圆与直线第二节
直线与圆的位置关系(第二课时)-高中数学获奖教案
2.5.1直线与圆的位置关系（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册)一、教学目标1.掌握利用直线与圆位置关系解决实际问题的一般方法；2. 掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程；3.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。
二、教学重难点1.利用直线与圆的位置关系解决实际问题的一般方法和思想；2.学生的数学抽象、数学转化能力与数学建模能力的培养。
三、教学过程（一）复习回顾1.直线与圆的位置关系的判断方法：直线Ax+By+C=0(A ,B 不同时为0)与圆(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0)的位置关系及判断：2. 直线与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB|，则有：(|AB|2)2＋d 2＝r 2，即|AB|＝2r2－d2. 3.过某点的圆的切线方程问题： （1）若点P(x0，y 0)在圆上，利用切线和圆心与点P 的连线垂直求解切线方程；(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线，常利用几何方法求解，即：圆心到切线的距离等于半径，设切线方程，利用待定系数法求解。
易错提示：直线方程的点斜式无法表示斜率不存在的直线【设计意图】以提问的方式，帮助学生复习前面所学知识，同时ppt 动态演示复习内容，给学生以直观的感受和提醒，为本节课内容做好铺垫。
（二）问题引入新课台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区的时间为多少？【设计意图】通过现实生活中的实例，让学生体会到数学源于生活并可以指导生活，感受数学的魅力（三）讲授新课例3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB =20m,拱高OP =4m,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑，求支柱A 2P 2的高度（精确到0.01m).问题1.如何建立适当的平面直角坐标系？（大家分组讨论，给出方案）（教师展示学生方案，引导学生回忆建立平面直角坐标系应该遵循的原则，选择最合适的坐标系。
第2节 直线与圆的位置关系
第2节直线与圆的位置关系【选题明细表】一、选择题1.(2012年高考北京卷)如图所示,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD 为直径的圆与BC交于点E,则( A )(A)CE·CB=AD·DB(B)CE·CB=AD·AB(C)AD·AB=CD2(D)CE·EB=CD2解析:根据CD是Rt△ABC的斜边AB上的高及CD是圆的切线求解.在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AD·DB.又CD是圆的切线,故CD2=CE·CB.∴CE·CB=AD·DB.故选A.2.(2013北京市海淀区期末)如图所示,PC与圆O相切于点C,直线PO 交圆O于A,B两点,弦CD垂直AB于E,则下面结论中,错误的结论是( D )(A)△BEC∽△DEA (B)∠ACE=∠ACP(C)DE2=OE·EP (D)PC2=PA·AB解析:由切割线定理可知PC2=PA·PB,所以选项D错误,故选D.二、填空题3.圆内接平行四边形一定是.解析:由于圆内接四边形对角互补,而平行四边形的对角相等,故该平行四边形的内角为直角,即该平行四边形为矩形.答案:矩形4.如图所示,已知☉O的直径AB与弦AC的夹角为30°,过C点的切线与AB的延长线交于P,PC=5,则☉O的半径为.解析:连接OC,则OC⊥CP,∠POC=2∠CAO=60°,Rt△OCP中,PC=5,则OC===.答案:5.如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,延长BC到E,已知∠BCD∶∠ECD=3∶2,那么∠BOD等于.解析:由圆内接四边形的性质可知∠A=∠DCE,而∠BCD∶∠ECD=3∶2,故∠ECD=72°,即∠A=72°,故∠BOD=2∠A=144°.答案:144°6.(2013高新一中、交大附中、师大附中、西安中学(五校)高三第三次模拟)以Rt△ABC的直角边AB为直径的圆O交斜边AC于点E,点D 在BC上,且DE与圆O相切.若∠A=56°,则∠BDE= .解析:连接OE,因为∠A=56°,所以∠BOE=112°,又因为∠ABC=90°,DE与圆O相切,所以O、B、D、E四点共圆,所以∠BDE=180°-∠BOE=68°.答案:68°7.(2012年高考湖北卷)如图,点D在☉O的弦AB上移动,AB=4,连接OD,过点D作OD的垂线交☉O于点C,则CD的最大值为.解析:圆的半径一定,在Rt△ODC中解决问题.当D为AB中点时,OD⊥AB,OD最小,此时DC最大,所以DC最大值=AB=2.答案:28.(2012年高考陕西卷)如图所示,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB= .解析:由相交弦定理可知ED2=AE·EB=1×5=5,又由射影定理,得DF·DB=ED2=5.答案:59.(2012宝鸡市高三质检)已知PA是☉O的切线,切点为A,PA=2 cm,AC 是☉O的直径,PC交☉O于点B,AB= cm,则△ABC的面积为cm2.解析:∵AC是☉O的直径,∴AB⊥PC,∴PB==1.∵PA是☉O的切线,∴PA2=PB·PC,∴PC=4,∴BC=3,∴S△ABC=AB·BC=(cm2).答案:10.(2013东阿一中调研)如图所示,AB是☉O的直径,P是AB延长线上的一点,过P作☉O的切线,切点为C,PC=2,若∠CAP=30°,则PB= .解析:连接OC,因为PC=2,∠CAP=30°,所以OC=2tan 30°=2,则AB=2OC=4,由切割线定理得PC2=PB·PA=PB·(PB+BA),解得PB=2.答案:211.(2013年高考天津卷)如图所示,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为.解析:∵AE为圆的切线,∴由切割线定理,得AE2=EB·ED.又AE=6,BD=5,可解得EB=4.∵∠EAB为弦切角,且AB=AC,∴∠EAB=∠ACB=∠ABC.∴EA∥BC.又BD∥AC,∴四边形EBCA为平行四边形.∴BC=AE=6,AC=EB=4.由BD∥AC,得△ACF∽△DBF,∴==.又CF+BF=BC=6,∴CF=.答案:12.(2013年高考广东卷)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC= .解析:连接OC,因CE是☉O的切线,所以OC⊥CE,即∠OCE=90°,又因AB是直径,所以∠ACB=∠ACD=90°,即∠OCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD=90°,得∠OCA=∠DCE,又因OC=OA,所以∠OCA=∠OAC,则∠BAC=∠DCE,又因AC⊥BD,BC=CD,易证AB=AD,得∠ABC=∠ADC,即∠ABC=∠CDE,所以△ABC∽△CDE,所以=,即BC2=AB·ED=12,所以BC=2.答案:2三、解答题13.(2013山西省康杰中学高三第二次模拟)如图所示,AD平分∠BAC且其延长线交△ABC的外接圆于点E.(1)证明:△ABE∽△ADC;(2)若△ABC的面积S=AD·AE,求∠BAC的大小.(1)证明:由已知条件,可得∠BAE=∠CAD,因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD,故△ABE∽△ADC.(2)解:因为△ABE∽△ADC,所以=,即AB·AC=AD·AE,又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE,故AB·ACsin∠BAC=AD·AE,则sin∠BAC=1,又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°.14.(2013宁夏银川一中第一次月考)如图所示,已知PE切圆O于点E,割线PBA交圆O于A,B两点,∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C,D.(1)求证:CE=DE;(2)求证:=.证明:(1)∵PE切圆O于E,∴∠PEB=∠A,又∵PC平分∠APE,∴∠CPE=∠CPA,∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA,∴∠CDE=∠DCE,即CE=DE.(2)因为PC平分∠APE,∴=,又PE切圆O于点E,割线PBA交圆O于A,B两点,∴PE2=PB·PA,即=,∴=.15.AF是圆O的直径,B,C是圆上两点,AB与AC的延长线分别交过点F的切线于点D,E.求证:(1)B,C,E,D四点共圆;(2)AB·AD=AC·AE.证明:(1)连接BF,∵AF是圆O的直径,DE与圆O切于点F,∴AF⊥DE.又点B在圆O上,∴∠ABF=90°,∠AFB=∠D.又∠AFB=∠ACB,∴∠ACB=∠D,而∠ACB是四边形BDEC的一个外角,∴B,C,E,D四点共圆.(2)由(1)知B,C,E,D四点共圆,∴AB·AD=AC·AE.16.(2014吉林省白山市第一中学高三8月摸底)如图所示,△ABC内接于☉O,AB=AC,直线MN切☉O于点C,弦BD∥MN,AC与BD相交于点E.(1)求证:△ABE≌△ACD;(2)若AB=6,BC=4,求AE长.(1)证明:∵BD∥MN,∴∠BDC=∠DCN,∵直线MN是圆的切线,∴∠DCN=∠CAD,又∠BAC=∠BDC,∴∠BAC=∠CAD,即∠BAE=∠CAD,在△ABE和△ACD中,AB=AC,∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD,∴△ABE≌△ACD.(2)解:∵∠EBC=∠BCM,∠BCM=∠BDC,∴∠EBC=∠BDC=∠BAC,∴BC=CD=4,又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC =∠ACB,∴BC=BE=4,设AE=x,易证△ABE∽△DCE,∴==⇒DE=x.又AE·EC=BE·ED,EC=6-x,∴4·x=x(6-x),解得x=.。
直线和圆的位置关系2
课外练习
如图，一热带风暴中心O距A岛为2千米，风
暴影响圈的半径为1千米.有一条船从A岛出发沿
AB方向航行，问∠BAO的度数是多少时船就会进 入风暴影响圈？
B A O
挑战自我！
如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC, ∠C= 30° ，AD=1，AB=2.
