极限存在的夹逼准则PPT
合集下载
高数 夹逼准则与两个重要极限
利用两个重要极限判断级数收敛性
对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{sin n}{n}$和$sum_{n=1}^{infty}(1 + frac{1}{n})^{n}$的级数，可以利 用两个重要极限的结论判断其收敛性。
综合应用夹逼准则和两个重要极限
在判断一些复杂级数的收敛性时，可以将夹逼准则和两个重要极限结合起来使用，通过巧妙的放缩和变换， 找到夹逼的级数或函数，从而判断原级数的收敛性。
解答
首先找到与原数列相关的不等式关系， 即∑(ξi1)^2Δxi≤∑f(ξi)Δxi≤∑(ξi)^2Δxi。然 后验证不等式两侧的数列极限是否存 在且相等。对于左侧数列和右侧数列， 当n趋向于无穷大时，其极限均为1/3 （可以通过定积分的几何意义或定积 分计算公式进行验证）。因此根据夹 逼准则，原数列的极限存在且为1/3， 即函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积 分为1/3。
利用(1+1/x)^x在x→∞时的极限为e，可以对一些涉及指数函数的 复杂表达式进行逼近处理。
在求解某些微分方程时，可以利用这两个重要极限简化方程形 式或求解过程。
在概率论与数理统计中，这两个重要极限也经常出现，例如在 求解某些概率分布或统计量的极限性质时。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02
利用第二个重要极限求解幂函数、指数函数相关问题，如求
(1+x)^(1/x)在x=0处的极限值。
结合洛必达法则等其他求极限方法，可以求解更复杂的极限问
03
题。
拓展：其他常见极限形式及求解方法
∞/∞型极限
通过分子分母同除以某个趋于 无穷的变量来转化为0/0型极 限求解。
1^∞型极限
对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{sin n}{n}$和$sum_{n=1}^{infty}(1 + frac{1}{n})^{n}$的级数，可以利 用两个重要极限的结论判断其收敛性。
综合应用夹逼准则和两个重要极限
在判断一些复杂级数的收敛性时，可以将夹逼准则和两个重要极限结合起来使用，通过巧妙的放缩和变换， 找到夹逼的级数或函数，从而判断原级数的收敛性。
解答
首先找到与原数列相关的不等式关系， 即∑(ξi1)^2Δxi≤∑f(ξi)Δxi≤∑(ξi)^2Δxi。然 后验证不等式两侧的数列极限是否存 在且相等。对于左侧数列和右侧数列， 当n趋向于无穷大时，其极限均为1/3 （可以通过定积分的几何意义或定积 分计算公式进行验证）。因此根据夹 逼准则，原数列的极限存在且为1/3， 即函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积 分为1/3。
利用(1+1/x)^x在x→∞时的极限为e，可以对一些涉及指数函数的 复杂表达式进行逼近处理。
在求解某些微分方程时，可以利用这两个重要极限简化方程形 式或求解过程。
在概率论与数理统计中，这两个重要极限也经常出现，例如在 求解某些概率分布或统计量的极限性质时。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02
利用第二个重要极限求解幂函数、指数函数相关问题，如求
(1+x)^(1/x)在x=0处的极限值。
结合洛必达法则等其他求极限方法，可以求解更复杂的极限问
03
题。
拓展：其他常见极限形式及求解方法
∞/∞型极限
通过分子分母同除以某个趋于 无穷的变量来转化为0/0型极 限求解。
1^∞型极限
高数课件-极限的存在准则
注意：上面极限中的 e 在当时只是极限值的记号，而现在
已经成为重要的数值。
以 e 为底的对数称为自然对数.记作 ln x ，即 ln x loge x . 函数 y ln x 与函数 y ex 互为反函数.
e 为无理数，其值为 e=2.718281828459045…。
在第
13
章中将有
e
n0
证 ①由 xn1 xn
2 xn
2 xn1
xn xn1
，
2 xn 2 xn1
知 xn1 xn 与 xn xn1 同号，以此类推， xn1 xn 与
x2 x1 2 2 2 0 同号， {xn} 单调增加。
22-22
续证 ② x1 2 2, x2 2 x1 2 2 2, ， 一般地， xn 2 xn1 2 2 2 ，
由第一重要极限的推广形式得 lim x0
2 1 x
2
1 cos
故 lim x0
x2
x
1 2
(lim x0
sin x 2 )2
x
1 2
12
1. 2
2
22-12
例 2.5.5
求
lim
x x0
sin
x x
sin x0
x0
.
解
lim sin x sin
x0
lim
2 sin
x x0 2
cos
x x0 2
1 n!
1
1 1!
