北京市房山区2012年高三第一次模拟试题(理科)及答案

北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学(理科)第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。

1.已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x M N a ==-<∈≠∅Z 如果则等于 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）12或 （D ）252.如果(1,)a k = ，(,4),b k =那么“a ∥b ”是“2k =-”的 （）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3.如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，P O 交圆O 于,B C 两点，1P A P B ==，则ABC ∠=()（A ）70︒（B ）60︒（C ）45︒（D ）30︒4.在平面直角坐标系xO y 中，点P 的直角坐标为(1,.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ） （A ）(2,)3π-（B ）4(2,)3π （C ）(1,)3π-（D ）4(2,)3π-5.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 （ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7是（D ）8 否6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<--=0,120,12)(22x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不等式成立的是( )（A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +> （C ）12()()0f x f x -> （D ）12()()0f x f x -<7.直线3y kx =+与圆()()42122=++-y x 相交于N M ,两点，若M N ≥k 的取值范围是( ) （A ）12(,)5-∞-（B ）12(,]5-∞-（C ）12(,)5-∞ （D ）12(,]5-∞8.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则OC OB ⋅的最大 值是 （ ）（A ）2 （B）1+ （C ）π （D ）4第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。

把答案填在答题卡上的指定位置。

9.i 是虚数单位，则1i i=+__.10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .11．已知函数()()ϕω+=x x f sin （ω>0, πϕ<<0）的图象如图所示，则ω=__，ϕ=__.12.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 种.13.设)(x f 是定义在R 上不为零的函数，对任意R y x ∈,，都有)()()(y x f y f x f +=⋅，若))((,211*N ∈==n n f a a n ，则数列}{n a 的前n 项和的取值范围是 .14. F 是抛物线22y p x =()0>p 的焦点，过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线于,A B 两点，设,A F a B F b ==，则：①若60=θ且b a >，则ba 的值为______；②=+b a ______（用p 和θ表示）.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知A B C ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ，c ，tan tan tan A B A B +=,,2=ac =（Ⅰ）求tan ()A B +的值； （Ⅱ）求A B C ∆的面积. 16.（本小题共13分）今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：（I ）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率； （II ）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.17.（本小题共14分）在直三棱柱111A B C A B C -中，1B C C C A B ===2 ,BC AB ⊥.点N M ,分别是1CC ,C B 1的中点，G 是棱AB 上的动点.（I ）求证：⊥C B 1平面BNG ；(II)若CG //平面M AB 1，试确定G 点的位置，并给出证明； (III)求二面角1M A B B --的余弦值. 18．（本小题共13分）已知函数mx x x f -+=)1ln()(．（I ）当1m =时，求函数)(x f 的单调递减区间； （II ）求函数)(x f 的极值；（III ）若函数()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上恰有两个零点，求m 的取值范围．19.（本小题共14分）已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1A -，离心率为36．（I ）求椭圆G 的方程；（II ）设直线m kx y +=与椭圆相交于不同的两点,M N ．当AN AM =时，求m 的取值范围．20．（本小题共13分）在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ．（I ）求点n P 的坐标；（II ）设抛物线列 ,,,,,321n c c c c ,中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：nn k k k k k k 13221111-+++；（III ）设{}{}**NN ∈==∈==n y y y T n x x x S n n ,4|,,2|，等差数列{}na 的任一项naS T ∈ ，其中1a 是S T 中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式．北京市房山区2012高三第一次模拟试题参考答案高三数学(理科)一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分）9．i 2121+; 10.32; 11.58,910π; 12. 120； 13. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21; 14. ① 3；②θ2sin2p AB =或()θθ22tan1tan2+p三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。

