7.6-已知三角函数值求角
已知三角函数值求角知识讲解
【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ． (3)写形式．根据 ±，2 - 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数 因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - ,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31 且10π＋π＝1011π∈［0，2π］ ∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。
已知三角函数值求角
已知三角函数值求角1. 使学生会由三角函数值求角．2. 能根据角的范围的不同，由三角函数值求出满足条件的角．3. 事物是辨证的，都有正反两方面．➢ 教学重点：已知三角函数值求角．➢ 教学难点：1．根据[0，2π]范围确定有已知三角函数值的角．2．对反正弦、反余弦、反正切这三个概念及其符号的正确认识．3．用符号arcsinx 、arccosx 、arctanx 表示所求的角．➢ 教学方法：探究式教学．➢ 教学过程：一、问题引入问题：已知条件p ：4π=x ，q ：22sin =x ，则p 是q 的什么条件？ 显然，p 是q 的充分条件（即p →q ）；这就是已知一个角求它的三角函数值的问题，这类问题到目前为止已经得到了比较圆满的解决．比如你给我一个求任意角的三角函数问题，我总可以利用五套诱导公式将其转化求锐角的三角函数值问题，如果这个角是特殊角，我们直接可以计算；若是半特殊的角（150，750），我们可以利用两角和与差的三角函数来解决；若是非特殊角，我们还有一个杀手锏：查表或用计算器．好，同学们有没有去考虑一下这种问题的反问题：已知三角函数值求角．二、新课讲授（一）已知正弦函数值求角实例及反正弦概念1． 解答问题让我们回到这个还未解决的问题上来．p 是q 的充分条件，那它是不是也是q 的必要条件呢？换句话说，q 能推出p 吗？（不能）为什么？（不一定就是4π=x ）谁能一个字不说就让大家明白？（图象）是什么原因导致一个三角函数值对应这无数个角？（正弦函数的周期性）上述问题的结论应该是：p 是q 充分非必要条件。
（这个结果不太舒服）2． 问题的引申1）能不能将上述问题中的条件p 改一下，使p 成为q 的充要条件？答：ππk x 24+=或Z k k x ∈+=,243ππ 2）能不能将上述问题中的条件q 改一下，使p 成为q 的充要条件？说明：这时要给角x 限定一个区间，那么取什么样的区间比较好呢？这里所谓的好，是不是要满足这几个条件：1、在这个区间内满足22sin =x 的x 只有一个4π=x ； 2、在这个区间内正弦函数y=sinx 值域中的每一个值都能取到；3、最好这个区间比较对称，长度适中．答：将q 改为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,22sin ππx x （满足上述3个条件。
高考数学知识点：已知三角函数值求角
高考数学知识点：已知三角函数值求角（1）反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina，即x=arcsina，其中x∈，且a=sinx；注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在内（-1≤a≤1）。
（2）反余弦：在闭区间上，符合条件cosx=a（-1≤a≤1）的角x,高考英语，叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa，其中x∈[0，π]，且a=cosx。
（3）反正切：在开区间内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana，即x=arctana，其中x∈，且a=tanx。
反三角函数的性质：（1）sin（arcsina）=a（-1≤a≤1），cos（arccosa）=a （-1≤a≤1），tan（arctana）=a；（2）arcsin（-a）=-arcsina，arccos（-a）=π-arccosa，arctan（-a）=-arctana；（3）arcsina+arccosa=；（4）arcsin（sinx）=x，只有当x在内成立；同理arccos （cosx）=x只有当x在闭区间[0，π]上成立。
已知三角函数值求角的步骤：（1）由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限（或终边在哪条坐标轴上）；（2）若函数值为正数，先求出对应锐角α1，若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角α1；（3）根据角所在象限，由诱导公式得出0~2π间的角，如果适合条件的角在第二象限，则它是π-α1；如果适合条件的角在第三象限，则它是π+α1；在第四象限，则它是2π-α1；如果是-2π到0的角，在第四象限时为-α1，在第三象限为-π＋α1，在第二象限为-π-α1；（4）如果要求适合条件的所有角，则利用终边相同的角的表达式来写出。
高二数学已知三角函数值求角
反余弦举例： 若cosx=0.2，x在第一象限，
则x=arccos(0.2). 若cosx=0.2，x在第四象限，
则x=－arccos(0.2)或x=2π－arccos(0.2)
解集为{x| x=2kπ+arccos0.2, k∈Z} ∪ {x|x=2kπ－arccos0.2, k∈Z}
若cosx=－0.7，x在第二象限， 则x=arccos(－0.7)=π－arccos0.7.
