）当 n=4 时，求的数值；（ ii ）求 n 的所有可能值．（ 2）求证：对于给定的正整数 n （ n ≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列 b 1，b 2， ⋯， b n ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．20．（ 15 分）（ 2008?江苏）已知函数， （ x ∈R ， p 1，p 2 为常数）．函数f （ x ）定义为：对每个给定的实数 x ，（ 1）求 f （ x ）=f 1（ x ）对所有实数 x 成立的充分必要条件（用 p 1，p 2 表示）；（ 2）设 a ，b 是两个实数，满足 a ＜ b ，且 p 1， p 2∈（ a ， b ）．若 f （a ） =f （ b ），求证：函数 f （ x ）在区间 [a ， b]上的 单调增区间的长度之和为（闭区间 [m ，n] 的长度定义为 n ﹣ m ）21．（2008?江苏）如图，△ ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E ，∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D ．求证： ED 2=EB ?EC ．22．（ 2008?江苏）在平面直角坐标系 2 2对应的变换作用下得到曲线F ，求 F 的xOy 中，设椭圆 4x +y =1 在矩阵方程．23．（ 2008?江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P （ x ， y ）是椭圆上的一个动点，求 S=x+y 的最大值．24．（ 2008?江苏）设 a ， b ， c 为正实数，求证：．25．（ 2008?江苏）记动点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1 的对角线 BD 1 上一点，记．当∠ APC为钝角时，求 λ的取值范围．26．（ 2008?江苏）请先阅读：22在等式 cos2x=2cos x ﹣ 1（x ∈R ）的两边求导，得： （ cos2x ）′=（ 2cos x ﹣ 1）′，由求导法则，得（﹣ sin2x ） ?2=4cosx?（﹣ sinx ），化简得等式： sin2x=2cosx ?sinx ．（ 1）利用上题的想法（或其他方法）n012 2n n，结合等式（ 1+x ） =C n +C n x+C n x +⋯+C n x （x ∈R ，正整数 n ≥2），证明：．（ 2）对于正整数 n ≥3，求证：（ i ）；（ ii ）；（ iii ）．2008 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14 小题，每小题 5 分，满分70 分）1．（ 5 分）考三角函数的周期性及其求法．点：专计算题．题：分根据三角函数的周期公式，即T=可直接得到答案．析：解解： .答：故答案为： 10点本小题考查三角函数的周期公式，即T=．评：2．（ 5 分）考古典概型及其概率计算公式．点：专计算题．题：分分别求出基本事件数，“点数和为 4”的种数，再根据概率公式解答即可．析：解解析：基本事件共 6×6 个，答：点数和为 4 的有（ 1， 3）、（ 2， 2）、（ 3， 1）共 3 个，故．故填：．点本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能评：性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ） = ．3．（ 5 分）考复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．点：专计算题．题：分利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数．析：解答：解：．∵，∴ a=0， b=1，因此 a+b=1故答案为1点本小题考查复数的除法运算．评：4．（ 5 分）考交集及其运算．点：x﹣ 1）2＜ 3x+7 ，再与 Z 求交集．分先化简集合 A ，即解一元二次不等式（析：解解：由（ x﹣ 1）2＜ 3x+7 得 x2﹣ 5x﹣ 6＜ 0，∴ A= （﹣ 1， 6），因此 A∩Z={0 ， 1， 2， 3， 4， 5} ，共有 6 个答：元素．故答案是 6点本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．评：5．（ 5 分）考向量的模．点：专计算题．题：分根据向量的数量积运算公式得，化简后把已知条件代入求值．析：解解：由题意得，答：=，∴=7．故答案为： 7．点本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“”进行求解．评：6．（ 5 分）考古典概型及其概率计算公式．点：专题：分析：解答：计算题．本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界），满足条件的事件表示单位圆及其内部，根据几何概型概率公式得到结果．解析：本小题是一个几何概型，2∵试验包含的所有事件是区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界），面积是 4 =16，2满足条件的事件表示单位圆及其内部，面积是π×1根据几何概型概率公式得到∴故答案为：．点本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形评：的面积之比得到概率的值．本题可以以选择和填空形式出现．7．（ 5 分）考频率分布表；工序流程图（即统筹图）．点：专图表型．题：分观察算法流程图知，此图包含一个循环结构，即求G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5的值，再结合直方图中析：数据即可求解．解解：由流程图知：答：S=G F+G F+G3F+G F+G F112234455=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08=6.42 ，故填： 6.42．点本题考查读频率分布直方图、算法流程图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用图表获取信息时，评：必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．8．（ 5 分）考利用导数研究曲线上某点切线方程．点：专计算题．题：分欲实数 b 的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义析：即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．解解： y′=（ lnx ）′= ，令=得x=2，答：∴切点为（ 2， ln2），代入直线方程y=x+b ，∴l n2= ×2+b ，∴ b=ln2 ﹣ 1．故答案为： ln2 ﹣1点本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求评：解能力．