中考数学总复习(浙江地区 )考点跟踪突破3 因式分解
专题03 整式与因式分解-备战2022年中考数学题源解密(原卷版)
专题03 整式与因式分解考向1 整式的相关概念【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元【试题分析】此题考察了根据语境列代数式的方法，分段计算是这题的易错点；【命题意图】此类题的出现，一是为了让考生熟悉代数式的概念并加以应用到实际问题中，二是为了考察实际问题中学生对分段计算的理解能力；目的是让考生学以致用，把数学和生活联系起来；【命题方向】有关整式或者代数式的概念部分的考察，在浙江中考中占的分值一直很小，或者很多城市的中考中基本不考，考到的时候难点也不在对应概念上，而是在与之结合的其他代数考点上，所以，掌握好基本概念，这类题完全就不需要担心了；【得分要点】整式的概念及注意事项：名称识别次数系数与项整式单项式①数与字母或字母与字母相乘组成的代数式；②单独的一个数或一个字母所有字母的指数的和系数：单项式中的数字因数多项式几个单项式的和次数最高项的次数项：多项式中的每个单项式☆：由定义可知，单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；单独的一个数或字母也叫单项式；单独的字母的系数为1，次数也是1；☆：由定义可知，多项式中可以含有乘法——加法——减法运算；多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数；考向2 整式的运算【母题来源】（2021·浙江杭州）【母题题文】计算：2a+3a＝．【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】计算（﹣a）2•a4的结果是（）A．a6B．﹣a6C．a8D．﹣a8【母题来源】（2021·浙江宁波）【母题题文】计算a3•（﹣a）的结果是（）A．a2B．﹣a2C．a4D．﹣a4【母题来源】（2021·浙江衢州）【母题题文】下列计算正确的是（）A．（x2）3＝x5B．x2+x2＝x4C．x2•x3＝x5D．x6÷x3＝x2【母题来源】（2021·浙江台州）【母题题文】下列运算中，正确的是（）A．a2+a＝a3B．（﹣ab）2＝﹣ab2C．a5÷a2＝a3D．a5・a2＝a10【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．【母题来源】（2021·浙江宁波）【母题题文】计算：（1+a）（1﹣a）+（a+3）2．【母题来源】（2021·浙江金华）【母题题文】已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．【母题来源】（2021·浙江湖州）【母题题文】计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．【试题分析】这些题主要考了整式运算中的合并同类项、整式的加减、同底数幂的乘法以及利用乘法公式进行化简计算；【命题意图】整式的运算为初中数学后续的解方程的学生奠定了基础，重要性不言而喻。
浙教版初中数学中考复习-因式分解 (共36张PPT)
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①＋③得：2x2＋4x－4＋2x2－4x＝4x2－4＝4(x＋1)(x－1)；
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②＋③得：2x2＋12x＋4＋2x2－4x＝4x2＋8x＋4＝4(x2＋2x＋1)＝4(x＋1)2.
• 【思维提升 】本题考查了提取公因式法、公式法分解因式．注意因式分解的步骤， 先提取公因式，再利用公式法进行分解．注意分解要彻底．
• 【答案】(1)B
(2)D
14
考点二：运用提取公因式法或公式法因式分解
• 【练】(1) [2018·杭州] 因式分解:(a-b)2-(b-a)=
．
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(2)分解因式：4a2－4a＋1＝
. (3)分解因式：xy2－9x＝
．
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(4)分解因式：2a2＋4a＋2＝
＝
.
. (5)分解因式：(2a＋1)2－a2
.
• (4)(2015·盐城)若2m－n2＝4，则代数式10＋4m－2n2的值为________．
• 【解析】 (3)∵m－n＝2，
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∴2m2－4mn＋2n2－1＝2(m－n)2－1＝2×22－1＝7.
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(4)∵2m－n2＝4，∴10＋4m－2n2＝10＋2(2m－n2)＝10＋2×4＝18.
• 【答案】(3)7 (4)18
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A.a(m+n)=am+an
B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
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C.10x2-5x=5x(2x-1)
D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
• (2)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝
，n＝
.
• 【解析】∵(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n，
【聚焦中考】2014中考浙江地区专版数学总复习考点精讲3因式分解
因式分解
1．因式分解： 1．因式分解：
整式积 把一个多项式化成几个 ________ 的形式，叫做因式分解．因 把一个多项式化成几个 ________ 的形式， 叫做因式分解． 因 整式乘法 是互逆运算． 分解与 __________ 式分解与 ________ 是互逆运算． 2．基本方法： 2．基本方法： (1)提取公因式法： m(a＋b＋c)．． ______________ mama ＋＋ mbmb ＋＋ mcmc ＝＝ ______________ (2)公式法： 2 2 (a＋b)(a－b) ； 运用平方差公式：a －b ＝______________ 2 2 2 (a±b) ． 运用完全平方公式：a ±2ab＋b ＝__________
3．因式分解的一般步骤：
(1) 如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； (1) 如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； (1) (1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； 如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式， 那么尽可能尝试用公式来分解； (2) 如果各项没有公因式， 那么尽可能尝试用公式来分解； (2) 如果各项没有公因式， 那么尽可能尝试用公式来分解； (2)如果各项没有公因式， 那么尽可能尝试用公式来分解； (3) 分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内 (3) 分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内 (3) (3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内 分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内 部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形 部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形 部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形 部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形 式，这些统称分解彻底； 式，这些统称分解彻底； 式，这些统称分解彻底； 式，这些统称分解彻底； 4 2 2 4－4＝(x2＋2)(x2－2)， (4) 注意因式分解中的范围，如 x 4 2 2－2)， (4) 注意因式分解中的范围，如 x 4 ＝ (x 2)(x 4－ 2＋ 2－2)， (4) 注意因式分解中的范围，如 x － 4 ＝ (x ＋ 2)(x (4)注意因式分解中的范围，如 x － 4 ＝ (x ＋ 2)(x －2)， 4 2 4－4＝(x2＋2)(x＋ 在实数范围内分解因式， x 2)(x － 2) ，题 4－4＝(x2＋2)(x＋ 在实数范围内分解因式， x 2)(x － 2) ，题 4－4＝(x2＋2)(x＋ 在实数范围内分解因式， x 2)(x － 2) 在实数范围内分解因式，x －4＝(x ＋2)(x＋ 2)(x－ 2)，题 ，题 目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解． 目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解． 目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解． 目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．
