人教版2017高中数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算二PPT课件
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2.1.1 指数与指数幂的运算
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意 字母参数的取值范围,即确定 ������ ������������ 中a的正负,再结合n的奇偶性给 出正确结果.
探究一
探究二
探究三
探究四
课堂篇 探究学习
思想方法 当堂检测
延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢? (2)该例中的(2),若x>3呢? 解:由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|. (1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0, 故该式=-(x-1)-[-(x+3)]=4; (2)若x>3,则x-1>0,x+3>0, 故该式=(x-1)-(x+3)=-4.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 当堂检测
探究三利用分数指数幂的运算性质化简求值
例 3 (1)计算:0.064-13 −
-
7 8
0
+
[(-2)3
]-43
1
+16-0.75+|-0.01|2;
39
(2)化简: ������2 ������-3 ÷
3 ������-7·3 ������13(a>0).
������-3· ������-1(a>0).
解:(1)原式=1+14 ×
=1+16
−
1 10
=
1165.
1
4 9
2−
1
12 100
3
(2)原式=
a72·a-32
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能 同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
探究一
探究二
探究三
探究四
课堂篇 探究学习
思想方法 当堂检测
延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢? (2)该例中的(2),若x>3呢? 解:由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|. (1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0, 故该式=-(x-1)-[-(x+3)]=4; (2)若x>3,则x-1>0,x+3>0, 故该式=(x-1)-(x+3)=-4.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 当堂检测
探究三利用分数指数幂的运算性质化简求值
例 3 (1)计算:0.064-13 −
-
7 8
0
+
[(-2)3
]-43
1
+16-0.75+|-0.01|2;
39
(2)化简: ������2 ������-3 ÷
3 ������-7·3 ������13(a>0).
������-3· ������-1(a>0).
解:(1)原式=1+14 ×
=1+16
−
1 10
=
1165.
1
4 9
2−
1
12 100
3
(2)原式=
a72·a-32
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能 同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
人教高中数学必修1课件：2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时 指数幂及运算 探究导学课型
指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.
⇓
用符号语言描述：_______(a>0,m,n∈N*且n>1).
m
n am a n
⇓ 分数指数幂的意义:(1)正数的正分数指数幂的意义: __m _____(a＞0,m,n∈N*,且n＞1). a n n am (2)正数的负分数指数幂的意义:
_a_mn____1m_(a＞0,m,n∈N*,且n＞1). (3)0的a n正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂________.
3111 1121
a2 6 3b 3 3
ab1
a.
b
6.计算
(a
2 3
b
3
)
(
1
a
1 6
b
5 6
).
(仿照教材P52例4的解析3 过程)
【解析】 (a
2 3
b
1 2
)(3a
1 2
1
b3
)
(
1
a
1 6
b
5 6
)
3
211 115
3 3a 3 2 6b2 3 6 9a.
提示：(1)若a=0，因为0的负数指数幂无意义,所以
a≠0.
(2)若a＜0，(ar)s=ars也不一定成立,如
1
1
所以a＜0不成立.因此不适用于a=0或a<[(04的)2]情4 况(.4)2 ,
3.公式am÷an=am-n(a>0，m，n∈N*)成立吗？请用有
理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限
[3 ,) 2
所以2a-3≠0,即(2a
1
3) 3
3
1 2a 3
,
故a的取值范围为a 3 , 2
⇓
用符号语言描述：_______(a>0,m,n∈N*且n>1).
m
n am a n
⇓ 分数指数幂的意义:(1)正数的正分数指数幂的意义: __m _____(a＞0,m,n∈N*,且n＞1). a n n am (2)正数的负分数指数幂的意义:
_a_mn____1m_(a＞0,m,n∈N*,且n＞1). (3)0的a n正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂________.
3111 1121
a2 6 3b 3 3
ab1
a.
b
6.计算
(a
2 3
b
3
)
(
1
a
1 6
b
5 6
).
(仿照教材P52例4的解析3 过程)
【解析】 (a
2 3
b
1 2
)(3a
1 2
1
b3
)
(
1
a
1 6
b
5 6
)
3
211 115
3 3a 3 2 6b2 3 6 9a.
