Hamilton-paths IN GRID GRAPHS

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图论

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Graphs/图论
说明：哥尼斯堡七桥问题，由于四个顶点都是齐次的，不可能有欧拉道路。
应用与推广：（1）一笔画问题；（2）如果齐次顶点个数为2K个，此问题是K 笔画问题。
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Graphs/图论
例８个顶点均为 3次，至少要４笔。
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Graphs/图论
b e1 a e5 e2 e3 c e4 d
（ｅ5，ｅ1 ，ｅ2 ，ｅ3，ｅ4）是简单道路，不是初级道路，因为（ｃ，ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｂ）中ｂ，ｃ均出现了两次。但（c，d，b， c）是初级道路。
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Graphs/图论
若图Ｇ存在奇次顶点，任取一个作为起点，若不存在，则任取一个顶点作为起点。若此图有ｎ条边，总次为２ｎ。每进入或离开一个顶点，让此顶点的次减１，由于除了两个（或没有）奇次顶点外，其余顶点次为偶数，只要进得去，一定出得来，直至进入另一个奇次顶点（或起点）作为终点。这样构造的是简单道路，如果经过所有的边，即得到一条欧拉道路。不然，记走过的简单道路为ｐ1，ｐ1上顶点集Ｖ1，边集Ｅ1，Ｇ1＝（Ｖ1，Ｅ1）是Ｇ的子图。
[定义]欧拉道路（回路）：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），称包含Ｅ中所有边的简单道路为欧拉道路/Euler Path/E道路。包含Ｅ中所有边的简单回路为欧拉回路 /Euler Circuit/E回路
。
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Graphs/图论
[定理1]（欧拉定理）：没有次为０的孤立顶点的无向图存在欧拉道路的充要条件是： (1)图是连通的； (2)图中奇次顶点个数是０个或2个。

【国家自然科学基金】_hamilton图_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140729

推荐指数 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
科研热词 hamilton圈 cayley图完美匹配交换群边割线性递推式 star网络 pancake网络 hamilton圈分解 4元n方体
2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
科研热词推荐指数哈密顿圈补图 1 补倍图 1 色数 1 线性规划lp问题 1 线性规划dlp问题 1 着色边 1 欧拉图 1 无爪图 1 控制团 1 扩张有向图 1 弱泛圈图 1 局部内(外)半完全有向图 1 坚韧 1 圈 1 哈密顿图 1 分数hamilton图 1 倍图 1 中间图 1 hamilton路 1 hamilton圈 1 hamilton图 1 cayley图 1
推荐指数 4 3 2 2 1 1 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
2011年科研热词推荐指数 cayley图 3 旅行商问题(tsp) 2 hamilton圈分解 2 非交换群 1 遍历 1 连通图 1 近似算法 1 路包装 1 路 1 蚁群算法 1 脑电超慢涨落图分析仪 1 系统发生树 1 神经递质药 1 焦虑 1 汉密尔焦虑量表 1 新种 1 广头叶蝉亚科 1 平图 1 尖尾叶蝉属 1 对偶树 1 完美对集 1 哈密尔顿圈 1 半翅目 1 分解 1 交换群 1 交互式的线性和通用优化求解器(lingo) 1 中国 1 star网络 1 k1,p-受限图 1 heawood图 1 hamilton圈 1 4-着色 1

