高考大一轮总复习9.9直线与圆锥曲线
高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线课件理
直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),
又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
x2 y2 3.若直线y=kx与双曲线 - =1 相交,则k的取值范围是 答案 解析 9 4 2 2 2 2 2 2 0 , - , 0 - , - ∞ ,- ,+ ∞ A. B. C. D. ∪ 3 3 3 3 3 3
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
x2 y2 例1 (2016· 烟台模拟)已知直线l:y=2x+m,椭圆C: + =1.试问当m 4 2 取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点.
解答
几何画板展示ຫໍສະໝຸດ 思维升华(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交 点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意 利用判别式的前提是二次项系数不为0. (2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到 一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程 为一次方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关 系求解.
由题意可设直线l的方程为y=m,
2
x 代入 4 -y2=1 得 x2=4(1+m2), 所以 x1= 41+m2=2 1+m2,
x2=-2 1+m ,
2
所以|AB|=|x1-x2|=4 1+m2,
所以|AB|=4 1+m2≥4,
即当m=0时,|AB|有最小值4.
题型分类
深度剖析
第1课时 直线与圆锥曲线
§9.9 圆锥曲线的综合问题
内容索引
基础知识 题型分类
人教a版高考数学(理)一轮课件:9.9直线与圆锥曲线的位置关系
考纲展示
1.了 解 圆锥 曲 线 的实际背景 , 了解 圆锥曲线在刻画 现实世界和解决 实际问题中的作 用. 2.理 解 数形 结 合 的思想. 3.了 解 圆锥 曲 线 的简单应用.
ห้องสมุดไป่ตู้
考纲解读
从近两年的高考试题来看, 直线与圆锥曲线的位置关系、弦 长、中点弦的问题等是高考的热点问题 , 题型既有选择题、 填空题, 又有解答题, 难度属中等偏高. 客观题主要考查直线与 圆锥曲线的位置关系、弦长问题,解答题考查较为全面,在考 查上述问题的同时 , 注重考查函数与方程、转化与化归、分 类讨论等思想方法.
������2 ������ 2 【解】(1)设双曲线方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0), ������ ������
由已知得 a= 3,c=2.∴ b=1.
������2 2 故所求双曲线方程为 -y =1. 3
(2)将 y=kx+
������2 2 2代入 -y =1, 3
可得 (1-3k 2)x2-6 2kx-9=0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 1-3������ 2 ≠ 0, ������ = (-6 2k)2 + 36(1-3������ 2 ) = 36(1- ������ 2 ) > 0, 故 k2≠ 且 k 2<1.①
4 .圆锥曲线的定值、最值、存在性问题很大一部分是利用等价转化思 想求有关圆锥曲线问题中参数的取值范围,常用的处理方法有: (1)不等式(组)的知识.根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不 等式(组),通过解不等式(组)得出参数的变化范围; (2)转化为求函数的值域.把所讨论的参数作为一个变量,另一个适当的 参数作为自变量来表示这个变量,从而建立函数关系,再通过讨论函数的值 域求出参数的变化范围.
2025年高考数学一轮复习 第九章 -第八节 直线与圆锥曲线【课件】
1
2
解 设的方程为 = + ,点 1 , 1 ,
面积的最大值.
1
= + ,
2
2 , 2 ,联立得൞ 2 2
整理得
+ = 1,
8
2
2
2 + 2 + 22 − 4 = 0. ∵ Δ = 42 − 8 + 16 > 0,解得 < 2,
∴ 1 + 2 = −2,1 2 = 22 − 4,则
B.若与有且仅有两个公共点,则 < 2 2
C.若 = 3 2,则上到的距离为5的点只有1个
D.若 = − 2,则上到的距离为1的点只有3个
+
2
2
= 1,则下列结论正确的
= + ,
[解析] 联立得ቐ
+
消去得 + + − = ,则判别式
2
5.已知椭圆:
4
2
+ =
3 24
1的左、右焦点分别为1 ,2 ,过2 且斜率为1的直线交椭圆于
,两点,则 =_____.
7
= − ,
[解析] 易知直线的方程为 = − ,设 , , , ,联立得ቐ
+
− − = ,则 + =
=
+ ⋅
+
,
−
⋅ = − ,所以
= .
= ,
得
02
研考点 题型突破
题型一 直线与圆锥曲线位置关系
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何直线与圆锥曲线的位置关系教案理解析版
基础知识整合1.直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,可把直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程.如联立后得到以下方程:Ax2+Bx+C=0(A≠0),Δ=B2—4AC.若Δ<0,则直线与圆锥曲线错误!没有公共点;若Δ=0,则直线与圆锥曲线错误!有且只有一个公共点;若Δ>0,则直线与圆锥曲线错误!有两个不同的公共点.2.弦长公式直线与圆锥曲线相交时,常常借助根与系数的关系解决弦长问题.直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y 后得到关于x的一元二次方程.当Δ>0时,直线与圆锥曲线相交,设交点为A(x1,y1),B(x2,y 2),直线AB的斜率为k,则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|=错误!错误!=错误!错误!=错误!错误!·错误!.再利用根与系数的关系得出x1+x2,x1x2的值,代入上式计算即可.3.直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.(1)利用根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.(2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y 2),代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1—x2,y1—y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法(1)解决焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题,注意应用圆锥曲线的定义.(2)已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时,通常利用待定系数法.(3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题,解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直,圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上,再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解.1.直线y=kx—k+1与椭圆错误!+错误!=1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定答案A解析直线y=kx—k+1=k(x—1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.2.已知双曲线错误!—错误!=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,错误!)B.(1,错误!]C.(错误!,+∞)D.[错误!,+∞)答案C解析因为双曲线的一条渐近线方程为y=错误!x,则由题意得错误!>2,所以e=错误!=错误!>错误!=错误!.3.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条答案B解析若直线AB的斜率不存在时,则横坐标之和为1,不符合题意.若直线AB的斜率存在,设直线AB 的斜率为k,则直线AB为y=k错误!,代入抛物线y2=2x,得k2x2—(k2+2)x+错误!k2=0,因为A,B两点的横坐标之和为2.所以k=±错误!.所以这样的直线有两条.4.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(—2,0)且斜率为错误!的直线与C交于M,N两点,则错误!·错误!=()A.5B.6 C.7 D.8答案D解析根据题意,过点(—2,0)且斜率为错误!的直线方程为y=错误!(x+2),与抛物线方程联立错误!消去x并整理,得y2—6y+8=0,解得M(1,2),N(4,4),又F(1,0),所以错误!=(0,2),错误!=(3,4),从而可以求得错误!·错误!=0×3+2×4=8,故选D.5.(2018·山西阳泉质检)椭圆mx2+ny2=1与直线x+y—1=0相交于A,B两点,过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为错误!,则错误!的值为________.答案错误!解析解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),所以kOM=错误!=错误!,kAB=错误!=—1,由AB的中点为M可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.由A,B在椭圆上,可得错误!两式相减可得m(x1—x2)(x1+x2)+n(y1—y2)(y1+y2)=0,则m(x1—x2)·2x0—n(x 1—x2)·2y0=0,整理可得错误!=错误!.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),联立方程错误!可得(m+n)x2—2nx+n—1=0,所以x1+x2=错误!,y1+y2=2—(x1+x2)=错误!.由中点坐标公式可得,x0=错误!=错误!,y0=错误!=错误!.因为M与坐标原点的直线的斜率为错误!,所以错误!=错误!=错误!=错误!.6.(2018·太原模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O 为坐标原点,若|AB|=6,则△AOB的面积为________.答案错误!解析因为抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),当直线AB垂直于x轴时,|AB|=4,不满足题意,所以设直线AB的方程为y=k(x—1),与y2=4x联立,消去x得ky2—4y—4k=0.设A(x 1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=错误!,y1y2=—4,所以|y1—y2|=错误!,因为|AB|=错误! |y1—y2|=6,所以4错误!=6,解和k=±错误!,所以|y1—y2|=错误!=2错误!,所以△AOB的面积为错误!×1×2错误!=错误!.核心考向突破考向一直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l:y=2x+m,椭圆C:错误!+错误!=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.解将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组错误!将1代入2,整理得9x2+8mx+2m2—4=0.3方程3根的判别式Δ=(8m)2—4×9×(2m2—4)=—8m2+144.(1)当Δ>0,即—3错误!<m<3错误!时,方程3有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±3错误!时,方程3有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当Δ<0,即m<—3错误!或m>3错误!时,方程3没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.触类旁通1判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元,得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.即时训练1.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:错误!+错误!=1(a>b>0)的左焦点为F1(—1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.解(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(—1,0),所以c=1.