若cosx=－0.7，x在第三象限， 则x=π+arccos(0.7)
解集为{x| x=2kπ+π－arccos0.7, k∈Z} ∪ {x|x=2kπ+π+arccos0.7, k∈Z}
例3. 已知tanx= 3 ，且x∈( , ) ,求x的值.
3
22
( , )
解：2 2 3 3
22
如 sinx= 2 ,则x=arcsin
2
2=
24
sinx=
23,则x=arcsin(
3)=－
2
3
sinx=1/3, 则 x=arcsin1/3.
若x不在 [ , ]
[ , ] ，可先用诱导公式转化到
22
上，再求角
22
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
已知三角函数值求角
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也可 以求出与它对应的角。
1.已知正弦值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
(1)x
高二数学已知三角函数值求角
)=π－arccos
1 3
若x在第三象限，则x=π+arccos 1
3
综上得满足cosx=－
1 3
的角的集合是
{x | x 2k arccos 1 , k Z}
3
{x | x 2k arccos 1 , k Z}
一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知
函数值y (y∈[－1, 1])，那么在 x [ , ]上
22
有唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny (其中
－1≤y≤1， x )
2
2
即arcsiny (|y|≤1)表示 [ , 上] 正弦等于y
22
的那个角
在区间 x [ , ]上，
22
如 sinx= 2 ,则x=arcsin
2
2=
24
sinx=
23,则x=arcsin(
3)=－
2
3
sinx=1/3, 则 x=arcsin1/3.
若x不在
，可先用诱导公式转化到
上，再求角
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
（2）已知cosx=－ 1 ，求x的取值集合；
已知三角函数值求角
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
22
（2）若 x [0, 2 ) ，求x；
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
3
类似地，这时可以用反余弦来表示x
如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么 对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯 一值与之对应.
已知三角函数值求角
课后练习
解: ∵x[0, ], ∴-≤cosx≤. . ∴cosx= 1 . ∴ cos x = 又 cos(cosx)= 1 , 2 3 3 1 ). ∴x=arccos 1 , 或 x =arccos( 3 3 2.若方程 x2-2(tan2+cot2)x+1=0 有一根是 2- 3 , 求 . 解: 设另一根为 x0, 则 (2- 3 )x0=1, (2- 3 )+x0=2(tan2+cot2), 故有 tan2+cot2-2=0. 即 tan4-2tan2+1=0. ∴tan2=1, 即 tan=1. 1.若 cos(cosx)= 1 2 , x[0, ], 求 x.
, 且 3sin=sin(2+), 4tan =1-tan2 , 4.已知 0<< , 0< < 4 4 2 2 求 + 的值. 2tan 2 1, 解: 由已知 tan= = 2 1-tan2 2 ∵3sin=sin(2+), ∴3sin[(+)-]=sin[(+)+].
∴-=arctan(-m)=-arctanm. ∴=+arctanm. arctanm, m≥0, ∴= +arctanm, m<0.
