将军饮马练习 - 360文档中心

将军饮马18道典型习题

“将军饮马”常见模型及18道典型习题何为将军饮马？2000多年以前。

古希腊的亚历山大城里住着一位睿智的数学家海伦。

一天，城里来了一位将军，听闻海伦盛名，特来向他请教一个问题。

将军说，每天早上，他都骑着马儿从营帐出发，到河边让马儿饮水，然后，再去河岸同一侧的一块草地上带着马儿去吃草，问题时，在河岸的哪个具体位置喝水，行程最短？海伦略做沉思，给出了将军最佳方案。

此之谓“将军饮马”。

最佳方案为何？且阅下文：一、将军饮马常见的5种模型：1、一动两定（和最小）：如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路PA+PB的值最小？解析：做A点关于L的对称点A’，连接A’B，与L的交点即为P点。

为什么这时PA+PB最小？假设L上有一点M（与P点不重合）。

∵A点与A’关于L对称∴AP=A’P；AM=A’M；∴AP + BP =A’P +BP =A’B而AM + BM = A’M +MB在△A’MB中，两边之和大于第三边∴A’B < A’M +MB；而M为L上任一点（与P点不重合）。

∴动点P在A’B与L交点处时AP+BP最小。

2、一定两动：如图，点A是将军和马居住的营帐，小河L1依然像上题中一样潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，不同的是，这次吃草的地方不在是一个指定的点，而是L2所代表的一片草地，Q则是将军骑马吃草的地方，水足草饱以后，将军和马儿会再回到营帐。

那么，P点、Q点在何处时，将军走过的路AP+PQ+QA的值最小？解析：做A点关于L1的对称点A’；做A点关于L2的对称点A‘’；连接A’A‘’，与L1和L2的交点即为P、Q。

为什么此时，AP+PQ+AQ的和最小？假设L1上有点M（不与P重合）、L2上有点N（不与Q重合）。

∵A点与A’关于L1对称；A点与A‘’关于L2对称。

∴AP=A’P；AQ=A”Q；AM=A’M；AN=A”N；∴AP+PQ+AQ = A’P+PQ+A”Q =A’A”；AM+MN+AN = A’M+MN+A”N在四边形A’MNA”中：A’M+MN+A”N >A’A”∴P、Q位于A’A”与L1和L2的交点处时，AP+PQ+AQ的和最小。

初二将军饮马练习题及答案

初二将军饮马练习题及答案题目一：将军饮马练习阅读下面的短文，然后根据短文内容回答问题。

春秋时期，楚国的将军薛将军因在战场上立下赫赫战功，受到国王的嘉奖，被封为将军。

薛将军深感自己取得的成就来之不易，为了更好地提升自己的军事才能，他经常利用业余时间练习骑射。

一天，他饮酒之后，心血来潮，决定骑马练习。

他醉醺醺地骑在马背上，手握弓箭，身姿挺拔。

突然，他抬头目视远方的鹰，大声喊道：“马儿，你好生奔放，将你的速度发挥到极致。

”马儿似乎听懂了薛将军的话，使出浑身解数奔驰起来。

薛将军稳稳地坐在马背上，准备放箭。

问题：1. 薛将军为什么经常练习骑射？2. 为什么薛将军喊马儿将速度发挥到极致？3. 薛将军的骑射练习中有哪些亮点？答案：1. 薛将军经常练习骑射是为了提升自己的军事才能。

2. 薛将军喊马儿将速度发挥到极致是为了更好地测试自己的骑射技巧。

3. 薛将军的骑射练习中的亮点包括：饮酒后决定进行练习，以更高难度的状态来挑战自己；喊马儿将速度发挥到极致，考验自己的射击准确性和反应能力。

题目二：将军饮马练习答案解析问题：1. 薛将军为什么经常练习骑射？答案解析：薛将军经常练习骑射是为了更好地提升自己的军事才能。

他深感自己在战场上立下的赫赫战功来之不易，因此希望通过练习骑射来增强自己的战斗力。

2. 为什么薛将军喊马儿将速度发挥到极致？答案解析：薛将军喊马儿将速度发挥到极致是为了更好地测试自己的骑射技巧。

他希望在马儿飞驰的情况下，能够准确地射箭，展现出自己的高超技艺。

3. 薛将军的骑射练习中有哪些亮点？答案解析：薛将军的骑射练习中的亮点包括：a) 饮酒后决定进行练习：饮酒之后，薛将军心血来潮，决定骑马练习。

这展现了他的勇气和自信，也体现了他对自己技艺的自豪感。

b) 喊马儿将速度发挥到极致：薛将军对马儿的速度要求极高，希望它能够发挥出最快的速度。

这要求他自己的反应能力和射击准确性都必须达到非常高的水平。

总结：薛将军通过练习骑射来提升自己的军事才能，展示了他在战场上立下的赫赫战功所带来的成就感。

关于将军饮马问题的练习10题

关于将军饮马问题的练习习题练习1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD△BC，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，丐AE = 2，求EM+EC 的最小值2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，△BAC＝45°，△BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．3．如图，△ABC 中，AB=2，△BAC=30°，若在AC、AB 上各取一点M、N，使BM+MN 的值最小，则这个最小值4、如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，丐DM＝2，N 是AC 上的一动点，DN＋MN 的最小值为_________。

