平面图形的面积关系
平面图形公式
一.公式：1.长方形：周长=(长+宽)×2——【长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长】字母公式：C=(a+b)×2面积=长×宽字母公式：S=ab2.正方形：周长=边长×4字母公式：C=4a面积=边长×边长字母公式：S=a3.平行四边形的面积=底×高字母公式： S=ah4.三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】字母公式： S=ah÷25.梯形的面积=（上底+下底）×高÷2字母公式： S=（a+b）h÷2【上底=面积×2÷高－下底，下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底）】二.平行四边形面积公式推导：剪拼、平移1.三角形面积公式推导：旋转平行四边形可以转化成一个长方形；两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的底；平行四边形的底相当于三角形的底；长方形的宽相当于平行四边形的高；平行四边形的高相当于三角形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷22.梯形面积公式推导：旋转两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2 等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
《面积》知识点总结
《面积》知识点总结面积是几何学中的一个重要概念，它描述了一个平面图形所占据的区域大小。
在现实生活和学习中，我们经常需要计算图形的面积，以求解各种问题。
面积的概念和计算方法有很多重要的知识点，下面将对这些知识进行总结。
一、基本概念1.面积的定义：面积是指平面上其中一个面或者图形所占据的区域大小。
2. 面积的单位：常用的面积单位有平方米（m²）、平方厘米（cm²）、平方毫米（mm²）等。
3.面积的符号：表示面积通常使用大写字母A表示。
二、常见平面图形的面积计算1.矩形：矩形的面积计算公式是A=长×宽。
2.正方形：正方形的面积计算公式是A=边长×边长。
3.三角形：三角形的面积计算公式是A=底×高÷24.平行四边形：平行四边形的面积计算公式是A=底×高。
5.梯形：梯形的面积计算公式是A=（上底+下底）×高÷26.圆：圆的面积计算公式是A=π×半径²（π取近似值3.14或3.1415）。
7.扇形：扇形的面积计算公式是A=弧长×半径÷2或A=半径²×弧度÷2（其中，弧度等于圆心角的度数除以360度再乘以2π）。
三、复杂图形的面积计算1.复杂图形的分解法：将复杂的图形分解成多个简单的图形，计算出各个简单图形的面积，再将各个简单图形的面积相加，即可得到复杂图形的面积。
这种方法适用于不规则图形、多边形等复杂图形的面积计算。
2.高度法：对于有高度的梯形、三角形等图形，可以利用垂直高度计算面积。
通过画高线，将图形分成上下两个部分，分别计算上下两部分图形的面积，再将两部分面积相加，即可得到整个图形的面积。
3.面积差法：对于有相似图形或同心图形的给定面积的图形，可以通过面积差法计算图形的面积。
将给定面积的图形与另一规定图形进行重合，计算重合图形的面积，再用给定面积减去重合图形的面积，即可得到所求图形的面积。
平面图形的周长和面积计算公式
小学数学图形计算公式
一、正方形（a表示边长，C表示周长，S表示面积）
正方形的周长=边长X4
字母表示为：C=4a
正方形的面积=边长＞边长
字母表示为：S=a X a
二、长方形（a表示长，b表示宽，C 表示周长，S表示面积）
长方形的周长=（长+宽）冷
公式：C= （a+b）X
长方形的面积=长＞宽
字母表示为：S=a X b
三、三角形（s面积a底h高）
三角形的面积二底＞高煜
字母表示为：s=a 0吃
三角形的高二面积＞2殒
字母表示为：h = s ＞为
三角形的底二面积＞2嘀
字母表示为：a = s ＞讳
四、平行四边形（a表示底，h表示高，S表示面积）
平行四边形的面积二底為
字母表示为：S= a ＞h
平行四边形的高=面积殒
字母表示为：h= s为
平行四边形的底=面积嚅
字母表示为：a= s讳
五、梯形（s表示面积，a表示上底，b 表示下底，h表示高。
）
梯形的面积=（上底+下底）嘀吃字母表示为：s=（a+b） Xi £
梯形的（上底+下底）=面积X2嘀字母表示为：a+b = s ^2讳
梯形的高=面积^2* （上底+下底）字母表示为：h = s ^2为+b。
平面图形和立体图形的区别
平面图形和立体图形的区别
1、概念不一样。
平面图形是存在于一个平面上的图形，立体图形是由一个或者多个平面形成的可以存在于现实生活的。
2、形体特点不一样。
平面图形是只有一个面，而立体图形有多个面组成，有上面、左面、侧面、下面等。
3、观察角度不一样。
平面图形只能从一个角度看，而立体图形是二个，三个甚至是多个角度去看。
拓展：
平面图形的周长和面积公式：
平面图形有长方形、正方形、三角形、平行四边形等，他们的周长和面积公式计算如下：长方形周长=（长+宽）x2，面积=长x宽。
正方形周长=边长x4，面积=边长x边长。
三角形周长=边长a+边长b+边长c，面积=底x高/2=ah/2.平行四边形周长=边长ax2+边长bx2，面积=底x高=ah。
面积的基本概念和计算
面积的基本概念和计算面积是几何学中的一个重要概念，用来描述平面图形所覆盖的面积大小。
在日常生活和学习中，我们经常会遇到需要计算或比较面积的情况，比如房屋的面积、学校的操场面积等。
因此，了解面积的基本概念和计算方法对我们的生活和学习都非常有帮助。
一、面积的基本概念面积是用来衡量平面图形所占空间的大小的一个数值。
在数学中，面积通常用单位平方来表示，如平方米、平方厘米等。
