小学奥数进位制
四年级奥数进位制
一、数的进制1．十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”．在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制．比如二进制，八进制，十六进制等． 2．二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20．二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一．注意：对于任意自然数n,我们有n 0=1． 3．k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，．4．k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数 如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5．k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的．二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示:知识框架进位制【例 1】 把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的．【巩固】 852567(((=== ） ） ）；【例 2】 将二进制数2(11010.11)化为十进制数为多少？【巩固】 同学们请将258(11010101),(4203),(7236)化为十进制数，看谁算的又快又准．例题精讲【例 3】 二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？【巩固】 将二进制数11101001．1011转换为十六进制数．【例 4】 ①222(101)(1011)(11011)⨯-=________；②2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；③88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；【巩固】 ①在八进制中，1234456322--=________；②在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．【例 5】 若(1030)140n =，则n =________．【巩固】 在几进制中有413100⨯=？【例 6】有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工．这一次，拖了一个月的工钱，还是不想付．可是不付又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有7环．对长工说：“我不是要拖欠工资，只是想连这一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付．”他望向吃惊的长工，心中很是得意，“本人说话，从不食言，可以请大老爷作证．”大老爷可是说一不二的人，谁请他作证，他当作一种荣耀，总是分文不取，并会以命相拼也要兑现的．这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的一环三个月的工钱也不止．老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“不过，我请大老爷作证的时候，提到一项附加条件，就是这样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！”当长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月，顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？【巩固】现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？【例 7】如果只许在天平的一边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？【巩固】如果允许在天平的两边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？【例 8】 有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个．如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次?【巩固】 一些零件箱，每个零件10g ，每箱600个，共有10箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每个次品零件9克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件的箱子都找出来吗？【例 9】 已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N ，那么在十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？【巩固】 在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？【例 10】在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的．如果十进制中的147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens”，那么20进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数____________．【巩固】一个自然数，在3进制中的数字和是2007，它在9进制中的数字和最小是，最大是．课堂检测【随练1】某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第1位数字是几? 【随练2】算式153********⨯=是几进制数的乘法？【随练3】茶叶店老板要求员工提高服务质量，开展“零等待”活动，当顾客要买茶叶的时候，看谁最快满足顾客的需要则为优秀．结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待．原来他把茶叶先称出若干包来，放在柜台上，顾客告诉他重量，他就拿出相应重量的茶叶．别的伙计看在眼里，立即学习，可是柜台上却放不下许多包．奇怪的是，最佳员工的柜台上的茶叶包裹却不是很多．于是有员工去取经，发现最佳员工准备的茶叶数量是：1，2，4，8，16，32，64，128，256．你能解释一下其中的道理么?这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？【随练4】 古代英国的一位商人有一个15磅的砝码，由于跌落在地碎成4块，后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至15磅之间的任意整数磅的重物（砝码只能放在天平的一边）．那么这4块砝码碎片各重 ， ， ，【作业1】 计算4710(3021)(605)()+= ；【作业2】 在几进制中有12512516324⨯=？【作业3】 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字．现在页面中有1个五号字，将它复制后粘贴到该页面，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字．每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次．家庭作业【作业4】 成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有80万吨重，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依此类推．愚公和它的子孙每人一生能搬运100吨石头．如果愚公是第1代，那么到了第 代，这座大山可以搬完．（已知10个2连乘之积等于1024）【作业5】 10个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为_________克．【作业6】 计算机存储容量的基本单位是字节，用B 表示，一般用KB 、MB 、GB 作为存储容量的单位，它们之间的关系是1012KB B =，1012MB KB =，1012GB MB =．小明新买了一个MP3播放器，存储容量为256MB ，它相当于_____B ．。
小学奥数精讲第四讲 进位制与位值原理
第4讲 进位制与位值原理（二）同步练习： 1. 计算：102(2014)()= 210(101110)()=【答案】见解析【解析】倒取余数法：102(2014)(11111011110)=位值原理法：210(101110)(46)=2. 八进制的1234567化成四进制后，前两位是多少? 【答案】11【解析】先八进制化为二进制：一位变三位：82(1234567)(1010011100101110111)=；再把二进制化为四进制：两位合一位：24(1010011100101110111)(1103211313)=.可见，前两位为11.3. 在几进制中有12512516324⨯=? 【答案】7【解析】注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10<n ．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．4. 已知100(1)3=+-÷bab b a ，则b =_____. 【答案】7【解析】10110=+bab b a ;100(1)1001003+=+-÷b b a .得313300+=a b .（a ,b ）= (9,7)，b =7.5. 将6个灯泡排成一行，用○和●表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5．那么●○○●○●表示的数是______．【答案】26【解析】从图中数字1、2、4的表示可知：自右向左第一个灯亮表示1，第二个灯亮表示2，第三个灯亮表示4，第四个灯亮表示8，第五个灯亮表示16，第六个灯亮表示32．因此问题当中的表示168226++=54321●○○○●○○●○○●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●6. 在宇宙中有一个使用三进制的星球．小招移居到这个星球后更换身份证，要把年龄从十进制数变为三进制数表示．小招发现，只要在原来十进制年龄末尾添个“0”，就是三进制下的年龄．请问小招多少岁? 【答案】21岁【解析】①设小招为a 岁，得(10)(3)0=a a ，又10(3)(10)03033=⨯+⨯=a a a ，解得0=a ，不合题意，所以小招的年龄不可能是一位数．②设小招是ab 岁，由题意得：(10)(3)0=ab ab ．因为(10)10=+ab a b ，(3)0930193=⨯+⨯+⨯=+ab a b a b ，所以1093+=+a b a b ，即2=a b ． 又因为0ab 是三进制数，a ，b 都小于3，所以2=a ，1=b ．所以，小招为21岁． ③设小招为abc 岁，由题意有，(10)(3)0=abc abc ，因为(10)10010=++abc a b c ， 32(3)03332793=⨯+⨯+⨯=++abc a b c a b c ，所以100102793++=++a b c a b c ．即732+=a b c ．又a 、b 、c 都小于3，所以上述等式不成立． 综上可知小招的年龄是21岁．7. abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd -abc -ab -a = 1787，则这四位数=______或______. 【答案】2009或2010【解析】原式可表示成：8898991787+++=a b c d ，则知a 只能取：1或2，当1=a 时，b 无法取，故此值舍去.当2=a 时，0=b ，0=c 或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.8. 十进制计算中,逢10必须进位,有保密员之间采用r 进位制方式计算,在他们的运算中: 10(166)(133)(24)-=r r ，则r =______.【答案】7【解析】(166)(133)(33)33247-==⨯+=⇒=r r r r r .9. 