【畅优新课堂】八年级数学下册 第1章 直角三角形 1.2 直角三角形的性质和判定(第4课时)教案
畅优新课堂八年级数学下册 第1章 直角三角形 1.2 直角三角形的性质和判定(第2课时)教案 (新版)湘教版
直角三角形的性质和判定教学目标1．知识与技能：掌握勾股定理；学会利用勾股定理进行计算、证明与作图，了解有关勾股定理的历史，在定理的证明中培养学生的拼图能力2. 过程与方法：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；3.情感态度与价值观：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育重点难点1、重点：勾股定理及其应用2、难点：：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育教学策略观察、比较、合作、交流、探索教学活动课前、课中反思1、新课背景知识复习（1）三角形的三边关系（2）问题：直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？2、定理的获得让学生用文字语言将上述问题表述出来．勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方强调说明：（1）勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边（2）学生根据上述学习，提出自己的问题（待定）3、定理的证明方法方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形,通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明1、定理的应用例题1、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝900，AB＝5cm，BC ＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有∴又∠2＝∠C∴CD的长是2.4cm例题2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝900，D是BC上任一点，求证：BD2+CD2=2AD2证法一：过点A作AE⊥BC于E则在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2又∵AB＝AC，∠BAC＝900∵BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2=BE2+CE2+2DE2=2AE2+2DE2=2AD 2∴即BD2+CD2=2AD2证法二：过点D作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F 则DE∥AC，DF∥AB又∵AB＝AC，∠BAC＝900∴EB＝ED，FD＝FC＝AE在Rt△EB D和Rt△FDC中BD2=BE2+DE2 ,CD2=FD2+FC2在Rt△AED中，DE2+AE2=AD2∴BD2+CD2=2AD25、课堂小结：（1）勾股定理的内容（2）勾股定理的作用已知直角三角形的两边求第三边已知直角三角形的一边，求另两边的关系6、作业布置课后反思。
八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时教学课件新版湘教版20220
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直 角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国 时期的数学家赵爽作出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标 志着中国古代的数学成就.
图1-1
图1-2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
A1
C1
D1 D C
B2
D2
AB A1
B1
图（1）
A2 图（2）
【解析】由勾股定理得：新正方形A1B1C1D1边长为5 ，正 方形A2B2C2D2边长为5，···，正方形A4B4C4D4的边长为25， 正方形A4B4C4D4的面积为625. 答案：625
5.（宜宾·中考）已知，在△ABC中，∠A=45°， AC= 2,
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第1课时
1.掌握勾股定理的内容. 2.理解勾股定理的证明. 3.应用勾股定理进行有关计算与证明.
星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩,同学 们看到山势险峻,查看景区示意图得知:凌峰山主峰高约为900 米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条 缆车线路,已B长应为多少？
4.(广东·中考）如图（1），已知小正方形ABCD的面积
为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正 方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如 图（2））；···以此下去，则正方形A4B4C4D4的面积 为__________.
C2
C1
D1 D C A B B1
图1
新版湘教版八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ
∴ AB2 = c2.
∴ AB= c.
图1-20
在△ABC和△ABC 中， ∵ BC = BC = a，AC = AC = b，
AB = AB= c， ∴ △ABC≌△ ABC. ∴ ∠C =∠C= 90°. ∴ △ABC是直角三角形.
先构造满足某些条件的 图形，再根据所求证的图
形与所构造图形之间的关系，
在Rt△ ABC中，AC= 4 m，BC = 1 m， 故 AB 42 12 15 3.87（m）.
因此 AA = 3.87 - 3.71 = 0.16（m）.
即梯子顶端A点大约向上移动了0.16 m，而不是向上 移动0.5 m.
例2 （“引葭赴岸” 问题） “今有方池一丈，葭生其 中央， 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐. 问水深， 葭长各几何？” 意思是：有一个边长为10 尺的 正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水 部分为1 尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉 向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问：水深 与芦苇长分别为多少？
解 因为6x>90，所以x >15. 又6x<180，所以x<30. 故选B.
图1-18
练习
1. 如图，一艘渔船以30 海里/时 的速度由西向东追赶 鱼群. 在A 处测得小岛C 在船的北偏东60°方向；40 min 后，渔船行至B 处，此时测得小岛C 在船的北偏 东30°方向. 已知以小岛C 为中心，周围10 海里以内 有暗礁，问：这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触 礁的危险？
图1-21
在Rt△ADC中，DC2 = AC2 - AD2 ， ∴b，c组成的三角形是不是直角三角形. （1） a = 8，b = 15，c = 17； （2） a = 10，b = 24，c = 25； （3） a = 4，b = 5， c = 41 .
