2019-2020年高中数学 1.1集合的含义及其表示学案 苏教版必修1

2019-2020年高中数学 1.1集合的含义及其表示学案苏教版必修11．一般地，一定范围内某些确定的不同的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．元素与集合的关系：如果x是集合A中的元素，则说x属于集合A，记作x∈A；若x不是集合A中的元素，就说x不属于集合A，记作x∉A．3．集合中元素的三个特征：(1)确定性：给定集合A，对于某个对象x，“x∈A”或“x∉A”这两者必居其一且仅居其一．(2)互异性：集合中的元素互不相同，不允许重复．(3)无序性：在一个给定的集合中，元素之间无先后次序之分．4．集合的表示．(1)把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内元素之间逗号分隔表示集合的方法称为列举法．(2)把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法称为描述法．常用形式是：{x|p}，竖线前面的x叫做集合的代表元素，p表示元素x所具有的公共属性．(3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图．用Venn图、数轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法．0、1、2、3、4．7．含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集．例如：大于0小于1的实数构成的集合是有限集还是无限集？无限集．例如：小于3的自然数集用列举法表示为{0，1，2}(其他合理皆可)；用描述法表示为{x|x＜3且x∈N}或{小于3的自然数}．,一、集合的概念及其元素的特征集合，其具有确定性、互异性、无序性特征．特别是互异性特征，既是易出错点，也是高考常考知识点．例如由book中的字母组成的集合是{b，o，k}．方程(x2－4x＋4)(x＋3)＝0的根构成的集合为{2，－3}，不能写成{2，2，－3}．无序性就是指集合的元素之间没有顺序关系，只要放在一起，不存在次序问题．二、元素与集合的关系元素a与集合A之间是属于或不属于关系，即要么a∈A，要么a∉A.三、常用数集的符号表示及集合的分类自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.按照集合所含元素个数的多少分为：有限集、无限集、空集．四、集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图用列举法、描述法表示集合时，应注意根据问题的不同情境或形式选择合理的表示方法．列举法不宜表示无限集，用描述法表示集合时，应该注意代表元素的性质．例如表示数集时代表元素可用一个字母x 表示，而表示点集时代表元素则用(x ，y )来表示．此外用Venn 图表示集合的最大优势在于形象直观．总之应根据不同的情况合理地选择应用．五、注重对空集概念的理解一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅.空集是特殊集合，它不含任何元素，规定它是有限集，特别要注意∅与{0}{∅}的区别．基础巩固1．下列说法正确的是(C )A ．我校爱好足球的同学组成一个集合B ．{1，2，3}是不大于3的自然数组成的集合C ．集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一集合D ．数1，0，5，12，32，64， 14组成的集合有7个元素 2．若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素个数为(C )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3．下列四个关系中，正确的是(A )A ．a ∈{a ，b }B ．{a }∈{a ，b }C ．a ∉{a }D ．a ∉{a ，b }4．集合M ＝{(x ，y )|xy <0，x ∈R ，y ∈R }是(D )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集解析：集合M 为点集且横、纵坐标异号，故是第二、四象限内的点集．5．若A ＝{(2，－2)，(2，2)}，则集合A 中元素的个数是(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．集合M 中的元素都是正整数，且若a ∈M ，则6－a ∈M ，则所有满足条件的集合M 共有(B )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个解析：由题意可知，集合M 中包含的元素可以是3，1和5，2和4中的一组，两组，三组，即M 可为{3}，{1，5}，{2，4}，{3，1，5}，{3，2，4}，{1，5，2，4}，{3，1，5，2，4}，共7个．7．下列集合中为空集的是(C )A ．{x ∈N |x 2≤0}B ．{x ∈R |x 2－1＝0}C ．{x ∈R |x 2＋x ＋1＝0}D ．{0}8．设集合A ＝{2，1－a ，a 2－a ＋2}，若4∈A ，则a ＝(C )A ．－3或－1或2B －3或－1C ．－3或2D ．－1或2解析：当1－a ＝4时，a ＝－3，A ＝{2，4，14}；当a 2－a ＋2＝4时，得a ＝－1或2，当a ＝－1时，A ＝{2，2，4}，不满足互异性，当a ＝2时，A ＝{2，4，－1}．∴a ＝－3或2.9．集合P ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，M ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，若a ∈P ，b ∈Q ，则有(B )A ．a ＋b ∈PB ．a ＋b ∈QC ．a ＋b ∈MD ．a ＋b 不属于P 、Q 、M 中任意一个解析：∵a ∈P ，b ∈Q ，∴a ＝2k 1，k 1∈Z ，b ＝2k 2＋1，k 2∈Z .∴a ＋b ＝2(k 1＋k 2)＋1，k 1，k 2∈Z .∴a ＋b ∈Q .10．由下列对象组成的集体，其中为集合的是①④⑤(填序号)．①不超过2π的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③中国的高山；④平方后等于自身的实数；⑤高一(2)班中考500分以上的学生．11．若a ＝n 2＋1，n ∈N ，A ＝{x |x ＝k 2－4k ＋5，k ∈N }，则a 与A 的关系是________．解析：∵a ＝n 2＋1＝(n ＋2)2－4(n ＋2)＋5，且当n ∈N 时，n ＋2∈N .答案：a ∈A12．集合A ＝{x |x ∈R 且|x －2|≤5}中最小整数为_______解析：由|x －2|≤5⇒－5≤x －2≤5⇒－3≤x ≤7，∴最小整数为－3.答案：－3.13.一个集合M 中元素m 满足m ∈N *，且8－m ∈N *，则集合M 的元素个数最多为______．答案：7个14．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是________(填序号)．①M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)}；②M ＝{(3，1)}，P ＝{(1，3)}；③M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，P ＝{a |a ＝x 2－1，x ∈R }；④M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }．答案：③ 能力提升15．已知集合A ＝{x |x ∈R |(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1＝0}中有且仅有一个元素，求a 的值．解析：(1)若a 2－1＝0，则a ＝±1.当a ＝1时，x ＝－12，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，符合题意；当a ＝－1时，A ＝∅，不符合题意．