长除法
除法的简便运算方法
除法的简便运算方法在数学运算中，除法是我们经常会遇到的一个运算，它在我们的日常生活和学习中都有着重要的作用。
然而，对于一些较为复杂的除法运算，我们可能会感到困惑和烦恼。
那么，有没有一种简便的方法来进行除法运算呢？本文将介绍一些简便的除法运算方法，希望能够帮助大家更轻松地进行除法运算。
首先，我们来介绍一种简便的除法运算方法——长除法。
长除法是我们在学习除法运算时经常会接触到的一种方法，它适用于各种类型的除法运算，包括整数除法和小数除法。
长除法的步骤相对简单，首先是将被除数写在长除法的左边，然后将除数写在长除法的左边上方，接着进行逐位相除，最后得到商和余数。
长除法的优点在于可以清晰地展现出除法运算的过程，有利于我们理解和掌握除法运算的规律。
除了长除法，我们还可以利用近似除法的方法来进行简便的除法运算。
近似除法是指在进行除法运算时，对被除数和除数进行适当的调整，使得计算更加简便。
例如，当我们进行小数除法时，如果除数是一个很长的小数，我们可以将它近似为一个较为简单的小数或整数，然后进行除法运算。
这样可以减少我们的计算量，提高计算效率。
此外，我们还可以利用除数的倍数关系来进行简便的除法运算。
当被除数和除数之间存在倍数关系时，我们可以利用这种关系来简化除法运算。
例如，当被除数是除数的整数倍时，我们可以直接得到商，而余数为零；当被除数是除数的整数倍加上一个小数时，我们可以将小数部分舍去，直接得到商，而余数为小数部分的倍数。
这样可以减少我们进行除法运算时的计算步骤，提高计算效率。
除了以上介绍的方法，我们还可以利用分数的性质来进行简便的除法运算。
当我们进行分数除法运算时，可以将被除数和除数化为最简分数，然后进行分数的乘法运算，得到商。
这样可以避免我们进行分数除法运算时的繁琐计算，提高计算效率。
综上所述，除法是数学运算中的重要内容，我们可以利用一些简便的方法来进行除法运算，如长除法、近似除法、倍数关系和分数性质等。
除法的基本概念与运算方法
除法的基本概念与运算方法除法作为数学中的基本运算之一，在我们日常生活和学习中都有着广泛的应用。
它能帮助我们解决实际问题以及分析数字之间的关系。
本文将介绍除法的基本概念与运算方法，并分析其在解决实际问题中的运用。
一、基本概念除法是数学中用于表示两个数字之间相互关系的运算。
在除法中，被除数是要被除的数字，除数是用来除以被除数的数字，商表示除法运算的结果，余数则是被除数除以除数后剩下的未被整除的部分。
例如，当我们将12除以3时，12是被除数，3是除数，商为4，余数为0。
这里的商4表示12可以被3整除4次，余数为0说明12除以3没有剩余部分。
二、除法的运算方法除法的运算方法主要包括长除法和短除法两种。
下面将分别介绍这两种运算方法。
1. 长除法长除法是一种逐步减小被除数的方法，直到达到最小的部分的过程。
它适用于除法运算较为复杂的情况。
首先，我们将除数写在左边，并将被除数的最高位数与除数进行比较。
若高位数小于除数，则向下取下一位，并继续与除数进行比较。
若高位数大于除数，则将除数乘以一个适当的整数，使得乘积小于或等于高位数。
然后，将乘积写在上方，并进行减法运算。
接着，将减法运算后的结果作为新的高位数，并重复之前的步骤，直至处理完所有位数。
通过长除法运算，我们可以得到商和余数，进而解决实际问题或深入分析数字关系。
2. 短除法短除法是一种简便的除法运算方法，适用于除法运算较为简单的情况。
它直接进行除法运算，不需要中间步骤的推导。
首先，将除数写在左边，并将被除数的最高位数与除数进行比较。
若高位数小于除数，则向下取下一位，并继续与除数进行比较。
若高位数大于或等于除数，则进行除法运算，并将商的整数部分写在上方的空白处。
接着，将除数乘以商的整数部分，并将乘积写在除数下面。
然后，进行减法运算，将被除数减去乘积的结果。
通过短除法运算，我们可以直接得到商和余数，快速解决简单的除法运算问题。
三、除法在解决实际问题中的应用除法作为一种基本运算方法，在解决实际问题时有着广泛的应用。
沪教版七年级数学下册《多项式除以多项式—长除法》教案及教学反思