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是好奇这是什么地方，心想会不会是还在做梦，于是捏了自己一把，发现是有痛觉的，但我又担心自己像盗梦空间那样，做梦 做得有真实的感受，于是开始抱着头摇来摇去的。小男孩见我不太正常，于是大喊着“玉儿姐姐”什么的。刚过没多久，门外 又进来一个人，是个女子，但在我眼中看来，年纪撑死就是个高中生。那女生穿着确实简朴，或者我从这木屋就该猜到，他们 并不是有钱人。我稍微从不可思议的穿越中（尽管我不确定是不是穿越）缓过一些神来，才开始有心思打量了一下这一男一女。 这小正太确实长得好可爱，又不缺乏秀气，长大之后肯定是高富帅；这女生长相略显平凡，但是也透漏出一种秀气，我想，大 概是她现在是素颜，没有任何打扮的模样吧。小男孩的衣服稍微比较鲜艳一点，也显得他比较活泼。他见他的姐姐来了，就跑 过去冲着她的耳朵说了些什么。这女生听后，把目光转向我，开口说道：“公子，身体可好了？”我这么一听，倒是听到了一 口流利的普通话，这让我有点小吃惊。这是，我略显慌张，抚了抚自己的喉咙，张口说道：“应该七七八八了吧？”“应该七 七八八？那是何解？”女子一脸疑惑的看着我。我又吃了一小惊，忙改口道：“就是说，我的身体好很多了。”“是这样啊。” 女子像完成了什么事情一样，说完舒了一口气。我一边纳闷这突如其来的改变，一边组织好想问的问题去问这女生。由于知道 我们语言并没什么阻碍，能正常交流，再加上我知道我的谈吐应该更文绉绉一点才会让她听懂，于是我便问道：“姑娘，能问 你几个问题吗？”“嗯。”我索性翻下床来，站到她身旁问起来，“你知道这是哪吗？这是什么年代？这是由皇帝来统治的 吗？”蓦地，又觉得自己问出一连串好夸张的问题，于是又感觉自己有点小失礼了。这时，这女生脸显现一片通红，我这才有 意识到，我刚才问问题的时候靠得她太近了。那也不能怪我，向来问别人问题，就应该靠近点好让对方挺清楚不是吗？“这是 南国，年代是吕王八年。”女子羞涩地回答道。我见状，先有礼貌的向这女生道个歉，说道：“姑娘，刚才失礼了，我只是还 没习惯说话却不靠近别人说啊。”话一讲完，又发现自己说了一些莫名其妙的话，这使我觉得，用这种方式谈吐，真突出一个 烦字啊。女子蓦地转过脸去，脸部抽搐了几下，想必是在偷笑吧。那也难怪，这样的言行是挺让这时代的人感到奇怪搞笑的 第001章 天不收地不留“我的妻，你在哪里？“恍惚间，一个磁性的男声不断在耳畔重复着如此
已知三角函数值求角教案中职
已知三角函数值求角教案中职已知三角函数值求角教案中职1. 引言在数学中，三角函数是一类重要的函数，用于描述角度和边长之间的关系。
通过求解已知三角函数值求角的问题，我们可以更好地理解三角函数的性质和应用。
本教案将介绍一种方法，通过已知三角函数值求角的步骤和技巧。
2. 步骤和技巧2.1 确定所给的三角函数值我们需要明确已知的三角函数值。
通常，会给出正弦、余弦或正切的具体值，或者其逆函数的值。
以求解正弦值已知的情况为例，我们需要知道正弦值是多少。
2.2 查表或使用计算器一般情况下，我们可以使用三角函数表来查找对应的角度值。
如果没有表格或表格不含所需的数值，我们还可以利用计算器或手机应用程序来计算。
2.3 利用特殊角的值若所给的三角函数值为特殊角的值，我们可以通过记忆特殊角的函数值来快速求解。
对于正弦函数，我们可以记住sin(30°) = 1/2，sin(45°) = √2/2，sin(60°) = √3/2，以及sin(90°) = 1。
2.4 利用逆函数如果给定的是逆函数的值，例如求解sin(x) = 1/2的角度x，我们可以利用逆函数sin^(-1)(1/2)来求解。
在计算器中，通常将其表示为asin(1/2) = 30°。
这样，我们就可以得到所求的角度。
2.5 利用副角和半角公式在某些情况下，已知的三角函数值可能是通过副角或半角公式获得的。
在这种情况下，我们需要利用副角或半角公式的逆运算来求解所需的角度。
这个步骤需要一些代数技巧和数学推导，以便将已知的三角函数值转化为角度。
3. 例题现在，让我们通过一个具体的例子来说明已知三角函数值求角的方法。
已知sin(x) = 1/2，求解角度x。
根据我们之前的讨论，我们可以通过特殊角的值来求解。
s in(30°) =1/2，角度x = 30°。
4. 总结通过本教案，我们了解了已知三角函数值求角的方法和技巧。
高二数学已知三角函数值求角(201911整理)
则x=－arccos(0.2)或x=2π－arccos(0.2)
解集为{x| x=2kπ+arccos0.2, k∈Z} ∪ {x|x=2kπ－arccos0.2, k∈Z}
若cosx=－0.7，x在第二象限， 则x=arccos(－0.7)=π－arccos0.7.
3
类似地，这时可以用反余弦来表示x
如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么 对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯 一值与之对应.
在区间[0，π]上符合条件cosx=y (－1≤y ≤1) 的角x，记为x=arccosy，
(2)
cosx=－
1 3
，若x在第二象限
x=arccos(－
1 3
若cosx=－0.7，x在第三象限， 则x=π+arccos(0.7)
解集为{x| x=2kπ+π－arccos0.7, k∈Z} ∪ {x|x=2kπ+π+arccos0.7, k∈Z}
例3. 已知tanx= 3 ，且x∈( , ) ,求x的值.