浙江省中考数学总复习 全程考点训练3 因式分解(含解析)
全程考点训练3 因式分解一、选择题1．下列多项式中，能因式分解的是(D)A．x2－y B．x2＋1C．x2＋y＋y2 D．x2－4x＋4【解析】x2－4x＋4＝(x－2)2.2．分解因式x2y－y3结果正确的是(D)A．y(x＋y)2 B．y(x－y)2C．y(x2－y2) D．y(x＋y)(x－y)【解析】x2y－y3＝y(x2－y2)＝y(x＋y)(x－y)．3．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，其中分解不够彻底的是(A)A．x3－x＝x(x2－1)B．x2－2xy＋y2＝(x－y)2C．x2y－xy2＝xy(x－y)D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)【解析】x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)．4．若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值是(D)A．－5 B．7C．－1 D．7或－1【解析】完全平方式为(x±4)2，故2(m－3)＝±8，m＝7或－1.5．多项式4x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的平方，则加上的单项式不可能是(D)A．4x B．－4xC．4x4 D．－4x46．已知a－b＝3，b＋c＝－5，则代数式ac－bc＋a2－ab的值是(C)A．－15 B．－2C．－6 D．6【解析】a－b＝3，b＋c＝－5两式相加，得a＋c＝－2.ac－bc＋a2－ab＝c(a－b)＋a(a－b)＝(a＋c)(a－b)＝－2×3＝－6.7．由m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc ，可得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3－a 2b ＋ab 2＋a 2b －ab 2＋b 3＝a 3＋b 3，即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3.我们把这个等式叫做多项式乘法的立方和公式．下列运用立方和公式进行的变形中，不正确的是(C )A ．(x ＋4y )(x 2－4xy ＋16y 2)＝x 3＋64y 3B ．(2x ＋y )(4x 2－2xy ＋y 2)＝8x 3＋y 3C ．(a ＋1)(a 2＋a ＋1)＝a 3＋1D ．x 3＋27＝(x ＋3)(x 2－3x ＋9)【解析】 (a ＋1)(a 2＋a ＋1)≠a 3＋1，应为(a ＋1)(a 2－a ＋1)＝a 3＋1.8．已知248－1可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个整数是(D )A ．61，63B ．61，65C ．61，67D ．63，65【解析】 248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)，26＋1＝65，26－1＝63.二、填空题9．分解因式：(1)x 2y 4－x 4y 2＝x 2y 2(y ＋x )(y －x )；(2)2x 2＋4x ＋2＝2(x ＋1)2．【解析】 (1)提取公因式x 2y 2，再用平方差公式，得原式＝x 2y 2(y 2－x 2)＝x 2y 2(y ＋x )(y －x )．(2)提取公因式2，再用完全平方公式，得原式＝2(x 2＋2x ＋1)＝2(x ＋1)2.10．在实数范围内分解因式：x 2－2x －4＝(x －1＋5)(x －1－5)．【解析】 原式＝(x 2－2x ＋1)－5＝(x －1)2－(5)2＝(x －1＋5)(x －1－5)．11．已知a (a －2)－(a 2－2b )＝－4，则a 2＋b 22－ab 的值为__2__． 【解析】 ∵a (a －2)－(a 2－2b )＝a 2－2a －a 2＋2b ＝－2a ＋2b ，∴－2a ＋2b ＝－4，∴a －b ＝2.则a 2＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 2＝（a －b ）22＝2. 12．如图，各块图形的面积和为a 2＋3ab ＋2b 2，分解因式的结果为(a ＋2b )(a ＋b )．(第12题)【解析】根据图示可看出大矩形是由2个边长为b的正方形，1个边长为a的小正方形和3个长为b、宽为a的小矩形组成，所以用大矩形的面积的两种求法作为相等关系，即可得a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)．13．在日常生活中，取款、网上支付等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆．原理是：对于多项式x4－y4，因式分解的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个由6个数字组成的密码．对于多项式4x3－xy2，若取x＝10，y＝10，则用上述方法产生的密码是：103010或101030或301010_(写出一个即可)．【解析】4x3－xy2＝x(4x2－y2)＝x(2x＋y)(2x－y)．三、解答题14．分解因式：(1)m(a－b)＋n(b－a)．【解析】原式＝m(a－b)－n(a－b)＝(a－b)(m－n)．(2)(a＋2b)2＋6(a＋2b)＋9.【解析】原式＝(a＋2b＋3)2.(3)(x2＋x＋1)2－x2.【解析】原式＝(x2＋x＋1－x)(x2＋x＋1＋x)＝(x2＋1)(x＋1)2.(4)(a2＋4b2)2－16a2b2.【解析】原式＝(a2＋4b2＋4ab)(a2＋4b2－4ab)＝(a＋2b)2(a－2b)2.15．在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．【解析】方法一：(x2＋2xy)＋x2＝2x2＋2xy＝2x(x＋y)；方法二：(y2＋2xy)＋x2＝(x＋y)2；方法三：(x2＋2xy)－(y2＋2xy)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)；方法四：(y2＋2xy)－(x2＋2xy)＝y2－x2＝(y＋x)(y－x)．16．有7张如图①的长为a，宽为b(a>b)的小矩形纸片，按图②的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足什么关系？(第16题)【解析】 左上角阴影部分的长为AE ，宽为AF ＝3b ，右下角阴影部分的长为PC ，宽为CG ＝a. ∵AD ＝BC ，AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋a ，BC ＝BP ＋PC ＝4b ＋PC ，∴AE ＋a ＝4b ＋PC ，∴AE ＝PC ＋4b －a ，∴阴影部分面积之差S ＝AE·AF－PC·CG＝3b·AE－a·PC＝3b(PC ＋4b －a)－a·PC＝(3b －a)PC ＋12b 2－3ab.∵S 保持不变，∴3b －a ＝0，即a ＝3b.17．(1)已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足关系式a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0，试判断△ABC 的形状．(3)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＝m 2－n 2，b ＝2mn ，c ＝m 2＋n 2(m ＞n ，m ，n 都是正整数)，则△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．