属于基础题．9．（ 5 分）考直线的一般式方程；归纳推理．点：专转化思想．题：分本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线OE 的方程为，分析 A（0，a），析：B（ b，0），C（ c，0），P（ 0，p），我们可以类比推断出直线OF 的方程为：．解解：由截距式可得直线AB ：，答：直线 CP：，两式相减得，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．故答案为：．点类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（ 2）用一类事物的性质去推测另一类评：事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．10．（ 5 分）考归纳推理；等比数列的前n 项和．点：专压轴题；规律型．题：分观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为析：前 n 项数据的个数，故我们要判断第n 行（n≥3）从左向右的第 3 个数，可先判断第n﹣ 1 行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．解解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．答：前 n﹣ 1 行共有正整数1+2+⋯+（n﹣ 1）个，即个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第+3 个，即为．点归纳推理的一般步骤是：（ 1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明评：确表达的一般性命题（猜想）．11．（5 分）考基本不等式．点：分析：由 x﹣ 2y+3z=0 可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解解：∵ x﹣ 2y+3z=0 ，答：∴，∴=，当且仅当x=3z 时取“=”．故答案为3．点本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．评：12．（ 5 分）考椭圆的简单性质．点：专计算题；压轴题．题：分抓住△ OAP 是等腰直角三角形，建立a， c 的关系，问题迎刃而解．9析：解解：设切线PA、 PB 互相垂直，又半径OA 垂直于 PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，答：故，解得，故答案为．点本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力．评：13．（ 5 分）考三角形中的几何计算．点：专计算题；压轴题．题：分设 BC=x ，根据面积公式用x 和 sinB 表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x 表示出 sinB ，代入三角析：形的面积表达式，进而得到关于x 的三角形面积表达式，再根据x 的范围求得三角形面积的最大值．解解：设 BC=x ，则 AC=x，答：根据面积公式得 S△ABC =AB ?BCsinB= ×2x，根据余弦定理得cosB===，代入上式得S△ABC =x=，由三角形三边关系有，解得 2﹣ 2＜ x＜ 2 +2．故当 x=2时， S△ABC取得最大值 2 ．点本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性评：和定义域等问题．14．（ 5 分）考利用导数求闭区间上函数的最值．点：专计算题；压轴题．题：分这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：① x=0，② x＞0，析：③ x＜ 0 等三种情形，当 x=0 时，不论 a 取何值， f（x）≥0 都成立；当 x＞ 0 时有 a≥，可构造函数 g（x） =，然后利用导数求 g（ x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得 x＜ 0 时的 a 的范围，从而可得 a 的值．解解：若 x=0，则不论 a 取何值， f （x）≥0 都成立；答：3﹣ 3x+1≥0可化为： a≥当 x＞ 0 即 x∈（ 0，1] 时， f （x） =ax设 g（ x）=，则 g′（ x）=，所以 g（ x）在区间（ 0， ] 上单调递增，在区间[ ， 1] 上单调递减，因此 g（ x）max=g（）=4，从而 a≥4；当 x＜ 0 即 x∈[﹣ 1， 0）时， f （ x） =ax 3﹣ 3x+1 ≥0 可化为： a≤，g（ x） =在区间 [ ﹣ 1， 0）上单调递增，因此 g（ x）min =g（﹣ 1） =4，从而 a≤4，综上 a=4．答案为： 4点本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调评：性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0 的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．二、解答题（共12 小题，满分90 分）15．（ 15 分）考两角和与差的正切函数．点：分（ 1）先由已知条件得；再求sinα、sinβ进而求出tanα、 tanβ；析：最后利用tan（α+β） =解之．（ 2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[ （α+β） +β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．解解：（ 1）由已知条件即三角函数的定义可知，答：因为α为锐角，则sinα＞ 0，从而同理可得，因此．所以 tan（α+β） =；（ 2） tan（α+2β）=tan[ （α+β）+β]=，又，故，所以由 tan（α+2β） =﹣ 1 得．点本题主要考查正切的和角公式与转化思想．评：16．（ 15 分）考直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．点：专证明题．题：分（ 1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF 平行即可，根据中位线可知EF∥ AD ，析：EF? 面 ACD ，AD ? 面 ACD ，满足定理条件；（ 2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知 BD ⊥面 EFC，而 BD ? 面 BCD ，满足定理所需条件．解证明：（ 1）∵ E， F 分别是 AB ， BD 的中点．答：∴ EF 是△ ABD 的中位线，∴EF∥ AD ，∵EF? 面 ACD ， AD ? 面 ACD ，∴直线 EF∥面 ACD ；（2）∵ AD ⊥BD ，EF∥AD ，∴ EF⊥BD，∵CB=CD ， F 是 BD 的中点，∴ CF⊥ BD又EF∩CF=F，∴ BD ⊥面 EFC，∵BD ? 