沪教版七年级数学下册《多项式除以多项式—长除法》教案及教学反思本文旨在探讨沪教版七年级数学下册《多项式除以多项式—长除法》教学内容。
首先，通过介绍“长除法”的基本概念和方法，继而论述教学实践中应该注意的问题。
最后，总结了本次教学的优劣点，并提出了改进方案。
一、知识点介绍长除法是一种求解多项式除法的方法，是高中数学中的一项基本技能。
它的核心思想是利用多项式的部分积和差的性质，将多项式除法化为简单的一系列减法运算。
通常情况下，长除法需要根据被除式和除式的度数，选择适当的“首项”进行计算。
在实际应用中，长除法经常被用于计算有理式的简化、多项式的因式分解等问题。
二、教学内容设计2.1 教学目标1.了解多项式除法的基本概念，并能够熟练使用长除法进行计算。
2.培养分析、解决问题的能力。
3.培养学生的合作意识。
2.2 教学重难点1.多项式分解中多项式除法的基本概念；2.长除法的具体计算方法。
2.3 教学方法讲授、示范、提问、综合评价。
2.4 教学过程2.4.1 知识点讲解首先要明确多项式是指多个单项式的代数和，也就是一个多项式可以包含一个或多个单项式，而单项式则只包含一个变量的常数或系数。
对于多项式除法，我们需要借助于长除法的思想进行计算。
而长除法过程中最重要的部分则是找到合适的“首项”。
例如，如下所列示的多项式除法：(x^3 - 2x^2 + x + 3) / (x - 1)其计算过程如下：x^2 - x + 2x - 1 | x^3 - 2x^2 + x + 3- x^3 + x^2- x^2 + x- x + 3- 3从上面的计算过程可以看出，被除式左边的最高项为x^3，除式的最高次项为x，通过将x3除以x可以得到第一步的被除式x^2。
在这个过程中，必须挑选合适的首项进行计算，才能消去被除式中最高次项的系数。
2.4.2 训练示范在讲解完理论知识后，需要针对性地进行训练示范。
首先展示一些典型的练习题，根据学生的基础水平和实际情况，适当调整难度。
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式的法则如下：
1.多项式除以多项式，先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列（被除式有缺项要留出空位 或加0）
2.用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下 面（同类项对齐），从被除式减去这个积，得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式，再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
1.(2x3 9 x2 3x 5) ( x2 4 x 3) 2.(3x4 13x3 x) (x2 4x 3) 3.(2x5 10x 15 7 x3 6x4 ) (x2 4 3x) 4.( x4 3x3 2 x2 1) ( x2 1) 5.(8x4 6 x3 13x2 4) (2 x2 x 2) 6.(10 xy 2 7 x2 y 2 x3 10 y3 ) ( x 2 y)
练习
1.求x5y5除以xy的商 2.(34a2b2ab2)(ab)
例 4 . ( 2 x 4 3 x 3 1 0 x 2 1 3 x 2 7 ) ( x 2 2 x 3 )
注意：当余式不是零而次数低于除式的次数 时，除法演算就不能继续进行，这说明除式 不能整除被除式
被除式=除式×商式+余式
验算
例 1 ： (5x22x3 1 )(12x)
注意：被除式按x降幂排列时如有缺 项，要留出空位，也可以采用加零的 办法补足缺项
例 2 : ( a 4 4 0 b 4 5 a 3 b 2 2 a b 3 ) ( a 2 4 b 2 3 a b )
例 3 ： 2 x 2 4 x 4 除 2 x 4 5 x 3 x 2 2 的 商
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式