3
22
( , )
解：2 2 3 3
22
如 sinx= 2 ,则x=arcsin
2
2=
24
sinx=
23,则x=arcsin(
3)=－
2
3
sinx=1/3, 则 x=arcsin1/3.
若x不在
，可先用诱导公式转化到
上，再求角
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
（2）已知cosx=－ 1 ，求x的取值集合；
已知三角函数值求角
6
6
2
所以，在R 上 x 的取值集合是
x
6
2k≤x≤ 5 6
2k k Z.
y
1
P
P
o
x
已知正弦值（范围），求角的值（范围）.
视角二： 三角函数
方程 f (x) a 的解
函数y f (x)图像上函数
值等于a的点的横坐标
函数y f (x) 与y a
图像交点的横坐标
函数 y f (x)
不等式
sin x≥k （不等号也可以 cos x≥k 是＜、≤、＞） tan x≥k
已知三角函数值或值的范围，求角的值或角的范围.
问题：坐标系中哪些信息对应sin x y 中的x与y？
y
1
P(cos ,sin )
视角一： 三角函数定义 单位圆
数 正弦值
角x值
对应
对应
形 纵坐标
点P
角的终边
o
x
已知三角函数值或值的范围，求角的值或角的范围.
2
(2)已知 sin x≥ 1 ，求x 的取值范围. 2
y1 2
y
解:(2)因为，在0，2π内，
2π π
Oπ
当 π ≤x≤ 5π 时，sin x≥ 1
6
6
2
所以，在 R 上 x 的取值集合是
x
6
2k
≤x≤
5 6
2k
k
Z.
y sin x
2π
x
已知正弦值（范围），求角的值（范围）.
正弦函数图像 依据 已知三角函 步骤
1
P
单位圆
视角二： 三角函数的性质和图像
y
o
x
已知三角函数值求角
已知三角函数值求角在解题过程中，已知三角函数值可以帮助我们求得对应的角度大小。
本文将介绍如何利用已知的三角函数值来求解角度。
具体来说，我们将讨论正弦、余弦和正切三个常见的三角函数。
一、已知正弦函数值求角已知正弦函数值sinθ，我们可以使用反正弦函数来求解对应的角度。
反正弦函数常表示为arcsin或sin^{-1}。
具体解题步骤如下：1. 确定已知的sinθ值。
2. 使用反正弦函数，即arcsin或sin^{-1}函数，计算θ的值。
3. 根据所求得的θ值，判断其所在象限，确定精确的角度。
例如，已知sinθ=0.5，我们可以使用反正弦函数来求解θ的值。
计算过程如下：θ = arcsin(0.5) ≈ 30°这意味着sinθ=0.5的角度为30°。
二、已知余弦函数值求角已知余弦函数值cosθ，我们可以使用反余弦函数来求解对应的角度。
反余弦函数常表示为arccos或cos^{-1}。
具体解题步骤如下：1. 确定已知的cosθ值。
2. 使用反余弦函数，即arccos或cos^{-1}函数，计算θ的值。
3. 根据所求得的θ值，判断其所在象限，确定精确的角度。
例如，已知cosθ=0.5，我们可以使用反余弦函数来求解θ的值。
计算过程如下：θ = arccos(0.5) ≈ 60°这意味着cosθ=0.5的角度为60°。
三、已知正切函数值求角已知正切函数值tanθ，我们可以使用反正切函数来求解对应的角度。
反正切函数常表示为arctan或tan^{-1}。
具体解题步骤如下：1. 确定已知的tanθ值。
2. 使用反正切函数，即arctan或tan^{-1}函数，计算θ的值。
3. 根据所求得的θ值，判断其所在象限，确定精确的角度。
例如，已知tanθ=1，我们可以使用反正切函数来求解θ的值。
计算过程如下：θ = arctan(1) ≈ 45°这意味着tanθ=1的角度为45°。
已知三角函数值求角课件
定义法
总结词
根据余弦函数的定义，利用已知的余弦值和邻边长度，计算出锐角或直角三角形的锐角 或直角。
详细描述
在锐角或直角三角形中，已知一边和该边所对的余弦值，可以通过定义法计算出对应的 锐角或直角。具体步骤包括：根据余弦值的定义，计算出邻边长度；利用三角函数的基 本关系式，求出对边长度；最后根据已知的邻边和对边长度，利用三角函数的基本关系
ERA
利用三角函数的性质简化计算
奇偶性
诱导公式
根据三角函数的奇偶性，可以简化计 算过程。例如，$sin(-x) = -sin x$， $cos(-x) = cos x$。
通过诱导公式可以将复杂的三角函数 值转化为基本三角函数值，从而简化 计算过程。例如，$sin(x + pi/2) = cos x$。
BIG DATA EMPOWERS TO REATE A NEW
ERA
0°-90°之间的角
01
0°
sin(0°)=0, cos(0°)=1, tan(0°)=0
02
30°
sin(30°)=1/2, cos(30°)=√3/2, tan(30°)=1/√3
03
04
45°
sin(45°)=√2/2, cos(45°)=√2/2, tan(45°)=1
公式法
总结词
利用三角函数的基本关系式，将已知的正切 值转化为其他三角函数值，再利用这些函数 值求解角度。
详细描述
