广东东莞市2015—2016学年度第一学期期末教学质量检查高二文科数学(B卷)

广东东莞市2015—2016学年度第一学期期末教学质量检查高二文科数学（B 卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请把正确选择支号填在答题表内.）1.在ABC ∆中,若23,45,6000==∠=∠BC B A ,则AC =（ ）A．B．CD2.命题“若2a >，则1a >”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ） A. 1 B.2 C.3 D.43.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且3680a a +=，则42S S =（ ） A ．11-B ．8-C ．5D ．114.已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若5610a a +=，则10S =（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 555.在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的边，若︒=60B ，ac b =2，则A B C ∆的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形6.若y x 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10303y y x y x ，则y x z +=3的最大值为（ ）A. 11B.11-C. 13D. 13- 7.已知2:230,:20p x x q x --<+≥,则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8.双曲线2255x ky +=的一个焦点是(2,0),则其渐近线方程为( )A. 2y x =±B. y =C. y x =D. y = 9.已知函数2)()(c x x x f -=在2=x 处有极小值，则实数c 的值为（ )A. 2B. 62或C. 6D. 64或10.已知322(0,0)a b a b+=>>,则ab 的最小值是（ ）A.4B.5C.6D.711.已知椭圆E 的中心为坐标原点，长轴的长为8，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，抛物线C的准线与椭圆E 交于,A B 两点，则AB = （ ）A.3B. 6C.9D.1212.已知函数32()698f x x x x =-+-+,则过点(0,0)可以作几条直线与函数)(x f y =图像相切（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上.） 13.若关于x 的不等式2340x mx +-<的解集为(4,1)-,则m 的值为 .14.已知数列{}n a 满足*11()n n a a n N +=+∈,且11a =, 则=+++100993221111a a a a a a . 15.已知抛物线24y x =的焦点为F ,O 为坐标原点，M 为抛物线上一点且||3MF =,则OMF ∆的面积为________.16.如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，在D 点测得塔在北偏东030方向，然后向正西方向前进10米到达C ，测得此时塔在北偏东060方向．并在点C 测得塔顶A 的仰角为060，则塔高AB ＝________米.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分） 在锐角ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、（1）求角C ；（2）若7=c ，且ABC ∆的周长为5+ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，等比数列{}n b ，11a b =，4b 是4a 与5a 的等差中项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）命题p :2,10x R x mx ∀∈++≥；命题q :方程2212x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆. 若“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围.第16题20.（本小题满分12分）已知某种商品每日的销售量y (单位：吨)与销售价格x (单位：万元/吨，51≤<x )满足：当31≤<x 时，26(4)1y a x x =-+- (a 为常数)；当53≤<x 时，7y kx =+，已知当销售价格为3万元/吨时，每日可售出商品该4吨，当销售价格为5万元/吨时，每日可售出商品该2吨. (1)求,a k 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为1万元/吨，试确定销售价格x 的值，使得每日销售该商品所获利润最大.21.（本小题满分12分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点B A 、，已知椭圆C 的焦距为2，且BF AB 26=. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(0,2)P -的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，当MON ∆面积取得最大时，求直线l 的方程.22.（本小题满分12分）设函数)23(ln )(2+-+=x x a x x f ，其中a R ∈. （1）若1a =,求函数()f x 的单调区间；（2）若0)(,1,0≥>∀>x f x a 对成立，求实数a 的最大值.2015—2016学年度第一学期期末教学质量检查高二文科数学B参考答案及评分标准13.1 14.9910016.30三、解答题17.解：（1sin2C=…………………3分又因为△ABC为锐角三角形，所以3Cπ=…………………5分（2）2222cosc a b ab C=+-，2227()3a b ab a b ab=+-=+-…………………6分△ABC的周长5a b c++=+5a b+=…………………7分6=ab…………………8分△ABC的面积=11sin622ab C=⋅=…………………10分18. 解：（1）数列{}n a的前n项和2nSn=，所以111==Sa…………………1分2≥n，12)1(221-=--=-=-nnnSSannn…………………2分当1=n，也满足12-=nan…………………3分所以*,12Nnnan∈-=…………………4分111==ab，972544+=+=aab，所以84=b，…………………6分8314=⋅=qbb，所以2=q，所以12-=nnb…………………7分（2）1(21)2nn n nc a b n-=⋅=-⋅0121123252(21)2nnT n-=⋅+⋅+⋅++-⋅①…………………8分1232123252(21)2nnT n=⋅+⋅+⋅++-⋅②…………………9分①式减去②式得：012311222222222(21)2n nnT n--=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅…………………10分212(12)1(21)212nnnT n---=+--⋅-3(23)2nn=---⋅…………………11分3(23)2nnT n∴=+-⋅…………………12分19. 