提示：(1)若a=0，因为0的负数指数幂无意义,所以
a≠0.
(2)若a＜0，(ar)s=ars也不一定成立,如
1
1
所以a＜0不成立.因此不适用于a=0或a<[(04的)2]情4 况(.4)2 ,
3.公式am÷an=am-n(a>0，m，n∈N*)成立吗？请用有
理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限
[3 ,) 2
所以2a-3≠0,即(2a
1
3) 3
3
1 2a 3
,
故a的取值范围为a 3 , 2
课件11：2.1.1 指数与指数幂的运算
1
＝x＋yx－－2yxy 2 ，①
又∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x<y，∴x－y＝－6 3.③
将②、③代入①式得
1
1
1
x x
2
1 2
－y ＋y
2
1 2
＝12－－26×39
2
＝－
3 3.
【跟踪训练3】
已知a
1 2
－
＋a
1 2
＝3，求下列各式的值．
2.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指 数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
3.对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数幂的形式表示．
[走出误区]
易错点⊳因忽略幂指数的范围而导致错误
11
[典例] 化简(1－a)[(a－1)－2(－a) 2 ] 2 ＝________.
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第2课时 指数幂及运算
[问题提出]
1.有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质是否相同？ 2.无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质是否相同？
[基础自学]
1．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
[解]
(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.①
由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2，
∴8x＋8－x＝t3＋t－3＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
人教版高中数学必修一指数与指数幂的运算课件PPT
的,而不是打发时间用的内容),每次上课时准备好的内容都应该 比实现计划教授的内容多一些,以保证每堂课的内容都是充分的。 2.教师一上课就应该立刻开始教学活动,直到下课学生离开教室 才结束。
3.事先准备一些简短、有趣的教学任务。如果需要在课堂上 布置任务,比如需要耗时三十分钟的短文写作,可以把整体任务 分解成几个更小的部分,并且带领学生一步一步完成每个部分。 记住,这种简短、有趣的任务要比一次需要耗费很长时间的任务 更能吸引学生的注意力。
引导探究一
3 3 27
2 3 8
2 5 32
2 2 4
32 9
2 4 16
n 次方根的定义：
如果一个数的 n 次方等于 a(n 1, n N ) 那么这个数叫做a 的n次方根.
数学符号表示：
若_x_n___a_(_n___1,_n___N__*)，则 x 叫做a 的 n 次方根．
课题导入
回顾初中所学的整数指数幂和根式
2.1.1指数与指数幂的运算
第一课时
目标引领
1.能理解n次方根的概念，并对n次方根进 行计算；
2.理解根式的意义，能理解根式中各部分 的意义；
3.理解分式指数幂以及有理式和无理式指 数幂。
独立自学
1.a的n次方根的定义是什么？与n的奇偶性 有何关系？
2.什么是分数指数幂？有哪些注意事项？ 3.什么是无理数指数幂？
是的,教学是一件很费心思的事情,世界上不可能存在一 种万能的教学方法,至少我还没听说过那些低效的教师 在课堂上往往只是简单地给全体学生布置一项任务(而 且很可能没有仔细考虑自己布置的任务是不是学生感兴 趣的或是需要的),然后要求学生用二十分钟完成。同样, 不用亲历现场你也能猜到,有些学生五分钟就能完成任 务,而这段时间里还有些学生甚至都没有开始,总有些学 生无法在二十分钟内完成任务因此,这个二十分钟的规 定会带来课堂纪律的问题。教师需要不断提醒学生集中 注意力,但有的学生会抱怨自己还没听懂,而那些提前完 成的学生则会感到无聊,并且着急地等着新任务。
3.事先准备一些简短、有趣的教学任务。如果需要在课堂上 布置任务,比如需要耗时三十分钟的短文写作,可以把整体任务 分解成几个更小的部分,并且带领学生一步一步完成每个部分。 记住,这种简短、有趣的任务要比一次需要耗费很长时间的任务 更能吸引学生的注意力。
引导探究一
3 3 27
2 3 8
2 5 32
2 2 4
32 9
2 4 16
n 次方根的定义：
如果一个数的 n 次方等于 a(n 1, n N ) 那么这个数叫做a 的n次方根.
