不定积分试题(B)及答案
不定积分+定积分及其应用习题附带答案
1．设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )()F x ()f x (),-∞+∞()F x ()f x A ．偶函数 B ． 奇函数C ． 非奇非偶函数 D ．不能确定2．已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数()f x cos x ()g x 2x ()f g x ⎡⎤⎣⎦为 ( )A ．B ． 2x 2cos x C ． D ．2cos x cos x3．设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )()f x A ． ()()1222f x dx f x c '=+⎰B ．()()22f x dx f x c'=+⎰C ． ()()()222f x dx f x ''=⎰D ．()()2f x dx f x c'=+⎰4．设且()22cos sin f x x '= ,则=( )()00f =()f x A ． B ． 212x x -212x -C ． D ．1x -313x x-5．设是的一个原函数,则2xe-()f x ( )()02()limx f x x f x x∆→-∆-=∆A ． B ．22xe -28xe-C ． D ．22xe--24xe-6．设,则=( )()xf x e -=()ln f x dx x'⎰A ．B ． 1x-c +ln x c -+C ．D ． 1c x+ln x c +7．若是的一个原函数,则ln x x ()f x =()f x '8．设的一个原函数为()()tan 2f x k x =,则 2ln cos 23x k =9．若,则()2f x dx x c =+⎰=()231x f x dx -⎰10．()()2cos 2sin 2d θθθ=⎰11．若,则()()f x dx F x c =+⎰()xx ef e dx --=⎰12．若,则()ln cos f x x '=⎡⎤⎣⎦()f x =13．计算()23x xe dx +⎰14．计算()()sin ln cos ln x x dx x⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰15．计算ln(tan )sin cos x dxx x ⎰16．计算21arctan1x dx x +⎰17．计算11sin dx x+⎰18．计算19．计算20．计算21．计算22．计算23. 计算()221tan xex dx+⎰24．已知的一个原函数为,求()f x sin x x()3x f x dx '⎰1、解:可导奇函数的导函数必为偶函数.必为偶函数.选A()()f x F x '∴=2、解:(1),()()cos sin f x x x '==- ()()()22sin 2g x x x f g x x'==∴=-⎡⎤⎣⎦(2)()2cos 2cos (sin )xx x '=- 选B sin 2x =-∴3、解:()()12222f x dx f x d x''=⎰⎰()122f x c =+选A4、解：(1)()22cos 1cos f x x '=- ()1f x x'∴=- (2)()22x f x x c=-+且得()00f =0c =,选A ()22x f x x =-5、解：(1)原式=()()()022limx f x x f x x∆→-∆--⎡⎤⎣⎦-2∆()2f x '=-(2)()2xF x e-= ()()222x xf x e e --'∴==-(3) 原式= 选D222(2)4xx ee ----=6、解：(1)()()ln ln ln f x dx f x d xx''=⎰⎰()ln f x c=+(2)(),xf x e -= ()1lnln 1ln x xf x e ex-∴===(3)原式=选C 1c x+7、解：(1)()ln F x x x= ()()1ln f x F x x'∴==+(2) ()()11ln f x x x''=+=8、解：()2ln cos 23F x x =()()2sin 223cos 2xf x x -∴=-故 ()()4tan 21ln 3x F x x '=-=+43k =-9、解： 原式=()()331113f x d x ---⎰()3113x c =--+10、解：原式=2222cos sin 4sin cos d θθθθθ-⎰221144sin cos d d θθθθ=-⎰⎰11cot tan 44t cθθ=--+或1csc 2c θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11、解：原式=()()xxx f edeF e c----=-+⎰12、解：()ln cos f x dx xdx'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰()1ln sin f x x c =+()1sin sin c x xf x e c e -==⋅13、解:原式=()22323x xx x e e dx ⎡⎤++⋅⎢⎥⎣⎦⎰()2923xxxe dx dx e dx=++⎰⎰⎰219232ln 91ln 3x x xx e e c ⋅⋅=++++14、解:原式=()()sin ln cos ln ln x x d x⋅⎰()()sin ln sin ln x d x =⎰=()21sin ln 2x c +⎡⎤⎣⎦15、解:原式=()2ln tan tan cosx dxx x⎰()ln tan tan tan x d xx=⎰()()ln tan ln tan x d x =⎰ ()21ln tan 2x c =+⎡⎤⎣⎦16、解:原式=221arctan11x dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰21arctan111x d x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰11arctan arctand x x=-⎰211arctan 2cx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭17、解:原式=21sin 1sin xdx x --⎰21sin cos cos x dx dx x x=-⎰⎰2cos tan cos d xx x =+⎰1tan cos x cx=-+18、解:2,1,2t x t dx tdt==-=原式=()2221211tdt dt tt t=++⎰⎰=2arctan t c+c+回代19、解:令2tan ,sec x t dx tdt==原式=32tan sec sec ttdtt⎰=2tan sec td t⎰()2sec 1sec t d t=-⎰31sec sec 3t t c =-+()()3122221113x x c +-++回代20、解:令2sin ,2cos x t dx tdt ==原式=2cos 2sin cos t dtt t ⎰1csc 2tdt =⎰()1ln csc cot 2t t c -+公式12c 回代21、解:(倒代换)令211,x dx dt t t-==原式==-11arcsin 333t c =-=-+13arcsin 3c x-+回代13arccos 3c x=+(注:(三角代换)令3sec ,x t =,3sec tan dx t tdt =原式=3sec tan 19sec tan 3t t dt t c t t =+⎰)13arccos 3c x+回代22、解:2,1,xt e t ==+ ()222ln 1,1tx tdx dtt=+=+原式=222211211t t t dt dtt t ⋅+-=++⎰⎰=()2arctan t t c-+2c-+回代23、解： 原式=()221tan2tan xex x dx++⎰2tan 2tan x d x e xdx=+⎰⎰2x e 222tan tan 22tan x x x e x x e dx e xdx =-⋅⋅+⎰⎰22tan 2tan x x e x x e dx =-⋅⎰22tan x xe dx +⎰2tan x e x c=+24、解： ()sin x F x x= ()()2cos sin x x xf x F x x -'∴==原式()3x df x =⎰()()323x f x f x x dx=-⋅⎰2222cos sin cos sin 3x x x x x x x x dx x x --=⋅-⎰2cos sin 3sin 3sin x x x x xd x xdx=--+⎰⎰2cos sin 3sin 3sin 3sin x x x x x x xdx xdx =--++⎰⎰2cos 4sin 6cos x x x x x c=--+1．设初等函数在区间有定义，则在上一定 （ ）()f x [],a b ()f x [],a b A ．可导 B ．可微C ．可积D ．不连续2．若连续，下列各式正确的是 （ ）f A ．()()ba d f x dx f x dx =⎰B ．()()df x dx f x dx dx =⎰C ． ()()bx d f t dt f x dx =⎰D ．()()xad f t dt f x dx =⎰3. 下列关系式中正确的是 （ ）A ．B ．21100x x e dx e dx =⎰⎰211x x e dx e dx≥⎰⎰C ．D ．以上都不对211x x e dx e dx ≤⎰⎰4．下列各式中，正确的是 （ ）A ．B ．2101x e dx ≤≤⎰211x e dx e≤≤⎰C ． D ．以上都不对2120x e e dx e ≤≤⎰5．下列函数在区间上可用牛顿——莱布尼兹公式的是 （ ）[]1,1-AB ．C1x 6．设在上，[],a b ()()()0,'0,''0f x f x f x ><>记，，，则有 （ ）()110S f x dx =⎰()()2S f b b a =⋅-()()32b aS f b f a -=+⎡⎤⎣⎦A ． B ．123S S S <<213S S S <<C ． D ．312S S S<<231S S S <<7．xx →=8．设连续，且，则 ()f x ()()xe xF x f t dt -=⎰()'F x =9．设连续，则 ()'f x 1'2x f dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰10．设则()()120121f x f x dx x=-+⎰ ()1f x dx =⎰11．设连续，且则 ()f x ()21301,(1)x f t dt x x -=+>⎰()8f =12．设，则y 的极小值为()01xy t dt =-⎰13．方程，确定，求cos 0yx t e dt tdt +=⎰⎰()y y x =0x dydx=14．设在连续，且满足，求 ()f x []0,1()()13243f x x x f x dx =-⎰()f x 15．讨论方程在区间内实根的个数4013101xx dt t --=+⎰()0,116．设在连续，且在单调减少，讨论在区间()f x [],a b (),a b ()()1xa F x f t dt x a=-⎰的单调性(),a b 17．求()22220limx t xx t e dt te dt→⎰⎰18．设其中为连续函数，求()()2xa x F x f t dt x a=-⎰f ()lim x a F x →19．设，且可导，，求()()01122xf t dt f x =-⎰()f x ()0f x ≠()f x20．若为连续的奇函数，判别的奇偶性()f x ()0xf t dt ⎰21．1321sin x x x dx-⎡⎤⎣⎦⎰22．已知，求221x t e dt -⎰()1xf x dx⎰23．1⎰24．设连续，证明()f x 并由此计算()()20sin 2sin f x dx f x dx ππ=⎰⎰0π⎰1、解：初等函数在定义区间内必连续，连续必可积。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。
2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。
3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。
不定积分专题试题
不定积分专题试题（含答案）一、填空题1、若⎰==__)(sin cos )()('dx x xf u f u F ，则 C x F +)(sin2、设)(x f 的一个原函数为x x tan ，则⎰=___)('dx x xf C x xx +-tan 2sec 2 3、若)1()(ln '2>=x x x f ，则___)(=x f C e x +2214、_____1)2(=--⎰xx dxC x +--1arctan 25、设x x f ln )(=，则____)('=⎰--dx ee f x x C x +6、___sin cos 2222=+⎰xb x a dx C x a bab +)tan arctan(1 7、已知边际收益为x 230-，则收益函数为___ 230x x -8、=-+=⎰⎰dx x xf C x dx x f )1()(22，则若______ C x +--22)121（9、____)2ln 1(12=+⎰dx x x C x +2ln arctan10、若____1)1()()(2=⋅+=⎰⎰dx xxf C u F du u f ，则 C xF +-)1(二、选择题1、函数x x e 3的一个原函数为（ B ）A 、)3ln 1()3(+xe B 、3ln 1)3(+xeC 、3ln 3xe D 、3ln 3xe2、求dx x ⎰-42时，为使被积函数有理化，可作变换（C ）Ａ、t x sin 2= B 、t x tan 2= C 、t x sec = D 、42-=t x3、若x ln 是函数)(x f 的原函数，那么)(x f 的另一个原函数是BA 、ax lnB 、ax a ln 1C 、x a +lnD 、2)ln 21x （4、函数__)(_)()()(2D x F x x x f =+=的一个原函数A 、334xB 、334x xC 、)(3222x x x + D 、)(322x x x +5、__)(_)(cos )1cos 1(2D x d x =-⎰A 、C x x +-tanB 、C x anx +-cos tC 、C x x+--cos 1 D 、C x x +--cos cos 1三、计算题 1、⎰+)1(x x dxC x +arctan 2 2、dx x x ⎰-234 C x x +-+--3)4(443223、dx xx⎰-31 C x x x x x x +-++----666656711ln 3625676 4、dx e x x 23-⎰ C e e x x x +----22212125、dx x x ⎰+241 C x x x ++-arctan 336、dx xx ⎰22cos sin 1C x x +-cot tan 7、dx ex ⎰-12 C x ex +---)112(128、dx x )arcsin (2⎰ C x x x x ar x +--+2arcsin 12)sin c (229、xdx ⎰3tan C x x++cos ln 2tan 210、⎰-dx x x 123 C x x +-+-13)1(232 11、dx x x 23)(ln ⎰ C x x x x x ++-32ln 8)(ln 4442412、⎰dx x )sin(ln C x x x +-)]cos(ln )[sin(ln 213、dx x f x f ⎰)()(' )(2x f +C 14、dx ex ⎰+211C e e x x +++-+1111ln 2122 15、dx x x ⎰sin C x x x x x +-+-sin )2(6cos )6(2 四、证明题：设)(x f 的原函数)(x F 非负，且1)0(=F ，当x x F x f x 2sin )()(02=≥时，有，试证14sin 412sin )(2+-=x x xx f不定积分练习题1基础题 一．填空题 1.不定积分：⎰=_____x x dx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x)32(⎰+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________ 8.=+⎰x d )x 1x ( ________ 9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果xe -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin )xx x dx +-=⎰ .15.222()a x dx +=⎰. 16.3321(1)x x dx x-+-=⎰ . 二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（ ） c x 3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( )()arcsin ()arctan A x B x x 1 x 1 ln 2 1)C (+- x1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cos π的一个原函数为 （ ） (A) x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)， 则⎰=dx )x 2(f （ ）(A) F(2x)+ C (B) F( 2 x )+ C (C)C )x 2(F2 1+ (D) 2F( 2 x )+ C 5.设3()lnsin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