试猜想在BC是否存在一点P，使得⊙P与线段CD、
AB都相切，如存在，请确定⊙P的半径.
A D
B
30
C
； http://gzsn.pro 广州SN ；
面蛮族の头领,那名蛮皇级别の练家子,眼看着自己の子弟竟然在短短の两分钟内,死伤过半,愤怒の大吼起来.双手拍打着胸前恐怖の肌肉,不再去管,还在自相残杀の蛮族子弟,愤然の一跃,如同一只发狂の公牛般,朝白重炙这边の小队冲来. "夜十七你去顶住他,月仙姑,你配合风蒙干掉这大 个子." 夜十三看了一眼冲过来の蛮族蛮皇,不以为意,淡淡の说道.从队伍中派出三名诸侯境强者,前去堵截他.这名蛮皇虽然防御超强,刚才の几轮攻击,他没有受到丝毫伤害.但是在三名诸侯境强者攻击下,应该跑不了了. 夜十三安排好后,再次朝蛮族小队望去,却发现少部分没有受伤の蛮族 竟然开始四处散开横冲直撞疯狂の逃跑开去,连忙快速下令起来："不好！要跑了,白家子弟,全体冲锋！花家刺客和风家剑客速度刺杀逃跑蛮族……额！蛮皇开始逃跑了,夜十七快留下他！" 白重炙手握着青龙匕,早就在等夜十三下令.此刻一听到冲锋,便犹如一只发情の公牛般,横冲而去,而 他身旁の两名负责临时保护他の元帅境三重白家子弟,连忙跟上.这小祖宗要是受伤了,他们可是会被夜十三给骂死の. "咻！" 白重炙丝毫不含糊,也不顾及身后の两名临时保镖の呼声.一百米距离,瞬间即到.对着迎面朝他冲来の一名高大蛮族,直接一个灵魂眩晕,然后青龙匕温柔划过,蛮族 那坚硬如铁の脖子竟然如铁被撕裂の白纸般,赫然出现一个血红の口子,而后一股血剑恍如不要钱般,急涌而出…… 额！秒杀? 身后の两名元帅境の练家子一愣.纷纷睁大了眼睛,相互对视一眼.这名蛮族按照身材比例,估计最少都是蛮帅级别の练家子啊?寒公子竟然可以秒杀?然而他们一愣之 后,却发现白重炙犹如一条泥鳅般,竟然钻入了蛮族群中. 两人心中大骇,连忙不敢多想,速度战气全力运转,手中の长刀出现一道道闪亮吞吐不停の刀芒.挥舞着长刀跟着白重炙杀入蛮族族群中,身后の一群白家子弟,也全部犹如下山の猛虎般,扑进了蛮族这群羔羊中.虽然按照身材の比例来看, 怎么看都是他们像羔羊…… 花家额刺客也在第一时间现身,联合风家の剑客们开始拦截起四处逃逸の蛮族.只是很明显,这些没有受太重伤害,并且在第一时间反应过来,四处奔逃の蛮族,都是高手,基本来最少都是蛮将蛮帅级别.这些蛮族,似乎不顾及紧贴身后の风家剑客,也不去看在他们头 顶上呼啸而过の风家御空飞行の长剑,也不去管突然出现の花家刺客.只是挥舞着粗大の手臂,胡乱挥舞着,护住头部,然后朝着一个方向,犹如一个巨型移动の铁人般.疯狂の横冲直撞奔跑着.风家の飞剑,将他们の裸露の身体划得伤痕累累,血流不止,花家の刺客,诡异の刺杀都没有停止他们の 步伐.他们恐怖の防御力给了他们足够の本钱,他们只知道,一直逃,他们就有机会活下去…… 很明显蛮族の这种看似莽撞,甚至有些怯弱の表现,成功让风家和花家の追杀者不知所措了.在追杀了几里之后,无奈の选择了放弃,按照以往の计划,追杀不能超过预定距离,否则容易造成被反伏击. 猎杀了几名倒霉蛋之后,风家花家子弟,迅速回防. 夜十七、月仙姑和风蒙也同样遇到了相同の困扰. 蛮族小队の这名蛮皇一开始,疯狂の朝自己这方の阵营冲过来时候.他们三人在夜十三の命令之下,迅速摆好阵型,准备把这个大个子给留在这里.只是这个看似傻乎乎の大个子,在半路竟然突 然转向,让后速度陡然提升,开始疯狂逃跑起来.夜十七他们一愣,立刻反应过来,三人飞快地跟了上去,想留下蛮皇. 只是这名蛮皇の防御力超级强悍,而且始终闭着眼睛,护着头部,只是一个劲の疯跑着.他这一闭眼一抱头,月家和风家の诸侯境强者便没办法了,月家幻术只能通过眼睛攻击.风 家の飞剑虽然能刺破蛮皇の皮肉,但是这点小伤对于三米多高の蛮皇来说不算什么.夜十七の气场一直笼罩着蛮皇,手中の长刀也是刀芒闪耀.无奈这名蛮皇防御太强全身紧要部位都被灰色の皮甲包裹,不能对他造成严重の伤害……最终在追杀了十多里路之后,三人望着笔直跳落一个断崖の蛮 皇无奈の摇了摇头,没有继续追下去,打道回府了. 额……十多里路,以他们の速度,几个呼吸就迅速折回了.只是回到原先の场地他们却看到奇异の一幕,让他们集体一怔.他们看到白家子弟集体围着一群蛮族,围而不攻.而蛮族群中一个全身都是血迹の黑衣青年,竟然独自一人在群战一群蛮族. 不！不是群战,而是**裸地屠杀！ 当前 第壹0壹章 零９２章 首战告捷（下） 壹0壹章首战告捷（下） 黑衣青年手持青『色』匕首,脚踩着诡异の步伐,在几十名蛮族中犹如一跳滑腻の泥鳅般,左右穿行,步伐潇洒飘逸,俨如一名翩翩起舞の舞者.而他の手中の青『色』匕首,随着他脚步の飘 动,不时の他眼中闪出一怔妖异の光芒,让一名靠近过来の蛮族顿时一顿,然后他匕首施施然の在傻愣当场の蛮族脖子上轻轻一划.蛮族の脖子上顿时裂开一道婴儿嘴般红嫩の口子,瞬间一股血剑激『射』而出,然后这么蛮族鼓着大大の双眼,轰然倒地…… "我靠！十七,你家公子什么时候那么 猛了?他眼中の光芒是月家幻术?手中の青『色』匕首最少都是宝器吧?夜青牛太上长老の奔牛步,怎么在这小子脚下变得那么潇洒飘逸了?" 风蒙『摸』了『摸』脑袋,贪婪の望着白重炙手中の青『色』匕首.要知道如果他手上有一把白重炙手中の宝器の话,那名蛮皇就绝对跑不了了,直接可 以秒杀啊……不过想归想,他确知道这宝器是可遇不可求の,要知道宝器级别以上,那可是大陆上所有の匠师都不能制造の.大陆上稀少の宝器,以及双手可数の圣器,都只能从一个地方侥幸获得.那就是大陆第一绝地——落神山.而以他の实力,进落神山去,则十有**会陨落…… 月仙姑,当然不 是仙姑,也没有仙女の气质.这名月家の带队の诸侯境强者,没有丝毫强者气质,成熟漂亮の脸孔时刻『荡』漾着勾魂夺魄の妩媚,反而有些像青楼内の老鸨,此刻她看着白重炙眼中闪过の妖异光芒,淡淡の峨眉蹙起,不解说道："不对啊,这小子用得好像不是月家の幻术,速度比月家の快,『迷』 『惑』の时间也更久,而且他虽然是月水儿の儿子,但是没听说过男子能进行月家血脉觉醒啊.学习月家幻术啊?这小子,秘密还真多……"[ "嘿嘿！