面 BCD ，∴面 EFC⊥面 BCD点本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定评：理的掌握能力．17．（ 15 分）考在实际问题中建立三角函数模型．点：分（1）（ i ）根据题意知PQ 垂直平分 AB ，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出 y 的函析：数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ ii ）已知 OP，可得出 OQ 的表达式，由勾股定理推出 OA ，易得 y 的函数关系式．（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（ 1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．解解：（Ⅰ）①由条件知 PQ 垂直平分 AB ，若∠ BAO= θ（ rad），答：则，故，又 OP=10 ﹣10tanθ，所以，所求函数关系式为② 若 OP=x （ km ），则 OQ=10 ﹣ x ，所以 OA=OB=所求函数关系式为（Ⅱ）选择函数模型 ① ，令 y ′=0 得 sin ，因为，所以 θ= ，当时， y ′＜ 0，y 是 θ的减函数；当时， y ′＞ 0，y 是 θ的增函数，所以当 θ= 时，．这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上， 在矩形区域内且距离AB 边km处．点 本小题主要考查函数最值的应用．评：① 生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．② 在求实际问题中的最大值或最小值时， 一般先设自变量、 因变量， 建立函数关系式， 并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．18．（ 15 分）考 二次函数的图象；圆的标准方程．点：专 计算题．题：分 （1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即 b 不等于 0，然后抛物线与x 轴有析：两个交点即令 f （ x ） =0 的根的判别式大于 0 即可求出 b 的范围；（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令 y=0 得到与 f （ x ）=0 一样的方程；令 x=0 得到方程有一个根是 b 即可求出圆的方程；22（3）设圆的方程过定点（x 0， y 0），将其代入圆的方程得x 0 +y 0 +2x 0﹣ y 0+b （ 1﹣ y 0） =0，因为 x 0， y 0不依赖于 b 得取值，所以得到221﹣ y 0=0 即 y 0=1，代入 x 0 +y 0 +2x 0﹣ y 0=0 中即可求出定点的坐标． 解 解：．（ 1）令 x=0 ，得抛物线与 y 轴交点是（ 0， b ）；答：令 f （x ） =x 2+2x+b=0 ，由题意 b ≠0 且 △ ＞ 0，解得 b ＜ 1 且 b ≠0．（2）设所求圆的一般方程为 2 2x +y +Dx+Ey+F=02 2D=2 ，F=b ．令 y=0 得 x +Dx+F=0 这与 x +2x+b=0 是同一个方程，故2 b ，代入得出 E=﹣ b ﹣ 1．令 x=0 得 y +Ey+F=0 ，方程有一个根为所以圆 C 的方程为 2 2x +y +2x ﹣（ b+1 ）y+b=0 ． （3）圆 C 必过定点，证明如下：假设圆 C 过定点（ x 0， y 0 ）（ x 0， y 0 不依赖于 b ），将该点的坐标代入圆 C 的方程，22并变形为 x 0 +y 0 +2x 0﹣ y 0+b （ 1﹣ y 0） =0 （ *）2 2为使（ * ）式对所有满足 b ＜ 1（ b ≠0）的 b 都成立，必须有1﹣ y 0=0，结合（ * ）式得 x 0 +y 0 +2x 0﹣ y 0=0 ，解得经检验知，（﹣ 2， 1）均在圆 C 上，因此圆 C 过定点．点 本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．评：19．（ 15 分）考 等差数列的性质；等比关系的确定；等比数列的性质．点：专 探究型；分类讨论；反证法． 题：分 （ 1）根据题意，对 n=4， n=5 时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，析： 进而推广到 n ≥4 的所有情况．（ 2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可． 解解：（ 1） ① 当 n=4 时， a 1， a 2，a 3， a 4 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，答： 则推出 d=0．22若删去 a 2，则 a 3 =a 1?a 4，即（ a 1+2d ） =a 1?（ a 1+3d ）化简得 a 1+4d=0 ，得若删去 a 3，则 a 221 4，即（ a 12 1 11﹣ d=0 ，得=a ?a+d ） =a ?（ a +3d ）化简得 a综上，得或．② 当 n=5 时， a 1， a 2，a 3， a 4， a 5 中同样不可能删去 a 1， a 2，a 4， a 5，否则出现连续三项． 若删去 a 3，则 a 1 5 2 4，即 a 1（a 11 123 不能删?a =a ?a+4d ） =（ a +d ） ?（ a +3d ）化简得 3d=0，因为 d ≠0，所以 a去；当 n ≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a 1， a 2， a 3， ⋯， a n ﹣2，a n ﹣ 1， a n 中，由于不能删去首项或末项，若删去 a 2，则必有 a 1?a n =a 3?a n ﹣ 2，这与 d ≠0 矛盾；同样若删去 a n ﹣ 1 也有 a 1?a n =a 3?a n ﹣ 2，这与 d ≠0 矛盾；若删去 a 3，，a n ﹣2 中任意一个，则必有 a 1?a n =a 2?a n ﹣1，这与 d ≠0 矛盾．（或者说：当 n ≥6 时，无论删去哪一 项，剩余的项中必有连续的三项） 综上所述， n=4．（ 2）假设对于某个正整数n ，存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b 1， b 2，b n ，其中 b x+1 ， b y+1， b z+1（ 0≤x＜ y ＜ z ≤n ﹣ 1）为任意三项成等比数列，则 b 2 22y+1 =b x+1?b z+1，即（b 1+yd ） =（ b 1+xd ）?（ b 1+zd ），化简得（ y2﹣ xz ）d =（ x+z ﹣ 2y ） b 1d （* ）2同时为 0 或同时不为 0由 b 1d ≠0 知， y ﹣ xz 与 x+z ﹣ 2y当 y 2﹣ xz 与 x+z ﹣2y 同时为 0 时，有 x=y=z 与题设矛盾．