不定积分的典型例题50题答案
例1． 解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2dxx x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰ 解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠22222421)1(11111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan 21lim 20π-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.解 将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3.解 令 ,2x u =再用部分分式，則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x c u u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+)1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5. 解 令 ,2tant x =则=-++⎰dx xx xsin cos 1cos 1 .2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(21212111111222222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6dx x x122+⎰⎰+=22421dx x x.1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dxx x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dx x x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰ .arctan 2111ln 41c x x x ++-+= 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10．⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12x x d x dxx dx πππ.)24tan(c x +--=π 例 11c t t dt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x 例12．解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I例13． ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx x x J dx x x dx x x dx x x x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例14．)1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin )1(112arcsin1c x xxx dx x x x x ++++=+++=⎰）（分部积分例15．解 令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++ .)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例16．解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='- 被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合，故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx xx x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰ 例17．解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c xx dt t t ++-=+--=⎰ 例18．⎰⎰+=+x xdxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos 1)(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例19．.)1ln(18189623266332366c x x x x x dx xx x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例20．.15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例21．.]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22．,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x xe e dx232换元后有理函数积分例24．.1arcsin arcsin 2c x x x xdx +-+=⎰分部积分例25．.)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例26．”）妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例27..)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式例28..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰例29.=++-=+⎰⎰xb x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-例30.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 12222x xx d xx x dxxx x x xdx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例31．.1212ln2211)1(22sin 22c xx xx xdxt x +---+-=-+⎰=例32．.111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例33．.313222sec 0422c x a x a dx x a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰例34dt tt t dt t t x dxtx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11.arcsin 112c x x x x ++-+-=例35．.ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt t ttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例36．.13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例37．.22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例38．.)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰ 例39．.1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例40．.)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例41．.)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x例51． 求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解 由配方得2,)2())((22a b R b a x R x b a x -=+--=--其中，令,2b a u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a bc t t R t R c t t R dt t R tdt R du u R t R u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例52．设)(x f 有一个原函数,sin xx 求.)(⎰'dx x f x 解 用分部积分法有 (*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c x x dx x f -='+='=⇒+=⎰⎰ 代入（*）有 1sin sin cos )(c x x x x x dx x f x ---='⎰， 即 .sin 2cos )(c x x x dx x f x +-='⎰。
高等数学100题不定积分及答案
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 63、 cos 2x cos 3xdx =
1 10
sin
5x
+
1 2
sin
x
+
c
∫ 64、 tan x sec xdx = sec x + c
∫ 65、
tan2 x sec xdx =
1 2
sec
x
tan
x
−
1 2
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+c
∫ 66、
tan x sec2 xdx =
x)2
+
c
∫ 78、
x
−
1
arctan + x2
x
dx
=
1 2
ln(1
+
x
2
)
3
−
2 3
(arctan
x)
2
+c
∫ 79、 arcsin x dx = (arc sin x )2 + c
x(1− x)
∫ 80、
1
dx = − 1 + c
(arcsin x)2 1− x2
arcsin x
∫ 81、 ex dx = ln(1+ ex ) + c
c
∫ 98、 cos x − sin xdx = ln | sin x + cos x | +c sin x + cos x
∫ 99、 sin x + 2 cos x dx = 3sin x + 4 cos x
专升本高等数学(二)-不定积分
专升本高等数学(二)-不定积分(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：10，分数：10.00)1.在区间(a，b)内，如果f'(x)=g'(x)，则下列各式中一定成立的是______∙ A.f(x)=g(x)∙ B.f(x)=g(x)+1∙ C.(∫f(x)dx)'=(∫f(x)dx)'∙ D.∫f'(x)dx=∫g'(x)dx（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析]由于f'(x)=g'(x)，则f(x)与g(x)之间相差任意常数。
2.如果等式成立，则f(x)等于______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由不定积分的定义，有[*]，即 [*]，则[*]3.设cotx是f(x)的一个原函数，则f(x)等于______∙ A.csc2x∙ B.-csc2x∙ C.sec2x∙ D.-sec2x（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由原数的定义，有f(x)=(cotx)'=-csc2x。
4.下列等式中，成立的是______ A．d∫f(x)dx=f(x) B． C．d∫f(x)dx=f(x)dx （分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由不定积分的基本性制质可知，d∫f(x)dx=f(x)dx成立。
5.设f'(cos2x)=sin2x，且f(0)=0，则f(x)=______A． B．C． D（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] f'(cos2x)=sin2x=1-cos2x，f'(x)=1-x，[*]。
由f(0)=0，得C=0，则[*]。
6.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e-x f(e-x)dx等于______∙ A.F(e-x)+C∙ B.-F(e-x)+C∙ C.F(e x)+C∙ D.-F(e x)+C（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 凑微分法，使用凑微分公式-e x dx=-d(e-x)，∫e-x f(e-x)dx=-∫(e-x)dx-x=-F(e-x)+C。
不定积分 计算题
计算题（共 200 小题） 1、⎰⎰+=.d )( , sin d )()(x x f c x x x f n 求设 2、⎰'>+=.d )(),0()(2x x f x x x x f 试求设 3、.d x x ⎰求4、.)( .0,sin ,0)(2的不定积分求 设x f x x x x x f ⎩⎨⎧>≤= 5、已知，求它的原函数．f x x F x ()()=-1 6、.d x x ⎰求 7、⎰-233d x x 求 8、 .,d 2是常数其中求 a x x a ⎰9、.0,,d >⎰a a x e a x x 是常数其中求 10、.d tan csc 22x x x ⋅⎰求11、⎰⋅x x x d cot sec 22求 12、⎰+22d x x 求 13、⎰+82d 2x x求 14、⎰-9d 2x x 求 15、⎰-.63d 2x x 求 16、 ⎰+232d x x 求 17、.d 2432x xx x ⎰-求 18、x x x d ⎰⋅求 19、.d )1(23x x x ⎰+求 20、 .,,d )cosh sinh (均为常数其中求 b a x x b x a ⎰+ 21、⎰x x d cot 2求22、.d 11)(3x x x ⎰++求 23、.d x x x x ⎰求 24、⎰+.d )arccos (arcsin x x x 求 25、[].d )1(cos cos )1(sin sin x x x x x ⎰+++求 26、⎰⋅.d 2sin 22x x 求 27、⎰.d 2cos 22x x 求 28、.d sin 1sin 423x x x ⎰-求 29、⎰+.d )32(2x x x 求 30、.d 3273x x x ⎰--求 31、.d 22222x x x x ⎰-+-求 32、⎰---.d )31)(21)(1(x x x x 求 33、x x x x d )1(21222⎰++求 34、.d 323x xx e x x x ⎰+-求 35、.d )1()1(22x x x x ⎰++求 36、⎰+.d )sec (tan 22x x x 求 37、.d )csc (cot 22x x x +⎰求 38、.d sin sin 2222⎰+x xx x x 求 39、.d 122x xx ⎰+求40、⎰-.d 122x x x 求 41、.d 1322x x x ⎰-+求 42、.d 111422x x x x ⎰--++求 43、 .d 111422x x x x ⎰---+求44、 .d 2cos 1sin 12x xx ⎰-+求 45、.d 1cos sin 122x x x ⎰--求 46、.d cos sin d 22x xx x ⎰求 47、 ⎰++.d 2cos 1cos 12x xx 求 48、.d sin cos 2cos x xx x ⎰-求 49、 ).20(d 2sin 1π≤≤+⎰x x x 求 50、x xx x d sin cos 2cos 22⎰求 51、 ⎰+x x x 2sin 2cos d 求 52、求⎰++++x xx x x x d 13323.53、求x x d 13⎰-. 