【解析】 (1)∵a 2c 2－b 2c 2＝c 2(a 2－b 2)＝a 4－b 4＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2)－c 2(a 2－b 2)＝0，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．(2)a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0可配方成12[(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2]＝0，故a ＝b ＝c. ∴△ABC 为等边三角形．(3)是．理由：∵a 2＋b 2＝(m 2－n 2)2＋(2mn)2＝m 4－2m 2n 2＋n 4＋4m 2n 2＝m 4＋2m 2n 2＋n 4＝(m 2＋n 2)2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．18．设a 1＝32－12，a 2＝52－32，…，a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2(n 为大于0的自然数)．(1)探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论．(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a 1，a 2，…，a n，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数(不必说明理由)．【解析】(1)∵a n＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n，n为大于0的自然数，∴8n 一定是8的倍数，即两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．(2)a2＝16，a8＝64，a18＝144，a32＝256.当n满足n＝2k2(k为正整数)时，a n为完全平方数．。
浙教版初三中考复习 数学知识点总结归纳
第 1 页 共 68 页 1第一章 实数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
第 2 页 共 68 页 2 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
浙教版备考中考数学一轮专题3因式分解解析版
中考数学一轮专题3 因式分解一、选择题（共10题；共20分）1.若4x2－2(k－1)x＋9是完全平方式，则k的值为（）A. ±2B. ±5C. 7或－5D. －7或52.如果257＋513能被n整除，则n的值可能是（）A. 20B. 30C. 35D. 403.已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则（）A. a＝1，b＝2B. a＝－1，b＝2C. a＝1，b＝－2D. a＝－1，b＝－24.要在二次三项式x2＋（）x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么这些数只能是（）A. 1，－1B. 5，－5C. 1，－1，5，－5D. 以上答案都不对5.把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋2)(x－3)，则a，b的值分别是（）A. a＝1，b＝6B. a＝－1，b＝－6C. a＝－1，b＝6D. a＝1，b＝－66.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A. x(a－b)＝ax－bxB. x2－＝(x＋)(x－)C. x2－4x＋4＝(x－2)2D. ax＋bx＋c＝x(a＋b)＋c7.多项式m2－m与多项式2m2－4m＋2的公因式是（）A. m－1B. m＋1C. m2－1D. (m－1)28.下列各式中，不能分解因式的是（）A. 4x2＋2xy＋y2B. 4x2－2xy＋y2C. 4x2－y2D. －4x2－y29.已知多项式4x2－(y－z)2的一个因式为2x－y＋z，则另一个因式是（）A. 2x－y－zB. 2x－y＋zC. 2x＋y＋zD. 2x＋y－z10.若多项式x2＋px＋12可分解为两个一次因式的积，则整数p的可能取值的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（共5题；共5分）11.分解因式：x2＋2x(x－3)－9＝________；－3x2＋2x－＝________．12.若x2－4y2＝－32，x＋2y＝4，则y x＝________．13.若x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，则2x＋3y的值为________．14.若ab2＋1＝0，则－ab(a2b5－ab3－b)的值为________．15.已知a2＋a＋1＝0，则1＋a＋a2＋a3＋…＋a8的值为________．三、解答题（共6题；共30分）16.已知y(2x＋1)－x(2y＋1)＝－3，求6x2＋6y2－12xy的值．17.已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较代数式P，Q的大小．18.已知x2＋y2＋6x＋4y＝－13，求y x的值．19.已知x＝156，y＝144，求代数式x2＋xy＋y2的值．20.已知a－2b= ，ab=2，求－a4b2＋4a3b3－4a2b4的值.21.若|x－2|＋x2－xy＋y2＝0，求x，y的值．四、简答题（共3题；共20分）22.利用因式分解计算或说理：（1）523-521能被120整除吗？（2）817-279-913能被45整除吗？23.已知关于x的多项式3x2＋x＋m因式分解后有一个因式是3x－2，求m的值．24.在分解因式x2＋ax＋b时，小明看错了b，分解结果为(x＋2)(x＋4)；小王看错了a，分解结果为(x－1)(x －9)，求ab的值．答案解析部分一、选择题1.【解析】【解答】解：∵4x2－2(k－1)x＋9 =（2x±3）2，4x2－2(k－1)x＋9 =4x2±12x＋9，∴2(k－1)=±12，解得k=7或-5.故答案为：C.【分析】根据原式为完全平方式列式，根据x项系数相等列方程求解即可.2.【解析】【解答】解：257＋513=（52）7+513=514+513=513(5+1)=513×6，=30×512,∴n的值可能是30,故答案为：B.【分析】先提取公因数，再根据乘法交换律变形，得出一个因数为30，则可解答.3.【解析】【解答】解：∵a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，∴a2＋2a＋1+b2－4b＋4＝0，∴（a+1）2+(b-2)2=0,∴a+1=0, b-2=0,∴a=-1, b=2,故答案为：B.【分析】先配方，因左边是两个完全平方式，根据非负数之和等于0，则每项等于0列式求出a、b即可.4.【解析】【解答】解：① x2＋（-1+6 ）x+(－1 )×6=（x-1）(x+6),∴a=-1, b=6,∴a+b=-1+6=5;②x2＋（-6+1 ）x+(－6 )×1=（x+1）(x-6),∴a=1, b=-6,∴a+b=1+(-6)=-5；③x2＋（-2+3 ）x+(－2 )×3=（x-2）(x+3),∴a=-2, b=3,∴a+b=-2+3=1;④x2＋（-3+2 ）x+(－3 )×2=（x-3）(x+2),∴a=-3, b=2,∴a+b=-3+2=-1;综上，共有四个答案.故答案为：C.【分析】根据题意，-6可以分成两个整数乘积，有四种形式，每种形式a+b都有一个值，故有四种答案.5.【解析】【解答】解：由题意得：x2＋ax＋b=(x＋2)(x－3)，∴x2＋ax＋b=x2-x-6，∴a=-1, b=-6.故答案为：B.【分析】根据题意列等式，再将右边展开，比较各项系数，即可得出a、b值.6.【解析】【解答】解：A、∵ax－bx 不是几个因式连乘积的因式，不是因式分解，不符合题意；B、∵x2－是分式，不是整式，不符合题意；C、x2－4x＋4＝(x－2)2是把一个多项式分成几个因式连乘积的形式，是因式分解；D、x(a＋b)＋c不是几个因式连乘积的因式，不是因式分解，不符合题意.故答案为：C.【分析】因式分解是把一个多项式分成几个因式连乘积的形式，据此逐项分析即可判断.7.【解析】【解答】解：∵m2－m =m(m-1),2m2－4m＋2=2(m2-2m+1) =2(m-1)2,∴公因式为：m-1.故答案为：A.【分析】分别将两式分解因式，再找出它们的公因式即可.8.【解析】【解答】解：A、4x2＋2xy＋y2 =（2x+y）2, 能分解因式，不符合题意；B、4x2－2xy＋y2 =（2x-y）2, 能分解因式，不符合题意；C、4x2－y2 =（2x-y）(x+y)，能分解因式，不符合题意；D、－4x2－ y2 ，不能分解因式，不符合题意.故答案为：D.