一个三位数A 的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A ，这个三位数A 是_____. 【答案】495【解析】设这个最大三位数为abc ，那么最小三位数为cba ，于是99()=-=-A abc cba a c ，三位数A 是99的倍数，所有可能值如下：198、297、396、495、594、693、792、891.代入题中检验，得A =495.10. 记号(75)k 表示k 进制的数，如果(70)k 在m 进制中表示为(56)m ,又m 、k 均小于等于10，求k 和m 的值.【答案】8,10==k m【解析】由于()()107077=⨯=k k k ,()()10565656=⨯+=+m m m ;所以567+=m k ,求得8,10==k m .深化练习11. 正整数3、5、6、15可以分别表示为121⨯+，2121⨯+，21212⨯+⨯，321212121⨯+⨯+⨯+，他们的上述表示(又称之为二进制)中1的个数分别是2，2，2，4，都是偶数，像3、5、6、15…这样的数，称为魔数，前10个魔数(从小到大)的和是______. 【答案】115【解析】魔数从小到大排列：11，101，110，1001，1010，1100，1111，10001，10010，10100，……，前10个有5个1在末位，5个1在倒数第二位，5个1在倒数第三位，4个1在倒数第4位，3个1在倒数第5位，和为2345152524232115⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝.12. 四位数1234可通过下面的变换变成1541：现在有一个四位数，通过以上方法变换成3779，那么原来的这个四位数是______. 【答案】3271【解析】设原来这个四位数是，则有37++=a b ，79++=c d ，即11237+=a b ，11279+=c d ，解得3,2,7,1====a b c d ，所以原来这个四位数是3271.13. 一个人今年的年龄恰好等于他出生年的数字和，那么这个人今年的年龄是______. 【答案】5或23【解析】(1)设这个人的出生年为19ab ，根据题意19201719+++=-a b ab102017190010++=---a b a b化简得：112107+=a b .所以111072=-a b 因为9≤b ，所以111071889≥-=a .从而9≥a 推出9=a ，4=b .这个人的年龄为2017199423-=（岁）.(2)设这个人的出生年月为20ab ，根据题意 20201720+++=-a b ab ， 11215+=a b12==，a b .这个人的年龄为201720125-=（岁）.14. 四位数及其逆序数的和是35的倍数，求满足条件的四位数一共有多少个？ 【答案】238【解析】()()1001110+=+++abcd dcba a d b c ，可以知道+a d 是5的倍数，+b c 是7的倍数，其中a ，d 不为0，有5/10/15+=a d ，0/7/14+=b c ，(),a d 一共有17组，(),b c 一共有14组，那么一共有1714238⨯=.12+1+21541123415.a、b、c是0~9中不同的数字，用a、b、c共可组成六个数，如果其中五个数之和不小于2009，也不大于2012，那么另一个数是______.【答案】208【解析】这六个数的总和为222（a＋b＋c）.若a＋b＋c=10，那么六个数总和为2220，所求的数不小于208，不大于211，只有208满足条件；若a＋b＋c=11，那么六个数总和为2442，所求的数不小于430，不大于433，都不符合条件；若a＋b＋c=12，那么六个数总和为2664，所求的数不小于652，不大于655，都不符合条件；若a＋b＋c=13，那么六个数总和为2886，所求的数不小于874，不大于877，都不符合条件；若a＋b＋c≥14，那么六个数总和不小于3108，那么另一个数超过1000，不符合题意.综上可得，另一个数必是208.。
小五奥数-十进制和二进制
1、进位制的基本原理（1）十进位制我们通过对常用的“十进位制”的进一步认识。
推广到其他非十进位制，概括出进位制原理。
十进位制记数法，只用十个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9.它是“位值制”记数法（即同一个数码，在不同的位置上表示不同的数值），如246的百位上的数码2表示200，十位上的数码4表示40，个位上的数码6表示6，即246=200＋40＋6=2210+4106⨯⨯+一般来说，任何一个十进位制数，都可以用各位数码（共十个不同数码）与10的方幂的乘积的和来表示，其中幂指数比相应数码所在的位数（从右往左数）少1.如 10543210356842=300000500006000800402310+510+610+810+410+210+++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯说明 : ①十进位数 10356842 的下标（10），是为了和其他进位制区别开，一般下标“（10）”省略，即10356842 =356842② 10356842 是“位值制”，一般第二步可以省略不写，可按法则直接写成与10的方幂的乘积的和的形式。
③十进位制数，要“满十进一”。
（2）二进位制类比十进位制数来认识二进位制数，注意相同点和不同点。
二进位制记数法：只用两个数码，即“0”和“1”。
二进位制数也是“位值制”记数法，低位向高位进位要“满二进一”。
如 1+1=10,10+1=11，11+1=100,100+1=101,101+1=110,110+1=111,111+1=1000等等十进位制数和二进位制数对照表如下：十进位制数1，2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， …… 二进位制数1，10，11，100，101，110，111，1000， ……二进位制数也可以表示成：以2为底的方幂的乘积的和的形式，例如：020220210=1x2=211=1x2+1x2=2+1=3100=12+02+02=2=4101=12+02+12=2+1=5⨯⨯⨯⨯⨯⨯（2）（2）（2）（2），，，一般来说，任何一个二进位制数，就是各位数码与2的方幂的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数（从右往左数）减1.说明 因为“1”乘任何数仍得那个数，其因数1可以省略不写，又因为“0”乘任何数仍得“0”，零项也可以省略不写。
五年级奥数第五讲-进位制
1.了解二进制、八进制、十进制； 2.掌握十进制、二进制和八进制互化； 3.练习进制位数的加减乘除。
一、什么是进位制？
进位制是用有限的数字，通过放在不同位置的方式来表示不同的数值 的一种记数方式。 比如01，10，100，1000…这些都是不同数值，但是可以用0和1两个 数字表示出来，用的就是十进制的方法，满十进一。（即：位数上积 累满10个这个单位的数就可以向上一位进“1”） 除了十进制，我们根据实际需要还有采用二进制、八进制、十二进制 和十八进制等等进制方法来记数。 60进制：60秒等于1分钟 360进制：360度等于一周
练习：把下列十进制数化成二进制数 1、27 2、121 3、2002 4、0.25 5、0.78125
2.二进制数化成十进制数 按照位权展开：
练习：把下. （2002）2
四、二进制数的加减乘除
1.加法 列竖式计算，每个数位对齐相加，从个位数开始，满2就向 高位进1位。
三、十进制和二进制的互化
1.十进制数化成二进制数
（1）整数：除以2取余数
具体：把十进制数13化成二进制数，用2连续去除，然后将每次所得的余 数，按自下而上的顺序写出来。
（13）10=（1101）2
（2）小数：乘以2取整数 具体：把小数十进制数0.3125化成二进制数，要连续乘以2，直到最终结 果为整数，取其整数放在小数部分，自上而下写下来。
二、进制数的表示方法
用不同进位制的数的写法是不同的。 可以用“括号+下标”来表示。比如10可以写成：
那10的十二进制怎么写？
1.二进制使用的数字只有0和1，进位规则是“逢二进一”，也就是 说每个数位上积累了2个单位的数就向上进一个单位。 十进制数对应的二进制数： 1，2，3，4，5，6…， 1，10，11，100，101，110，111…。
小学六年级奥数 第十三章 进位制
第十三章进位制知识要点在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知的十进制中，常有O，1，2，…，9共十个数字，相加时满十就要进一。
类似地，在二进制中有“满二进一”，在八进制中有“满八进一”等等。
进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系，人们就会采用哪种进位制。
例如：1小时等于60分钟是六十进制，一年等于十二个月是十二进制等等。
一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是：1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。
2.K进位制有K个不同的记数符号。
如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。
一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。
3.十进制和二进制的转化。
十进制和二进制的对应关系：十进制1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…二进制1，10， 11 ，100 ，101， 110， 111 ，1000 ，1001，1010，…把一个十进制数化为二进制数，只要用2连续去除，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序写出来。
例如，把(13)10化成二进制：把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算出来。
例如：(1101)2＝(1×23＋1×22＋0×21＋1×20)10＝(8＋4＋1)10＝(13)10学习进位制知识，就要善于把进位制知识灵活地运用，把问题转化到最合适的进位制中解决问题。
例如计算机就是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。
例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
点拨一个十进制整数的位数从右边第一位数起依次为个、十、百、千、万…”.计数单位是1，10，100，1000，10000，…，用乘方的形式来写，计数单位依次为1(100)，101，102，103，104…。
(小学奥数)进制的应用
1. 瞭解進制；2. 會對進制進行相應的轉換；3. 能夠運用進制進行解題一、數的進制1.十進位：我們常用的進制為十進位，特點是“逢十進一”。
在實際生活中，除了十進位計數法外，還有其他的大於1的自然數進位制。
比如二進位，八進制，十六進制等。
2.二進位：在電腦中，所採用的計數法是二進位，即“逢二進一”。
因此，二進位中只用兩個數字0和1。
二進位的計數單位分別是1、21、22、23、……，二進位數也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進位中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二進位的運算法則：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：對於任意自然數n ,我們有n 0=1。
3.k 進制：一般地，對於k 進位制，每個數是由0，1，2，，1k -（）共k 個數碼組成，且“逢k 進一”．1k k >（）進位制計數單位是0k ，1k ，2k，．如二進位制的計數單位是02，12，22，，八進位制的計數單位是08，18，28，．知識點撥教學目標5-8-2.進制的應用4.k 進位制數可以寫成不同計數單位的數之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十進位表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二進位表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；為了區別各進位制中的數，在給出數的右下方寫上k ，表示是k 進位制的數 如：8352（），21010（），123145（）,分別表示八進位制，二進位制，十二進位制中的數．5.k 進制的四則混合運算和十進位一樣先乘除，後加減；同級運算，先左後右；有括弧時先計算括弧內的。