故 y 2﹣xz 与 x+z ﹣2y 同时不为 0，所以由（ *）得因为 0≤x ＜ y ＜ z ≤n ﹣ 1，且 x 、 y 、 z 为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数．于是，对于任意的正整数n （ n ≥4），只要 为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．例如 n 项数列 1，，，，满足要求．点 本题是一道探究性题目，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及学生的运算能力和推理论证能力．评：20．（ 15 分）考 指数函数综合题．点：专 计算题；压轴题；分类讨论．题：分 （ 1）根据题意，先证充分性：由f （ x ）的定义可知， f （ x ） =f 1（ x ）对所有实数成立，等价于f 1（ x ） ≤f 2析：（ x ）对所有实数 x 成立等价于，即对所有实数 x 均成立，分析容易得证；再证必要性：对所有实数 x 均成立等价于，即 |p1﹣ p2|≤log32，（ 2）分两种情形讨论：①当 |p1﹣p2|≤log32 时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（ x）在区间 [a，b]上的单调增区间的长度；②当 |p1﹣ p2|＞log 32 时， a， b 是两个实数，满足a＜ b，且 p1，p2∈（ a，b）．若 f （ a） =f （ b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间 [a， b] 上的单调增区间的长度．解解：（ 1）由 f（ x）的定义可知， f （ x） =f 1（ x）（对所有实数 x）等价于 f1（ x）≤f2（ x）（对所有实数 x）答：这又等价于，即对所有实数 x 均成立．（ * ）由于 |x﹣ p121）﹣（x﹣p2）|=|p1﹣p21﹣p2|，|﹣|x﹣ p |≤|（ x﹣ p|（ x∈R）的最大值为 |p故（ * ）等价于，即 |p1﹣ p2|≤log 32，这就是所求的充分必要条件（ 2）分两种情形讨论（ i ）当 |p1﹣ p2|≤log 32时，由（ 1）知 f（ x） =f 1（ x）（对所有实数x∈[a，b] ）则由 f（ a）=f （ b）及 a＜ p1＜b 易知，再由的单调性可知，函数 f（ x）在区间 [a， b]上的单调增区间的长度为（参见示意图）（ii ） |p1﹣p2|＞ log32 时，不妨设 p1＜ p2，，则 p2﹣p1＞ log 32，于是当 x≤p1时，有，从而f（x）=f1（x）；当 x≥p2时，有从而（f x）=f（2 x）；当 p1＜ x＜ p2时，，及，由方程解得 f1（ x）与 f2（ x）图象交点的横坐标为（1）显然，这表明 x0在 p1与 p2之间．由（ 1）易知综上可知，在区间[a，b] 上，（参见示意图）故由函数 f1（x）及 f2（ x）的单调性可知， f（x）在区间 [a， b] 上的单调增区间的长度之和为（x0﹣ p1）+（ b﹣ p2），由于 f （ a）=f （ b），即，得 p1+p2=a+b+log 32（ 2）故由（ 1）、（ 2）得综合（ i）（ ii）可知， f（x）在区间 [a， b] 上的单调增区间的长度和为．点考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证评：明方法．21．（ 2008?江苏）考与圆有关的比例线段；二阶行列式与逆矩阵；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明．点：分根据已知 EA 是圆的切线， AC 为过切点 A 的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△ EAD 是等析：腰三角形，再根据切割线定理即可证得．解证明：因为 EA 是圆的切线， AC 为过切点 A 的弦，答：所以∠ CAE=∠ CBA．又因为 AD 是 DBAC 的平分线，所以∠BAD= ∠ CAD所以∠ DAE= ∠ DAC+ ∠EAC= ∠BAD+ ∠CBA= ∠ADE所以，△ EAD 是等腰三角形，所以EA=ED ．2又 EA =EC ?EB ，2所以ED =EB ?EC ．点此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理．注意：切线长的平方应是EB 和 EC 的乘积．评：22．（ 2008?江苏）考圆的标准方程；矩阵变换的性质．点：专计算题．题：分由题意先设椭圆上任意一点P（x0， y0），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′（ x0′， y0′），得到两点的关析：系式，再由点 P 在椭圆上代入化简．解解：设 P（ x0， y0）是椭圆上任意一点，答：则点 P（ x0， y0）在矩阵 A 对应的变换下变为点 P′（ x0′，y0′）则有，即，所以又因为点 P 在椭圆上，故4x2222 0 +y 0 =1，从而（ x0′） +（ y0′） =1所以，曲线 F 的方程是22x +y =1点本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目．评：23．（ 2008?江苏）考椭圆的参数方程．点：专计算题；转化思想．题：分先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，析：即可求出所求．解答：解：因椭圆的参数方程为（ ? 为参数）故可设动点 P 的坐标为，其中 0≤?＜2π．因此所以，当时， S 取最大值 2．点本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．评：24．（ 2008?江苏）考平均值不等式；不等式的证明．点：专证明题．题：分先根据平均值不等式证明，再证．析：解证明：因为 a， b， c 为正实数，由平均不等式可得答：，即，所以，，而，所以，点本题考查平均值不等式的应用，n 个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数评：．25．（ 2008?江苏）考用空间向量求直线间的夹角、距离．点：专计算题；压轴题．题：分析：由题意易知∠ APC 不可能为平角，则∠APC 为钝角等价于，即，再将用关于λ的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可解解：由题设可知，以、、为单位正交基底，答：建立如图所示的空间直角坐标系 D ﹣xyz，则有 A （1， 0， 0）， B（ 1， 1， 0）， C（0， 1， 0）， D（ 0， 0，1）由，得，所以显然∠ APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于，则等价于即（ 1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（ 1﹣λ）+（λ﹣ 1）2=（λ﹣ 1）（ 3λ﹣ 1）＜ 0，得因此，λ的取值范围是点本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题．