即在直线AC 上求一点N，使DN+MN 最小5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE 的和最小，则这个最小值为6、在边长为2 ㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.7、如图，四边形ABCD 是正方形，AB = 10cm，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；模拟检测8．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AE PQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是9.如图，在矩形OABC 中，已知A ，C 两点的坐标分别为A （4，0），C （0，2），D 为OA 的中点．设点P 是∠AOC 平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，求P 的坐标；（3）已知E （1，﹣1），当点P 运动到何处时，△PDE 的周长最小？求出此时点P 的坐标和△PDE 的周长．10.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x 轴,y 轴于A ，B 两点，点C 为0B 的中点,点D 在第二象限，且四边形AOCD 为矩形.动点P 从点C 出发,沿线段CD 向终点D 运动，过点P 作PH 丄OA ，垂足为H.点Q 是点B 关于点A 的对称点，求BP+PH+HQ 的最小值.434+=x y。

将军饮马18道典型习题

将军饮马18道典型习题将军饮马"是一个古希腊数学问题，源于2000多年前。

当时，一位将军向城里的著名数学家海伦请教：他每天早上都要骑马到河边让马喝水，然后到河岸同一侧的一块草地上让马吃草。

将军想知道，在河岸的哪个具体位置让马喝水，可以让他和马儿走的路程最短。

经过思考，海伦给出了答案，这就是"将军饮马"问题。

以下是"将军饮马"问题的五种常见模型：1.一动两定（和最小）模型：假设点A是将军和马儿居住的营帐，点B是指定的草地，小河L在两点之间流过。

问题是，将军和马儿在哪个具体位置喝水，可以让他们走的路程最短？解决方法是，做A点关于L的对称点A'，连接A'B，与L的交点即为P点。

这时，PA+PB最小。

为什么呢？因为在L 上任意取一点M（不与P重合），根据几何原理，PA+PB=A'P+PB=A'B，AM+MB>A'B，所以动点P在A'B与L 交点处时，PA+PB最小。

2.一定两动模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，草地不是指定的点，而是由L2代表的一片草地。

问题是，在哪个具体位置喝水和吃草，可以让将军和马儿走的路程最短？解决方法是，做A点关于L1的对称点A'，做A点关于L2的对称点A''，连接A'A''，与L1和L2的交点即为P、Q。

这时，AP+PQ+QA的和最小。

为什么呢？因为在L1上取点M（不与P重合），在L2上取点N（不与Q重合），根据几何原理，AP+PQ+AQ=A'P+PQ+A''Q=A'A''，AM+MN+AN>A'A''，所以动点P和Q在A'A''与L1、L2的交点处时，AP+PQ+QA的和最小。

3.两动一定模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，将军要骑马到L2代表的一片草地吃草，然后再回到营帐。

将军饮马练习题

将军饮马练习题姓名：__________ 指导：__________ 日期：__________将军饮马问题1．(2016秋·北京十三中·期中)如图，等边三角形ABC，D为BC边的中点，AD=12，P为AC的中点，问在AD是否存在一点Q，使CQ+PQ最小，如果存在，写出作图思路，画出Q的位置，并求出这个最小值；如果不存在，说明理由.2.(2016秋·吉林吉化九中·期中)如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，CD=2AD.AB=4（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小.（2）求出（1）中PC+PD的最小值.3.(2016秋·南京二十九中·期中)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）.A.6B.8C.10D.124．(2016秋·天津河西·期末)如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC=.5．(2016秋·北京159中·期中)如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P 是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=°.6．(2015·乐乐课堂·练习)如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM+PN的最小值是．7．(2015·乐乐课堂·练习)如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为cm．8．(2015·乐乐课堂·练习)如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时PM+PN=．9．(2015·乐乐课堂·练习)已知如图所示，∠MON=40°，P为∠MON内一点，A 为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为°．10.如图，点P在∠AOB内，且OP=15cm，点E、F是OA、OB上任意一点，若∠AOB=30°，则△PEF的周长最小值是cm．11如图，已知∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=10cm，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，则△PMN 的周长为cm．12如图，已知∠MON=50°，P为∠MON内一定点，点A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值时，则∠APB度数是°．13．(2016秋·天津宁河·期中)如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=30°则△PMN周长的最小值=。

八年级数学上册最短路径问题(将军饮马)专项训练(含解析)

最短路径问题（将军饮马）专项训练一、单选题1．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =，60ABC S =△，D 是BC 中点，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．132．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上，点P 也在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC 且要回到P ），则这个人所走的路程最少是（）A ．7B ．14C ．10D ．不确定3．如图，在等边△ABC 中，AB ＝2，N 为AB 上一点，且AN ＝1，AD ＝3，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM 、MN ，则BM+MN 的最小值是（）A ．3B ．2C ．1D ．34．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则BQ+QP 的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°6．图1为某四边形ABCD纸片，其中∠B=70°，∠C=80°．若将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，如图2所示，则∠MNB的度数为（）度.A．90 B．95 C．100 D．1057．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15 B．17 C．18 D．208．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD的面积为（）A．13B．23C．43D．839．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，AB =8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是A ．4B ．5C ．6D ．711．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5，BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是（）A ．29B ．21C ．74D ．4512．如图是一块长，宽，高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体纸盒子，一只老鼠要从长方体纸盒子的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A ．(3213cm +B 85cmC 97cmD 109cm13．如图，ABC ∆是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．2314．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．615．如图，A 、B 是两个居民小区，快递公司准备在公路l 上选取点P 处建一个服务中心，使P A +PB 最短．下面四种选址方案符合要求的是（）A ．B ．C ．D ．16．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点A 1处，CA 1与AB 交于点N ，且AN=AC ，则∠A 的度数是（）A ．30°B ．36°C ．50°D ．60°17．如图，在ABC 中，90BCA ∠=︒，3BC =，4CA =，AD 平分BAC ∠，点M N 、分别为AD AC 、上的动点，则CM MN +的最小值是（）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．518．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C 的坐标为（m ，3 m ）（m 为非负数），则CA ＋CB 的最小值是（）A ．6B ．37C ．27D ．5二、填空题 19．如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，H 是AD 上任意一点．如果10AB AC BC ===，53AD =，那么HE HB +的最小值是．20．如图，在ABC 中，10AB AC cm ==，8BC cm =，AB 的垂直平分线交AB 于点M ，交AC 于点N ，在直线MN 上存在一点P ，使P 、B 、C 三点构成的PBC 的周长最小，则PBC 的周长最小值为______．21．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6，面积是36，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值____．22．如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为___________.23．等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为__．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，M是AB边上一动点，N是AC边上的一动点，则MN+MC的最小值为_____．25．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为____．26．如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是________．27．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.28．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线4AD=，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，EB EF+的最小值是______．29．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR 周长最小，则最小周长是_____30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC 的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.32．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．33．某市为解决农村燃气困难，在P处建立了一个燃气站，从P站分别向A、B、C村铺设燃气管道。