将点P(0,1)代入椭圆方程错误!+错误!=1,得错误!=1,即b=1,所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C1的方程为错误!+y2=1.(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,设直线l的方程为y=kx+m,由错误!消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2—2=0.因为直线l与椭圆C1相切,所以Δ1=16k2m2—4(1+2k2)(2m2—2)=0.整理得2k2—m2+1=0.1由错误!消去y并整理得k2x2+(2km—4)x+m2=0.因为直线l与抛物线C2相切,所以Δ2=(2km—4)2—4k2m2=0,整理得km=1.2综合12,解得错误!或错误!所以直线l的方程为y=错误!x+错误!或y=—错误!x—错误!.考向二弦长问题例2(2018·北京高考)已知椭圆M:错误!+错误!=1(a>b>0)的离心率为错误!,焦距为2错误!.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值.解(1)由题意得2c=2错误!,所以c=错误!,又e=错误!=错误!,所以a=错误!,所以b2=a2—c2=1,所以椭圆M的标准方程为错误!+y2=1.(2)设直线AB的方程为y=x+m,由错误!消去y,可得4x2+6mx+3m2—3=0,则Δ=36m2—4×4(3m2—3)=48—12m2>0,即m2<4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=—错误!,x1x2=错误!,则|AB|=错误!|x1—x2|=错误!·错误!=错误!,易得当m2=0时,|AB|max=错误!,故|AB|的最大值为错误!.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式,根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式,然后整体代入弦长公式求解.注意:两种特殊情况:1直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直;2直线过圆锥曲线的焦点.即时训练2.(2019·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C:错误!+错误!=1(a>b>0)的焦距为2,且过点错误!.(1)求椭圆C的方程;(2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A,B两点,P为椭圆C上一点,O为坐标原点,且满足错误!+错误!=t错误!,其中t∈错误!,求|AB|的取值范围.解(1)依题意得错误!解得错误!∴椭圆C的方程为错误!+y2=1.(2)由题意可知,直线AB的斜率存在,设其方程为y=k(x—2).由错误!得(1+2k2)x2—8k2x+8k2—2=0,∴Δ=8(1—2k2)>0,解得k2<错误!.设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),则错误!由错误!+错误!=t错误!得P错误!,代入椭圆C的方程得t2=错误!,由错误!<t<2得错误!<k2<错误!,∴|AB|=错误!·错误!令u=错误!,则u∈错误!,∴|AB|=2错误!,令y=2u2+u—1,其对称轴为u=—错误!,∴y=2u2+u—1在错误!上单调递增,∴0<y<错误!,∴0<|AB|<错误!,故|AB|的取值范围为错误!.考向三中点弦问题例3(2019·陕西模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0),过点M(5,—2)的直线交抛物线C 于A,B两点.(1)若p=错误!,且点M恰好是线段AB的中点,求直线AB的方程;(2)问在抛物线C上是否存在定点N(x0,y0),使得NA⊥NB总成立?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)当p=错误!时,抛物线C的方程为y2=x,由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),则错误!两式相减得(y1—y2)(y1+y2)=x1—x2.(*)因为点M(5,—2)恰好是线段AB的中点,所以y1+y2=—4,显然直线AB不与x轴垂直,故设直线AB的斜率为k,由(*)式得k=错误!=错误!=—错误!,所以直线AB的方程是y+2=—错误!(x—5),即x+4y+3=0.(2)假设在抛物线C上存在定点N(x0,y0)满足题意,设A错误!,B错误!,直线AB的方程为x=my+b,联立方程得错误!可得y2—2mpy—2pb=0,故y3+y4=2mp,y3y4=—2pB.由题意知,直线NA与NB的斜率都存在且不为0,由于NA⊥NB,所以kNAkNB=—1,即kNAkNB=错误!·错误!=错误!·错误!=错误!=—1,所以错误!=—1,b=2p+my0+错误!.故直线AB的方程可以写成x=m(y+y0)+2p+错误!,由于直线AB过点M(5,—2),故有5=m(—2+y0)+2p+错误!(**),当且仅当y0=2,p=2或错误!时,(**)式恒成立.由此可得,1当p=2时,存在定点N(1,2),使得NA⊥NB;2当p=错误!时,存在定点N(4,2),使得NA⊥NB.触类旁通处理中点弦问题常用的求解方法提醒:中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.即时训练3.(2019·福建三明联考)已知A是椭圆错误!+错误!=1(a>b>0)的左顶点,左焦点F 1是线段OA的中点,抛物线y2=4x的准线恰好过点F1.(1)求椭圆的方程;(2)如图所示,过点A作斜率为k的直线l1交椭圆于点M,交y轴于点N.点P为线段AM的中点,过N作与直线OP垂直的直线l2,证明:对于任意的k(k≠0),直线l2过定点,并求出此定点的坐标.解(1)依题意得抛物线y2=4x的准线为x=—1,∴点F1(—1,0),c=1.∴左顶点为A(—2,0),∴a=2,即b2=a2—c2=3,∴椭圆的方程为错误!+错误!=1.(2)证明:设直线l1的方程为y=k(x+2),与椭圆的方程错误!+错误!=1联立,消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2—12=0.设M(x1,y1),则—2+x1=—错误!.∵P为线段AM的中点,∴xP=错误!=—错误!,yP=k(xP+2)=k错误!=错误!,∴点P的坐标为错误!.则kOP=—错误!(k≠0),∴直线l2的斜率为错误!k.又直线l1的方程为y=k(x+2),令x=0,得N(0,2k),∴直线l2的方程为y—2k=错误!kx,即直线y=错误!k错误!,∴直线l2过定点,此定点为错误!.(2019·武汉模拟)如图,已知抛物线C:x2=2py(p>0),圆Q:x2+(y—3)2=8,过抛物线C的焦点F且与x轴平行的直线与C交于P1,P2两点,且|P1P2|=4.(1)证明:抛物线C与圆Q相切;(2)直线l过F且与抛物线C和圆Q依次交于点M,A,B,N,且直线l的斜率k∈(0,1),求错误!的取值范围.解(1)证明:∵|P1P2|=2p=4,∴p=2,故抛物线C的方程为x2=4y,联立错误!消去x得y2—2y+1=0.∵Δ=0,∴抛物线C与圆Q相切.(2)∵F(0,1),∴设直线l的方程为y=kx+1,k∈(0,1),∴圆心Q(0,3)到直线l的距离为d=错误!,∴|AB|=2错误!=4错误!.设M(x1,y1),N(x2,y2),联立错误!消去x得y2—(4k2+2)y+1=0,则y1+y2=4k2+2,∴|MN|=y1+y2+2=4(k2+1),∴错误!=错误!,令t=错误!错误!,则错误!=t错误!=错误!,设f(t)=2t2—t3错误!,则f′(t)=4t—3t2.∵错误!<t<1,∴f′(t)>0,∴函数y=f(t)在错误!上单调递增,∴f错误!<f(t)<f(1),∴错误!<f(t)<1,即错误!的取值范围为错误!.答题启示对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题,要认真审题,学会将问题拆分成基本问题,然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题,这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力.对点训练(2019·合肥模拟)已知椭圆C1:错误!+错误!=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为错误!,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4错误!.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;(2)过点A(—2,0)的直线l与C2交于M,N两点,若点M关于x轴的对称点为M′,证明:直线M′N恒过一定点.解(1)依题意,可得a=错误!,则C2:y2=4ax,令x=c得y2=4ac,即y=±2错误!,所以4错误!=4错误!,所以ac=2.则错误!解得a=2,b=错误!,所以椭圆C1的方程为错误!+错误!=1,抛物线C2的方程为y2=8x.(2)证明:依题意可知直线l的斜率不为0,可设l:x=my—2,设M(x1,y1),N(x2,y2),则M′(x1,—y1),联立错误!消去x得y2—8my+16=0,由Δ>0得m<—1或m>1.因为y1+y2=8m,y1y2=16,所以m=错误!,所以直线M′N的斜率kM′N=错误!=错误!=错误!,可得直线M′N的方程为y—y2=错误!(x—x2),即y=错误!x+y2—错误!=错误!x+错误!=错误!x—错误!=错误!(x—2),所以当m<—1或m>1时,直线M′N恒过定点(2,0).。
2021版高考数学一轮复习第9章解析几何第9节直线与圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线的位置关系课件
►常用结论 1.直线与椭圆有且只有一个交点⇔直线与椭圆相切. 2.直线与双曲线有且只有一个交点⇔直线与渐近线平行或直线与双曲线相切(注意 消元后二次项系数不为 0). 3.直线与抛物线有且只有一个交点⇔直线平行于抛物线的对称轴(或重合)或直线与 抛物线相切.
2.弦长公式 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2), 则
坐标之和为130,则|AB|=( )
A.133
B.134
C.5
D.136
解析:选 D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|=p+x1+x2.由题意得 p=2,x1+x2 =130,∴|AB|=2+130=136.故选 D.
2
课 堂 ·考 点 突 破
考点 直线与圆锥曲线的位置关系
|题组突破|
1.若直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x92+
答案:16
三、易错自纠
4.(2019 届湖南长沙质检)设经过抛物线 C 的焦点的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两
点,那么抛物线 C 的准线与以 AB 为直径的圆的位置关系为( )
A.相离
B.相切
C.相交但不经过圆心
D.相交且经过圆心
解析:选 B 设圆心为 M,过点 A,B,M 分别作准线的垂线,垂足分别为 A1,B1, M1,则|MM1|=12(|AA1|+|BB1|).由抛物线定义可知|BF|=|BB1|,|AF|=|AA1|,∴|AB|=|BB1| +|AA1|,即|MM1|=12|AB|,即圆心 M 到准线的距离等于圆的半径,故以 AB 为直径的圆与 抛物线 C 的准线相切.
(1)当 a≠0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ,则 Δ>0⇔直线与圆锥 曲线 C 1 __相__交_____;
高考数学一轮复习第九章解析几何9.9直线与圆锥曲线课
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 4k2-12 8k2 则 x1+x2= 2 ,x1 x2 = 2 , 3+4k 3+4k 所以|AB |= k2+1|x1-x2|
= k2+1· x1+x22-4x1x2 12k2+1 = . 3+4k2
1 12k2+1
同理,|CD |=
(1)[2017· 甘肃兰州检测]若直线 mx+ny=4 和
2 2 x y 圆 O: x2+y2=4 没有交点, 则过点(m, n)的直线与椭圆 9 + 4
=1 的交点个数为( B ) A.至多一个 C.1 B.2 D.0
[解析]
∵直线 mx+ny=4 和圆 O: x2+y2=4 没有交点, ∴
4 2 2 >2 , m +n ∴m2+n2<4. m2 n2 m2 4-m 5 2 ∴ + < + =1- m <1, 9 4 9 4 36 x2 y2 ∴点(m,n)在椭圆 9 + 4 =1 的内部, x2 y2 ∴过点(m,n)的直线与椭圆 + =1 的交点有 2 个. 9 4
2
(2)若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同 的两点,则 k 的取值范围是( D )
A. - C. -
15 15 , 3 3
15 , 0 3
B. 0, D. -
15 3
15 ,- 1 3 源自[点石成金]处理弦长问题的两个注意点
(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率 k 不存在的情形, 若k不 存在时,可直接求交点坐标再求弦长; (2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.