评：26．（ 2008?江苏）请先阅读：考微积分基本定理；二项式定理；类比推理．点：专证明题；综合题；压轴题．题：分（ 1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．析：（ 2）（ i）对（ 1）中的 x 赋值﹣ 1，整理得到恒等式．（ ii ）对二项式的定理的两边对x 求导数，再对得到的等式对x 两边求导数，给x 赋值﹣ 1 化简即得证．（ iii ）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．解证明：（ 1）在等式（ n012 2n n两边对 x 求导得 n （ 1+x ）n ﹣ 1121+x ） =C n +C n x+C n x ++C n x=C n +2C n x++ （ n ﹣ 1）答： n ﹣1 n ﹣ 2n n ﹣ 1C n x+nC n x移项得（ *）（ 2）（ i ）在（ * ）式中，令 x= ﹣ 1，整理得所以（ ii ）由（ 1）知 n （ 1+x ） n ﹣112n ﹣1 n ﹣ 2n n ﹣1 ， n ≥3=C n +2C n x + ⋯+（ n ﹣ 1） C n x +nC n x 两边对 x 求导，得 n （ n ﹣1）（ 1+x ） n ﹣2 2 3n n ﹣2 =2C n +3?2C n x+ ⋯+n （ n ﹣1） C n xn ﹣2 2 3 2在上式中，令 x= ﹣1，得 0=2C n +3 ?2C n （﹣ 1） +⋯+n （n ﹣ 1） C n （﹣ 1）即，亦即（ 1）又由（ i ）知（ 2）由（ 1） +（ 2）得n012 2 n n两边在 [0， 1]上对 x 积分（ iii ）将等式（ 1+x ） =C n +C n x+C n x +⋯+C n x 由微积分基本定理，得所以点 本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．评：。
2008年高考试题理科数学(江苏卷)及答案解析
2008年普通高等学校招生全国统一测试（江苏卷）数 学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= .2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 3．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ． 4．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则AZ 中有 个元素.5．已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b ==，则|5|a b -= ．6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标和纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为8．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别和边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。
10．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为序号i 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率（i F ）1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.203 [6,7) 6.520 0.40 4 [7,8) 7.5 10 0.20 5 [8,9] 8.54 0.08 开始 S ←0 输入G i ，F i i ←1S ← S ＋G i ·F i i ≥5i ← i ＋1NY输出S结束 A B Cx y PO FE12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ………………AB C D EF BDAOP 11．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为13．满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值14．设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为二、解答题：本大题共6小题，共90分。
2008年江苏省高考数学试卷及部分答案
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率3.),(11R b a bi a ii∈+-+表示为，则b a += 4.{}73)1(2-<-=x x x A ，则A Z 的元素的个数 5.b a ,的夹角为120，,3,1==b a 则=-b a 56在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率7. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ）， 随机选择了50位老人进行调查。
下表是这50位老人日睡眠时间的 频率分布表。
序号 （i ） 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率 （i F ）1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.203 [6,7) 6.5 20 0.404 [7,8) 7.5 10 0.20 5 [8,9) 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是 。
8.直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b= ▲ 9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 英语 解析版