笛卡尔积图的线性荫度

笛卡尔积图的线性荫度陶昉昀;林文松【摘要】线性森林是指所有分支都是路的森林.图G的线性荫度la(G)是划分G的边集E(G)所需的线性森林的最小数目.图G和H的笛卡尔积图G□□H定义为:顶点集V(G□□H)={(u,v)|u∈V(G),v∈V(H)}.边集E(G□□H)={(u,x)(v,y)|u=v且xy∈E(H),或uv∈E(G)且x=y}.令Pm与Gm分别表示m个顶点的路和圈,Kn表示n个顶点的完全图.证明了la(Kn□□Pm)=[n+1/2](m≥2),la(Kn□□Cm)=[n+2/2]以及la(Kn□Km)=[n+m-1/2].证明过程给出了将这些图分解成线性森林的方法.进一步的线性荫度猜想对这些图类是成立的.【期刊名称】《东南大学学报（英文版）》【年(卷),期】2013(029)002【总页数】4页(P222-225)【关键词】线性森林;线性荫度;笛卡尔积【作者】陶昉昀;林文松【作者单位】东南大学数学系,南京211189;南京林业大学数学系,南京210037;东南大学数学系,南京211189【正文语种】中文【中图分类】O157.5In this paper, all the graphs are simple, finite and undirected. For a realnumber x, 「x⎤ is the least integer not less than x and ⎤x」 is the largest integer not larger than x. Let G be a graph. We use V(G), E(G) and Δ(G) to denote the vertex set, the edge set and the maximum degree of G, respectively.A linear forest is a forest whose components are paths. The linear arboricity la(G) of G defined by Harary[1] is the minimum number of linear forests needed to partition the edge set E(G) of G.Akiyama et al.[2] conjectured that la(G)=「(Δ(G)+1)/2⎤ for any regular graph G. They proved that the conjecture is true for complete graphs and graphs with Δ=3,4[2-3]. Enomoto and Péroche[4] proved that the conjecture is true for graphs with Δ=5,6,8. Guldan[5] proved that the conjecture is true for graphs with Δ=10. It is obvious that la(G)≥「Δ(G)/2⎤for every graph G and la(G)≥「(Δ(G)+1)/2⎤ for every regular graph G. So the conjecture is equivalent to the following linear arboricity conjecture (LAC)[2]. For any graph G, 「Δ(G)/2⎤≤la(G)≤「(Δ(G)+1)/2⎤.Akiyama et al.[2] determined the linear arboricity of complete bipartite graphs and trees. Martinova[6] determined the linear arboricity of the maximal outerplanar graphs. Wu et al.[7-8] proved that the LAC is true for all the planar graphs. Wu[9] also determined the linear arboricity of the series-parallel graphs. Some other researches on linear arboricity can be found in Refs.[10-12].The Cartesian product of two graphs G and H (or simply product), denoted by G□H, is defined as the graph with vertex set V(G□H)={(u,v)|u∈V(G),v∈V(H)} and edge set E(G□H)={(u,x)(v,y)|u=v and xy∈E(H), or uv∈E(G) andx=y}. Let Pm and Cm respectively, denote the path and cycle on m vertices and Kn denote the complete graph on n vertices. In this paper, we determine the linear arboricity of Kn□Pm, Kn□Cm and Kn□Km.The following lemmas are useful in our proofs.Lemma1 If H is a subgraph of G, then la(H)≤la(G).Lemma2 la(G□H)≤la(G)+la(H).Lemma 2 holds by the definition of the linear arboricity and the Cartesian product of graphs.Lemma3[2] la(Kn)=「n/2⎤.Lemma4[13] For n≥3, the complete graph Kn is decomposable into edge disjoint Hamilton cycles if and only if n is odd. For n≥2, the complete graph Kn is decomposable into edge disjoint Hamilton paths if and only if n is even.Lemma5[14] Let V(K2n)={v0,v1,…,v2n-1}. For 0≤i≤n-1, putFi=v0+iv1+iv2n-1+iv2+iv2n-2+i…vn+1+ivn+iwhere the indices of vj’s are taken modulo 2n. Then F0,F1,…,Fn-1 are disjoint Hamilton paths of K2n; i.e., K2n is decomposed into edge disjoint Hamilton paths F0,F1,…,Fn-1.1 la(Kn□Pm)Let V(Kn)={u,v0,v1,…,vn-2} and V(Pm)={y0,y1,…,ym-1}. For convenience, we denote any vertex (x,yj)∈V(Kn□Pm) by x(j). For a fixed j (j=0,1,…,m-1), we use to denote the complete graph induced by {u(j),,,…,}.The following lemma deals with the decomposition of the complete graph K2n+1.Lemma6 E(K2n+1)=nP2n+1∪Mn, where Mn is a matching of order n. Proof Let V(K2n+1)={u,v0,v1,…,v2n-1}. For 0≤i≤n-1, putFi=v0+iv1+iv2n-1+iv2+iv2n-2+i…vn+1+ivn+iwhere the indices of vj’s are taken modulo 2n. Then, by Lemma 5, the complete graph K2n+1\{u} is decomposed into n disjoint Hamilton paths: F0,F1,…,Fn-1. For 0≤i≤n-1, let ei be the n-th edge of Fi andMn={e0,e1,…,en-1}. Then ei=vi+「n/2⎤vi-「n/2⎤ for i=0,1,…,n-1 andMn={v0vn,v1vn+1,…,vn-1v2n-1}. Clearly, Mn is a matching of order n. For each 0≤i≤n-1, by deleting ei from Fi and adding two edges uvi, uvn+i to Fi, we obtain a path on 2n+1 vertices. The n paths obtained in this way together with Mn form a decomposition of K2n+1 as claimed in the lemma. Theorem1 la(Kn□Pm)= for m≥2.Proof If m=2, then la(Kn□Pm)≥ since Kn□Pm is n-regular. If m≥3, thenla(Kn□Pm)≥=, where Δ=Δ(Kn□Pm). We now prove the reverse inequality. If n is even, then la(Kn□Pm)≤la(Kn)+la(Pm)=+1= by Lemmas 2 and 3. Thus Theorem 1 holds for even n.Now suppose that n is odd. Let n=2k+1, where k≥1. For 0≤i≤k-1 and0≤j≤m-1, putwhere the indices of ’s are taken modulo 2k. Then by Lemmas 4 and 5, for 0≤j≤m-1, is decomposed into k edge disjoint Hamilton cycles=u(j)(i=0,1,…,k-1).Let be the k-th edge of and = \{} for 0≤i≤k-1 and 0≤j≤m-1. From the proof of Lemma 6, each complete graph can be decomposed into k edgedisjoint Hamilton paths ,,…, and a matching ={,,…,}.Let Nxi={j=1,3,…,s}, where s=m-2 if m is odd and s=m-3 if m is even; and Nyi={j=0,2,…,t}, where t=m-3 if m is odd and t=m-2 if m is even.Let Li=()∪Nxi∪Nyi for 0≤i≤k-1. Then L0,L1,…,Lk-1 are k edge disjoint Hamilton paths of Kn□Pm. After we take away these Hamilton paths from Kn□Pm, the remaining edges form a linear forest. Thus,la(Kn□Pm)≤k+1=+1=. This com pletes the proof.2 la(Kn□Cm)Theorem2 la(Kn□Cm)=.Proof Since Kn□Cm can be decomposed into a Kn□Pm and a matching of size n, we have la(Kn□Cm)≤la(Kn□Pm)+1=+1 by Theorem 1. On the other hand, since Kn□Cm is (n+1)-regular, la(Kn□Cm)≥=. If n is odd, thenla(Kn□Cm)≤=. Therefore the theorem holds for odd n.Now we consider the case that n is even. Note that , we only need to show that Kn□Cm can be decomposed into linear forests. Let n=2k, where k≥1. Let V(Kn)={v0,v1,…,v2k-1} and V(Cm)={y0,y1,…,ym-1}. For convenience, we denote any vertex (vi,yj)∈V(Kn□Cm) by . For a fixed j (j=0,1,…,m-1), we use to denote the complete graph induced by {,,…,}. By Lemma 5, for 0≤j≤m-1, each can be decomposed into k edge disjoint Hamilton paths (i=0,1,…,k-1), whereand the subscripts are taken modulo 2k.For i=0,1,…,k-1, let Li=()∪{}∪{}. It is easy to see that L0,L1,…,Lk-1 are k edge disjoint linear forests and the remaining edges in Kn□Cm form onelinear forest. Thus, la(Kn□Cm)≤k+1=, which completes the proof.3 la(Kn□Km)Theor em3 la(Kn□Km)= if n and m are both even.Proof By Lemmas 2 and 3, la(Kn□Km)≤la(Kn)+la(Km)=+=. Since Kn□Km is (n+m-2)-regular, la(Kn□Km)≥=.Now, we consider the case that at least one of n,m is odd.Theorem 4 la(Kn□Km)= if n is even and m is odd.Proof Let n=2k, k≥1. Let V(Kn)={v0,v1,…,vn-1} and V(Km)={y0,y1,…,ym-1}. For convenience, we denote any vertex (vi,yj)∈V(Kn□Km) by . For a fixed j (j=0,1,…,m-1), we use to denote the complete graph induced by {,,…,}. For a fixed i (i=0,1,…,n-1), we use to denote the complete graph induced by {,,…,}. By Lemma 5, for 0≤j≤m-1, each can be decomposed into k edge disjoint Hamilton paths (i=0,1,…,k-1), whereand the subscripts are taken modulo 2k.For i=0,1,…,k-1, let Ni={j=0,2,…,m-3} and Ni+k={j=1,3,…,m-2}. It is easy to see that each Ni(i=0,1,…,2k-1) is a matching of and |Ni|=. By Lemma 6, the edges in each Ni(i=0,1,…,2k-1) can be partitioned into Hamilton paths. So the edges in E()\Ni(i=0,1,…,2k-1) form linear forests together. Furthermore, for 0≤i≤k-1, each ()∪Ni∪Ni+k forms a linear forest. So la(Kn□Km)≤+k=+=. On the other hand, la(Kn□Km)≥= since Kn□Km is (n+m-2)-regular. This completes the proof.Theorem5 la(Kn□Km)= if n and m are both odd.Proof We use the same notations in Theorem 4; i.e., letV(Kn□Km)={i=0,1,…,n-1;j=0,1,…,m-1}. For a fixed j (j=0,1,…,m-1), we use to denote the complete graph induced by {,,}. For a fixed i (i=0,1,…,n-1), we use to denote the complete graph induced by {,,…,}.Let Hi={j=0,2,…,m-3} for i=0,1,3,5,…n-2 and Hi={j=1,3,…,m-2} fori=2,4,6,…n-1. Then each Hi is a matching of with edges. By Lemma 6, the edges in each E()\Hi(i=0,1,…,n-1) can be partitioned into Hamilton paths. So the edges in E()\Hi(i=0,1,…,n-1) form linear forests together.Let Lj={,,…,} for j=0,1,…m-1. Then each Lj is a matching of with edges. Again by Lemma 6, the edges in each E()\Lj(j=0,1,…,m-1) can be partitioned into Hamilton paths. So the edges in E()\Lj(j=0,1,…,m-1) form linear forests together.It is clear that (Hi)∪(Lj) forms a linear forest. So la(Kn□Km)≤++1=. On the other hand, since Kn□Km is (n+m-2)-regular, la(Kn□Km)≥=. This completes the proof.Summarizing Theorems 3 to 5, we have the following theorem. Theorem6 la(Kn□Km)=.References[1]Harary F. Covering and packing in graphs 1 [J]. AnnalsoftheNewYorkAcademyofSciences, 1970, 175(1): 198-205.[2]Akiyama J, Exoo G, Harary F. Covering and packing in graphs 3: cyclic and acyclic invariants [J]. MathSlovaca, 1980, 30(4): 405-417.[3]Akiyama J, Exoo G, Harary F. Covering and packing in graphs 4: linear arboricity [J]. Networks, 1981, 11(1): 69-72.[4]Enomoto H, Péroche B. The linear arboricity of some regular graphs [J].JournalofGraphTheory, 1984, 8(2): 309-324.[5]Guldan F. The linear arboricity of 10-regular graphs [J]. MathSlovaca, 1986, 36(3): 225-228.[6]Martinova M K. Linear arboricity of maximal outerplanar graphs [J]. GodishnikVisshUchebnZavedPrilozhnaMath, 1987, 23: 147-155. (in Bulgarian)[7]Wu Jianliang. On the linear arboricity of planar graphs [J]. JournalofGraphTheory, 1999, 31(2): 129-134.[8]Wu Jianliang, Wu Yuwen. The linear arboricity of planar graphs of maximum degree seven are four [J]. JournalofGraphTheory, 2008, 58(3): 210-220.[9]Wu Jianliang. The linear arboricity of series-parallel graphs [J]. GraphsandCombinatorics, 2000, 16(3): 367-372.[10]Lu Xiaoxu, Xu Baogang. A note on vertex-arboricity of plane graphs [J]. JournalofNanjingUniversity: NaturalSciences, 2007, 43(1): 13-18.[11]Tan Xiang, Chen Hongyu, Wu Jianliang. The linear arboricity of planar graphs with maximum degree at least five [J]. BulletinoftheMalaysianMathematicalSciencesSociety, 2011, 34(3): 541-552.[12]Wu Jianliang, Hou Jianfeng, Liu Guizhen. The linear arboricity of planar graphs with no short cycles [J]. TheoreticalComputerScience, 2007,381(1/2/3): 230-233.[13]Bollobs B. Moderngraphtheory [M]. New York:Springer-Verlag, 1998.[14]Chen B L, Huang K C. On the linear k-arboricity of Kn and Kn,n [J].DiscreteMath, 2002, 254(1/2/3): 51-61.。