54、求⎰⋅+222)3(d x x x . 55、.d )1(32x x x ⎰-求56、 x x x d )1)(1(3-+⎰求 57、.d )1(2x xx ⎰-求 58、 .d )32(23x xx x ⎰-求 59、.d )11(2x x x x⎰-60、 ⎰⋅-22)1(d xx x 求 61、 .)1(d 22⎰+x x x 求 62、 .d )1)(1(122x x x ⎰-+求 63、 .d 124x xx ⎰+求 64、.d 2344x xx x ⎰++-求 65、⎰+-.)3)(2(22x x 求 66、 .d )2sin 2(cos cos 22x x x x ⎰-求 67、.d sin 2sin 2cos 244x xx x ⎰+求 68、 ⎰+.d 2sin 2cos 21cos 2x x x x 求 69、 ⎰'⋅⋅+.d )()( , sin 1sin )(x x f x f xx x x f 求的一个原函数为已知 70、 设求'=f x x f x (sin )cos ,().22 71、设 且求f x f x x f x f f x ()(),(),(),().⋅'=>=012 72、⎰+3)(d a x x 求 73、 ⎰-.51d x x 求 74、.d )32(10x x ⎰-求75、⎰+.d )56(4x x 求76、.d 313x x ⎰-求77、⎰⋅.d cos sin x e x x 求78、⎰-.d 1x xx 求 79、⎰.d 2tan x x 求80、⎰+.d )cot (tan x x x 求81、⎰-.)1(d x x x 求 82、 ⎰.d 2sin cos 2x x x 求83、⎰.d cos 3x x 求84、⎰+.d cos 1sin x x x 求 85、⎰.d cos sin 2x x x 求 86、⎰-.d )2(cos 2x x 求87、⎰-.d 32x ex x 求88、 ⎰-232d xx 求 89、 ⎰-232d x x求90、 .,d )5sin 5(sin 为常数其中求a x a x ⎰- 91、⎰π+．求)4(sin d 2x x.cos 1d ⎰+x x 求 93、 .d cos 1sin x xx ⎰-求 94、 ⎰.d ln 23x x x 求95、 .ln d ⎰xx x 求 96、 .d )(ln ln 12x x x x ⎰+求 97、⎰-+-.d 105211x x x x 求 98、.d 12x ex ⎰+求99、 ⎰+.d 1x ee x x 求 100、.d )(2⎰--+x e e x x 求 101、⎰.d sin 3x x 求 102、⎰+.d )sin (cos 2x x x 求 103、⎰-++.11d x x x 求 104、 ⎰.d sec tan 3x x x 求 .d csc cot 3x x x ⎰求 106、⎰⋅.d sec tan 46x x x 求 107、⎰⋅.d csc cot 46x x x 求 108、.d sec tan 4x x x ⋅⎰求 109、.d sec tan 35x x x ⎰⋅求 110、.d csc cot 35x x x ⎰⋅求 111、.d csc cot 43x x x ⋅⎰求 112、⎰.d x x e x求113、.d 1arctan 2x x x ⎰+求 114、⎰+.d 12x ee x x 求 115、.d )1(3x e e x x ⎰+求 116、⎰+.d 122x ee x x 求 117、⎰-+.215d 2x x x 求118、.2d 2⎰-+x x x 求119、 ⎰++.32d 2x x x 求 120、 .d )1(5x x x ⎰+求 121、.d sin ln cot x xx ⎰求 122、 ⎰+.d cos 2sin x xx 求 123、 .d )2(2321x x x ⎰+求124、 .d )1(22x x x ⎰+求 125、 ⎰-.d cos sin 4cos sin 22x x x x x 求126、 .d cos x x x ⎰求 127、.d 412x xx ⎰-求 128、 .d 913arccos 2⎰-x x x求 129、 .d 1)(arcsin 22x x xx ⎰--求130、⎰+.d )ln (ln 123x x x x 求131、⎰.d csc 6x x 求132、.d sec 6x x ⎰求133、⎰-.d 183x xx 求134、.d 462x x x ⎰+求135、⎰⋅.d 3cos 2sin x x x 求136、⎰⋅.d 7sin 5sin x x x 求137、⎰⋅.d 3cos 2cosx xx 求 138、⎰.d )(ln sec 12x x x 求 139、.d 2122x exex x ⎰-求140、⎰-.d 414x xx求141、⎰-xx x 41d 2求142、⎰-++.d 1322x x x x 求 143、.d )2(8232x x x ⎰+求144、.d 4252x x x ⎰+-求 145、.d 13962x x x x ⎰+++求 146、⎰.d 4ln 2ln x xx x求147、.0,,d 2≠-⎰a b a bxax x且是常数和其中求 148、⎰+.d ln 1ln x xx x求149、x xxd 1321⎰+求 150、.d )1(arctan x x x x⎰+求151、⎰++.d )sin (cos 134x x x x 求152、⎰.d cos sin 3x xx求153、⎰.d cosh 1x x 求154、.d sinh 1x x⎰求.d )ln 3(x xx e e xxx-+⎰求156、⎰-.d 1102arccos 2x xx 求157、⎰-+-.d 34212x xx x 求158、.d tan 3⎰x x 求159、.d cot 14x x⎰求 160、.d cos 2sin 3tan 22x x x x⎰+求161、⎰--.123d 2x x x求 162、.d 52x xx x ⎰-+求163、.d 112x x x x ⎰+++求164、.d 44x x x⎰+求165、.d 43x xx⎰-+求166、⎰.cos sin d 3x x x求167、⎰.cos sin d 3xx x求⎰---.d 152232x x x x 求 169、.d 12x ee xx⎰+求 170、⎰.d 3sin 2sin 2x x x 求171、.d 3cos 2cos 2x x x ⋅⎰求172、⎰+.d ln 32x e xx求173、.,d 32是非零常数其中求a x xa x ⎰-174、⎰++.d cos 1cos 2x x x求175、.d cos 12sin x x x⎰+求176、.sin 1d ⎰+xx求177、⎰+.d cos 4sin 2x xx 求178、.d cos sin 12cos x x x x⎰+求179、.cos 2sin d 22⎰+xx x求 180、⎰+.)21(d x x x求181、.d 4932x xx xx ⎰-⋅求182、⎰+.)4(d 6x x x求 183、.d 9)25(53x xx xx ⎰-求184、.,d )()(,)(是非零常数其中试求连续可导设函数a x b ax f b ax f x f ⎰+'+185、⎰⎰⎰⋅+=.d )()(d )()( , sin d )(x x f x f x x f x f c x x x f 及求设 186、⎰+.1d 2x x x 求187、.d sin cos 5x x x ⎰⋅求188、.d cos 2sin 3x xx ⎰+求189、.1232d ⎰-++x x x求190、.d 11)1ln(22x xx x ⎰+++求 191、.d 22x ee e xx x⎰-++求 192、⎰-+.d 12x xx x 求193、.d 1)1(22x e e xx ⎰++求194、⎰+-.)3)(2(d 22x x x求 195、.4d 4⎰-xx求 196、.)1(1d 322⎰+++x xx x 求197、⎰-+.d 11x xx求198、.d 2cos 2cos x xx⎰+求199、.d cos sin cos sin 4422x xx x x ⎰+-求 200、.)(d 2⎰--x x e e x求答案1、,cos )(sin )(sin )(x x c x x f ='='+=Θ4分 )2cos()(cos )()()(πn x x x f n n +==∴ 7分 .)2sin(d )2cos(d )()(c n x x n x x x f n ++=+=∴⎰⎰ππ 10分2、Θ'=+∴'=+f x xf x x(),().1121122 5分.ln 21d )211(d )(2c x x x x x x f ++=+='∴⎰⎰ 10分3、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥+=⎰.02,02d 2212x c x x c x x x 5分cc c c c c x c x o x o x ===∴+-=+-+→→21212212)2(lim )2(lim , 令 得由原函数的连续性 .20,2,0,2d 22c x x x c x x c x x x +⋅=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥+=∴⎰ 10分4、⎰=x x f x F d )()(设)(lim )(lim ,.0cos ,03)(0213x F x F x c x x c x x F x x -+→→=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=由原函数的连续性 则5分得即令-+==+=1121211c c c c c c⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=.0,cos 1,03)(3x c x x c x x F 则 10分5、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥+-==⎰.1)1(211)1(21d )()(2212x c x x c x x x f x F 5分由原函数的连续性， 令lim ()lim (),.x x F x F x c c c c c →→+-=∴===111212⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥+-=.1)1(21,1,)1(21)(22x c x x c x x F ， 则10分6、.32d 23c x x x +=⎰10分7、⎰-233d xx⎰-=21d 31xx 5分=+13arcsin .x c 10分8、⎰⎰=22d d x x a x x a =-+axc .10分9、⎰x e a x x d⎰=x ae x d )(3分=+1ln()()ae ae c x10分=++11ln .aa e c x x10、x x x d tan csc 22⎰⋅x x d sec 2⎰=5分 =+tan .x c10分11、x x x d cot sec 22⎰⎰=x x d csc 25分 =-+cot .x c10分12、⎰+22d xx⎰+=22)2(d xx5分.2arctan21c x +=10分13、⎰+82d 2x x⎰+=4d 212x x 5分=+++1242ln .x x c 10分14、⎰-9d 2x x ⎰-=223d x x5分.33ln 61c x x ++-=10分15、⎰-63d 2x x⎰-=2d 312x x 5分=+-+1322ln .x x c 10分16、⎰+232d x x ⎰+=232d 31x x 5分=+1632arctan x c10分17、⎰-x xx x d 2432⎰⎰-=x x x x d 2d 125415分 c x x +-=121745172454 10分18、x x x d ⎰⋅ ⎰=x xd 435分 .7447c x += 10分19、x x x d )1(23⎰+x x x x d d 2⎰⎰+=5分.332323c x x ++= 10分 20、.sinh cosh d )cosh sinh (c x b x a x x b x a ++=+⎰10分21、⎰x d cot 2⎰-=x x d )1(csc 2 3分 ⎰⎰-=x x x d d csc 25分 =--+cot .x x c10分22、x x x d )1(⎰+-=原式5分 c x x x ++-=233221210分 23、x x d 41211⎰++=原式5分⎰=x xd 47c x c x +=++=+411471141114710分24、x x x d )arccos (arcsin ⎰+⎰π=x d 2 7分 =+π2x c . 10分25、[]x x x x x d )1(cos cos )1(sin sin ⎰+++⎰++=x x x d )cos sin 1(5分 =-++x x x c cos sin .10分26、x xd 2sin 22⎰⋅⎰-=x x d )cos 1(5分 =-+x x c sin .10分27、⎰x x d 2cos 22⎰+=x x d )cos 1(5分 =++x x c sin .10分28、⎰-x xx d sin 1sin 423 ⎰⎰-=x x x x d csc d sin 425分 =-++4cos cot .x x c10分29、⎰+x x x d )32(2x x x x x d )33222(22⎰+⋅⋅+=3分 ⎰+⋅+=x x x x d )9624(5分c x x x +++=3ln 2966ln 22ln 24 10分30、x x x d 3273⎰--⎰++=x x x d )93(25分=+++x x x c 323329. 10分31、.d 22222x x x x ⎰-+- ⎰-=x x d )2(5分=-+x x c 222. 10分32、⎰---.d )31)(21)(1(x x x x⎰-+-=x x x x d )61161(32 5分 .233113432c x x x x +-+-= 10分33、x x x x d )1(21222⎰++x x x d )1(22⎰+= ⎰⎰++=221d d 1xxx x 5分 .arctan 1c x x++-=10分34、x xx e x x x d 323⎰+- ⎰+-=-x xe xx d )1(255分 .ln 3223c x e x x ++--=-10分35、.d )1()1(22x x x x ⎰++ x x x x x d )1(1222⎰+++=3分⎰⎰++=21d 2d 1x xx x 5分 .arctan 2ln c x x ++=10分36、⎰+.d )sec (tan 22x x x⎰-=x x d )1sec 2(25分 =-+2tan .x x c10分37、.d )csc (cot 22x x x +⎰⎰-=x x d )1csc 2(25分 =--+2cot .x x c10分38、⎰+x xx xx d sin sin 2222 x x x x d 1d sin 122⎰⎰+= 5分 =--+cot .x xc 110分39、x x x d 122⎰+⎰+=x x d 125分⎰⎰+-=21d d xxx =-+x x c arctan .10分40、⎰-.d 122x xx x xx d 11122⎰----= 5分⎰⎰-+-=21d d x xx.11ln 21c xx x +-++-=10分41、x x x d 1322⎰-+ x x x d 14122⎰-+-=5分⎰⎰-+=1d 4d 2x xx .11ln2c x x x ++-+= 10分42、.d 111422x x x x ⎰--++⎰⎰++-=221d 1d xx xx5分.1ln arcsin 2c x x x ++++=10分43、x x x x d 111422⎰---+⎰⎰+--=1d 1d 22x x x x5分c x x x x +++--+=1ln 1ln 22=+-+++ln.x x x x c 221110分44、x xxd sin 2sin 122⎰+=原式 5分⎰⎰+=x x d 21d csc 2128分 .21cot 21c x x ++-=10分45、x x xd 1cos sin 122⎰-- x xx d sin sin 122⎰--= 5分⎰⎰+-=x x x d d csc 2=++cot .x x c10分46、x xx xd cos sin d 22⎰⎰⋅+=x xx xx d cos sin cos sin 22225分⎰⎰+=x x x x d csc d sec 227分 .cot tan c x x +-=10分 ⎰=xx2sin d 4:2原式另解 5分 =-+22cot .x c10分47、⎰++x x xd 2cos 1cos 12 x xx d cos 2cos 122⎰+= 5分⎰⎰+=x x x d 21d sec 2127分 =++1212tan .x x c 10分48、x x