1 2!
1 3!
1 n!
.
22-24
证明思路:
⑴先利用均值不等式证明数列{(1 1)n} 单增且有上界；然 n
后由单调有界准则知数列{(1 1)n} 收敛，即极限lim(1 1)n
极限存在准则与两个重要极限.ppt
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
目录 上一页 下一页 退 出
当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1 , N2 }, 上两式同时成立,
4、1 ； 3
8、1 ； e
4、e 1 ；
目录 上一页 下一页 退 出
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
xn
2
.
目录 上一页 下一页 退 出
二、函数极限与数列极限的关系
定理2
目录 上一页 下一页 退 出
目录 上一页 下一页 退 出
三、柯西收敛准则
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn ,
x 是单调递增的; n
xn
1
1
1 2!
1 n!
1
1
1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
x 是有界的; n
1! n 2! n2
大学微积分上册第二章两个重要极限ppt课件
8
例3.求
sin 4x lim x0 x
lim x0
2sin 2x cos2x x
lim 4sin x cosx cos2x
x0
x
lim 4sin x cosx cos2x x0 x
4
方法2 lim sin 4x lim sin 4x 4 4
x0 x
x0 4x
9
推广: lim sin 1 ( lim 0 )
1
( x)(1)
)
x x
x x
lim 1 (
1
)
x
1
x x
e1
18
例12.求
lim
x
1x
x x 1
解 lim x 1x lim 1 2 x x x 1 x x 1
lim 1
2
x2121
2
1
e2
x x 1 x 1
方法2：lim x
x 1x
x 1
(1 lim
§2.4 极限存在准则 两个重要极限
1、夹逼定理 2、两个重要极限
1
一、极限存在准则
准则1. (夹逼定理)
如果变量 x, y及 z 满足：
1. y x z 2.lim y limz A
则 lim x A
准则2
单调有界数列必收敛. 单调增有上界数列必收敛. 单调减有下界数列必收敛.
2
例1. 利用夹逼定理证明 lim 1 1 1
x
(1
1)x x 1)x
lim (1 1 )x
x
x
lim (1 1 )x
e1 e2 e
x
x
x
19
练习一下
高等数学极限存在准则-PPT
lim 1
t
说明
：若利用
lim (1
( x)
1 (x)
)
(
x
)
e,
则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1 x
)2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2x) 2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1
x
oC
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
解:
lim tan x0 x
且
(xn )
xn x0 , f (xn ) 有定义
有 lim
n
f
(xn )
A.
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
xn x0 ,
使
lim
0106极限存在准则与两个重要极限-PPT精选文档
第六节 极限存在准则与两个重要极限 一、极限存在准则
1. 夹逼准则 准则1 若数xn列 ,yn,zn满足下列 : 条件
(1 )y nx n zn ;(nN0); (2 )n l i y m n n l i z m n A ; 则n l i m xnA.
yn A xn zn
x
证 y n A , z n A ,
lim(11)e
令t 1,
lim (1x)1 xlim (11)t e.
x
x 0
t t
1∞
1
lim(1x)x e
x0
例5 求lim(11)x. x x
1∞
lim(11)e
解 原 式 lim [1 (1)x]1
x x
lim x (1
则 lim f(x)A. x a
yA
yA
yA
yh(x) yf(x) yg(x)
x0 x 0 x0
准则 1和准则1 ′称为夹逼准则.
例1 求 li(m 1 1 1).
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
解
n2 nnxn
n ,
n21
sin x
lim ( x 0
x 2 )2
1.
2
2
2
例4 求 alitm ax,n blitm a 2x n .
x 0 x
x 0si3x n
解 alim sinx 1 1, x0 x coxs
blim 1si2 x n 3 x2 x11122. x 0co 2 xs2 x si3 x n3 x 1 3 3
x 0
x 0
limsinx1. x0 x
limsin1 0
1. 夹逼准则 准则1 若数xn列 ,yn,zn满足下列 : 条件
(1 )y nx n zn ;(nN0); (2 )n l i y m n n l i z m n A ; 则n l i m xnA.
yn A xn zn
x
证 y n A , z n A ,
lim(11)e
令t 1,
lim (1x)1 xlim (11)t e.
x
x 0
t t
1∞
1
lim(1x)x e
x0
例5 求lim(11)x. x x
1∞
lim(11)e
解 原 式 lim [1 (1)x]1
x x
lim x (1
则 lim f(x)A. x a
yA
yA
yA
yh(x) yf(x) yg(x)
x0 x 0 x0
准则 1和准则1 ′称为夹逼准则.
例1 求 li(m 1 1 1).