路与路及路与圈笛卡尔积图的树核度

路与路及路与圈笛卡尔积图的树核度张婷;朱恩强【摘要】Using the combined method,we investigated the tree-coritivity of Cartesian products graphs of path and path,and path and cycle.In particular,we gave the exact value of tree-coritivities for Cartesian products of path and path,and path and cycle,and characterized a relation between the tree-coritivity of Cartesian product and that of its original graphs.%利用组合的方法研究路与路、路与圈笛卡尔积图的树核度。

特别地，给出了路与路、路与圈笛卡尔积图树核度的精确值，并刻画了笛卡尔积图树核度与原图树核度间的关系。

【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2016(054)004【总页数】5页(P759-763)【关键词】树核度;树核;笛卡尔积;路;圈【作者】张婷;朱恩强【作者单位】兰州文理学院师范学院，兰州 730010;北京大学信息科学技术学院，北京 100871【正文语种】中文【中图分类】O157.5图的连通性是用来描述图的基本属性之一, 而刻画图连通性的参数为图的连通度(包括边连通度)[1-3]. 但实际存在许多图, 它们的连通性不同, 而连通度相同[4], 因而需要其他参数进一步衡量图的连通程度. Chvtal[5]提出了图的坚韧度概念, 并说明坚韧度越大的图连通性越好; Jung[6]为了研究图的Hamilton问题提出了图的离散数; Shih等[7]证明了任意图的离散数≤该图的最小路覆盖数; 欧阳克智等[8]给出了图的断裂度概念; 许进等[9]将图的相对断裂度称为图的核度, 并将其推广到可靠通讯网络、神经网络、社会心理学以及网络图的连通性等领域; Zhang等[10]证明了图的离散数可以用来衡量图的脆弱性; Wu等[11]将图的离散数应用到求解社交网络中影响最大化问题. 考虑判定一个图的坚韧度是否为1的问题是coNP-完全的[12], Broersma等[13]研究表明，判断一个图的离散数是否为0的问题也是coNP-完全的, 并给出了求解区间图离散数的线性时间算法; 文献[14-17]也得到了图离散数研究的相关结果.除了图的坚韧度和离散数外, 还有许多其他参数, 如图的完整度[18]、图的韧性度[19]及图的毁度[20]等. 朱恩强等[21]在图离散数的基础上, 提出了树核度的概念刻画图的连通性. 因为存在一些连通性不同的图, 它们具有相同的离散数, 但树核度却不同[21], 从而图的树核度可以用来进一步衡量这些图的连通性. 文献[21]证明了求图的树核度是NP-完全的, 并刻画了图树核度的界, 以及一些特殊图类的树核度. 本文主要考虑笛卡尔积图的树核度, 给出了路与路、路与圈积图的树核度的精确值. 本文所涉及图的定义都是标准的, 且只考虑简单无向图, 未说明的定义与符号可参见文献[22]. 对于图G, V(G),E(G)分别表示G的顶点集和边集, ω(G)表示图G中连通分支的个数, Δ(G),δ(G)分别表示G的最大度与最小度. 对于G中任意顶点v, dG(v)表示v在G中的度数. 对于V(G)的子集V′, 若G-V′不连通, 则称V′为G的顶点割. 特别地, 如果G-V′不含圈, 则称V′为G的破圈割. 设H是图G的一个子图, 如果V(H)=V(G), 则称H是G的一个生成子图.定义1[21] 对于非完全图G, 令B(G)表示G中所有破圈割构成的集合, 则称为图的树核度. 若∈C(G)满足则称为图G的树核. n-阶完全图Kn树核度定义为2-n, 其中任意含有n-1个顶点的子集都是它的一个树核.由树核度的定义容易验证：除K2外, 树(或森林)的树核度大于0, 即若一个阶数大于3的图的树核度≤0, 则该图必含圈.对于简单图G, 设S⊆V(G), 若S中的任意两个顶点在G中均不相邻, 则称S为G的一个独立集. 如果G中不存在其他的独立集S′使得, 则称S为G的一个最大独立集. G的最大独立集所含的顶点个数称为G的独立数, 用α(G)表示.令G1,G2为点不交的两个图,G1与G2的笛卡尔积记作G1□G2, 是指顶点集为V(G1)×V(G2), 两个顶点(ui,vj),(ui ′,vj′)相邻当且仅当vj=vj′, uiui ′∈E(G1), 或ui=ui ′, vjvj′∈E(G2). 用分别表示G1□G2的n个子图, 其中:显然≅ G1, j=1,2,…,n.引理1[21] 设H是G的生成子图, 则引理2[21] 设G是一个n-阶简单图, 则引理3[23] 设Pm,Pn分别表示阶数为m和n的路, 则α(Pm□Pn)=.定理1 设Pm,Pn分别表示阶数为m和n的路, m,n≥2, 则证明: 由引理2和引理3, 有当n=2时, 容易验证ht(Pm□P2)=0, 且Pm□P2的任意树核是恰含m个顶点的独立集. 令是Pm□Pn的一个树核, 并记(j=1,2,…,n). 考虑如下两种情形.情形1) mn≡0(mod 2). 不失一般性, 令n是偶数, 则此时结论成立.情形2) mn≡1(mod 2). 一方面, 有另一方面, 令显然, 是Pm□Pn的一个破圈割, 且所以ht(Pm□Pn)≥1.综上, 当mn≡1(mod 2)时, ht(Pm□Pn)=1, 且是Pm□Pn的一个树核.下面考虑Cm□Pn的树核度.引理4 设Cm是阶数为m的圈, m≥3, 则证明: 因为Pm□P2是Cm□P2的生成子图, 故由引理1和定理1, 有当m为偶数时, 令则从而故此时ht(Cm□P2)=0, 且是Cm□P2的一个树核.当m为奇数时, 若ht(Cm□P2)=0, 令是它的一个树核, 并令(i=1,2). 则表明是独立集, 且m/2(i=1,2). 此外, 若ht(Cm□P2)=0, 则必有即从而m/2, 矛盾. 故ht(Cm□P2)≤-1. 令则是Cm□P2的一个破圈割, 且从而故此时ht(Cm□P2)=-1, 且是Cm□P2的一个树核.定理2 设Cm,Pn分别表示阶数为m和n的圈, 3≤m≤n, 则证明: 分两种情形讨论.情形1) m为偶数. 因为Pm□Pn是Cm□Pn的生成子图, 故由引理1和定理1, 有另一方面, 令显然, 是Cm□Pn的一个破圈割, 且从而ht(Cm□Pn)=0.情形2) m为奇数. 令是Cm□Pn的一个树核, 并令(i=1,2,…,n). 结合引理4, 当n为偶数时,当n为奇数时,另一方面, 令显然, 是Cm□Pn的一个破圈割, 且从而ht(Cm□Pn)=-n/2.定理3 令G1和G2分别表示阶数为m和n的连通图, 则ht(G1□G2)≤min{nht(G1),mht(G2)}.证明: 令S*为G1□G2的一个树核, 并令(j=1,2,…,n). 根据树核度的定义, 对于任意的j∈{1,2,…,n}, 有又因为从而有同理可证ht(G1□G2)≤mht(G2), 从而结论成立.【相关文献】[1] Even S. 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计算机编程算法常用术语