二、進制間的轉換：一般地，十進位整數化為k 進制數的方法是：除以k 取餘數，一直除到被除數小於k 為止，餘數由下到上按從左到右順序排列即為k 進制數．反過來，k 進制數化為十進位數的一般方法是：首先將k 進制數按k 的次冪形式展開，然後按十進位數相加即可得結果．如右圖所示:模組一、進制在生活中的運用【例 1】 有個吝嗇的老財主，總是不想付錢給長工。
高斯小学奥数六年级上册含答案第05讲 进位制问题
第五讲进位制问题有这样一个笑话：请问“11+”在什么样的情况下等于10，答：“在算错的情况下等于10！”．笑话毕竟是笑话，现实生活中一般也不会出现把11+算错的情况．不过学习完今天的知识，同学们就知道，不用算错，11+也是可以等于10！说起来很奇怪，但在二进制中就是这样的．说到这里，同学们可能会有疑问，什么是二进制呢？那还得从进位制说起．一、什么是进位制所谓“进位制”就是指进位的法则．在我们已经学过的加法运算中就有一条进位法则——逢十进一．由于它规定逢十．进一，所以这一进位法则又称“十进制”．生活中最常用的就是十进制，例如10分钱就是1角，10角钱就是1元；10毫米等于1厘米，10厘米等于1分米，10分米等于1米．当然，生活中也并不总是“逢十进一”，比如时间就是60进制的：60秒等于1分钟，60分钟等于1小时．再比如西方国家常用的单位“打”，所谓一“打”就是指12个，这就是一种12进制．我国古代重量单位“斤”和“两”就是16进制的，常说的“半斤八两”就是指半斤和八两相当，所以一斤就是16两……像这样的例子有很多，大家不妨自己想想，还有没有别的进位制的例子．二、怎么表示进位制这么多进位制，究竟怎么通过写法把它们区分开来呢？一般的，如没有特殊说明，．．．．．．．．．．．．都．默认为．．．10．．进制．．．如果要表示其他进制，就必须采用括号加脚标的形式．例如5进制中的1234，我们就写成()51234，2进制的101就写成()2101．在n 进制中，恰好会用到n 种数字：从0一直到1n -．这里请大家注意以下两点：（1）n 进制中，不可能出现数字n 以及比n 更大的数：如5进制中不可能出现数字5、6、7、8、9等；反过来，如果一个数中出现了数字5或大于5的数字，这个数就一定不会是5进制数，如125，733都不可能是5进制数；（2）n 进制中，出现的数字可能会超出0到9这十种数字，比如16进制，必须逢16才能进1，所以从0开始数到9之后不能进位，必须仍然用一个字符来表示．数学上约定在16进制种，用字母A 、B 、C 、D 、E 、F 来表示等于10进制中的10、11、12、13、14、15．在n 进制种，n 也称为该进位制的“基”．三、n 进位制化十进制十进制：3221012101100101=⨯+⨯+⨯+； 三进制：()321321012313031=⨯+⨯+⨯+； 四进制：()321421012414041=⨯+⨯+⨯+； 五进制：()321521012515051=⨯+⨯+⨯+； ……例1． （1）5812162013====（_______）（_______）（_______）（_______）（2）()1052012=（_______） （3） ()10122012=（_______）「分析」把10进制的数转化为其他进制，一般采用的是短除求余法，就是把10进制数不断的除以进制数，保留余数，直到余数为0为止，然后将余数倒序写出即可；其它进制转化成10进制，可以用位值原理展开求解．练习1、()101232A =（_______） ()1016ADD =（_______） ()1252012=（_______）()1282012=（_______）例2．（1）把三进制数12120120110110121121改写为九进制，它从左向右数第1位数字是多少？（2）()482111011001==（_______）（_______）．「分析」三进制数化为九进制数除了用前面说过的以十进制为桥梁进行转化，是否有更简单巧妙的办法呢？练习2、()93120011221=（_______）例3． ()()77754536245+=（_______）「分析」这是一个七进制下的加法，记住严格遵循“逢七进一”的原则，你一定能得出正确答案．练习3、例4．在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，这个三位数在十进制中是多少？ 「分析」怎样把题目中的两个数统一在一个进位制下，是十进制还是二进制？你是否能根据位置原理列出不同进制下的三位数展开形式呢？练习4、在7进制中有三位数，化为9进制为，这个三位数在十进制中是多少？例5．一个天平，物品必须放在左盘，砝码必须放在右盘，那么为了能称出1克到1000克，至少需要多少个砝码？「分析」从最小的重量1、2、3……克开始推理，注意已有砝码是可以累加在一起的．例6．一本书共有2013页，第一天看一页书，从第二天起，每天看的页数都是以前各天的总和．如果直到最后剩下的不足以看一次时就一次看完，共需多少天？「分析」根据题目要求逐一列出每天所看的页码数，不断总结计算纸质得出最后答案．cba abc ()()555123123⨯=（_______）作业1. 进制互化：（1）； （2）； （3）=； （4）=；（5）； （6）．2. （1）；（2）．3. 一个十进制三位数，其中的a 、b 、c 均代表某个数码，它的二进制表达式是一个七位数，这个十进制的三位数是多少？4. 一个自然数用三进制和四进制表示都为三位数，并且它的各位数字的排列顺序恰好相反，这个自然数用十进制表示是多少？5. a 、b 是自然数，a 进制数47和b 进制数74相等，a 与b 的和的最小值是多少？()21abcabc ()10abc()()()55521322⨯= ()4 ()()44202323+= ()()916157= ()()4911202= ()5 ()101248 ()16 ()103120 ()()10161CA = ()10 ()411202=第三讲 递推计数例题 例1． 答案：927详解：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：下面解释一下这张数表是如何累加得到的．写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法——因此4篇作文的完成方法总数为1247++=，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；第一天写2篇，那么剩下3篇还有4种完成方法；第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法——因此5篇作文的完成方法数等于24713++=……以此类推便可填满整张表格．例2． 答案：28详解：我们同样可以列出一个递推数列，将其表示如下：下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×3、2×3和3×3方格表的方法数可以枚举得到．接着分析覆盖4×3的表格有几种覆盖方法．如下图所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2；当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，因此只剩下一个1×3的方格表需要覆盖，方法数为1．由此可得4×3表格的方法数为2+1=3．用同样的方法分析5×3的方格表，可得其覆盖方法数等于43⨯的方法数加上23⨯的方法数，因此等于314+=．接着以此类推即可． 例3． 答案：5051余下部分是33⨯的方格表，覆盖方法有2种．阴影方格下方的格子只能用横放的纸片盖住，因此只剩下13⨯的方格表需要覆盖详解：我们同样可以列出一个递推数列，将其写为如下的一张数表：下面详细说明该递推过程．平面上有1、2、3条直线的情形画图即可解决，我们从第4条直线开始分析．如右图所示，当画上第4条直线时，会把原有的区域一分为二（如编号为I 、II 、III 、IV 的4个区域），因此会增加4个新区域．而之所以能产生4个新区域，就是由于第4条直线会与原有的3条直线产生3个交点，而这3个交点会把第4条直线分为4部分，每一部分都会位于一个原有的区域中，因此每一部分都就会把原有的某个区域一分为二，因此直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分．上述逻辑关系在下方右侧有明确的表示．由此可得，增加到第n 条直线就会增加n 个新区域，因此答案是()22341005051+++++=．例4． 答案：1641详解：本题的方法称为“传球法”．传球法在很多问题中有着广泛的应用．如右侧表格所示，除了第“0”行外，其余每一行的数量都是由上一行的数量通过某种规则累加得到的．比如第“1”行A 下方的0，就是通过第“0”行B 、C 、D 的数量相加得到的；第“3”行B 下方的7，就是通过第“2”行A 、C 、D 的数量相加得到的；第“4”行C 下方的20，就是通过第“5”行A 、B 、D 的数量相加得到的；第“6”行D 下方的182，就是通过第“5”行A 、B 、C 的数量相加得到的．之所以有这样的累加规则，就是因为A 想拿球，必须由B 、C 、D 传球给他，所以他下方的数也必须由B 、C 、D 累加给他我们不停地将数表向下累加，每传一次球就多累加一行，最后得到第“8”行．这一行的四个数分别为1641、1640、1640和1640．他们分别表示8次传球后，由A 、B 、C 、D目要求最后球回到A 手中，因此答案为1641种．第4条III IIIIV增加第n 条直线产生1n -个交点第n 条直线被分成n 部分直线的每一部分都分出一个新区域增加n 个新区域2+3+5+100+4+…例5． 答案：1224详解：我们把这个七位数看作是1、2、3三个人之间传6次球的一个传球顺序，具体的传球规则是：1能传球给2、3，但不能给自己；2、3都能传球给1、2、3．依据“传球规则决定累加规则”，我们可以列出如右表所示的一张递推表格．表格的第“0”行是发球行，对应的是这个七位数的首位数字．由于1、2、3都能作首位，因此第“0”行写的都是1．接着按照传球规则累加即可．表格中第“6”行（最后一行）中的三个数分别表示第六次传球后，球在1、2、3手中的方法数，对于七位数而言，就是表示分别以1、2、3结尾的符合题意的七位数有多少个．所以最后答案应该把它们全加起来，等于328+448+448=1224．例6． 答案：42详解：我们依照连续偶数的次序进行递推累加．（1）圆周上有2个点，只有1种连法．（2）圆周上有4个点，只有2种连法．（3）圆周上有6个点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6（如下左图），那么与A 1相连的点只能是A 2、A 4或A 6．依次分三类情况讨论：第一，A 1连A 2，剩下4个点连法数为2；第二，A 1连A 4，剩下4个点连法数为1；第三，A 1连A 4，剩下4个点连法数也为2．由此可得，6个点共有5种不同的连法．（4）如果圆周上有8个点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8（如下右图），那么与A 1相连的点有四种可能，分别是A 2、A 4、A 6或A 8．以此分四类讨论，共14种方法．（5）如果圆周上有10个点，同样考虑能与A 1相连的点，分五类讨论，如下图所示．共42种方法．A还剩4个点，2种方法．1种方法．还剩4个点， 2种方法．剩余42+个点，方法数为21⨯．42+个点，方法数为21⨯．还剩6个点，共5种方法．评析：本题虽然不像之前那样，只遵循一个简单的累加规则，但也仍然是一个由小求大的递推过程：在求解6个点的方法数时，会用到2个、4个点的方法数；在求解8个点的方法数时，也会用到2个、4个、6个点的方法数；而在求解10个点的方法数时，则会用到2个、4个、6个、8个点的方法数……由此可见“由小求大”应该说是递推法真正的内涵．我们再处理问题时，要有能力将数目较大的情形通过变形，化归为数目较小的情形来解决．另外，请大家观察右图．从A 处出发，每次只能向右或向上走一步，那么从A 到B 、C 、D 、E 、F 的最短路径分别有多少？大家不妨用标数法（参考四年级上册第16讲《加法原理与乘法原理》）自己做一做，在把相应的结果与本题的结果对照一下，你能发现其中的奥妙吗？3 4A 6A 3 4A 6A 3 4A 6A 3 4A 6A 3 4A 6A 剩余8个点 共14种方法 剩余26+个点 共15⨯种方法剩余44+个点 共22⨯种方法剩余26+个点 共15⨯种方法剩余8个点 共14种方法ABCDEF练习1、 答案：12简答：仿照例题1进行分类讨论，列出如下数表进行累加即可，注意累加规则．练习2、答案：21简答：仿照例题2，找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即可得递推规则．练习3、 答案：1276简答：本题与直线分平面的问题本质相同，因此与例题3类似进行递推即可．如下表所示练习4、 答案：434后的拿球人不是发球人这一点要注意！2+3+5+50+4+1. 答案：89 简答：简答：简答：略．4. 答案：3277简答：如右表所示，用传球法列表解决．传球规则是：0不能发球，其它都可以发球；传球不能传给自己，只能传给别人；总共传球传6次． 5. 答案：29简答：如下方左图所示，和例题2类似，找到某个方格，依据这个方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两种情况讨论．就是的覆盖方法，利用练习2的分析方法和相关结论，可得答案为21．情况二，竖着覆盖：在这类情况下，有另外四个格子的覆盖方法唯一确定，如下方右图中的虚线所示，剩下需要覆盖的是一个的方格表，其方法数量也可参考练习2的分析方法和相关结论来取得，答案为8．上述两种情况相加，可得答案为．21829+= 52⨯ 72⨯。