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
解
n2 nnxn
n ,
n21
sin x
lim ( x 0
x 2 )2
1.
2
2
2
例4 求 alitm ax,n blitm a 2x n .
x 0 x
x 0si3x n
解 alim sinx 1 1, x0 x coxs
blim 1si2 x n 3 x2 x11122. x 0co 2 xs2 x si3 x n3 x 1 3 3
x 0
x 0
limsinx1. x0 x
limsin1 0
函数极限存在的夹逼准则
•定义 •设函数
•在 •的某邻域内有定义 ,•且
:
•则称函数
•可见 , 函数 •在 •连续必须具备下列条件:
•(1)
•在点 点•有定义 ,•即
•存在 ;
•(2) 极限
•存在 ;
•(3)
•2、f (x) 在区间上连续 •称 f (x) 在x0 点处左连续
•称 f (x) 在x0 点处右连续
•若 •在某区间上每一点都连续 ,•则称它在该区间上 •连续 , •或称它为该区间上的连续函数 .
函数极限存在的夹逼准则
证明
•证: 当 •时, 设
•则
•当
•时, 令
•则
•从而有
•故
• 也可写为
•用于1 型
例： 1、求 •原式
•公式：
•证: 当
•时
，
•即
例. 1、求 •解: 原式
•2、 求
•解: 原式 =
•3、 求
•解: 令
•则
•原式
•因此
•令
第七节 •无穷小的比较• 第一章
•引例 .
•2、设函 数
•于是
例4. 求 •解: •原式
第十节 •闭区间上连续函数的性质
•一、最值定理 •二、零点定理、介值定理
一、最值定理
•定理1.闭区间上连续的函数 •在该区间上必有最大(小)值
•即
•使
:
•注意: 若函数在开区间上连续,•或在闭区间内有间断 •点 , •结论不一定成立 .
•例如, •无最大值和最小 值
•在闭区间上的连续函数•必取得介于最小值与最
•大值之间的任何值 .
例1. 证明方程
•一个根 . •证: 令
•在区间 •内至少有 •又
高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件
2023
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
高数第-章极限存在准 则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存 在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的 方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、 微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各 种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其 稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市 场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策 制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研 究多元函数在某一点或某一区域内的极限行 为。
2023
PART 03
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
函数极限存在的夹逼准则(课件全)
例. 证明函数
在
内任意一点连续 .
证: x0 ( , )
y sin( x0 x ) sin x0
y 2 sin 2x cos( x0
x 2
)
x
即 这说明
x 0
0
在
内任意一点连续 .
函数
在点
连续有下列等价命题:
x 0
lim y 0
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
上也连续单调递增.
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 即： 设函数 即 于是 复合函数 且 ( x0 ) u 0 .
lim f (u )
uu 0
f [ ( x0 )]
例如,
是由连续函数链
x ( ,0) (0, )
复合而成 , 因此
sin x lim 1 x 0 x
sin x 1 lim x 0 3 x 3
sin x lim 2 x 0 x
x 2 o ( 3x ) ; sin x
～ x
又如 ，
x 2 sin 2 2 1 1 cos x lim lim 2 x )2 x 0 x0 4( x 2 2
称为间断点 .
这样的点
间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x
2
x 为其无穷间断点 . 2
高等数学第一章第6节夹逼准则
x0 x0 2 x0 2 x0 x0 1 x0 x0 1
-2-
x
第六节
极限存
x x0
证
0,
lim g( x ) A, lim h( x ) A,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
所以 1 , 2 0, 使当 0 | x x0 | 1 时, 恒有 | g( x ) A | 即 A g ( x ) A 当 0 | x x0 | 2 时, 恒有
- 16 -
x 0
解
1 x
令u(1 x)
1 x
limln u ln e 1
u e
例12
ln(1 x) lim 1. x 0 x ex 1 . 求 lim x 0 x
令 u e x 1
解
原式
u lim 1 u 0 ln(1 u )
ex 1 lim 1. x 0 x
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 n 1 x 1 n 1 (1 ) (1 ) (1 ) , n1 x n
由于 x n , 而
1 n 1 1 n 1 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x n n x n 1 n 1 n 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x n1 n1 n1