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）英语第二部分：英语知识运用（共两节, 满分35分）第一节：单项填空（共15小题，每小题1分，满分15分）21. We went right round to the west coast by __________ sea instead of driving across_________ continent.A. the … theB. / … theC. the … /D. / … /22. --- Do you mind if I record your lecture?--- ___________. Go ahead.A. Never mindB. No wayC. Not at allD. No, you’d better not23. --- Is Peter there?--- _____________, please. I’ll see if I can find him for you.A. Hold upB. Hold onC. Hold outD. Hold off24. The Science Museum, ____________ we visited during a recent trip to Britain, is one ofLondon’s tourist attractions.A. whichB. whatC. thatD. where25. --- I can’t repair these until tomorrow, I’m afraid.--- That’s OK, there’s ____________.A. no problemB. no wonderC. no doubtD. no hurry26. --- It shouldn’t take long to clear up after the party if we all volunteer to help.--- That’s right. _____________.A. Many hands make light workB. Something is better than nothingC. The more, the merrierD. The sooner begin, the sooner done27. It is often said that the joy of traveling is __________ in arriving at your destination___________ in the journey itself.A. / … butB. / … orC. not … orD. not … but28. --- Why do you suggest we buy a new machine?--- Because the old one has been damaged ___________.A. beyond reachB. beyond repairC. beyond controlD. beyond description29. --- They are quiet, aren’t they?--- Yes. They are accustomed ____________ at meals.A. to talkB. to not talkC. to talkingD. to not talking30. It is __________ to spend money on preventing illnesses by promoting healthy living ratherthan spending on trying to make people ___________ after they are ill.A. good … goodB. well … bette rC. better … betterD. better … good31. --- I’m still working on my project.--- Oh, you’ll miss the deadline. Time is ____________.A. running outB. going outC. giving outD. losing out32. __________ you eat the correct foods ___________ be able to keep fit and stay healthy.A. Only if; will youB. Only if; you willC. Unless; will youD. Unless; you will33. --- I’m sure Andrew will win the first prize in the final.--- I think so. He ___________ for it for months.A. is preparingB. was preparingC. had been preparingD. has been preparing34. To learn English well, we should find opportunities to hear English ___________ as much as wecan.A. speakB. speakingC. spokenD. to speak35. --- I’m sorry. I ___________ at you the o ther day.--- Forget it. I was a bit out of control myself.A. shouldn’t shoutB. shouldn’t have shoutedC. mustn’t shoutD. mustn’t have shouted第二节完型填空（共20小题；每小题1分，满分20分）Evelyn Glennie was the first lady of solo percussion in Scotland. In an interview, she recalled how she became a percussion soloist (打击乐器独奏演员) in spite of her disability.“Early on I decided not to allow the 36 of others to stop me from becoming a musician. Igrew up on a farm in northeast Scotland and began 37 piano lessons when I was eight. The older I got, the more my passion (酷爱) for music grew. But I also began to gradually lose my 38 . Doctors concluded that the nerve damage was the 39 and by age twelve, I was completely deaf. But my love for music never 40 me.“My 41 was to become a percussion soloist, even though there were none at that time. To perform, I 42 to hear music differently from others. I play in my stocking feet and can 43 the pitch of a note (音调高低) by the vibrations (振动). I feel through my body and through my 44 . My entire sound world exists by making use of almost every 45 that I have.