x xd sin cos 2cos ⎰-x xx x x d sin cos sin cos 22⎰--=5分⎰+=x x x d )sin (cos7分 =-+sin cos .x x c10分49、)20(d 2sin 1π≤≤+⎰x x x =+⎰(cos sin )x x dx 25分=+⎰(sin cos )x x dx.sin cos c x x ++-= 10分50、x xx xd sin cos 2cos 22⎰ ⎰-=x xx x x d sin cos sin cos 2222 5分⎰⎰-=x x x x d sec d csc 227分 =--+cot tan .x x c10分51、⎰+x x x2sin 2cos d ⎰=x x2cos d 5分 =+tan .x c10分52、⎰++++x xx x x x d 13323 x xx xx x x d 21)1(322⎰+++++= 5分x xx d )1211(2⎰+++= 7分 =+++x x x c ln arctan .210分53、x x xd 113⎰--x x x d 11)(333⎰---=5分⎰++-=x x x d )1(31327分 .43533435c x x x +---=10分54、x xx d )311(312122⎰+-⋅=原式 5分.3arctan 361)1(61c x x +--=10分55、x x x x d )21(231+-=⎰-原式 ⎰+-=-x x xx d )2(3532315分 .835623383523c x x x ++-=10分 56、⎰--+=x x xx d )1(21232原式5分 .32523123253c x x x x +--+=10分 57、⎰-+=x x xd )211(2原式5分 .ln 21c x xx +--=10分58、x x xd )93222(316133--+-=⎰原式5分 .923325122326533c x x x ++⋅-=10分 59、x x x d )(4543--=⎰原式5分 .4744147c x x ++=-10分 60、x x x d )111(22+-=⎰原式5分.111ln 21c xx x +--+=10分61、x x x d )111(22⎰+-=原式 5分 .arctan 1c x x +--= 10分 62、x xx d )1111(2122⎰-++=原式 5分.11ln 41arctan 21c xx x +-++=10分63、x x x d 124⎰+x x x x x d 1)1(2222⎰+-+=5分⎰⎰⎰++-=221d d d xxx x x 7分.arctan 33c x x x ++-= 10分64、x xx x d 2344⎰++- x xx x d 3122⎰+=5分 x xx d )11(5+=⎰ 7分 .41ln 4c xx +-=10分65、⎰+-)3)(2(d 22x x xx x x d )3121(5122⎰+--=5分.3arctan 3122ln 22151c x x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-= 10分66、x x x xd )2sin 2(cos cos 22⎰- x xxd sin 1sin 12⎰--=5分⎰+=x x d )sin 1(=-+x x c cos .10分67、x x x x d sin 2sin 2cos 244⎰+ ⎰-++=x xx x x x x x d sin 2cos 2sin 22cos 2sin 22sin 2cos 2222244 5分x x x x x d sin )(sin )2sin 2(cos 2221222⎰-+= 7分⎰⎰-=x x x d 21d csc 2.21cot c x x +--=10分68、⎰+x xx xd 2sin 2cos 21cos 2 x xx ⎰+-=d sin 1sin 1223分⎰-=x x d )sin 1(25分 =++2(cos ).x x c10分 69、22)sin 1(sin cos )sin 1sin ()(x x xx x x x x f +-='+=Θ 4分c x f x f x f x f x f +==∴⎰⎰)(21)(d )()()(28分c x x x x ++-=422)sin 1()sin (cos 21 10分70、.1sin 1cos ,sin 222u x x x u -=-==则令cu u u u u f uu f +-=-=-='⎰221d )1()(1)(所以 因此 6分.2)(2c x x x f +-=即 10分71、Θf x f x x f x x c ()().()'⋅=∴=+ 121222 5分21.2)1(.2)(2==+=∴c f c x x f 得代入∴=+f x x ().2110分 72、⎰++=3)()d(a x a x 原式5分=-++1212().x a c 10分73、⎰-x x 51d⎰---=xx 51)51d(51 5分 .51ln 51c x +--=10分74、x x d )32(10⎰-⎰--=)32d()32(2110x x 5分 =-+1222311().x c 10分75、⎰+x x d )56(4⎰++=)56d()56(514x x 5分 .)56(2515c x ++= 10分76、x x d 313⎰-)31d(31313x x ---=⎰ 5分 .)31(4134c x +--=10分77、⎰⋅x e x x d cos sin⎰=)d(sin sin x e x5分 .sin c e x +=10分78、⎰-x x xd 1 x xx d 111⎰----=5分 ⎰⎰-+-=xxx 1d d 7分 .1ln c x x +---=10分79、⎰x x d 2tan⎰=x xxd 2cos 2sin5分 ⎰-=x x 2cos )2d(cos 21 7分 =-+122ln cos .x c10分80、⎰+x x x d )cot (tan⎰⎰+-=xx x x sin )d(sin cos )d(cos 5分 c x x ++-=sin ln cos ln7分 =+ln tan .x c10分81、(解法一):⎰-.)1(d x x x⎰-=2)(1)d(2x x 5分=+2arcsin x c10分⎰⎰---=-=22)21(41)21d(d :)(x x xx x 原式解法二5分.)12arcsin(2121arcsinc x c x +-=+-=10分82、⎰x x x d 2sin cos )(2解法一)2d(cos 22cos 121x x⎰+-=5分 =--+1421822cos cos x x c10分⎰x x x d 2sin cos )(2解法二x x x d cos sin 23⎰⋅= 5分 .cos 214c x +-=10分83、⎰x x d cos 3⎰-=)d(sin )sin 1(2x x 5分 .sin 31sin 3c x x +-=10分84、⎰+x x xd cos 1sin⎰+-=xx cos 1)d(cos 5分 .)cos 1ln(c x ++-=10分85、(解法一)⎰x x xd cos sin 2⎰-=x x 2cos )d(cos 5分 =+1cos xc 10分(解法二):⎰=x x x d tan sec 原式5分=+sec .x c10分86、⎰-x x d )2(cos 2⎰-+=x x d 2)24cos(15分 ⎰---=)24d()24cos(4121x x x 7分 .)24sin(4121c x x +--= 10分87、⎰-x ex x d 32⎰--=-)d(3133x e x5分 .313c e x +-=-10分88、⎰-=22)3()2()3d(31x x 原式 5分.3232ln22131c xx +-+⋅=10分89、⎰-232d xx⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=223123d 2321x x 5分.23arcsin31c x +=10分90、x a x d )5sin 5(sin ⎰-.5sin 5cos 51c a x x +--=10分91、⎰+)4(sin d 2πx x⎰++=)4d()4(csc 2ππx x5分 .)4cot(c x ++-=π10分92、⎰+x xcos 1d⎰=2cos 2d 2xx5分⎰=)2d(2sec 2xx7分 .2tan c x+=10分93、.d cos 1sin x x x⎰-⎰⎰--=-=xx x x cos 1)cos 1d(1cos )d(cos 5分 c x +-=)cos 1ln(10分94、⎰x x x d ln 23⎰=)d(ln ln 23x x5分 .ln 5225c x += 10分95、⎰x x x ln d ⎰=xx ln )d(ln 5分 .ln ln c x +=10分96、x x x xd )(ln ln 12⎰+⎰⎰+=x x xx x x ln d )(ln d 25分⎰⎰+=x x x x ln )d(ln )(ln )d(ln 2 7分.ln ln ln 1c x x++-= 10分97、⎰-+-x xx x d 105211 x xx x x d 525211⎰⋅-=-+5分x x x x d 251d 52⎰⎰---⋅=7分 .22ln 5155ln 2c x x ++-=--10分98、⎰+x exd 12)1d(2212+=⎰+x x e5分 c ex+=+12210分99、⎰+x e e x xd 1 ⎰++=x xe e 1)1d(5分.)1ln(c e x ++=10分100、⎰--+x e e x x d )(2.212c e e x x +--=--10分101、⎰x x d sin 3)d(cos )cos 1(2x x ⎰--= 5分⎰⎰-=)d(cos )d(cos cos 2x x x =-+133cos cos .x x c 10分102、⎰+x x x d )sin (cos 2⎰++=x x x d )sin 22cos 1(5分 .cos 2sin 4121c x x x +-+= 10分103、⎰-++11d x x xx x x d 211⎰--+=5分[]⎰⎰---++=)1d(1)1d(121x x x x 7分 .)1(31)1(312323c x x +--+= 10分104、⎰x x x d sec tan 3 ⎰-=)d(sec )1(sec 2x x 5分 .sec sec 313c x x +-= 10分105、x x x d csc cot 3⎰⎰--=)d(csc )1(csc 2x x 5分 =-++133csc csc .x x c10分106、⎰⋅x x x d sec tan 46⎰+=)d(tan )tan 1(tan 26x x x 5分 .tan 91tan 7197c x x ++=10分107、⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x 5分 =--+171979cot cot .x x c10分108、x x x d sec tan 4⋅⎰)d(tan )tan 1()(tan 221x x x +⋅=⎰5分 .tan 72tan 3273c x x ++=10分109、x x x d sec tan 35⎰⋅)d(sec )(sec )1(sec 2122x x x ⎰-= 5分⎰+-=)d(sec ))(sec 1sec 2(sec 2124x x x x)d(sec ))(sec )(sec 2)((sec 212529x x x x +-=⎰7分 .sec 32sec 74sec 1123711c x x x ++-=10分110、x x x d csc cot 35⎰⋅)d(csc )(csc )1(csc 2122x x x ⎰--=5分)d(csc ))(csc 1csc 2(csc 2124x x x x +--=⎰ )d(csc ))(csc )(csc 2)((csc 212529x x x x +--=⎰7分 .csc 32csc 74csc 1123711c x x x +-+-= 10分111、x x x d csc cot 43⋅⎰⎰+-=)d(cot )cot 1()(cot 231x x x 5分)(cot d ))(cot )((cot 3731x x x ⎰+-=.cot 103cot 4331034c x x +--= 10分112、⎰x xexd)d(2x e x⎰=5分 c ex+=210分113、x x x ⎰+d 1arctan 2⎰=)d(arctan arctan x x 5分 =+122(arctan ).x c 10分114、⎰+x e e xxd 12 ⎰+=xx ee 21)d( 5分.arctan c e x +=10分115、x e e x x ⎰+d )1(3)1d()1(3++=⎰x x e e 5分 .)1(414c e x ++= 10分116、⎰+x e e xxd 122 ⎰++=xx e e 221)1d(21 5分=++1212ln().e c x 10分117、⎰-+2215d xx x⎰---=2)1(16)1d(x x 5分=-+arcsin.x c 1410分118、⎰-+22d xx x⎰---=2)21(49)21d(x x 5分c x +-=2321arcsin.)21(32arcsin c x +-=10分119、⎰++32d 2x x x⎰++=2)1(d 2x x5分.21arctan21c x ++=10分120、x x xd )1(5⎰+x x x d )1(115⎰+-+= ⎰+-+=x x x d ))1(1)1(1(545分.)1(141)1(13143c x x ++++-= 10分121、x x xd sin ln cot ⎰ ⎰=xx sin ln )sin d(ln 5分 =+ln ln sin .x c10分122、⎰+-=xx cos 2)d(cos 原式⎰++-=xx cos 2)cos 2d(5分=-++22cos x c 10分123、x x x d )2(2321⎰+)2d()2(313321++=⎰x x 5分 .)2(92233c x ++= 10分124、⎰+x x xd )1(22 ⎰++=222)1()1d(21x x 5分=-++12112xc . 10分125、⎰-x xx x x d cos sin 4cos sin 22⎰-=1sin 5)d(sin 2122x x 5分⎰--=1sin 5)1sin 5d(10122x x 7分.1sin 5512c +-=10分126、x x x d cos ⎰)d(cos 2x x ⎰=5分 =+2sin .x c10分127、x xxd 412⎰- ⎰-⋅=xx 41)2d(2ln 1 5分.1212ln 2ln 21c x x +-+= 10分128、⎰-x xx d 913arccos 2)3d(arccos 3arccos 31x x ⎰-= 5分=-+1632(arccos ).x c10分129、x xxx d 1)(arcsin 22⎰--⎰⎰--+=2221)1d(21)d(arcsin )(arcsin x x x x 5分=+-+13132(arcsin ).x x c 10分130、⎰+x x x xd )ln (ln 123⎰=23)ln ()ln d(x x x x5分.)ln (221c x x +-=-10分131、⎰x x d csc 6)d(cot )cot 1(22x x ⎰+-= 5分⎰++-=)d(cot )cot cot 21(42x x x .cot 51cot 32cot 53c x x x +---=10分132、x x d sec 6⎰)d(tan )tan 1(22x x ⎰+=5分⎰++=)d(tan )tan tan 21(42x x x =+++tan tan tan .x x x c 231535 10分133、⎰-x xx d 183⎰-=244)(1)d(41x x5分=+144arcsin .x c 10分134、x x x d 462⎰+⎰+=4)()d(31233x x 5分=+1623arctan .x c 10分135、⎰⋅x x x d 3cos 2sin⎰+-=x x x d )5sin )(sin(215分 .5cos 101cos 21c x x +-= 10分136、⎰⋅.d 7sin 5sin x x x 求[]⎰--=x x x d )12cos()2cos(215分 .12sin 2412sin 41c x x +-= 10分137、⎰⋅x xx d 3cos 2cos⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰x x x x d 65cos d 61cos 21 5分.65sin 5361sin 3c x x ++=10分 138、⎰=)d(ln )(ln sec 2x x 原式5分 .)tan(ln c x +=10分139、⎰-=2221)2d(41x x ee 原式 5分.21ln 412c e x +--= 10分 140、⎰-=222)2(1)2d(41x x 原式5分.2arcsin 412c x +=10分 141、⎰-=2)2(1)2d(2ln 1x x 原式 5分.2arcsin 2ln 1c x +=10分142、⎰-++x x x x d 1322⎰⎰-++-+-+=1d 21)1d(222x x xx x x x3分⎰-+++-+=222)25()21()21d(21ln x x x x 5分25212521ln 5521ln 2++-++-+=x x x x 8分.512512ln 5521ln 2c x x x x +++-++-+= 10分143、x x x d )2(8232⎰+ ⎰++=233)2()2d(38x x 5分.21383c x ++⋅-= 10分144、x x x d 4252⎰+-x x x x d 424)4d(25222⎰⎰+-++= 5分.2arctan )4ln(252c xx +-+=10分145、x x x x d 13962⎰+++x x x x d 133232⎰+++=3分.13ln 313)13d(3222c x x x x x x +++=++++=⎰10分146、⎰x x x xd 4ln 2ln ⎰++=)d(ln ln 4ln ln 2ln x xx3分⎰+-=)d(ln )ln 4ln 2ln 1(x x7分 =-⋅+ln ln ln ln .x x c 2410分147、⎰-2d bx ax x x bx a b x a d )1(1⎰-+= 5分 .)ln (ln 1c bx a x a+--= 10分148、⎰+x xx xd ln 1ln⎰+=)d(ln ln 1ln x xx3分⎰⎰++-++=xx x x ln 1)ln 1d()ln 1d(ln 17分.ln 12)ln 1(3223c x x ++-+= 10分149、x xxd 1321⎰+ ⎰+=2)(1)d(322323x x 5 分.)arctan(3223c x += 10分150、x x x x d )1(arctan ⎰+)d(arctan arctan 2x x ⎰=5分 .)