五年级奥数第50讲 进位制与位值原理-
【例5】 (★★★★) 在6进制中有三位数 abc ，化为9进制为 cba，求 这个三位数在十进制中为多少？
1
二、位值原理
【例6】 (★★★) 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新 的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原 数大8802 。求原来的四位数。
例3答案：① (11100)2 ② (11000000）2 ③ (500)10 例4答案：248
④ (13121)8
例5答案：22
）2
一、进位制 2．咱要了解的进位制： ⑴本质：n进制就是逢n进一 ⑵n进制下的数字最大为(n－1) 特别的：超过9的一般用大写英文字母表示 3．会变身的进位制：n进制和十进制的相互转化
【例3】 (★★★) ① (101)2(1011)2 (11011)2 ( ）2 ② (11000111）2 (10101）2 (11）2 ( ）2 ③ (3021)4 (605)7 ( )10 ④ (63121)8 (1247)8 (16034)8 (26531)8 (1744)8 ( )2
进位制与位值原理
一、进位制 1．缤纷多彩的进位制：
六十 进制 二十 进制
二进 制 … … 十六 进制
五进 制 十二 进制
【例1】 (★★★) 把下列各数转化成十进制数： ⑴ (463)8；⑵ (2BA)12；⑶ (5FC)16。
【例2】 (★★★) ⑴把85化成二进制数。 ⑵ (567)10 ( ）8 ( ）5 (
【例7】 (★★★) 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数， 如果这6个三位数的和是1554 ，那么这3个数字分 别是＿。
小学六年级奥数系列讲座：进位制问题(含答案解析)
进位制问题内容概述本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．典型问题1．在几进制中有4×13=100．【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)10×(3)10=(12)10．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)10×(13)10=(52)10，因52<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n<10．所以，n只能是6．2．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：12 12 0l20 11 01 10 12 11 21 3进制5 5 l6 4 1 3 5 47 9进制所以，首位为5．评注：若原为n进制的数，转化为n k进制，则从右往左数每k个数一组化为n k 进制．如：2进制转化为8进制，23=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制．10 100 001 101 2进制2 4 1 5 8进制(10100001101)2=(2415)8．3．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】(abc)6=a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a．所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a =16，c =7：但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．②当b =5，则35a =3×5+80c ；则7a =3+16c ；mod 7后，3+2c ≡0 所以c =2或者2+7k (k 为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c =2．于是，35a =15+80×2；a =5．于是(abc )6 =(552)6=5×62+5×6+2=212． 所以．这个三位数在十进制中为212．4．设1987可以在b 进制中写成三位数xyz ，且x y z ++=1+9+8+7，试确定出所有可能的x 、y 、z 及b ．【分析与解】 我们注意2()19871987b xyz b x by z x y z ⎧=++=⎨++=+++⎩①②①-②得：(2b -1)x +(b -1)y =1987-25． 则(b -1)(b +1)x +(b -1)y =1962， 即(b -1)[(b +1)x +y ]=1962． 所以，1962是(b -1)的倍数． 1962=2×9×109：当b -1=9时，b =10，显然不满足；当b -1=18时，b =19，则（b -1)[(b +1)x +y ]=18×(20x +y )=1962；则20x +y =109，所以，545,(929911b x x x y y y z ⎧⎪===⎧⎧⎪⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎪=⎩=19不满足),......则 显然，当b =109不满足，b =2×109不满足，当b =9×109也不满足． 于是为(59B)19=(1987)10，B 代表11．5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A 、B 、C 、D 的和为多少? 【分析与解】于是，我们知道n =4，所以为4进制，则 A+B+C+D=3+1+2+0=6．6. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l 的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数. 【分析与解】 我们现把1024转化为二进制： (1024)10=210=(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况． 并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如502111...10000...0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5个1个或以上912111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个=9120111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个则，10* * * * * * * * * *⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个位置可以含2个l ，4个1，6个1，8个l ，10个1．于是为2268101010101010C C C C C ++++ =10910987109876510987654312123412345612345678⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋ =45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个.7．计算：2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个26的余数． 【分析与解】2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个=2003331000...01⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭个=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个226=(222)3所以，2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个÷26=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个2÷(222)3 (222)3整除(222)3，2003÷3：667……2，所以余(22)3=8． 所以余数为8．8．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个?【分析与解】 我们设(3ab )10=(4cd )9=(5ef )8；我们知道(4cd )9 在(400)9～(488)9之间，也就是4×92～5×92-1，也就是324～406；还知道(5ef )8 在(500)8～(577)8之间，也就是5×82～6×82-1，也就是320～383；又知道(3ab )10 在(300)10～(399)10之间．所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件.9. 一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和．①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天? ②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天?【分析与解】①我们注意到每天 1 2 3 4 8 16 32 64 …前若干天的和…210<2004<211前1天为1，前2天为21，前3天是22，所以前11天为210，前12天是211,也就是说不够第11天拿的，但是根据题中条件知．所以共需12天.②每天 1 1 2 4 8 16 32 64 …前若干天的和1 2 4 8 16 32 64 128 …改写为2进制111010001000100000100000010000000…2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1) =11+10+9+8+7+5+3=53天．。
五年级奥数春季实验班第4讲 数论基础之进位制
得到的新三位数是它的各位数字之和的
倍。
解：设这个三位数是 a0b ， a0b =67×(a+b)，则 100a+b=67a+67b，得 33a=66b，所以 a=2b，
不妨设此数为 402，则 402÷6=67， 交换个位数字与百位数字为 204，204÷6=34. 所以新三位数是它的各位数字之和的 34 倍。
第四讲 数论基础之进位制
模块 1、十进制和 k 进制的相互转化以及 k 进制下的直接运算
例 1．（1）在二进制下进行加法：(101010)2+(1010010)2=(
)2；
（2）在七进制下进行加法：(1203)7+(64251)7=(
)7；
（3）在九进制下进行加法：(178)9+(8803)9=(
)9；
例 7．一个正整数的各位数字只含有 0 和 1，且能被 522 整除，则这样的正整数中最小的是
。
解：522=2×32×29，所以该数一定能被 2 整除，且只由数字 0 和 1 组成，所以个位数字一定是 0，
又该数能被 9 整除，所以数字和是 9 的倍数，即可能有 9 个 1、18 个 1、……。 最小的数可能有 9 个 1，即 1111111110. 但是 1111111110 不能被 29 整除，我们来分析 101、102、103、……，除以 29 的余数， 同时考虑 101、101+102、101+102+103、……、即累积和除以 29 的余数，列表如下：
1+2+4+8+16+32=63，第 64 个数是 1000000，100−64=36，
又 1+2+4+8+16=31，1+2+4=7，所以第 102 项用 3 进制表示是 1100100，所以第 100 项是 1100010. 用十进制表示是 36+35+3=975.
10小学奥数——数阵+进位制试题及解析