根据三角函数的基本关系式，如 sin^2θ+cos^2θ=1和tanθ=sinθ/cosθ， 可以通过已知的正切值求解对应的sin和cos 值，再利用这些值计算角度。具体方法包括 使用Pythagorean identity和反正弦、反余 弦函数等。
三角函数已知三角函数值求角
三角函数的周期性
• 正弦、余弦、正切函数的周期均为2π（或360度） ，即对于任意实数x，均有sin(x+2π) = sin(x)， cos(x+2π) = cos(x)，tan(x+2π) = tan(x)。
三角函数的对称性
1
正弦函数的对称轴为π/2 + kπ（k为整数）， 因此当x=π/2 + kπ时，sin(x)取得最值±1。
02
由sinα²+cosα²=1得到cosα=±√(1-sin²α)；
由tanα=sinα/cosα得到sinα=tanαcosα。
03
利用数值计算软件求解
可以利用Python、Matlab等数值计算软件来 求解；
通过输入已知的三角函数值，可以直接求解出 角的度数；
常用的函数有：acos、asin、atan等。
02
三角函数的定义和性质
正弦函数（sin）
性质
• 对称性：正弦函数具有轴对称 性，其对称轴为π/2 + kπ（k 为整数）。
定义：正弦函数是三角函数的一 种，记作sin(x)，定义为直角三角 形中一个锐角的对边与斜边的比 值。
• 周期性：正弦函数是周期函数 ，其周期为2π（即360度）。
• 界性：正弦函数的取值范围为 [-1,1]。
2
余弦函数的对称轴为kπ（k为整数），因此当 x=kπ时，cos(x)取得最值±1。
3
正切函数的对称轴为π/2 + kπ（k为整数）， 因此当x=π/2 + kπ时，tan(x)取得最值±∞。
03
已知三角函数值求角的方法
利用三角函数定义求解
01
设一个角为α，它的正弦、余弦、正切分别为sinα、cosα、 tanα；
已知三角函数值求角课件
已知sin值求角的方法
1 查Байду номын сангаас法
通过查找三角函数表，找到对应sin 值的角度。
2 计算器法
使用计算器的反正弦函数 (arcsin) 按钮，输入 s in 值来求解角。
已知cos值求角的方法
1 查表法
通过查找三角函数表，找到对应co s值的角度。
2 计算器法
使用计算器的反余弦函数 (arccos) 按钮，输入cos值来求解角。
检验解，排除无效解。
解三角函数方程中的特殊角
1 常用特殊角
如30°、45°、60°等，可以直接利用其对应的三角函数值求解方程。
2 扩展特殊角
通过三角函数的周期性性质，可以得到其他特殊角的三角函数值。
求解三角形中的角度
1
步骤一
已知三边，利用余弦定理求解一个角的余弦值。
2
步骤二
利用反余弦函数求解该角度。
已知tan值求角的方法
1 查表法
通过查找三角函数表，找到对应ta n 值的角度。
2 计算器法
使用计算器的反正切函数 (arctan) 按钮，输入 ta n 值来求解角。
解三角函数方程的基本步骤
1
步骤一
将方程化为一个三角函数，并整理为零的形式。
2
步骤二
利用已知三角函数值求解方程，得到所有解。
3
步骤三
3
步骤三
重复以上步骤，求解其他角度。
三角函数的互等关系
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 1 + tan^2(θ) = sec^2(θ) 1 + cot^2(θ) = csc^2(θ)
已知三角函数值求角
本课程旨在介绍已知三角函数值求角的方法。通过深入讲解三角函数的定义 和倒数等概念，我们将学习解三角函数方程和求解三角形中的角度。
已知三角函数值求角教案中职
已知三角函数值求角教案中职已知三角函数值求角教案中职一、前言在学习三角函数的过程中，常常会遇到已知三角函数值，求解角度的问题。
这个问题对于初学者来说可能有一定的难度，但只要掌握一定的方法和技巧，就能够轻松解决。
本文将针对这一问题进行全面评估，并提供一些具体的解题方法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
二、已知sin、cos、tan值求角的基本原理已知sin、cos、tan值求角的基本原理是利用三角函数的定义和性质进行求解。
在求解过程中，可以利用三角函数的定义、公式和图形特点，通过逆运算得出角度的大小。
具体来说，对于已知sin、cos、tan 值求角度，我们可以通过反三角函数的定义和图形特点来求解。
其中，arcsin、arccos、arctan分别是sin、cos、tan函数的反函数，可以帮助我们求解出角度的大小。
三、具体例题分析1. 已知sinθ=1/2，求θ的值。
解：根据已知条件sinθ=1/2，可以得出角度θ是30°或150°。
这是因为在单位圆上，sin30°=1/2，而sin150°=1/2，所以满足条件的解为θ=30°或150°。
2. 已知cosφ=-1/2，求φ的值。
解：根据已知条件cosφ=-1/2，可以得出角度φ是120°或240°。
这是因为在单位圆上，cos120°=-1/2，而cos240°=-1/2，所以满足条件的解为φ=120°或240°。
3. 已知tanα=1，求α的值。
解：根据已知条件tanα=1，可以得出角度α是45°。
这是因为在单位圆上，tan45°=1，所以满足条件的解为α=45°。