不同的平面图形有各自的面积计算方法，下面我们来介绍几种常见的平面图形及其面积计算方法。
1. 矩形的面积计算矩形是最常见的平面图形之一，其面积计算非常简单，只需要将矩形的长和宽相乘即可。
例如，一块长为5米，宽为3米的矩形地毯的面积为5米 × 3米 = 15平方米。
2. 正方形的面积计算正方形是特殊的矩形，其四条边长度相等。
因此，正方形的面积计算也非常简单，只需要将正方形的边长平方即可。
例如，一个边长为4厘米的正方形的面积为4厘米 × 4厘米 = 16平方厘米。
3. 三角形的面积计算三角形是由三条边和三个内角组成的平面图形。
计算三角形的面积需要用到高和底边的概念。
具体计算方法为将底边长度乘以高，然后除以2。
例如，一个底边长为6厘米，高为4厘米的三角形的面积为（6厘米 × 4厘米）÷ 2 = 12平方厘米。
二、面积的计算公式除了上述的基本面积计算方法外，还有一些更为复杂的图形的面积计算公式，下面我们来介绍几个常见的图形及其对应的面积计算公式。
1. 圆的面积计算圆是一个没有边界的几何图形，其面积计算需要用到圆周率π。
圆的面积计算公式为面积等于半径的平方乘以圆周率。
例如，一个半径为3厘米的圆的面积为3厘米 × 3厘米× π ≈ 28.27平方厘米。
2. 梯形的面积计算梯形是由两条平行的边和两条斜边组成的平面图形。
计算梯形的面积需要用到上底、下底和高的概念。
具体计算方法为将上底与下底之和乘以高，然后除以2。
面积的测量与计算
面积的测量与计算面积是一个常见的数学概念，它在日常生活和各个领域都有广泛的应用。
无论是建筑设计、地理学、农业还是物理学，面积的测量和计算都是基础而重要的技能。
本文将从不同角度探讨面积的测量方法和计算公式，并介绍一些实际应用。
一、平面图形的面积测量在平面图形中，最常见的图形是矩形和三角形。
测量矩形的面积非常简单，只需要将矩形的长和宽相乘即可。
例如，一块长为10米，宽为5米的矩形区域的面积为50平方米。
三角形的面积测量稍微复杂一些，但也有简便的公式。
如果我们知道三角形的底和高，可以使用公式“面积=底×高的一半”来计算。
例如，一个底长为8米，高为6米的三角形的面积为24平方米。
二、复杂图形的面积测量除了简单的矩形和三角形，我们还常常需要测量和计算复杂图形的面积，如圆形、梯形和多边形等。
测量圆形的面积需要使用圆周率π。
圆的面积计算公式为“面积=π×半径的平方”。
例如，一个半径为5米的圆的面积约为78.5平方米。
梯形的面积计算稍微复杂一些，需要知道上底、下底和高。
梯形的面积计算公式为“面积=（上底+下底）×高的一半”。
假设一个梯形的上底长为6米，下底长为10米，高为4米，那么它的面积为28平方米。
对于多边形，我们可以将其分割为若干个简单的图形，然后计算每个图形的面积，最后将它们相加得到整个多边形的面积。
这种方法被称为分割法。
例如，一个不规则四边形可以分割为两个三角形和一个矩形，然后分别计算它们的面积并相加。
三、面积的实际应用面积的测量和计算在日常生活中有许多实际应用。
举例来说，农民需要测量农田的面积，以便计算种植作物所需的土地面积和施肥的用量。
他们可以使用测量仪器或者将土地分割成规则的图形来测量和计算面积。
在建筑设计中，工程师需要测量房屋的面积，以便规划房间的布局和计算所需的建筑材料。
他们可以使用激光测距仪等工具来测量房间的长度和宽度，然后计算出房间的面积。
地理学家也需要测量地球上各个地区的面积，以便研究地球的地形和气候。
平面图形的面积公式
目录
一、长方形-形 五、圆形
一、长方形-矩形
长方形的面积等于底×高
二、平行四边形
1-沿高剪切平行四边形
2-形成一个直角三角形和一个直角梯形
3-将剪下的直角三角形粘到另一边
4-形成一个长方形，就可以按长方形面积 公式计算面积
五、圆形
三角形是最简单的平面
图形，任何一个平面图 形的面积都可以拆成很 多个三角形计算
1.计算原的面积就是把圆拆成无数三角形， 在拼接成一个平行四边形
2.平行四边形的长等于一半圆周，高等于 半径，按平行四边形公式就可以求圆面积
三角形是最简单的平面
图形，任何一个平面图 形的面积都可以拆成很 多个三角形计算
三、三角形
1-复制一个同样的三角形
2-将复制的旋转180度
3-拼成一个平行四边形，就可以按平行四 边形面积的一般计算三角形的面积
四、梯形
1-复制一个同样的梯形
2-将复制梯形旋转180度
3.和原梯形拼成一个平行四边形，按新平 行四边形的一半计算面积
4-加一辅助线（红线），将梯形分成两个 三角形更简单
平面图形的面积
= 2∫
π
0
1 + a cos xdx ,
2 2
设椭圆的周长为 s 2
s2 = ∫
2π
0
( x′) + ( y′) dt,
2 2
π
根据椭圆的对称性知
s2 = 2∫
= 2∫
0
π
(sin t )
2
+ (1 + a )(cos t ) dt
2 2
0
1 + a 2 cos 2 t dt
= 2∫
π
0
1 + a 2 cos 2 xdx = s1 ,
0 x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 xy ′ = y 2 y′ 1 积分 ⇒ 2 ln | y |= ln | x | + c 1 = ⇒ y x
∴ y = cx , 其中c = ± e .
2
c1
9 ∴ y = x , 因为 f ( x ) 为单调函数 2 3 2x. 所以所求曲线为 y = 2
例 3
计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
4
y ∈ [−2, 4] −
y2 dy = 18. A = ∫ y+4− −2 2
x = 1+sh dx =ch dx c c b x sh x b ∴ s =2∫ ch dx =2c c 0 0 c xb 1 x = 2csh (cch )′ =c⋅ sh c c c c
第24讲 , 平面图形的面积