(2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆 锥曲线 C 相交,且只有一个交点,此时,若 C 为双曲线,则直
2020版数学新攻略大一轮浙江高考专用:9.9 直线与圆锥曲线的位置关系
C. 9 23
D. 2273
教材研读
1
3.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,则a等于 4 .
栏目索引
教材研读 栏目索引
4.(2018安徽联考)已知抛物线C:x2=2py(p>0),若直线y=2x被抛物线所截
弦长为4 5 ,则抛物线C的方程为 x2=2y .
教材研读 栏目索引
5.(2018宁波检测)椭圆 x2 + y2 =1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点
即直线MH与C只有一个公共点,
所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.
考点突破 栏目索引
考点突破 栏目索引
方法技巧
有关直线与圆锥曲线的位置关系存在两类问题 一是判断位置关系; 二是依据位置关系确定参数的范围. 这两类问题在解决方法上是一致的,都是将直线与圆锥曲线方程联立, 利用判别式及根与系数的关系求解.
距离为|AB|=④ 1 k2 |x1-x2| ,即弦长公式.也可以写成关于y的形式,即
弦长公式为|AB|=⑤
1
1 k2
|y1-y2|(k≠0)
.
教材研读 栏目索引
教材研读 栏目索引
3.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程
(1)AB是椭圆 ax22 + by22 =1(a>b>0)的一条弦,AB中点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),
教材研读 栏目索引
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 + y2 =1的位置关系为 ( A )
94
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
教材研读 栏目索引
2.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点和线段AB中点的直
2019版高考数学大一轮复习 第九章第9节 第1课时 直线与圆锥曲线学案 理 新人教B版
第1课时 直线与圆锥曲线最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法;2.了解圆锥曲线的简单应用;3.理解数形结合的思想.知 识 梳 理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程Ax +By +C =0(A ,B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ,y )=0,消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程,即⎩⎪⎨⎪⎧Ax +By +C =0,F (x ,y )=0消去y ,得ax 2+bx +c =0. (1)当a ≠0时,设一元二次方程ax 2+bx +c =0的判别式为Δ,则: Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交; Δ=0⇔直线与圆锥曲线C 相切; Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a =0,b ≠0时,即得到一个一次方程,则直线l 与圆锥曲线C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ,B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 |AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+1k2·|y 1-y 2|[常用结论与微点提醒]1.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切; (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点,两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线;(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线;(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条与对称轴平行或重合的直线.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是:直线l 与椭圆C 只有一个公共点.( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是:直线l 与双曲线C 只有一个公共点.( ) (3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是:直线l 与抛物线C 只有一个公共点.( ) (4)如果直线x =ty +a 与圆锥曲线相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则弦长|AB |=1+t 2|y 1-y 2|.( )解析 (2)因为直线l 与双曲线C 的渐近线平行时,也只有一个公共点,是相交,但并不相切.(3)因为直线l 与抛物线C 的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点,是相交,但不相切. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.直线y =kx -k +1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.不确定解析 直线y =kx -k +1=k (x -1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交. 答案 A3.(教材习题改编)已知与向量v =(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24-y 2=1相交于A ,B 两点,则|AB |的最小值为________.解析 由题意可设直线l 的方程为y =m , 代入x 24-y 2=1得x 2=4(1+m 2),所以x 1=4(1+m 2)=21+m 2,x 2=-21+m 2,所以|AB |=|x 1-x 2|=41+m 2, 所以|AB |=41+m 2≥4, 即当m =0时,|AB |有最小值4. 答案 44.过抛物线y =2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,则x 1x 2等于________.解析 易知抛物线y =2x 2的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,18,设过焦点的直线的斜率为k ,则其方程为y =kx+18,由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x 2,y =kx +18 得2x 2-kx -18=0,故x 1x 2=-116.答案 -1165.已知F 1,F 2是椭圆16x 2+25y 2=1 600的两个焦点,P 是椭圆上一点,且PF 1⊥PF 2,则△F 1PF 2的面积为________.解析 由题意可得|PF 1|+|PF 2|=2a =20,|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2=144=(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1|·|PF 2|=202-2|PF 1|·|PF 2|, 解得|PF 1|·|PF 2|=128,所以△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|=12×128=64.答案 64考点一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F 1(-1,0),且点P (0,1)在C 1上. (1)求椭圆C 1的方程;(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2:y 2=4x 相切,求直线l 的方程. 解 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(-1,0),∴c =1, 又点P (0,1)在曲线C 1上,∴0a 2+1b2=1,得b =1,则a 2=b 2+c 2=2,所以椭圆C 1的方程为x 22+y 2=1.(2)由题意可知,直线l 的斜率显然存在且不等于0,设直线l 的方程为y =kx +m ,由⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =kx +m消去y ,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2-2=0. 因为直线l 与椭圆C 1相切,所以Δ1=16k 2m 2-4(1+2k 2)(2m 2-2)=0. 整理得2k 2-m 2+1=0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x ,y =kx +m 消去y ,得k 2x 2+(2km -4)x +m 2=0. 因为直线l 与抛物线C 2相切,所以Δ2=(2km -4)2-4k 2m 2=0,整理得km =1.② 综合①②,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =22,m =2或⎩⎪⎨⎪⎧k =-22,m =- 2. 所以直线l 的方程为y =22x +2或y =-22x - 2. 规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,消元后,应注意讨论含x 2项的系数是否为零的情况,以及判别式的应用.但对于选择题、填空题要充分利用几何条件,用数形结合的方法求解.【训练1】 若直线mx +ny =4与圆O :x 2+y 2=4没有交点,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点个数为( )A.至多一个B.2C.1D.0解析 ∵直线mx +ny =4和圆O :x 2+y 2=4没有交点,∴4m 2+n 2>2,∴m 2+n 2<4,∴m 29+n 24<m 29+4-m 24=1-536m 2<1,∴点(m ,n )在椭圆x 29+y24=1的内部,∴过点(m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点有2个,故选B.答案 B考点二 弦长问题【例2】 (2018·黄山二模)设F 1,F 2分别是椭圆D :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,过F 2作倾斜角为π3的直线交椭圆D 于A ,B 两点,F 1到直线AB 的距离为23,连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形的面积为2 5. (1)求椭圆D 的方程;(2)设过点F 2的直线l 被椭圆D 和圆C :(x -2)2+(y -2)2=4所截得的弦长分别为m ,n ,当m ·n 最大时,求直线l 的方程.解 (1)设F 1的坐标为(-c ,0),F 2的坐标为(c ,0)(c >0), 则直线AB 的方程为y =3(x -c ),即3x -y -3c =0, ∴|-3c -3c |(3)2+(-1)2=23,解得c =2.∵12·2a ·2b =25,∴ab =5, 又a 2=b 2+c 2,∴a 2=5,b 2=1, ∴椭圆D 的方程为x 25+y 2=1.(2)由题意知,可设直线l 的方程为x =ty +2,则圆心C 到直线l 的距离d =|2t |t 2+1,∴n =222-d 2=4t 2+1,由⎩⎪⎨⎪⎧x =ty +2,x 25+y 2=1得(t 2+5)y 2+4ty -1=0, 设直线l 与椭圆D 的交点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2), ∴y 1+y 2=-4t t 2+5,y 1y 2=-1t 2+5, ∴m =1+t 2|y 1-y 2|=25(t 2+1)t 2+5,∴m ·n =85·t 2+1t 2+5=85t 2+1+4t 2+1≤25⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t 2+1=4t 2+1,即t =±3时,等号成立,∴直线l 的方程为x -3y -2=0或x +3y -2=0. 规律方法 弦长的三种常用计算方法(1)定义法:过圆锥曲线的焦点的弦长问题,利用圆锥曲线的定义,可优化解题.(2)点距法:将直线的方程和圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,再运用两点间距离公式求弦长.(3)弦长公式法:它体现了解析几何中设而不求的思想,其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的.【训练2】 (2018·郑州一模)已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2=4y 的焦点,且与抛物线相交于A ,B 两点,则弦|AB |=________. 解析 直线l 的方程为y =3x +1,由⎩⎨⎧y =3x +1,x 2=4y ,得y 2-14y +1=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则y 1+y 2=14,∴|AB |=y 1+y 2+p =14+2=16. 答案 16考点三 中点弦问题(多维探究)命题角度1 利用中点弦确定直线或曲线的方程【例3-1】 (1)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ) A.x 245+y 236=1 B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1D.x 218+y 29=1 (2)(一题多解)已知P (1,1)为椭圆x 24+y 22=1内一定点,经过P 引一条弦,使此弦被P 点平分,则此弦所在的直线方程为________.解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1,-1),所以直线AB 的方程为y =12(x -3),代入椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1消去y ,得⎝ ⎛⎭⎪⎫a24+b 2x 2-32a 2x +94a2-a 2b 2=0,所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24+b 2=1,即a 2=2b 2,又a 2=b 2+c 2,所以b =c =3,a =3 2.(2)法一 易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y -1=k (x -1),此弦的两端点坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y -1=k (x -1),x 24+y 22=1,消去y 整理得,(2k 2+1)x 2-4k (k -1)x +2(k 2-2k -1)=0,∴x 1+x 2=4k (k -1)2k 2+1, 又∵x 1+x 2=2,∴4k (k -1)2k 2+1=2,解得k =-12. 故此弦所在的直线方程为y -1=-12(x -1),即x +2y -3=0.法二 易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k , 此弦的两端点坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 214+y 212=1①,x 224+y 222=1②, ①-②得(x 1+x 2)(x 1-x 2)4+(y 1+y 2)(y 1-y 2)2=0,∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2, ∴x 1-x 22+y 1-y 2=0,∴k =y 1-y 2x 1-x 2=-12. ∴此弦所在的直线方程为y -1=-12(x -1),即x +2y -3=0.