八年级数学下册 第1章 三角形的证明 1.2 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定课件
第十页，共二十六页。
例1 证明(zhèngmíng)此命题：
A
C
B
已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证(qiúzhèng):△ABC是直角三角形． 分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写
出证明过程吗？
第十一页，共二十六页。
A
证明(zhèngmíng)：作Rt△DEF,使∠E=90°,
b
为 (a+b)2 ；
c
也可以表示为
c2+
4
1 2
a b；
∵ (a+b)2 = c2+
4 1 a，b
2
c
b a2+2ab+b2 = c2+2ab，
a
∴a2+b2=c2.
第八页，共二十六页。
3．赵爽弦图
大正方形的面积可以(kěyǐ)表示为 c2 ；
也可以表示为
4
1 2
ab
+(b-．a)2
c
a
b
b
b
边的平方．
定理(dìnglǐ):如果一个三角形两边的平方和等于第三边
的平方,那么这个三角形是直角三角形． 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
第十四页，共二十六页。
说出下列命题的条件和结论：
1.两直线平行(píngxíng),内错角相等；
2.内错角相等,两直线平行； 3.如果(rúguǒ)小明患了肺炎,那么他一定会发烧； 4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；
第二十四页，共二十六页。
互逆命题
概念
第一个命题的条件(tiáojiàn)是第二个 命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命
八年级数学下册第1章直角三角形1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第2课时教学课件新版湘教版
第2课时
1.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质 定理以及应用. 2.巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法.
3.通过图形的变换，引导学生发现并提出新问题，进行类 比联想，促使学生的思维向多层次多方位发散，从而培养 学生的创新精神和创造能力. 4.从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣，从而 培养学生发现问题和解决问题的能力.
（一）直角三角形的性质[3条]： 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半.
（二）直角三角形的判定[2条]： 1.有两个角互余的三角形是直角三角形. 2.在三角形中，若一边上的中线等于该边的一半，那 么这个三角形是直角三角形.
证明：连结CM，
∵∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠A=∠B=45°.
∵M是AB的中点，
∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边
上的中线重合），
∴∠MCE=∠MCB=45°，
BD CE
在△BDM和△CEM中B MCE,
BM CM
B
D M
∴△BDM≌△CEM（SAS），∴MD=ME，
D是AB的中点，CD=4cm，则AB=
cm.
【答案】8
【规律方法】直角三角形中的边角关系，利用角的互余， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三 角形的性质，构造全等三角形是证明角、线段相等的常 用方法.
谢谢 观看ຫໍສະໝຸດ 北60° BF
东 A
【解析】过A点作AD ⊥ BF，
由已知可得：
∠FBA=30°
北
∴ AD= 1AB=150km，
八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质与判定Ⅱ第2课时习题课件新版湘教版
【总结】勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足关 系:a__2+__b_2_=__c,2那么这个三角形是直角三角形.
二、勾股数 满足_a_2_+_b_2=_c_2_的三个_正__整__数称为勾股数.
(打“√”或“×”) (1)三边长为6,8,9的三角形是直角三角形. ( × ) (2)任意直角三角形的三边都满足a2+b2=c2. ( √ ) (3)三边平方之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形. ( √ ) (4)三边长为9,12,15的三角形的面积是27. ( × ) (5)1.5,2,2.5是一组勾股数. ( × )
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 第2课时
1.掌握勾股定理的逆定理,会用勾股定理的逆定理判断直角三 角形. 2.会运用勾股定理的逆定理解决实际问题.(重点、难点)
一、勾股定理的逆定理 如图,在△ABC和Rt△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',AB2+AC2 =BC2,∠A'=90°,
【解析】(1)如图:(以下各图画出一个即可,答案不唯一)
(2)如图:(以下各图画出一个即可,答案不唯一)
题组二:勾股定理的逆定理的实际应用 1.园丁住宅小区有一块草坪如图所示.已知AB=3m,BC=4m, CD=12m,DA=13m,且AB⊥BC,这块草坪的面积是( )
A.24m2
B.36m2
4.在△ABC中,若三边长a=n2-1,b=2n,c=n2+1,则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
ห้องสมุดไป่ตู้
【解析】选D.∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=
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直角三角形的性质和判定过程与方法：经历勾股定理的应
处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘评析：如图所示，其中一只猴子从
二、范例学习
发画一条线段ＡＢ，
使另一个顶点在格点
1）图1中．
2）图2中△就是所要画的等腰三角形．
例如图，已知CD，∠ADC＝
图中阴影部分的面积．
教师分析：中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形，
记住，实际上S
ACD，现在只
＝
（如果三角形的三边长
此课时是
相关知识进行求解，遇到求不规则面积问题，通常应用化归思想，将不。