第24讲平面图形的面积【探究必备】日常生活中我们经常计算各种图形的面积。
以前我们学习过长方形和正方形面积的计算，对于平行四边形、三角形和梯形我们可以用转化的方法把它们分别转化成已经学过的图形，从而推导出它们的面积公式。
计算平行四边形和三角形的面积时，关键是要找准底和高，计算它们的面积时底和高必须对应，即用于计算面积的底和高是互相垂直的。
三角形、梯形与平行四边形的关系：1. 两个完全相同的三角形或梯形可以拼成一个平行四边形。
2. 三角形或梯形的面积等于与它等底等高平行四边形面积的一半，平行四边形的面积等于与它等底等高的三角形或梯形面积的2倍。
3. 面积相等、高相等的三角形的底是平行四边形的2倍；面积相等、底相等的三角形的高是平行四边形高的2倍。
组合图形是由两个或两个以上的简单平面图形，通过拼合、重叠或位移变换后，组合成的较复杂的图形。
正确求出组合图形的面积要注意以下几点：1. 切实掌握有关简单图形的概念、公式、牢固建立空间观念。
2. 仔细观察，认真思考，看清组合图形由哪些基本图形组合而成的。
3. 常用的解题方法有分解法和割补法。
对于较复杂的组合图形，还要用到图形转换，把其中一部分图形进行平移、翻折、旋转、对称变换，使问题化难为易。
常需要画出辅助线，标出图形各部分之间的关系。
【王牌例题】例1、一个平行四边形的底是9分米，高是底的2倍，它的面积是多少平方分米？分析与解答：平行四边形的面积=底×高，要求平行四边形的面积关键是先求出平行四边形的高，因为高是底的2倍，所以它的高为9×2=18（分米），故它的面积是9×18=162（平方分米）。
例2、一个平行四边形的停车场，底是63米，高是25米。
平均每辆车占地15平方米，这个停车场可以停车多少辆？分析与解答：这是一道关于平行四边形面积的应用问题。
要求这个停车场可以停车多少辆，由于平均每辆车占地15平方米，首先应求出这个停车场有多少平方米，也就是求它的面积，即它的面积为63×25=1575（平方米），由于由于平均每辆车占地15平方米，因此这个停车场可以停车1575÷15=105（辆）。
平面图形面积计算公式 计算面积公式
计算面积公式平面图形名称正方形符号 a--边长 C＝4a 2S＝a C＝2(a+b) S＝ab S＝ah/2 ＝ab/2?sinC 1/2 ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)] 2 ＝asinBsinC/(2sinA) 周长C和面积S 长方形a和b－边长 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 d,D－对角线长α－对角线夹角三角形四边形 S＝dD/2?sinα a,b－边长平行四边形 h－a边的高α－两边夹角 a－边长α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长 S ＝ah ＝absinα菱形 S＝Dd/2 2 ＝asinα梯形 a和b－上、下底长 S＝(a+b)h/2 h－高＝mh m－中位线长 r－半径 d－直径 r--扇形半径 a--圆心角度数 l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径α－圆心角的度数 R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径 D－长轴 d－短轴 C＝πd＝2πr 2S＝πr 2 ＝πd/4 C＝2r＋2πr×(a/360) 2S＝πr×(a/360) S＝r/2?(πα/180-sinα) 221/2 ＝rarccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h) 2221/2 ＝παr/360 - b/2?[r-(b/2)] ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 2圆扇形弓形圆环 S＝π(R-r) 22 ＝π(D-d)/4 22椭圆 S＝πDd/4立方图形名称正方体符号 a－边长 a－长 b－宽 c－高 S－底面积 h－高 S－底面积 h －高 S1和S2－上、下底面积 h－高 S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高 r －底半径 h－高 C--底面周长 S底--底面积 S侧--侧面积 S表--表面积 R－外圆半径 r－内圆半径 h－高 r－底半径 h－高 r－上底半径 R－下底半径 h－高 r－半径 d－直径 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径 r1和r2－球台上、下底半径 h－高 S＝6a 3V＝a S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 2面积S和体积V 长方体棱柱 V＝Sh 棱锥 V＝Sh/3 棱台 V＝h[S1+S2+(S1S1)]/3 1/2拟柱体 V＝h(S1+S2+4S0)/6 圆柱 C＝2πr 2S底＝πr S侧＝Ch S 表＝Ch+2S底 V＝S底h 2 ＝πrh 空心圆柱 V＝πh(R-r) 22直圆锥 V＝πrh/3 2圆台 V＝πh(R＋Rr＋r)/3 22球 V＝4/3πr＝πd/6 V＝πh(3a+h)/6 2 ＝πh(3r-h)/3 2a＝h(2r-h) 2232球缺球台 V＝πh[3(r1＋r2)+h]/6 222圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－桶高 V＝2πRr 22 ＝πDd/4 22桶状体 V＝πh(2D＋d)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) 22V＝πh(2D＋Dd＋3d/4)/15 (母线是抛物线形) 22计算面积公式。