多项式的长除法与余式定理
多项式的长除法与余式定理多项式的长除法是高中数学中的重要概念，它是解决多项式除法问题的一种有效方法。
同时，余式定理是多项式除法的一个重要结论，它在解决多项式问题时起到了重要的作用。
本文将详细介绍多项式的长除法和余式定理，并通过实例进行说明。
一、多项式的长除法多项式的长除法是一种将一个多项式除以另一个多项式的方法，它的步骤如下：1. 将被除式和除式按照降幂排列。
2. 将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商的最高次项。
3. 用商的最高次项乘以除式，并将结果与被除式相减，得到一个新的多项式。
4. 重复步骤2和步骤3，直到无法再进行下去。
5. 当无法再进行下去时，所得的多项式即为最终的商，而最后一次相减得到的多项式即为最终的余数。
通过这种方法，我们可以将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
长除法的步骤繁琐，但是它是一种非常有效的方法，可以帮助我们解决各种多项式问题。
例如，我们将多项式x^3+2x^2-3x+1除以x-1，按照长除法的步骤进行计算：首先，将两个多项式按照降幂排列，得到x^3+2x^2-3x+1÷x-1。
然后，将被除式的最高次项x^3除以除式的最高次项x，得到商的最高次项x^2。
接下来，用商的最高次项x^2乘以除式x-1，得到x^3-x^2。
将x^3+2x^2-3x+1与x^3-x^2相减，得到3x^2-3x+1。
继续进行下一步，将3x^2除以x，得到3x。
用3x乘以除式x-1，得到3x^2-3x。
将3x^2-3x+1与3x^2-3x相减，得到1。
此时，无法再进行下去，所以最终的商为x^2+3x+3，余数为1。
通过长除法，我们得到了多项式的商和余数。
二、余式定理余式定理是多项式除法的一个重要结论，它表明，当一个多项式f(x)除以(x-a)时，所得的余数等于将a代入f(x)中所得的值。
换句话说，如果一个多项式f(x)除以(x-a)的余数为0，那么a就是f(x)的一个根。
例如，我们将多项式f(x)=x^3+2x^2-3x+1除以(x-1)时，所得的余数为1。
两位数除以一位数的除法
两位数除以一位数的除法除法是数学中的一种基本运算，用来求出一个数被另一个数整除后的商和余数。
在本文中，我们将讨论两位数除以一位数的除法运算。
除法可以分为长除法和短除法两种方法。
长除法适用于较复杂的除法计算，而短除法则常用于较简单的除法计算。
一、短除法短除法是一种快速计算两位数除以一位数的方法。
下面以一个具体例子来说明短除法的计算过程。
例如，我们要计算27÷5。
首先，将被除数27写在除号的上方，将除数5写在除号的下方，然后开始计算。
5-------5 | 27-25------2首先，我们看到27中能包含5的倍数，最大的是25，所以我们将25写在中间那一行上。
然后，用27减去25，得到2。
接下来，我们继续将下一个数字2写在2的下方。
5-------5 | 27-25------2最后，我们发现2小于除数5，无法再进行除法运算。
所以，27÷5的商为5，余数为2。
二、长除法长除法是一种更详细、逐步计算两位数除以一位数的方法。
下面以一个具体例子来说明长除法的计算过程。
例如，我们要计算73÷4。
首先，我们将被除数73写在除号的上方，将除数4写在除号的下方，然后开始计算。
18-------4 | 73- 68------- 52------1首先，我们看到73中能包含4的倍数，最大的是68，所以我们将68写在中间那一行上。
然后，用73减去68，得到5。
接下来，我们将下一个数字3写在5的旁边。
18-------4 | 73- 68------53- 521继续重复这个过程，将53除以4，再用5减去4，便得到余数1。
最后，我们发现1小于除数4，无法再进行除法运算。
所以，73÷4的商为18，余数为1。
总结：在两位数除以一位数的运算中，我们可以使用短除法或长除法进行计算。