10⼩学奥数——数阵+进位制试题及解析⼩学奥数——数阵、进位制⼀.选择题（共16⼩题）1.在右图的66⽅格内，每个⽅格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每⾏、每列、每个标有粗线的23长⽅形的六个字母均不能重复.那么，第四⾏除了⾸尾两个⽅格外，中间四个⽅格填⼊的字母从左到右的顺序是()A.E，C，D，FB.E，D，C，FC.D，F，C，ED.D，C，F，E2.如图，请将0、1、2、?、14、15 填⼊⼀个的表格中，使得每⾏每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各⼀个，⽽除以4的商也恰为0、1、2、3各⼀个.表格中已经填好了⼏个数，那么，这个表格中最下⽅⼀⾏的四个数的乘积是()A.784B.560C.1232D.5283.如图，将前9个正奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17放在33的幻⽅中，使横向、纵向和对⾓线⽅向数字和相等，则(+=)A E4.将1，2，3，4，5，6分别填⼊66的⽅格⽹（如图所⽰）的36个⼩⽅格中，使得每⼀⾏每⼀列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现⼀次，并且满⾜与不等号相邻的两个数中⼩数是⼤数的约数，那么，第⼆⾏从左到右的第6个数是()（左图是⼀个33的例⼦）A.5B.4C.3D.25.9、“九宫阵”是⼀个99的⽅阵，它是由九个33的“九宫格”（图中⿊实线围住的⽅阵）组成.请你在下图中将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填⼊空格内，使得每⾏、每列及9个“九宫格”中数字1~9均恰好出现⼀次.当填写完后，那么，位于第4⾏第4列的数字是()A.2B.4C.6D.86.在如图⽅格表中的每个⽅格中填⼈⼀个字母，使得⽅格表中每⾏、每列及两条对⾓线上的四个⽅格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在⽅格应填的字母是()C.CD.D7.我国古代的“河图”是由33的⽅格构成，每个⽅格内均有数⽬不同的点图，每⼀⾏、每⼀列以及每⼀条对⾓线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图.有以下4个点图可供选择其中，正确的是()A.①B.②C.③D.④8.如图的九个⽅格中，分别填⼊九个整数，使得每⼀横⾏，每⼀竖列及每⼀条对⾓线上的三个整数之积都相等（称之为乘法幻⽅），现在已填⼊三个整数：1，3，4及⼀个☆号，那么含有“☆”号的⼩⽅格中应填⼊的数是()A.9B.8C.7D.69.如图有九个空格，要求每个格中填⼊互不相同的数，使得每⾏、每列、每条对⾓线上的三个数之和都相等，则图中左上⾓的数是()A.9B.1610.九宫图的每⾏、每列、每条对⾓线上的三个数的和都相等，那么x等于()A.47B.48C.50D.5111.古时候的原始⼈捕猎，捕到⼀只野兽对应⼀根⼿指.等到10根⼿指⽤完，就在绳⼦上打⼀个结，这就是运⽤现在的数学中的()A.出⼊相补原理B.等差数列求和C.⼗进制计数法12.⽤a，b，c，d，x分别表⽰五进制中5个互不相同的数字.如果adx，adc，aab是由⼩到⼤排列好的连续⾃然数，那么cdx 所表⽰的整数写成⼗进制的表⽰是( ) A.48B.71C.82D.10813.⼆进制数2(101)可⽤⼗进制表⽰为2120215?+?+=，⼆进制2(1011)可⽤⼗进制表⽰为32120212111?+?+?+=，那么⼆进制数2(11011)⽤⼗进制表⽰为( )A.25B.27C.29D.3114.以下各数中有可能是五进制数的是( ) A.55B.106C.732D.213415.把389化为四进制数的末位为( ) A.1B.2C.3D.016.下列数不是⼋进制数的是( ) A.125D.128⼆.填空题（共30⼩题）17.N 是⼀个⼗进制中的⾃然数，它在四进制中的各位数字之和为4，五进制中的数字之和是5，则⼗进制中N 最⼩值是 .18.在r 进制中有这样⼀个算式：10(120)(44)(2016)r r ?=，其中结果已转换为⼗进制，那么r = .（填数字）19.⼀个超过20的⾃然数N ，在14进制与20进制中都可以表⽰为回⽂数（回⽂数就是指正读与倒读都⼀样的数，⽐如12321、3443都是回⽂数，⽽12331不是回⽂数），N 的最⼩值为（答案⽤10进制表⽰）.20.⼗进制10(23)在六进制中表⽰为6(35)，66(230)(255)(+= 10). 21.⼗进制10(23)在六进制中表⽰为6(35)，66(135)(12)(+= 10).22.如果⼀个数的⼆进制表⽰与负⼆进制表⽰的形式相同，这样的数称为“中环数”，⽐如：2220(10100)(10100)-==，其中432102(10100)1(2)0(2)1(2)0(2)0(2)-=?-+?-+?-+?-+?-，所以20就是“中环数”，⽽227(111)(11011)-==，所以7不是“中环数”，在⼩于1000的正整数中，“中环数”有个.23.将六进制中的数2015改写成⼗进制是 .24.请将⼗进制数120转化成⼆进制： .25.两个七进制整数454与5的商的七进制表⽰为 . 26.计算：(2)(2)1101101?=(2).27.⼗进制中数57改写成四进制为4(321)，计算：44(1003)(1012)+= 7（结果⽤七进制表⽰）28.巴依⽼爷请阿凡提为其整修花园，要求⼀个⽉完成，3⽉1⽇开始，31⽇结束，每天的⼯钱为⼀钱黄⾦.巴依⽼爷是出了名的守财奴，阿凡提要求每天结束时结算⼯钱，巴依⽼爷只有⼀块31钱的⾦条，他让阿凡提切割尽量少的次数，聪明绝顶的阿凡提只做了次切割，就解决了问题.29.⼗进制中697改写成七进制为7(2014)，今天是2014年2⽉23⽇，计算：77(2014)(223)+=7.（结果⽤七进制表⽰）.30.⽇常⽣活中经常使⽤⼗进制来表⽰数.要⽤10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电⼦计算机中⽤⼆进制，只要两个数码0和1，正像在⼗进制中加法要“逢⼗进⼀”，在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到⼀下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ? ⼆进制11011100101110111100031.仔细观察下⾯表⽰数的⽅式，第六⾏表⽰ .32.⽇常⽣活中经常使⽤⼗进制来表⽰数.要⽤10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电⼦计算机中⽤⼆进制，只要两个数码0和1，正像在⼗进制中加法要“逢⼗进⼀”，在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到⼀下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制的0在⼆进制中还是0，⼗进制的1在⼆进制中还是1，⼗进制的2在⼆进制中变成了1110+=，?熟知⼗进制10个2相乘等于+=，⼗进制的3在⼆进制中变成了101111024，即1021024=，在⼆进制中就是10000000000.那么⼆进制中的“10110”⽤⼗进制表⽰是.33.⽇常⽣活中经常使⽤⼗进制来表⽰数.要⽤10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电⼦计算机中⽤⼆进制，只要两个数码0和1，正像在⼗进制中加法要“逢⼗进⼀”，在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到⼀下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制的0在⼆进制中还是0，⼗进制的1在⼆进制中还是1，⼗进制的2在⼆进制中变成了1110+=，?熟知⼗进制10个2相乘等于+=，⼗进制的3在⼆进制中变成了101111024，即1021024=，在⼆进制中就是10000000000.那么，⼗进制中的2014⽤⼆进制表⽰是.34.⽇常⽣活中经常使⽤⼗进制来表⽰数.要⽤10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在电⼦计算机中⽤⼆进制，只要两个数码0和1，正像在⼗进制中加法要“逢⼗进⼀”，在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到⼀下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制的0在⼆进制中还是0，⼗进制的1在⼆进制中还是1，⼗进制的2在⼆进制中变成了1110+=，?熟知⼗进制10个2相乘等于+=，⼗进制的3在⼆进制中变成了101111024，即1022014=，在⼆进制中就是10000000000.那么，⼗进制中的1039⽤⼆进制表⽰是.在⼆进制中必须“逢2进1”，于是，可以得到以下⾃然数的⼗进制与⼆进制表⽰对照表：⼗进制的0在⼆进制中还是0，⼗进制的1在⼆进制中还是1，⼗进制的2在⼆进制中变成了1110+=，⼗进制的3在⼆进制中变成了10111+=，?那么，⼆进制中的“111100”⽤⼗进制表⽰是 .36.⼗进制中259改写成五进制为5(2014)，今天是2014年2⽉23⽇，计算：55(2014)(223)+=5.37.在n 进制的数中，若(1030)140n =，则n = .38.⼗进制计数法，是逢10进1，如102421041=?+?，21036531061051=?+?+?；计算机使⽤的是⼆进制计数法，是逢2进1，如21027121211111=?+?+?=，3210212121202011100=?+?+?+?=，如果⼀个⾃然数可以写成m 进制数45m ，也可以写成n 进制数54n ，那么最⼩的m = ，n = .（注:)n n aa a a a a ={个39.在美洲的⼀个⼩镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的，如果⼗进制中的147在20进制中的读⾳是“seyth ha seyth ugens ”，⽽⼗进制中的49在20进制中的读⾳是“naw ha dew ugens ”，那么20进制中读⾳是“dew ha naw ugens ”的数指的是⼗进制中的数 .40.有⼀天，唐僧师徒四⼈来到⼀个被称为“长寿岛”的地⽅，迎⾯⾛来⼀位青年，他⾃称有101岁了，孙悟空灵机⼀动，出了⼏道算术题给他算：11+=？；111++=？；1111+++=？；23?=？.这位青年的计算结果是：112+=，1113++=，11114+++=，2310?=.孙悟空仰天⼀笑，⼤声说，我知道你是岁.41.欢欢，迎迎各有4张卡⽚，每张卡⽚上各写有⼀个正整数.两⼈各出⼀张卡⽚，计算两张卡⽚上所写数的和，结果发现⼀共能得到16个不同的和.那么，两⼈卡⽚上所写数中最⼤数最⼩是 .42.⼆进制数进⾏加、减、乘、除运算时是满进⼀，退⼀作 . 43.把⼗进制数分别化成⼆进制数.44.⼀个⾃然数在四进制表⽰当中的各位数字之和是5，在五进制表⽰当中的各位数字之和是4，那么这个⾃然数除以3的余数是2，满⾜要求的最⼩⾃然数是（⼗进制表⽰） .45.把⼆进制数2(10111)化为⼗进制数是10；把⼗进制数10(37)化成⼆进制数是2.46.把5盏电灯并排安在台⼦上，⽤〇表⽰点亮的电灯，⽤●表⽰关掉的电灯.〇和●按⼀定的顺序排列，可以表⽰⼀定的数值，如图：“00101” 5=，省略最前⾯的零可简写成“1” 1=，“10” 2=，“11” 3=，“100” 4=，那么“11011” = ，“11110” = . 三.计算题（共4⼩题）47.⼆进制是计算技术中⼴泛采⽤的⼀种计数⽅法，⼆进制数是⽤0和1两个数字来表⽰的.其加、减法的意义我我们平时学习的⼗进制类似. （1）⼆进制加法.在⼆进制加法中，同⼀数位上的数相加只有四种情况：000+=，011+=，101+=，1110+=. ⼆进制加法算式和⼗进制写法⼀样，算法也⼀样，也要求数位对齐，从低位到遍位依次运算，但“满⼆进⼀”.例：（2）⼆进制减法.⼆进制减法算式和⼗进制写法⼀样，算法也⼀样，也要数位对齐，从低位到⾼位依次运算，相同数位上的数不够减时，向⾼⼀位借，但“借⼀当⼆”.例：阅读以上关于⼆进制的介绍，请你完成以下⼆进制计算.（要求列竖式计算）（1）10111- （2）101101101+.48.（1）把⼆进制数101011100写成⼗进制数是什么？（2）把⼗进制数234写成⼆进制数是什么？ 49.把下列⼗进制数分别改写成⼆进制数.（1）(10)17 （2）(10)23 50.计算下列各题. （1）(2)(2)10011100+ （2）(2)(2)10111001- （3）(2)(2)100111? （4）(2) (2)1110111÷参考答案与试题解析⼀.选择题（共16⼩题）1.在右图的66⽅格内，每个⽅格中只能填A，B，C，D，E，F中的某个字母，要求每⾏、每列、每个标有粗线的23长⽅形的六个字母均不能重复.