所以
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x lim 1 x 0 x sin x sin( x ) sin t lim lim lim 1 x 0 x 0 t 0 x x t
函数极限存在的夹逼准则
类型的数学问题可能不适用。
无法处理无穷大情况
02 当函数极限趋于无穷大时，夹逼准则无法给出正确的
结论。
需要满足特定条件
03
使用夹逼准则需要满足一定的条件，如存在性、有限
性和顺序性，这些条件在实际应用中可能难以满足。
夹逼准则与其他极限定理的关系
01
与单调有界定理的 关系
单调有界定理可以推导出夹逼准 则，而夹逼准则也可以用来证明 单调有界定理。
利用夹逼准则求积分极限
总结词
积分夹逼准则也是利用夹逼准则的一种形式，通过比较被积函数与夹逼函数的积分值，可以确定积分 极限的存在性。
详细描述
当被积函数f(x,y)在某个区域D内单调递增或递减，且存在两个函数g(x,y)和h(x,y)，满足 g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y)，且g(x,y)和h(x,y)在区域D内的积分分别收敛于同一值时，则f(x,y)在区域D内的 积分也收敛于该值。
03
夹逼准则的实例
利用夹逼准则求函数极限
总结词
夹逼准则是求函数极限的重要方法之一，通过比较函数值与夹逼函数值的大小关 系，可以确定函数极限的存在性。
详细描述
当函数f(x)在某区间内单调递增或递减，且存在两个函数g(x)和h(x)，满足 g(x)≤f(x)≤h(x)，且g(x)和h(x)在该区间内分别收敛于同一值时，则f(x)也收敛于 该值。
积分级数的夹逼准则
总结词
积分级数的夹逼准则是用来判断积分级数收 敛性的重要工具。如果一个积分级数的被积 函数在某个区间上被两个同阶的函数所夹逼 ，且这两个同阶函数的积分级数收敛，则原 积分级数也收敛。
详细描述
在积分级数的夹逼准则中，关键在于找到合 适的同阶函数作为上下界，使得原积分级数 的被积函数被它们所夹逼。如果这两个同阶 函数的积分级数收敛，则原积分级数也收敛 。这个准则在研究积分级数的收敛性时非常
极限存在准则与两个重要极限-推荐优秀PPT
当nN时 , 恒有 a y n x n z n a ,
即 xna成,立ln i m xna.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当xU0
(x 0
)(或x
M)时,有
(1) g(x) f (x)h(x),
(2) limg(x) A, limh(x) A,
xx0
xx0
(1 1)[x ] (1 1 )x (1 1)[x ] 1 ,
[x ] 1 极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限
x [x ]
极限存在准则与两个重要极限
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
1 1 1 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限[x ] 1 而 li( 1 m [x ] ) li( 1 m [x ] )li( 1 m [x ] )e, 夹底逼为准 两则项(之两和边，夹第定一理x 项） 为 1，第二 项是 无穷小量，指数与第二x 项 互 为倒数 。
夹逼准则(两边夹定理）
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
(2)limy a, limz a, 夹上底逼述为准 数 两则列项(极之两限和边存，夹在第定的一理准项）则为n可1 ，以第推二广项到是n函无数穷的小极量限，指数与n第 二 项互为n倒数 。
底为两项之和，第一项为1，第二项是 无穷小量，指数与第二项互为倒数 。
解 n1 1n,
n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
又lim n lim 1 n n2 n n 11
1,
n
lim n lim 1
n
n2 1
n
1
1
1,
由夹逼准则得
li(m 11n 2 1) 1 .
即 xna成,立ln i m xna.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当xU0
(x 0
)(或x
M)时,有
(1) g(x) f (x)h(x),
(2) limg(x) A, limh(x) A,
xx0
xx0
(1 1)[x ] (1 1 )x (1 1)[x ] 1 ,
[x ] 1 极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限
x [x ]
极限存在准则与两个重要极限
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
1 1 1 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限[x ] 1 而 li( 1 m [x ] ) li( 1 m [x ] )li( 1 m [x ] )e, 夹底逼为准 两则项(之两和边，夹第定一理x 项） 为 1，第二 项是 无穷小量，指数与第二x 项 互 为倒数 。
夹逼准则(两边夹定理）
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
(2)limy a, limz a, 夹上底逼述为准 数 两则列项(极之两限和边存，夹在第定的一理准项）则为n可1 ，以第推二广项到是n函无数穷的小极量限，指数与n第 二 项互为n倒数 。
底为两项之和，第一项为1，第二项是 无穷小量，指数与第二项互为倒数 。
解 n1 1n,
n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
又lim n lim 1 n n2 n n 11
1,
n
lim n lim 1
n
n2 1
n
1
1
1,
由夹逼准则得
li(m 11n 2 1) 1 .