将军饮马18道典型习题

“将军饮马”常见模型及18道典型习题何为将军饮马？2000多年以前。

古希腊的亚历山大城里住着一位睿智的数学家海伦。

一天，城里来了一位将军，听闻海伦盛名，特来向他请教一个问题。

将军说，每天早上，他都骑着马儿从营帐出发，到河边让马儿饮水，然后，再去河岸同一侧的一块草地上带着马儿去吃草，问题时，在河岸的哪个具体位置喝水，行程最短？海伦略做沉思，给出了将军最佳方案。

此之谓“将军饮马”。

最佳方案为何？且阅下文：一、将军饮马常见的5种模型：1、一动两定（和最小）：如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路PA+PB的值最小？解析：做A点关于L的对称点A’，连接A’B，与L的交点即为P点。

为什么这时PA+PB最小？假设L上有一点M（与P点不重合）。

∵A点与A’关于L对称∴AP=A’P；AM=A’M；∴AP + BP =A’P +BP =A’B而AM + BM = A’M +MB在△A’MB中，两边之和大于第三边∴A’B < A’M +MB；而M为L上任一点（与P点不重合）。

∴动点P在A’B与L交点处时AP+BP最小。

2、一定两动：如图，点A是将军和马居住的营帐，小河L1依然像上题中一样潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，不同的是，这次吃草的地方不在是一个指定的点，而是L2所代表的一片草地，Q则是将军骑马吃草的地方，水足草饱以后，将军和马儿会再回到营帐。

那么，P点、Q点在何处时，将军走过的路AP+PQ+QA的值最小？解析：做A点关于L1的对称点A’；做A点关于L2的对称点A‘’；连接A’A‘’，与L1和L2的交点即为P、Q。

为什么此时，AP+PQ+AQ的和最小？假设L1上有点M（不与P重合）、L2上有点N（不与Q重合）。

∵A点与A’关于L1对称；A点与A‘’关于L2对称。

∴AP=A’P；AQ=A”Q；AM=A’M；AN=A”N；∴AP+PQ+AQ = A’P+PQ+A”Q =A’A”；AM+MN+AN = A’M+MN+A”N在四边形A’MNA”中：A’M+MN+A”N >A’A”∴P、Q位于A’A”与L1和L2的交点处时，AP+PQ+AQ的和最小。

初中将军饮马问题题型总结(全)

初中将军饮马问题题型总结(全)题型一：将军饮马之单动点1.三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD、CE是三角形ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()解析：连接PC，由于AB=AC，BD=CD，AD垂直于BC，所以PB=PC。

因此，PB+PE=PC+PE，PE+PC>CE，当P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．2.等边三角形中的将军饮马题目描述：在等边三角形ABC中，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为()解析：连接BE交AD于点P'，AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，P'B=P'C，P'E+P'C=P'E+P'B=BE。

根据两点之间线段最短，点P在点P'时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长。

因此，BE=BC/2-CE/2=3，所以P'E+P'C的最小值为3，故选C．3.等腰三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()解析：连接AD、AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，AD垂直于BC，所以S△ABC=1/2×4×AD=16，解得AD=8.EF是线段AC的垂直平分线，所以点C关于直线EF的对称点为点A，MA=MC，AD=AM+MD，因此AD的长为CM+MD的最小值。