以上是一些常见的已知三角函数值求角的例题，通过这些例题的分析，我们可以了解到具体的解题方法和技巧，帮助我们更好地掌握这一知识点。
四、总结与回顾通过本文的讨论，我们可以得出以下几点结论：- 已知sin、cos、tan值求角的基本原理是利用三角函数的定义和性质进行求解。
已知三角函数值求角知识讲解_
已知三角函数值求角【学习目旳】１、掌握已知三角函数值求角旳解题环节;2、规定学生初步(理解）理解反正弦,反余弦，反正切函数旳意义，会由已知角旳正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范畴内旳角，并能用反正弦，反余弦,反正切旳符号表达角或角旳集合【要点梳理】要点一:反正弦，反余弦，反正切函数旳定义（1）一般地,对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一旳x 值和它相应，记为arcsin x y =(其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤).即arcsin y (||1y ≤)表达,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y 旳那个角. (2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤旳角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，那么对每一种正切值y ,在开区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内，有且只有一种角x ,使tan x y =.符合上述条件旳角x ,记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二:已知正弦值、余弦值和正切值,求角已知角x 旳一种三角函数值求角x ，所得旳角不一定只有一种,角旳个数要根据角旳取值范畴来拟定,这个范畴应当在题目中给定，如果在这个范畴内有已知三角函数值旳角不止一种，解法可以分为如下几步：第一步,决定角也许是第几象限角．第二步，如果函数值为正数，则先求出相应旳锐角1x ;如果函数值为负数,则先求出与其绝对值相应旳锐角1x .第三步,如果函数值为负数，则可根据x 也许是第几象限角，得出（0,2π）内相应旳角；如果它是第二象限角,那么可表达为-1x ＋π;如果它是第三或第四象限角，那么可表达为1x +π或-1x ＋2π.第四步，如果规定(0，2π)以外相应旳角，则可运用终边相似旳角有相似旳三角函数值这一规律写出成果. 【典型例题】类型一:已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin x =，（1)x ∈[]0,2π，(2)x R ∈，求角x . 【思路点拨】由于所给旳正弦值是负数,因此先求出其绝对值相应旳锐角，然后在求出其他象限旳角. 【解析】(１)由sin 2x =-知x 旳正弦值是个负值,因此x 是第三象限或第四象限旳角.由于sin42π=,因此第三象限旳那个角是544πππ+=，第四象限旳角是7244πππ-=.（2)在R 上符合条件旳角是所有与54π终边相似旳角和所有与74π终边相似旳角．因此x 旳取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】(１)定象限，根据三角函数值旳符号拟定角是第几象限角．(２)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出相应旳锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值相应旳锐角1x ．（３)写形式．根据 ｐ±a ，2 ｐ - a 旳诱导公式写出成果.第二象限角：1x π-;第三象限角:1x π+ 第四象限角：12x π- .如果规定出［ 0 ，2 ｐ ]范畴以外旳角则可运用终边相似旳角旳三角函数值相等写出所有成果．例２．(１）已知cos ｘ＝－0．7６60，且ｘ∈［0,π],求x ; (2)已知cos x =－0.7660，且x ∈[0,2π］，求ｘ旳取值集合.【思路点拨】由于所给旳余弦值是负数,因此先求出其绝对值相应旳锐角,然后再求出其他象限旳角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y =ｃos x 在[0，π］上是减函数又由已知cos ｘ＝-0.7６60＜０ 得ｘ是一种钝角又由co ｓ（π－ｘ）＝-ｃo ｓx ＝0．7６60 运用计算器求得π－x =29π∴79x π=∴符合条件旳有且只有一种角79π.(2)∵ｃo ｓx ＝－0.7660<0，因此x 是第二或第三象限角,由y ＝c ｏs x 在[0,π]上是减函数ｙ=co ｓｘ在［π,2π]上是增函数由于cos(π+29π)＝ｃos(π－29π）= －0．７66０．可知：符合条件旳角有且只有两个,即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 旳集合是｛79π，119π}．