平面图形的周长与面积的关系
从前，有一个老人。他有六个儿子。一天，他把
六个儿子叫到跟前说：“孩子们，我已经老了。我 没有多少家产留给你们，只有院子里还有一块地，
就分给你们吧。”说着，老人拿出六根绳子，“你
们每人拿一根绳子到园子里去圈地，谁圈到多大一
块地，这块地就属于谁的。你们圈剩下来的地就还
留给我种吧。”
从前，有一个老人。他有六个儿子。一天，他把
说着老人拿出六根绳子说着老人拿出六根绳子你你们每人拿一根绳子到园子里去圈地谁圈到多大一们每人拿一根绳子到园子里去圈地谁圈到多大一块地这块地就属于谁的
平面图形的周长与面积关系
b a C = (a+b)×2 S = ab a 4a
r
C=
S=
a2
a
C = πd 或2πr 2 S = πr
h
h
h
S=
ah÷2
六个儿子叫到跟前说：“孩子们，我已经老了。我 没有多少家产留给你们，只有院子里还有一块地，
就分给你们吧。”说着，老人拿出六根绳子，“你
们每人拿一根这块地就属于谁的。你们圈剩下来的地就还
留给我种吧。”
通过这节课的学习，你有 哪些收获？你还有什么问题想 解决？
a
S = (a+b)h÷2
b
a
S = ah
古希腊哲学家芝诺
两个圆的外面就是我们无知 的部分。大圆的周长比小圆长。 那么大圆与无知部分接触的边 缘就多。
单位：厘米
6 5
7
5 4
5 5
9
8
想想、议议1：分别比较下面两组图形的周长和面 积，在每组中两个图形的周长相等吗？面积相等吗？
面积相等，周长不等 周长相等，面积不等 （平行四边形的周长比较长） （第一个图形的面积比较大）
数学分析10.1平面图形的面积
第十章 定积分的应用 1 平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a<b)和x 轴所围曲边梯形面积为：A=⎰b a f(x )dx=⎰ba y dx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=⎰b a |f(x )|dx=⎰ba |y |dx.公式2：上下两条连续曲线y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围的平面图形面积为：A=⎰ba 12(x )]-f (x )[f dx.例1：求由抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积A. 解法一：A 等同于由抛物线y=x 2与直线y=2x+3所围图形的面积. 解方程组：⎩⎨⎧=+= x y 32x y 2，得⎩⎨⎧==9y 3x , ⎩⎨⎧=-=1y 1x . ∴A=⎰-+312)x -3(2x dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332. 解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分， A 左=⎰--10)]x (x [dx=3⎰10x dx=34. A 右=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-9123-x x dx=312-9233-41-922+21)-(93⨯=328. A= A 左+ A 右=34+328=332.公式3：设曲线C 为参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=⎰'βα(t)x )t (y dt.例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=⎰-2π022)t cos 1(a dt=3πa 2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)， 且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为： A=⎰'βα(t)dt x )t (y 或A=⎰'βα(t)dt y )t (x .例3：求椭圆22a x +22by =1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=⎰2π02tdt abcos =πab.公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=⎰βα2d θ)θ(r 21. 证：如图，对区间[α,β]作任意分割T ：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn =β， 射线θ=θi (i=1,2,…,n-1)把扇形分成n 个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T 很小时，在每一个△i =[θi-1, θi ]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi ∈△i ，便有r(θ)≈r(ξi ), θ∈△i , i=1,2,…,n.这时，第i 个小扇形的面积△A i ≈21r 2(ξi)△θi , ∴A ≈∑=n1i 21r 2(ξi )△θi .当T →0时，两边取极限，就有A=⎰βα2d θ)θ(r 21.例3：求双纽线r 2=a 2cos2θ所围平面图形的面积. 解：如图，∵r 2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得： A=4·⎰4π02θdθ2cos a 21=a 2 sin2θ|4π0=a 2 .习题1、求由抛物线y=x 2与y=2-x 2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1), (1,1). ∴所围图形的面积为： A=⎰-1122)x -x -(2dx=38.2、求曲线y=|lnx|与直线x=101, x=10, y=0所围图形的面积. 