【分析】分别根据公式法把每项分解因式，看能否分解因式即可判断.9.【解析】【解答】解：4x2－(y－z)2 =（2x）2－(y－z)2=(2x-y+z)(2x+y-z).∴另一个因式为：2x+y-z.故答案为：D.【分析】根据平方差公式分解因式，由分解的结果，即可找出另一个因式.10.【解析】【解答】解：∵12=1×12=(-1)(-12)=2×6=(-2)×(-6)=3×4=(-3)×(-4),故P=±13，±8，±7.∴p可取6个数.故答案为：D.【分析】把12分解因数，有六种形式，可知p的值相应也有6个.二、填空题11.【解析】【解答】解：x2＋2x(x－3)－9＝x2－9+2x(x-3)=(x+3)(x-3)+2x(x-3)=(x-3)(x+3+2x)=(x-3)(3x+3)=3(x+1)(x-3)；－3x2＋2x－=-(9x2-6x+1)=-(x-3)2.故答案为：3(x＋1)(x－3)和－(3x－1)2 .【分析】对于x2＋2x(x－3)－9，先分组，再用平方差公式将前两项分解，然后用提取公因式法分解即可；对于－3x2＋2x－提取公因数-，然后用完全平方公式继续分解即可.12.【解析】【解答】解：x2－4y2＝－32，∴（x+2y）(x-2y)=-32,∴4(x-2y)=-32,∴x-2y=-8,∴,解得,∴y x＝3-2=.故答案为：.【分析】先将左式分解因式，求出x-2y的值，然后列方程组，求出x、y的值，于是y x的值可求.13.【解析】【解答】解：∵x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，x2－4x＋4＋y2+6y＋9＝0，∴(x-2)2+(y+3)2=0,∴x-2=0, y+3=0,∴x=2, y=-3,∴2x+3y=2×2+3×(-3)=-5.故答案为：-5.【分析】先把左式化成两个完全平方式的和，根据非负数之和等于0，则每个非负数等于0列式求出x、y, 代入原式求值即可.14.【解析】【解答】解：∵ab2＋1＝0，∴ab2=-1,∴－ab(a2b5－ab3－b)=-ab2(a2b4-ab2-1)=-(-1)(1-(-1)-1)=1.【分析】先求出ab2的值，再把原式分解因式，然后把ab2的值代入计算求值即可.15.【解析】【解答】解：1＋a＋a2＋a3＋…＋a8= （1＋a＋a2）+a3（1＋a＋a2）+a6（1＋a＋a2）=（1＋a＋a2）(1+a3+a6)=0×(1+a3+a6)=0.故答案为：0.【分析】先用分组分解法分解因式，因为有公因式1＋a＋a2，则得出其结果为0.三、解答题16.【解析】【分析】先把已知式展开化简得出x－y＝3，再把原式分解因式，最后代值即可求出结果.17.【解析】【分析】用作差法比较大小，先把P－Q表示出来，然后配方，根据完全平方式的值大于等于0，可得P－Q大于等于1，则可得出P>Q.18.【解析】【分析】把已知式化成两个完全平方式之和，于是根据非负数之和等于0，则每个非负数等于0列式求出x、y的值，代入y x中即可求出结果.19.【解析】【分析】先提取，再用公式法分解因式，最后把x、y的值代入即可求出结果.20.【解析】【分析】首先提取公因式，然后再利用完全平方公式将所求的代数式进行因式分解，最后将值代入得出答案.21.【解析】【分析】先把左边的三项化成完全平方的形式，因为左边是两个非负数之和，则每个非负数等于0其和才等于0，据此列式求出即可求出x、y的值.四、简答题22.【解析】【解答】（1）在523和521中可以先提取520，则523-521=520（53-5）=520×120，∴能被120整除.（2）∵45可以分解为5×3×3，故只需说明817-279-913能分解为5×3×3即可，∵817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13=328-327-326=326×（32-3-1）=326×5=324×32×5=324×45，∴能被45整除.【分析】（1）先提取公因数，再计算括号内的数，因为有一个因数是120，即可得出结论；（2）把三项都统一化成成以3为底的乘方的形式，然后提取公因数，再计算括号内的数，因为能凑出一个公因数是45，即可得出结论；23.【解析】【分析】因为有一个因式为3x－2，可得当3x－2=0，即x=时，多项式3x2＋x＋m也等于0，据此列式求出m即可.24.【解析】【分析】因为小明看错了b，而未看错a，则根据小明的分解结果，列恒等式可求a值；而小王看错了a，而未看错b，则根据小明的分解结果，列恒等式可求b值；最后将a、b值代入ab中即可求出结果.。
专题02整式及因式分解--浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)
三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）专题02整式及因式分解一．选择题（共13小题）1．（2021•台州）下列运算中，正确的是（）A．a2+a＝a3B．（﹣ab）2＝﹣ab2C．a5÷a2＝a3D．a5・a2＝a10【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算法则即可求出答案．【详解】解：A、a2与a不是同类项，不能合并，故A不符合题意，B、原式＝a2b2，故B不符合题意．C、原式＝a3，故C符合题意．D、原式＝a7，故D不符合题意．故选：C．2．（2021•丽水）计算（﹣a）2•a4的结果是（）A．a6B．﹣a6C．a8D．﹣a8【分析】先化简为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】解：原式＝a2•a4＝a6，故选：A．3．（2021•宁波）计算a3•（﹣a）的结果是（）A．a2B．﹣a2C．a4D．﹣a4【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．【详解】解：a3•（﹣a）＝﹣a3•a＝﹣a4．故选：D．4．（2021•杭州）因式分解：1﹣4y2＝（）A．（1﹣2y）（1+2y）B．（2﹣y）（2+y）C．（1﹣2y）（2+y）D．（2﹣y）（1+2y）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：1﹣4y2＝1﹣（2y)2＝（1﹣2y）（1+2y）．故选：A．5．（2021•金华）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A．先打九五折，再打九五折B．先提价50%，再打六折C．先提价30%，再降价30%D．先提价25%，再降价25%【分析】设商品原标价为a，然后分别计算每种调价方案后的售价，进行比较求解．【详解】解：设商品原标价为a元，A.先打九五折，再打九五折的售价为：0.95×0.95a＝0.9025a；B.先提价50%，再打六折的售价为：(1+50%)×0.6a＝0.9a；C.先提价30%，再降价30%的售价为：（1+30%）（1﹣30%）a＝0.91a；D.先提价25%，再降价25%的售价为：（1+25%）（1﹣25%）a＝0.9375a，∵0.9a＜0.9025a＜0.91a＜0.9375a，∴B选项的调价方案调价后售价最低，故选：B．6．（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元【分析】应缴水费＝17立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费。
数学初三中考(浙教版)【浙教版】21版数学《新中考ABC》(浙江专版)教材基础复习篇 第2课
【思维导图】
【学前检测】 1.(2020·金华丽水)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是( C )
A.a2+b2
B.2a-b2
C.a2-b2
D.-a2-b2
2.(2020·宁波)下列计算正确的是
(C)
A.a3·a2=a6
B.(a3)2=a5
C.a6÷a3=a3
D.a2+a3=a5
3.(2020·温州)分解因式:m2-25=___(_m_+_5_)_(_m_-_5_)___. 4.(2020·嘉兴)化简:(a+2)(a-2)-a(a+1). 【解析】原式=a2-4-a2-a=-4-a. 5.(2020·宁波)计算(a+1)2+a(2-a). 【解析】原式=a2+2a+1+2a-a2=4a+1.
A.2a
B.2b
C.2a-2b
D.-2b
变式2.有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加 b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:
小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,
对于方案一,小明是这样验证的: a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.