短除法适合简单的除法计算，而长除法则适用于更复杂的除法计算。
根据不同的题目要求，我们可以选择合适的计算方法来进行除法运算，得出准确的商和余数。
小学二年级数学教案：有余数的长除法
小学二年级数学教案：有余数的长除法有余数的长除法一、教学目标：1.理解长除法的概念，掌握长除法的步骤。
2.掌握用长除法进行除法运算的方法和技巧。
3.理解余数的意义和作用。
二、教学重难点：1.长除法的步骤和方法；2.理解余数的意义和作用。
三、教学准备：教师：黑板、彩笔、教具（数字牌、计算器等）学生：课本、笔、作业本四、教学过程：一、导入介绍本节课的主题：有余数的长除法。
让学生回忆一下之前学习的除法运算，带余除法的概念。
并引导学生想一想，有没有一种方法能方便地求一个数除以另一个数的商和余数。
如果有的话，那么这个方法就是长除法。
二、教学主要环节一、长除法的步骤和方法1.长除法的步骤（1）将被除数写在长除号的左边，除数写在长除号的右边。
（2）用除数的第一个数位去除被除数的前面数位，写出商数。
（3）将这个商数乘以除数，得到一组乘积。
（4）从被除数前面几位中减去这个乘积，并将下一位的数和余数写在下一行。
（5）再用除数的第一个数位去除新的被除数的前面数位，得到商数。
（6）将这个商数乘以除数，得到一组新的乘积。
（7）重复步骤（4）和（5），直到无法再除下去为止。
余数就是最后的减数。
2.长除法的方法：除法是一个反向的乘法。
二、有余数的长除法样例教学有余数的长除法需要进行多次记载和计算，因此需要反复举例子进行讲解。
样例1：64÷8该题解法：第一次， 8 除 6余，所以需要考虑 4 和 8 的商。
8 除 4 等于 0$\cdots$4，因此结果为 8 $\times$ 8 + 4 = 64，所以商为 8，余数为 4。
样例2：79÷5该题解法：第一次，5除7等于1余4，考虑4和5的商，5除4等于0余4，因此新的结果为5$\times$15+4=79，商为15，余数为4。
三、余数的概念和意义余数是指用除法时，被除数被整除后剩下的数。
例如：64÷8，商为8，余数为0，因为64能够被8整除。
如果被除数不能够被整除，则余数为存在的。
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式的方法有两种，分别是除法快速求解法、长除法。
这里介绍的是长
除法，也叫“多项式除法”，它是一种应用数位计算机和有规格式控制排序手段模拟人以
及有智能打字机精度执行多项式计算的计算机内算法。
首先，介绍多项式如何表示，它由一系列幂次和系数组成，幂次从高到低排列，用
[括号]符号将幂次和系数分开，用“加法法则”连接各项，如y=2x^{3}+5x+30即表示：y
＝[3,2] + [1,5] + [0,30]。
接着就是多项式除法的步骤：
1.确定被除数和除数，将被除数和除数系数化简，取幂次最高的几项，即
[n,a_{n}]/[m,b_{m}]，其中a_{n},b_{m}均不为零。
2.初等变换，将除数依次转成[m,1]系数的多项式，即b_{m}x^{m}/b_{m}=x^{m},此时的商系数系数[n-m,a_{n}/b_{m}]。
3.将上一步的最高一项作为除数，除去被除数的相应项，此时被除数的最高一项有变化，变为[n-m-1,k]。
4.继续上一步的过程，用被除数分解，有可能某次被除数为零，此时商变为[n-
m,a_{n}/b_{m}] + [n-m-1,k] + ... + 0，循环结束。
最后给出一个例子：y=2x^{3}+5x+30,用[2,1]除，结果是y=[1,1] + [-1,3] + [0,0]，即y=x+3x^{-1}。
多项式除法可以用来解决复杂的多项式计算问题，但它的缺点也不容忽视，例如使用
长除法计算复杂的多项式时，可能会非常耗时，并且容易出错，所以要慎重使用。
除数是百分数的长除法计算
除数是百分数的长除法计算
长除法是一种用于计算除法的方法，当除数为百分数时，我们
可以通过以下步骤来进行长除法计算：
1.将百分数转换为小数：将百分数除以100，得到对应的小数。
例如，将95%转换为0.95.