第5节夹逼准则与两个重要极限
x x 1 x x 1
lim 1
2
x12
2
lim 1
2
x x 1
x x 1
e2 1 e2
例14 求
1
解: 原式 =
lim 2n2
e n n
e2
例知 解: 原式 =
x0 x
证 因为 sin(x) sin x , 故只讨论x0+的情形.
x
x
如图, 在单位圆中,AOB = x, BD = sinx, AC=tanx,
因为
SAOB < S扇形AOB < SAOC ,
所以
1 sin x 2
1x
2
1 tan x, 2
1 x 1 , sin x cos x
（1） g(x) f(x) h(x) (2) g (x) A, h(x) A (xx0或x),
则有 f(x) A (xx0或x) 准则I和准则I称为夹逼准则。
lim
x0
sin x x
sin 0 0
0 0
?
二、两个重要极限
(1) lim sin x 1.
第五节 夹逼准则与两个重要极限
利用极限的定义及运算法则虽可以求得很多函数的 极限，但是对于一些特殊函数的极限却无能为力，如
lim tan x , lim ( 3 x )2x
x0 x
x 2 x
极限值各是多少？如何求解？
一、夹逼准则
二、两个重要极限
一、夹逼准则
准则I 如果数列{xn}, {yn}, {zn}满足 (1) yn xn zn, (n =1,2,3…)；
cos x sin x 1, x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 0所, 以当0 | x x0 | 2
| h(时x) ，A|有 则
h(x) A .
②
由条件（1）知， 当0 | x x0 | r
时，有
g(x) f (x) h(x). ③
取 min{r,1,2}, 当 0 | x x0 |
①， ②时，，③式同时成立. 故
A g(x) f (x) h(x) A ,
h(x)
A
A
g(x)
f (x)
A
•
x0
•
r
•
•
•
x0
•
r
•
o
x0 1 x0 2
x0 x0 2 x0 1
x4
证明
0,
因 lim g(x) A, x x0
所以由极限的定义，1 0,
时，有| g(x) A| , 则
A g(x).
①
0 |当x x0 | 1
又因为 lim h(x) A, x x0
lim
n
xn
a.
定理1和定理2称为夹逼准则(也称为两边夹法则）.
利用夹逼
准则求极限关键是
构造出合适y的n, zn ,
或 g(x), h(x).
6
四、应用
例1 a设n
1 n2 1
1 n2 2
1, n2 n
求极限
lim
n
an.
解 因为 而
n n2n n n2 n
an an
n ,
n 2n 1 n2 1
y
B
因 为 ,所以
SAOB S扇形AOB SAOC
1 sin x 1 x 1 tan x,
2
22
即 sin x x tan x, 对不等式进行变形有
x
o
D
此式对 x 0 也成立. 2 由夹逼准则知，
cos x sin x 1, x
因 limcos x 1 x0
lim sin x 1. x0 x
lim
n
bn
b,则
⑴ nlim[an bn ] a b;
⑵ nlim[an bn ] a b;
⑶ lim an a , 其中 b 0.
b n n
b
2
二、问题
（1）设an
1 n2 1
1 n2 2
1 n2
n
,
求极限
lim
n
an
.
（2）求极 lim sin x .
限
x0 x
3
lim1 1 与
x0
C Ax
，
9
四、小结
1. 夹逼准则
定理1 如果函数f (x), g(x) h(x) 及
满足下列条件：
⑴ 当x U o (x0, r) g(x) f (时x)， h(x)
⑵ lim g(x) A, lim h(x) A,
x x0
x x0
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f (x) A. xx0
即
| f (x) A| .
注 x 当
所以 lim f (x) A. x x0
定理1类似成立.
5
定理2 如果数列{xn}, {yn} {zn} 及
满足下列条件：
(1) N0 N , n N0 当
yn xn zn ；
时，有
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那么数列{xn } 的极限存在，且
三、夹逼准则
定理1 如果函数f (x), g(x) h(x) 及
满足下列条件：
⑴ 当x U o (x0,r), g(x) f (x) h(x),
⑵ lim g(x) A, lim h(x函数 f (x) 的极限存在，且 lim f (x) A.
y x x0
《高等数学》
极限存在的夹逼准则
1
一、回顾
定理3 设 lim f (x) A,lim g(x) B,则 ⑴ lim[ f (x) g(x)] A B; ⑵ lim[ f (x) g(x)] A B; ⑶ lim f (x) A , 其中B 0.
g(x) B
定理4
设
lim
n
an
a,
lim n lim 1 1, lim n lim 1 1,
n n2 n
n 1 1 n
n
n2 1
n
1
1 n2
所以，由夹逼准则得
lim
n
an
1.
7
例2 求极限lim sin x . x0 x
y
C
B
x
o
D
A
x
8
解 设0x ,
2
由图知，
sin x BD, x AB, tan x AC.
2.一个重要极限: lim sin x 1.
x0 x
五、作业 P56 4(1),(2) .
10
11