解：命题p:01,2≥++∈∀mxxRx为真，∴042≤-=∆m⇒22≤≤-m…………3分命题q为真，即方程2212x ym+=是焦点在y轴上的椭圆，02m∴<<…………6分又“p且q”是假命题，“p或q”是真命题∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题…………7分⎩⎨⎧≥≤≤≤-∴2022m m m 或，或⎩⎨⎧<<>-<2022m m m 或 …………11分 ∴m 的取值范围是{}2]0,2[ - …………12分20.解：(1)因为3x =时，4y =；所以34a +=，得1a = …………………2分 因为5x =时，5y =；所以572k +=，得1k =-…………………4分故26(4)13173< 5x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+≤⎩ …………………5分 （2）由(1)知，当31≤<x 时，每日销售利润26()[(4)](1)1f x x x x =-+--1024923-+-=x x x )31(≤<x…………………6分 2()31824f x x x '=-+． …………………7分令 2()318240f x x x '=-+>，解得4x >或2x < 所以()f x 在[1,2]单调递增，在[2,3]单调递减 ………………8分 所以当2x =，max ()(2)10f x f ==， ………………9分当 3< 5x ≤时，每日销售利润2()(7)(1)87f x x x x x =-+-=-+-9)4(2+--=x ……………10分)(x f 在4=x 时有最大值，且max ()(4)9(2)f x f f ==< ………………11分 综上，销售价格2x =万元/吨时，每日销售该商品所获利润最大． ………………12分21.解：（1）椭圆C 的焦距为2，所以22=c ， 1=c ……………………1分 由已知BF AB 26=，即a b a 2622=+， ………………………2分 222322a b a =+，22222c b b a +==， ………………………3分所以2,1===a c b ， …………………4分椭圆方程为1222=+y x …………………5分 （2）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =-由22212y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得关于x 的方程：22(12)860k x kx +-+= ………………………6分由直线l 与椭圆相交于M N 、两点，2206424(12)0k k ∴∆>⇒-+>解得232k >又由韦达定理得122122812612k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩ ………………………7分12|||MN x x ∴=-==………………………8分 原点O 到直线l的距离d =222221322221241621kk k k d MN S MON+-=+-=⋅=∆ . ………………………9分 解法1：令0)m m =>， 则2223k m =+S m m∴==≤+ ………………………10分当且仅当4m m=即2m =时，22)(max =∆MON S此时2k =±………………………11分所以，所求直线方程为04214=--±y x ………………………12分解法2：对212S k=+两边平方整理得：2422244(4)240S k S k S +-++=（*） ∵0S ≠，2222222216(4)44(24)0,402404S S S S S S S ⎧⎪--⨯+≥⎪-⎪>⎨⎪⎪+>⎪⎩ 整理得：212S ≤又0S >，02S ∴<≤………………………10分 从而MON S ∆的最大值为2S =，此时代入方程（*）得 42428490k k -+=2k ∴=± ………………………11分所以，所求直线方程为：240y --=. ………………………12分解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零.设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =-， 则直线l 与x 轴的交点2(,0)D k，由解法一知232k >且122122812612k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩， ………………………7分=+--⋅=-⋅=∆22221212121kx kx ky y OD S MON 12||x x -=== ………………………9分下同解法一.22.解：（1）当1a =，23ln )(2+-+=x x x x f ，定义域为),0(+∞ …………………1分xx x x x x x x x f )1)(12(132321)(2--=+-=-+=' …………………2分令0)(>'x f ，解得1210><<x x 或 …………………3分令0)(<'x f ，解得121<<x …………………4分所以函数()f x 的单调增区间有)21,0(和),1(+∞，单调减区间为)1,21( …………………5分（2）)32(1)(-+='x a xx f x ax ax 1322+-=，因为0>a令132)(2+-=ax ax x g ，)(x g 的对称轴43=x ， ………………6分①当0)43(≥g 时，即980≤<a ，),0(+∞∈x ，0)(≥x g ，所以0)(>'x f ，即)(x f 在),0(+∞上单调递增，1>x ，0)1()(=>f x f ，即980≤<a ，0)(,1≥>∀x f x 对成立； ………………8分②当0)43(<g 时，即98>a ，0132)(2=+-=ax ax x g 的两根为0489321>--=a a a a x ，0489322>-+=a aa a x ，且210x x << ………………9分若1489322≤-+=a a a a x ，即198≤<a 时 ),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ，所以函数()f x 在),1(+∞上单调递增，又0)1(=f ，所以),1(+∞∈x 时，0)1()(=>f x f ，符合题意； ………………10分若1489322>-+=aaa a x ，即1>a 时， 1489302<--<a a a a aa a a 48932-+<，即2110x x <<<由0)1(=f ，函数)(x f 在),(21x x 单调递减，所以),1(2x x ∈时，0)1()(=<f x f 不符合题意 ………………11分 综上所述，a 的取值范围是]1,0(，所以a 的最大值为1. ………………12分。