这当然,我告诉你们,白重炙可是内定の未来夜世家长！" 夜十七当然知道白重炙眼中の光芒是他の合体战技,不过他当然不会傻乎乎の告诉所有 人,白重炙有圣智,有逆天の合体技能.只是看着面前这个逐渐成长起来の青年,想着他亲和没有丝毫架子の笑容,以及和他们极为亲切关系.日后一旦白重炙成为夜世家长,他们和夜十三の日子,想必不会过得太差吧…… 月倾城和夜轻舞两人の表情极其复杂.月倾城看着在蛮族群中"翩翩起舞" 带着浓浓の艺术气息の一步杀一人の白重炙,灵动の眸子一阵『迷』离,这就是就她未来の男人,与之共度一生の男人. 想着白重炙在前去静湖岛の小船上,自信从容地解说自己『吟』唱の曲调,并且一眼就认出了她の身份.想着白重炙在静湖岛上,白重炙豪迈睥睨天下那首《破阵子》.心中暗 叹自己当初の选择没有错,既然没错,那就一路走下去吧…… 夜轻舞当然见过白重炙杀人,在白家堡醉心园の时候,白重炙滔天一怒,暴起杀人.也是这种妖异の光芒一闪,然后把帝王境の夜荣直接给秒杀了.想着醉心园内,那傲然站立の年轻身影,此刻已经从一名青涩の青年逐渐成熟起来.看着 一眼『迷』醉爱慕眼神の月倾城,想着那日在醉心园,毫无考虑,直接灵魂献祭,の那名白衣白发の夜轻语.夜轻舞心里涌起一股莫名の情愫,有些酸楚,有些妒忌,还有茫然…… 这场屠杀,没有持续多少时间.看着最后一名蛮族倒在地上,白重炙抬手擦了擦脸上の血迹,但却感觉越擦越脏.没有时 间去想为何众人集体在看着自己.只是快速の将手在衣服上擦了擦,开始更加忙碌起来. 众人也开始忙碌起来,把尸体开始集中起来,等着白重炙收取积分.一番,是
直线与圆的位置关系(第2课时)(课件)高二数学同步备课(人教A版2019选修一)
1
∵r＝2
4 1+λ
2
+ 4−λ
8
2
− 4 1 + 4λ
1
＝2
5 λ−
8 2
5
26
+
16
5
12
≥
1
2
37
16
2 5
＝
，
5
5
∴当λ＝ 5时，半径长r最小，此时圆的方程为x2＋y2＋ 5 x－ 5 y＋ 5 ＝0，
即 +
13 2
＋
5
6
4
− 5 2＝ 5.
（三）典型例题
(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点．
(3)尽量使已知点位于坐标轴上．
（三）典型例题
【巩固练习2】有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每
公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总
费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题
，提升数学运算的核心素养。
学目标
1.能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养；
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.
【做一做1】(教材P95练习3改编)直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为( C
A．2 2
B. 2－1
C．2 2－1
D．1
【做一做2】(教材P93例3改编)一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，
初中数学教学课件：直线和圆的位置关系(第2课时)(人教版九年级上)
跟踪训练
1. 如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C 在圆上,∠CAB=30°. 求证:DC是⊙O的切线.
证明: 连接OC、BC.
由AB为直径可得∠ACB=90°.
∠A=30°，可得BC= 1 AB=OB， 2
A
∠ABC= 60°，又BD=OB ∴ BC=BD，
∠BCD=30°
1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线. 2.数量法(d=r):到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. 3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆 的切线. 即：若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心， 说明直线垂直于经过这点的半径；若直线与圆的公共点未 指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长 等于圆的半径．
几何应用: ∵OA⊥l,∴l是⊙O的切线.
已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?
例题
【例1】直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证: 直线AB是⊙O的切线. 证明: 连结OC ∵OA=OB, CA=CB ∴△OAB是等腰三角形, OC是底边AB上的中线 ∴OC⊥AB ∴AB是⊙O的切线
【解析】由题意知该圆的半径为3，而直线DC到圆心 的距离即直线DC到AB的距离为４，所以相离. 答案：相离
3.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC 于点D，过点E作DE⊥AC 于点E．求证：DE是⊙O 的切线．
证明: 连接OD，则OD=OB,∠B=∠1.
∵AB=AC ,∴∠B=∠C ,∴∠1=∠C.
3.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于点D,以点D
为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明AC是⊙D的切线.