数学符号表示：
若_x_n___a_(_n___1,_n___N__*)，则 x 叫做a 的 n 次方根．
课题导入
回顾初中所学的整数指数幂和根式
2.1.1指数与指数幂的运算
第一课时
目标引领
1.能理解n次方根的概念，并对n次方根进 行计算；
2.理解根式的意义，能理解根式中各部分 的意义；
3.理解分式指数幂以及有理式和无理式指 数幂。
独立自学
1.a的n次方根的定义是什么？与n的奇偶性 有何关系？
2.什么是分数指数幂？有哪些注意事项？ 3.什么是无理数指数幂？
是的,教学是一件很费心思的事情,世界上不可能存在一 种万能的教学方法,至少我还没听说过那些低效的教师 在课堂上往往只是简单地给全体学生布置一项任务(而 且很可能没有仔细考虑自己布置的任务是不是学生感兴 趣的或是需要的),然后要求学生用二十分钟完成。同样, 不用亲历现场你也能猜到,有些学生五分钟就能完成任 务,而这段时间里还有些学生甚至都没有开始,总有些学 生无法在二十分钟内完成任务因此,这个二十分钟的规 定会带来课堂纪律的问题。教师需要不断提醒学生集中 注意力,但有的学生会抱怨自己还没听懂,而那些提前完 成的学生则会感到无聊,并且着急地等着新任务。
课件12：2.1.1 指数与指数幂的运算
对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个 问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一 长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来 表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 2 的诞 生．小小 2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风 暴．史称“第一次数学危机”．希帕索斯也因发现了根号 2， 憾动了学派的基石而被扔进大海.
跟踪训练 1. 计算下列各值： (1)27 的立方根是________； (2)256 的四次算术方根是________； (3)32 的五次方根是________．
[答案] (1)3 (2)4 (3)2 [解析] (1)∵33＝27，∴27的立方根是3. (2)∵(±4)4＝256，∴256的四次算术方根为4. (3)∵25＝32，∴32的五次方根为2.
∴ x2－2x＋1－ x2＋6x＋9
＝－－24x－2
－3<x<1 1≤x<3 .
命题方向4.根式的运算技巧
例 4.计算 5－2 6＋ 5＋2 6.
[分析] 注意 a＋2 b的配方或整体考虑运用方程思想． [解析] 解法一：原式＝ 2－ 32＋ 2＋ 32＝ 3－ 2＋ 3＋ 2＝2 3. 解法二：设 x＝ 5－2 6＋ 5＋2 6，则 x>0. 平方得 x2＝(5－2 6)＋(5＋2 6)＋ 2 5＋2 65－2 6 即 x2＝12，∵x>0，∴x＝2 3.∴原式＝2 3.
新知导学
1.n次方根
一般地，如果 xn＝a，那么__x__叫做 a 的_n_次__方__根__， 定义＞0 奇数 a＜0 x＜0
x 仅有一个值，记为n a
个数 n 是 a＞0 x 有两个值，且互为相反数，记为±n a
人教A版数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算第2课时指数幂及运算.ppt
)8
(n
3 8
)8
m2n3
m2 n3
.
【变式练习】
计算下列各式的值：
1 1 1
(1) a 2 a 4 a 8 ;
(2)
2x（13 1
1
x3
2
x
2
3）.
2
解：(1)
1 1 1
a2a4a 8
111
a2 4 8
5
a8;
(2)
2x（13 1
1
x3
2
x
2
3）
1
4.
2
x
例4.计算下列各式：
(1) ( 3 25 125) 4 25;
【变式练习】
用分数指数幂表示下列各式：
2
(1) 3 x2 ;
x3
(2) 4 (a b)3 (a b 0);
3
(a b)4
(3) 3 (m n)2 (m n);
2
(m n)3
例4.计算下列各式（式中字母都是正数）：
21
11
15
(1) (2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 );
例1 把下列的分数指数式化为根式，把根式化成
分数指数式.