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塔特对图论的贡献

摘要图论是一门应用广泛的重要数学分支，有着悠久的历史。

它诞生于1736年，1936年正式成为一门独立学科，从此获得突飞猛进的发展。

但这近75年的发展史却几乎没人研究。

作为图论的转折性人物，塔特是20世纪最具国际影响力的图论学家之一。

他是首屈一指的现代图论先驱，被誉为“图论之父”。

他为图论的发展做出了奠基性和开拓性贡献。

他的许多工作都成为后继者继续发掘和拓展的“金矿”，至今仍是非常活跃的课题。

因此，研究塔特对图论的贡献不仅具有重要的历史意义，对于现代图论研究也很有价值。

目前国内外相关研究极少且不系统，本文在没有更多研究文献可借鉴的情况下，通过认真研读塔特的4本专著和几乎全部图论论文，发现促使塔特广泛而深入研究图论的原动力是四色问题。

这样，按照他尝试求解四色问题的不同角度，结合相关理论的发展，本文把他的图论研究工作划分为四个主要分支领域（图着色、图因子及其分解、图多项式和拟阵论），利用思想史学派的概念分析法，系统研究了塔特对图论的贡献及影响。

在阐述过程中，叙述他的主要成就，分析他的思想活动，这有助于理解数学创造的过程、掌握数学发现的方法、借鉴研究问题的思路和途径。

全文从以下几个主要方面进行了研究：1．按照时间顺序，通过阐述塔特在6个不同时期的思想活动、兴趣爱好和学术成就，分析了他从化学转向图论的内因和外因，以及他被载入史册的原因，证明了塔特在图论中的核心地位。

2．塔特在图着色理论上的主要成就。

在分析塔特对四色问题研究的角度、方法的选择和思想的继承基础上，探讨了他如何否定泰特猜想，并取得可平面图哈密顿问题进展的思维过程，强调了推广原则和退步原则是行之有效的数学方法。

3．塔特对图因子及其分解理论的主要贡献。

系统研究了图因子理论的起源及从彼得森到霍尔的发展，重点分析了塔特如何得到当时图论中最具影响力的1-因子定理。

4．塔特对图多项式理论的贡献。

全面分析了塔特如何推动色多项式、塔特多项式和流多项式的发展，如何从四色问题中创造了图多项式的理论分支，指出了建立、发展理论和解决问题是数学创造的两个重要方面。

大学本科毕业论文开题报告8篇

大学本科毕业论文开题报告第1篇1、立题意义,主要研究内容及拟解决的关键性问题2、论文主要研究内容:群的cayley图及其hamilton圈及路径的存在性问题,主要是对一些特殊和常用的群进行了归纳与总结.3、立题意义:1.将高度抽象的群具体化,变成对应于群的结构的可见模型.2.本文在两个现代重要学科"群论"与"图论"之间建立了联系.3.本文还让我们对群的一些"老朋友"――循环群,两面体群,群的直积,生成元及其运算关系有了进一步的了解与复习.4.更重要的是,研究该问题会让你觉得趣味横生.4、解决的关键性问题:将一些特殊的群的图形表示及其hamilton圈及路径的存在性问题进行了归纳与总结,试着从图形中证明我们已熟悉的定理并推出一些结果.对hamilton群中hamilton路径及cayley({(a,0),(b,0),(e,1)}:q4+zm) 中hamilton圈的存在性,对图cayley({(a,0),(b,0),(e,1)}: q8+zm) 中hamilton圈的存在性进行了证明.总结一下有两个生成元组成的无向cayley图及其相关性质,特别的对s6的cayley图及其hamilton圈的存在性进行了讨论.5、立论根据及研究创新之处：在本文中引进了群的cayley图的概念并对一些常用的群进行研究及归纳.研究群的cayley图会使我们对抽象的群有形象化的认识,观察一些特殊群cayley图的优良性质.研究该题不仅可以对循环群,两面体群,群的直积,生成元及其运算关系有了进一步的了解与复习,而且觉得十分有趣.研究创新之处就是将特殊群的一些cayley图表示出来,并且通过图来观测群与群之间的关系(比如群的直积),对一些特殊群的hamilton圈及路径的存在性进行证明与推广.比如hamilton群,q4+zm, q8+zm,s6的cayley图及其hamilton圈的存在性.1蒋长浩,图论与网络流,北京,中国林业出版社,XX.72 i.grossman w.magnus, groups and their graphs3 igor pak and rados radoicic, hamilton paths in cayley graphs2月初――2月底将林老师给与我的材料进行研究3月下旬定下论文方向,并开始定稿.4月初定好初稿,在林老师的指导下进行修改和纠正.大学本科毕业论文开题报告第2篇论文题目：论短跑训练中负重蛙跳对腿部爆发力的作用一、选题的目的、意义(理论意义、现实意义):1.力量素质的练习是一切体育活动的基础，不仅能影响并促进身体素质的发展，而且还直接影响技术动作的掌握和运动成绩的提升。

常用JAVA关键字英语大全带音标

最最常用的关键词及音标数据类型：boolean、byte、short、int、long、double、char、float、double。

包引入和包声明：import、package。

用于类和接口的声明：class、extends、implements、interface。

流程控制：if、else、switch、do、while、case、break、continue、return、default、while、for。

异常处理：try、catch、finally、throw、throws。

修饰符：abstract、final、native、private、protected、public、static、synchronized、transient、volatile。