(arctan 2c x +=10分151、⎰++x x x x d )sin (cos 134⎰++=34)sin ()sin d(x x x x 5分=-++-313(sin ).x x c10分152、⎰x xxd cos sin 3)d(cos cos cos 12x xx ⎰--=5分⎰⎰-=xx x x cos )d(cos )d(cos )(cos 23 7分=-+2525cos cos .x x c 10分153、⎰x x d cosh 1x e e x x d 2⎰-+=3分x e e xxd 122⎰+=5分⎰+=+=.)arctan(21d 22c e ee xxx 10分154、x x d sinh 1⎰ x ee xx d 2⎰--= 3分⎰-=1)d(22x x e e7分.11ln c e e x x ++-=10分155、x xx e e xxxd )ln 3(-+⎰ ⎰⎰+=xx xx e x ln d d )3( 5分 .ln ln 313ln 1c x e x x ++⋅+=10分156、⎰-x xx d 1102arccos 2⎰-=)arccos 2d(1021arccos 2x x 5分.1010ln 21arccos 2c x +-= 10分157、⎰-+-x xx x d 34212⎰⎰----+-=222)23()25(d 2d 3423x x x xx x 7分.532arcsin23422c x x x +---+= 10分158、⎰x x d tan 3⎰-=x x x d tan )1(sec 2 3分 ⎰⎰-=x x x x d tan )d(tan tan 7分 =++122tan ln cos .x x c 10分159、x x d cot 14⎰⎰=x x d tan 4⎰⎰+-=-=x x x x x d )1sec 2(sec d )1(sec 2422 5分 ⎰⎰+-+=x x x x )d(tan 2)d(tan )tan 1(2 7分=+-++tan tan tan x x x x c 1323=-++133tan tan .x x x c 10分160、tan sin cos xx x dx 3222+⎰ )(tan 2tan 3tan 2x d x x ⎰+=5分=+=++⎰163321632222d x x x c (tan )tan ln(tan ). 10分161、⎰--123d 2x x x=--+⎰1411331()x x dx 5分c x x ++--=)13ln 1(ln 41=-++14131ln .x x c 10分162、x x xdx 52+-⎰=-+-+-++-⎰⎰1255125222d x x x x dxx x() 5分⎰---+-+-=22)21(421)21(215x x d x x7分.21)21(2arcsin 2152c x x x +-+-+-= 10分163、dx x x x ⎰+++112⎰⎰+++++++=1211)1(21222x x dxx x x x d 5分⎰+++++=43)21(21122x dxx x 7分=++++++++x x x x x c 22112121ln . 10分164、dx x x⎰+44=+⎰124222d x x ()() 5分.2arctan 412c x += 10分165、34+-⎰xxdx ⎰⎰-+---=xdx dx xx 47445分=-----⎰⎰44744xd x d x x()()7分.414)4(3223c x x +---= 10分166、dx x xsin cos 3⎰⎰=x dxx cot sin 14 3分⎰+-=xx d x cot )(cot )cot 1(27分.cot 21cot ln 2c x x +--=10分167、dxx xsin cos 3⎰ dx xx ⎰=tan sec 43分⎰+=xx d x tan )(tan )tan 1(27分=++ln tan tan .x x c 122 10分168、322152x x x dx ---⎰=---+--⎰⎰322221521522x x x dx dxx x 3分⎰--+--=16)1(152ln 2322x dx x x 7分=--+---++322151814142ln ln x x x x c .35ln 81152ln 232c x x x x ++-+--=10分169、dx e e xx⎰+12 =+⎰e d e e x x x()13分()⎰⎰+-=xxxee d e d 1)( 7分=-++e e c x x ln().110分170、⎰xdx x 3sin 2sin 2=-⋅⎰1423cos sin xxdx 3分 []⎰⎰+--=dx x x x xd )7sin()(sin(41)3(3sin 61 7分c x x x ++---=7cos 281)cos(413cos 61.7cos 281cos 413cos 61c x x x ++--=10分171、cos cos 223x xdx ⎰⋅xdx x3cos 24cos 1⋅+=⎰3分 =++⎰163147sin (cos cos )x x x dx 7分 .7sin 281sin 413sin 61c x x x +++= 10分172、⎰+dx exx ln 32⎰⋅=xdx e x 23 3分 ⎰=)3(61232x d e x 7分 .6123c e x += 10分173、dx xa x ⎰-32⎰-=22)()(322323x a x d 5分.arcsin 3223c ax += 10分174、⎰++dx x x cos 1cos 2⎰⎰++=x dxdx cos 13分 ⎰+=2cos 22x dxx5分⎰+=)2(2sec 2xd x x7分。
不定积分100题
不定积分100题（附答案）容易题1—60，中等题61—105，难题106—122. 1．设⎰-=1tan cos 2x x dxI ， 则=I ( ). (C).;)1(tan 221C x +-2．设⎰-=12x xdx I ，则=I （ ）。
(D).C x+-1arcsin. 3．设⎰=x dxI sin ,则=I ( ). (B).C x c x +-tan csc ln4．设⎰=axdx I 2 ,则=I （ ）。
(A).C ax+2; 5．设⎰++=dx e e I xx 113,则=I ( ). (B).C x e e x x ++-2216．设⎰=xdx I tan ,则( ). (D).C x +-sin ln . 7．设⎰=xdx I ln 则（ ）。
(D).C x x x I +-=ln 8．设⎰=xdx I arctan , 则=I ( ). (B).C x x x ++-1ln arctan 29．设 ⎰=xdx x I cos sin ，则( ). (A).C x I +-=2cos 4110．设⎰+=21x dx I ， 则=I ( ). (B)C x x +++21ln11．设211)(xx f -=，则的一个原函数=)(x F （ ）。
(A).x x -+11ln 21 12．设)(x f 为可导函数，则（ ）。
(C).⎰=')())((x f dx x f13．设⎰=xdx I arcsin ，则( ). (C).C x x x +-+21arcsin14．=+⎰x x dx sin 2)2sin(( ) （B ）c x x ++|2tan |ln 412tan 812 15．=-⎰)4(x x dx ( ) （C ）c x+2arcsin2 16．=-⎰dx x x 21ln ( ) （B ）c xx+-ln17．设x xsin 为)(x f 的一个原函数，且0≠a ，则⎰dx a ax f )(=( ) （A ）xa ax 3sin19．欲使⎰⎰=dx x f dx x f )()(λλ，对常数λ有何限制？( ) 0≠λ。
18-不定积分及其计算(B)
u(x)v(x) d x u(x)v(x) v(x)u(x) d x .
该公式称为不定积分的分部积分公式 .
定理
设函数 u(x) , v(x) 在区间 I 上可微 . 若函数 u(x)v(x) 在区间 I 上的原函数存在 , 则
x(ln x)n n In1 . 于是, 得到一个递推关系式 :
In x(ln x)n n In1 .
利用递推关系式 可以由低次幂函 数的积分计算出 高次幂函数的积 分.
例如, 求 I3 (ln x)3 d x .
I3 x(ln x)3 3I2 ,
I2 x(ln x)2 2I1,
还会直接把 dx 看作 dv
例1 计算 x sin x d x .
u(x) x
v(x) sin x
u(x) 1 v(x) cos x
解 x sin x d x x( cos x) ( cos x) d x x cos x cos x d x
x cos x sin x C .
解 x2 sin x d x x2 cos x 2 x cos x d x
x
cos x
1 sin x
x2 cos x 2(x sin x sin x d x)
x2 cos x 2x sin x 2 cos x C .
该例说明, 与换元法一样, 只要条件允许 , 分部积分法可以连续使用.
例8
计算 sinn x d x .
(n 1) sinn2 x cos x cos x
解 记 In sinn x d x, 则
In sinn x d x sinn1 x sin x d x
(整理)§4不定积分习题与答案.
3、 (1) ln csct cot t c
（ 2） 2( x cos x sin x ) c
x2 4
2
（ 3） 2(tan
arccos ) c
2
x
a2
x
(4) (arcsin
2
a
x a2
a2
x2)
c
x
(5)
c
1 x2
(6) 2x ln(1 2x) c
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1 (7) (arcsin x ln x
(3) ln x 1 ln( x 2 1) c 2
(4) ln x
1 ln x 1
1 ln( x2
1)
1 arctanx
c
2
4
2
1 x2 1
3
2x 1
(5) 2 ln x2 x 1
arctan 3
3
c
1、 设曲线 y
(B)
f ( x) ，由导数的几何意义： y
11 ， dx
ln x
c ，点 (e2 ,3) 代入即可。
１） (3 2x) 3dx
dx
２）
3 2 3x
３） sin t dt t
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dx
４）
x ln xln(ln x)
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５）
dx
cos x sin x
７） x cos(x2 ) dx
dx
６）
ex e x ８） 3 x3 dx
1 x4
９）
sin x
3
dx
cos x
10）
1 x dx
9 4x2
dx
x2 )
c
3
高等数学b试题及答案
高等数学b试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) (2x+1)dx的值。
A. 3/2B. 5/2C. 2D. 1答案：B3. 求极限lim(x→0) [sin(x)/x]。
A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A4. 判断级数∑(n=1,∞) (1/n^2)的收敛性。
A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 交错收敛答案：A5. 设矩阵A=(aij)为3阶方阵，且|A|=-2，求A的行列式。
A. -2B. 2C. 4D. -4答案：A6. 判断函数y=x^2-6x+8在区间[2,4]上的单调性。
A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在x=2处取得最小值，则c的值为________。
答案：42. 设函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。
答案：1/x3. 计算二重积分∬(D) xy dxdy，其中D为区域x^2+y^2≤4。
答案：8/34. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求数列的通项公式。
答案：an=2^(n-1)三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+1的极值点。
解：首先求导f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。
经检验，x=1为极小值点，x=-1为极大值点。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx。
解：∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx = [x^3-x^2+x](0,2) = (8-4+2) - (0-0+0) = 6。
3. 求极限lim(x→∞) [(x^2+3x+2)/(x^2-x+1)]。
(完整版)不定积分例题及答案理工类吴赣昌(可编辑修改word版)
第 4 章不定积分知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！d ⎡⎰ ⎤ ⎡⎰ ⎤ 性质 1： f (x )dx = f (x ) 或 d f (x )dx = f (x )dx ；dx ⎣⎦⎣⎦性质 2： ⎰ F '(x )dx = F (x ) + C 或⎰ dF (x ) = F (x ) + C ； 性质 3：⎰[f (x ) ± g (x )]dx =⎰ f (x )dx ± ⎰ g (x )dx ，,为非零常数。
设 f (u ) 的 原函数为 F (u ) ， u =(x ) 可导，则有换元公式：⎰ f ((x ))'(x )dx = ⎰ f ((x ))d(x ) = F ((x )) + C设 x =(t ) 单调、可导且导数不为零， f [(t )]'(t ) 有原函数 F (t ) ，则⎰ f (x )dx = ⎰ f ((t ))'(t )dt = F (t ) + C = F (-1(x )) + Cx 2 xx 2x⎰ x1 ★(1)⎰思路: 被积函数1 = x- 5 2，由积分表中的公式（2）可解。
解 ：⎰dx= ⎰ x 1- 52 2dx = - 3 - 3 x 2+ C★(2) ⎰( -dx x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
11-11- 1 3 41解： ⎰ ( 3 x - )dx = ⎰ (x 3 - x 2 )dx = ⎰ x 3dx - ⎰ x 2dx = x 3 - 2x 2 + C 4★(3) ⎰（2x+ x 2）dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
