极限思想的开启

极限思想起源的探讨新余市第四中学数学组 刘告根【摘要】极限思想的起源始于我国魏晋数学家刘徽,其应用刘徽也应属第一人,他对极限论所作贡献是不可磨灭的,这是我们民族的骄傲.【关键词】极限思想,穷竭法,割圆术,二分过程1、极限思想的开启关于极限思想的起源,应追溯到公元前490年的芝诺,由芝诺提出的两悖论:二分法及阿里斯追不上乌龟,这是极限思想的萌芽。

在我国极限的观念,早在刘徽之前的春秋战国时代就已产生了。

春秋战国时期，由于各种学说创形成了一个百家争鸣的局面，不止有唯心主义学说，也有朴素的唯物主义学说，还有不少关于逻辑学，物理学，天文发及数学的片断记载。

在《庄子·天下篇》里就记载着惠施关于数学的一些论说，如：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”用现代数学符号表示为，设棰为1，那么S n n lim +∞→=⋯⋯+⋯⋯+++2221112132n =1此外，在《墨经》里也有些极限观念的学说“非半弗卓斮 则不动，说在端。

”《经说下》里解释为：非 斮半，进前取也前，则中无为半，犹端也。

前后取，则端中也。

斮必半。

毋与非半。

不可斮 也。

大意是，如果一半一半地取棰势必取到不可再分割的端，如按“进前取”的方式取棰，“端”就在棰的端；如按“前后取”的方式取棰“端”就在棰的中间，可见，在春秋战国时代，由生产实践逐渐形成了一些片断的极限观念学说。

但是极限思想的开端是什么时候呢？在西方有些学者认为始于古希腊数学大师阿基米德的“穷竭法”，其实“穷竭法”中既没有序列用其逼近度的计算，也没有无限过程的思考，它的基础是所谓的阿基米德预备定理（阿基米德把他归为欧多克斯）：已知两个不等于0的量“如从较大的量减去大于其一半的量，再从余下的量减去大于其一半量，这样一直继续下去，总可使某一余下的量小于已知的较小量”这个原理使此后的希腊几何学所有论证都排斥了无穷小量，比如圆内接正多边形可以接近于圆，要多接近就有多接近，可是，永远不能成圆。

总还有一个剩余量，因此，阿基米德在进行若干次分割之后，不是极限思想，而是用双重归谬法，即证明某一要求积的面积（或体积）既不能大于也不能小于某一数值，来解决求积问题。

勿庸置疑，阿基米德的穷竭法思想，促进了微积分学方法的诞生和极限思想的发展，但阿基米德等数学家在极限的大门前裹足不前，始终未能跨进这个大门，更未将极限思想用于数学命题的证明。

纵观古今外数学史我们可以断言他们交这一问题遗留给了我们魏晋时期的刘徽，在他的著作《割圆术》中（见后文）无处不透射着极限思想，是刘徽开创了极限论研究的先河（当然，在当时还未有极限论这一说）。

为计算圆面积用圆周率，刘徽从正六边形做起先割到12边形，再割到24边形，如此令边数逐步倍增，计算出一系列圆内接正多边形面积S（12），S（24），S（48）……刘徽指出“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣。

”这就是说内接正多边形的边数n愈多它面积S（n）与圆面积s*愈接近其误差s*-S（n）愈小，而当正多边形的边数无限增多时，它的面积例与圆面积完全相合，因此极限思想真正应始于刘徽，他是创造性地把极限观念应用到数学中去的第一人。

此后，极限论没有多大发展，发至17世纪的微积分基础不牢，直至18世纪的达朗贝尔第一人看出牛顿方法中导数概念实质的人，把最初比与最后比理解为一种极限，认为极限和极限理论是微积分的真正抽象。

“一个量永远不会重合或变得等于它的极限，但它总是逐渐接近于它的极限，并与极限的差要多小就多小。

”达朗贝尔明确提出极限概念为解决微积分理论基础问题取得了很大的进步，而极限的真正定义是由19世纪德国数学家维尔斯特拉斯给出的“ε-N”语言。

定义如下：称数列｛X｝收敛于极限，如果对于任给ε>0，总可以找到这样的下标N，使对一切n>N 恒成立：x n-＜εa这一定义虽抽象缺乏直观，但使得极限论逻辑上被弄清楚，所以一直沿用至今。