3
(1)45 5 43 ;
(2)7
5 3
1 3 75
;
2
(3) 3 a2 a 3 ;
(4)7 a9
9
a7 .
探究点2 有理数指数幂的运算性质 已知：整数指数幂的运算性质：
（1）aman amn (a 0, m, n Z);
（2）(am )n amn (a 0, m, n Z);
例2
求值：
8
高一人教A版数学必修1课件：2.1.1 指数与指数幂的运算
．
解答本题易忽视被开方数的符号致误
【防范措施】 为使开偶次方后不出现符号错误，开 方时先带着绝对值符号，然后再根据取值范围去掉绝对值符 号进行化简．
【解】 原式＝ （x－2）2－ （x＋1）2＝|x－2|－ |x＋1|.
∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0， ∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.
化，但要注意根指数是分数指数的分母．
2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根
式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时
，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．
忽视被开方数的符号致误
(2014·山东日照一模)若－1＜x＜2，化简 x2－4x＋4
－ x2＋2x＋1. 【易错分析】
0＋37； 48
(2)
－338
－
2 3
＋
(0.002)
－
1 2
－
10(
5 － 2) － 1 ＋ (
2－
3)0；
(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(a＞0，b＞0，c＞
0)；
3 (4)2
a÷46
a·b×3
b3(a＞0，b＞0)．
【思路探究】 进行指数幂运算时，化负指数为正指 数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，以便于进行乘、 除、乘方、开方运算，达到化繁为简的目的．
自 主 学 习 · 基 础 知 识
易 误 警 示 · 规 范 指 导
合
作
探
课
究
时
·
作
重
业
难
疑
点
2．1
指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
[学习目标] 1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性 质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2.理解整 数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间 的相互转化．(重点、易混点)3.理解有理数指数幂的含义及 其 运 算 性 质 ． ( 重 点 )4. 通 过 具 体 实 例 了 解 实 数 指 数 幂 的 意 义．
解答本题易忽视被开方数的符号致误
【防范措施】 为使开偶次方后不出现符号错误，开 方时先带着绝对值符号，然后再根据取值范围去掉绝对值符 号进行化简．
【解】 原式＝ （x－2）2－ （x＋1）2＝|x－2|－ |x＋1|.
∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0， ∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.
化，但要注意根指数是分数指数的分母．
2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根
式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时
，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．
忽视被开方数的符号致误
(2014·山东日照一模)若－1＜x＜2，化简 x2－4x＋4
－ x2＋2x＋1. 【易错分析】
0＋37； 48
(2)
－338
－
2 3
＋
(0.002)
－
1 2
－
10(
5 － 2) － 1 ＋ (
2－
3)0；
(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(a＞0，b＞0，c＞
0)；
3 (4)2
a÷46
a·b×3
b3(a＞0，b＞0)．
【思路探究】 进行指数幂运算时，化负指数为正指 数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，以便于进行乘、 除、乘方、开方运算，达到化繁为简的目的．
自 主 学 习 · 基 础 知 识
易 误 警 示 · 规 范 指 导
合
作
探
课
究
时
·
作
重
业
难
疑
点
2．1
指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
[学习目标] 1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性 质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2.理解整 数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间 的相互转化．(重点、易混点)3.理解有理数指数幂的含义及 其 运 算 性 质 ． ( 重 点 )4. 通 过 具 体 实 例 了 解 实 数 指 数 幂 的 意 义．
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
高中数学必修一教学课件：第二章 基本初等函数 2.1.1指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算无理数指数幂有理数指数幂整数指数幂分数指数幂幂的运算性质根式的性质.*,1,,,N n n n x a a x n ∈>=且其中次方根的叫做那么如果一般地n a根号被开方数 根指数 根式•1、n 次方根的定义及性质是平方根与立方根的定义及性质的推广：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0..1,n a n a ，n R a 次方根是的则的奇数是大于设∈（2）在实数范围内，正数的偶次方根是一对相反数，负数 的偶次方根没有意义，0的偶次方根是0..1,0na n a ，n a ±≥次方根是的则的偶数是大于设开方运算.2的四次方根不是叫做四次根号结果则为的四次方根而求结果为的四次方如求为逆运算开方运算与乘方运算互运算次方根的运算称为开方的求2,222:,2;162:,2,,444±=n a 导图()⎩⎨⎧>>=>∈=>∈=)1,(|,|)1,(,.3)1*(,.2)1*(,00.1n n a n n a a n N n a a n N n n n n n n 且为正偶数且为正奇数且且：x x ，x y x y x 其中正确的是则若次方根是的有下列说法例.222)2(2)5(|;|)()4(;381)3(;2416)2(;327)1(:.13388243-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-<+=+±=±=-.,263223)3(|;3|44,2)2(;)2(:)1.