答案 (1)D (2)x +2y -3=0 命题角度2 利用中点弦解决对称问题【例3-2】 若抛物线y =2x 2上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称,且x 1x 2=-12,则实数m 的值为________.解析 由题意可设直线AB 的方程为y =-x +b , 代入y =2x 2得2x 2+x -b =0, ∴x 1+x 2=-12,x 1x 2=-b 2=-12,∴b =1,即直线AB 的方程为y =-x +1. 设AB 的中点为M (x 0,y 0), 则x 0=x 1+x 22=-14,代入y 0=-x 0+1, 得y 0=54,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,54,又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,54在直线y =x +m 上, ∴54=-14+m , ∴m =32.答案 32规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1+x 2,y 1+y 2,y 1-y 2x 1-x 2三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外,还要注意:如果点A ,B 关于直线l 对称,则l 垂直直线AB 且A ,B 的中点在直线l 上的应用.【训练3】 若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),直线y =3x +7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为________.解析 因为椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),则a 2-b 2=4,所以可设椭圆方程为y 2b 2+4+x 2b2=1, 由⎩⎪⎨⎪⎧y =3x +7,y 2b 2+4+x 2b2=1,消去x ,整理得 (10b 2+4)y 2-14(b 2+4)y -9b 4+13b 2+196=0,设直线y =3x +7与椭圆相交所得弦的端点为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 由一元二次方程根与系数的关系得: y 1+y 2=14(b 2+4)10b 2+4=2. 解得:b 2=8.所以a 2=12. 则椭圆方程为x 28+y 212=1.答案 x 28+y 212=1基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.直线y =b a x +3与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的交点个数是( )A.1B.2C.1或2D.0解析 由直线y =b a x +3与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线y =bax 平行,故直线与双曲线的交点个数是1. 答案 A2.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),斜率为1的直线与C 交于两点A ,B ,若线段AB 的中点为(4,1),则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y =0 B.x ±2y =0 C.2x ±y =0D.x ±2y =0解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 21a 2-y 21b 2=1①,x 22a 2-y 22b 2=1②,由①-②得(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2=(y 1-y 2)(y 1+y 2)b 2,结合题意化简得4b 2a 2=1,即b a =12,所以双曲线C 的渐近线方程为x ±2y =0.答案 B3.抛物线y =x 2上的点到直线x -y -2=0的最短距离为( ) A. 2 B.728C.2 2D.526解析 设抛物线上一点的坐标为(x ,y ),则d =|x -y -2|2=|-x 2+x -2|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122-742,∴x =12时, d min =728.答案 B4.经过椭圆x 22+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B 两点,设O 为坐标原点,则OA →·OB →等于( ) A.-3 B.-13C.-13或-3D.±13解析 依题意,当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y -0=tan 45°(x -1),即y =x -1,代入椭圆方程x 22+y 2=1并整理得3x 2-4x =0,解得x =0或x =43,所以两个交点坐标分别为(0,-1),⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13,∴OA →·OB →=-13,同理,直线l 经过椭圆的左焦点时,也可得OA →·OB →=-13.答案 B5.(2018·太原一模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为6,则|AB |=( )A.6B.8C.12D.16解析 由题意知抛物线y 2=4x 的焦点F 的坐标为(1,0),易知当直线AB 垂直于x 轴时,△AOB 的面积为2,不满足题意,所以可设直线AB 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),与y 2=4x 联立,消去x 得ky 2-4y -4k =0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),所以y 1+y 2=4k,y 1y 2=-4,所以|y 1-y 2|=16k 2+16,所以△AOB 的面积为12×1×16k2+16=6,解得k =±2, 所以|AB |=1+1k2|y 1-y 2|=6,故选A.答案 A 二、填空题6.(2018·赣州调研)在直角坐标系xOy 中,有一定点M (-1,2),若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2=2py (p >0)的焦点,则该抛物线的准线方程是________.解析 易知直线OM 的方程为y =-2x ,则线段OM 的垂直平分线的方程为2x -4y +5=0, 把焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0,p 2代入2x -4y +5=0可求得p =52,从而得到准线方程为y =-54.答案 y =-547.(2018·龙岩二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F (2,0)为其右焦点,过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C 的方程为________.解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c =2,b 2a =1,a 2=b 2+c 2,解得⎩⎨⎧a =2,b =2,∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1. 答案 x 24+y 22=1 8.(2018·福建四地六校模拟)过椭圆x 216+y 24=1内一点P (3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是________.解析 设直线与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,由于A ,B 两点均在椭圆上,故x 2116+y 214=1,x 2216+y 224=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)16+(y 1+y 2)(y 1-y 2)4=0. 又∵P 是A ,B 的中点,∴x 1+x 2=6,y 1+y 2=2,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-34. ∴直线AB 的方程为y -1=-34(x -3). 即3x +4y -13=0.答案 3x +4y -13=0三、解答题9.设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率;(2)设点P (0,-1)满足|PA |=|PB |,求E 的方程.解 (1)由椭圆定义知|AF 2|+|BF 2|+|AB |=4a ,又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB |=43a ,l 的方程为y =x +c ,其中c =a 2-b 2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x +c ,x 2a 2+y 2b 2=1,消去y ,整理得(a 2+b 2)x 2+2a 2cx +a 2(c 2-b 2)=0,则x 1+x 2=-2a 2c a 2+b 2,x 1x 2=a 2(c 2-b 2)a 2+b 2. 因为直线AB 的斜率为1,所以|AB |=2|x 2-x 1|=2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2],即43a =4ab 2a 2+b 2,故a 2=2b 2, 所以E 的离心率e =c a =a 2-b 2a =22. (2)设AB 的中点为N (x 0,y 0),由(1)知x 0=x 1+x 22=-a 2c a 2+b 2=-2c 3,y 0=x 0+c =c 3. 由|PA |=|PB |,得k PN =-1,即y 0+1x 0=-1, 得c =3,从而a =32,b =3.故椭圆E 的方程为x 218+y 29=1.10.如图,已知椭圆x 22+y 2=1上两个不同的点A ,B 关于直线y =mx +12对称.(1)求实数m 的取值范围;(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).解 由题意知m ≠0,可设直线AB 的方程为 y =-1m x +b ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 中点为M , 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =-1m x +b 消去y , 得⎝ ⎛⎭⎪⎫12+1m 2x 2-2b m x +b 2-1=0. 因为直线y =-1m x +b 与椭圆x 22+y 2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b 2+2+4m2>0,① 则x 1+x 2=4mb m 2+2,y 1+y 2=2m 2b m 2+2, (1)将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2+2,m 2b m 2+2代入直线方程y =mx +12解得b =-m 2+22m 2,②由①②得m <-63或m >63. 故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63,+∞. (2)令t =1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-62,0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0,62,则 |AB |=t 2+1·-2t 4+2t 2+32t 2+12, 且O 到直线AB 的距离为d =t 2+12t 2+1. 设△AOB 的面积为S (t ),所以S (t )=12|AB |·d =12 -2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2-122+2≤22. 当且仅当t 2=12时,等号成立. 故△AOB 面积的最大值为22. 能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2018·河北百校联考)已知抛物线y 2=4x ,过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A ,B两点(A 在第一象限内),AF →=3 FB →,过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G ,则△ABG的面积为( )A.839B.1639C.3239D.6439 解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为AF →=3FB →,所以y 1=-3y 2,设直线l 的方程为x =my +1,由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x ,x =my +1消去x 得y 2-4my -4=0,∴y 1y 2=-4, ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1=23,y 2=-233,∴y 1+y 2=4m =433, ∴m =33,∴x 1+x 2=103,AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53,233,过AB 中点且垂直于直线l 的直线方程为y -233=-33⎝ ⎛⎭⎪⎫x -53,令y =0,可得x =113,所以S △ABG =12×⎝ ⎛⎭⎪⎫113-1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23+233=3239. 答案 C12.已知椭圆x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b 的值是________.解析 由椭圆的方程,可知长半轴长为a =2,由椭圆的定义,可知|AF 2|+|BF 2|+|AB |=4a =8,所以|AB |=8-(|AF 2|+|BF 2|)≥3.由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,即2b 2a=3,可求得b 2=3,即b = 3. 答案 313.(2018·海口调研)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ,B ,其离心率e =12,点M 为椭圆上的一个动点,△MAB 面积的最大值是2 3. (1)求椭圆的方程;(2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ,线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ,当PB →·PD →=0时,求点P 的坐标. 解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧e =c a =12,12×2ab =23,a 2=b 2+c 2,解得a =2,b =3,所以椭圆方程为x 24+y 23=1. (2)由(1)知B (2,0),设直线BD 的方程为y =k (x -2),D (x 1,y 1),把y =k (x -2)代入椭圆方程x 24+y 23=1, 整理得(3+4k 2)x 2-16k 2x +16k 2-12=0,所以2+x 1=16k 23+4k 2⇒x 1=8k 2-63+4k2, 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2-63+4k 2,-12k 3+4k 2,所以BD 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23+4k 2,-6k3+4k 2,则直线BD 的垂直平分线方程为y --6k3+4k 2=-1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -8k23+4k 2,得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,2k3+4k 2.又PB →·PD →=0,即⎝ ⎛⎭⎪⎫2,-2k3+4k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2-63+4k 2,-14k3+4k 2=0,化简得64k 4+28k 2-36(3+4k 2)2=0⇒64k 4+28k 2-36=0,解得k =±34.故P ⎝⎛⎭⎫0,27或⎝⎛⎭⎫0,-27.。
高考数学一轮复习第九章解析几何第八节直线与圆锥曲线实用课件理20180529333
讨论二次项系数是否为零的情况.