那么，第四⾏除了⾸尾两个⽅格外，中间四个⽅格填⼊的字母从左到右的顺序是()A.E，C，D，FB.E，D，C，FC.D，F，C，ED.D，C，F，E 【解析】依题意可知：⾸先根据排除法看第⼀宫格，第⼀列不能有A，第⼆⾏不能有A.那么A只能在第⼀⾏第⼆列.幻⽅规律排除法确定第三⾏第四列也是A；第四⾏第四列的数字是C；接着第五⾏第四列就是F；那么第⼆⾏的第四列是B；继续推理得：故选：C.2.如图，请将0、1、2、?、14、15 填⼊⼀个的表格中，使得每⾏每列的四个数除以4的余数都恰为0、1、2、3各⼀个，⽽除以4的商也恰为0、1、2、3各⼀个.表格中已经填好了⼏个数，那么，这个表格中最下⽅⼀⾏的四个数的乘积是()A.784B.560C.1232D.528【解析】依题意可知：可将数独拆分成余数数独和商的数独.商的数独注意某两个格⼦如果余数是相同的，那么商必然不同，如果商是相同的，那么余数必然不同，利⽤这个条件可以填完这两个数独，再合并成原表格.故选：A.3.如图，将前9个正奇数1，3，5，7，9，11，13，15，17放在33的幻⽅中，使横向、纵向和对⾓线⽅向数字和相等，则(+=)A EA.32B.28C.26D.24【解析】所以，151732+=+=A E故选：A.4.将1，2，3，4，5，6分别填⼊66的⽅格⽹（如图所⽰）的36个⼩⽅格中，使得每⼀⾏每⼀列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现⼀次，并且满⾜与不等号相邻的两个数中⼩数是⼤数的约数，那么，第⼆⾏从左到右的第6个数是()（左图是⼀个33的例⼦）A.5B.4C.3故选：D.5.9、“九宫阵”是⼀个99的“九宫格”（图中⿊实线围住的⽅阵）的⽅阵，它是由九个33组成.请你在下图中将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填⼊空格内，使得每⾏、每列及9个“九宫格”中数字1~9均恰好出现⼀次.当填写完后，那么，位于第4⾏第4列的数字是()A.2B.4C.6D.8【解析】由分析可知位于第4⾏第4列的数字是2；故选：A.6.在如图⽅格表中的每个⽅格中填⼈⼀个字母，使得⽅格表中每⾏、每列及两条对⾓线上的四个⽅格中的字母都是A，B，C，D，那么表中★所在⽅格应填的字母是()A.AB.BC.CD.D【解析】如上图：①D≠、C、A，只能是B；同理，★部分的字母A≠、B、D，只能是C，所以，★部分的⽅格中填⼊的字母是C.故选：C.7.我国古代的“河图”是由33的⽅格构成，每个⽅格内均有数⽬不同的点图，每⼀⾏、每⼀列以及每⼀条对⾓线上的三个点图的点数之和均相等.如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图.有以下4个点图可供选择其中，正确的是()A.①B.②C.③D.④【解析】每个点表⽰1，中间数就是5，幻和是5315=.左下⾓的数是：15528--=，P点的数是：15816--=.P点有6个点组成，与③相同.故选：C.8.如图的九个⽅格中，分别填⼊九个整数，使得每⼀横⾏，每⼀竖列及每⼀条对⾓线上的三个整数之积都相等（称之为乘法幻⽅），现在已填⼊三个整数：1，3，4及⼀个☆号，那么含有“☆”号的⼩⽅格中应填⼊的数是()A.9B.8C.7D.6【解析】如图341B=，=，即12A B A=?，☆31249=?÷=.，因此4☆312C3C B=☆4故选：A.9.如图有九个空格，要求每个格中填⼊互不相同的数，使得每⾏、每列、每条对⾓线上的三个数之和都相等，则图中左上⾓的数是()A.9B.16C.21D.23【解析】如图，设相应⽅格中的数为1x ，2x ，3x ，4x ；由已知条件：⾏、列及对⾓线的三个数的和都相等，可以列出下⾯的等式（⽅程）: ？⼗1x ⼗2x =？3413213x x x x x ++=++=⼗419x +，这样，前⾯两个式⼦的和就等于后⾯两个式⼦的和，即有2?？1x +⼗23411319x x x x ++=++⼗234x x x ++，所以1319162+==. 答：图中左上⾓的数是16. 故选：B .10.九宫图的每⾏、每列、每条对⾓线上的三个数的和都相等，那么x 等于( )A.47B.48C.50D.51【解析】幻和是：23739x x ++=+， (39)1623c x x =+--=， (39)372321a x x =+--=-，(39)(21)1639211644b x x x x =+---=+-+-=； (39)443742e x x =+--=-；所以：(21)(42)39x x x x +-+-=+214239x x x x ++--=+ 2102x = 51x =. 故选：D .11.古时候的原始⼈捕猎，捕到⼀只野兽对应⼀根⼿指.等到10根⼿指⽤完，就在绳⼦上打⼀个结，这就是运⽤现在的数学中的( ) A.出⼊相补原理B.等差数列求和C.⼗进制计数法【解析】古时候的原始⼈捕猎，捕到⼀只野兽对应⼀根⼿指.等到10根⼿指⽤完，就在绳⼦上打⼀个结，这就是运⽤现在的数学中的⼗进制计数法；故选：C .12.⽤a ，b ，c ，d ，x 分别表⽰五进制中5个互不相同的数字.如果adx ，adc ，aab 是由⼩到⼤排列好的连续⾃然数，那么cdx 所表⽰的整数写成⼗进制的表⽰是( ) A.48B.71C.82D.108【解析】由于是连续的正整数，且adc ，aab ，个位与⼗位均发⽣了变化，可知是发⽣了进位，因为1adc adx -=，所以1c x -=. ⼜因1aab adc -=，即：(5)(5)1a b d c +-+=，所以5()()1a d b c -+-=；由于a ，b ，c ，d ，e 都是0⾄4之间的不同整数，从⽽可以推知：1a d -=，4c b -=.经检验，得4c =，0b =，3e =，2a =，1d =，于是有： 5(413)cdx =，210451535+=?+??， 42553=?++， 10053=++， 108=.答：cdx 所表⽰的整数写成⼗进制的表⽰108. 故选：D .13.⼆进制数2(101)可⽤⼗进制表⽰为2120215?+?+=，⼆进制2(1011)可⽤⼗进制表⽰为32120212111?+?+?+=，那么⼆进制数2(11011)⽤⼗进制表⽰为( )A.25B.27C.29D.31【解析】2(11011)，432101212021212=?+?+?+?+?， 168021=++++，2421=++，27=；⼆进制数2(11011)⽤⼗进制表⽰为27. 故选：B .14.以下各数中有可能是五进制数的是( ) A.55B.106C.732D.2134【解析】因为五进制数不可能出现5，6，7，8，9，所以55、106、732不可能是五进制数，2134有可能是五进制数，所以有可能是五进制数的是2134. 故选：D .15.把389化为四进制数的末位为( ) A.1B.2C.3D.0【解析】3894971÷=?，（末位） 974241÷=?， 24460÷=?， 6412÷=?， 1401÷=?，把所有余数倒序排列，即：12011. 所以，10(389)(=412011)，所以，把389化为四进制数的末位为1. 故选：A .16.下列数不是⼋进制数的是( )A.125B.126C.127D.128【解析】⼋进制的数是由除以8的余数得来的数计数的，不可能出现8，所以128不合题意；故选：D .⼆.填空题（共30⼩题）17.N 是⼀个⼗进制中的⾃然数，它在四进制中的各位数字之和为4，五进制中的数字之和是5，则⼗进制中N 最⼩值是 13 .【解析】从上表可以看出符合条件的数最⼩是13. 故答案为：13.18.在r 进制中有这样⼀个算式：10(120)(44)(2016)r r ?=，其中结果已转换为⼗进制，那么r = 7 .（填数字）【解析】10(120)(44)(2016)r r ?=2(12)(44)2016r r r ?+??+= (1)(2)789r r r ?+?+=?? 7r =故答案为：7.19.⼀个超过20的⾃然数N ，在14进制与20进制中都可以表⽰为回⽂数（回⽂数就是指正读与倒读都⼀样的数，⽐如12321、3443都是回⽂数，⽽12331不是回⽂数），N 的最⼩值为 105 （答案⽤10进制表⽰）.【解析】因为20N >，所以N 在14进制与20进制中都不是⼀位数，我们希望N 尽可能⼩，故设1420()()N aa bb ==，即1420N a a b b =+=+，所以1521N a b ==，即N 是15的倍数，⼜是21的倍数，即是357105??=的倍数，⽽101420(105)(77)(55)==，符合题意，故N 的最⼩值为105. 故答案为105.20.⼗进制10(23)在六进制中表⽰为6(35)，66(230)(255)(+= 197 10). 【解析】26(230)2636017218090=?+?+?=++=26(255)26565172305107=?+?+?=++= 90107197+=故答案为：197.21.⼗进制10(23)在六进制中表⽰为6(35)，66(135)(12)(+= 67 10). 【解析】解法⼀：666(135)(12)(151)+=2106(151)1656163618567=?+?+?=++=解法⼆：2106(135)1636563618559=?+?+?=++=106(12)16268=?+?= 59867+=故答案为：67.22.如果⼀个数的⼆进制表⽰与负⼆进制表⽰的形式相同，这样的数称为“中环数”，⽐如：2220(10100)(10100)-==，其中432102(10100)1(2)0(2)1(2)0(2)0(2)-=?-+?-+?-+?-+?-，所以20就是“中环数”，⽽227(111)(11011)-==，所以7不是“中环数”，在⼩于1000的正整数中，“中环数”有 31 个.【解析】由题意，910210002<<，所以1000化为⼆进制为10位数，由于如果⼀个数的⼆进制表⽰与负⼆进制表⽰的形式相同，这样的数称为“中环数”，。
小学奥数(4)简单的统筹规划问题 进位制
• 解：先派20辆车都从A开始运渣土到B，再 空车开往C把砖到D，最后空车跑回A处， 这样，两圈就可以运40车渣土和40车砖， 最后派这20辆车都从A处运渣土到B后空返 回，完成了所有任务。这时空车总共跑了 （240+90）×40+300×20=19200（米）
2、避免对流原则
• 例2、一只勘探队在 五个山头A、B、C、 D、E设立了基地， 人数如右图所示。 为了使各基地人数 相同，如何调动就 方便？（调动时不 考虑路程的远近）
• 解：因为一号与二号仓库的货物共有30吨， 比五号仓库的40吨少，所以全部集中在五 号仓库总运费最少，为 • 0.5×10×400＋0.5×20×300 • ＝2000＋3000＝5000（元） • 答：
二、下料问题
• 例4 、189米长的钢筋要剪成4米或7米两种 尺寸，如何剪法最省材料？ • 分析：显然，无余料是最优化方案， • 设4米长的截x根，7米长的截y根，根据题 意得：4x+7y=189 • 然后用不定方程的同余法求出共有7种截法， y≤27 • 7y≡3y≡189≡1(mod 4)
A 17 B
4
9
E
16
C
14 D
• 右图叫做物资流 向图，用利用流 向图来表述调运 方案，能直观地 看出调运情况及 有无对流现象。 • 有对流现象的调 运方案不可能是 最优化方案。
A 4 B 17
1 9 E
4
4
2
16
C
14 D
原则3、小往大处靠原则
例3、在一条公路上，每隔100 千米有一个仓 库，（如图）共5个仓库。一号仓库里有10 吨货物，二号仓库里有20 吨货物，五号仓 库里有40吨货物。其余两个仓库是空的。 现在想把所有的货物集中存放在一个仓库 里，如果每吨货物运输1千米需要0.5元运输 费，那么，怎样运输才能使运费最少？最 少需要多少运费？
六年级(上)奥数思想 第05讲 进位制问题