且AC6，BM3，因为BM AD，故BM AC，所以BM是AC的中线，故CM3。

又因为AC是菱形的对角线，所以AC平分DAB，即DAM30。

又因为AM MD，所以ADM75。

将军饮马问题专项训练

将军饮马问题专项训练一、基本模型古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题．二、实战演练1．如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB 上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP PQ QN++最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线（即选择点P和Q），使得总路程MP PQ＋最短．2．将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a ，沿河OB 排开（从点P 到点Q ）；将军从马棚M 出发到达队头P ，从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场N ．请问：在什么位置列队（即选择点P 和Q ），可以使得将军走的总路程MP PQ QN ++最短?3．如图，点M 在锐角AOB ∠内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 边的距离之和最小．4．已知MON ∠内有一点P ，P 关于OM ，ON 的对称点分别是1P 和2P ，12P P 分别交OM ，ON 于点A 、B ，已知1215PP =，则△PAB 的周长为（）． A. 15 B 7.5 C. 10 D. 245．已知AOB ∠，试在AOB ∠内确定一点P ，如图，使P 到OA 、OB 的距离相等，并且到M 、N 两点的距离也相等．6．已知40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△P AB 的周长取最小值时，求APB ∠的度数．7．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，4AD =，连接BD ，BD ⊥CD ，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为________．8．已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．9．如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理?aBA10．已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．11．如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN+的最小值与最大值．NMD CB A12．如图，已知AOB ∠内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF的周长最小．试画出图形，并说明理由．13．如图，直角坐标系中有两点A 、B ，在坐标轴上找两点C 、D ，使得四边形ABCD 的周长最小．14．如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近?15．221(9)4y x x =++-+，试判断：当x 为何值时，y 的值最小，并求出这个最小值．16．如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB CD AD ===，120D ∠=︒，点E 、F 是底边AD 与BC 的中点，连接EF ，在线段EF 上找一点P ，使BP+AP 最短．. A. B17．已知P 是△ABC 的边BC 上的点，你能在AB 、AC 上分别确定一点Q 和R ，使△PQR 的周长最短吗?18．如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ．乔早在何处才能使从A 到B 的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）19．某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：作点A 关于直线l 的对称点A′，连接A′B ，则A′B 与直线l 的交点即为P ，且P A P B +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC 的直角边长为2，E 是斜边 AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB PE +的最小值为________；（2）几何拓展：如图2，△ABC 中，2AB =，30BAC ∠=︒，若在AC 、AB 上各取一点M 、N 使BM+MN 的值最小，求这个最小值；（3）代数应用：求代数式221(4)4x x ++-+（0≤x ≤4）的最小值．。

难关必刷03轴对称之将军饮马模型(3种类型30题专练)(解析版)

难关必刷03轴对称之将军饮马模型（3种类型30题专练）【模型梳理】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B军营河如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）类型一：两定一动在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．类型二：两定两动在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。

类型三：一定两动在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。

此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）BBBBBB【题型讲解】类型一：两定一动【例1】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】在中，，AD 是的中线，可得点B 和点D 关于直线AD 对称，连结CE ，交AD 于点P ，此时最小，为EC 的长，故选B.【变式】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．P OBAMNA类型二：两定两动【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为 A ．3B ．4C ．D ．【分析】此处E 点为折点，可作点C 关于AD 的对称，对称点C ’在AB 上且在AB 中点，化折线段CE +EF 为C ’E +EF ，当C ’、E 、F 共线时得最小值，C ’F 为CB 的一半，故选C ．【变式】如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是 A()E AFCDB()NMDCBAAB ．2C ．D ．4【分析】此处M 点为折点，作点N 关于BD 的对称点，恰好在AB 上，化折线CM +MN 为CM+MN ’．因为M 、N 皆为动点，所以过点C 作AB 的垂线，可得最小值，选C ．类型三：一定两动【例3】点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。

将军饮马模拟测试题及答案

将军饮马模拟测试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 将军饮马问题中，将军从营地出发，先饮马，然后返回营地，其路径最短的策略是：A. 直线往返B. 先到河边饮马，再直线返回C. 先到河边饮马，再绕过障碍物返回D. 先绕过障碍物，再直线返回答案：B2. 在解决将军饮马问题时，如果营地和障碍物在直线的同一侧，最短路径的策略是：A. 直接绕过障碍物B. 先到障碍物的一侧，再直线返回C. 先到障碍物的另一侧，再直线返回D. 先直线到达障碍物，再绕过障碍物返回答案：C3. 如果将军饮马的障碍物是一个圆形区域，最短路径的策略是：A. 直线往返B. 先到圆形区域的边缘饮马，再直线返回C. 先到圆形区域的边缘饮马，再绕过圆形区域返回D. 先绕过圆形区域，再直线返回答案：B4. 将军饮马问题中，如果营地和障碍物不在同一直线上，最短路径的策略是：A. 直接直线往返B. 先到障碍物的一侧，再直线返回C. 先到障碍物的另一侧，再直线返回D. 先直线到达障碍物，再绕过障碍物返回答案：C5. 在解决将军饮马问题时，如果将军需要绕过多个障碍物，最短路径的策略是：A. 依次绕过每个障碍物B. 选择最短的路径绕过所有障碍物C. 先绕过最近的障碍物，再绕过其他障碍物D. 先绕过最远的障碍物，再绕过其他障碍物答案：B6. 将军饮马问题中，如果营地和障碍物之间的距离是固定的，最短路径的策略是：A. 直线往返B. 先到障碍物的一侧，再直线返回C. 先到障碍物的另一侧，再直线返回D. 先直线到达障碍物，再绕过障碍物返回答案：A7. 在解决将军饮马问题时，如果障碍物是一条直线，最短路径的策略是：A. 直线往返B. 先到直线的一侧饮马，再直线返回C. 先到直线的另一侧饮马，再直线返回D. 先直线到达直线，再绕过直线返回答案：B8. 将军饮马问题中，如果营地和障碍物之间的距离是变化的，最短路径的策略是：A. 直线往返B. 先到障碍物的一侧，再直线返回C. 先到障碍物的另一侧，再直线返回D. 先直线到达障碍物，再绕过障碍物返回答案：C9. 在解决将军饮马问题时，如果障碍物是一个点，最短路径的策略是：A. 直线往返B. 先到点的一侧饮马，再直线返回C. 先到点的另一侧饮马，再直线返回D. 先直线到达点，再绕过点返回答案：A10. 将军饮马问题中，如果营地和障碍物之间的距离是固定的，且障碍物是一条曲线，最短路径的策略是：A. 直线往返B. 先到曲线的一侧饮马，再直线返回C. 先到曲线的另一侧饮马，再直线返回D. 先直线到达曲线，再绕过曲线返回答案：C二、多项选择题（每题4分，共20分）1. 将军饮马问题中，可能遇到的障碍物类型包括：A. 直线B. 圆形区域C. 点D. 曲线答案：ABCD2. 在解决将军饮马问题时，可能的最短路径策略包括：A. 直线往返B. 先到障碍物的一侧，再直线返回C. 先到障碍物的另一侧，再直线返回D. 先直线到达障碍物，再绕过障碍物返回答案：ABCD。