由直线与圆锥曲线的位置关系求参数
利用直线与圆锥曲线位置关系解题时, 判别式 Δ 起着关键 性的作用,第一:可以限定所给参数的范围;第二:可以取舍 某些解以免产生增根. [例 2] x2 2 已知一条斜率为 k(k≠0)的直线 l,与椭圆 +y 3
=1 交于两个不同的点 M,N,且 M,N 到点 A(0,-1)的距 离相等,求 k 的取值范围.
[ 基本能力]
1.判断题 (1)直线l与椭圆C相切的充要条件是:直线l与椭圆C只有一个 公共点. (√ )
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是:直线l与双曲线C只有 一个公共点. ( × )
(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是:直线l与抛物线C只有 一个公共点. ( × )
2.填空题 x2 y2 (1)直线y=kx-k+1与椭圆 + =1的位置关系为 9 4 ________________.
完成情况
[基本知识]
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax +By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0, 消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.
Ax+By+C=0, 即由 Fx,y=0
消去y,得ax2+bx+c=0.
3mk m P-1+3k2,1+3k2,所以
3k2+m+1 kAP=- . 3mk
3k2+m+1 1 因为 AP⊥MN,所以- =-k(k≠0), 3mk 3k2+1 即 m= .由 Δ=36m2k2-4(1+3k2)(3m2-3) 2 =9(1+3k2)(1-k2)>0, 解得-1<k<1,且 k≠0, 故 k∈(-1,0)∪(0,1).
2025年高考数学一轮复习-9.9-直线与圆锥曲线【课件】
2 2
因此轨迹C的方程为 +y =1.
4
考点二与直线斜率有关的定值问题
[例2](2024·梅州模拟)已知动圆M经过定点F1(- 3,0),且与圆F2:(x- 3)2+y2=16内
切.
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,B,点P为轨迹C上异于A,B的动点,设PB交
21
412 +4 812 +2
所以|AB|+|MN|= 2 + 2 =6,为定值.
2 +1 2 +1
4 212 2
412 −4 412 +4
(− 2 ) −4· 2 = 2 ,
21 +1
21 +1 21 +1
解题技法
定值问题的求解策略
(1)圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少,
或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.
(2)定值问题同证明问题类似,在求定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参
数,运用推理,到最后必定参数统消,定值显现.
对点训练
在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.设椭圆C2:4x2+y2=1.若M,N分别
是C1,C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.
点,直线PF2交C1于M,N两点,证明:|AB|+|MN|为定值.
【解析】(2)由(1)可知F1(- 2,0),F2(
则有a'=
′2 ′2 −′2
2, 2 =
=
2
′
′
2
高考数学一轮复习第九章解析几何第九节直线与圆锥曲线课件理
涉及弦长的问题,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法 计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求 法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义 求解.
已知椭圆 C:xa22+by22=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率 为 22.直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N.
法二:设 M(x1,x21),N(x2,x22)关于直线 l 对称, 因为 MN⊥l,所以xx211--xx222=1k,即 x1+x2=1k. 又 MN 的中点在 l 上,所以x21+2 x22=-k·x1+2 x2+92=-k·21k+ 92=4,因为 MN 的中点必在抛物线内,所以x21+2 x22>x1+2 x22, 即 4>21k2,所以 k2>116,即 k>14或 k<-14. 故 k 的取值范围为-∞,-14∪14,+∞.
2.双曲线 C:xa22-by22=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l
过焦点 F,且斜率为 k,则直线 l 与双曲线 C 的左,右两支都相交
的充要条件是( )
A.k>-ba
B.k<ba
C.k>ba或 k<-ba
D.-ba<k<ba
解析:选 D 由双曲线渐近线的几何意义知-ba<k<ba.
解析:选 A 直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒过定点 (1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
3.直线 y=bax+3 与双曲线xa22-by22=1 的交点个数是________. 解析:因为直线 y=bax+3 与双曲线的渐近线 y=bax 平行, 所以它与双曲线只有 1 个交点. 答案:1
角度二:由中点弦解决对称问题 [典题 4] (1)已知抛物线 y=x2 上存在两个不同的点 M,N 关于直线 l:y=-kx+92对称,求 k 的取值范围.
高考数学一轮复习第9章解析几何8直线与圆锥曲线课件新人教A版
2
2
5
−
2
2
点,则双曲线离心率的取值范围是(
A.(1,2)
C.(1, 3)
=1(a>0,b>0)恒有两个公共
)
B.(2,+∞)
D.( 3,+∞)
关闭
2
2
∵斜率为 2的直线与双曲线 2 − 2 =1 恒有两个公共点,根据双曲线
的几何性质可得, > 2,
2
∴e= = 1 + 2 > 1 + 2 = 3,
该直线是一条与对称轴平行或重合的直线.
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是:直线l与椭圆C只有一个公共
点.(
)
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是:直线l与双曲线C只有一个
公共点.( × )
(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是:直线l与抛物线C只有一个
5 3
4
,求直线 l
-20考点1
考点2
考点3
考点4
= 3,
解 (1)由题设知
=
1
,
2
2 = 2 - 2 ,
解得 a=2,b= 3,c=1,
2
∴椭圆的方程为 4
2
+ 3 =1.
(2)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1,
2||
,
5
∴圆心到直线 l 的距离 d=
1 2
中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.
(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,
2020年高考数学一轮总复习:直线与圆锥曲线的综合问题
2020年高考数学一轮总复习:直线与圆锥曲线的综合问题[基础梳理]1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定代数法:把圆锥曲线方程C 与直线方程l 联立消去y ,整理得到关于x 的方程ax 2+bx +c =0.2.弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ,B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2或|AB |=1+1k 2·|y 1-y 2|=1+1k 2·(y 1+y 2)2-4y 1y 2.直线与圆锥曲线相交与相切的区别与联系 (1)直线与椭圆相交⇔有两个交点. 相切⇔有一个公共点.(2)直线与双曲线相交时,可以为一个公共点,即直线与渐近线平行;可以为两个公共点,直线与渐近线不平行.直线与双曲线相切时,只有一个公共点. (3)直线与抛物线相交,当直线平行对称轴时,只有一个公共点,当直线与对称轴不平行,有两个公共点.直线与抛物线相切时,只有一个公共点. [四基自测]1.已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( ) A .-43B .-1C .-34D .-12答案:C2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A 、B 两点,则|AB |的最大值为( )A .2 B.455 C.4105 D.8105 答案:C3.已知F 1,F 2是椭圆16x 2+25y 2=1 600的两个焦点,P 是椭圆上一点,且PF 1⊥PF 2,则△F 1PF 2的面积为________. 答案:644.F 是双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点,过F 作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点,则|AB |=________. 答案:6考点一 弦及弦长问题◄考基础——练透[例1] 过椭圆x 212+y 23=1的右焦点的直线交椭圆于A ,B 两点,若|AB |=23,则直线AB 的方程为( ) A .x +2y -3=0 B.2x ±y -3=0 C.2x +y -3=0D .x ±2y -3=0解析:由题意知,椭圆x 212+y 23=1的右焦点为F (3,0),设直线AB 的方程为x =ty+3,代入椭圆方程x 212+y 23=1中得(t 2+4)y 2+6ty -3=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=-6t t 2+4,y 1y 2=-3t 2+4,所以(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫-6t t 2+42+12t 2+4=48(t 2+1)(t 2+4)2,所以|AB |=(1+t 2)(y 1-y 2)2=48(t 2+1)2(t 2+4)2=23,解得t 2=2,所以t =±2,所以直线AB 的方程为x =±2y +3,即x ±2y -3=0.选D.答案:D曲线弦的问题,一般是联立方程组,结合根与系数的关系,用直线斜率或纵截距作为主元,注意斜率不存在的情况如果涉及弦的中点与斜率问题,往往用点差法:点差法的基本步骤是设点(即设出弦的端点坐标)——代入(即代入曲线方程)——作差(即两式相减,求出斜率,建立关系1.过椭圆x 212+y23=1的右焦点作倾斜角为45°的直线交椭圆于A 、B 两点,求|AB |的值.解析:直线过(3,0),斜率k =1,方程为y =x -3, 由⎩⎨⎧y =x -3x 2+4y 2-12=0,得x 2+4(x -3)2-12=0, ∴5x 2-24x +24=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∴x 1+x 2=245,x 1x 2=245. |AB |=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =(1+1)·[(245)2-4×245]=835.2.过双曲线x 23-y 26=1的右焦点F 2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A ,B 两点,O 为坐标原点,F 1为左焦点. (1)求|AB |;(2)求△AOB 的面积.解析:(1)由题意得a 2=3,b 2=6,∴c 2=9,∴F 2(3,0).直线方程为y =33(x -3),∴由⎩⎨⎧y =33(x -3),2x 2-y 2=6,得2x 2-⎣⎢⎡⎦⎥⎤33(x -3)2=6.即5x 2+6x -27=0,∴x =-3或x =95. 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫95,-235,B (-3,-23) ∴|AB |=⎝ ⎛⎭⎪⎫95+32+⎝ ⎛⎭⎪⎫-235+232=1635. (2)由(1)得直线方程为3x -3y -33=0, ∴O (0,0)到直线的距离d =|-33|3+9=32,∴S △AOB =12|AB |d =12×1635×32=1235.考点二 圆锥曲线的定点问题◄考能力——知法[例2] 椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e =12.过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l :y =kx +m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线x =4相交于点Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由. 解析:(1)椭圆E 的方程是x 24+y 23=1,过程略; (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 23=1,y =kx +m⇒(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2-12=0,设P (x 0,y 0),判别式Δ=(8km )2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0,化简得4k 2-m 2+3=0,同时有x 0=-4km4k 2+3=-4k m ,y 0=kx 0+m =3m ,易得Q (4,4k +m ).若定点M 存在,则必在x 轴上,因此,可设M (t,0),由PM →·QM →=0得(4t -4)k m+t 2-4t +3=0.由⎩⎨⎧4t -4=0,t 2-4t +3=0,解得t =1.所以存在定点M (1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M .定点问题主要是由线系(直线系)过定点问题具体来讲,若是证明直线过定点,可将直线设为斜截式,然后消掉一个参数,即得直线所过的定点;证明圆过定点时,常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理;证明其他曲线过定点的问题时,经常将曲线中的参变量集中在一起,令其系数等于零,解得定点.(2019·淄博模拟)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,其左焦点到点P (2,1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左、右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标. 解析:(1)因为左焦点(-c,0)到点P (2,1)的距离为10,所以(2+c )2+1=10,解得c =1.又e =c a =12,解得a =2, 所以b 2=a 2-c 2=3.