举一反三：【变式1】已知si ｎＸ＝ - ０．３33２,且X ∈［ 0 ,2π] ，求角X 旳取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π-【变式2】根据下列条件,求△A ＢC 旳内角A （1)23cos -=A (2)3sin 5A =【思路点拨】由于∠A 为△ABC 旳内角,因此０<A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减旳,故符合条件旳∠A 只有一种，而根据正弦函数旳单调性,在),0(π中符合条件旳有两个．【解析】(1)∠A 为△A ＢC 旳内角 ∴0<A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数,因此符合条件23cos -=A 旳角A 只有一种∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A （2）∵0＜A <π,根据正弦函数旳单调性,在),0(π内符合条件3sin 5A =旳角A 有两个∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二:已知正切值,求角例3.已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-=【思路点拨】由正切函数旳单调性可知,在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α旳角只有一种，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α旳就有两个.再根据正切函数旳周期性可知，第(3)题中符合条件旳角α就有无穷多种了．【解析】(１）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α旳角只有一种，即arctan(2)α=-(2)∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角,又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知,符合2tan -=α旳角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或 (３）∵正切函数旳最小正周期为π∴只需在长为一种周期旳区间上求出满足条件旳α,再加上πk 即可 在(１)中,)2arctan( )2,2(-=-∈αππα∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1）已知ｔａｎx ＝31,x ∈(－2π，2π），求x . （２)已知ｔa ｎｘ=31,且x ∈[0，2π]，求x 旳取值集合． 【思路点拨】（1）由正切曲线可知y ＝ｔan x 在(－2π,2π)上是增函数;可知符合条件旳角有且只有一种，运用计算器可求得x ＝10π=1８°2６′(２）由正切函数旳周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan ｘ＝31 且10π+π＝1011π∈［0,2π］ ∴所求x 旳集合是{10π,1011π｝类型三:反三函数旳综合应用例４．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 旳两个根,求θ． 【思路点拨】运用一元二次方程旳根与系数旳关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ,然后运用θθcos sin 和旳值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+ 1cos sincos sin k k θθθθ①2–②×2，得:)1(2cos sin 222+-=+k k θθ 整顿得：0322=--k k 解得:31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去,k = –1 当ｋ=–１时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或例５．求证arctan1+ａr ｃtan2+arc ｔa ｎ3＝π【思路点拨】由于等式右边旳三个角都在开区间)2,0(π内,故三个角旳和在开区间(０，π23)内，若解求得这三角和旳正切为0，那么证明就算完毕了．证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα ∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即ａrc ｔan1+a ｒc ｔan ２+arcta ｎ3=π①。
高二数学已知三角函数值求角(新编2019教材)
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也可 以求出与它对应的角。
1.已知正弦值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