“I was 46 to be assessed as a musician, not as a deaf musician, and I applied to the famous Royal Academy of Music in London. No other deaf student had 47 this before and some teachers 48 my admission. Based on my performance, I was 49 admitted and went to 50 with the academy’s highest honours.“After that, I established myself as the first full-time solo percussionist. I 51 and arranged a lot of musical compositions since 52 had been written specially for solo percussionists.“I have been a soloist for over ten years. 53 the doctor thought a was totally deaf, it didn’t 54 that my passion couldn’t be realized. I would encourage people not to allow themselves to be 55 by others. Follow your passion; follow your heart, they will lead you to to the place you want to go.”2008年的完形填空是一篇叙事性的文章，作者采用倒叙的手法，讲述了英国著名聋女乐器打击手Evelyn Glennie克服困难成功的故事，阐明了只要有激情，敢于尝试，就能成功的主题。
2008年(江苏卷)含详解
绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式：样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω ▲ 2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ▲3．),(11R b a bi a ii∈+-+表示为的形式，则b a += ▲ 4．{}73)1(2-<-=x x x A ，则集合A Z I 中有 ▲ 个元素5．b a ρϖ,的夹角为ο120，1,3a b ==r r ，则5a b -=r r ▲6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲7．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），现随机地选择50位老人做调查，在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ． 8．直线b x y +=21是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ▲9．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。
2008年江苏高考题第13、14题解法优化
2008年江苏高考题第13、14题解法优化13、满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC解析：法一（原解法）：本小题考查三角面积公式、余弦定理及函数思想。
设BC=x ，则x AC 2=，根据面积公式得B x B BC AB S ABC 2cos 1221sin 21-⨯=⋅=∆。
根据余弦定理得xx x x x BC AB AC BC AB B 444)2(42cos 222222-=-+=⋅-+=，代入上式得 16)12(128)44(12222--=--=∆x x x x S ABC 由三角形三边关系有2222222222+<<-⇒⎩⎨⎧>+>+x x x x x 故当32=x 时，ABC S ∆取得最大值22。
法二：设)),0()(sin 2,cos 2(),0,(),0,0(πθθθ∈r r A r B C4)sin 2()cos 2(222=+-=⇒θθr r r ABθθθθcos 223sin 22sin 221cos 22342-=⋅=⇒-=⇒r r S r θθsin 22cos 223+=⇒S S 22)22()22()3(222≤⇒+≤⇒S S S 。
法三：设2222)1(22)1(),(),0,1(),0,1(y x BC y x AC y x C B A +-⋅==++=⇒-22||2218)3(0162222≤⋅⋅=⇒=+-⇒=+-+⇒C y S y x x y x 。
14、设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意[1,1]x ∈-，都有()f x ≥0成立，则实数a 的值为 4 。
解析：法一（原解法）：本小题考查函数的单调性与导数的综合应用， 若x=0，则不论取何值，f(x)≥0显然成立；当x>0即]1,0(∈x 时，f(x)=ax 3-3x+1≥0可化为3213x x a -≥。
设3213)(x x x g -=，则4)21(3)('x x x g -= 所以g(x)在区间]21,0(上单调递增，在区间]1,21[上单调递减， 因此4)21()(max ==g x g ，从而a ≥4； 当x<0即)0,1[-∈x 时，f(x)=ax 3-3x+1≥0可化为3213xx a -≤。
2008年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷
B．选修4—2矩阵与变换
在平面直角坐标系 中，设椭圆 在矩阵 对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．
C．选修4—4参数方程与极坐标
在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 上的一个动点，求 的最大值．
D．选修4—5不等式证明选讲
20．设函数 ， ， ， 为常数．函数 定义为：对任意的实数x，
（1）求 对任意的实数x都成立的充分必要条件；
（2）设a，b为两个实数， ，且 ．若 ，
求证： 在 上的单调增区间的长度和为 （闭区间 的长度定义为 ）．
卷2
21．（选做题）从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．
A．选修4—1几何证明选讲
3．若将复数 表示成 （a，bR，i是虚数单位）的形式，则 ．
4．已知集合 ， }，则合 中有个元素．
5．已知向量a与b的夹角为120，且 ， ，则|5a－b|＝．
6．在平面直角坐标系xOy中，若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机地投一点，则落在E中的概率．
（2）对于正整数 ，求证：
（i） ＝0；
（ii） ＝0；
（iii） ．
设a，b，c为正实数，求证： ．
必做题