直线和圆的位置关系说课稿
人教版数学九年级上册第二十四章第二节直线和圆的位置关系说课稿《24.2.2直线和圆的位置关系》说课稿沽源县小厂中学宋丽娟各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的内容是《直线和圆的位置关系》，这是人教版九年级第二十四章《圆》第二节的内容。
这节课分两个课时，我说的是第一课时。
我将从教材分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析这四个方面对本节课进行阐述。
一、教材分析（一）教材的地位和作用“直线和圆的位置关系”是在学习了点和圆的位置关系后学习的内容之一，直线和圆的位置关系及其性质是研究直线型与圆的有关性质的基础，是圆这一章的中心内容。
从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的性质和判定、圆和圆的位置关系的基础。
从数学思想方法的层面上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比等数学思想方法，有助于提高学生的数学思维品质。
因此，直线和圆的位置关系在圆一章中起着承上启下的作用。
在直线和圆的位置关系中，相切关系是特殊的位置关系，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面。
（二）学情分析九年级学生好奇心强，活泼好动、注意力易分散、爱发表见解，希望得到老师的表扬，对亲身体验的事物容易激发求知的渴望。
在教学中应抓住这一心理特征，一方面要创造条件和机会适时提问，让更多的学生敢于发表见解；另一方面要想方设法，引导学生深入思考、主动探究、主动获取新知识。
我根据教材的地位和作用，以及学生特点，制定了如下的教学目标。
（三）教学目标（1）知识目标：1、知道直线和圆相交、相切、相离的定义。
2、能根据定义来判断直线和圆的位置关系3、能根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置。
（2）能力目标：体验数学活动中的探索与创造，培养学生的观察、归纳能力，以及分析问题，解决问题的能力。
（3）情感目标：1、体会事物间的相互渗透，初步掌握转化的思想；2、感受数学思维的严谨性，并在合作学习中获得成功的体验。
直线和圆的位置关系2
C O B
• 例2、如图，⊙C的半径是1，∠A=300， AC=2，求证：AB是⊙C的切线.
C
A
B
注：本例也是证明一条直线是圆的切线，但与前面的例子不同 之处在于前面已经知道圆与直线有公共点，连接后证明垂直运 用判定定理可得切线。这里却不知道圆与直线是否有公共点， 我们无法进行连接，因此我们可以作垂直得到d，再证明d=r， 从而得证.
直线和圆的位置关系(2) 切线判定定理
直线与圆的 位置关系
相交
O r d A B l
相切
O r d A
相离
O r d l
图
形
l
公共点个数
公共点名称
直线名称 圆心到直线距 离d与半径r的 关系
2个 交点 割线
1个 切点 切线
没有
d<r
d=r
d>r
切线的性质定理
• 定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
思考：定点C在圆的什么位置？
例4 作经过一定点C的圆的切线． A
P
C O B (1)点C在圆上． 作法：连接OC，过 点C作AB⊥OC．则 直线AB就是所要作 的切线． 证明：直线AB经过点 C，并且AB⊥OC．由 切线的判定定理可知， AB就是⊙O的切线， 切点是点C．
P′ O. O1 C
作法：连接OC, 以OC为直径的 圆为⊙O1，与 ⊙O 相交于两点 P和P′.连接CP和 CP′,则CP和CP′ 都是过已知点C 所引⊙O的切 线．
例3 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D， DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线．
高中数学必修2直线与圆的位置关系2
利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
求出其Δ的值
比较Δ与0的大小: 当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时, 直线与圆相 切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。
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直线与圆的位置关系
已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与 圆C相交？
直线与圆的位置关系
问题1：你知道直 线和圆的位置关系
有几种？
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例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x2y22y40，判断直线L与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标。
分析：方法一，判
断直线L与圆的位置关 系，就是看由它们的方 程组成的方程有无实数
解；方法二，可以
到台风的影响． y
B
0
A
x
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
①代数法：通过直线
方程与圆的方程所组成的 方程组成的方程组，根据 解的个数来研究，若有两 组不同的实数解，即⊿＞ ０，则相交；若有两组相 同的实数解，即⊿＝０， 则相切；若无实数解，即 ⊿＜０，则相离．
②几何法：由圆心
到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时， 直线与圆相交；当d=r时， 直线与圆相切；当d>r时， 直线与圆相离．
r2d22( 7)2 b1
故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9
或(x+3)2+(y+1)2=9。
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例1：过点P（1，-1）的直线L与圆M:
(x-3)2+(y-4)2=4
必修二示范教案直线与圆的位置关系 第2课时
第2课时导入新课思路1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？图2分析：如图2,以台风中心为原点O,以东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9；轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①过圆上一点可作几条切线？如何求出切线方程？②过圆外一点可作几条切线？如何求出切线方程？③过圆内一点可作几条切线？④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗？⑤如何求直线与圆的交点？⑥如何求直线与圆的相交弦的长?讨论结果：①过圆上一点可作一条切线,过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有一个实根的充要条件——Δ=0去求出k的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.③过圆内一点不能作圆的切线.④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、弦长、半径之间的关系来求.应用示例思路1例1 过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.图3解:如图3,方法一:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),因此由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1),2(22y x x k y 得x 2+k 2(x+2)2=1. 上述一元二次方程有一个实根,Δ=16k 4-4(k 2+1)(4k 2-1)=12k 2-4=0,k=±33, 所以所求切线的方程为y=±33(x+2). 方法二:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),由于圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),所以d=21|2|k k +=1,解得k=±33. 所以所求切线的方程为y=±33(x+2). 方法三：利用过圆上一点的切线的结论.可假设切点为(x 0,y 0),此时可求得切线方程为x 0x+y 0y=1.然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x 0=1,从中解得x 0=-21. 再由点(x 0,y 0)在圆上,所以满足x 02+y 02=1,既41+y 02=1,解出y 0=±23. 这样就可求得切线的方程为22102320+--±=+-x y , 整理得y=±33(x+2). 点评:过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r”比较好(简便).变式训练已知直线l 的斜率为k,且与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,求直线l 的方程.活动：学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解.图4解:如图4,方法一:设所求的直线方程为y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的半径,得 d=21||k b +=r,∴b=±r 21k +,求得切线方程是y=kx±r 21k +.方法二:设所求的直线方程为y=kx+b,直线l 与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,所以它们组成的方程组只有一组实数解,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=222,ry x b kx y ,得x 2+k 2(x+b)2=1,即x 2(k 2+1)+2k 2bx+b 2=1,Δ=0得b=±r 21k +,求得切线方程是y=kx±r 21k +.例2 已知圆的方程为x 2+y 2+ax+2y+a 2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a 的取值范围.