整数, 且m>n)
同底数幂相除 幂的乘方
积的乘方
性质或法则 am·an =___a_m+_n___ am÷an =___a_m_-_n __(a≠0) (am)n =___a_mn___ (ab)n=___a_n _b_n___
运算
单项式乘 单项式
整式的 单项式乘 乘法 多项式
中考数学一轮复习 考点跟踪训练3 因式分解 浙教版
考点跟踪训练3 因式分解一、选择题1．(2011·某某)下列等式不成立的是( )A．m2－16＝(m－4)(m＋4)B．m2＋4m＝m(m＋4)C．m2－8m＋16＝(m－4)2D．m2＋3m＋9＝(m＋3)2答案 D解析右边(m＋3)2＝m2＋6m＋9≠m2＋3m＋9.2．(2011·某某)分解因式2x2－4x＋2的最终结果是( )A．2x(x－2) B．2(x2－2x＋1)C．2(x－1)2 D．(2x－2)2答案 C解析2x2－4x＋2＝2(x2－2x＋1)＝2(x－1)2.3．(2011·某某)把代数式 3x3－6x2y＋3xy2分解因式，结果正确的是( )A．x(3x＋y)(x－3y)B．3x(x2－2xy＋y2)C．x(3x－y)2D．3x(x－y)2答案 D解析3x3－6x2y＋3xy2＝3x(x2－2xy＋y2)＝3x(x－y)2.4．已知x、y满足等式2x＋x2＋x2y2＋2＝－2xy，那么x＋y的值为( )A．－1 B．0 C．2 D．1答案 B解析原式可转化为：(x2y2＋2xy＋1)＋(x2＋2x＋1)＝0，即(xy＋1)2＋(x＋1)2＝0，∴xy＋1＝0且x＋1＝0，∴x＝－1，y＝1，x＋y＝0.5．(2011·某某)下列四个多项式，哪一个是2x2＋5x－3的因式？( )A．2x－1 B．2x－3C．x－1 D．x－3答案 A解析2x2＋5x－3＝(x＋3)(2x－1)．二、填空题6．(2011·某某)分解因式：x2＋x＝______________.答案x(x＋1)解析x2＋x＝x(x＋1)．7．(2011·某某模拟)在实数X围内分解因式：2a3－16a＝________.答案2a(a＋2 2)(a－2 2)a2－ 2 22＝2a(a＋2 2)(a－2 2)．解析2a3－16a＝2a(a2－8)＝2a[]8．(2011·枣庄)若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝________.答案 3解析m2－n2＝6，(m＋n)(m－n)＝6，(m＋n)×2＝6，m＋n＝3.9．(2011·威海)分解因式：16－8(x－y)＋(x－y)2＝______________.答案(x－y－4)2解析16－8(x－y)＋(x－y)2＝(x－y)2－2·(x－y)·4＋42＝(x－y－4)2.10．(2011·潍坊)分解因式：a3＋a2－a－1＝______________.答案(a＋1)2(a－1)解析a3＋a2－a－1＝(a3＋a2)－(a＋1)＝a2(a＋1)－(a＋1)＝(a＋1)(a2－1)＝(a＋1)2(a－1)．三、解答题11．(2011·宿迁)已知实数a、b满足ab＝1，a＋b＝2，求代数式a2b＋ab2的值．解当ab＝1，a＋b＝2时，原式＝ab(a＋b)＝1×2＝2.12．(2011·某某)因式分解：a3－9a.解原式＝a(a2－9)＝a(a＋3)(a－3)．13．(2011·某某)分解因式：8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.解8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y)．14．(2011·某某)有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图.如果选取1号、2号、3号卡片分别为1X 、2X 、3X ，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．________________________________________________________________________ 这个长方形的代数意义是________________．解 或 a 2＋3ab ＋2b 2＝(a ＋b )(a ＋2b )．15．设a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝12ma 2＋2ab ＋b 2－2ac －2bc ＋c 2的值． 解 原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)－(2ac ＋2bc )＋c 2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )c ＋c 2＝(a ＋b －c )2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝14m 2. 四、选做题16．分解因式：x 15＋x 14＋x 13＋…＋x 2＋x ＋1.分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x 15开始，x 的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n －b n 来分解．解 因为x 16－1＝(x －1)(x 15＋x 14＋x 13＋…x 2＋x ＋1)，所以原式＝x －1x 15＋x 14＋x 13＋…＋x 2＋x ＋1x －1＝x 16－1x －1＝x 8＋1x 4＋1x 2＋1x ＋1x －1x －1 ＝(x 8＋1)(x 4＋1)(x 2＋1)(x ＋1)．说明：在本题的分解过程中，用到先乘以(x －1)，再除以(x －1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．。
中考数学总复习(浙江地区)课件： 第3讲 因式分解
(3)(2016·大庆)已知a＋b＝3，ab＝2，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a＋b)2，将a＋b＝3，ab＝2代入得， ab(a＋b)2＝2×32＝18
(4)在三个整式x2＋2xy，y2＋2xy，x2中，请你任意选出两个进行加(或减)运算， 使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．
3．因式分解的一般步骤 (1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式； (2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解； (3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类 项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式．
1．公因式确定的步骤 (1)看系数：取各项整式系数的最大公约数； (2)看字母：取各项相同的字母； (3)看指数：取各相同字母的最低次幂． 2．因式分解的思考步骤 (1)提取公因式； (2)看有几项：如果为二项时，考虑使用平方差公式；如果为三项时，考虑使用 完全平方公式； (3)检查是否分解彻底． 以上步骤可以概括为“一提二套三查”． 3．变形技巧 当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n； 当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.
[对应训练] 2．(1) (2016·烟台)已知|x－y＋2|＋ x＋y－2＝0，
则 x2－y2 的值为_－__4_；
(2)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足 a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2， 则△ABC 的形状是( C )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
3．(2016·滨州)把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分 别是( B )
A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3 C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
考点02二次根式、整式与因式分解-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专版)(解析版)
考点02 二次根式、整式与因式分解【命题趋势】浙江中考中，对二次根式的考察主要集中在对其化简计算的应用，多以简答题17题形式考察，分值在3~9分，常和锐角三角函数、实数概念结合出题，属于中考必考题；偶尔也会以选择题或者填空题出现，考察二次根式有意义的条件，但几率较小。
整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。
因式分解作为整式乘法的逆运算，在浙江中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以填空题第一题的形式出现，偶尔会出在选择题前5题内，而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，中考占分在3~4分【中考考查重点】一、二次根式的相关概念及性质；二、二次根式的运算；三、整式的加减；四、幂的运算五、整式的乘除六、因式分解考向一：二次根式的相关概念及性质1.平方根与立方根a(a＞0) a(a=0) a(a＜0) 等于其本身的数 平方根 a±0 / 0算术平方根 a0 / 0、1立方根a3a0、1、-13a03=【易错警示】正数和0有平方根、算数平方根、立方根；负数只有立方根【同步练习】1．（2021秋•长清区期中）实数16的平方根是（ ）A．8B．±8C．4D．±4【分析】根据平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数，计算．【解答】解：16的平方根是±4；故选：D．2．（2021秋•吴江区月考）已知一个数的平方根是±3，这个数是（ ）A．﹣9B．9C．81D．【分析】根据平方根的定义解决此题．【解答】解：∵（±3）2＝9，∴这个数是9．故选：B．3．（2021秋•奉化区期中）的算术平方根是（ ）A．3B．﹣3C．﹣9D．9【分析】根据算术平方根的定义是解决本题的关键．【解答】解：∵，∴的算术平方根是3．故选：A．4．（2021秋•鄞州区期中）下列各式中正确的是（ ）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．（﹣5）2＝25【分析】选项A根据绝对值的性质判断即可；选项B根据算术平方根的定义判断即可；选项C根据立方根的定义判断即可；选项D根据有理数的乘方的定义判断即可．【解答】解：A．﹣|﹣2|＝﹣2，故本选项不合题意；B．，故本选项不合题意；C．，故本选项不合题意；D．（﹣5）2＝25，故本选项符合题意；故选：D．5．（2021•青神县模拟）若+|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2021＝（ ）A．﹣1B．1C．52021D．﹣52021【分析】根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性，由≥0，|2a﹣b+1|≥0，得a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0，那么a＝﹣2，b＝﹣3，从而解决此题．【解答】解：∵≥0，|2a﹣b+1|≥0，∴当+|2a﹣b+1|＝0，则＝0，|2a﹣b+1|＝0．∴a+b+5＝0，2a﹣b+1＝0．∴a＝﹣2，b＝﹣3．∴（b﹣a）2021＝（﹣3+2）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故选：A．2.二次根式与最简二次根式概念有意义的条件二次根式非负数a的算式平方根叫做二次根式，记作a（a ≥0）被开方数a ≥最简二次根式满足以下两个条件的二次根式：①被开方数中不含分数，所含因式是整式；②被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；叫做最简二次根式/【易错警示】二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，所以像4、-9都是二次根式。
2024年中考数学一轮复习考点突破课件：因式分解
思考辨析 下列分解因式正确的是( ) A．－x2＋4x＝－x(x＋4) B．x2＋xy＋x＝x(x＋y) C．x(x－y)＋y(y－x)＝(x－y)2 D．x2－4x＋4＝(x＋2)(x－2) 答案：C
易错纠偏 易混易错点 1 用提公因式法分解因式时易漏项 1．分解因式：12a2b－24ab2＋6ab. [错解] 12a2b－24ab2＋6ab＝6ab(2a－4b)＝12ab(a－2b). [错因剖析] 此题中的公因式为 6ab，提公因式后，漏掉了为 1 的项，注意 用整式的乘法进行检验，就可避免此类错误． [正解] 12a2b－24ab2＋6ab＝6ab(2a－4b＋1).