所以所求椭圆C 的方程为x 24+y 23=1. (2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 24+y 23=1,消去y 得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2-3)=0, Δ=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3)>0, 化为3+4k 2>m 2.所以x 1+x 2=-8mk 3+4k 2,x 1x 2=4(m 2-3)3+4k 2.y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2=3(m 2-4k 2)3+4k 2.因为以AB 为直径的圆过椭圆右顶点D (2,0),k AD ·k BD =-1, 所以y 1x 1-2·y 2x 2-2=-1,所以y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=0, 所以3(m 2-4k 2)3+4k 2+4(m 2-3)3+4k 2+16mk 3+4k 2+4=0.化为7m 2+16mk +4k 2=0, 解得m 1=-2k ,m 2=-2k 7. 且满足3+4k 2-m 2>0.当m =-2k 时,l :y =k (x -2),直线过定点(2,0)与已知矛盾; 当m =-2k 7时,l :y =k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -27,直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27,0.综上可知,直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27,0.考点三 圆锥曲线的定值问题◄考基础——练透[例3] 已知椭圆C :x 24+y 23=1.若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点,且k OA ·k OB =-34(O 为坐标原点),判断△AOB 的面积是否为定值,若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2-3)=0,则由Δ=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3)>0,得3+4k 2-m 2>0.又x 1+x 2=-8mk 3+4k 2,x 1x 2=4(m 2-3)3+4k2,∴y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2=3(m 2-4k 2)3+4k 2.又由k OA ·k OB =-34,得y 1y 2x 1x 2=-34,即y 1y 2=-34x 1x 2,∴3(m 2-4k 2)3+4k 2=-34·4(m 2-3)3+4k 2,即2m 2-4k 2=3. 又|AB |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=24(1+k 2)3+4k 2.点O 到直线AB 的距离为d =|m |1+k 2. S △AOB =12|AB |d =1224(1+k 2)3+4k 2·|m |1+k 2=1224(1+k 2)m 2(3+4k 2)(1+k 2)=12243+4k 2·3+4k22= 3.此类问题求解的一种思路是找准变化的主元,设为参数,建立参变量与其他量的关系(如函数关系、方程关系、不等式关系等),探求目标式,通过代数运算将目标式用参变量表示出来,这一步是求解的难点也是关键所在,然后再恒等变形得到定值.另一种思路是通过特殊值或极端情形探索出定值是多少,然后进行一般性计算或证明.(2018·高考北京卷)已知抛物线C :y 2=2px 经过点P (1,2),过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线P A 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围;(2)设O 为原点,QM→=λQO →,QN →=μQO →,求证:1λ+1μ为定值.解析:(1)因为抛物线y 2=2px 过点(1,2), 所以2p =4,即p =2. 故抛物线C 的方程为y 2=4x .由题意知,直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0),由⎩⎨⎧y 2=4x ,y =kx +1,得k 2x 2+(2k -4)x +1=0. 依题意Δ=(2k -4)2-4×k 2×1>0, 解得k <0,或0<k <1.又P A ,PB 与y 轴相交,故直线l 不过点(1,-2). 从而k ≠-3.所以直线l 的斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由(1)知x 1+x 2=-2k -4k 2,x 1x 2=1k 2. 直线P A 的方程为y -2=y 1-2x 1-1(x -1). 令x =0,得点M 的纵坐标为y M =-y 1+2x 1-1+2=-kx 1+1x 1-1+2.同理得点N 的纵坐标为y N =-kx 2+1x 2-1+2. 由QM →=λQO →,QN →=μQO →,得λ=1-y M ,μ=1-y N . 所以1λ+1μ=11-y M +11-y N=x 1-1(k -1)x 1+x 2-1(k -1)x 2=1k -1·2x 1x 2-(x 1+x 2)x 1x 2=1k -1·2k2+2k -4k 21k 2 =2.所以1λ+1μ为定值.考点四 圆锥曲线的存在性问题◄考基础——练透[例4] 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,点P (0,1)和点A (m ,n )(m ≠0)都在椭圆C 上,直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用m ,n 表示);(2)设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N .问:y 轴上是否存在点Q ,使得∠OQM =∠ONQ ?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,说明理由.解析:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b =1,c a =22,a 2=b 2+c 2.解得a 2=2.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.设M (x M,0).因为m ≠0,所以-1<n <1. 直线P A 的方程为y -1=n -1m x ,所以x M =m 1-n ,即M (m1-n,0).(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称,点A (m ,n )(m ≠0), 所以B (m ,-n ). 设N (x N,0),则x N =m1+n. “存在点Q (0,y Q )使得∠OQM =∠ONQ ”等价于“存在点Q (0,y Q )使得|OM ||OQ |=|OQ ||ON |”,即y Q 满足y 2Q =|x M ||x N |.因为x M =m 1-n ,x N =m 1+n,m 22+n 2=1,所以y 2Q =|x M ||x N |=m 21-n 2=2.所以 y Q =2或y Q =- 2.故在y 轴上存在点Q ,使得∠OQM =∠ONQ , 点Q 的坐标为(0,2)或(0,-2).解决存在性问题的注意事项存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采用另外的途径.(2019·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy 中,经过点(0,2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22+y 2=1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围.(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ,B ,是否存在常数k ,使得向量OP→+OQ →与AB →垂直?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由. 解析:(1)由已知条件,直线l 的方程为y =kx +2, 代入椭圆方程得x 22+(kx +2)2=1,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12+k 2x 2+22kx +1=0.①。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
§9.9 直线与圆锥曲线考纲展示►1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的思想方法. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.考点1 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程Ax +By +C =0(A ,B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ,y )=0,消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程.即⎩⎪⎨⎪⎧Ax +By +C =0,F (x ,y )=0,消去y ,得ax 2+bx +c =0. (1)当a ≠0时,设一元二次方程ax 2+bx +c =0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C ________;Δ=0⇔直线与圆锥曲线C ________; Δ<0⇔直线与圆锥曲线C ________.(2)当a =0,b ≠0时,即得到一个一次方程,则直线l 与圆锥曲线C 相交,且只有一个交点,此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________.答案:(1)相交 相切 相离 (2)平行 平行或重合[典题1] (1)[2017·甘肃兰州检测]若直线mx +ny =4和圆O :x 2+y 2=4没有交点,则过点(m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点个数为( )A .至多一个B .2C .1D .0[答案] B[解析] ∵直线mx +ny =4和圆O :x 2+y 2=4没有交点,∴4m 2+n2 >2, ∴m 2+n 2<4.∴m 29+n 24<m 29+4-m 24=1-536m 2<1,∴点(m ,n )在椭圆x 29+y 24=1的内部,∴过点(m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点有2个.(2)若直线y =kx +2与双曲线x 2-y 2=6的右支交于不同的两点,则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-153,153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,153 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-153,0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-153,-1 [答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +2,x 2-y 2=6,得(1-k 2)x 2-4kx -10=0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1,y 1), B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧1-k 2≠0,Δ=16k 2-4(1-k 2)×(-10)>0,x 1+x 2=4k 1-k2>0,x 1x 2=-101-k >0,解得-153<k <-1.即k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-153,-1. [点石成金] 直线与圆锥曲线的位置关系的两种判定方法及两个关注点(1)判定方法①代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ,y 的方程组,消去y (或x )得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.②几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.(2)关注点①联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论二次项系数是否为零的情况.②判断直线与圆锥曲线的位置关系时,判别式Δ起着关键性的作用,第一:可以限定所给参数的范围;第二:可以取舍某些解以免产生增根.考点2 弦长问题圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ,B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=1+k 2|x 1-x 2| =1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+1k 2·|y 1-y 2|=1+1k 2·(y 1+y 2)2-4y 1y 2.[典题2] [2017·贵阳摸底]如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与C D.当直线AB 斜率为0时,AB =4.(1)求椭圆的方程;(2)若|AB |+|CD |=487,求直线AB 的方程. [解] (1)由题意知,e =c a =12,2a =4. 又a 2=b 2+c 2, 解得a =2,b =3, 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1.(2)①当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的斜率不存在,由题意知,|AB |+|CD |=7,不满足条件.②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB 的方程为y =k (x -1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则直线CD 的方程为y =-1k (x -1).将直线AB 的方程代入椭圆方程中并整理,得 (3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0, 则x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2,所以|AB |=k 2+1|x 1-x 2| =k 2+1·(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =12(k 2+1)3+4k2. 同理,|CD |=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2+13+4k 2=12(k 2+1)3k 2+4.所以|AB |+|CD |=12(k 2+1)3+4k +12(k 2+1)3k +4=84(k 2+1)2(3+4k 2)(3k 2+4)=487, 解得k =±1,所以直线AB 的方程为x -y -1=0或x +y -1=0.