2.提出被除数和除数：确定被除数和除数。
被除数是需要被除
的数，除数是用来除以被除数的数。
3.列出长除法步骤：在纸上列出长除法的步骤，包括将被除数
的每一位数字依次除以除数，并写下商和余数。
4.逐位计算：从被除数的最高位开始，将该位数除以除数，并
写下商和余数。
将余数乘以10，得到新的被除数的最高位，并重复这一步骤，直到所有的位数都被除完为止。
5.检查答案：检查商和余数是否正确。
商是除法的结果，余数
是除法运算过程中剩下的部分。
通过以上步骤，我们可以使用长除法计算除数是百分数的除法
问题。
这种方法能够帮助我们清晰地理解和解决这类问题，确保准
确性和可靠性。
注意：在进行长除法计算时，需要对小数进行合理的精度控制，以确保计算结果的准确性。
以上是关于除数是百分数的长除法计算的简要介绍。
通过使用
这种方法，我们可以轻松解决问题，并得到准确的计算结果。
希望
对您有所帮助！。
长除法 传递函数
长除法传递函数长除法的应用在数学中非常常见，而传递函数也是现代控制系统中的重要概念。
把这两个概念结合在一起，不仅可以加深对它们的理解，也有助于更好地掌握传递函数的应用。
在本文中，我们将介绍长除法和传递函数的基本概念，并阐述它们之间的联系和应用。
一、长除法的基本概念长除法是一种求解多项式除法的方法，它的基本原理是将被除数和除数按指数从高到低排列，将它们和系数依次对齐，然后进行类似于手工除法的操作。
简单来说，就是通过不断将除数乘以各位数位上的因子，并将结果减去被除数的对应位，最终得到商和余数。
长除法常常应用于函数分解、因式分解、求解方程等学科中。
二、传递函数的基本概念在控制系统中，传递函数是描述输入信号与输出信号之间关系的数学表达式。
通常情况下，传递函数可以表示为分子项和分母项的比值，其中分子项表示输出信号对于输入信号的放大倍数，分母项则表示系统对输入信号的反应程度。
传递函数的形式多种多样，但都有着同样的基本结构。
三、长除法与传递函数的联系传递函数其实也可以看成是一个多项式的比值，是控制系统中一种直观、简单的数学表达方式。
而需要注意的是，长除法可以用来对传递函数进行拆分和化简，从而方便求解系统的特征及稳定性等参数。
例如，当我们需要对一个传递函数进行降阶处理时，就需要用到长除法来将复杂的传递函数拆分为一系列简单的因式。
长除法同时也可以用来分析控制系统中的零点和极点，因为这些特征都可以看作是传递函数分母项或分子项的根。
通过将传递函数化简为标准形式，我们可以更方便地进行特征分析和系统设计。
四、长除法传递函数的应用举例下面，我们来看一个实际的例子，使用长除法和传递函数的知识求解系统的特征和稳定性等参数。
假设我们有一个二阶控制系统的传递函数为：$G(s)=\frac{100(s+0.1)}{(s^2+2s+101)(s+10)}$我们要求解该系统的零点、极点以及阶跃响应的稳定性。
首先，我们将传递函数拆分成标准形式：$G(s)=\frac{k(s+z_1)(s+z_2)}{(s+p_1)(s+p_2)(s+p_3)}$通过长除法，我们将其化简为：$G(s)=\frac{100(s+0.1)}{(s+1+j10)(s+1-j10)}$于是，我们可以得到该系统的极点为$p_1=-1-j10,p_2=-1+j10,p_3=-10$，零点为$z_1=-0.1$，$z_2=0$。
五年级数学技巧如何快速计算长除法
五年级数学技巧如何快速计算长除法在五年级学习数学的过程中，学生们将接触到长除法这一内容。
长除法是一种常用的计算方法，可以帮助我们进行复杂的除法运算。
为了提高学生们计算长除法的速度和准确性，下面将介绍一些数学技巧和方法。
一、对于整除规律的运用当被除数能够整除除数时，即余数为零，我们可以快速得出商的值。
例如，当我们计算324÷4时，我们可以直接得出商为81，因为4可以整除324，余数为0。
这样可以省去繁琐的计算过程，提高计算效率。
二、估算商的大小在进行长除法运算时，我们可以先估算出商的大小，再进行具体的计算。
例如，当我们计算657÷9时，我们可以先估算出商的范围在60左右，然后根据这个范围进行计算。
这样可以事先确定计算的大致结果，减少出错的概率。
三、单个位数的商的计算在计算长除法时，我们可以先计算出商的个位数部分，再进行十位数和百位数的计算。
例如，计算5834÷6时，我们可以先计算出个位数的商为9，然后用这个9乘以6得出个位数的乘积54，再将54从5834中减去，得到剩余部分。
这样可以逐位计算，使计算过程更加清晰和简洁。
四、适当利用零位的计算在进行长除法运算时，我们可以适当利用被除数的零位，即末尾的零，来简化计算过程。
例如，当我们计算7400÷25时，我们可以直接得出商为296，因为被除数的零位可以整除除数，余数为0。
这样可以减少计算的步骤，提高计算速度。
五、反复推算法对于较复杂的长除法运算，我们可以采用反复推算的方法来计算商的每一位。
首先，我们将被除数从左到右逐位与除数进行比较，找到满足除法条件的最大数，这个最大数即为商的对应位数。
然后，我们将这个最大数乘以除数，得出乘积后，在被除数上减去这个乘积，并将剩余部分作为下一位的运算。
通过反复推算，可以得出所有位数的商。
通过以上数学技巧和方法，我们可以在学习五年级数学的长除法时，提高计算的速度和准确性。