将军饮马初中经典例题

将军饮马初中经典例题将军饮马的故事可真有趣，想想那场景，阳光明媚，风和日丽，真是个骑马的好日子。

将军骑着他那匹高大威猛的战马，心里想着要去打个胜仗，感觉神采奕奕。

一路上风驰电掣，马儿飞快地奔跑，简直让人心潮澎湃，仿佛能听到那鼓点声、号角声交织在一起，热血沸腾。

走着走着，突然将军觉得有点渴了，这时候他脑袋里就闪过一个主意——找个水源让马儿也解解渴，自己顺便喝点水。

于是将军一边骑，一边四处张望。

就在这时，远远看见一条小河，水波潋滟，流淌得欢快，简直像是在邀请他和马儿去痛痛快快地喝上一口。

他心里乐开了花，心想：“这真是老天爷赏饭吃啊！”赶紧调转马头，奔向那条小河。

到了河边，马儿也是口水直流，嘴里咕噜咕噜的，跟个孩子一样，简直可爱得不行。

将军下马，轻轻拉了拉缰绳，仿佛在说：“来吧，兄弟，咱们痛痛快快地喝一口。

”马儿似乎听懂了，立马就扑到水边，头一低，水就被吸了个干净。

这可真是一幅美好的画面，阳光洒在水面上，波光粼粼，映得将军的脸上也满是光彩。

他站在那里，望着自己的战马，心里涌起一阵自豪，觉得自己这一生真是值了。

喝完水，将军想着这次出征一定要带着战马一起回去，马儿那么能干，战斗力杠杠的。

心里美滋滋的，忽然一抬头，发现不远处有几个士兵也在忙活，忙着洗衣服，真是热闹。

将军心里一动，想：“这帮兄弟们干得不错，等会儿也得请他们喝酒庆祝。

”于是，他朝士兵们招了招手，脸上挂着大大的笑容，显得格外亲切。

士兵们看到将军，脸上都笑开了花，心想：“今天将军心情不错啊，看来咱们这次出征有好消息。

”大家围了过来，想听听将军有什么好话。

将军一边喝水，一边和他们聊起了家常，讲起了各自的趣事，那些嬉笑打闹的日子，真是让人怀念。

将军的幽默感一下子让士兵们紧张的心情放松了，大家都觉得这次出征有希望了。

不远处的河水还在流淌，映照着将军的英姿，士兵们的欢声笑语在空中回荡。

将军觉得，虽然战斗在前，但有这样的兄弟一起，心里踏实多了。

就算再苦再累，大家也能一起扛过去。

将军饮马基础题

1、在古战场上，将军需从营地A出发，到达河边l饮马，然后返回营地B，以下哪种策略能使将军的总路程最短？A. 直接从A到l，再从l到BB. 选择河边l上离A最近的点饮马C. 选择河边l上使A到该点再到B距离和最小的点饮马（答案）D. 先到B，再从B到l，最后返回A2、将军的营地位于山丘上，他需要下山走到河边饮水，再上山返回另一营地。

为了节省体力，他应该：A. 尽量选择陡峭的路径下山和上山B. 下山时走直线，上山时走曲线C. 利用光的折射原理，选择看似最近的路径D. 找到使上下山总路程最短的点饮水（答案）3、假设河边是一条直线，将军需要从点A到河边饮马，然后到点B，河边的哪个点是他应该选择的？A. AB连线与河边的交点B. A点关于河边的对称点与B连线和河边的交点（答案）C. B点关于河边的对称点与A连线和河边的交点D. 河边中点4、将军的营地A和B分别位于山的两侧，中间隔着一条河。

为了最快回到B营地，他应该：A. 直接游泳过河B. 找到河边使得从A到河边再到B总时间最短的点C. 选择离A营地最近的河边点D. 先走到河边任意点，再根据情况决定下一步（答案：B，若考虑实际情况，可能需要结合游泳速度和行走速度综合考虑最优解，但题目简化为寻找最短路径点）5、在平原上，将军需要从A点出发到直线型的河边l饮马，然后返回B点，他应该：A. 选择离A或B更近的河边点B. 选择AB连线与河边的交点C. 通过作图法找到使总路程最短的河边点（答案）D. 随机选择一个河边点6、将军的营地A和B位于一片广阔的草原上，中间有一条笔直的河流。

为了最快完成饮马并返回，他应该：A. 走到河边中点饮马B. 走到AB连线与河边的交点饮马C. 利用几何知识找到最优饮马点（答案）D. 直接从A走到B，不饮马7、假设将军的营地A和B位于同一高度，中间隔着一条河，为了最快完成饮马任务，他应该：A. 选择离A营地较近的河边点B. 选择离B营地较近的河边点C. 通过计算找到使总时间（考虑行走和饮水时间）最短的点（答案，若题目未明确只考虑路程，则需综合考虑）D. 走到河边任意点饮马8、在山地环境中，将军需要从A点到河边l饮马，然后返回B点，考虑到地形因素，他应该：A. 忽略地形，直接选择AB连线与河边的交点B. 根据地形调整路径，但仍选择AB连线与河边的交点饮马C. 综合考虑地形和路程，找到最优饮马点（答案）D. 选择离A或B营地最近的河边点。