(262488的值及求实数已知化简有意义若求值例y x x x y x x x x x +-+-=--+---导图分数指数幂正分数指数幂规定:n mnmaa=(a>0,m,n∈N*,且n>1)负分数指数幂规定:n mnmaa1=-(a>0,m,n∈N*,且n>1)0的指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂0次幂没有意义.导图)1*,,0(1>∈>=nNnaaa nn).0()5();0()4();0(1)3();0()2();0()()1(:,.3413314343316221>=≠-=>⎪⎭⎫ ⎝⎛=<=>-=---a a a a x x x x x x y y y x x x 正确的是根式与分数指数幂互化下列关系式中例)0()2(;)(1)1(:.4324323252>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b b x x 数幂的形式将下列式子化成分数指例导图一般地,无理数指数幂ra (0 a ,r 是无理数)是一个确定的实数.导图r r r s r s r rr r rs sr s r s r b a b a a aa b a ab aa aa a =⎪⎭⎫ ⎝⎛====-+.5.4).(3).(2;.1()33122121212121212175.0343031264233266141)3(2)2(|01.0|16])2[(8706.0)1(:)(.5⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+--++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-------ba ba b a b a b a 下列各式或化简计算例根式 化成 分数 小数 化成 分数.,3)2(;88),(22)1.(6212123232121的值求已知的值求常数已知例-------=++=+a a aa a a a x x x x。
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
n n a =a; n
an =|a|=
a (a≥0), -a (a<0).
5.负数没有偶次方根. 6.零的任何次方根都是零.
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 3
问题提出
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
1.整数指数幂有哪些运算性质？
a a a
2 3 2 3
a r a s a r s ( r , s Q)
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 10
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
例1.求值：8 ,100 , ( ) 3 , (
2 3
1 2
解： (2 ) 1 2 8 1
例3.计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2a b )(6a b ) (3a b ); (2)(m n ) .
1 4 3 8 8
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
2013-1-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
13
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
1 2 2
a
5 2
a a a a a
3 3 2 3
1 1 2 2
2 3
2 3 3
a
3 4
11 3
a a (a a ) (a ) a
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3 1 2 2
12
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
b
1 1 5 2 3 6
4ab 4a
0
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 14
an =|a|=
a (a≥0), -a (a<0).
5.负数没有偶次方根. 6.零的任何次方根都是零.
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 3
问题提出
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
1.整数指数幂有哪些运算性质？
a a a
2 3 2 3
a r a s a r s ( r , s Q)
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 10
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
例1.求值：8 ,100 , ( ) 3 , (
2 3
1 2
解： (2 ) 1 2 8 1
例3.计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2a b )(6a b ) (3a b ); (2)(m n ) .
1 4 3 8 8
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
2013-1-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
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§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
1 2 2
a
5 2
a a a a a
3 3 2 3
1 1 2 2
2 3
2 3 3
a
3 4
11 3
a a (a a ) (a ) a
2013-1-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
3 1 2 2
12
§2.1.1-2 指数与指数幂的运算(二)
b
1 1 5 2 3 6
4ab 4a
0
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人教版高中数学必修一2.1.1《指数与指数幂的运算》ppt课件
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
最新中小学教学课件
14
谢谢欣赏！
2.1.1 指数与指数幂的运算
问题提出
1.什么叫a的n次方根？
2.设 n N, n 1，则 an , a0 (a 0), an (a 0)
的含义分别如何？
3.整数指数幂有哪些运算性质？
设 m, n Z ，则 am an amn ；
(am )n amn ；(ab)n an bn .