x2x22x1 3解： ⎰（2 + x ）dx = ⎰ 2 dx + x dx = + x + Cln 2 3★(4)⎰x (x - 3)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
高等数学第四章《不定积分》
第四章 不定积分 一、基本内容（一）主要定义【定义4.1】 若在()f x 的定义区间M 上均满足()()F x f x '=，则称函数()F x 是()f x 在M 上的一个原函数.【定义4.2】 ()f x 的原函数的一般表达式()F x C +称为 ()f x 的不定积分，记成()().f x dx F x C =+⎰（二）性质与定理【定理4.1】 设()f x 在(,)a b 上连续，则必存在原函数. 性质 以下均假设()f x 和()g x 在所讨论的区间上连续，则 1、 (())()f x dx f x '=⎰, ()()d f x dx f x dx =⎰.2、 ()()f x d xf x C '=+⎰,()()df x f x C =+⎰. 3、 (()())()()f x g x d x f x d xg x d x±=±⎰⎰⎰. 4、()(),kf x dx k f x dx =⎰⎰ 常数0.k ≠（三） 基本积分公式 1、11(1)1x dx x C αααα+=+≠-+⎰， 2、1ln ,dx x C x=+⎰ 3、(0,1)ln xxa a dx C a a a=+>≠⎰， 4、,x x e dx e C =+⎰ 5、sin cos xdx x C =-+⎰ 6、cos sin xdx x C =+⎰7、tan ln cos xdx x C =-+⎰ 8、cot ln sin ,xdx x C =+⎰9、sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ 10、csc ln csc cot ,xdx x C =-+⎰11、2sec tan xdx x C =+⎰ 12、2csc cot ,xdx x C =-+⎰13、2211tan x dx arc C a a a x =++⎰ 14、2211ln ,2a xdx C a a xa x +=+--⎰15、arcsinx C a =+ 16、ln .dx x C =+ （四）基本积分方法 第一类换元法（凑微分法）(())()(())()f x x dx f x d x φφφφ'=⎰⎰ 令()u x φ=()()(())f u du F u C F x C φ==+=+⎰常见的几种凑微分形式: 1、1()()(),0f ax b dx f ax b d ax b a a +=++≠⎰⎰2、2221()(2)()(),f ax bx c ax b dx f ax bx c d ax bx c a +++=++++⎰⎰3、1(ln )(ln )ln ,dx f x f x d xx a =⎰⎰ 4、2f f =⎰⎰ 5、(sin )cos (sin )sin ,f x xdx f x d x =⎰⎰ 6、(cos )sin (cos )cos ,f x xdx f x d x =-⎰⎰ 7、2(tan )sec (tan )tan ,f x xdx f x d x =⎰⎰8、(sin (sin )sin ,f arc x f arc x darc x =⎰⎰9、2(tan )(tan )tan .1dxf arc x f arc x darc x x=+⎰⎰ 第二类换元积分法设()f x 连续，()x t φ=具有连续导数()t φ'，且()0,t φ'≠则()()()((())())t x f x dx x t f t t dt ψφφφ='=⎰⎰其中右边表示对t 积分后再以()x t φ=的反函数()t x ψ=代回成x 的函数. 常见的几种类型的换元法: 以下式子中，(,)R u v 表示,u v 的有理函数.1、(,(R x dx R x dx ⎰⎰型,0a >含，令sin ,cos ;x a t dx a tdt == 含 ，令tan ,x a t =2sec ;dx a tdt =含 ，令sec ,sec tan ;x a t dx a t tdt ==2、(R x dx ⎰型,0a ≠令1,,.mn mn t b mn t x dx t dt a a--===3、(R x dx ⎰型.2222(),,,()dt b a ad bc t t x dx dt a ct a ct --===--其中设0.ad bc -≠ 4、(sin ,cos )R x x dx ⎰型.令tan ,2x t =则2222212sin ,cos ,.111t t x x dx t t t -==+++ 分部积分法设()()u x v x 、均有连续导数，则()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰分部积分法的关键就是选择好()()u x v x 与，其中()u x 的选取顺序为对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数这五种函数位置靠前者.如3xx e dx ⎰首先变形为3x x de⎰再用公式计算.二、典型例题解析（一） 填空题 【例4.1】= 解=C =+.C . 【例4.2】（98，数二）= .解1=2arcsin 2x C -=+. 解2===2arcsin 2C +. 故应填2arcsin2x C -+ 或2arcsin 2C +. 【例4.3】= . 解1=dx C =+=+⎰解2 令t =22(3)t dt =+⎰312(3)3t t C =++122(3)(6)3x x C =-++故应填122(3)(6)3x x C -++C . 【例4.4】 2xx e dx =⎰解2x x e dx =⎰2x x de ⎰22x x x e xde =-⎰222x x x x e xe e dx =-+⎰2(22)x e x x C =-++，故应填 2(22)x e x x C -++.【例4.5】2ln 1x dx x -=⎰ 解 2l n 1x dx x -=⎰1(l n 1)x d x --⎰2l n 1x d x x x -=-+⎰ln xC x=-+， 故应填. ln xC x-+ 【例4.6】()xf x dx ''=⎰解()xf x dx ''=⎰()xdf x '⎰()()xf x f x dx ''=-⎰. 故应填 ()()x f x f x C'-+ 【例4.7】22156x dx x x -=-+⎰ . 解 22156x dx x x -=-+⎰53()32dx x x ---⎰5l n 33l n 2x x C=---+ 53(3)ln (2)x C x -=+- 故应填 53(3)ln (2)x C x -+-. 【例4.8】（99，数二）25613x dx x x +=-+⎰ .解 25613x dx x x +=-+⎰21(26)82613x dx x x -+-+⎰2221(613)(3)82613(3)4d x x d x x x x -+-=+-+-+⎰⎰ 213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++ 故应填 213ln(613)4arctan22x x x C --+++. 【例4.9】x dx =⎰解 由于 ,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，所以x dx =⎰2122,02,02x C x x C x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩，由于x 是连续的，则存在可导的原函数，从而原函数在0x =连续，固12C C C ==. 从而x dx =⎰12x x C +，故应填 12x x C +. 【例4.10】 设2sin x 是()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰解1 ()f x 22(sin )2cos x x x '==，则2()x f x dx =⎰322cos x x dx ⎰22sin x d x =⎰222sin 2sin x x x x dx =-⎰222sin cos x x x C =++，解2 由于2sin x 是()f x 的一个原函数，则2()x f x dx =⎰22sin x d x ⎰222sin 2sin x x x x dx =-⎰222sin cos x x x C =++， 故应填 222s i n c o s x x x C ++（二）选择题【例4.11】 下列结论正确的是 [ ] (A) 21x -在(1,1)-上的原函数为1x ;(B)121arctan ,1dx x C x -=-++⎰ 2211arctan ,1dx C xx -=++⎰ 即1arctan ,arctan x x-为同一个函数的原函数,彼此差一常数.(C) 符号函数sgn x 在(,)-∞+∞上存在原函数.（D ）112sin cos ,0()0,0x x f x x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩ 在(,)-∞+∞存在原函数,所以不连续函数也可以存在原函数.解 若()f x 在区间I 内有原函数()F x ,则()F x 在I 内一定是连续函数, ()f x 在I 内却不一定连续.（A ）中函数1x 在0点不连续；（B ）中函数1arctan x在0点不连续,因而与arctan x 不是同一函数的原函数；（C ）中符号函数在(,)-∞+∞上不存在原函数；（D ）中()f x 的原函数为21sin ,0()0,0x x F x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，故选答案D. 【例4.12】 设()ln f x dx x x C =+⎰,则()f x = [ ]（A ）ln 1x + （B ）ln x . （C ）x （D ）ln x x解 由不定积分定义()(ln )ln 1,f x x x C x '=+=+故选A.【例4.13】 设()F x 是()f x 的一个原函数,则等式成立的是 [ ] (A) (())()d f x dx F x =⎰ (B)()()F x dx f x C '=+⎰(C)()()F x dx F x '=⎰(D)(())()df x dx f x dx=⎰ 解 由不定积分的性质选答案D .【例4.14】 已知21f x x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭,则下列式子中正确的是 [ ](A) 21()f x x d x C x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭⎰ (B)3213x f x dx C x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰,所以31()3f x C x =+(C) ()21,f x x'=211()f x dx C x x ==-+⎰ (D) 32()3x f x x dx C ==+⎰解 令1,t x =,则由题设有()21f t t '=，即()21,f x x'=因而选C. 【例4.15】 设()x f x e -=，则(ln )f x dx x '=⎰ [ ](A) x C + (B) x C -+ (C) 1C x+ (D) 2ln x C +解 (l n )f x dx x '=⎰(l n )(l n f x d x '⎰1(l n )f x C x==+，故选C.【例4.16】 若xe 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩ (B) ,0()2,0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩(C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩解 本题与[例4.9]类似，应选C .【例4.17】 (05,数二)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“M N ⇔”表示“M 的充要条件是N ”，则必有 [ ].(A) ()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数 (B) ()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数 (C) ()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数(D) ()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数 解 (B) 2()f x x =为偶函数，31()13F x x =+非奇非偶(C) ()sin f x x =为周期函数，cos 1,sin 0()cos 1,sin 0x x F x x x -+>⎧=⎨+<⎩不是周期函数(D) ()2f x x =为单调函数，但2()F x x =不是单调函数.故选A.注 当问题直接证明不易解答时，采用反例是非常有效的方法. (三)主观题 1.第二类换元法【例4.18】求下列积分 (1)d x a x -⎰; (2)d ln x x x ⎰; (3)x x ⎰.解 (1) d d()ln .x a -x a x C a x a x =-=--+--⎰⎰ (2) d d(ln )ln ln ln ln x x x C x x x==+⎰⎰.(3) 333332211221)(1)(1).3339xx x x C x C =+=⋅++=++⎰【例4.19】 求（1）（2）(ln(1)ln ).(1)x x dx x x +-+⎰ （3）.⎰解 （1） 原式22.C ===+⎰（2） 原式()1111ln ln ln ln(1)1x x dx d x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-+⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 21111ln ln ln .2x x x d C x x x +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰（3）原式22211()(arctan )(1)(1)x x x xx ==-=-++=3221(arctan ).3C x-+被积函数中含有xe 时，通常有效的方法是分子、分母同时乘以xe 或.xe -【例4.20】 求 （1）(1).(1)x x dx x xe ++⎰ （2）21.x xdx e e +⎰解 （1）原式(1)()11()()(1)(1)1x x xx x x x x x x e d xe dx d xe xe xe xe xe xe xe +===-+++⎰⎰⎰ ln .1x xxe C xe=++ （2）原式22222222()111xx x x xx x x e eeedx dx d e ee e --------⋅===-+++⎰⎰⎰2212(1)()1x x d e e--=--+⎰2222ln(1).x x e eC --=-+++以指数函数为基本元素且底不尽相同的被积函数式一般首先将被积函数式化为同底数幂的形式.【例4.21】 求 （1） 23.94x xxxdx -⎰ （2） 112510x x x dx +--⎰解 （1） 原式2212223ln 13233ln .2(ln 3ln 2)32221133xx x x x x x xd dx C ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪-⎝⎭===+-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ （2） 原式12525xx dx dx --=-⎰⎰=2152ln 55ln 2x xC ---++. 被积函数为三角函数，利用凑微分法积分时，通常“奇化偶，偶降幂，中间穿插恒等式”.【例4.22】 求 （1）3sin xdx ⎰. （2）6sec xdx ⎰（3）3sin cos dxx x ⎰解 （1） 原式222sin sin sin cos (1cos )cos x xdx xd x x d x ==-=--⎰⎰⎰=31cos cos 3x x C -++ (2) 原式 22222(sec )sec (1tan )tan x xdx x d x ==+⎰⎰24(12tan tan )tan x x d x =++⎰=3521tan tan tan 35x x x C +++. (3) 原式223sin cos sin cos x xdx x x+=⎰=32sin 1cot cos cos x dx x dx x x +⎰⎰ =21(tan )2cos tan d x x x +⎰21ln tan 2cos x C x=++. 2.