解：所围图形的面积为： A=⎰10101|lnx |dx=-⎰1101lnx dx+⎰101lnx dx =-(xlnx|1101-⎰1101x dlnx)+ xlnx|101+⎰101x dlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y 2=2x 把圆x 2+y 2=8分成两部分，求这两部分面积之比. 解：问题等同于抛物线y=21x 2把圆x 2+y 2=8分成两部分，求面积比. 它们的交点为(2,2),(-2,2). 记两部分的面积为A 1,A 2，则A 1=⎰--2222)x 21x -8(dx=8⎰-4π4π2θcos d θ-38=2π+34；A 2=8π-A 1=6π-34.∴21A A =34-6π34+2π=2 -9π2 +3π.4、求内摆线x=acos 3t, y=asin 3t (a>0)所围图形的面积. 解：如图，所围图形面积为： A=4⎰'2π033dt |)t t(asin cos a |=12a2⎰2π024tdttsin cos=12a 2⎰2π024tdt tsin cos =83πa 2.5、求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)所围图形的面积. 解法一：根据心形线的对称性，得A=2·⎰+π022d θ)θcos 1(a 21=a 2⎰++π02d θ)θcos θcos 21(=23πa 2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cos θ)cos θ, y=a(1+cos θ)sin θ, θ∈[0,2π]， A=|⎰'++2π0d θ]θsin )θcos θ[a(1cos )θcos a(1| =a 2|⎰-+2π0234θ)dθθsin cos θcos 2θcos (2|=23πa 2.6、求三叶形曲线r=asin3θ (a>0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即 A=3⎰32π3π223θsin a 21d θ=⎰32π3π223θsin a 21d3θ=4πa 2.7、求曲线a x +by =1 (a,b>0)与坐标轴所围图形的面积. 解：曲线与x 轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为： A=b ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a0a x a x 21dx=6ab.8、求曲线x=t-t 3, y=1-t 4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t ∈[-1,1]围成封闭图形，即 A=|⎰'-11-43)t -)(1t t (dt|=4|⎰-11-46)t t (dt|=3516.9、求二曲线r=sin θ与r=3cos θ所围公共部分的面积. 解法一：化为圆的方程：x 2+(y-21)2=41, (x-23)2+y 2=43. 它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为： A=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-4302223y 4321-y 41dy=⎰-6π2π2t cos 41dt+⎰3π02t cos 43dt -833 =323+12π+3233+8π-833=245π-43. 解法二：由sin θ=3cos θ, 得tan θ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=⎰3π02θsin 21d θ+⎰2π3π2θcos 23d θ=-)1(cos2θ413π0-⎰d θ+⎰+2π3π1)(cos2θ43d θ =-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43) S 阴=S P OO 1扇形+S P OO 2扇形-S P OO 1∆ -S P OO 2∆ =3πOO 12+6πOO 22-21·43·OO 1-21·43·OO 2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22a x +22b y =1与22b x +22ay =1(a>b>0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222b a abb a ab ，. 根据图形的对称性，可得：A=8⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22baab022x a x 1b dx=4abarcsin 22b a b +-2222b a b 4a +.。
数学分析10.1平面图形的面积