知识探究（二）:有理数指数幂的运算性质
34
思考1: 22 23 =？一般地 ar as (a 0, r, s Q) 等于什么？
34
思考2: (2 2 ) 3=？一般地 (ar )s (a 0, r, s Q) 等于什么？
22
思考3：23 33 =？一般地 ar as (a 0, r, s Q) 等于什么？
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
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2.1.1 指数与指数幂的运算
问题提出
1.什么叫a的n次方根？
2.设 n N, n 1，则 an , a0 (a 0), an (a 0)
的含义分别如何？
3.整数指数幂有哪些运算性质？
设 m, n Z ，则 am an amn ；
(am )n amn ；(ab)n an bn .
知识探究（二）:有理数指数幂的运算性质
34
思考1: 22 23 =？一般地 ar as (a 0, r, s Q) 等于什么？
34
思考2: (2 2 ) 3=？一般地 (ar )s (a 0, r, s Q) 等于什么？
22
思考3：23 33 =？一般地 ar as (a 0, r, s Q) 等于什么？
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
新课标人教版必修一指数与指数幂运算课件(共16张PPT)
(1)n为奇数时，a的n次方根用符号n a 表示
正数的n次方根为一个正数 负数的n次方根为一个负数
如：
3
8 2,
3
8 2
(2)n为偶数时，
正数a的n次方根有两个，正的n次方根用 n a 表示， n 负的n次方根用 a表示， 负数没有偶次方根 规定：零的任何次方根都是0.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
指数与指数幂运算
骨干教师：代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
知识要点：
1:根式的概念: n n次方根：一般地，若 x (其中n ＞1，且n∈Ｎ*) a的n次方根用符号
a ,则x叫做a的n次方根，
n
a
表示，其中n称为根指数，a为被开方数.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
r
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
典型例题：
例1：化简： （1 ）
3 2 2 3 2 2
(1 2) 2 (1 2) 2
(1 2) ( 2 1) 2
（2）a
a
a a 1
3 2 1 a2
(((a 2 ) a) )
(a ) a
1 a
变式：
2 x a , b 已知 是方程 6 x 4 0的两个根，且 a b 0
求：
a b a b
的值。
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
(3) a a a a
课件13：2.1.1 指数与指数幂的运算
命题方向1.根式与分数指数幂的互化 例 1.用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：
(1)3 a2· a3；(2) a a a； (3)(3 a)2· ab3；(4) 1 .
4 a3＋b32
[思路分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式
化为分数指数幂的形式．
(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．
1
[错因分析] 忽略了题中有(－a)2 ，即相当于告知－a≥0，
1
故 a≤0，这样，[(a－1)－2]2 ≠(a－1)－1.实际上在解答本类题时
除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的
条件．
1
[正解] 由(－a)2 知－a≥0，故 a－1<0.
11
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)2 ]2
7
a－3
13 +3
＝3 a3÷
a2＝1.
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1
＝(a－1)4
＝4
a－1.
当堂检测
3
1．若(1－2x)－4 有意义，则 x 的取值范围是 ( )
A．x∈R
B．x∈R 且 x≠12
C．x>12
D．x<12
[答案] [解析]
D
3
(1－2x)－4
＝ 4
1
，∴1－2x>0，得
1 x<2.
1－2x3
2
5
2．计算(2a－3b－3 )·(－3a－1b)÷(4a－4b－3 )得 ( )
正是由于牛顿的这一发现，才使得正整数指数幂推广到了任意
实数指数幂．本节我们就一起来探究一下指数幂的扩充过程.