活动：学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题及时处理,利用几何方法,点A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径.解:将圆的方程配方得(x+2a )2+(y+1)2=4342a -,圆心C 的坐标为(－2a ,－1),半径r=4342a -, 条件是4－3a 2＞0,过点A(1,2)所作圆的切线有两条,则点A 必在圆外,即22)12()21(+++a ＞4342a -. 化简,得a 2+a+9＞0,由⎪⎩⎪⎨⎧>->++,034,0922a a a 解得－332＜a ＜332,a ∈R . 所以－332＜a ＜332. 故a 的取值范围是(－332,332).点评:过圆外一点可作圆的两条切线,反之经过一点可作圆的两条切线,则该点在圆外.同时注意圆的一般方程的条件.思路2例1 已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线l 的方程. 活动：学生思考或讨论,教师引导学生考虑问题的思路,求直线l 的方程,一般设点斜式,再求斜率.这里知道弦长,半径也知道,所以弦心距可求,如果设出直线的方程,由点到直线的距离等于弦心距求出斜率；另外也可利用弦长公式,结合一元二次方程根与系数的关系求解.解法一：将圆的方程写成标准形式有x 2+(y+2)2=25,所以圆心为(0,-2),半径为5.因为直线l 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45,所以弦心距为22)52(5-=5,圆心到直线的距离为5,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l 的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0. 根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为5,因此d=1|332|2+-+k k =5,两边平方整理得2k 2-3k-2=0,解得k=21,k=2. 所以所求的直线l 的方程为y+3=21(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0. 解法二：设直线l 和已知圆x 2+y 2+4y-21=0的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l 的斜率为k,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l 的方程为y+3=k(x+3),即y=kx+3k-3.代入圆的方程x 2+y 2+4y-21=0,并整理得(1+k 2)x 2+2k(3k-1)x+(3k-1)2-25=0.结合一元二次方程根与系数的关系有x 1+x 2=21)13(2k k k +--,x 1·x 2=22125)13(k k +--. ① |AB|==-+=-+-=-+-22122212221221221))(1()()()()(x x k x x k x x y y x x ]4))[(1(212212x x x x k •-++因为|AB|=45,所以有(1+k 2)［(x 1+x 2)2-4x 1·x 2］=80. ② 把①式代入②式,得(1+k 2){［21)13(2kk k +--］2-422125)13(k k +--}=80.经过整理,得2k 2-3k-2=0,解得k=21,k=2.所以所求的直线l 的方程为y+3=21(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.点评:解法一突出了适当地利用图形的几何性质有助于简化计算,强调图形在解题中的作用,加强了数形结合;解法二是利用直线被曲线截得的弦长公式求出斜率后求直线方程,思路简单但运算较繁.变式训练已知圆C ：x 2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证：对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点;(2)设l 与圆C 交于不同两点A 、B,若|AB|=17,求l 的倾斜角;(3)求弦AB 的中点M 的轨迹方程;(4)若定点P(1,1)分弦AB 为PB AP =21,求此时直线l 的方程. 解:(1)判断圆心到直线的距离小于半径即可,或用直线系过定点P(1,1)求解;点P(1,1)在圆内.(2)利用弦心距、半径、弦构成的直角三角形求弦长,得m=±3,所以α=3π或32π. (3)设M 的坐标为(x,y),连结CM 、CP,因为C(0,1),P(1,1),|CM|2+|PM|2=|CP|2,所以x 2+(y-1)2+(x-1)2+(y-1)2=1,整理得轨迹方程为x 2+y 2-x-2y+1=0(x≠1).(4)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由PB AP =21,得21212++x x =1. ① 又由直线方程和圆的方程联立消去y,得(1+m 2)x 2-2m 2x+m 2-5=0, (*) 故x 1+x 2=2212m m +,② 由①②,得x 1=2213m m ++,代入(*),解得m=±1. 所以直线l 的方程为x-y=0或x+y-2=0.例2 已知直线l:y=k(x+22)与圆O:x 2+y 2=4相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,△ABO 的面积为S,①试将S 表示成k 的函数S(k),并指出它的定义域；②求S 的最大值,并求出取得最大值时的k 值.活动：学生审题,再思考讨论,教师提示学生欲求△ABO 的面积,应先求出直线被圆截得的弦长|AB|,将|AB|表示成k 的函数.图5解:①如图5所示,直线的方程为kx-y+22k=0(k≠0),点O 到l 之间的距离为|OC|=1||222+k k ,弦长|AB|=22222221141842||||k k k k OC OA +-=+-=-， ∴△ABO 的面积S=21|AB|·|OC|=2221)1(24k k k +-•， ∵|AB|＞0,∴-1＜k ＜1(k≠0).∴S(k)=`2221)1(24k k k +-•(-1＜k ＜1且k≠0).②△ABO 的面积S=21|OA|·|OB|sin ∠AOB=2sin ∠AOB, ∴当∠AOB=90°时,S max =2,此时|OC|=2,|OA|=2,即1||222+k k =2,∴k=±33. 点评：在涉及到直线被圆截得的弦长时,要巧妙利用圆的有关几何性质,如本题中的Rt △BOC,其中|OB|为圆半径,|BC|为弦长的一半.变式训练已知x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0,求x-2y 的最大值.活动:学生审题,再思考讨论,从表面上看,此问题是一个代数,可用代数方法来解决.但细想后会发现比较复杂,它需把二次降为一次.教师提示学生利用数形结合或判别式法.解法一:(几何解法)：设x-2y=b,则点(x,y)既在直线x-2y=b 上,又在圆x 2+y 2-2x+4y=0上,即直线x-2y=b 和圆x 2+y 2-2x+4y=0有交点,故圆心(1,-2)到直线的距离小于或等于半径, 所以5|5|b -≤5.所以0≤b≤10,即b 的最大值是10.解法二:(代数解法)：设x-2y=b,代入方程x 2+y 2-2x+4y=0,得(2y+b)2+y 2-2(2y+b)+4y=0,即5y 2+4by+b 2-2b=0.由于这个一元二次方程有解,所以其判别式Δ=16b 2-20(b 2-2b)=40b-4b 2≥0,即b 2-10b≤0,0≤b≤10.所以求出b 的最大值是10.点评:比较两个解法,我们可以看到,数形结合的方法难想但简单,代数法易想但较繁,要多练习以抓住规律.例3 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2=25,直线l ：(2m+1)x+(m+1)y －7m －4=0(m ∈R ).(1)证明不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.活动：学生先思考,然后讨论,教师引导学生考虑问题的方法,由于直线过定点,如果该定点在圆内,此题便可解得.最短的弦就是与过定点与此直径垂直的弦.解:(1)证明：因为l 的方程为(x+y －4)+m(2x+y －7)=0.因为m ∈R ,所以⎩⎨⎧=-+=-+.04,072y x y x ,解得⎩⎨⎧==,1,3y x 即l 恒过定点A(3,1).因为圆心C(1,2),｜AC ｜=5＜5(半径),所以点A 在圆C 内,从而直线l 恒与圆C 相交于两点.(2)弦长最小时,l ⊥AC,由k AC =－21,所以l 的方程为2x －y －5=0. 点评：证明直线与圆恒相交,一是可以将直线与圆的方程联立方程组,进而转化为一元二次方程,根据判别式与0的大小来判断,这是通性通法,但过程繁琐,计算量大；二是说明直线过圆内一点,由此直线与圆必相交.对于圆中过A 点的弦,以直径为最长,过A 点与此直径垂直的弦为最短.变式训练求圆x 2+y 2+4x-2y+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离和最远距离.解:圆方程化为(x+2)2+(y-1)2=1,圆心(-2,1)到直线y=x-1的距离为d=22)1(1|112|-+---=22,所以所求的最近距离为22-1,最远距离为22+1.知能训练1.已知直线l:y=2x －2,圆C:x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1=0,请判断直线l 与圆C 的位置关系,若相交,则求直线l 被圆C 所截的线段长.活动:请大家独立思考,多想些办法.然后相互讨论,比较解法的不同之处.学生进行解答,教师巡视,掌握学生的一般解题情况.解法一：由方程组⎩⎨⎧=++++-=.0142,2222x x y x x y 解得⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,4,154,53y x y x 或 即直线l 与圆C 的交点坐标为(53,－54)和(－1,－4),则截得线段长为558. 解法二：由方程组(略)消去y,得5x 2＋2x －3=0, 设直线与圆交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB 中点为(-51,-512), 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=•-=+,53,522111x x y x 得(x 1-x 2)2=2564, 则所截线段长为|AB|=(1+k 2)(x 1-x 2)2=558. 