第十章 定积分的应用1 平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a<b)和x 轴所围曲边梯形面积为：A=⎰b a f(x )dx=⎰ba y dx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=⎰b a |f(x )|dx=⎰ba |y |dx.公式2：上下两条连续曲线y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围的平面图形面积为：A=⎰ba 12(x )]-f (x )[f dx.例1：求由抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积A.？解法一：A 等同于由抛物线y=x 2与直线y=2x+3所围图形的面积. 解方程组：⎩⎨⎧=+= x y 32x y 2，得⎩⎨⎧==9y 3x , ⎩⎨⎧=-=1y 1x . ∴A=⎰-+312)x -3(2x dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332. 解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分， A 左=⎰--10)]x (x [dx=3⎰10x dx=34. A 右=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-9123-x x dx=312-9233-41-922+21)-(93⨯=328. A= A 左+ A 右=34+328=332.:公式3：设曲线C 为参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=⎰'βα(t)x )t (y dt.例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=⎰-2π022)t cos 1(a dt=3πa 2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)， 且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为：:A=⎰'βα(t)dt x )t (y 或A=⎰'βα(t)dt y )t (x .例3：求椭圆22a x +22by =1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=⎰2π02tdt abcos =πab.公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=⎰βα2d θ)θ(r 21.证：如图，对区间[α,β]作任意分割T：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn=β，<射线θ=θi(i=1,2,…,n-1)把扇形分成n个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T很小时，在每一个△i=[θi-1, θi]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi∈△i，便有r(θ)≈r(ξi), θ∈△i, i=1,2,…,n.这时，第i个小扇形的面积△A i≈21r2(ξi)△θi, ∴A≈∑=n1i21r2(ξi)△θi.当T→0时，两边取极限，就有A=⎰βα2dθ)θ(r21.-例3：求双纽线r2=a2cos2θ所围平面图形的面积.解：如图，∵r2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得：A=4·⎰4π2θdθ2cosa21=a2 sin2θ|4π=a2 .习题1、求由抛物线y=x2与y=2-x2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1), (1,1). ∴所围图形的面积为：A=⎰-1122)x-x-(2dx=38.{2、求曲线y=|lnx|与直线x=101, x=10, y=0所围图形的面积. 解：所围图形的面积为：A=⎰10101|lnx |dx=-⎰1101lnx dx+⎰101lnx dx =-(xlnx|1101-⎰1101x dlnx)+ xlnx|101+⎰101x dlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y 2=2x 把圆x 2+y 2=8分成两部分，求这两部分面积之比. 解：问题等同于抛物线y=21x 2把圆x 2+y 2=8分成两部分，求面积比.：它们的交点为(2,2),(-2,2). 记两部分的面积为A 1,A 2，则A 1=⎰--2222)x 21x -8(dx=8⎰-4π4π2θcos d θ-38=2π+34；A 2=8π-A 1=6π-34.∴21A A =34-6π34+2π=2 -9π2 +3π.4、求内摆线x=acos 3t, y=asin 3t (a>0)所围图形的面积. 解：如图，所围图形面积为： A=4⎰'2π033dt |)t t(asin cos a |=12a2⎰2π024tdttsin cos=12a2⎰2π024tdt tsin cos =83πa 2.【5、求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)所围图形的面积. 解法一：根据心形线的对称性，得A=2·⎰+π022d θ)θcos 1(a 21=a 2⎰++π02d θ)θcos θcos 21(=23πa 2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cos θ)cos θ, y=a(1+cos θ)sin θ, θ∈[0,2π]， A=|⎰'++2π0d θ]θsin )θcos θ[a(1cos )θcos a(1| =a 2|⎰-+2π0234θ)dθθsin cos θcos 2θcos (2|=23πa 2.,6、求三叶形曲线r=asin3θ (a>0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即 A=3⎰32π3π223θsin a 21d θ=⎰32π3π223θsin a 21d3θ=4πa 2.7、求曲线a x +by =1 (a,b>0)与坐标轴所围图形的面积. 