关于将军饮马难题的练习10题

关于将军饮马难题的练习10题
1. 将军饮马难题是著名的逻辑难题之一，以下是10个练题帮助理解和解决这个难题。

2. 题目一：题目一：
- 将军饮马难题描述了将军通过一条连续的河流骑马前行的情景。

- 请阐述将军饮马难题的具体要求和条件。

3. 题目二：题目二：
- 给定一个车辆的行驶速度、将军饮马的速度以及将军饮马的间隔时间，请计算将军饮马时车辆与将军的距离。

4. 题目三：题目三：
- 假设将军饮马的路径有所改变，如何调整速度和时间间隔，才能保持将军和车辆的固定距离？
5. 题目四：题目四：
- 假设将军饮马时遇到突发情况，需要停下来处理，重新上路后可以追上车辆吗？
6. 题目五：题目五：
- 若车辆的速度变化，将军饮马的速度还能保持不变吗？请解释为什么？
7. 题目六：题目六：
- 假设将军饮马的速度变化，车辆的速度保持不变，将军和车辆之间的相对距离如何变化？
8. 题目七：题目七：
- 将军饮马难题中是否有其他影响将军和车辆距离的因素？请列举并解释。

9. 题目八：题目八：
- 假设将军饮马的速度快于车辆的速度，将军和车辆之间的相对距离会怎样变化？
10. 题目九：题目九：
- 将军饮马难题中的数学模型是什么？使用该模型可以解决哪些相关问题？
11. 题目十：题目十：
- 将军饮马难题中是否存在法律或道德层面的问题？请阐述你的观点和理由。

以上是关于将军饮马难题的练习10题，希望能帮助你更好地理解和解决这个难题。

关于将军饮马难题的练习10题

关于将军饮马难题的练习10题1. 将军饮马难题是一个著名的数学逻辑题。

2. 问题是一个军队将军需要与他的士兵一起通过一条狭窄的通道，但通道上只能容纳两个人，将军必须牵着马过去。

士兵们有不同的移动速度，每个士兵通过通道的时间也各不相同。

3. 下面是10个练题，每个题目都有不同的条件，找到解决方案并计算出通过通道所需要的最少时间。

题目1:士兵A过去需要1分钟，士兵B过去需要2分钟，将军过去需要5分钟，马过去需要10分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目2:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要4分钟，将军过去需要6分钟，马过去需要10分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目3:士兵A过去需要5分钟，士兵B过去需要10分钟，将军过去需要20分钟，马过去需要30分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目4:士兵A过去需要3分钟，士兵B过去需要4分钟，士兵C过去需要8分钟，将军过去需要10分钟，马过去需要15分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目5:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要5分钟，士兵C过去需要10分钟，将军过去需要15分钟，马过去需要20分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目6:士兵A过去需要1分钟，士兵B过去需要3分钟，士兵C过去需要6分钟，士兵D过去需要8分钟，将军过去需要10分钟，马过去需要15分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目7:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要3分钟，士兵C过去需要4分钟，士兵D过去需要8分钟，将军过去需要10分钟，马过去需要15分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目8:士兵A过去需要1分钟，士兵B过去需要2分钟，士兵C过去需要4分钟，士兵D过去需要8分钟，士兵E过去需要16分钟，将军过去需要20分钟，马过去需要30分钟。

求通过通道所需要的最少时间。

题目9:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要4分钟，士兵C过去需要6分钟，士兵D过去需要8分钟，士兵E过去需要10分钟，士兵F过去需要12分钟，将军过去需要15分钟，马过去需要20分钟。

关于将帅饮马问题的练习10题

关于将帅饮马问题的练习10题1. 问题描述：将帅饮马问题是一道经典的逻辑思维题。

在一个 11*11 的棋盘上，放置了一个将军（用“J”表示）、一个士兵（用“S”表示）和一匹马（用“H”表示）。

将军每次可以行走一步，士兵每次可以行走两步，马每次可以行走三步。

他们的行走规则如下：- 将军每次可以向上、下、左、右四个方向行走一步；- 士兵每次可以向上、下、左、右四个方向行走两步；- 马每次可以向上、下、左、右八个方向行走三步。

2. 问题目标：请找出所有可能的将军、士兵和马的位置组合，使得将军和士兵都无法互相攻击。

3. 练题目：下面是10道练题目，请尝试找出每道题目下将军、士兵和马的位置组合。

- 题目1：将军和士兵的位置：(1, 1) 马的位置：(1, 2)- 题目2：将军和士兵的位置：(2, 3) 马的位置：(1, 3)- 题目3：将军和士兵的位置：(5, 1) 马的位置：(9, 2)- 题目4：将军和士兵的位置：(6, 1) 马的位置：(10, 3)- 题目5：将军和士兵的位置：(1, 1) 马的位置：(1, 5)- 题目6：将军和士兵的位置：(3, 2) 马的位置：(1, 5)- 题目7：将军和士兵的位置：(3, 3) 马的位置：(2, 5)- 题目8：将军和士兵的位置：(4, 4) 马的位置：(7, 6)- 题目9：将军和士兵的位置：(5, 1) 马的位置：(8, 4)- 题目10：将军和士兵的位置：(4, 1) 马的位置：(8, 8)4. 总结：将帅饮马问题是一种非常有趣的逻辑思维题，通过分析每个角色的行动规则和限制，在给定的棋盘上找到不会互相攻击的位置组合。