[点石成金]处理弦长问题的两个注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形,若k不存在时,可直接求交点坐标再求弦长;(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为________.答案:y2=3x解析:分别过点A,B作AA1,BB1垂直于l,且垂足分别为A1,B1,由|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,又|AA1|=|AF|=3,∴|AC|=2|AA1|=6,∴|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3,∴F为线段AC的中点.故点F到准线的距离为p=12|AA1|=32,故抛物线的方程为y2=3x.考点3中点弦问题[考情聚焦]弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点.主要有以下几个命题角度:角度一由中点弦确定直线方程[典题3][2017·江西九校联考]已知P(1,1)为椭圆x24+y22=1内一定点,经过P引一条弦交椭圆于A,B两点,且此弦被点P平分,则此弦所在的直线方程为________.[答案]x+2y-3=0[解析]解法一:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y-1=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).由⎩⎨⎧y-1=k(x-1),x24+y22=1消去y,得(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,∴x 1+x 2=4k (k -1)2k 2+1,又∵x 1+x 2=2,∴4k (k -1)2k 2+1=2,解得k =-12.∴此弦所在的直线方程为y -1=-12(x -1), 即x +2y -3=0.解法二:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 214+y 212=1,①x 224+y 222=1,②①-②得(x 1+x 2)(x 1-x 2)4+(y 1+y 2)(y 1-y 2)2=0, ∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2, ∴x 1-x 22+y 1-y 2=0, ∴k =y 1-y 2x 1-x 2=-12.∴此弦所在的直线方程为y -1=-12(x -1),即x +2y -3=0. 角度二由中点弦确定曲线方程[典题4] [2017·福建福州质检]抛物线C 的顶点为原点,焦点在x 轴上,直线x -y =0与抛物线C 交于A ,B 两点,若P (1,1)为线段AB 的中点,则抛物线C 的方程为( )A .y =2x 2B .y 2=2xC .x 2=2yD .y 2=-2x[答案] B[解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 抛物线方程为y 2=2px ,则⎩⎪⎨⎪⎧y 21=2px 1,y 22=2px 2, 两式相减可得2p =y 1-y 2x 1-x 2×(y 1+y 2)=k AB ×2=2,解得p =1,∴抛物线C 的方程为y 2=2x . 角度三由中点弦解决对称问题[典题5] [2015·浙江卷]已知椭圆x 22+y 2=1上两个不同的点A ,B 关于直线y =mx +12对称.(1)求实数m 的取值范围;(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). [解] (1)由题意知m ≠0,可设直线AB 的方程为y =-1m x +b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =-1m x +b消去y ,得⎝ ⎛⎭⎪⎫12+1m 2x 2-2bm x +b 2-1=0.因为直线y =-1m x +b 与椭圆x22+y 2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b 2+2+4m 2>0.①将线段AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2+2,m 2b m 2+2代入直线方程y =mx +12解得b =-m 2+22m 2.②由①②得m <-63或m >63.故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-63∪⎝ ⎛⎭⎪⎫63,+∞.(2)令t =1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-62,0∪⎝⎛⎭⎪⎫0,62,则|AB |=t 2+1·-2t 4+2t 2+32t 2+12, 且O 到直线AB 的距离为d =t 2+12t 2+1.设△AOB 的面积为S (t ),所以 S (t )=12|AB |·d =12-2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2-122+2≤ 22, 当且仅当t 2=12时等号成立. 故△AOB 面积的最大值为22.[点石成金] 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1+x 2,y 1+y2,y 1-y 2x 1-x 2三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.[方法技巧] 求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x 或y )成为二次方程之后,结合韦达定理,建立等式关系或不等式关系.(2)点差法:在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ是否为正数.[易错防范] 判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线也相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外,易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点.真题演练集训1.[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( )A. x 245+y236=1 B. x 236+y227=1 C. x 227+y 218=1D. x 218+y 29=1答案:D解析:直线AB 的斜率k =0+13-1=12,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2+y 21b2=1,①x 22a 2+y 22b2=1,②①-②,得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2.即k =-b 2a 2×2-2,∴b 2a 2=12.③又a 2-b 2=c 2=9,④ 由③④得a 2=18,b 2=9.∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1,故选D.2.[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94答案:D解析:易知抛物线中p =32,焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34,0,直线AB 的斜率k =33,故直线AB 的方程为y =33⎝ ⎛⎭⎪⎫x -34,代入抛物线方程y 2=3x ,整理得x 2-212x +916=0.设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2),则x 1+x 2=212.由抛物线的定义可得弦长|AB |=x 1+x 2+p =212+32=12,结合图象可得O 到直线AB 的距离d =p 2sin 30°=38,所以△OAB 的面积S =12|AB |·d =94.3.[2016·江苏卷]如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l :x -y -2=0,抛物线C :y 2=2px (p>0).(1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程; (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证:线段PQ 的中点坐标为(2-p ,-p ); ②求p 的取值范围.(1)解:抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0, 由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0在直线l :x -y -2=0上,得p2-0-2=0,即p =4. 所以抛物线C 的方程为y 2=8x .(2)解:设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),线段PQ 的中点M (x 0,y 0). 因为点P 和Q 关于直线l 对称,所以直线l 垂直平分线段PQ ,于是直线PQ 的斜率为-1,则可设其方程为y =-x +b .①证明:由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ,y =-x +b消去x 得y 2+2py -2pb =0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点, 所以y 1≠y 2,从而Δ=(2p )2-4×(-2pb )>0, 化简得p +2b >0.方程(*)的两根为y 1,2=-p ±p 2+2pb ,从而y 0=y 1+y 22=-p .因为M (x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=2-p .因此,线段PQ 的中点坐标为(2-p ,-p ). ②解:因为M (2-p ,-p )在直线y =-x +b 上, 所以-p =-(2-p )+b ,即b =2-2p . 由①知p +2b >0,于是p +2(2-2p )>0, 所以p <43.因此,p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,43.4.[2016·山东卷]平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是32,抛物线E :x 2=2y 的焦点F 是C 的一个顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .①求证:点M 在定直线上;②直线l 与y 轴交于点G ,记△PFG 的面积为S 1,△PDM 的面积为S 2,求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标.(1)解:由题意知,a 2-b 2a =32, 可得a 2 =4b 2,因为抛物线E 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,所以b =12,a =1,所以椭圆C 的方程为x 2+4y 2=1.(2)①证明:设P ⎝⎛⎭⎪⎫m ,m22(m >0).由x 2=2y ,可得y ′=x ,所以直线l 的斜率为m .因此直线l 的方程为y -m 22=m (x -m ), 即y =mx -m 22.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 0,y 0).联立方程⎩⎨⎧x 2+4y 2=1,y =mx -m 22,得(4m 2+1)x 2-4m 3x +m 4-1=0.由Δ>0,得0<m <2+5(或0<m 2<2+5), (*)且x 1+x 2=4m34m 2+1,因此x 0=2m 34m 2+1,将其代入y =mx -m 22,得y 0=-m 22(4m 2+1),因为y 0x 0=-14m ,所以直线OD 的方程为y =-14m x . 联立方程⎩⎨⎧y =-14m x ,x =m ,得点M 的纵坐标y M =-14, 所以点M 在定直线y =-14上.②解:由①知直线l 的方程为y =mx -m22. 令x =0,得y =-m22,所以G ⎝⎛⎭⎪⎫0,-m 22.又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ,m 22,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2+1,-m 22(4m 2+1), 所以S 1=12·|GF |·m =(m 2+1)m 4, S 2=12·|PM |·|m -x 0|=12×2m 2+14×2m 3+m 4m 2+1=m (2m 2+1)28(4m 2+1).所以S 1S 2=2(4m 2+1)(m 2+1)(2m 2+1)2.设t =2m 2+1.则S 1S 2=(2t -1)(t +1)t 2=2t 2+t -1t 2=-1t 2+1t +2,当1t =12,即t =2时,S 1S 2取得最大值94,此时m =22,满足(*)式,所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22,14,因此S 1S 2的最大值为94,此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22,14.课外拓展阅读 忽视讨论二次项系数致误[典例] 已知点A (0,2)和双曲线x 2-y24=1,过点A 与双曲线只有一个公共点的直线的条数为( )A .1B .2C .3D .4[解析] 设过点A (0,2)的直线为y =kx +2.由⎩⎨⎧y =kx +2,x 2-y 24=1,得(4-k 2)x 2-4kx -8=0.当k 2=4,即k =±2时,方程只有一解,即只有一个交点. 当k 2≠4时,方程有一解时Δ=(-4k )2-4×(4-k 2)×(-8)=0, ∴k 2=8,∴k =±22k ,k 为切线的斜率. 综上,共有4条直线.故选D.[易错分析] 得出方程(4-k 2)x 2-4kx -8=0后,不考虑k 2=4,直接由Δ=0,得k =±22,错选B.[答案] D 温馨提醒直线与双曲线只有一个公共点时,该直线可与双曲线相切(Δ=0),也可也其渐近线平行,故只有一个公共点不一定是相切关系,注意数形结合法的应用.课时跟踪检测(五十五)[高考基础题型得分练]1.已知椭圆C 的方程为x 216+y 2m 2=1(m >0),如果直线y =22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ,则m 的值为( )A .2B .2 2C .8D .2 3答案:B解析:根据已知条件得c =16-m 2,则点⎝⎛⎭⎪⎫16-m 2,2216-m 2在椭圆x 216+y 2m 2=1(m >0)上,∴16-m 216+16-m 22m 2=1,可得m =2 2.2.抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK ⊥l ,垂足为K ,则△AKF 的面积是( )A .4B .3 3C .4 3D .8答案:C解析:∵y 2=4x ,∴F (1,0),l :x =-1, 过焦点F 且斜率为3的直线l 1:y =3(x -1),与y 2=4x 联立,解得A (3,23), ∴AK =4,∴S △AKF =12×4×23=4 3.3.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y =2x 2上的两点,直线 l 是AB 的垂直平分线.