变量代换法形如(,(,0R x dx R x dx a >⎰⎰的积分含 ，令sin ,cos ;x a t dx a tdt ==含 ，令2tan ,sec ;x a t dx a tdt ==含，令sec ,sec tan ;x a t dx a t tdt ==【例4.23】 求 （1）2.dx x⎰（2） 5. （3）解 （1）令sin x t =,则cos dx tdt =,原式2222cos cos 1sin csc cot sin sin t t t dt dt tdt t t t C t t⋅-===-=--+⎰⎰⎰arcsin .x C =-+（2） 令tan ,x t =则2sec dx tdt =,原式5422tan sec tan sec (sec 1)sec t tdt td t t d t ===-⎰⎰⎰5224121sec sec sec (843.5315t t t C x x C =-++=-+ 注t =更简单；还可以分部积分将5x 的次数降低求解. （3） 令sec ,x t =则sec tan dx t tdt =,原式sec tan 1arccos .sec tan t t dt tdt t C C t t x==±=+=+⎰⎰ 注此题还可分别令1x cht t x t===、求出相应的解. 【例4.24】 求下列积分(1); (2)解 (1)(法一)原式=2sec sec 2sec t dt tdt t ==sec tan 2C tt =++212C x =++.(法二)原式2122x C ==+++21x C =+++. (2)原式2===arcsin(21)x C =-+.【例4.25】 求解1,u =则222ln(1),.1ux u dx u =-=-原式2112ln ln .11u du C C u u -==+=++-⎰ 解2原式222xx--===-22ln(xeC -=-++.3.分部积分法分部积分法的关键就是选择好()()u x v x 与，其中()u x 的选取顺序为对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数这五种函数位置靠前者.【例4.26】 求 （1）3xx e dx ⎰. （2）2tan x xdx ⎰（3）()2arctan x x dx ⎰解 （1） 原式33232336x x x x x xx de x e x de x e x e xde ==-=-+⎰⎰⎰32366.x x x xx e x e xe e C =-+-+（2） 原式=2(sec 1)x x dx -⎰21tan 2xd x x =-⎰ 21tan tan 2x x x xdx =--⎰ 21tan ln cos 2x x x x C =-+++. （3） 原式()221arctan 2x d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰()2222111arctan arctan 21x x x x dx x +-=-+⎰ ()221arctan arctan 2x x xdx =-⎰21arctan 1x dx x +⋅+⎰ ()2221arctan arctan 21x x x x x dx x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰arctan arctan xd x +⎰ ()()22211arctan arctan ln 122x x x x x =-++()21arctan 2x C ++【例4.27】 求322ln .(1)x xdx x+⎰解原式ln xd ⎛⎫=-=+⎰=+1ln .C x ⎛=-++ ⎝【例4.28】求.x解1原式222x ===⎰,u =则222ln(2),,2ux u dx du u =+=+22222u du u C u ==-++⎰原式2.C =解2,u =则222ln(2),,2ux u dx du u =+=+ 原式222ln(2)(2)2(2)u u udu u u ++⋅=+⎰ 222222ln(2)2ln(2)22u u du u u du u =+=+-+⎰⎰22l n (2)42a n u uu C =+-+22a r 1.C = sin ,cos x x e xdx e xdx ⎰⎰型, 连续用两次分部积分公式，移项解方程可得.注 对于分部积分也可用下列快速计算表格法:uu 'u ''v 'vv⎰......++-(1)n-(1)n u +1(1)(1)n n nu v++-⎰⎰⎰⎰v⎰⎰()n u nv⎰⎰⎰上一行代表对u 不断求导,下一行代表对v 不断积分,斜线代表两个函数相乘,竖线代表两函数乘积后再积分,连线上符号代表乘积后的符号,上表格用式子写出来即为(1)()()()(1)(1)()(1)(2)(2)()(1)(2)1(1)d d d d (1)d n n n n n n n n n n n n n n n uvx uv u v x uv u v u v xuv u v u v u v x uv u v u v u v x+-------++''''=-=-+'''''' =-+-''' ==-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰常用于以下类型的分部积分:①d ,sin d ,kxx e x x kx x μμ⎰⎰一般设u x μ=②ln d ,arctan d ,x x x x x x μμ⎰⎰一般设()n v x μ=③sin d ,xekx x μ⎰,u v 可以任意设.对于含多项式的积分,如类型①②,须求导至0或易积分时为止,而对于循环类型③,须求导至上下函数乘积与原积分函数相同时为止.【例4.29】求32(2)d xx x e x -+⎰.解 取32u x x =-+原式2321111[(2)(31)66]24816x e x x x x C =-+--+⋅-⋅+2321(4627)8xe x x x C =-+++ 【例4.30】求cos 2d xe x x ⎰.解 取cos 2u x =32x x -+231x -6x 2xe 212x e 214x e ++--2116x e 218xe 6cos 2x2sin 2x -4cos 2x-2xe 212xe 4x e +-+22211cos 2d (cos 2sin 2)cos 2d 22x x xe x x e x x e x x =+-⎰⎰ 原式21(cos 2sin 2)4xe x x =+. 【例4.31】 求sin(ln )x dx ⎰解s i n (l n )x d x⎰s i n (l n )c o s (l n x x x d x=-⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰故s i n (l n )x d x⎰[s i n (l n )c o s (l n )].2xx x C =-+ *【例4.32】 设sin n n dxI x =⎰，试建立递推公式.解 221sin sin sin n nx xI dx x-+=⎰ 22cos sin n n xdx I x-=+⎰2111cos ()1sin n n xd I n x --=-+-⎰ 2211cos 11sin 1n n n x I I n x n ---=--+--211cos 21sin 1n n x n I n x n ---=-+-- *【例4.33】 求22,()n n dxI x a =+⎰其中n 为正整数.解 当1n >时，有21221221222212(1)()()()()n n n n n dx x x dx xI n x a x a x a x a ----==+-=++++⎰⎰ 2212212222112(1)2(1)()()()()n n n n n a xn dx n I a I x a x a x a ---⎡⎤+--=+--⎢⎥+++⎣⎦⎰ 122211(23)2(1)()n n n xI n I a n x a --⎡⎤∴=+-⎢⎥-+⎣⎦1221arctan dx xI C x a a a==++⎰.【例4.34】 已知()f x 的一个原函数是2,x e -求().xf x dx '⎰解 原式()()()xdf x xf x f x dx ==-⎰⎰2222()(21)x x x x e e C x e C ---'=-+=--+注 这类问题一般直接用分部积分，而不是先求出()f x '后代原积分求解. 4.有理函数的积分【例4.35】 求 （1）422331.1x x dx x +++⎰ （2）4611x dx x ++⎰ 解 （1） 原式=23213arctan .1x dx dx x x C x =+=+++⎰⎰ （2） 原式=422611x x x dx x -+++⎰22232332()113()11()x x dx dx x x -+=+++⎰⎰ 321arctan 31dx x x =++⎰31arctan arctan 3x x C =++. 注 拆项求解有理函数的积分是一种简洁有行之有效的方法. 【例4.36】 求2(1)dxx x +⎰.解 设221(1)1A Bx C x x x x +=+++,去分母221(1),A x Bx Cx =+++比较多项式系数得1,1,0A B C ==-=.故22211ln ln(1)2(1)1dx xdx dx x x C x x x x =-=-++++⎰⎰⎰l .C =+ 注 比较系数法可以与赋值法同时使用.如上例代入0x =直接可得 1.A = 【例4.37】 求42.21dxx x -+⎰解 设422222111121(1)(1)(1)(1)A B C Dx x x x x x x x ==+++-+-+-+-+上式两边乘以21(1),1,4x x C -→=并令得； 上式两边乘以21(1),1,4x x +→-=并令得D ；上式两边乘以,,0x x →+∞=并令得A +B ； 用0x =代入上式得1,2B A -=从而11,44A B =-=. 原式1111ln .4111x C x x x ⎛+⎫=+-+ ⎪--+⎝⎭幂次较高的有理函数积分一般采用降幂或恒等变形凑微分法.【例4.38】 求 （1）91088x dx x x -+⎰ （2）7.(1)dx x x +⎰ （3）2100.(1)x dxx -⎰ 解 （1） 原式998(8)x dx x x -=+⎰9899(8)(8)x x dx x x -=+⎰9999912(8)9(8)x x dx x x -+=+⎰92ln 8ln 9x x C =+-+ （2） 原式6777771(1)7(1)x dx dx x x x x ==++⎰⎰ 77771()7(1)dx dx x x =-+⎰⎰771ln 71x C x =++. 变形方法不唯一,也可为()()87777111711dx x dx d x x x x x ----+==-+++⎰⎰⎰71ln 17x C -=-++ (3) 原式210099100111(1)(1)(1)(1)x x d x dx dx x x x -++-==-----⎰⎰⎰ 989999121(1)(1)99(1)dx dx x x x =-+---⎰⎰979899121.97(1)98(1)99(1)C x x x =-++--- 5.三角有理式的积分形如(sin ,cos )R x x dx ⎰的积分，原则上令tan 2xt =利用万能公式做变换.但计算中由于此法复杂，通常采用三角恒等式变形.【例4.39】 求sin 1sin cos xdx x x ++⎰ 解1 令tan 2xt =,原式=22(1)(1)tdt t t ++⎰2111t dt dt t t +=-++⎰⎰21arctan ln(1)ln 12t t t C =++-++ =ln sec ln 1tan 222x x xC +-++. 解2 原式=22sin cos 222sin cos 2cos 222x x dx x x x +⎰sin2sin cos22xdx x x =+⎰(sin cos )(cos sin )22222sin cos22x x x x x d x x +--=+⎰ (sin cos )222sin cos22x x d x x x +=-+⎰ =ln sin cos 222x x xC -++. 解3 原式分子分母同乘1(sin cos )x x -+, 原式=sin (1sin cos )2sin cos x x x dx x x ---⎰1(1sin cos )2cos x x dx x--=-⎰11sin 1ln ln cos 41sin 22x x x C x -=--+++ 【例4.40】 求 (1) 21cos dx x +⎰ (2) 1tan dx x +⎰ (3) cos()4sin cos x dx x xπ+⎰ 解 (1)原式222tan .cos (1sec )2tan dx d x C x x x ===+++⎰⎰ (2) 原式 cos 1cos sin cos sin cos sin 2cos sin xdx x x x xdxx x x x++-==++⎰⎰ 1(cos sin )22cos sin x d x x x x +=++⎰1ln cos sin .22x x x C =+++ (3)原式=sin )2sin cos x x dx x x -⎰11()sin cos dx x x=-⎰csc cot ln sec tan )x x x x C =++++. 形如sin cos mx nxdx ⎰,sin sin mx nxdx ⎰或cos cos mx nxdx ⎰的积分,一般用积化和差公式先将被积函数变形后再积分.【例4.41】 求sin sin 2sin 3x x xdx ⎰. 解 sin sin 2sin 3x x x ()1cos3cos sin 32x x x =-- 1(sin 3cos3cos sin 3)2x x x x =--1111sin 6sin 4sin 22222x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭()1sin 6sin 4sin 24x x x =-++原式()1sin 6sin 4sin 24x x x dx =-++⎰111cos 6cos 4cos 224168x x x C =+++ 形如s i n c o s s i n c o sa xb xdx c x d x ++⎰的三角函数有理式的积分可采用拆项的方法,拆成(s i n c o s )(s i n c o s )s i n c o s s i n c o s A c x d x B c x d x d x d x c x d x c x d x+++++⎰⎰通过待定系数法确定的,A B 值.【例4.42】 求3sin 2cos 2sin 3cos x x dx x x ++⎰解 设3sin 2cos (2sin 3cos )(2sin 3cos )x x x x x x αβ'+=+++， 解得 125,1313αβ==- . 原式12(2sin 3cos )125ln 2sin 3cos .132sin 3cos 1313x x dx dx x x x C x x '+=-=-+++⎰⎰ 形如(sin ,cos )R x x dx ⎰的三角有理式的积分，若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可设cos t x =； 若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-，则可设sin t x =； 若满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=，则可设tan t x =.【例4.43】 求 (1)254cos (2cos )sin xdx x x ++⎰ (2) 66sin 2sin cos xdx x x +⎰解 (1) 令cos t x =，则原式=2254(2)(1)t dt t t +-+-⎰2222(2)(1)(2)(1)t t dt t t ++-=-+-⎰2211(2)dt dt t t =---+⎰⎰111ln 212t C t t -=++++111c o sln 2s 21cos x C co x x-=++++. (2) 令2tan ,sec ,t x dt xdx ==则原式2242222131()24tdt dt C t t t ⎛⎫===+-+-+⎰⎰21r c t a .C =+ 6.无理函数的积分形如(R x dx ⎰；(,0.R x dx a ≠⎰的积分，分别令2222(),,,()dt b a ad bc tt x dx dt a ct a ct --===--其中设0ad bc -≠；,t = 1,mn mn t b mn x dx t dt a a--==【例4.44】 求 （1）（2）（3）.dx解 （1）令t =则321,3x t dx t =-=原式22211333(ln(1)).1112t dt t t dt t t C t t t ⎛⎫-==+=-+++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰3ln(1.C =+++（2）原式=, 令t =3211x t =+-原式=3322dt t C -=-+⎰.C = （3） 令65,6x t dx t dt ==，则原式211666ln .11()dt t dt C C t t t t t ⎛⎫==-=+=+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰【例4.45】 求 （1）. （2）解 （1）原式=(x x dx ⎰3211(1)32x x =-- 332211(1)33x x C =--+.