练这些题目可以锻炼我们的逻辑思维能力和问题解决能力。

将军饮马习题

将军饮马习题一．选择题（共12小题）1．如图，在Rt ABO ∆中，90OBA ∠=︒，(4,4)A ，点C 在边AB 上，且13AC CB =，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，23BC =，Q 为AC 上的动点，P 为Rt ABC ∆内一动点，且满足120APB ∠=︒，若D 为BC 的中点，则PQ DQ +的最小值是( )A ．434-B ．43C ．4D ．434+3．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为(6,4)，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且2PQ =，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为( )A ．(2,0)B ．8(,0)3C ．(4,0)D ．14(,0)34．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD AB ⊥于点D ，则PB PD +的最小值为( )A ．154B ．245C ．5D ．2035．如图，已知菱形ABCD 的周长为16，60ABC ∠=︒，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP AP +的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．436．如图，正方形ABCD中，8AB=，动点E从A出发向D运动，动点F从B出发向A运动，点E、F运动的速度相同．当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段BE、CF相交于点P，H是线段CD上任意一点，则AH PH+的最小值为()A．B．C．D．47．如图，已知正方形ABCD的边长是为10cm，ABE∆为等边三角形（点E在正方形内），若P是AC上的一个动点，PD PE+的最小值是多少()A．6cm B．8cm C．10cm D．5cm8．如图，已知(3,2)P，(2,0)B-，点Q从P点出发，先移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后移动到点B处停止，当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB 长度之和最小），点M的坐标为()A．1(0,)2B．2(0,)3C．4(0,)3D．4(0,)59．如图，AOBα∠=，点P是AOB∠内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当PMN∆的周长最小时，MPN∠的值为()A ．90α︒+B ．1902α︒+C ．180α︒-D ．1802α︒-10．（2018秋•营口期末）如图，在四边形ABCD 中，130BAD ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，点E ，F 分别是线段BC ，DC 上的动点．当AEF ∆的周长最小时，则EAF ∠的度数为( )A ．90︒B ．80︒C ．70︒D ．60︒11．（2018春•沙坪坝区校级期末）如图，30ABC ∠=︒，点D 、E 分别在射线BC 、BA 上，且2BD =，4BE =，点M 、N 分别是射线BA 、BC 上的动点，当DM MN NE ++最小时，2()DM MN NE ++的值为( )A ．20B ．26C ．32D ．3612．（2018春•庐阳区期末）如图，菱形ABCD 中，2AB =，120D ∠=︒，E 是对角线AC 上的任意一点，则12BE CE +的最小值为( )A B ．2 C 1 D 1二．填空题（共19小题）13．（2019•白云区二模）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 垂直平分BD ，120BAD ∠=︒，4AB =，点E 是AB 的中点，点F 是AC 上一动点，则EF BF +的最小值是．14．（2019春•鹿城区校级月考）如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是边AD 、AB 上的点，连结OE 、OF 、EF ，若7AB =，BC =45DAB ∠=︒，则OEF ∆周长的最小值是．15．（2019春•郯城县期中）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点11(P x ，1)y 、22(P x ，2)y ，其两点间的距离12PP =点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为21||x x -或21||y y -．已知一个三角形各顶点坐标为(1,6)D 、(4,2)E ，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PE +的长度最短，则PD PE +的最短长度为16．（2019•郯城县一模）如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE ，CE ，且ABE BCE ∠=∠，点P 是AB 边上一动点，连接PD ，PE ，则PD PE +的长度最小值为．17．（2019•江都区一模）在平面直角坐标系中，已知x 轴上一点A ，0)，B 为y 轴上的一动点，连接AB ，以AB 为边作等边ABC ∆如图所示，已知点C 随着点B 的运动形成的图形是一条直线，连接OC ，则AC OC +的最小值是．18．（2018秋•江岸区校级期末）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 、点E 为边AB 上的点，且AD BE =，点M 、N 分别为边AC 、BC 上的点．已知：AB a =，DE b =，则四边形DMNE 的周长的最小值为．19．（2018秋•鄞州区期末）如图，在R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，4AB =，点D 是BC 上一动点，以BD 为边在BC 的右侧作等边BDE ∆，F 是DE 的中点，连结AF ，CF ，则AF CF +的最小值是．20．（2018秋•越秀区期末）如图，在边长为2的等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，点E 在线段AD 上，连结BE ，在BE 的下方作等边BEF ∆，连结DF ．当BDF ∆的周长最小时，DBF ∠的度数是．21．（2019•蓝田县一模）如图，菱形ABCD 的边长为3，60BAD ∠=︒，点E 、F 在对角线AC 上（点E 在点F 的左侧），且1EF =，则DE BF +最小值为22．（2018•碑林区校级三模）如图，四边形ABCD 中，90D B ∠=∠=︒，AB BC =，4CD =，8AC =，设Q 、R 分别是AB 、AD 上的动点，则CQR ∆的周长的最小值为．23．（2018•碑林区校级二模）如图，在ABC ∆中，3AB =+45B ∠=︒，105C ∠=︒，点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 上，且四边形ADEF 为菱形，若点P 是AE 上一个动点，则PF PB +的最小值为．24．（2018秋•海淀区校级期中）如图，在ABC ∆中，6AC =，8BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 边于点D ，交BC 边于点E ，在线段DE 上有一动点P ，连接AP 、PC ，则APC ∆的周长最小值为．