其他：new、instanceof、this、super、void、assert、const*、enum、goto*、strictfp。

Java基础常见英语词汇(共70个)['ɔbdʒekt] ['ɔ:rientid]导向的['prəʊɡræmɪŋ]编程OO: object-oriented ,面向对象OOP: object-oriented programming,面向对象编程[dɪ'veləpmənt][kɪt]工具箱['vɜːtjʊəl]虚拟的JDK:Java development kit, java开发工具包JVM:java virtual machine ,java虚拟机['dʒɑːvə] [mə'ʃiːn]机器[kəm'paɪl]Compile:编绎Run:运行['veərɪəb(ə)l] [ɒpə'reɪʃ(ə)n] [pə'ræmɪtə]variable:变量operation:操作,运算parameter:参数['fʌŋ(k)ʃ(ə)n]function:函数member-variable:成员变量member-function:成员函数[dɪ'fɔːlt] ['ækses] ['pækɪdʒ] [ɪm'pɔːt] ['stætɪk] default:默认access:访问package:包import:导入static:静态的[vɔid] ['peər(ə)nt] [beɪs] ['sjuːpə]void:无(返回类型) parent class:父类base class:基类super class:超类[tʃaɪld] [di'raivd] [əʊvə'raɪd] [əʊvə'ləʊd] child class:子类derived class:派生类override:重写,覆盖overload:重载['faɪn(ə)l] ['ɪmplɪm(ə)nts]final:最终的,不能改变的implements:实现[rʌn'taim] [æriθ'metik] [ik'sepʃən]Runtime:运行时ArithmeticException:算术异常[ə'rei] ['indeks] [baundz] [ik'sepʃən] [nʌl] ['pɔintə]指针ArrayIndexOutOfBoundsException:数组下标越界异常Null Pointer Exception:空引用异常ClassNotFoundException:类没有发现异常['nʌmbə]['fɔ:mæt]NumberFormatException:数字格式异常(字符串不能转化为数字)[θrəuz]Throws: (投掷)表示强制异常处理Throwable:(可抛出的)表示所有异常类的祖先类[læŋ] ['læŋɡwidʒ] [ju'til] [,dis'plei] [ə'rei] [list]Lang:language,语言Util:工具Display:显示 ArrayList:(数组列表)表示动态数组[hæʃ] [mæp]HashMap: 散列表,哈希表[swiŋ] ['æbstrækt] ['windəu] ['tu:lkit]Swing:轻巧的Awt:abstract window toolkit:抽象窗口工具包[freim] ['pænl] ['leiaut] [skrəul] ['və:tikəl] Frame:窗体Panel:面板Layout:布局Scroll:滚动Vertical:垂直['hɔri'zɔntəl] ['leibl] [tekst] ['fi:ld]Horizontal:水平Label:标签TextField:文本框['εəriə] ['bʌtən] [tʃek] [bɔks]TextArea:文本域Button:按钮Checkbox:复选框['reidiəu] ['kɔmbəu] ['lisənə]Radiobutton:单选按钮Combobox:复选框Listener:监听['bɔ:də] [fləu] [ɡrid] ['menju:] [bɑ:]Border:边界Flow:流Grid:网格MenuBar:菜单栏['menju:] ['aitəm] ['pɔpʌp]Menu:菜单MenuItem:菜单项PopupMenu:弹出菜单['daiəlɔɡ] ['mesidʒ] ['aikɔn] [nəud]Dialog:对话框Message:消息Icon:图标Node:节点['dʒa:və] ['deitəbeis] [,kɔnek'tivəti]Jdbc:java database connectivity ：java数据库连接[draivə] ['mænidʒə] [kə'nekʃən] 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压缩Cryptography 密码Finite State Machine Minimization 有穷自动机简化Longest Common Substring 最长公共子串Shortest Common Superstring 最短公共父串DP——Dynamic Programming——动态规划recursion ——递归)报错英文第一章：JDK(Java Development Kit) java开发工具包JVM(Java Virtual Machine) java虚拟机Javac 编译命令java 解释命令Javadoc 生成java文档命令classpath 类路径Version 版本static 静态的String 字符串类334157810 这群每日java技术免费分享定期java资料更新JIT(just-in-time) 及时处理：第三章：OOP object oriented programming 面向对象编程Object 对象Class 类Class member 类成员Class method 类方法Class variable 类变量Constructor 构造方法Package 包Import package 导入包第四章：Base class 基类Super class 超类Overloaded method 重载方法Overridden method 重写方法Public 公有Private 私有Protected 保护Static 静态Abstract 抽象Interface 接口Implements interface 实现接口第五章：RuntimeExcepiton 运行时异常ArithmeticException 算术异常IllegalArgumentException 非法数据异常ArrayIndexOutOfBoundsException 数组索引越界异常NullPointerException 空指针异常ClassNotFoundException 类无法加载异常（类不能找到）NumberFormatException 字符串到float类型转换异常（数字格式异常）IOException 输入输出异常FileNotFoundException 找不到文件异常EOFException 文件结束异常InterruptedException （线程）中断异常throws 投、掷、抛print Stack Trace() 打印堆栈信息get Message（）获得错误消息get Cause（）获得异常原因method 方法able 能够instance 实例Byte （字节类）Character （字符类）Integer（整型类）Long （长整型类）Float（浮点型类）Double （双精度类）Boolean（布尔类）Short （短整型类）Digit （数字）Letter （字母）Lower (小写)Upper (大写)Space (空格)Identifier (标识符)Start (开始)String (字符串)length （值）equals (等于)Ignore （忽略）compare （比较）sub （提取）concat （连接）trim （整理）Buffer (缓冲器)reverse (颠倒)delete （删除）append （添加）Interrupted （中断的）第七章：toString 转换为字符串GetInstance 获得实例Util 工具，龙套Components 成分，组成Next Int 下一个整数Gaussian 高斯ArrayList 对列LinkedList 链表Hash 无用信息，杂乱信号Map 地图Vector 向量，矢量Collection 收集Shuffle 混乱，洗牌RemoveFirst 移动至开头RemoveLast 移动至最后lastElement 最后的元素Capacity 容量，生产量Contains 包含，容纳InsertElementAt 插入元素在某一位置334157810 这群每日java技术免费分享定期java资料更新第八章：io->in out 输入/输出File 文件isFile 是文件isDirectory 是目录getPath 获取路径getAbsolutePath 获取绝对路径lastModified 最后修改日期Unicode 统一的字符编码标准, 采用双字节对字符进行编码FileInputStream 文件输入流FileOutputStream文件输出流IOException 输入输出异常fileobject 文件对象available 可获取的BufferedReader 缓冲区读取FileReader 文本文件读取BufferedWriter 缓冲区输出FileWriter 文本文件写出flush 清空close 关闭DataInputStream 二进制文件读取DataOutputStream二进制文件写出EOF 最后encoding 编码Remote 远程release 释放第九章：JBuider Java 集成开发环境（IDE）Enterprise 企业版Developer 开发版Foundation 基础版Messages 消息格Structure 结构窗格Project 工程Files 文件Source 源代码Design 设计History 历史Doc 文档File 文件Edit 编辑Search 查找Refactor 要素View 视图Run 运行Tools 工具Window 窗口Help 帮助Vector 矢量addElement 添加内容Project Winzard 工程向导Step 步骤Title 标题Description 描述Copyright 版权Company 公司Aptech Limited Aptech有限公司author 作者Back 后退Finish 完成version 版本Debug 调试New 新建ErrorInsight 调试第十章：JFrame 窗口框架JPanel 面板JScrollPane 滚动面板title 标题Dimension 尺寸Component 组件Swing JAVA轻量级组件getContentPane 得到内容面板LayoutManager 布局管理器setVerticalScrollBarPolicy 设置垂直滚动条策略AWT（Abstract Window Toolkit）抽象窗口工具包GUI （Graphical User Interface）图形用户界面VERTICAL_SCROLLEARAS_NEEDED 当内容大大面板出现滚动条VERTICAL_SOROLLEARAS_ALWAYS 显示滚动条VERTICAL_SOROLLEARAS_NEVER 不显示滚动条JLabel 标签Icon 图标image 图象LEFT 左对齐RIGHT 右对齐JTextField 单行文本getColumns 得到列数setLayout 设置布局BorderLayout 边框布局CENTER 居中对齐JTextArea 多行文本setFont 设置字体setHorizontalAlignment 设置文本水平对齐方式setDefaultCloseOperation 设置默认的关闭操作add 增加JButton 按钮JCheckBox 复选框JRadioButton单选按钮addItem 增加列表项getItemAt 得到位置的列表项getItemCount 得到列表项个数setRolloverIcon 当鼠标经过的图标setSelectedIcon 当选择按钮的图标getSelectedItem 得到选择的列表项getSelectedIndex 得到选择的索引ActionListener 按钮监听ActionEvent 按钮事件actionPerformed 按钮单击方法(编程词汇A2A integration A2A整合abstract 抽象的abstract base class (ABC)抽象基类abstract class 抽象类abstraction 抽象、抽象物、抽象性access 存取、访问access level访问级别access function 访问函数account 账户action 动作activate 激活active 活动的actual parameter 实参adapter 适配器add-in 插件address 地址address space 地址空间address-of operator 取地址操作符ADL (argument-dependent lookup)ADO(ActiveX Data Object)ActiveX数据对象advanced 高级的aggregation 聚合、聚集algorithm 算法alias 别名align 排列、对齐allocate 分配、配置allocator分配器、配置器angle bracket 尖括号annotation 注解、评注API (Application Programming Interface) 应用(程序)编程接口app domain (application domain)应用域application 应用、应用程序application framework 应用程序框架appearance 外观append 附加architecture 架构、体系结构archive file 归档文件、存档文件argument引数(传给函式的值)。

离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例

离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例1 The Foundations: Logic and Proofs（逻辑与证明）1.1 Propositional Logic（命题逻辑）Propositions（命题）——declarative sentence that is either true or false, but not both.判断性语句，正确性唯一。