(2)若a 2－1≠0，则Δ＝0，即(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0⇒a ＝53，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，符合题意．综上所述，a ＝1或53. 16．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1又可表示为{a 2，a ＋b ，0}，求a 2 014＋b 2 013的值． 解析：由题知a ≠0，故b a＝0.∴b ＝0.∴a 2＝1.∴a ＝±1.又a ≠1，故a ＝－1.∴a 2 014＋b 2 013＝(－1)2 014＋02 013＝1.17．设正整数的集合A 满足：“若x ∈A ，则10－x ∈A ”．(1)试写出只有一个元素的集合A ；(2)试写出只有两个元素的集合A ；(3)这样的集合A 至多有多少个元素？解析：(1)令x ＝10－x ⇒x ＝5.故A ＝{5}．(2)若1∈A ，则10－1＝9∈A ；反过来，若9∈A ，则10－9＝1∈A .因此1和9要么都在A 中，要么都不在A 中，它们总是成对地出现在A 中．同理，2和8，3和7，4和6成对地出现在A 中，故{1，9}或{2，8}或{3，7}或{4，6}为所求集合．(3)A 中至多有9个元素，A ＝{1，9，2，8，3，7，4，6，5}．18．若数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a 1－a∈M (a ≠0，a ≠±1)，则集合M 中至少有几个元素？解析：∵a ∈M ，1＋a 1－a∈M ， ∴1＋1＋a 1－a 1－1＋a 1－a＝－1a ∈M . ∴1－1a 1＋1a ＝a －1a ＋1∈M .∴1＋a －1a ＋11－a －1a ＋1＝a ∈M . ∵a ≠0且a ≠±1，∴a ，1＋a 1－a ，－1a ，a －1a ＋1互不相等．∴集合M 中至少有4个元素．2019-2020年高中数学 1.1集合的概念（1）教案 新人教A 版必修1 教学目的：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：1．集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、复习引入：1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子（P4）二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？（3）集合中元素的特性是什么？（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合记作Z ,（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,（5）实数集：全体实数的集合记作R{}数R=数轴上所有点所对应的注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写三、练习题：1、教材P5练习1、22、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（不确定）（2）好心的人（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__4、由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含（ A ）（A）2个元素（B）3个元素（C）4个元素（D）5个元素5、设集合G中的元素是所有形如a＋b（a∈Z, b∈Z）的数，求证：(1) 当x∈N时, x∈G;(2) 若x∈G，y∈G，则x＋y∈G，而不一定属于集合G证明(1)：在a＋b（a∈Z, b∈Z）中，令a=x∈N,b=0,则x= x＋0*= a＋b∈G,即x∈G证明(2)：∵x∈G，y∈G，∴x= a＋b（a∈Z, b∈Z）,y= c＋d（c∈Z, d∈Z）∴x+y=( a＋b)+( c＋d)=(a+c)+(b+d)∵a∈Z, b∈Z,c∈Z, d∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d) ∈G，又∵＝且不一定都是整数，∴＝不一定属于集合G四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于）2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性3．常用数集的定义及记法五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：八、附录：康托尔简介发疯了的数学家康托尔（Georg Cantor，1845－1918）是德国数学家，集合论的创始者1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷康托尔11岁时移居德国，在德国读中学1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期1867年以数论方面的论文获博士学位1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础从而解决17世纪牛顿（I.Newton，1642－1727）与莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815－1897）等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论克隆尼克（L.Kronecker，1823－1891），康托尔的老师，对康托尔表现了无微不至的关怀他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折法国数学家彭加勒（H.Poi-ncare，1854－1912）：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西集合论是一个有趣的“病理学的情形”，后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了德国数学家魏尔（C.H.Her-mann Wey1，1885－1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾菲利克斯．克莱因（F.Klein，1849－1925）不赞成集合论的思想数学家H．A．施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世流星埃．伽罗华（E.Galois，1811－1832），法国数学家伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题许多数学家为之耗去许多精力，但都失败了直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的研究才算迈出重要的一步伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上同时创立了具有划时代意义的数学分支——群论，数学发展史上作出了重大贡献1829年，他把关于群论研究所初步结果的第一批论文提交给法国科学院科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书J．B．傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿1831年1月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作当时的数学家S．K．泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它1832年5月30日，临死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类1832年5月31日离开了人间死因参加无意义的决斗受重伤1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上。