希望同学们能够掌握并灵活运用这些技巧，提高数学学习的效果。
除法的基本原理与计算方法
除法的基本原理与计算方法除法是数学中一种基本的运算方法，用于求得一个数除以另一个数的商。
在学习除法的过程中，需要掌握其基本原理和计算方法。
一、除法的基本原理除法的基本原理是将一个被除数分成若干等份，每份的大小由除数确定，然后求得等份的个数，这个个数就是商。
例如，将12分成4等份，每份的大小为3，那么商为4。
二、除法的计算方法除法的计算可以通过手算和使用计算器两种方式进行。
1. 手算方法手算除法的方法有竖式除法和长除法两种方式。
（1）竖式除法：竖式除法是一种基本的除法计算方法，通过竖着排列被除数、除数和商的数字来进行计算。
它的步骤如下：（以被除数为56，除数为7为例）4-------7|5649---7从被除数的左边开始，找到第一个与除数相乘小于或等于的数字，将这个数字作为商的一位，并将这个数乘以除数得到一个数，然后减去这个数，再从被除数的下一位继续找。
（2）长除法：长除法是在竖式除法的基础上进行改进，逐步展示计算过程的一种除法计算方法。
它的步骤如下：（以被除数为56，除数为7为例）____8____7 | 5649---7从被除数的左边开始，找到第一个与除数相乘小于或等于的数字，将这个数字作为商的一位，并将这个数乘以除数得到一个数，然后减去这个数，再从被除数的下一位继续找。
将商的每一位写在上方的横线上，最后将所有的商连接起来，就得到了最终的商。
2. 计算器计算方法使用计算器进行除法计算更加便捷，只需要将被除数和除数输入计算器，就可以直接得到商的结果。
除法的计算方法还包括了余数和小数的处理，将在下面的内容中介绍。
三、除法的相关概念1. 除数、被除数和商：在除法中，除数是用来除以被除数的数，被除数是需要进行除法运算的数，商是将被除数除以除数所得的结果。
2. 余数：除法中，当被除数不能整除除数时，所得到的余数是除法运算的结果之一。
3. 小数：当商不能写成整数时，所得到的结果就是小数。
除法涉及到了分配律和整除律等数学概念，这里不做具体展开。
掌握除法的基本原理和计算方法
掌握除法的基本原理和计算方法除法是数学中的一种基本运算方法，用于求得一个数被另一个数相除的商。
在日常生活和学习中，我们经常会遇到需要进行除法运算的情况，因此掌握除法的基本原理和计算方法是非常重要的。
一、除法的基本原理除法的基本原理是基于乘法的逆运算。
对于两个数a和b，其中b 不等于零，a除以b（记作a ÷ b）的结果为另一个数c，使得c乘以b 等于a。
即：a ÷b = c，其中c × b = a（其中a、b、c均为实数）这里的a称为被除数，b称为除数，c称为商。
除法的运算可以理解为将被除数a分成若干个等长的部分，每个部分的长度为除数b。
商c 则表示能从被除数中得到几个这样的部分。
需要注意的是，当除数为零时，除法是没有意义的，因为任何数除以零都没有确定的结果。
二、除法的计算方法除法的计算方法主要有两种：竖式除法和长除法。
1. 竖式除法竖式除法是较常用的一种除法计算方法。
下面以一个例子来说明竖式除法的步骤：例：将150除以5```3 0______5 | 1 5 01 5___```首先，将被除数150写在除号上面，除数5写在除号的左边。
然后，从被除数左边开始，逐位与除数进行计算。
首先，看能否将15除以5，答案是3，将商3写在上方的空位上，并乘以除数5得到15；然后，用15减去15得到0，写在15下方的横线上。
所以，150除以5的结果为30。
2. 长除法长除法也是一种常见的除法计算方法，特别适用于较大的整数除法运算。
下面以一个例子来说明长除法的步骤：例：将2468除以8```3 0 8______8 | 2 4 6 82 4 0_____8```首先，将被除数2468的最高位（百位）数2与除数8进行比较。
2÷ 8显然是不够的，所以我们继续将下一位（十位）的4与除数8进行比较。
4 ÷ 8仍然不够，因此我们向下继续取下一位（个位）的6。
6 ÷8仍然不够，所以我们继续向下取下一位，即0。
除法的运算方法
除法的运算方法
除法是数学中常见的运算之一，用于求两个数的商。
它的运算方法分为长除法和短除法两种。
长除法是指将被除数按位与除数相除，将商写在上方，再将商乘以除数写在下方，然后用被除数减去这个乘积，得到余数，将余数写在下方。
接着将余数与下一位被除数一起作为新的被除数，并继续进行除法运算，直到被除数的最后一位运算完毕。
最终，上方的商就是除法的结果。
短除法是指先将被除数和除数的小数点对齐，然后从左到右逐位进行计算。
将被除数的第一位和除数相除，得到商和余数，将商写在结果的第一位上。
然后将余数乘以10，再与下一位被除数一起作为新的被除数，重复上述步骤，直到被除数的所有位都运算完毕。
最终，结果中上方的商就是除法的结果。
除法在数学中有着广泛的应用，尤其在算术和代数中都有重要的地位。
掌握除法的运算方法，可以更好地理解和应用数学知识。
长除法的概念
长除法的概念
长除法是一种用来计算两个数之间的除法的方法。
它适用于计算大数之间的除法，或者当被除数或除数中至少有一个是多位数时。
长除法的步骤如下：
1. 将被除数写在长除法的左边，将除数写在长除法的右上方。
2. 从被除数的最左边开始，将尽可能多的数字与除数相除，将商写在上方。