解法三：圆心C 为(－1,－2),半径r=2,设交点为A 、B,圆心C 到直线l 之距d=552,所以5542||22=-=d r AB .则所截线段长为|AB|=558. 点评:前者直接求交点坐标,再用两点距离公式求值；后者虽然也用两点距离公式,但借用韦达定理,避免求交点坐标.解法三利用直线与圆的位置关系,抓住圆心到直线之距d 及圆半径r 来求解.反映了抓住本质能很快接近答案的特点.显然,解法三比较简洁.2.已知直线x+2y-3=0交圆x 2+y 2+x-6y+F=0于点P 、Q,O 为原点,问F 为何值时,OP ⊥OQ? 解:由⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=-+06,03222F y x y x y x 消去y,得5x 2+10x+4F-27=0,所以x 1x 2=5274-F ,x 1+x 2=-2. 所以y 1y 2=51249)(34)3)(3(212121F x x x x x x +=++-=--. 因为OP ⊥OQ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即5125274F F ++-=0.所以F=3. 点评：(1)解本题之前先要求学生指出解题思路.(2)体会垂直条件是怎样转化的,以及韦达定理的作用：处理x 1,x 2的对称式.在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算.拓展提升已知点P 到两个定点M(－1,0)、N(1,0)距离的比为2,点N 到直线PM 的距离为1,求直线PN 的方程.解:设点P 的坐标为(x,y),由题设有||||PN PM =2,即22)1(y x ++=2·22)1(y x +-, 整理得x 2+y 2－6x+1=0. ① 因为点N 到PM 的距离为1,|MN|=2,所以∠PMN=30°,直线PM 的斜率为±33. 直线PM 的方程为y=±33(x+1). ② 将②代入①整理,得x 2－4x+1=0.解得x 1=2+3,x 2=2－3.代入②得点P 的坐标为(2+3,1+3)或(2－3,－1+3)；(2+3,－1－3)或(2－3,1－3).直线PN 的方程为y=x －1或y=－x+1.课堂小结1.直线和圆位置关系的判定方法：代数法和几何法.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.注意弦长公式和圆的几何性质.4.求与圆有关的最值问题,往往利用数形结合,因此抽象出式子的几何意义是至关重要的. 作业课本习题4.2 A 组5、6、7.设计感想本节课是研究直线与圆的位置关系的第二课时,以学生进行自主探索学习为主线,沿用研究问题的科学方法,首先观察探索、寻找规律,最后严格推理求解,很好地体现新课程理念.在教学过程中,打破传统课堂模式,首先由问题引入,强调研究直线与圆的位置关系的重要意义,充分激发学生求知欲望,接着学生回顾刚学过的直线与圆的位置关系的有关知识,并设计两个思路的例题从不同的侧面探索研究,自主地进行学习.例题设置目的在于“以点带面,举一反三”.以直线与圆的位置关系来加深体会数与形的内在联系,比较求解所截线段长的方法,目的在于强化思维的灵活性,突出数形结合思想,在解决问题的过程中,使思路更加清晰、条理更清楚.这样有利于突出教学重点,突破教学难点.本节课除了设置两道巩固练习外,还精心编制多道为教学进一步延伸的问题,给学生课后继续进行自主探索创设问题情境,关注学生的持续学习,培养其自学能力,同时也为后续的教学作好铺垫.充分地体现学生的主体地位.教师关注学生发展的差异,帮助有困难的学生.还通过展示学生探索的成果,促进师生之间互相交流,让学生获得成就感,激发学习的兴趣.。
2.5直线和圆的位置关系(2)
O
A
C
3.如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为 直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E， 过点D作DF⊥AC于点F. 说明DF是⊙O的切线.
4.如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作 CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB． 判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（1）若⊙O的半径为2.5，AC＝6，求BN的长； （2）求证：NE与⊙O相切．
A．3 B．4
C．3 或 4
D．不确定
5．（2020•徐州一模）如图，⊙O的直径BE为4， ∠BAE的平分线AD交⊙O于点D，交BE于点F，C是 BE延长线上一点，且FC＝AC． （1）求BD的长； （2）求证：AC是⊙O的切线．
6．（2019•盐城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O 分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂 足为E．
2．（2019•宁波模拟）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下 条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
3．（2020•金山区一模）已知在矩形ABCD中，AB＝5
，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确
5.如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O 上两点，且 = = ，连接AC，AF，过 点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD=2 ，求⊙O的半径．
例2 如图，O是∠ABC的平分线上的一点，
OD⊥BC于D，以O为圆心、OD为半径的圆与
AB相切吗？为什么？
2.5 直线与圆的位置关系(2)
l 归纳
A
切线的判定定理： （也是判定直线与圆相切的方法三）
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2.5 直线与圆的位置关系（2）
典型例题
例1 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径， ∠CAD＝∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，
并说明理由．
E
拓展：如果AB不是直径，其余条件不变，上面的结
3.切线的定义?你有哪些方法可以判定直线与圆相切？
方法一：定义（唯一公共点） 方法二：数量关系（d=r）
2.5 直线与圆的位置关系（2）
探究活动一
如图，点A在⊙O上，你能经过A点画出⊙O的切线吗？
思考 O
∟
1.你画图的依据是什么？ 依据是“d = r” 2.根据上述画图，你认为直线l具 备什么条件就是⊙O的切线了？ 具备：① 直线l 经过半径的外端点 ②直线l 垂直于半径
论还成立吗？
2.5 直线与圆的位置关系（2）
探究活动二
直线l与⊙O相切于点A，你能得到哪些结论？
性质一：直线与圆唯一公共点； 性质二：数量关系-“d = r”
归纳 切线的性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
猜想：OA ⊥l 反证法： （1）假设直线l与OA不垂直．
O
（2）作OB⊥ l，垂足为点B．
初中数学 九年级(上册)
2.5 直线与圆的位置关系（2）
知识改变命运、拼搏成就未来！
2.5 直线与圆的位置关系（2）
复习回顾
1.直线与圆有几种位置关系？可以用哪些方法来判定？ 2.已知⊙O半径r=5厘米，圆心O到直线l的距离是d：
d 4cm 5cm 6cm 直线与圆的公共点个数 2个 1个 0个 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
《直线与圆的位置关系》第二课时教学设计
24.2.2直线与圆的位置关系（第二课时）一、教与学目标1、探索切线的性质与判定。
2、通过应用切线的性质与判定，提高推理判断能力。
二、教与学重点和难点重点：直线与圆相切的判定条件与圆的切线的性质。
难点：直线与圆相切的判定与性质的应用。
三、教与学方法自主探究，合作交流四、教与学过程（一）复习回顾1.直线与圆的位置关系包括：、、。
2.直线与圆的位置关系的区别方法包括种：（a）根据________________的个数来判断；（b）根据_______ __的关系来判断。
若d r,则直线与圆相交；若d r,则直线与圆相切；若d r,则直线与圆相离。
下面，我们重点研究直线和圆相切的情况，观看课件问题导入。
（二）探究新知探究一探索直线与圆相切的另一种判定方法1、由圆心到直线的距离等于半径逆推可知：在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离等于半径r，直线l与⊙O相切。
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．2、由此我们可以得到直线是圆的切线的三个判定方法：⑴与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；⑵与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3、学以致用[例1]已知直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。
思路分析：如图，由于直线AB经过⊙O上一点C，所以连结OC，只要证明OC⊥AB即可.证明：连结OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC是等腰△OAB底边，AB上的中线.∴AB⊥OC又∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O的切线.[例2]已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
思考：例1与例2的证法有何不同?探究二探索直线与圆相切的性质1、如图，直线ｌ与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线ｌ与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？一定垂直。
直线与圆的位置关系(2)
解：∵圆的圆心在直线 y＝2x 上，设圆的圆心为(m,2m)， 则因圆过点(3,2)，则半径 r＝ m－32＋2m－22. m－32＋2m－22.
|2m－2m＋5| ∵圆与直线 y＝2x＋5 相切．∴ ＝ 2 2 2 ＋－1 4 解得 m＝2 或5.