22．记动点P是棱长为1的正方体 的对角线 上一点，记 ．当 为钝角时，求 的取值范围．
23．请先阅读：在等式 （ ）的两边求导，得：
，
由求导法则，得 ，化简得等式： ．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1＋x）n＝ （ ，正整数 ），证明： ＝ ．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
江苏省高考数学题答案详解
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若 x＝0，则不论 a 取何值， f (x)≥ 0 显然成立；
当
x＞0
即
x 0,1 时，
f
(x)
ax3
3x
1≥ 0 可化为
a≥
3 x2
1 x3
，
设
g(x)
3 x2
1 x3
，则
g(x)
3(1 2x) x4
，
所以
g(
x)
在区间
0,
1 2
上单调递增，在区间
样本数据 x1 ， x2 ， ， xn 的标准差
锥体体积公式
s
1 n
[(
x1
x)2
(
x2
x)2
(
xn
x)2
]
V 1 Sh 3
其中 x 为样本平均数
柱体体积公式
V Sh 其中 S 为底面面积， h 为高
其中 S 为底面面积、 h 为高
球的表面积、体积公式
S 4πR2 ，V 4 πR3 3
其中 R 为球的半径
绝密★启用前
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
本试卷分第 I 卷（填空题）和第 II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本 试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆
相交于 A, B 两点，已知 A, B 的横坐标分别为
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２０ ０ ８年 高考 试 题 江 苏 卷 １ 别 解 ３题
曲阜 师 范大 学 附中 题 目 满 足条 件 Ａ ＝２，Ｃ＝ 曰 Ｂ Ａ ｃ的三 角形 Ａ Ｃ的面积 的最 大值 为一 Ｂ
法 １知 ２ 一２ ＜ ＜２ ＋２ 得 Ｓ Ｇ＝ ， △
解 法 ４ 在解 法 ３中 ， Ｙ 由 ＝一（ 一３ ＋８得 ） ， （ 一３ ＋ ＝８ 知 Ｃ点 的轨迹 为 以 （ ，） 圆心 ， ） Ｙ ， ３０ 为
知Ｃ Ｄ和 Ｃ Ｅ分 别是 ／Ａ Ｂ和其外 角 的平分 线 ， ＿ Ｃ
并且得 ／ Ｃ Ａ Ｅ是直角 ． 因而 ｃ点的轨迹是线段 Ｄ Ｅ
＋
＝ ， ：４ ２ 圆半径 Ｉ ＥＩ ， ， √ 圆半径÷ Ｄ ＝２／ 所 ＝ 一 ２
由 Ｉ Ｂ Ｉ＝ ｌ Ｂ ｌ ＝ ｌ Ｃ ｌ ＝ 一 Ｄ Ｅ Ｂ ， ’
㈠ 、
以Ａ Ｂ Ａ Ｃ的面积的最大值为 × ２×２ √
为 直径 的 圆（ 不包 含 与直线 Ａ Ｂ的交 点 ）
由㈠
即
２ √ 为半径 的圆． 因圆心 （ ， ） ３０ 在直线Ａ Ｊ ， 圆上 Ｂ ２则
点 Ｃ到 Ａ Ｂ的最大距离即为圆的半径 ２ √
所以ｓ 。 的最 大值 为 ×２×２ 解 法 ５ 如 图 ， Ｅ点分 Ｄ、 别是线段 Ａ 的内、 分点 ， Ｂ 外
且满足 Ａ ＝ Ｄ
４Ｅ ． Ｙ Ｂ
式 得
＝
＝
＋１ 得 ｌ Ｂ ｌ ２ ． ＝ Ｄ
，
＝２
Ｃ
同理 得
ｌ Ｅ Ｉ＝ Ｂ
，
／ —１ ２—
．所 以 ＩＤ Ｄ － Ｅ Ｉ： Ｅ Ｉ＝Ｉ Ｂ Ｉ４ Ｂ － Ｉ
Ｂ，Ｅ ＝一 Ａ
，
／ － ２４ －１ ， — １ ／ ２
／
一
Ｃ
一
ｓ。 曰曰・Ｂ ＝ ・ ｓ ＝・ ｃｉ ｎ
＝ ・ 标 原点 ， 图建 立 直 角 坐 标 丢 如
系 ， 为 Ａ ＝２， 有 Ａ 一 因 Ｂ 则 （
１０ ， １０ ，设 Ｃ ｘ Ｙ ， ， ） Ｂ（ ， ） （ ， ）
由Ａ ＝ Ｃ ｃ， 得
￣１８一（ 一１ ） ／２ ２ ，再 由 三 角 形 三 边 关 系 得
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中学数学杂志 ２ ０ 年第 ７期 ０８
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［，求 阵 及 逆 阵 ～ 试 矩 Ａ 其 矩 Ａ． 】
［，】别 矩 Ａ 属 特 值 ，的 征 ［分 是 阵 于 征 １一特 向 】
ｇ ｅ 则 【 一＝ ］ 解 设阵 ： 三 里，， Ｒ 量 妨Ａ＝ ， ， 【 ｌ 矩Ａ 【 ］ ｎｃ∈， ， 设～【 ］有 ］ １ ， ６ｄ 不 这 ， 因 ［是 阵 的 于 １ 特 向 ， ［三－ ＝ ， 为 矩 Ａ 属 Ａ＝ 的 征 量 一 一ｆ ［ ］ ］ ｅ， 三 ｇ ＋ ］
②，
ｇ ＝。 ＝ ， ， 因此 Ａ一 １＝
厂 ｄ
根据 ①② ， 则有
｛ ，＝（利 Ａ ： 一ｃ 一ｃ算 可 ） 主 从 ２或用 ｌ ６ ６ｆ 亦得 １ 而， Ｉ 三 － ｎ ａ 。 计
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［幸 ］ ．
ａ ｌ
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ｌ 三 ／ ／
＝ ．
ｆ ，２ ２ ＜ ＋ √ ＋ 有 一 ＜ ２ ２ ２
【 ＋２ ＞ｖ ｘ ｑ
因此当 ：２ ３时 ， √ ｓ取得最大值 ２ ．
解 法 ２ 运 用 海 伦 公 式 Ｓ ＝
＿ 了 （ ≠ｏ ， ＿ ｙ ）化简得） ＝ 一 ） ， 一（ ３ ２ ＋
本运算能力及综合运用知识的能
力．
丢
， 由余 弦定 理得
， 入 三角形 面积公 式 代
， ２ ＜ ２ （ ２ ＜ ２ ） 一 ＋ ，
ｙ１
解法 １ 设 Ｂ ： 则Ａ ＝ Ｃ ， Ｃ
ｃｓ ＝ ｏＢ
即 当 ＝ １ ， ２ 即 ＝２ 时 ， 取最 大值 ２ Ｓ伽 解 法 ３ 以Ａ Ｂ所 在 直线 为 轴 ， 段 Ａ 线 Ｂ的 中点 为 坐
山东省文科高考 ２ 另解 ２题
费县 实验 中学 题 目 已知 曲线 Ｃ ：ｘ ＋ ＿ Ｉ ２
‘ ａ Ｄ
２ ３０ ７ ４０
季 东桥
翟正 峰
：１ 口＞６＞ ） ｉ （ ｏ Ｐ： Ｊ
㈠
得 ，２ ２ ２ ４＋ Ｘ ＋ｙ ＝Ａ （
） 又 ，
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围成 的封 闭 图形 的面 积为 ４ ， 曲线 ｃ 内切 圆半 的
２ ３６ ７ １５
张焕 新
ＢＣ ＝ ，ｔ Ｃ ＝ ￣Ａ ］
， ＝ （ ｐ ２＋
，ｘ ／ ）由解 ｙ
本试 题题 设 简 ｝ 上 手容 易 ， 法灵 活 ， 以从 吉， 解 可
不 同角度 考查初 等 几 何 知识 、 析 几 何 知识 以及 函 解
± ． ＝ ．± ： ． ± 塾 ± ２ ２
８ 则 ≤ ８ ≤ ２ ， 以 ｓ ｃ＝ ， ， 所 １ 曰 ・ ｙＩ Ｉ ＝Ｉ
／（ ｐｐ—ａ （ ）Ｐ—ｂ （ —ｃ ， 中ｐ＝ （ ）Ｐ ） 其 ｎ＋６ ） ＋ｃ ，
５ ６
ＹＩ ２ ， ≤ 即当 ＝３时 ， Ｓ
的最大 值 为 ２
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