3. 将商乘以除数，将结果写在第一步除数下方。
4. 用被除数减去第三步的结果，将差写在第一步差旁边的位置。
5. 重复步骤2至步骤4，直到无法再继续为止，得出最终的商和余数。
长除法的结果通常包括商和余数，商是除法的结果，而余数是不能再继续除尽的部分。
多项式除以多项式——长除法
被除式=除式×商式+余式
注意：1.余算
例 1 ： (5x22x3 1 )(12x)
注意：被除式按x降幂排列时如有缺 项，要留出空位，也可以采用加零的 办法补足缺项
例 2 : ( a 4 4 0 b 4 5 a 3 b 2 2 a b 3 ) ( a 2 4 b 2 3 a b )
例 3 ： 2 x 2 4 x 4 除 2 x 4 5 x 3 x 2 2 的 商
练习
1.求x5y5除以xy的商 2.(a3b34a2b2ab2)(ab)
例 4 . ( 2 x 4 3 x 3 1 0 x 2 1 3 x 2 7 ) ( x 2 2 x 3 )
注意：当余式不是零而次数低于除式的次数 时，除法演算就不能继续进行，这说明除式 不能整除被除式
当余式不是零而次数低于除式的次数时除法演算就不能继续进行这说明除式不能整除被除式101327验算多项式除以多项式的法则如下
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式
两个多项式相除，可以先把这两个多项式都 按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多
位数相除的演算方法，用竖式进行演算
如 ： (10xx246x3)(2x1)
被除式=除式×商式+余式
验算
多项式除以多项式的法则如下：
1.多项式除以多项式，先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列（被除式有缺项要留出空位 或加0）
2.用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下 面（同类项对齐），从被除式减去这个积，得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式，再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
长除法例题
长除法是一种常用的数学计算方法，可以用来解决除法问题。
以下是一个长除法例题：题目：计算280 ÷35
首先，将被除数和除数分别按照某个字母（例如x）作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式：
280 = 280x^0
35 = 35x^0
然后，商和余数可以这样计算：
将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。
结果写在横线之上：
280 ÷35 = 8
将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐）：8x35 = 280
从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面：
280 - 280 = 0
将分子的下一项“拿下来”。
把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止）。
这个例题的余数为0，所以商就是结果。
因此，280 ÷35 = 8。
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计算
写成以下这种形式：
然后商和余数可以这样计算：
1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。
结
果写在横线之上(x3÷x = x2).
2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下
(x2· (x− 3) = x3− 3x2).
3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正
项），结果写在下面。
((x3− 12x2) − (x3− 3x2) = −12x2 + 3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。
4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项
5.重复第四步。
这次没什么可以“拿下来”了。
横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。
除法变换
使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。
考虑多项式P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。
然后，对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），
这种变换叫做除法变换，是从算数等式
.[1]得到的。