提分技法
因式分解在求代数式值中的应用 (1)因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求 代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分 解将式子变形，然后再整体代入求值． (2)用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代 数式，也可以是其中的一部分．
提分特训 6．(2023·滁州二模)已知 x＋y＝2，xy＝－3，则 x2y＋xy2＝________． 答案：－6
7．已知 a＋b＝2，ab＝2，求12 a3b＋a2b2＋12 ab3 的值． 解：12 a3b＋a2b2＋12 ab3＝12 ab(a2＋2ab＋b2) ＝12 ab(a＋b)2. 因为 a＋b＝2，ab＝2， 所以原式＝12 ×2×22＝4.
A．(x－5)(x－14)
B．(x－2)(x－7)
C．(x－2)(x＋7)
D．(x＋2)(x－7)
答案：D
2．(2023·宿州一模)下列各式中，可以在有理数范围内进行因式分解的是
() A．x2＋2x－1
B．x2－2x＋3
中考数学(浙江)总复习练习：考点跟踪突破3因式分解
考点跟踪突破3 因式分解 A 组 基础闯关一、选择题1．(2016·百色)分解因式：16－x 2＝( A )A ．(4－x)(4＋x)B ．(x －4)(x ＋4)C ．(8＋x)(8－x)D ．(4－x)22．有下列因式分解：①x 3＋2xy ＋x ＝x(x 2＋2y)；②x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2；③－x 2＋y 2＝(x ＋y)(x －y)．其中正确的有( C )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3．下列因式分解中，错误的是( C )A ．1－9x 2＝(1＋3x)(1－3x)B ．a 2－a ＋14＝(a －12)2 C ．－mx ＋my ＝－m(x ＋y)D ．ax －ay －bx ＋by ＝(x －y)(a －b)4．将下列多项式因式分解后，结果中不含有因式a －1的是( C )A ．a 2－1B ．a 2－aC ．a 2－a －2D ．(a －2)2＋2(a －2)＋15．(2017·聊城)把8a 3－8a 2＋2a 进行因式分解，结果正确的是( C )A ．2a(4a 2－4a ＋1)B ．8a 2(a －1)C ．2a(2a －1)2D ．2a(2a ＋1)2二、填空题6．(2016·北京)如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式__am ＋bm ＋cm ＝m (a ＋b ＋c )__．7．(2017·淮安)因式分解：ab －b 2＝__b (a －b )__．8．(2017·大庆)x 3－4x ＝__x (x ＋2)(x －2)__．9．(2017·黔东南州)在实数范围内因式分解：x 5－4x ＝__x (x 2＋2)(x ＋2)(x －2)__．三、解答题10．分解因式：(1)3x 2－27；解：原式＝3(x 2－9)＝3(x ＋3)(x －3)．(2)4＋12(x －y)＋9(x －y)2；解：原式＝[2＋3(x －y )]2＝(3x －3y ＋2)2.(3)8(x 2－2y 2)－x(7x ＋y)＋xy.解：原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy ＝x 2－16y 2＝(x ＋4y )(x －4y )．11．给出三个多项式：2a 2＋3ab ＋b 2，3a 2＋3ab ，a 2＋ab ，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式．解：本题答案不唯一：选择加法运算有以下三种情况：(2a 2＋3ab ＋b 2)＋(3a 2＋3ab )＝5a 2＋6ab ＋b 2＝(a ＋b )(5a ＋b )；(2a 2＋3ab ＋b 2)＋(a 2＋ab )＝3a 2＋4ab ＋b 2＝(a ＋b )(3a ＋b )；(3a 2＋3ab )＋(a 2＋ab )＝4a 2＋4ab ＝4a (a ＋b )．选择减法运算有六种情况，选三种参考：(2a 2＋3ab ＋b 2)－(3a 2＋3ab )＝b 2－a 2＝(b ＋a )(b －a )；(2a 2＋3ab ＋b 2)－(a 2＋ab )＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2；(3a 2＋3ab )－(a 2＋ab )＝2a 2＋2ab ＝2a (a ＋b )．B 组 能力提升12．把多项式x 2＋mx ＋n 分解因式，得(x ＋1)(x －2)，则m ，n 的值分别是( B )A ．m ＝2，n ＝1B ．m ＝－1，n ＝－2C ．m ＝－1，n ＝2D ．m ＝1，n ＝－213．已知(m －n)2＝8，(m ＋n)2＝2，则m 2＋n 2＝( C )A ．10B ．6C ．5D ．314．(2016·宁波模拟)已知x 2＋4y 2＝13，xy ＝3，求x ＋2y 的值．这个问题我们可以用边长分别为x 和y 的两种正方形组成一个图形来解决，其中x ＞y ，能较为简单地解决这个问题的图形是( B )15．(2017·福州)若x ＋y ＝10，xy ＝1，则x 3y ＋xy 3的值是__98__．16．(2017·雅安)已知a ＋b ＝8，a 2b 2＝4，则a 2＋b 22－ab ＝__28或36__． 17．在实数范围内分解因式：(1)x 4－1＝__(x ＋1)(x －2)(x 2＋1)__；(2)x 4－4＝__(x ＋2)(x －2)(x 2＋2)__．18．(2017·菏泽)已知4x ＝3y ，求代数式(x －2y)2－(x －y)(x ＋y)－2y 2的值．解：(x －2y )2－(x －y )(x ＋y )－2y 2＝x 2－4xy ＋4y 2－(x 2－y 2)－2y 2＝－4xy ＋3y 2＝－y (4x －3y )．∵4x ＝3y ，∴原式＝0.19．已知a，b，c是△ABC的三边长，C是△ABC的最短边且满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求C的取值范围．解：由a2＋b2＝12a＋8b－52，得(a－6)2＋(b－4)2＝0，则a－6＝0，b－4＝0，即a＝6，b＝4.∵c是△ABC的最短边，∴a－b＜c＜b，即2＜C＜4.C组拓展培优20．有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．解：或这个长方形的代数意义是a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)·(a＋2b)．。
因式分解章末重难点题型(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题因式分解章末重难点题型【浙教版】【考点1 因式分解定义】【方法点拨】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。
【例1】（2019春•青岛期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2B．C．m4﹣n4＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n）D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z【变式1-1】（2019春•成都期中）下列各式，从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（x+y）＝ax+ay B．2x2﹣x＝x（2x﹣1）C．x2+4x+4＝x（x+4）+4 D．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9）【变式1-2】（2019春•灵石县期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解且分解结果正确的为（）A．（a+2）2﹣（a﹣1）2＝6a+3 B．x2+x+＝（x+）2C．2x2﹣6x＝2x（x﹣6）D．x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）【变式1-3】（2019春•新田县期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的有（）①25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y）；②8x2y4﹣12xy2z＝4xy2（2xy2﹣3z）；③（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy；④x3y2﹣x5＝x3（y+x）（y﹣x）；⑤﹣（2x﹣3y）2＝﹣4x2+12xy﹣9y2．（）A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②③④D．①②③④⑤【考点2 公因式的概念】【方法点拨】把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.【例2】（2019春•新田县期中）多项式2x m y n﹣1﹣4x m﹣1y n（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（）A．4x m﹣1y n﹣1B．2x m﹣1y n﹣1C．2x m y n D．4x m y n【变式2-1】（2019春•灌阳县期中）代数式x﹣2是下列哪一组的公因式（）A．（x+2）2，（x﹣2）2B．x2﹣2x，4x﹣6C．3x﹣6，x2﹣2x D．x2﹣4，6x﹣18【变式2-2】（2019秋•乳山市期中）代数式x4﹣81，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（）A．x+3 B．（x+3）2C．x﹣3 D．