第五讲进位制问题有这样一个笑话：请问“11+”在什么样的情况下等于10，答：“在算错的情况下等于10！”．笑话毕竟是笑话，现实生活中一般也不会出现把11+算错的情况．不过学习完今天的知识，同学们就知道，不用算错，11+也是可以等于10！说起来很奇怪，但在二进制中就是这样的．说到这里，同学们可能会有疑问，什么是二进制呢？那还得从进位制说起．一、什么是进位制所谓“进位制”就是指进位的法则．在我们已经学过的加法运算中就有一条进位法则——逢十进一．由于它规定逢十．进一，所以这一进位法则又称“十进制”．生活中最常用的就是十进制，例如10分钱就是1角，10角钱就是1元；10毫米等于1厘米，10厘米等于1分米，10分米等于1米．当然，生活中也并不总是“逢十进一”，比如时间就是60进制的：60秒等于1分钟，60分钟等于1小时．再比如西方国家常用的单位“打”，所谓一“打”就是指12个，这就是一种12进制．我国古代重量单位“斤”和“两”就是16进制的，常说的“半斤八两”就是指半斤和八两相当，所以一斤就是16两……像这样的例子有很多，大家不妨自己想想，还有没有别的进位制的例子．二、怎么表示进位制这么多进位制，究竟怎么通过写法把它们区分开来呢？一般的，如没有特殊说明，．．．．．．．．．．．．都默认为．．．．10．．进制．．．如果要表示其他进制，就必须采用括号加脚标的形式．例如5进制中的1234，我们就写成()51234，2进制的101就写成()2101．在n 进制中，恰好会用到n 种数字：从0一直到1n -．这里请大家注意以下两点：（1）n 进制中，不可能出现数字n 以及比n 更大的数：如5进制中不可能出现数字5、6、7、8、9等；反过来，如果一个数中出现了数字5或大于5的数字，这个数就一定不会是5进制数，如125，733都不可能是5进制数；（2）n 进制中，出现的数字可能会超出0到9这十种数字，比如16进制，必须逢16才能进1，所以从0开始数到9之后不能进位，必须仍然用一个字符来表示．数学上约定在16进制种，用字母A 、B 、C 、D 、E 、F 来表示等于10进制中的10、11、12、13、14、15．在n 进制种，n 也称为该进位制的“基”．三、n 进位制化十进制十进制：3221012101100101=⨯+⨯+⨯+； 三进制：()321321012313031=⨯+⨯+⨯+； 四进制：()321421012414041=⨯+⨯+⨯+； 五进制：()321521012515051=⨯+⨯+⨯+； ……例1． （1）5812162013====（_______）（_______）（_______）（_______）（2）()1052012=（_______） （3） ()10122012=（_______）「分析」把10进制的数转化为其他进制，一般采用的是短除求余法，就是把10进制数不断的除以进制数，保留余数，直到余数为0为止，然后将余数倒序写出即可；其它进制转化成10进制，可以用位值原理展开求解．练习1、()101232A =（_______） ()1016ADD =（_______） ()1252012=（_______）()1282012=（_______）例2．（1）把三进制数12120120110110121121改写为九进制，它从左向右数第1位数字是多少？（2）()482111011001==（_______）（_______）．「分析」三进制数化为九进制数除了用前面说过的以十进制为桥梁进行转化，是否有更简单巧妙的办法呢？练习2、()93120011221=（_______）例3． ()()77754536245+=（_______）「分析」这是一个七进制下的加法，记住严格遵循“逢七进一”的原则，你一定能得出正确答案．练习3、例4．在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，这个三位数在十进制中是多少？ 「分析」怎样把题目中的两个数统一在一个进位制下，是十进制还是二进制？你是否能根据位置原理列出不同进制下的三位数展开形式呢？练习4、在7进制中有三位数，化为9进制为，这个三位数在十进制中是多少？例5．一个天平，物品必须放在左盘，砝码必须放在右盘，那么为了能称出1克到1000克，至少需要多少个砝码？「分析」从最小的重量1、2、3……克开始推理，注意已有砝码是可以累加在一起的．例6．一本书共有2013页，第一天看一页书，从第二天起，每天看的页数都是以前各天的总和．如果直到最后剩下的不足以看一次时就一次看完，共需多少天？「分析」根据题目要求逐一列出每天所看的页码数，不断总结计算纸质得出最后答案．cba abc ()()555123123⨯=（_______）作业1. 进制互化：（1）； （2）； （3）=； （4）=；（5）； （6）．2. （1）；（2）．3. 一个十进制三位数，其中的a 、b 、c 均代表某个数码，它的二进制表达式是一个七位数，这个十进制的三位数是多少？4. 一个自然数用三进制和四进制表示都为三位数，并且它的各位数字的排列顺序恰好相反，这个自然数用十进制表示是多少？5. a 、b 是自然数，a 进制数47和b 进制数74相等，a 与b 的和的最小值是多少？()21abcabc ()10abc()()()55521322⨯= ()4 ()()44202323+= ()()916157= ()()4911202= ()5 ()101248 ()16 ()103120 ()()10161CA = ()10 ()411202=第五讲 进位制问题例题：例7． 答案：（1）31023、3735、11B9、7DD ；（2）257；（3）1742详解： （1）（2）32025051525257⨯+⨯+⨯+⨯=； （3）3202120121122121742⨯+⨯+⨯+⨯=．例8．答案：（1）5；（2）13121、731 详解：三进制转九进制从右往左两位两位转换；二进制转四进制从右往左两位两位转换；二进制转八进制从右往左三位三位转换．例9．答案：15031 详解：列竖式计算．例10． 答案：212．a =5、b =5、c =2例11． 答案：10个详解：若要称量1克的重量必须有1克的砝码，若要称量2克的重量必须有2克的砝码，依次类推可得：1+2+4+8+16+32+64+128+256+512，此时可以称量1克到1023克的所有重量，此时需要10个砝码．例12． 答案：12...... 3 ...... 2 ...... 1 0 (3)...... 2 ...... 3 (7) (3)…… 9 ……12 (1) (1)...... 13 ...... 13 (7)详解：所看页数列为1、1、2、4、8、……、256、512、989．练习：6. 答案：554；2781；195；7227. 答案：161578. 答案：212349. 答案：248．a =5、b =0、c =3作业：1. 答案：（1）354；（2）458；（3）C 30；（4）14443；（5）433；（6）852. 答案：（1）1131；（2）123123. 答案：100简答：a 很容易知道只能为1，再根据进位制展开解方程得出b 、c 均为0，所以原数十进制是100．4. 答案：22简答：由题意有，其中a 、b 、c 均小于3，则有，化简得，符合条件的a 、b 、c 为2、1、1，化成十进制是22．5. 答案：24简答：由题意有，其中a 、b 均要大于7，则有，符合条件的最小的a 、b 为15、9，和是24．4774a b +=+ ()()4774a b = 815a b c =+ 93164a b c c b a ++=++ ()()34abc cba =。
小学奥数模块教程进位制初步(四年级提尖春季)
进位制初步本讲知识1、各种特殊进制的认识2、不同进制间数的互化3、特殊进制的运算前铺知识1、整除特征初步2、整除特征进阶课前加油站1、1234=1个 +2个 +3个 +4个2、7个1+8个10+6个100+4个10000=3、23= 个16+ 个8+ 个4+ 个2+ 个1我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
进制间的转换：如右图所示。
1、 很久很久以前，人类没有数字这个概念，但是到了打猎的时候需要计算得到了多少猎物，于是他们只能掰手指头，数到10后就没有办法继续，所以就在墙上做了一个记号“”，代表1个，这就是十进制的来历。
既然十个手指等于一个，那么也可以用一个表示十个，以此类推。
（1） 一个等于多少个？一个等于多少个？（2） 以现在的角度来看，相当于数中的 位，相当于数中的 位，相当于数中的十进制 二进制十六进制八进制 模块1进制的认识和互化位。
（3）“”写成阿拉伯数字是多少？2、从语言习惯就可以看出，有的地方以前是用的是二十进制，比如德国。
德国人说“96”都是“四个20加一个16”，如果德国人的祖先也是用这种计数方法，那么：（1）德国的一个等于多少个？一个等于多少个？（2）以现在的角度来看，相当于二十进制中的“”位，相当于二十进制数中的“”，相当于二十进制中的“”位。
（3）写成二十进制的数是多少？（4）上题的数在十进制中代表多少个？【演练】如果人类的祖先每只手有七个手指头，计数方式同前面两题，那么（1）一个等于多少个？（2）写成十进制的数是多少？（3）按照书写习惯，一个数中最多有多少个，多少个，多少个？（4）十进制的100只在这里应该表示成什么？【演练】你来到一个陌生的星球，这个星球的人还处在用符号计数的阶段，这个星球的一只猎物用来表示，、代表的意义不变。
小学奥数进位制
进位制把一个十进制数改写成二进制数，可以采用“方幂法”，即将这个十进制数写成若干个2的次幂形式，再根据系数写出这个二进制数；也可以用2连续除十进制数，然后将每次所得的余数按自下而上的顺序依次写出来，这种办法通常叫“二除取余法”，即用2除十进制数自下而上依次取余数。
这两种方法同样适用于其他的进制换算。
将二进制数变成十进制数，可以采用方幂法来求解。
例把(37)10改写成二进制数。
解法一 (37)10＝32＋4＋1＝1×25＋0×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝(100101)2解法二(37)10＝(100101)21.把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
2 把二进制的数(101011)2写成数码与计数单位乘积的和的形式。
3 把二进制数(11001010011)2改写成八进位制数。
6. 把三进制数201012化为八进制的数。
7. 在什么进位制里，十进位制数71记为47？8. 一架天平，两边都能放砝码。
要称出1~80克的所有整数克重，最少需要几个砝码？分别是什么？9 一个自然数的七进位制表达式是一个三位数，而这个自然数的九进位制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。
求这个自然数。
10 计算：(1)(110101)2＋(11101)2； (2)(1101101)2－(1011110)2。
(3)(101110)2×(101)2； (4)(110011)2÷(1001)2。
11 有229人参加学校乒乓球赛，比赛实行淘汰制。
为了尽量减少比赛场次，规定只有在某一轮参赛选手为奇数时，才安排一人轮空。
此次安排比赛有几人轮空？12. 若5×6＝26，则6×6＝?13. 250个鸡蛋至少分装在几个盒子里，每个盒子里各几个，才能保证250以内所需鸡蛋数都可以用几只盒子凑齐，而不必再打开盒子？14. 把(354)6改写成十进制数。
五年级下册数学试题奥数专项训练：进位制人教版(2012)
N进制的本质——“逢N进1”。
N进制的换算——“换十求余”。
换算的巧解——利用进制的幂次关系。
二进制的概念请写出十进制中2、4、8、16、32在二进制中的表示，并试着总结十进制中在二进制中的表示。
1. 1.（多项选择题）判断下列哪组的两个数都不可能是二进制数：A、201，100B、243，1001C、87，520D、102，11022. 2.（多项选择题）下列十进制5、9、17、33对应的二进制的表示中正确的是_________.A、5→101B、9→1001C、17→10001D、33→1000013. 3.（多项选择题）下面十进制中1、3、7、15对应的二进制表示正确的是________。
A、1→1B、3→11C、7→111D、15→11114. 4.请写出十进制数12的二进制表示形式_________二进制与十进制的转换判断下列哪些数可能是二进制，将可能的那些数转换为十进制，将不可能的看作十进制，转换为二进制。
26、37、15、1001、11101、101001.1. 1.将下列十进制数换算成二进制：(答案中间请用一个空格隔开答案并按题目顺序填写例:1 11 111)42 = 86 = 21 =213 = 349 = 652 =2. 2.十进制中的奇数在二进制中末尾是几？偶数呢？(答案中间请用一个空格隔开答案并按题目顺序填写例:1 1)3. 3.将下列二进制数换算成十进制：(答案中间请用一个空格隔开答案并按题目顺序填写例:1 2 3)10101=_______ 11111 =_______ 1100100 =_______二进制的计算1011011+110110 1101110-1011 10111*111010 101010100-1001. 1.计算下列二进制数算式：(答案中间请用一个空格隔开答案并按题目从左到右从上到下的顺序填写例:1 1 1 1) 101+101+110 = 1011+1011+1010 =111+111+101 = 10111-1100-101 =2. 2.计算下列二进制数算式：(答案中间请用一个空格隔开答案并按题目从左到右从上到下的顺序填写例:1 1 1 1) 11*11+1011= 101*110+10101=101+1110+10*1011= 1010101*111–10101=3. 3.计算下列二进制数算式：(答案中间请用一个空格隔开答案并按题目从左到右从上到下的顺序填写例:1 1 1 1)10101 * 100 = 111110 –1011 + 11 * 1011 =111 * 101010 –1110 = 101000 * 100 * 11 =八进制的概念请写出十进制中2、4、8、16、32、64 在八进制中的表示，并试着总结十进制中在八进制中的表示；再写出二进制中1000、1000000、100000000在八进制中的表示，并试着总结二进制中在八进制中的表示。