当 m＝2 时，圆心为(2,4)，半径 r＝ 4 4 8 当 m＝ 时，圆心为( ， )，半径 r＝ 5 5 5 故所求的圆的方程为：
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的
取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1； (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1； (3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1； (4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1； (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1。
数形结合问题
例8.若直线y=x+k与曲线 x 1 y 2 恰有一个公共点,则k的取值 范围是__________________.
当直线与圆相离时，d>r，∴b< 2 2 或b>2 2 .
【规律方法】
本题判定直线与圆的位置关系时，采
用了几何法，几何法判定直线与圆的位置关系的主要步骤
是：
①把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径r.
②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d.
③判断：当d>r时，直线与圆相离；
当d＝r时，直线与圆相切；
求弦长|AB|的值
解法一：（求出交点利用两点间距离公式） y B
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 1 7 1 7 A , x2 2 2 1 7 1 7 y1 , y2 2 2 1 7 1 7 1 7 1 7 A( , ), B( , ) 2 2 2 2 | AB | 14 x1
2019-2020年高三数学一轮复习第十三篇几何证明选讲第2节直线与圆的位置关系课件理
解析:由切割线定理得 PA2=PC·PD,
得 PD= PA 2 = 6 2 =12,
PC
3
所以 CD=PD-PC=12-3=9,即 CE+ED=9,
因为 CE∶ED=2∶1,所以 CE=6,ED=3.
由相交弦定理得 AE·EB=CE·ED,
即 9EB=6×3,得 EB=2.
所以 CH⊥AD.又 AB 为圆的直径,
所以∠ACB=90°,
所以 CB2=BH·BA. 因为∠BCF=∠CAB=∠D,
所以△BCF∽△BDC,所以 BC = BF
BD
BC
,
所以 BC2=BF·BD,所以 BH·BA=BF·BD.
审题点拨
关键点
所获信息
AC 是☉O1 的切线,割线 DE 与 AC 交于点 P
定义、定理 及推论
内容
定义 判定定理
如果一条直线与一个圆有唯一公共点,则这条直线叫做这 个圆的切线,公共点叫做切点 经过半径的外端并且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线
性质定理
性质定理 的推论
圆的切线 垂直于 经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 . 经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 .
(2)若AB=4,AE=2,求CD的长.
【例 2】 (2015 沈阳一模)如图,已知 AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上的两 个点,CE⊥AB 于 E,BD 交 AC 于 G,交 CE 于 F,CF=FG. (1)求证:C 是劣弧 BD的中点;
证明:(2)因为∠GBC= π -∠CGB,∠FCB= π -∠GCF, 22
(B)①②④
(C)③⑤
(D)①③⑤
解析:①错误,若弧不一样,则圆心角与圆周角的关系不确定;②错误,只有在同 圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧才相等;③正确,可以推出等腰梯形的对角 互补,所以有外接圆;④错误,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,所夹的弧 的度数等于该弧所对圆心角的度数,所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度 数的2倍;⑤正确,圆内接四边形ABCD的对角互补.
精选-新人教版必修二高中数学 第四章 圆与方程 第2节《直线与圆的位置关系》参考课件1
已知过点M(-3，-3)的直线被圆x2+y2+4y-
21
解=：因设0所为直截直线得线方的经程弦过 为长点y+为(3-43=,k-53(，x)，+求3直)，线的方程:y
即kx-y+3k-3=0 所以圆心（0，-2）到该直线
M(-3,-3)
x
的距离为
d=
2+3k- 3 k2 +1
=
5
整理后得：2 k2 - 3k - 2 = 0
（ ）4. It’s a panda.
D.这是什么？
（ ）5. Very good.
E.它是一只熊猫。
参考答案
听力部分
一、1.bird( C) 2.tiger(B) 3.rabbit(B) 4.dog(B) 5.good(C)
二、1.dog( T) 2.panda(T) 3.his(F) 4.rabbit(F) 5.lion(T)
A.a B.an ( ) 9、—Hi! Is this a toger?
—Yes , it ________. A.am B.i ) 10、—______this? —It’s a monkey. A.What B.What’s 六、从右栏中选出左栏句子的正确译 文。（1 0分） （ ）1. What’s this? A.这是一只狗吗？ （ ）2. Is this a rabbit? B.很好 （ ）3. Is this a dog? C.这是一只兔子吗？
谢谢！仅此交流学习之用 satiger. B.Yes,itis. C.No,itisn’t ( ) 6、—Goodbye, Tony.
—_______,Gogo.
A.Hi B.Bye ( ) 7、—What’s your name?
高中数学必修2直线与圆优质教案：直线与圆的位置关系(第2课时)Word版含解析
导入新课一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？图1分析：如图1,以台风中心为原点O,以东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9；轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①过圆上一点可作几条切线？如何求出切线方程？②过圆外一点可作几条切线？如何求出切线方程？③过圆内一点可作几条切线？④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗？⑤如何求直线与圆的交点？⑥如何求直线与圆的相交弦的长?讨论结果：①过圆上一点可作一条切线,过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有一个实根的充要条件——Δ=0去求出k的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.③过圆内一点不能作圆的切线.④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、弦长、半径之间的关系来求.应用示例例1 过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.图3解:如图3,方法一:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),因此由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1),2(22y x x k y 得x 2+k 2(x+2)2=1. 上述一元二次方程有一个实根, Δ=16k 4-4(k 2+1)(4k 2-1)=12k 2-4=0,k=±33, 所以所求切线的方程为y=±33(x+2). 方法二:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),由于圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),所以d=21|2|k k +=1,解得k=±33. 所以所求切线的方程为y=±33(x+2). 方法三：利用过圆上一点的切线的结论.可假设切点为(x 0,y 0),此时可求得切线方程为x 0x+y 0y=1.然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x 0=1,从中解得x 0=-21. 再由点(x 0,y 0)在圆上,所以满足x 02+y 02=1,既41+y 02=1,解出y 0=±23. 这样就可求得切线的方程为22102320+--±=+-x y ,整理得y=±33(x+2). 点评:过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r”比较好(简便). 变式训练已知直线l 的斜率为k,且与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,求直线l 的方程.活动：学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解.图4解:如图4,方法一:设所求的直线方程为y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的半径,得 d=21||k b +=r,∴b=±r 21k +,求得切线方程是y=kx±r 21k +.方法二:设所求的直线方程为y=kx+b,直线l 与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,所以它们组成的方程组只有一组实数解,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=222,ry x b kx y ,得x 2+k 2(x+b)2=1,即x 2(k 2+1)+2k 2bx+b 2=1,Δ=0得b=±r 21k +,求得切线方程是y=kx±r 21k +. 例2 已知圆的方程为x 2+y 2+ax+2y+a 2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a 的取值范围.活动：学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题及时处理,利用几何方法,点A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径.解:将圆的方程配方得(x+2a )2+(y+1)2=4342a-,圆心C 的坐标为(－2a ,－1),半径r=4342a -,条件是4－3a 2＞0,过点A(1,2)所作圆的切线有两条,则点A 必在圆外,即22)12()21(+++a ＞4342a -. 化简,得a 2+a+9＞0,由⎪⎩⎪⎨⎧>->++,034,0922a a a 解得－332＜a ＜332,a ∈R . 所以－332＜a ＜332. 故a 的取值范围是(－332,332). 点评:过圆外一点可作圆的两条切线,反之经过一点可作圆的两条切线,则该点在圆外.同时注意圆的一般方程的条件. 拓展提升已知点P 到两个定点M(－1,0)、N(1,0)距离的比为2,点N 到直线PM 的距离为1,求直线PN 的方程. 解:设点P的坐标为(x,y),由题设有||||PN PM =2,即22)1(y x ++=2·22)1(y x +-,整理得x 2+y 2－6x+1=0.①因为点N 到PM 的距离为1,|MN|=2,所以∠PMN=30°,直线PM 的斜率为±33. 直线PM的方程为y=±33(x+1).②将②代入①整理,得x2－4x+1=0.解得x1=2+3,x2=2－3.代入②得点P的坐标为(2+3,1+3)或(2－3,－1+3)；(2+3,－1－3)或(2－3,1－3).直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1.课堂小结1.直线和圆位置关系的判定方法：代数法和几何法.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.注意弦长公式和圆的几何性质.4.求与圆有关的最值问题,往往利用数形结合,因此抽象出式子的几何意义是至关重要的.作业课本习题4.2 A组5、6、7.。
2019年最新-人教版高中数学必修二直线与圆的位置关系(公式及技巧)
2．已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且 与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝ ________.