（2） 原式==332221(31)(21)93x x C =++++.注 当分母是无理式时，有时分母有理化会简化计算. 7.综合杂例【例4.46】 设1,01(ln ),1x f x x x ≤≤⎧'=⎨<<+∞⎩求(),(ln )f t f x .解 令ln t x =，则1,0(),0tt f t e t -∞<<⎧'=⎨<<+∞⎩,,0(),0t t C t f t e D t +-∞<≤⎧=⎨+<<+∞⎩, 由()f t 的连续性得1C D =+，因此有1,0(),0tt D t f t e D t ++-∞<≤⎧=⎨+<<+∞⎩， l n 1,01(l n ),1x D t f x x D x ++<≤⎧=⎨+<<+∞⎩.【例4.47】 设()f x 的导函数为()f x '开口向下的二次抛物线，且()f x 的极小值为2，极大值为6，试求()f x .解()(2),(0)f x ax x a '=-<,所以32()(2)()3x f x ax x dx a x C =-=-+⎰由(0)0,(2)0f f ''==，且(0)0,(2)0f f ''''><，故()f x 的极小值为(0)2,f C ==极大值322(2)(2)26,33f a a =-+=⇒=-，所以32()32f x x x =-++.【例 4.48】设()F x 是()f x 的一个原函数，(1)4F =，若当0x >时有()()f x F x =，试求()f x .解 由于()F x 是()f x 的一个原函数，()()F x f x '=()()F x F x '=()()F x dF x =⎰，221()2F x C =+，又(1)4F =，所以0C =，()F x =故 ()f x =.【例4.49】 设()y y x =是由22()y x y x -=所确定的隐函数，求2dx y ⎰.解 令y tx =，则由22()y x y x -=可得211,(1)(1)x y t t t t ==--，3223(1)tdx t t -+=- 原式=23t dt t -+⎰32ln t t C =-+32ln y yC x x=-+. 注 这种隐函数的不定积分一般通过变量代换将x 和y 用另一个变量表示，然后求解.三、综合测试题综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数2x为 的一个原函数.2、已知一阶导数 (())f x dx '=⎰，则(1)f '= 3、若()arctan xf x dx x C =+⎰，则1()dx f x ⎰=4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分()xf x dx ''⎰=5、不定积分cos cos ()xxd e ⎰=二、选择题（每小题4分，共20分）1、已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ] (A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x + 2、已知()sin x x e f x dx e x C =+⎰，则()f x dx ⎰= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C + (C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++ 3、若函数ln xx 为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰= [ ] (A)1ln x C x -+ (B) 1ln xC x ++ (C)12ln x C x -+ (D) 12ln xC x++ 4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = [ ](A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '= [ ](A)1x (B) 21x- (C) ln x (D) ln x x 三、解答题 1、（7分）计算22(1)dxx x +⎰. 2、（7分）计算1x dx e +⎰.3、（7分）计算 321x dx x +⎰. 4、（7分）计算 254dxx x ++⎰.5、（8分）计算.6、（7分）计算23xx e dx ⎰.7、（8分）已知222(sin )cos tan 01f x x xx '=+<< ，求()f x .8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =⎰.综合测试题A 卷答案 一、填空题1、2ln 2x2 3、241124x x C ++ 4、()()xf x f x C '-+5、cos (cos 1)x ex C -+二、选择题1、D2、C3、C4、A5、B 三、解答题 1、1arctan x C x --+ 2、ln(1)x x e C -++ 3、2211ln(1)22x x C -++4、11ln 34x C x +++5、C6、2221()2x x x e e C -+7、21()ln(1)2f x x x C =---+8、22(sin cos )axe b bx a bx C a b +++综合测试题B 卷一、填空题（20分）1、不定积分(sin d =⎰.2、已知()(),f x dx F x C =+⎰则()()F x f x dx =⎰ .3、若21(ln ),2f x dx x C =+⎰则()f x dx =⎰ .4、1)dx +=⎰ .5、2ln x dx =⎰.二、选择题（25分） 1、若2(),f x dx xC =+⎰则2(1)xf x dx -=⎰ [ ](A) 222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+ (C) 221(1)2x C --+ (D) 221(1)2x C -+ 2、设()2,x f x dx x C =++⎰则()f x '= [ ](A) 2l n 22x x C ++ (B) 2l n 21x + (C) 22l n 2x (D) 22l n 21x + 3、11dx x =-⎰ [ ]（A ）ln 1x C -+ （B ） l n (1)x C -+ （C ）ln (1)x C -++ （D ）ln 1x C --+4、存在常数A 、B 、C ，使得21(1)(2)dx x x =++⎰ [ ]（A ）2()12A B dx x x +++⎰ （B ） 2()12Ax Bx dx x x +++⎰ （C ）2()12A Bx C dx x x ++++⎰ （D ）2()12Ax B dx x x +++⎰5、若xe 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩(B) ,0()2,0x xe C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩ (C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩三、计算题（48分） 1、（7分）求积分2arccos x . 2、（7分）求.3、（7分）2(1)dx x x +⎰. 4、（01，数二，8分）求.5、（8分）求积分1sin cos dx x x ++⎰.6、（06，数二，11分）求arcsin xxe dx e⎰. 四、（7分）计算2ln sin sin x dx x ⎰综合测试题B 答案 一、填空题1、C 2、2()2F x C + 3、xe C + 4、335222353x x x x C +--+ 5、2ln 2x x x C -+ 二、选择题1、C2、C3、D4、C5、C 三、计算题1、2arccos 1102ln10xC -+ 2、1)C + 3、221ln .21x C x ++ 4、C =+ 5、ln 1tan 2x C =++6、解 arcsin x x e dx e⎰arcsin arcsin x x x x x xe de e e e ---=-=-+⎰⎰a r c s i n x xxee --=-+a r c s i n xx xe e --=-- s e cx t e -=令s e c t a n a r c s i n t a n xxt tdt e e t-=--⎰a r c s i n s e c x xe e tdt -=--⎰a r c s i n l n s e c t a n x xe e t t C -=--++a r c s i n l n 1x x x e e e C--=--+ 四、 2ln sin sin xdx x ⎰cot ln sin cot x x x x C =-⋅--+.。
微积分部分习题及答案 (3)
x2
1
3 2
C
x3
1
3
x2 1 2 C
3 23
33
27
6. 用第二类换元积分法计算下列各题
(1) x 2x 1dx
解 令t 2x 1， x t2 1，
2
原式 t 2 1 td( t 2 1 ) t2 1 t tdt 1 (t4 t2 )dt
2
2
2
2
1 (1 t5 1t3) C 1 t5 1 t3 C
3
3
t
21 1 t
1dt
3
(t
1
1
1
t
)dt
2
3(t 2 2
t ln 1 t ) C
2
3u 3 2
33 u
3 ln 1
3u
C
3 1 x2 3
3 3 1 x2 3 ln 1 3 1 x2 C
2
35
7. 用分部积分法计算下列各题
(1) ln xdx
解： 原式 x ln x xd ln x
e2x ex
1 1
dx
解：原式
(ex
1)(e x ex 1
1) dx
(ex 1)dx
ex x C
4
4. 求下列不定积分
(5) 5xexdx
解： 原式 5exdx
5ex C 5ex C
ln 5e
1 ln 5
5
4. 求下列不定积分
(6)
3
1
x
2
2
dx
1 x2
解：原式 3arctan x 2 arcsin x C
t 2 ln t 2tdt 4
t2 ln tdt 4 3
高等数学试题及答案分类
高等数学试题及答案分类一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 函数y=x^2+3x+2的导数是（）。
A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 3x+22. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. π/2D. ∞3. 以下哪个是不定积分（）。
A. ∫x dxB. ∫x^2 dxC. ∫1/x dxD. ∫e^x dx4. 函数y=e^x的不定积分是（）。
A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * CD. e^x / C5. 以下哪个函数是奇函数（）。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^5二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数y=ln(x)的导数是______。
2. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是______。
3. 函数y=x^3的不定积分是______。
4. 函数y=cos(x)的不定积分是______。
5. 函数y=sin(x)的不定积分是______。
三、解答题（每题10分，共40分）1. 求函数y=x^2-4x+3在x=2处的导数值。
2. 求极限lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)。
3. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
4. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在R上是增函数。
2. 证明极限lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e。
答案：一、单项选择题1. A2. B3. A4. A5. B二、填空题1. 1/x2. 03. (1/4)x^4 + C4. sin(x) + C5. -cos(x) + C三、解答题1. 22. 43. 1/34. 1四、证明题1. 略2. 略结束语：以上为高等数学试题及答案的分类，希望能够帮助同学们更好地复习和掌握高等数学的知识点。
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三、计算题（每小题 10 分，共 60 分）
共4页，第1页
1.
tan
2
xdx
2.
9 4x sin
2
1
2
dx
3.
xdx
4.
1 dx x3 x
5.
x2 4 dx x
6.
arcsin xdx
四、计算题（共 10 分） 已知 f ( x ) 的一个原函数为
sin x ，求 xf ( x) dx 。 x
《不定积分》 试题 （B 卷）
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 如果 e 是函数 f ( x ) 的一个原函数，则 2. 若
x
f ( x)dx
。 。
。
f ( x)dx 2cos 2 C ，则 f ( x)
1 ，则 f ( x )dx x
。 。
x
3. 设 f ( x ) 4. 5.
原式 sec2 x 1 dx tan x x C
2. 解
原式
1 3 2x 3 2x dx 6 3 2 x 3 2 x
3. 解
d 3 2 x d 3 2x 1 1 12 3 2 x 3 2 x 12 3 2 x 3 2 x
B.
1 x
D. arctan xdx d ( ） 。
f ( x)dx x
2
C ，则 xf (1 x 2 )dx （
A. 2(1 x 2 ) 2 C C.
B. 2(1 x 2 ) 2 C D.
1 (1 x 2 )2 C 2
1 (1 x 2 )2 C 2
1 3 2x ln C 12 3 2 x
共4页，第2页
原式
1 cos 2 x dx 2 1 1 x sin 2x C 2 4
4. 解
t6x
原式
x t6
6t 5 dt t3 t2 1 6 t 2 t 1 dt t 1 2t 3 3t 2 6t 6 ln t 1 C 2 x 33 x 66 x 6ln
共4页，第3页
共4页，第4页
6
x 1 C
5. 解
令x 2 sec t 2 tan t 原式 2 sec t tan tdt 2 sec t 2 sec2 t 1 dt 2 tan t 2t C 2 x 2 4 2 arccos C x
6. 解
原式 x arcsin x x arcsin x
f ( x)df ( x )
sin x cos xdx
3
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 设
f ( x)dx 4 ln sin 4x C ，则 f ( x) （
A. cot 4 x C. 3cos 4 x
） 。 B. cot 4 x D. 3cot 4 x
答案
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1. e
x
C
2. sin
x 2
3.
C 2
5.
1 2 sin x C 2
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. D 1. 解 2. B 3. A 4. A 5. D 三、计算题（每小题 10 分，共 60 分）
ln x ） 。 dx （ x 1 A. x ln 2 x C 2 ln x C. C x 3. 若 f ( x ) 为可导、可积函数，则（
2.
1 2 ln x C 2 1 ln x D. 2 2 C x x
B. ） 。 B. d f ( x )dx f ( x )
x
1 x2
dx
1 1 2 2 1 x d 1 x 2 2
x arcsin x 1 x 2 C
四、计算题（共 10 分） 解
xf ( x)dx xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx
sin x sin x x C x x 2 sin x cos x C x
A. f ( x )dx f ( x )
C.
f ( x)dx f ( x )
）是正确的。
D.
df ( x) f ( x)
dx d( x) x
1 ) 1 x2
4. 下列凑微分式中（
A. sin 2 xdx d (sin 2 x ) C. ln x dx d ( ) 5. 若