小升初奥数数论进位制知识点
小升初奥数数论进位制知识点一、什么是进位制？例：(1)平时的计算，是满十进一的，我们称十进制(2)计算机里面，是满二进一的，我们称二进制(3)一年有十二个月，每过十二个月就叫一年，是满十二进一的。
我们称是十二进制(4)一天有二十四个小时，每过二十四个小时就叫一天。
即满二十四进一。
称二十四进制我们在不同的计数或运算过程中，能够使用不同的进位制。
定义：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
即“满几进一”就是几进制。
几进制的基数就是几。
二、进位制的基数进位制的基数表示这个进位制所使用的数字的个数。
例：十进制：基数为10;表示十进制是使用0.1.2.…9。
十个数字。
二进制：基数为2;表示二进制是使用0和1。
两个数字七进制：基数为7;表示七进制是使用0.1.2.…6。
七个数字。
基数都是大于1的整数。
不同的进位制的基数是不同的。
注意：在计数时的数字必须小于基数。
【篇二】二进制及其应用十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
(2)=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+……+A3×22+A2×21+A1×20注意：An不是0就是1。
小学五年级奥数练习数的进位制
十、数的进位制(二)求相同因素的乘积的运算叫作乘方。
乘方是乘法的简便计算。
女口：2X 2记作22=4,读作2的平方等于4;3X 3记作32=9，读作3的平方等于9;10X 10记作10=4，读作10的平方等于100。
又如：23=2X 2X 2=8;33=3X 3X 3=27;103=10X 10X 10=1000；一般地，a X a X —X a(n个a相乘)记作a n，读作a的n次方。
其中a叫底数，n叫指数，a n叫幕，它表示乘方的结果。
力卩、减法叫第一级运算，乘除法叫第二级运算，乘方叫第三级运算。
在混合运算中，先乘方，后乘除，最后加减，有括号时先算括号内。
注意：规定a n=1(a工0)女口：20=1; 30=1; 100=11、十进制计数法我们已经学习过，十进制计数法有以下特点：(1) 数字(数码)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;(2) 满十进一；(3) 位置值原则：用不同数位上的数表示不同单位的数；(4) 计数单位和数位顺序。
1 1如: 693528.47=6 X 105+9X 104+3X 103+5X 102+2 X 105+8X 10°+4X 扁+7X 而2、二进制计数法前面已经初步学习过二进制，二进制计数法的特点是：(1) 2 个数字：0、1；(2) 满二进一；(3) 位置值原则：用不同数位上的数表示不同单位的数；⑷计数单位：由低到高有：…1/23、1/22、1/2、1、2、23、24、2°…如:1011001.0 仁1 X 26+0 X 25+1 X 24+1 X 23+0 X 22+0 X 2+1 X 2°+0 X 1/2 2+1 X21/2 2=89.253、和十进制、二进制一样，任意进制数有类似的特点，K 进制计数法(K=2、3、4、5…10、11、12…)的特点是：(1)K 个数字：0、1、2、3、…、K-1 ;⑵满K进一；(3) 位置值原则；(4) 计数单位由低到高有：…1/K3、1/K2、1/ K、1、K、K2、K3、K4…如：K=4543210312133=3X 45+1X 44+2X 43+1X 42+3X 41+3X 40 =3X1024+1X256+2X64+1X16+3X4+3X1=3487用20, 2 1, 2 2, 2 3,…,2n作单位,可以表示1到2n+1-1的所有自然数(n=1,2,3,…)。
小升初奥数数论进位制知识点
小升初奥数数论进位制知识点经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。
数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。
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【篇一】一、什么是进位制？例：(1)平时的计算，是满十进一的，我们称十进制(2)计算机里面，是满二进一的，我们称二进制(3)一年有十二个月，每过十二个月就叫一年，是满十二进一的。
我们称是十二进制(4)一天有二十四个小时，每过二十四个小时就叫一天。
即满二十四进一。
称二十四进制我们在不同的计数或运算过程中，可以使用不同的进位制。
定义：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
即“满几进一”就是几进制。
几进制的基数就是几。
二、进位制的基数进位制的基数表示这个进位制所使用的数字的个数。
例：十进制：基数为10;表示十进制是使用0.1.2.…9。
十个数字。
二进制：基数为2;表示二进制是使用0和1。
两个数字七进制：基数为7;表示七进制是使用0.1.2.…6。
七个数字。
基数都是大于1的整数。
不同的进位制的基数是不同的。
注意：在计数时的数字必须小于基数。
【篇二】二进制及其应用十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
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进位制
例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
解(3568)10＝3×103＋5×102＋6×101＋8×100
例2 把二进制的数(101011)2写成数码与计数单位乘积的和的形式。
解(101011)2＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝25＋23＋2＋1
例3 把(37)10改写成二进制数。
点拨把一个十进制数改写成二进制数，可以采用“方幂法”，即将这个十进制数写成若干个2的次幂形式，再根据例2写出这个二进制数；也可以用2连续除十进制数，然后将每次所得的余数按自下而上的顺序依次写出来，这种办法通常叫“二除取余法”，即用2除十进制数自下而上依次取余数。
解法一 (37)10＝32＋4＋1＝1×25＋0×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝(100101)2解法二 (37)10＝(100101)2
例4 把二进制数(110011)2改写成十进位制数。
(110011)2＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20
＝25＋24＋21＋1 ＝32＋16＋2＋1＝(51)10
例5 把(394)10写成八进制数。
点拨把十进制数改写成八进制数和十进制数改写成二进制数的方法类似，可以采用“方幂法”和“八除取余法”。
解法一 (394)10＝6×82＋1×81＋2×80＝(612)8
解法二
(394)10＝(612)8
例6 把(354)6改写成十进制数。
(354)6＝3×62＋5×61＋4×60＝108＋30＋4＝(142)10
例7 把三进制数201012化为八进制的数。
点拨要想把三进制数化为八进制的数，首先将三进制的数化为十进制的数，再将此十进制的数化为八进制的数。
(201012)3＝2×35＋0×34＋1×33＋0×32＋1×31＋2×30＝486＋27＋3＋2＝(518)10
(518)10＝1×83＋0×82＋0×81＋6×80＝(1006)8
例8 在什么进位制里，十进位制数71记为47
设这种进位制的基数为x，则有
(47)x＝4×x1＋7×x0＝4x＋7 于是有 4x＋7＝71 解得x＝16
例9 计算：(1)(110101)2＋(11101)2； (2)(1101101)2－(1011110)2。
点拨：二进制是“满二进一”，“借一当二”（0+0=0，0+1=1，1+1=10，0 进位为1）。
解(1)(110101)2＋(11101)2＝(1010010)2 (2)(1101101)2－(1011110)2＝(1111)2
例10 计算：(1)(101110)2×(101)2； (2)(110011)2÷(1001)2。
点拨：试商时不够商1要商O，不够减时注意“借一当二”。
(1)(101110)2×(101)2＝()2 (2)(1100111)2÷(1001)2＝(1011)2余(100)2
例11 一个自然数的七进位制表达式是一个三位数，而这个自然数的九进位制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。
求这个自然数。
解设这个自然数n＝(abc)7＝(bca)9。
则有a×72＋7b＋c＝c×92＋9b＋a
整理得b＝8×(3a－5c)。
因为a，b，c出现在七进制中，故它们只能取O，1，2，3，4，5，6。
由于0≤b＜7，因此b＝0，即3a－5c＝0，此时a＝5，c＝3
所以(503)7＝(305)9＝(248)10。
答：这个自然数为248。
例12 有229人参加学校乒乓球赛，比赛实行淘汰制。
为了尽量减少比赛场次，规定只有在某一轮参赛选手为奇数时，才安排一人轮空。
此次安排比赛有几人轮空
第一轮229=114×2+1 轮空一人，淘汰114人；第二轮114+1=57×2+1 轮空一人，淘汰57人；第三轮57+1=29×2 不轮空淘汰29人；第四轮29=14×2+1 轮空一人淘汰14人；
第五轮14+1=7×2+1 轮空一人淘汰7人；第六轮7+1=4×2 不轮空淘汰4人；第七轮4=2×2 不轮空淘汰2人；第八轮2=1×2 不轮空淘汰1人决出冠军；既有4人轮空。
1.若5×6＝26，则6×6＝
设（26）x这种进位制的基数为x，则（2x+6）10=(30)10， 2x+6=30, x=12。
6×6=（36）10=（30）12
个鸡蛋至少分装在几个盒子里，每个盒子里各几个，才能保证250以内所需鸡蛋数都可以
用几只盒子凑齐，而不必再打开盒子
1+2+4+8+16+32+64+128=255＞250，所以至少需要8个盒子，即n的最小值是8．盒子里分别装1，2，4，8，16，32，64，123个鸡蛋。
3.一个十进位制三位数(abc)10，其中a，b，c代表数码，它的二进制表达式是(1abcabc)2，求(abc)10。
因为a，b，c出现在二进制的表达式内，所以这三个字母只能是是0或1，
又因为a出现在十进制表达式最高位上，所以a≠0，则a=1，因为（abc)10=(1abcabc)2，则1×100+10×b+c=1×26+1×25+b×24+c×23+1×22+b×2+c，
得8b+8c=0，所以b=c=0．则三位数abc=100。
答：这个数是100。
4.某一个从“长寿”村来的少年自称现年101岁，小聪明断定“长寿村”的101岁不是十进制的。
小聪明出了几道算术题给这个少年做：1＋1＝1＋1＋1＝1＋1＋1＋1＝少年解答如下：1＋1＝2，1＋1＋1＝3，1＋1＋1＋1＝10。
小聪明立即算出了少年的十进制数的年龄，你能算出吗
根据1＋1＋1＋1＝10，可知是4进制，（101）4=（17）10，该少年17岁。
5.用a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果ade，adc，aab是由小到大排列好的连续自然数，那么(cde)5所表示的整数化成十进制应是多少因为（adc)5-（ade)5=1，所以c-e=1，又因为（aab)5-(adc)5=1，即25a+5a+b-(25a+5d+c)=1，所以（5a+b）-（5d+c）=1，所以5（a-d）+（b-c）=1；由于a，b，c，d，e都是0至4之间的不同整数，从而可以推知：a-d=1，c-b=4。
经检验，得 c=4，b=0，e=3，a=2，d=1，于是有 (cde)5=（413）5=4×52+1×51+3×50=4×25+5+3=100+5+3=108。
6.设1，3，9，27，81，243是六个给定的数，从这六个数中每次取若干个数求和(每个数只能取一次)，可以得到一个新数，这样共得到63个新数。
如果把它们从小到大依次排列起来是1，3，4，9，10，12，…，那么第39个数是多少
1=30，3=31,9=32,27=33,81=34,243=35，，且每个数都大于前面所有数的和，因为这六个数每个数都有取和不取两种可能，于是取若干个数求和所得新的一列数中最小的是
000001，最大的是111111.这样我们就把取数和二进制数建立起一个联系。
因为（39）10=（100111）2，所以第39个数应是35+32+3+1=256。
7.(3051)
8－(2127)
8
＝( )
8。
8.(2102)3×(1202)3＝( )3。