新知导学
高中数学必修一：2.1.1-2《指数与指数幂运算》(新人教版A).pptx
5 (c 0)
c4
正数的正分数指数幂的意义
m
规定：a n n am (a 0, m, n N ,且n 1)
正数的负分数指数幂的意义
规定：
a
m n
1
m
(a
0, m, m
N ,且n
1)
an
注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
(1)23 24 2(3 4)
(2)(22 )3 223
a 3 a2
运算性质 (1)ar as a(rs) (a 0, r, s R) (2)(ar )s ars (a 0, r, s R) (3)(ab)r ar br (a 0,b 0, r R)
a 2
7
a2
(2)a2 3 a2
2
a2 a 3
2 2
a 3
8
a3
(3) 3 a
11
4
2
(a a 3 ) 2 (a 3 ) a 3
例4.计算下列各式
2
11
15
（1）(2a 3 )( 6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6）
(2)(
m
1 4
n
3 8
)8
例5.计算下列各式 （1）(3 25 125) 4 25 （2） a2 (a 0)
(3)22 (1)2 2
(2
1 )2 2
有理数指数幂的运算性质
(1)ar as a(rs) (a 0, r, s Q)
(2)(ar )s ars (a 0, r, s Q)
(3)(ab)r ar br (a 0,b 0, r Q)
例2.求值8
2 3
，25
-
1 43
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)
1.am· an=am+n；
2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn； 5.
a n an ( ) n (b 0). b b
另外，我们规定：
a 1(a 0); 1 n a n. a
0
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1， 且n∈N*.
(a b) (a b).
2
三、分数指数幂 探究:
5 10 5
a
10பைடு நூலகம்
(a ) a a (a 0),
5 2 5 2 12 4
4
a12 4 (a 4 ) 3 a 3 a (a 0).
2 3
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
3
a 2 a ( a 0), b b (b 0),
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
2 3 1 3 1 3 1 3
2 3
a
1 3
1 3 1 3
a
1 3
a 2b
a a a a.
五、知识总结
整数指数幂 根式 两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R) (2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R ) (3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
人教版高中数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算 (2)ppt课件
① 当n为奇数时，
n
n
a
a
n
n
a;
a ( a 0) | a | a ( a 0).
当n为偶数时，
常用公式
n
a 表示a 的n次方根， 等式 a
n
n
n
n
a
n n
一定成立吗？如果不一 定成立，那么 a 等于什么？
① 当n为奇数时，
n
n
a
a
n
n
a;
a ( a 0) | a | a ( a 0).
n
a
n n
一定成立吗？如果不一 定成立，那么 a 等于什么？
常用公式
n
a 表示a 的n次方根， 等式 a
n
n
n
n
a
n n
一定成立吗？如果不一 定成立，那么 a 等于什么？
① 当n为奇数时，
常用公式
n
a 表示a 的n次方根， 等式 a
n
n
n
n
a
n n
一定成立吗？如果不一 定成立，那么 a 等于什么？
( a ) a.
n n
3
8
3
4
8
① 当n为奇数时，
n
an a; Nhomakorabea常用公式
n
a 表示a 的n次方根， 等式 a
n
n
n
n
a
n n
一定成立吗？如果不一 定成立，那么 a 等于什么？
① 当n为奇数时，
n
a
n
a;
当n为偶数时，
常用公式
n
a 表示a 的n次方根， 等式 a
n
n
n
a
a
n
n
a;
a ( a 0) | a | a ( a 0).
当n为偶数时，
常用公式
n
a 表示a 的n次方根， 等式 a
n
n
n
n
a
n n
一定成立吗？如果不一 定成立，那么 a 等于什么？
① 当n为奇数时，
n
n
a
a
n
n
a;
a ( a 0) | a | a ( a 0).
n
a
n n
一定成立吗？如果不一 定成立，那么 a 等于什么？
常用公式
n
a 表示a 的n次方根， 等式 a
n
n
n
n
a
n n
一定成立吗？如果不一 定成立，那么 a 等于什么？
① 当n为奇数时，
常用公式
n
a 表示a 的n次方根， 等式 a
n
n
n
n
a
n n
一定成立吗？如果不一 定成立，那么 a 等于什么？
( a ) a.