x2+9【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（）A．m B．m（a﹣x）C．m（a﹣x）（b﹣x）D．（a﹣x）（b﹣x）【考点3 提公因式法】【方法点拨】如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法【例3】（2019秋•徐汇区校级期中）（x﹣3y）（x﹣y）﹣（﹣x﹣y）2【变式3-1】（2019秋•西城区校级期中）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）【变式3-2】（2018秋•宁阳县期中）把下列各式分解因式：（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）（2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1）（3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）【变式3-3】（2018秋•嘉定区期中）因式分解：3（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．【考点4 公式法】【方法点拨】公式法：（1）a2_b2=(a+b)(a-b) （2）a2±2ab+b2=（a±b）2【例4】（2019秋•长宁区期中）因式分解：16x4﹣1【变式4-1】（2019春•港南区期中）把下列多项式因式分解：（1）x2﹣9；（2）4x2﹣3y（4x﹣3y）．【变式4-2】（2019春•汨罗市期中）分解因式或计算：（1）（2m﹣n）2﹣169（m+n）2；（2）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．（3）40×2+80××1.85+40×2【变式4-3】（2018秋•双阳区校级期中）因式分解：（x2﹣3）2+2（3﹣x2）+1．【考点5 提公因式与公式法综合运用】【方法点拨】分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.【例5】（2020春•秦淮区校级期中）因式分解：（1）a3﹣4ab2；（2）（x2+x）2﹣（x+1）2．【变式5-1】（2019春•碑林区校级期中）分解因式：（1）3a2﹣12ab+12b2；（2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2．【变式5-2】（2018秋•杨浦区期中）因式分解：（2x﹣3y）2﹣2（2x﹣3y）（4x+y）+（4x+y）2【变式5-3】（2018秋•天河区校级期中）把下列各式因式分解：（1）12x4﹣6x3﹣168x2（2）a5（2﹣3a）+2a3（3a﹣2）2+a（2﹣3a）3（3）abc（a3+b3+c3+2abc）+（a3b3+b3c3+c3a3）【考点6 分组分解法】【方法点拨】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．【例6】（2018秋•宝山区校级期中）因式分解：x2﹣4xy+4y2﹣3x+6y+2【变式6-1】（2019春•章丘市校级期中）因式分解（1）（x4+y4）2﹣4x4y4（2）x2﹣9y2+4z2+4xz．【变式6-2】（2019秋•乳山市期中）分解因式：（1）（x+1）（x﹣）+；（2）x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3．【变式6-3】（2019春•重庆校级期中）先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by＝（ax+ay）+（bx+by）＝a（x+y）+b（x+y）＝（x+y）（a+b）如“3+1”分法：2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；（2）分解因式：45am2﹣20ax2+20axy﹣5ay2；（3）分解因式：4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1．【考点7 十字相乘法】【例7】（2019秋•青浦区校级期中）用双十字相乘法分解因式：例：20x2+9xy﹣18y2﹣18x+33y﹣14．∵4×6+5×（﹣3）＝9，4×（﹣7）+5×2＝﹣18，﹣3×（﹣7）+2×6＝33，∴20x2+9xy﹣18y2﹣18x+33y﹣14＝（4x﹣3y+2）（5x+6y﹣7）．双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案．分解因式6x2﹣5xy﹣6y2﹣2xz﹣23yz﹣20z2＝_______．【变式7-1】（2019秋•九龙坡区校级期中）阅读下列村料：由整式的乘法运算知：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．由于我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可知可把acx2+（ad+bc）x+bd中的x看作是未知数，a，b，c，d看作常数的二次三项式；通过观察acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d），可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1，此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式2x2+7x+3的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2．则2x2+7x+3＝（x+3）（2x+1）．根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法因式分解：4x2+9x﹣13；（2）用十字相乘法因式分解：2（2a2+1）2﹣3（2a2+1）﹣9；（3）已知x2﹣2x﹣n＝（x+a）（x+b）（1≤n≤200），若a、b均为整数，则满足条件的整数n有几个？并说明理由．【变式7-2】（2019秋•巴东县期末）x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子因式分解呢？因为（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，所以，根据因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．如：x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2）上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图．这样，我们可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+10（2）﹣2x2﹣6x+36【变式7-3】（2019春•新田县期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？探究问题：如图（1）所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab ＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）运用结论：（1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解．（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：将二次项4x2分解成图（2）中的两个﹣4x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14（3）综合运用：灵活运用知识进行因式分解：x3﹣7x+6【考点8 利用因式分解判断三角形】【例8】（2019秋•闽清县期中）已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足a2+b2+＝ac+bc，试判定a，b，c能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由．【变式8-1】（2019秋•徐闻县期中）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．【变式8-2】（2019秋•东营期中）已知a，b，c为△ABC的三条边，若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则该△ABC 是什么三角形？【变式8-3】（2019秋•仁寿县期中）已知△ABC的三条边分别是a、b、c．（1）判断（a﹣c）2﹣b2的值的正负．（2）若a、b、c满足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，判断△ABC的形状．【考点9 利用因式分解求值】【例9】（2019秋•孟津县期中）已知a+b＝，ab＝﹣，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．【变式9-1】（2019秋•泰安期中）利用因式分解计算：已知：a+b＝4，ab＝﹣2，求：a3+a2b+ab2+b3的值．【变式9-2】（2019春•淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．【变式9-3】（2019秋•鲤城区校级期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．【考点10 因式分解的应用】【例10】（2019秋•乳山市期中）【阅读材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．【问题解决】（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．