解析：由AD·BD＝CD·TD，得TD＝9，又由
得PB(PB＋9)＝(PB＋6)2－92，则PB＝15. 答案：15
3.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC
解析：∵∠CAE＝∠EAB，∠EAB＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB. 又∵CB⊥AD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB＝30°. 又∵AE＝2，∴AB＝ 3,AC2 3,BC＝3. 答案：
6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D 是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是________．
３，能创编动作表现歌（乐）曲，准 确地唱 歌。
教学重点：用柔和的声音演唱歌曲。
教学难点：能创编动作表现歌曲。
教学准备：录音机，电子琴
教学内容及过程：
一 开始部分：
１ 听音乐问好！
２ 复习歌曲。
３ 复习柯尔文手势。
二 基本部分：
１、表演《布谷》
a 完整地感受歌曲的旋律，课题是学 生跟着 音乐拍 手、拍 腿，感 受歌曲 的节拍 。然后 听歌曲 录音， 用手指 点歌词 ，想一 想哪些 音长？
(1)可利用圆内接四边形对角互补来证明A，P，O，M四 点共圆； (2)利用(1)所得结论即可求得∠OAM＋∠APM的大小．
证明：连结OP，OM，如图(1)所示．因为AP与⊙O相切 于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以 OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°.由圆心O在∠PAC的 内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O， M四点共圆．
直线和圆的位置关系第二课时
B、1200
B
C、600或1200
O
D、1400或600 P
A
C
1、知识：切线的判定定理．着重分析了定理成立 的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不 可． 2、方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法： (1) 根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的 直线是圆的切线. (2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的 距离等于圆的半径的直线是圆的切线． (3)根据切线的判定定理来判定．
例2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一
点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径
作
⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
A
DB O
EC
例1与例2的证法有何不同?
O AC B
DB
A
O
E C
(1)有交点，连半径,证垂直. (2)无交点, 作垂直,证半径.
2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，
OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A O ∴ l ⊥OA
l A
切线的性质定理：圆的切 线垂直于过切点的半径。
O
l A
切线判定定理：
①过半径外端; ②垂直于这条半径.
切线性质定理：
①圆的切线; ②过切点的半径.
O
切线
l
A
切线垂直于半径
端；②垂直于这条半径．
定理的几何语言：
∵ OA是半径， l ⊥OA于点A ∴ l是⊙O的切线
O r l A
1、判断：
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（ ×）
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数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？ O M x x
数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？ y
y O
xA
(x,y)
x
直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x， y)表示。
空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢？ z z
M （x，y，z）
O x x 当建立空间直角坐标系后，空间中的点M，可以 用有序实数（x，y，z）表示。 y y
z C
x
P A
H B y
过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于H， 则PH的长即为点P到平面ABC的距离。
z
C
P A H B y
x
∵PA=PB=PC,∴H为 ΔABC 的外心， 又∵ ΔABC 为正三角形， a a a ∴H为 ΔABC 的重心，可得点H的坐标为( , , ) 3 3 3 a 2 a 2 a 2 3 | PH | (0 ) (0 ) (0 ) a 3 3 3 3 ∴点P到平面ABC的距离是 3 a 3
6 2 3 C. 2 A.
B. 3 6 D. 3
4.已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B （2，-5，1），C（3，7，-5），则点D的坐标为 （ D ） A．（7/2,，4，-1） B．（2，3，1） C．（-3，1，5） D．（5，13，-3）
所以
| OP | x 2 y 2 z 2
空间任意两点间的距离. R2 z S2 O x Q1 y Q2
P2 (x2,y2,z2) S1 P1 (x1,y1,z1) R1
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2|
|P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2
| AC | 从而，
2
| BC | | AB |
2
2
根据勾股定理，结论得证。
例四 在四面体P-ABCA中，PA、PB、PC两 两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面 ABC的距离。 C P
B
A
根据题意，建立如图所示的坐标系，则P （0,0,0），A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）
(0，0，1) (1，0，1)
D'
C ' (0，1，1)
A
'
B
O(0，0，0)
' (1，1，1)
C (0，1，0)
y
A (1，0，0)
B (1，1，0)
x
例一
在空间直角坐标系中，画出下列各点, 并说出这些点的位置：
Ａ(5,0,0), B(0,0,4), C(0,5,0), D(3,0,1)，E(0,1,2) , F(2,1,0)
| P1 P2 | (x1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2 (z 1 z 2 ) 2
例三
已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，1，4），求证其连线组成的三角形为直角三角形。
利用两点间距离公式，由
| AB | 89, | AC | 75, | BC | 14
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中， 让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z轴的正方向，则 称这个坐标系为右手直角坐标系。
Ⅲ
z
yoz 面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy 面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R。 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分 别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数 组（x，y，z）。 z R
4.3.1 空间直角坐标系
z
D'
C'
A'
B'
O A B
C
y
x 如图，OABC-D‘A’B‘C’是单位正方体．以 O为原点，分别以射线OA,OC,OD‘的方向为正方向， 以线段OA,OC,的长为单位长，建立三条数轴：x轴、 y 轴、z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系 O-xyz，其中点O 叫做坐标原点，x轴、y 轴、z 轴叫 做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面。
M
P O
M’
Q
y
x
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（x，y， z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M 在此 空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z）．其 中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做 点M的竖坐标。 z R
M
P O
M’
Q
y
x
OABC—A’B’C’D’是单位正方 体．如图建立空间直角坐标系O—xyz．试说 出正方体的各个顶点的坐标。 z
z
C E D B
y
A
F
x
课堂小结
右手坐标系 点在空间直角坐标系中的坐标 z
z
M （x，y，z）
O
x x
y
y
新课导入
通过建立直角坐标系可以确定空间中点的位置。 z z
M （x，y，z）
O x x y y
4.3.2 空间两点间的 距离公式
思考
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下 空间两点 P1 (x1 , y 1 , z1 ), P2 (x 2 , y 2 , z 2 ) 间的距离公式吗？ 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
随堂练习
1．若已知A（1，1，1），B（-3，-3，-3），则 线段AB的长为（ A ）
A.4 3 C.4 2 B.2 3 D.3 2
2．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射 影，则OB等于（ B ）
A. 14 C.2 3
B. 13 D. 11
3.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距 离都是1，则该点到原点的距离是（ A ）
| P1 P2 | (x 2 x1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2
P
1
y
o
P
2
x
空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。 z C 0 P(x,y,z) By
x A
|OA|=|x|, |OB|=|y|, |OC|=|z|
从立体几何可知，|OP| 2 =|OA| 2 +|OB| 2 +|OC| 2