Truth Table（真值表）Conjunction（合取，“与”，and），Disjunction（析取，or，“相容或”），Exclusive（异或），Negation（非，not），Biconditional（双条件，双向，if and only if）Translating English Sentences1.2 Propositional Equivalences（命题等价）Tautology（永真式、重言式），Contradiction（永假式、矛盾式），Contingency（偶然式）Logical Equivalences（逻辑等价）——Compound propositions that have the same truth values in all possible cases are called logical equivalent.（真值表相同的式子，p<->q是重言式）Logical Equivalences——Page24Disjunctive normal form(DNF，析取范式)Conjunctive normal form(CNF，合取范式) 见Page27～291.3 Predicates and Quantifiers（谓词和量词）Predicates——谓词，说明关系、特征的修饰词Quantifiers——量词Ø Universal Quantifier(全称量词) "全部满足Ø Existential Quantifier(存在量词) $至少有一个Binding Variables(变量绑定，量词作用域与重名的问题)Logical Equivalence Involving QuantifiersNegating Quantified Expressions(量词否定表达：否定全称=存在否定，否定存在=全程否定) Translating from English into Logical Expressions(自然语句转化为逻辑表达)Using Quantifiers in System SpecificationsExamples from Lewis Carrol——全称量词与条件式(p->q)搭配，存在量词与合取式搭配。

第一章 Hamilton系统

某一瞬时系统的运动规律。一有限运动过程中系统的运动规律。
力学原理
变分原理
积分原理
1.2 各力学体系间的关系
1.2.1 各力学体系第一性原理
力学第一性原理也称作力学最高原理，是指力学中最基本最普遍的规律，它是在人类反复实践与深入认识自然界客观规律的过程中建立起来的。原理本身是不需要数学推证的，它的正确性可通过由它推导出的定理和方程对某一自然现象的预测与实际观测的比较来得到证实。对一门学科来说，原理具有高度概括性，学科中的所有定理及方程都可以由它推演出来，因此它对一门学科的所有命题起到了统一的作用。可以说一门学科的系统性与严密性，及其对客观世界反映的深入程度，可从该学科的基本原理的普遍性与概括深度来说明。不变分原理微分原理如牛顿第二定律、达朗贝尔原理等
dP d 2r F m 2 ma dt dt
由牛顿第二定律的表达式我们可以看出其具有以下两个明显的特点：（1）该定律着重讨论质点在力作用下所获得的加速度或在几何空间的运动轨迹，这使得以此为基础的整个牛顿力学具有较强的直观性，但同时也使得牛顿力学的应用具有很大的局限性，只能用于解决纯力学领域的问题。（2）该定律是着眼于单需要解算的独立方程个数也越多，这便是牛顿力学运算较复杂的原因。
经典力学
分析力学
分析力学是Lagrange等人于十八世纪在牛顿力学基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法完全是数学分析，故称之为分析力学。它以达朗贝尔原理和Hamilton原理为基础，分析质量和物体的能量情况，由此探讨物体机械运动规律。分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、Hamilton函数等，动能和势能是其中最关键的量。分析力学的体系和方法不局限于力学领域，对于物理学的其他领域也非常有用，其原因是它将物理规律抽象为数学原理，揭示了物理规律背后更普遍的性质。

边故障k元n立方体的超级哈密顿交织性

边故障k元n立方体的超级哈密顿交织性张淑蓉;王世英;董操【摘要】The k-aryn-cube, denoted by Qkn , as one of the most efficient interconnection networks for information transportation, has been shown as an alternative to the hypercube. A Qkn is bipartite if and only if k is even.A bipartite graph G[V0,V1] is called hyper hamiltonian laceable if(1)it has a hamiltonian path between any pair of vertices in different parts, and(2)for any vertex vÎ Vi , there is a hamiltonian path of G[V0,V1]-v between any two vertices in V1-i , where iÎ{0,1}. Since edge faults may occur after a network is activated, it is important to solve problems in faulty networks. This paper addresses the faulty Qkn with even k4 and n2 , and proves that the Qkn with at most 2n-3 faulty edges is hyper hamiltonian laceable. This result is optimal to the number of edge faults tolerated.%k元n立方体（记为Qkn ）是优于超立方体的可进行高效信息传输的互连网络之一。

2_坚韧图是分数Hamiltonian

w e1 W = w e2
…
w em
其中 , w e i 代表边 ei 的权 .
a11 A =
… ω …
a1m
…
al1
…
alm
l× m
, aij =
1, ej 属于第 i个割集 0, ej 不属于第 i个割集
因而定义 ( 1 )中的式子可用矩阵表示为
AW ≥ 2 I′ , 其中 I = ( 1, 1, …, 1 ) 1 × W. m , 目标函数为 m in I W ≥0
[ 1 ] Bondy J A , M arthu S R. Graph theory w ith app lications[M ]. North 2 Holland: M acm illan L td Press, 1976. [ 2 ] Edward R S, Danielh V. Fractional graph theory [M ]. New York: John W iley and Sons, I NC, 1997. [3] 管梅谷 ,郑汉鼎 . 线性规划 [M ]. 2 版 . 济南 : 山东科学出版社 , 1987. [ 4 ] Chvatal V. Tough graph and Ham iltonian circuits [ J ]. D iscrete M ath, 1973 ( 5 ) : 215 - 228. [ 5 ] Faudree R J, Van D H. Degree sum s, k - factors and Ham ilton cycles in graphs [ J ]. Graphs and Combinatorics, 1995 ( 11 ) : 21 - 28. [ 6 ] Jackson B. Ham ilton cycles in regular 2 - connected graph [ J ]. Comb Th (B ) , 1980 ( 29 ) : 27 - 46.

1-2图的概念和术语精华版

定理14.2:设D=<V,E>是有向图, V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则 d+(v1)+d+(v2)+…+d+(vn) = d-(v1)+d-(v2) +…+d-(vn) = m. #
推论:任何图中,奇数度顶点的个数是偶数. #
10/30/2019 6:09 AM
4
简单图(simple graph)
二部图: G=<V1,V2; E>, 也称为偶图
10/30/2019 6:09 AM
13
练习
PP291 1,5,6,7,8,9
10/30/2019 6:09 AM
14
练习
PP292 12,13,16
10/30/2019 6:09 AM
15
n阶竞赛图：基图是无向完全图Kn
10/30/2019 6:09 AM
11
补图(complement graph)
补图: G=<V,E>, G=<V,E(Kn)-E> 自补图(self-complement graph):GG
10/30/2019 6:09 AM
12
二部图(偶图)(bipartite graphs)
生成子图(spanning subgraph): G’是G的生成子图 G’G V’=V
10/30/2019 6:09 AM
9
导出子图(induced subgraph)
导出子图: G=<V,E>,
若V1V, E1= E V1&V1,则称
G[V1] = <V1,E1>
为由V1导出的子图