【变式10-1】（2019春•太仓市期中）你会对多项式（x2+5x+2）（x2+5x+3）﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．对于（x2+5x+2）（x2+5x+3）﹣12．解法一：设x2+5x＝y，则原式＝（y+2）（y+3）﹣12＝y2+5y﹣6＝（y+6）（y﹣1）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．解法二：设x2+5x+2＝y，则原式＝y（y+1）﹣12＝y2+y﹣12＝（y+4）（y﹣3）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．解法三：设x2+2＝m，5x＝n，则原式＝（m+n）（m+n+1）﹣12＝（m+n）2+（m+n）﹣12＝（m+n+4）（m+n﹣3）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：（1）（x2+x﹣4）（x2+x+3）+10；（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x2；（3）（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2．【变式10-2】（2019春•邗江区校级期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：①a2﹣6a﹣7 ②a4+a2b2+b4（2）若a+b＝4，ab＝2，求①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．【变式10-3】（2019春•句容市期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，解：原式＝a2+6a+8+1﹣1＝a2+6a+9﹣1＝（a+2）（a+4）②M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值，解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0∴当a＝b＝1时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2﹣x+．（2）用配方法因式分解：x2﹣4xy+3y2．（3）若M＝x2+2x﹣1，求M的最小值．（4）已知x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5＝0，则x+y+z的值为．。
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2019-2020年中考数学总复习（浙江地区）考点跟踪突破3 因式分
解
一、选择题[来源:学,科,网Z,X,X,K]
1．(xx·百色)分解因式：16－x2＝( A )
A．(4－x)(4＋x) B．(x－4)(x＋4)
C．(8＋x)(8－x) D(4－x)2
2．(xx·贵港)下列因式分解错误的是( C )
A．2a－2b＝2(a－b)
B．x2－9＝(x＋3)(x－3)
C．a2＋4a－4＝(a＋2)2
D．－x2－x＋2＝－(x－1)(x＋2)
3．(xx·聊城)把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( C )
A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2D．2a(2a＋1)2
4．(xx·临沂)多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是( A )
A．x－1 B．x＋1
C．x2－1 D．(x－1)2
5．(xx·宜昌)小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a －b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( C )
A．我爱美B．宜昌游[来源:]
C．爱我宜昌D．美我宜昌
二、填空题
6．(xx·北京)如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式__Am＋bm ＋cm＝m(a＋b＋c)__．
7．(xx·达州)分解因式：a3－4a＝__a(a＋2)(a－2)__．
8．(xx·贺州)将m3(x－2)＋m(2－x)分解因式的结果是__m(x－2)(m－1)(m＋1)__．9．(xx·威海)分解因式：(2a＋b)2－(a＋2b)2＝__3(a＋b)(a－b)__．[来源:]
三、解答题
10．分解因式：
(1)(xx·黄石)3x2－27；
解：原式＝3(x2－9)＝3(x＋3)(x－3)[来源:]
(2)4＋12(x－y)＋9(x－y)2；
解：原式＝[2＋3(x－y)]2＝(3x－3y＋2)2
(3)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.
解：原式＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y)
[来源:Z_xx_k]
11．给出三个多项式：2a 2＋3ab ＋b 2，3a 2＋3ab ，a 2＋ab ，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式．
解：本题答案不唯一：选择加法运算有以下三种情况：(2a 2＋3ab ＋b 2)＋(3a 2＋3ab )＝5a 2＋6ab ＋b 2＝(a ＋b )(5a ＋b )；(2a 2＋3ab ＋b 2)＋(a 2＋ab )＝3a 2＋4ab ＋b 2＝(a ＋b )(3a ＋b )；(3a 2＋3ab )＋(a 2＋ab )＝4a 2＋4ab ＝4a (a ＋b )．选择减法运算有六种情况，选三种参考：(2a 2＋3ab ＋b 2)－(3a 2＋3ab )＝b 2－a 2＝(b ＋a )(b －a )；(2a 2＋3ab ＋b 2)－(a 2＋ab )＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2；(3a 2＋3ab )－(a 2＋ab )＝2a 2＋2ab ＝2a (a ＋b )．
B 组 能力提升
12．(xx ·株洲)分解因式：(x －8)(x ＋2)＋6x ＝__(x ＋4)(x －4)__．
13．已知x ，y 是二元一次方程组⎩⎨⎧x －2y ＝3，2x ＋4y ＝5，
的解，则代数式x 2－4y 2的值为__152__． 14．(xx ·内江)已知实数a ，b 满足：a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b
，则2 015|a －b|＝__1__．[来源:] 点拨：∵a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b ，两式相减可得a 2－b 2＝1a －1b ，(a ＋b )(a －b )＝b －a ab
，[ab (a ＋b )＋1](a －b )＝0，又由题意可知a>0，b>0，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∴2 015|a －b|＝2 0150＝1
15．(1)若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，判断△ABC 的形状． 解：∵a ＋2ab ＝c ＋2bc ，∴a －c ＋2ab －2bc ＝0，(a －c )＋2b (a －c )＝0，∴(1＋2b )(a －c )＝0.∵1＋2b ≠0，∴a －c ＝0，a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形
(2)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，c 是△ABC 的最短边且满足a 2＋b 2＝12a ＋8b －52，求c 的取值范围．
解：∵a 2＋b 2＝12a ＋8b －52，∴a 2－12a ＋36＋b 2－8b ＋16＝0，∴(a －6)2＋(b －4)2＝0，∴a ＝6，b ＝4，∴2<c<10，∵c 是最短边，∴2<c ≤4.
[来源:]
16．设a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝12
m ＋3.求代数式a 2＋2ab ＋b 2－2ac －2bc ＋c 2的值． 解：原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)－(2ac ＋2bc )＋c 2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )c ＋c 2＝(a ＋b －c )2＝[(12
m ＋1)＋(12m ＋2)－(12m ＋3)]2＝(12m )2＝14
m 2
[来源:]
17．有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．
这个长方形的代数意义是__a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)__．
解：或
[来源:]
C组拓展培优
18．设y＝kx，是否存在实数k，使得代数式(x2－y2)(4x2－y2)＋3x2(4x2－y2)能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．[来源:] 解：能(x2－y2)(4x2－y2)＋3x2(4x2－y2)＝(4x2－y2)(x2－y2＋3x2)＝(4x2－y2)2，当y＝kx 时，原式＝(4x2－k2x2)2＝(4－k2)2x4，令(4－k2)2＝1，解得k＝±3或±5，即当k＝±3或±5时，原代数式可化简为x438033 9491 钑38649 96F9 雹/27040 69A0 榠F25700 6464 摤27848 6CC8 泈E31058 7952 祒30081 7581 疁19980 4E0C 丌40435 9DF3 鷳。