解：曲线与x 轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为：A=b ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a0a x a x 21dx=6ab .$8、求曲线x=t-t 3, y=1-t 4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t ∈[-1,1]围成封闭图形，即 A=|⎰'-11-43)t -)(1t t (dt|=4|⎰-11-46)t t (dt|=3516.9、求二曲线r=sin θ与r=3cos θ所围公共部分的面积.解法一：化为圆的方程：x 2+(y-21)2=41, (x-23)2+y 2=43. 它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为： A=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-4302223y 4321-y 41dy=⎰-6π2π2t cos 41dt+⎰3π02t cos 43dt -833 =323+12π+3233+8π-833=245π-43. *解法二：由sin θ=3cos θ, 得tan θ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=⎰3π02θsin 21d θ+⎰2π3π2θcos 23d θ=-)1(cos2θ413π0-⎰d θ+⎰+2π3π1)(cos2θ43d θ =-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43) S 阴=S P OO 1扇形+S P OO 2扇形-S P OO 1∆ -S P OO 2∆ =3πOO 12+6πOO 22-21·43·OO 1-21·43·OO 2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22a x +22b y =1与22b x +22ay =1(a>b>0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2222b a abba ab，. 根据图形的对称性，可得：A=8⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22baab022x a x 1b dx=4abarcsin 22b a b +-2222b a b 4a +.。
平面图形面积计算公式
d－短对角线长
S＝Dd/2
＝a2sinα
梯形
a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长
S＝(a+b)h/2
＝mh
圆
r－半径
d－直径
C＝πd＝2πr
S＝πr2
＝πd2/4
扇形
r—扇形半径
a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×(a/360)
S＝πr2×(a/360)
弓形
l－弧长
b－弦长
h－矢高
r－半径
平面图形面积计算公式数列公式是数学中常考的内容下面查字典高中数学网小编跟大家分享一些关于平面图形面积计算公式希望能为同学们提供这方面知识的良好指导
平面图形
名称
符号
周长C和面积S
正方形
a—边长
C＝4a
S＝a2
长方形
a和b－边长
C＝2(a+b)
S＝ab
三角形
a,b,c－三边长
h－a边上的高
s－周长的一半
圆环体
R－环体半径
D－环体直径
r－环体截面半径
d－环体截面直径
V＝2π2Rr2
＝π2Dd2/4
桶状体
D－桶腹直径
d－桶底直径
h－桶高
V＝πh(2D2＋d2)/12
(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15
(母线是抛物线形)
＝π(D2-d2)/4
椭圆
D－长轴
d－短轴
S＝πDd/4
立方图形
名称
符号
面积S和体积V
正方体
a－边长
S＝6a2
V＝a3
长方体
小学面积知识点总结
小学面积知识点总结一、初步认识面积1. 什么是面积？面积是一个平面内所围成的空间大小的概念。
通常用来表示一个平面图形所占据的空间大小。
2. 面积的计算方法对于矩形和正方形，可以使用公式：面积=长×宽来计算。
对于三角形，可以使用公式：面积=底边×高÷2来计算。
对于圆形，可以使用公式：面积=π半径²来计算。
对于其他不规则图形，可以通过将其分成几个规则的图形，然后分别计算其面积再加起来得到其总面积。
3. 面积的单位面积的常见单位包括平方厘米（cm²）、平方米（m²）和平方千米（km²）等。
4. 面积的运算可以利用面积的计算公式进行面积的计算。
对于不规则图形，需要将其分解成规则图形进行计算。
二、矩形和正方形的面积1. 矩形和正方形的特点矩形和正方形是规则的四边形，其中矩形的对角线不相等，而正方形的对角线相等，因此其特点也略有不同。
2. 矩形和正方形的面积计算公式矩形的面积计算公式为：面积=长×宽正方形的面积计算公式为：面积=边长×边长3. 矩形和正方形的面积计算实例例如，一个矩形的长为6厘米，宽为4厘米，则其面积为6×4=24平方厘米。
一个正方形的边长为5厘米，则其面积为5×5=25平方厘米。
4. 计算练习通过练习，学生可以掌握矩形和正方形面积的计算方法，并且巩固对平方厘米、平方米和平方千米等面积单位的认识。
三、三角形的面积1. 三角形的特点三角形是一种三边形状的图形，其面积计算相对矩形和正方形稍微复杂一些。
2. 三角形的面积计算公式三角形的面积计算公式为：面积=底边×高÷23. 三角形的面积计算实例例如，一个三角形的底边为8厘米，高为6厘米，则其面积为8×6÷2=24平方厘米。