共80分） 15．（本小题共13分）解：（I ）解 tan tan tan A B A B +=tan tan )A B =-tan tan tan ()1tan tan A B A B A B+∴+=-=……………………5分（II ）由（I ）知 60A B +=︒，120C ∴=︒ ……………………7分C ab baccos 2222-+=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-+=21224192b b ∴3=b ……………………10分 ∴233221sin 21⨯⨯⨯==∆C ab S ABC233=……………………13分16．（本小题共13分）解：（I ）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A ，则()3815320210110==C C C A P答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为3815. ………………………4分（II ）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为31.所以 ………………………6分()811632310404=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ; ()8132323113114=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;()2788124323122224==⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;()818323131334=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ; ()811323140444=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ. ………………………11分随机变量ξ的分布列为：………………………12分 所以3481148183812428132181160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………13分解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为31. …………………5分则随机变量ξ服从参数为4，31的二项分布，即ξ～)31,4(B .……………7分随机变量ξ的分布列为：所以34314=⨯==np E ξ …………………13分17．（本小题共14分）(I) 证明：∵在直三棱柱111A B C A B C -中，1CC BC =，点N 是C B 1的中点，∴C B BN 1⊥ …………………………1分BC AB ⊥,1BB AB ⊥,B BC BB = 1∴AB ⊥平面11BCCB ………………………2分⊂C B 1平面11BCCB∴AB C B ⊥1，即GB C B ⊥1 …………………3分 又B BG BN =∴⊥C B 1平面BNG …………………………………4分（II ）当G 是棱AB 的中点时，CG //平面M AB 1.……………………………5分 证明如下:连结1AB ,取1AB 的中点H ，连接GC HM HG ,,, 则HG 为B AB 1∆的中位线 ∴GH ∥1BB ，121BB GH =…………………6分∵由已知条件，11BCC B 为正方形 ∴1CC ∥1BB ，11BB CC=∵M 为1CC 的中点， ∴121CC CM =……………………7分∴MC ∥GH ，且GH MC = ∴四边形HGCM 为平行四边形 ∴GC ∥HM又 ∵M AB HM M AB GC 11,平面平面⊄⊂ ……………………8分 ∴CG //平面M AB 1 ……………………9分(III) ∵ 直三棱柱111A B C A B C -且BC AB ⊥依题意，如图：以1B 为原点建立空间直角坐标系1B xyz -，……………………10分∴1(0,0,0)B ,(0,2,0)B ,)0,1,2(M ,(0,2,2)A ,1(2,0,0)C则1(0,2,2)B A =，)0,1,2(1=M B 设平面1B A M 的法向量(,,)n x y z =，则1100n B A n B M ⋅=⋅⎧⎪=⎨⎪⎩ ,即00222x y z y ⎧⎨+=+=⎩，令1=x ，有)2,2,1(-=n ……………………12分又 平面1B A B 的法向量为11(2,0,0)B C =，∴11co s ,B C n <> =1111B C n B C n⋅⋅=31， ……………………13分设二面角1M A B B --的平面角为θ，且θ为锐角∴111co s co s ,3B C n θ=-= ． ……………………14分18．（本小题共13分）解：（I ）依题意，函数()f x 的定义域为()+∞-,1， 当1m =时，()ln(1)f x x x =+-，∴1()11f x x'=-+ ……………………2分 由()0f x '<得1101x-<+，即01x x-<+解得0x >或1x <-， 又 1x >-，0x ∴>∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． ……………………4分（II ）m xx f -+='11)(，)1(->x（1）0≤m 时，0)(≥'x f 恒成立)(x f 在),1(∞+-上单调递增，无极值. ……………………6分（2）0>m 时，由于111->-m所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛--11,1m 上单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,11m 上单调递减， 从而1ln )11()(--=-=m m mf x f 极大值． ……………………9分（III ）由（II ）问显然可知，当0≤m 时，()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上为增函数，∴在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦不可能恰有两个零点． ……………………10分当0>m 时，由（II ）问知()=f x 极大值1(1)f m-，又(0)0f =，0∴为()f x 的一个零点． ……………………11分∴若()f x 在20,1e ⎡⎤-⎣⎦恰有两个零点，只需22(1)01011f e e m ⎧-≤⎪⎨<-<-⎪⎩即222(1)011m e m e ⎧--≤⎪⎨<<⎪⎩2211m e ∴≤<- ……………………13分 （注明：如有其它解法，酌情给分）19．（本小题共14分） 解：（I ）依题意可设椭圆方程为 1222=+yax ，则离心率为==ac e 36故3222=ac ，而12=b ，解得32=a ， ……………………4分故所求椭圆的方程为1322=+yx. ……………………5分（II ）设()()()P P M M N N P x y M x y N x y ，、，、，，P 为弦MN 的中点， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++mmkx xk，直线与椭圆相交，()()()2226431310m k k m ∴∆=-+⨯->⇒1322+<km，① …………7分 23231M NP x x m k x k +∴==-+，从而231P P my kx m k =+=+，（1）当0≠k 时21313P A P Py m k k x m k+++∴==-(0=m 不满足题目条件)∵,A M A NA P M N =∴⊥，则kmkkm 13132-=++- ，即 1322+=k m ， ② …………………………9分把②代入①得 22m m < ，解得 20<<m ， …………………………10分 由②得03122>-=m k，解得21>m ．故221<<m ………………………11分（2）当0=k 时∵直线m y =是平行于x 轴的一条直线，∴11<<-m …………………………13分 综上，求得m 的取值范围是21<<-m ． …………………………14分 20．（本小题共13分） 解：（I ）23)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n …………………………2分1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴----…………………………3分（II ）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：,4512)232(2+-++=n n x a y …………………………5分把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=nx n x y . …………………………7分322++='n x y当0=x 时，32+=n k n)321121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n n nn k k k k k k 13221111-+++∴ )]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n=641101)32151(21+-=+-n n …………………………9分 （III ）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y,S T T ∴= T 中最大数171-=a . …………………………10分设}{n a 公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得).(247,24),(12,129248**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<- 又。