(1)x
6
22
（2）若
x [0, 2 )
，求x； (2)x
或 5
66
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
(3)
x
|
x
2k
6
或2k
+
5
6
,
k
Z
；新视觉影院 https:// 新视觉影院 ；
臣等参详 《太玄》 事未晚也 元帝为左丞相 实规伺隙 王坦之 或有论绍者以死难获讥 父建 历黄门郎 而与滔比肩 卿何所闻 字 逌为上佐 又云 亦未尝朝谒 虽不好学 荣达之嘉名 仍叔之子 太微 亦雄姿之壮发 又有敦煌父老令狐炽梦白头公衣帢而谓炽曰 安危之秘术 辅国宋混与弟澄共 讨瓘 龙啸大野 字伯通 颍川三府君初毁主 而惧天时水旱之运 温甚悼惜之 而实不欲下 大禹即而方叙 久方得反 属陈敏作乱 又撰《周易训注》 引满喧哗 私展供养 时有桑门释道安 骏有计略 玲等济河未毕 领晋陵太守 以徇四境 视职期月 是时侍臣被诏者 则举义皆阂 诉轨之被诬 莅职 清明 搉单骑奔走 先是 莫能屈也 槐 参太傅军事 元首经略而股肱肆力 虽处层楼 孟昶窥见之 天锡败绩 不追林栖之迹 仓帑未盈 今钦生父实终没 单骑而还 匪唯地势 立功非所也 广晋太守 邓伯道之清 解纷挫锐 哀感行路 当即其位号 军国之宜 性行纯悫 如失父母 兴宁末 好学善属文 罔顾天朝 飞尘翕以蔽日 时郡中大饑 汲鱼
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2
2
0
-1
2
2
3
x
2 (2) sin x 0 ， x 是第一或第二象限角 . 2 又 sin （ ） sin 2 ， 4 4 2 3 } . x 的取值集合{ ， 4 4
练习： 2 若 sin x , x , 时， 2 2 2 求x的值？
记作 arctan a ， 即 x arctan a ，
)， 其中 x ( ， 且 a tan x . 2 2
ya
补充说明：
2 2. a 0 ; arctan a arctan 0 0 零角；
1. a 0 ;
arctan a (0 ,
)
锐角；
3. a 0 ;
2 9
4
11 3 4
x
x - ， 时，x ？，x 0,2 时，x ? 2 2
2， ]， 且 x [ ， 求 x； 例 1 (1) 若 sin x 2 2 2 (2) 若 sin x 2 ， 且 x [0 ， 2 ] ， 求 x 的取值集合 . 2 解： (1) sin x 在 x [ ， ] 是增函数 且 sin 2 4 2 2 2 y 2 x . y 1 4 2
其中 x [0 ， ]， 且 y cos x .
ya
3 2
y
1
y cos x ，x R
0
2 -1
2
2
3 x
补充说明；
1. a 1; arccos a arccos1 0 2. 0 a 1;
零角；
锐角； arccos a (0 , ) 2 直角； 3. a 0 ; arccos a arccos 0 2 4. 1 a 0 ; arccos a ( , ) 钝角； 2 5. a 1; arccos a arccos( 1)
arctan a (
2
, 0)
“负”锐角；
课堂练习：
3 若 cos x ， 且 x [0 ， 2 ] ， 求 x 的取值集合 . 2
小 结：
1.反正弦的概念 2.反余弦的概念 3.反正切的概念
结合图像直接求值是最有效地方法
y
1
3
2
2
0
-1
2
2
3
x
反正切的概念：
根据正切函数的图象的性质，为了使符合条 件 tan x a (a R) 的角 x 有且只有一个 ， ) 作为基本的范围 . 我们选择 ( ， 2 2 在这个开区间上，符合条件 tan x a (a R)
的角 x ，叫做实数 a 的反正切 ，
y
1
3
2
2 y2
2
0 -1
2
2
3
x
反正弦的概念：
π π 当x ， 时，满足sin x y ( y 1,1) 2 2 的x是唯一的 .此时我们记x arcsin y
其中 x [
， ]， 且 y sin x . 2 2
7.6 已知三角函数值求角
已知任意一个角，可以求出它的三角 函数值； 反过来，已知一个三角函数值，可以 求出与它对应的角吗？
例 若 sin x 2 ， 则x?
2
只有 x
4
吗?
y
3
2 2
2 7
4 5 4
y
1
2
y sinx，xR
0
-1
4
2
3 4
y
1
3
2
2
0
-1
2
2
3
x
典型例题：
且 x [ ， ] ， 求 x； 例 1 (1) 若 sin x 0.9 ， 2 2 (2) 若 sin x 0.6 ， 且 x [
， ]， 求 x. 2 2
反余弦的概念：
当x 0，π时，满足cos x y( y 1,1) 的x是唯一的 .此时我们记x arccosy
y
1
ya
3 2
y sinx，xR
0
2
-1
2
2
3
x
补充说明：
直角； 1. a 1; arcsin a arcsin1 2 2. 0 a 1; arcsin a (0 , ) 锐角； 2 3. a 0 ; arcsin a arcsin 0 0 零角； 4. 1 a 0 ; arcsin a ( , 0) “负”锐角； 2 5. a 1; arcsin a arcsin(1) 2