4. 计算练习通过练习，学生可以掌握三角形面积的计算方法，同时锻炼其对面积单位的换算能力。
平面图形与其直观图的面积关系及其应用
平面图形与其直观图的面积关系及其应用山东省济宁市实验中学（272023） 陈辉 刘粉新课标对学生作图能力的要求明显加强，因此，探究平面图形的直观图的性质很有必要．若记平面内的封闭图形为F ，在这个平面内建立直角坐标系后，按照斜二测画法（“横不变、纵减半、角45 ”）画出这个图形的直观图F '与原图形F 比较，形状有明显不同，并且由于图形在直角坐标系中的位置不同，得到相应的直观图的形状也可能不同．那么不同形状的直观图，它们的面积是否相等？倘若相等，那么它们的面积与原图形的面积有没有一定的比例关系？这就是本文予以解决的． 1 平面图形与其直观图的面积关系1.1 三角形与其直观图的面积关系(1)若ABC ∆的一边AB 与X 轴平行，如图1，则由斜二侧画法可作出其直观图C B A '''∆．由作法可得则其直观图C B A '''∆的高为 DE DE E D h ⋅=⋅⋅=⋅''='4245sin 2145sin ABC C B A S DE AB h B A S ∆'''∆⋅=⋅⋅='⋅''⋅=∴42422121 (2)若ABC ∆的任意一边不与X 轴平行，如图2，则过点A 作X 轴的平行线AD ，交BC 于点D ，则由1 可知ABCACD ABD ACD ABD D C A D B A C B A S S S S S S S S ∆∆∆∆∆'''∆'''∆'''∆⋅=+⋅=⋅+⋅=+=42)(424242由(1)、(2)可知，任意三角形的直观图的面积是原三角形面积的42倍，即ABC C B A S S ∆'''∆⋅=42（*） 1.2 多边形M 与其直观图M '的面积关系任意多边形M 可以分割为若干个三角形，不妨设为n 个，并设其面积分别为n S S S ,,,21 ，则由（*）式得其直观图M '的面积为1,,,21,2O D OD A D AD A B AB D E DE C E CE ''''''===''''==M S '多边形='++'+'=n S S S 21n S S S ⋅++⋅+⋅42424221 )(4221n S S S +++⋅=MS 多边形=由上可知，任意多边形的直观图的面积是原多边形面积的42倍，即M S '多边形M S 多边形42=1.3 曲边形N 与其直观图N '的面积关系(1)若曲边形N 为凸曲边形，如图3，设n A A A ,,,21 为其边缘的n 等分点，连接113221,,,,A A A A A A A A n n n - ，再连接131411,,,n A A A A A A -设n n A A A A A A A A A 11431321,,,-∆∆∆ 的面积为221,,,-n S S S ，设n n A A A A A A A A A 11431321,,,-∆∆∆ 的直观图'''∆'''∆'''∆-n n A A A A A A A A A 11431321,,, 的面积分别为'''-221,,,n S S S ，则)(221lim '++'+'=-+∞→'n n N S S S S 曲边形=1222)444limn n S S S -→+∞⋅+++⋅ 122()4limn n S S S -→+∞=+++ =N S 曲边形⋅42(2)若曲边形N 为凹曲边形，则将其分割若干个凸曲边形，证法同2． 由上可知，任意曲边形的直观图的面积是原曲边形面积的42倍，N S '曲边形N S 曲边形42=综上所述：任意平面图形的直观图的面积是原平面图形面积的42倍，即图3A i-1A 3F S '平面图形F S 平面图形42=2 平面图形与其直观图面积关系的应用例1 利用斜二侧画法画出一个平面图形的直观图是边长为1的正方形（如图4），则这个平面图形的面积为_______________．解：因为 S S 42=' 又1='S 所以，这个平面图形的面积为 2222='=S S ．例2 利用斜二侧画法画出一个周长为4的矩形的直观图，则此直观图的面积的最大值为_______________．解：设矩形的两邻边长分别为x 、x -2，则此直观图的面积的为42)22(42)2(42422=-+≤-=='x x x x S S 即此直观图的面积的最大值为42． 显然，利用此结直接接题比利用基本方法（斜二测画法画图）高效的多！作者简介：陈辉：男，山东泰安人，山东省济宁市实验中学二级教师。
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两个梯形上下底之和的一半与平行四边形 底相等即可
议一议，说一说
• 2、（2）把上底为8、下底为10的梯形分成 面积相等的平行四边形、三角形与梯形三部 分，你能完成吗？并用数据表示结果。
• 三角形的底等于梯形上下底之和 • 平行四边形的底等于梯形上下底之和的一半
平面图形的面积关系
课堂引入 这些平面图形的面积计算公式是什么？
公式梳理
s长方形=a×b
s平行四边形=a×h
s三角形=a×h÷2
s梯形=（b+a）×h÷2
画一画
• 活动要求：
•
请在下面的格子图内画出高为4厘米，
面积为20平方厘米的梯形。（每个小正方形
的边长为1厘米）
学以致用，解决问题
1、下面四个图形的面积相等，另外三个图形 的底各是多少？
课堂总结
通过这节课的 学习，你学到 了什么？
拓展训练
求出空白部分的面积
A 2E
D
B
F
C
10
8
9
9
18
10
议一议，说一说
• 2、（1）在上底为8、下底为10的梯形中 添上一条直线，使它分成面积相等的两部分 ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有几种不同的画法？并用数据表示出结 果。
说一说
•分3类情况： （1）分成两个面积一样的梯形。
两个梯形上下底之和相等即可
（2）分成两个面积一样的梯形和三角形。
两个梯形上下底之和与三角形底相等即可