当直线 l 的斜率为12时,直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫34,+∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞ C .(2,+∞) D .(-∞,-1)答案:A解析:设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程为y =12x +b , 过点A ,B 的直线可设为y =-2x +m ,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y =2x 2,y =-2x +m ,得2x 2+2x -m =0,从而有x 1+x 2=-1,Δ=4+8m >0,m >-12,①又AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,m +1在直线l 上, 即m +1=-14+b ,得m =b -54, 将m =b -54代入①,得b >34,所以直线 l 在y 轴上的截距的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34,+∞.4.经过椭圆x22+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B 两点.设O 为坐标原点,则OA →·OB →=( )A .-3B .-13C .-13或-3 D .±13答案:B解析:依题意,当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时, 其方程为y -0=tan 45°(x -1),即y =x -1, 代入椭圆方程x 22+y 2=1并整理得3x 2-4x =0, 解得x =0或x =43,所以两个交点坐标分别为(0,-1),⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13,所以OA →·OB →=-13,同理,直线 l 经过椭圆的左焦点时,也可得OA →·OB →=-13.5.[2017·云南昆明高三摸底]已知斜率为2的直线l 与双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)交于A ,B 两点,若点P (2,1)是AB 的中点,则C 的离心率等于( )A .2 2B .2 C. 3 D. 2答案:D解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入双曲线方程,得x 21a 2-y 21b 2=1,x 22a 2-y 22b 2=1,两式相减,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2=(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2, ∴y 1-y 2x 1-x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2), ∴2=b 2a 2×21,∴a =b ,故双曲线是等轴双曲线,则离心率为 2.6.[2017·贵州安顺月考]在抛物线y =x 2上关于直线y =x +3对称的两点M ,N 的坐标分别为________.答案:(-2,4),(1,1)解析:设直线MN 的方程为y =-x +b ,代入y =x 2中, 整理得x 2+x -b =0,令Δ=1+4b >0,∴b >-14.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-1,y 1+y 22=-x 1+x 22+b =12+b ,由⎝⎛⎭⎪⎫-12,12+b 在直线y =x +3上,得 12+b =-12+3,解得b =2,联立⎩⎪⎨⎪⎧ y =-x +2,y =x 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=-2,y 1=4,⎩⎪⎨⎪⎧x 2=1,y 2=1.7.已知抛物线C :y 2=8x 与点M (-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若MA →·MB →=0,则k =________.答案:2解析:如图所示,设F 为焦点,取AB 的中点P ,过A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为G ,H ,连接MF ,MP ,由MA →·MB →=0知,MA ⊥MB , 则|MP |=12|AB |=12(|AG |+|BH |), 所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线, 所以MP ∥AG ∥BH ,所以∠GAM =∠AMP =∠MAP , 又|AG |=|AF |,AM 为公共边, 所以△AMG ≌△AMF ,所以∠AFM =∠AGM =90°,则MF ⊥AB , 所以k =-1k MF=2.8.[2017·辽宁大连名校联考]已知斜率为2的直线经过椭圆x 25+y 24=1的右焦点F 1,与椭圆相交于A ,B 两点,则弦AB 的长为________.答案:553解析:由题意知,椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0), 直线AB 的方程为y =2(x -1).由方程组⎩⎨⎧y =2(x -1),x 25+y 24=1消去y ,整理得3x 2-5x =0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由根与系数的关系,得x 1+x 2=53,x 1x 2=0. 则|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =(1+22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532-4×0=553. 9.[2017·辽宁鞍山检测]设A ,B 分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和双曲线x 2a 2-y2b 2=1的公共顶点,P ,M 分别为双曲线和椭圆上异于A ,B 的两动点,且满足AP →+BP →=λ(AM →+BM →),其中λ∈R ,|λ|>1,设直线AP ,BP ,AM ,BM 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4且k1+k 2=5,则k 3+k 4=________.答案:-5解析:如图所示,∵满足AP →+BP →=λ(AM →+BM →),其中λ∈R ,|λ|>1, ∴-2PO →=λ(-2MO →), ∴O ,M ,P 三点共线. 设P (x 1,y 1),M (x 2,y 2), y 1x 1=y 2x 2=k ≠0,则x 21a 2-y 21b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1, ∴x 21-a 2a 2=y 21b 2,x 22-a 2a 2=-y 22b 2,∵k 1+k 2=5,∴5=y 1x 1+a +y 1x 1-a =2x 1y 1x 21-a2=2x 1y 1a 2y 21b 2=2b 2a 2·1k . ∴k 3+k 4=y 2x 2+a +y 2x 2-a =2x 2y 2x 22-a 2=-2b 2a 2·1k =-5.10.[2017·广东揭阳一中期末]已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,右焦点为F (1,0).(1)求椭圆E 的标准方程;(2)设点O 为坐标原点,过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ,N 两点,若OM ⊥ON ,求直线l 的方程.解:(1)依题意可得⎩⎨⎧1a =22,a 2=b 2+1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =1,所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1. (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),①当MN 垂直于x 轴时,直线l 的方程为x =1,不符合题意; ②当MN 不垂直于x 轴时,设直线l 的方程为y =k (x -1).联立得方程组⎩⎨⎧x 22+y 2=1,y =k (x -1),消去y ,整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2(k 2-1)=0, 所以x 1+x 2=4k21+2k ,x 1·x 2=2(k 2-1)1+2k .所以y 1·y 2=k 2[x 1x 2-(x 1+x 2)+1]=-k21+2k 2.因为OM ⊥ON ,所以OM →·ON →=0, 所以x 1·x 2+y 1·y 2=k 2-21+2k 2=0,所以k =±2,即直线l 的方程为y =±2(x -1).[冲刺名校能力提升练]1.中心为原点,一个焦点为F (0,52)的椭圆,截直线y =3x -2所得弦中点的横坐标为12,则该椭圆方程为( )A.2x 275+2y 225=1 B.x 275+y 225=1 C.x 225+y 275=1 D.2x 225+2y 275=1答案:C解析:由已知得c =52, 设椭圆的方程为x 2a 2-50+y 2a2=1,联立得⎩⎨⎧x 2a 2-50+y 2a 2=1,y =3x -2,消去y ,得(10a 2-450)x 2-12(a 2-50)x +4(a 2-50)-a 2(a 2-50)=0, 设直线y =3x -2与椭圆的交点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),由根与系数关系,得x 1+x 2=12(a 2-50)10a 2-450,由题意知,x 1+x 2=1,所以12(a 2-50)10a 2-450=1,解得a 2=75,所以该椭圆方程为x 225+y 275=1.2.[2017·陕西西安中学模拟]如图,过抛物线y =14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2+(y -1)2=1交于A ,B ,C ,D 四点,则AB →·DC →=________.答案:-1解析:不妨设直线AB 的方程为y =1,联立⎩⎨⎧y =1,y =14x 2,解得x =±2,则A (-2,1),D (2,1),因为B (-1,1),C (1,1), 所以AB →=(1,0),DC →=(-1,0),所以AB →·DC →=-1.3.[2017·贵州联考]已知中心在原点O ,左焦点为F 1(-1,0)的椭圆C 的左顶点为A ,上顶点为B ,F 1到直线AB 的距离为77|OB |.(1)求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 1的方程为:x 2m 2+y 2n 2=1(m >n >0),椭圆C 2的方程为:x 2m 2+y 2n 2=λ(λ>0,且λ≠1),则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆.如图,已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆,若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M ,N ,试求弦长|MN |的取值范围.解:(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0), ∴直线AB 的方程为x -a+yb =1,∴F 1(-1,0)到直线AB 的距离d =|b -ab |a 2+b 2=77b ,a 2+b 2=7(a -1)2,又b 2=a 2-1,解得a =2,b =3,故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212+y 29=1,①若切线l 垂直于x 轴,则其方程为x =±2,易求得|MN |=2 6. ②若切线l 不垂直于x 轴,可设其方程为y =kx +b , 将y =kx +b 代入椭圆C 的方程,得 (3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0, ∴Δ=(8kb )2-4(3+4k 2)(4b 2-12) =48(4k 2+3-b 2)=0, 即b 2=4k 2+3,(*)设M ,N 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 将y =kx +b 代入椭圆C 2的方程,得 (3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-36=0, 由根与系数的关系,得 x 1+x 2=-8kb 3+4k 2,x 1x 2=4b 2-363+4k 2,|x 1-x 2|=43(12k 2+9-b 2)3+4k 2,∴|MN |=1+k 2×43(12k 2+9-b 2)3+4k 2=461+k 23+4k 2=261+13+4k 2. ∵3+4k 2≥3,∴1<1+13+4k 2≤43,即26<26·1+13+4k 2≤4 2. 综合①②得,弦长|MN |的取值范围为[26,4 2 ].4.[2017·江西赣南五校3月联考]已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x +y +1=0与以椭圆C 的右焦点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为椭圆C 上的一点,若过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ,满足OS →+OT →=tOP →(O 为坐标原点),求实数t 的取值范围.解:(1)由题意知,以椭圆C 的右焦点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x -c )2+y 2=a 2,∴圆心到直线x +y +1=0的距离d =|c +1|2=a ,(*)∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ∴b =c ,a =2b =2c , 代入(*)式,得b =c =1, ∴a =2b =2,故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1. (2)由题意知,直线l 的斜率存在, 设直线l 的方程为y =k (x -2), 将直线l 的方程代入椭圆方程,得 (1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-2=0,∴Δ=64k 4-4(1+2k 2)(8k 2-2)=-16k 2+8>0, ∴k 2<12.设P (x 0,y 0),S (x 1,y 1),T (x 2,y 2), 则x 1+x 2=8k 21+2k 2,x 1x 2=8k 2-21+2k 2,对于OS →+OT →=tOP →,当t =0时,直线l 为x 轴,点P 在椭圆上任意位置均符合题意.当t ≠0时,有⎩⎨⎧tx 0=x 1+x 2=8k 21+2k 2,ty 0=y 1+y 2=k (x 1+x 2-4)=-4k 1+2k 2,∴x 0=1t ·8k 21+2k 2,y 0=1t ·-4k 1+2k 2,∵点P 在椭圆上,∴32k 4t 2(1+2k 2)2+16k 2t 2(1+2k 2)2=1, 整理得t 2=16k21+2k 2,由k 2<12知,0<t 2<4,∴t ∈(-2,0)∪(0,2),综上可得,t 的取值范围为(-2,2).。