Star网络S6的Hamilton圈分解

Star网络S6的Hamilton圈分解路建波;师海忠;牛攀峰【摘要】Star网络Sn作为超立方体(一种著名互连网络)的替代品而被许多作者研究.与超立方体相比较,该网络有较小的直径和顶点度.在本文中,我们证明了关于Star网络Sn的一个猜想当n=6时是正确的,即S6是两个边不交的Hamilton圈及一个完美对集的并.%The Star network 5n as a substitute for hypercube (a well-known interconnection network) has been studied by a number of researchers. As compared with the hypercube, the Star network has small diameter and degree. In this paper, we prove that the conjecture on the Star network Sn for n = 6 is true. Namely, S6 is the union of two edge-disjoint Hamiltonian cycles and a perfect matching.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2011(028)004【总页数】4页(P565-568)【关键词】Cayley图；Hamilton圈;Star网络;完美对集【作者】路建波;师海忠;牛攀峰【作者单位】西北师范大学数学与信息科学学院，兰州730070;西北师范大学数学与信息科学学院，兰州730070;西北师范大学数学与信息科学学院，兰州730070【正文语种】中文【中图分类】TP393；O157.61 引言在文献[1]中，提出了Star网络和Pancake网络的概念.它们都是特殊的Cayley图(有关图的概念可在文献[2]中找到)，并具有很多好的特性：在节点数目相当时，它们的直径和顶点度都远比超立方体的小.图的直径刻画了网络的传输延迟，图的直径越小，信息传输所经过的点数越小，网络的通信效率就越高.图的顶点度对应网络中结点(处理器，计算机或其他设备等组件)能与其直接连接的结点数目，这个数目一般是结点中可利用的输出输入(I/O)端口数目所限制.小的顶点度意味着结点处的小数目接口，导致小的物理连接，因而不仅使布线容易，还会降低网络建造成本.它们还具有对称性，连通性及算法的简单性等特性.而且，Star网络能嵌入长为l 的偶圈(l≥6)和格网[3].Star网络是点可迁图，而且还是边可迁图，有很强的分层结构及很好的容错性能.因此，这两个网络一经提出就受到研究人员的极大关注，尤其Star网络被认为是最有可能取代已被广泛应用的超立方体的一种拓扑结构.有关定义如下：定义1 一个图称为简单图，如果它既没有环也没有两条连杆连接同一对顶点.定义2 设G是一个有限群，e是它的单位元，Ω={g1,g2,···,gn}是G的一个生成子集(即有Ω内元素及其逆作群G上的运算能得到G)且满足：1) gi∈ Ω ⇒ ∈ Ω；2) e∈ Ω.Cayley图Γ=(G,Ω)是一个简单图，它的顶点集和边集分别为定义3 在定义1中，令G是一个n个符号1,2,···,n上的对称群，而Ω={gi=i2···(i−1)1(i+1)···n|2 ≤ i≤ n}，其中i2···(i− 1)1(i+1)···n表示置换则生成一个特殊的Cayley图，把这个图称为n维Star网络，记为Sn.定义4 设M是边集E的一个子集，它的元素是G中的连杆，并且这些连杆中的任意两个在G均不相邻，则称M为G的对集；若对集M的某条边与顶点v关联，则称M饱和顶点v，并且称v是M饱和的；若G的每个顶点均为M饱和的，则称M为G的完美对集.文献[4]中提出如下猜想：猜想对任意的自然数n≥2，如果n是奇数，则Star网络Sn是个边不交(Sn的每一条边只属于一个Hamilton圈)的Hamilton圈的并；如果n是偶数，则Star网络Sn是个边不交的Hamilton圈及一个完美对集的并.注意在本文中：“gi−gj”表示顶点gi和顶点gj之间连边.文中没有给出的其它概念可在文献[2,5,6]中找到，在本文中，我们证明了n=6时，猜想正确.2 Star网络S6的Hamilton圈分解首先，我们给出Sn与第k个符号相关的第i个射影[4,5]的定义：设P=(p1,p2,···,pn)代表任意一个置换.定义P[i;k]=(p1,p2,···,pi− 1,k,pi+1,···,pn)是一个pi=k的置换，令Pn[i,k]代表所有的具有形式P[i,k](其中i,k固定)的置换的集合.显然|Pn[i,k]|=(n−1)!.例如：Sn的由Pn[;k]导出的子图Sn[i;k]称为与第k个符号相关的第i个射影.引理1[3] Sn[i;k]与(n−1)维Star图Sn−1同构.引理2[3] 任给Sn的三个投影Sn[t;i],Sn[t;j],Sn[t;k]，这里i,j,k互不相等，总可以用一个三角形连接它们，如图1左.引理3[3]任给Sn的四个投影Sn[t;i],Sn[t;j],Sn[t;k],Sn[t;m]，这里i,j,k,m互不相等，总可以用一个方形连接它们，如图1右.图1: 引理2中三角形的构造(左图)和引理3中四边形的构造(右图)引理4 若Hn−1为Sn−1的Hamilton圈，则为Sn[n;i]中的Hamilton圈，这里中的每个顶点是，若j<i，则与Hn−1中的符号一样；若j>i，则比Hn−1中的数字大1.证明由Star网络的定义便得到此引理.举例如下：H4:12345−32145−23145−13245−31245−21345−41325−14325−34125−43125−13425−31425−21435−41235−14235−24135−42135−12435−32415−234 15−43215−34215−24315−42315−12345.为S5[5;3]中一圈：12453−42153−24153−14253−41253−21453−51423−15423−45123−54123−14523−41523−21543−51243−15243−25143−52143−12543−42513−245 13−54213−45213−25413−52413−12453.定理1[7]S5是两个边不交的Hamilton圈H1和H2的并.定理2 Star网络S6是两个边不交的Hamilton圈H1和H2以及一个完美对集M 的并.证明由定理1的S5是两个边不交的Hamilton圈H1和H2的并，分别记作α型(与H1顺序一样)和β型(与H2顺序一样).由Star网络的定义S6包含六个S5.由于这六个S5彼此同构，所以每个S5都由两个边不交的Hamilton圈构成.我们先证明S6含有两个边不交的Hamilton圈H1和H2，构造如下：H1的构造如下，见图2左：图2: 定理2中H1(左图)和H2(右图)的构造由我们的构造知Hamilton圈H1和H2是边不交的.因为S6的每个顶点度为5，若把S6的H1和H2的边去掉，则每个顶点的度为1，剩下的边显然是一个完美对集M.我们在S6中构造了两个边不交的Hamilton圈，这个方法和思想对于解决文献[8]的猜想有进一步的推动作用.对于n≥7的情形，由于顶点数目更多，找一个Hamilton圈就已经很复杂[3]，这样找两个Hamilton圈的并就相当复杂.参考文献：【相关文献】[1]Akers S K.Krishnamurthy B.A group-theoretic model for symmetric interconnection networks[J].IEEE Transactions on Computers,1989,38:555-566[2]Bondy J A,Murty U S R.Graph Theory with Applications[M].London:The Macmillan Press Ltd,1976[3]Jwo J S,et al.Embedding of cycles and grids in Star graphs[J].Journal of Circuits Systems and Computers,1991,1(1):43-74[4]师海忠.互连网络的代数环模型[D].北京：中国科学院数学与系统科学研究院应用数学研究所，1998 Shi H Z.A ring-thoritic model for interconection network[D].Beijing:Institute of Applied Mathematics,Chinese Academy of Sciences,1998[5]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1978 Zhang H R.AbstractAlgebra[M].Beijing:Higher Education Press,1978[6]徐俊明.组合网络理论[M].北京：科学出版社，2007 Xu J bination NetworkTheory[M].Beijing:Science Press,2007[7]路建波，师海忠.Star网络S5的Hamilton圈分解[J].数学的实践与认识，2010,40(4):193-197 Lu J B,Shi H Z.Decomposition of Star network S5into Hamilton cycles[J].Mathematics in Practice and Theory,2010,40(4):193-197[8]师海忠.关于Star-网络的一个猜想[C]//中国几何设计与计算新进展：第三届中国几何设计与计算大会论文集.北京：电子工业出版社，2007:252-254 Shi H Z.A conjecture of Star networks[C]//Progress Geometric Design and Computing in China:Proceedings of Third Geometric Design and Computing in China,Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2007:252-254。