n n
3
8
3
4
8
① 当n为奇数时，
n
an a; Nhomakorabea常用公式
n
a 表示a 的n次方根， 等式 a
n
n
n
n
a
n n
一定成立吗？如果不一 定成立，那么 a 等于什么？
① 当n为奇数时，
n
a
n
a;
当n为偶数时，
常用公式
n
a 表示a 的n次方根， 等式 a
n
人教版数学高中必修一《指数与指数幂的运算》ppt
1 ar as ar+s (a>0,r,s QZ)
2 ar
s
ar s
(a>0,r,s ZQ)
3a br ar br (a>0,r,s QZ)
例题讲解：
例1：求值：
2
83，
－1
100 2
，（
1
）－3，（16
）－34
4
81
例2.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a 0）
n
1 am
(a 0, m, n N *,且n 1)
3、0的分数指数幂的意义：
（1）0的正分数指数幂等于0。 （2）0的负分数指数幂无意义。
分数指数幂是根式的另一种表现形式，两者可互化。
4、有理指数幂的运算性质
整有理数指数幂的运算性质: 对于任意的 整有理数数 r , s ,均有下面的运算性质： ：
当生物死亡了6000 ， 10000 ，100000 ，...年后，
它体内碳14的含量P分别是
(
1
)
6000 5730
，( 1 )150703000，( 1 )1050703000，..
2
2
2
分数指数幂
当a 0时
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
12
4 a12 4 (a3)4 a3 a 4
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规 律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时 间称为“半衰期”。根据此规律，人们获得了生物体内
碳14含量Ｐ与死亡年数t之间的关系：
P
(
1
t
) 573030 ，25730 ，35730 ，...年后，
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• 思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根 式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如：
2
3 a2 a 3 (a 0)
5
4 c5 c 4 (c 0)
1
b b2 (b 0)
m
即：n am a n (a 0, n N *, n 1)
• 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
人教版2017高中数学 —PPT课件—
1
二、分数指数幂
• 1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
an a a a a, a0 1 (a 0) ,
00 无意义
an
1 an
(a 0)
am an amn ; (am )n amn
(an )m amn , (ab)n anbn
• 2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
2、计算下列各式
1
1
1
1
a2 (1) 1
b2
1
a2 1
b2
1
a2 b2 a2 b2
(2)(a 2 2 a 2 ) (a 2 a 2 )
3、已知x x1 3，求下列各式的值
1
1
(1)x 2 x 2
1
1
(2)x 2 x 2
4、化简 (3 6 a9 )4 (6 3 a9 )4的结果是（C）
1
24
)(1
1
22
)的结果
( A)
A.
1
(1
2
1 32
) 1
2
1
C.1 2 32
B.(1
2
1 32
)
1
D.1
1
(1
2
1 32
)
2
• 作业：课本P59，习题2.1 • A组1、2、3、4； • B组2。
敬请批评指正
—2017年—
19
m
a n n am (a 0, m, n N *)
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m n
1
m
(a
0, m, n N * )
ห้องสมุดไป่ตู้
an
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数 指数幂无意义
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因 此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂 的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂 2 3 的含义。
课堂练习：课本P54练习1、2、3。
小结
1、根式和分数指数幂的意义 2、根式与分数指数幂之间的相互转化 3、有理指数幂的含义及其运算性质
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
8、a , b ，R 下列各式总能成立的是（B ）
A .( 6 a 6 b ) 6 a b B.8 (a 2 b 2 ) 8 a 2 b 2
C. 4 a 4 4 b 4 a b D. 10 (a b )10 a b
9、化简
(1
1
2 32
)(1
1
2 16
)(1
1
28
)(1
ar as ars (a 0, r, s Q)
(ar )S ars (a 0, r, s Q)
(a b)r arbr (a 0,b 0, r Q)
例1、求值
2
83 ;
1
25 2 ;
1 5 ;
16
3 4
2
81
例2、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
A.a16 B. a8 C. a4 D. a2
5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( C ) A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2
1
6、(| x | 1)
2有意义，则x 的取值范围是 ( （-，1）（1，+）
)
3xy 2 6
7、若10x=2，10y=3，则10 2 3 。
10
8
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 a8 (a4 )2 a4 a 2
12
10
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
•小结：当根式的被开方数的指数能被根指 数整除时，根式可以写成分数作为指数的 形式，（分数指数幂形式）
例3、计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例4、计算下列各式
(1)( 3 25- 125) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
三、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 a ( >0, 是