25．（2018秋•川汇区期中）如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，120BAC ∠=︒，M 是BC 的中点，点E 是AB 边上的动点，点F 是线段BM 上的动点，则ME EF +的最小值等于．26．（2018秋•老河口市期中）如图所示，在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，90B ∠=︒，10AB =，D 是斜边AC 的中点，P 是AB 上一动点，则PC PD +的最小值为．27．（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，已知(6,2)A -，(2,4)B -，点M 是y 轴正半轴上一点，点N 是x 轴负半轴上一点，连接AB ，BM ，MN ，NA ．则四边形ABMN 周长的最小值为．28．（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，在Rt ABC ∆中90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，点P ，Q ，R 分别是AB ，AC ，BC 上的动点，PQ PR QR ++的最小值是．29．（2018春•渝北区期末）如图，我区某中学教学区与住宿区被公路隔开，为了保障师生安全，学校准备在公路上建设一座过街天桥CD （公路两边互相平行，且要求天桥与公路垂直）．已知该校教学楼A 到公路一边的距离20AE m =，宿舍楼B 到公路一边的距离25BF m =，公路宽度为35m ，教学楼A 与宿舍楼B 的直线距离100AB m =，则修建的天桥CD 若保证从教学楼A 与宿舍楼B 的距离（即)AC CD DB ++最短，则这个最短距离是 m ．30．（2018春•江汉区期中）如图，在菱形ABCD 中，6AB =，135A ∠=︒，点P 是菱形内部一点，且满足16PCD ABCD S S ∆=菱形，则PC PD +的最小值是．31．（2016•内江）如图所示，已知点(1,0)C ，直线7y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则CDE ∆周长的最小值是．32．如图，已知(3,1)A 与(1,0)B ，PQ 是直线y x =上的一条动线段且PQ Q =在P 的下方），当AP PQ QB ++最小时，Q 点坐标为( )A ．2(3，2)3B．C ．(0,0)D ．(1,1)三．解答题（共9小题）33．（2017秋•怀柔区期末）近年来，为减少空气污染，北京市一些农村地区实施了煤改气工程，某燃气公司要从燃气站点A 向B ，C 两村铺设天然气管道，经测量得知燃气站点A 到B 村距离约3千米，到C 村距离约4千米，B ，C 两村间距离约5千米．下面是施工部门设计的三种铺设管道方案示意图．请你通过计算说明在不考虑其它因素的情况下，下面哪个方案所用管道最短．34．（2017秋•莆田期末）如图，锐角ABC ∆中，30ACB ∠=︒，5AB =，ABC ∆的面积为23．（1）若点P 在AB边上且CP =，D ，E 分别为边AC ，BC 上的动点．求PDE ∆周长的最小值；（2）假设一只小羊在ABC ∆区域内，从路边AB 某点出发跑到水沟边AC 喝水，然后跑向路边BC 吃草，再跑回出发点处休息，直接写出小羊所跑的最短路程．35．（2018•咸宁模拟）【提出问题】如图1，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，如何在l 上找到一个点C ，使得这个点到点A ，B 的距离的和最短？【分析问题】如图2，若A ，D 两点在直线l 的异侧，则容易知道连接AD ，与直线l 交于一点，根据“两点之间线段最短”，该点即为点C ．因此，要解决上面提出的问题，只需要将点B （或)A 移到直线l 的另一侧的点D 处，且保证DC BC =（或)DC AC =即可；【解决问题】（1）在图1中确定点C 的位置（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图3，菱形ABCD 中，4AB =，60ABC ∠=︒，E 是BC 边中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PB PE +的最小值为；（3）已知ABC ∆的面积为12，4BC =，求ABC ∆周长的最小值．36．（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图已知//EF GH ，AC EF ⊥于点C ，BD EF ⊥于点D 交HG 于点K ．3AC =，2DK =，4BK =．（1）若6CD =，点M 是CD 上一点，当点M 到点A 和点B 的距离相等时，求CM 的长；（2）若132CD =，点P 是HG 上一点，点Q 是EF 上一点，连接AP ，PQ ，QB ，求AP PQ QB ++的最小值．37．（2018秋•景德镇期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a ，b ，c ．显然，90DAB B ∠=∠=︒，AC DE ⊥．请用a ，b ，c 分别表示出梯形ABCD ，四边形AECD ，EBC ∆的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：ABCD S =梯形，EBC S ∆= ，AECD S =四边形，则它们满足的关系式为，经化简，可得到勾股定理．【知识运用】如图2，河道上A ，B 两点（看作直线上的两点）相距160米，C ，D 为两个菜园（看作两个点），AD AB ⊥，BC AB ⊥，垂足分别为A ，B ，70AD =米，50BC =米，现在菜农要在AB 上确定一个抽水点P ，使得抽水点P 到两个菜园C ，D 的距离和最短，则该最短距离为米．(012)x <<．38．（2017春•安溪县期末）已知点P 在MON ∠内．（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，连接OG 、OH 、OP ． ①若50MON ∠=︒，则GOH ∠= ；②若5PO =，连接GH ，请说明当MON ∠为多少度时，10GH =；（2）如图2，若60MON ∠=︒，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的任意一点，当PAB ∆的周长最小时，求APB ∠的度数．39．（2017春•雁塔区校级期末）用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）如图，点A ，B 在直线l 的同侧．（1）试在直线l 上取一点M ，使MA MB +的值最小．（2）试在直线l 上取一点N ，使NB NA -最大．40．（2017•裕华区一模）在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考：请你利用小亮的发现解决下列问题：（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于E ，且AE EF =，求证：AC BF =．请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程：（2）解决问题：如图2，在ABC ∆中，45B ∠=︒，10AB =，8BC =，DE 是ABC ∆的中位线，过点D 、E作//MN BC，分别与FE、GE的延长线交于M、N，则四边DF EG，分别交BC于F、G，过点A作//形MFGN周长的最小值是．。