哈密尔顿单位凯莱图

哈密尔顿单位凯莱图曹树江;居腾霞【期刊名称】《南通大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)004【摘要】设R 是有单位元1 的交换环, 且1≠0. 环R 的单位凯莱图, 记作Γ(R), 是一个简单图, 图的顶点是环R 的所有元素, 且两个互异顶点x 与y 相邻当且仅当x-y 是R 的单位即可逆元. 该文证明了若有限环交换R 不同构于模2 的剩余类环Z2 , 则环R 的单位凯莱图Γ(R)是哈密尔顿图当且仅当Γ(R)是连通图.%Let R be a ring with an identity 1 such that 1 ≠ 0. The unitary Cayley graph of R, denoted by Γ(R), is a simple graph, with vertices as elements of R; where two distinct vertices x and y are adjacent if and only if x-y is a unit of R, i.e., x-y is an invertible element. In this study, it is showed that if R is a finite commutative ring such that R≠Z2 , then the unitary Cayley graph Γ(R) of R is Hamiltonian if and only if Γ(R) is connected.【总页数】6页(P71-76)【作者】曹树江;居腾霞【作者单位】南通大学理学院, 江苏南通 226019;南通理工学院, 江苏南通226005;南通大学理学院, 江苏南通 226019【正文语种】中文【中图分类】O157.5;O153.3【相关文献】1.哈密尔顿-凯莱定理的应用 [J], 李丽花2.凯莱-哈密尔顿定理的一个广义扩张 [J], 崔春强3.巧用哈密尔顿-凯莱定理求双线性递推数列通项 [J], 黄建锋4.凯莱-哈密尔顿定理的一个广义扩张 [J], 崔春强;5.哈密尔顿-凯莱定理在多项式矩阵上的推广 [J], 胡建华;王资敏;曾博文因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

科大组合与图论专业三十五年

科大组合与图论专业三十五年------为科大校庆五十周年而写李乔、李炯生、徐俊明中国科学技术大学组合与图论专业从李乔发表的第一篇论文算起，经历了整整35年。

在这35年里，逐渐形成了自己的研究特色：组合矩阵论和组合网络理论。

发表学术论文300余篇，专著和教材16部。

获得1993年国家教委科技进步一等奖（合作）和2003年安徽省自然科学二等奖。

培养硕士研究生57名，博士研究生26名，进站博士后5名，接收国内高校青年进修和访问学者9名。

回忆这段历史，科大组合学与图论专业的创立和发展大体上分为三个阶段。

一、创立阶段（1973-1985）中国科学技术大学数学系的组合学与图论研究始于上世纪七十年代初。

北京大学段学复教授向曾肯成建议：国内可由科大牵头研究组合与图论。

李乔和冯克勤凭借代数方面的深厚功底开始涉及组合与图论，在国内率先开展代数图论研究。

1973年，李乔在《中国科学技术大学学报》上发表的“关于偶图的极大对口”是本专业第一篇学术论文。

随后，李乔和冯克勤合作完成了 “关于树和其他图的联系矩阵”、“图的谱性质的若干结果”和“论图的最大特征根” 3篇论文，分别发表在《中国科学技术大学学报》（1976，1979）和《应用数学学报》（1979）上。

这些论文是国内代数图论研究最早的学术论文，现成为此研究领域的经典论文之一。

在此期间，李乔和冯克勤还从数学角度介入当时国内兴起的“量子化学的图论研究”，成为国内最早开展此项研究的学者。

1977年8月在上海举行的全国第一次量子化学学术会议上，李乔介绍了他与冯克勤在这方面的研究成果。

组合学是经典的数学分支，被人熟知。

图论是组合学的一个活跃分支，但当时数学界对它还不大了解。

1977年底，李乔对数学系师生做了题为《图论》的介绍性报告。

他以图论语言简洁证明“在任意六人中必存在三人, 要么都相识,要么都不相识”为开场，来介绍图论，生动有趣。

正是这个报告引起了不少人对图论的兴趣。

在此以前，国内出版的图论教材只有李修睦于1962年译自法国图论专家C.Berge的《图的理论及其应用》。

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676
HAMILTON PATHS IN GRID GRAPHS
677
Байду номын сангаас
2. NP-completeness. Before showing that finding Hamilton paths and circuits in grid graphs is NP-complete, we first show several lemmas" LEMMA 2.1. The Hamilton circuit problem for planar bipartite graphs with maximum degree 3 is NP-complete. Proof. The Hamilton circuit problem is NP-complete for planar digraphs such that for all vertices v"
.
.
* Received by the editors September 22, 1980, and in final form August 25, 1981. Department of Computer Science, Technion, Haifa, Israel. Part of this work was conducted while this author was visiting the Electrical Engineering and Computer Science Department, University of California at Berkeley, and the Laboratory for Computer Science, Massachusetts Institute of Technology. $ Laboratory for Computer Science, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts 02139, and National Technical University of Athens, Greece. The work of this author was supported by the National Science Foundation under grant MCS 76-01193. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil. Present address: Computer Science Division, University of California, Berkeley, California 94720. The work of this author was supported by the Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Technologico (CNPq), Brasil, processo 574/78.
Key words. Hamilton circuit, Hamilton path, grid graphs, rectangular grid graphs, NP-complete problem, Euclidean traveling salesman problem
1. Introduction. Let G be the infinite graph whose vertex set consists of all points of the plane with integer coordinates and in which two vertices are connected if and only if the (Euclidean) distance between them is equal to 1. A grid graph is a finite, node-induced subgraph of G Thus, a grid graph is completely specified by its vertex set. Let vx and vy be the coordinates of the vertex v. We say that vertex v is even if vx + vy --0 (mod 2); otherwise, v is odd. It is immediate that all grid graphs are bipartite, with the edges connecting even and odd vertices. Let R(m,n) be the grid graph whose vertex set is V(R(m,n))={v: l<=v<=m and 1 <-vy <=n}. A rectangular graph is a grid graph which, for some m and n, is isomorphic to R (m, n). Thus m and n, the dimensions, specify a rectangular graph up to isomorphism. Let s and be distinct vertices of a graph G. We say that the Hamilton path problem (G, s, t) has a solution if there exis{s a Hamilton path from s to in G. In this paper we examine the Hamilton path problem for grid graphs; rectangular grid graphs were examined first in [LM]. In 2 we show that the Hamilton path and Hamilton circuit problems for general grid graphs are NP-complete. Consider now a bipartite graph B=(VU V1),E). If Ivl-lvll/x, then all Hamilton paths of B must start and end at vertices of V If (R (m, n), s, t), with m x n Odd, has a solution, then the number of even vertices is greater by one than that of the odd vertices. Hence, a necessary condition for the solvability of (R (m, n), s, t) is that both s and be even. In 3 it is shown that this condition is also sufficient for nontrivial (i.e., m, n > 1) odd rectangular graphs. If m x n is even, then a solution is possible only if s and have different parity. However, this condition is not sufficient. There are three families of configurations for which even though s and have different parity (R(m, n),s, t) has no solution. In 3 we give the precise necessary and sufficient conditions for a Hamilton path problem to have a solution. Partial results in this direction were first proved in [LM].
indegree (v) + outdegree (v)
3
(see [GJ], [P]).
To prove the lemma, we conduct for all vertices v the appropriate transformation as illustrated in Fig. 2.1. The resulting graph is planar (the digraph was), bipartite and has maximum degree less than or equal to 3. 1-1
FIG. 2.1
Let B (VU V 1, E) be a bipartite graph, G1 a rectangular grid graph and let emb be a one-to-one function from VLI V to the vertices of G1 and from E to paths in G1. We say that emb is a parity-preserving embedding of B into G1 if: 1. The vertices V are mapped to even vertices of G1. (If v V then emb (v) is even.) 2. The vertices of V are mapped to odd vertices of G1. (If v V 1, emb (v) is odd.) 3. The edges of B are mapped to vertex-disjoint (except perhaps for endpoints) paths of G1 (i.e., if vu E(B), then emb (vu) is a path P from emb (v) to emb (u), and the intermediate vertices of P do not belong to any other path). See Fig. 2.2 for an example of a parity-preserving embedding. LEMMA 2.2. If B is a bipartite planar graph with n vertices and maximum degree 3, then we can construct in polynomial time a parity preserving embedding of B into a rectangular graph R (kn, kn (for some constant k ). Proof. It is a quite well-known and straightforward result (see, for example, [S], [V]) that all cubic planar graphs with n nodes can be embedded in R (n, n). Our extra requirement, preserving parity, can be accommodated by multiplying the scale by 3 and moving the vertices "locally" as in Fig. 2.3. lq