在18，19世纪整整200年间，概率论的开始阶段，极限定理的研究成了中心课题，长时期内，极限论的经典方面的主要任务在于找出最一般的条件历史上最早的成果是贝努里大数定理，棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理和普照阿松逼近定理，贝努里概型成为极限理论研究的发源点。

2、极限思想的应用2．1极限在割圆术中的应用刘徽的“割圆术”目标是计算圆面积，而计算圆面积是人类在处理方法从“直”跨入“曲”的关键的一步，是人类在思想观念上从“有限”进入“无穷”的一次飞跃，深刻理解它，并掌握这种大智慧，就能在思想观念和处理方法上实现向高等数学的转变，它是开启高等数学大门的金钥匙。

总观“割圆术”可表达为如下三个环节：割分，修补，重复。

具体如下：刘徽考察圆内接多边形。

他先从六边形做起，然后将六等份的每个弧段再对半二分，结果生成圆的内接正12边形，直观上可以明显看出（图一）12边形更接近于圆周。

重复弧段逐步对分的三分过程，即每分割一次内接多边形的边数增长一倍，如此下去，（设内接近n 形面积为S （n ），圆面积为S*），如前文所述有：S （6）→S （12）→S （24）→…→S*由此可见，在刘徽的心目中，割圆是个割之又割的无限过程，是通 向无穷之路。

单从“割”来看还不足以显示古代中国数学泰斗刘徽的大智慧，刘徽的真正亮点是圆面积公式的推导发及圆周率的计算上，发下我们将看到刘徽的光辉思想与晚他1000多年才提出的极限论是如此惊人的符合。

在图二中，刘徽定义线段GC 为余径，△ACB 为余径三角形，ADEB 为余径长方形， （n S 2－n S ）为差幂，容易证明ADEB S =2ACB S 设GC =n r AB =n 1（AB 为正n 边形边长，AC 为正2n 边形边长）因此有：n S 2=n S +n(n n l r ∙21) ⇒n S 2-n S = n(n n l r ∙21)即2n 边形面积可由n 边形面积加余径三角形面积加发修正12S =6S +6(6621l r ∙) 24S =12S +12(121221l r ∙) 48S =24S +24(242421l r ∙) 累加便得圆面积S *S *=6S +6(6621l r ∙)+12(121221l r ∙)+24(242421l r ∙)+…… 另一方面,如果将图二的四边形ACBO 的面积加上余径三角形ACB 的面积,即得多边边形ADEBO 的面积,这个面积超出扇形AOB 的面积,因此有:n S 2+ n(n n l r ∙21)＞S * 综上有:n S 2＜S *＜n S 2+ n(n n l r ∙21) 上式左右两端是都极易计算的,而夹在它们之间的S *则是未知量.现在我们来看,19世纪中叶,维尔斯特拉斯提出的ε-N 说法。

定义： 称数列｛n X ｝收敛于极限，如果对于任给ε>0，总可以找到这样的下标N ，使对一切n>N 恒成立：a x n - ＜ ε 再与刘徽比较，姑且称 n S 2 ＜ S* ＜ n S 2+ n(n n l r ∙21) 即 n S 2＜S * ＜n S 2+(n S 2-n S )为双侧逼近公式,据此可以利用偏差来估计误差 S S n *2-＜S S n n -2这样,对于任意精度ε＜0,只要顺序检查计算数据n S 2一旦发现某个偏差S S n n -2＜ε立即获知误差。

S S n *2-＜ε再注意到误差是逐步递减的。

因为“割之弥细，失之弥少”由此可以判定当n>N 恒成立，从而｛n S ｝确实收敛极限值S *。

由此可见，刘微的极限思想从高等数学观点来看在逻辑上是严格的。

其实上述双侧逼上梁山近公式还透射着极限论中的两个重要命题。

其一：如果数列｛n X ｝是单调有界的，即存在定数A 使1X ≥2X ≥3X ≥……≥n X ≥……≥A 或1X ≤2X ≤3X ≤……≤n X ≤……≤A 那么这必定收敛到某个极限值。

刘徽得到的一系列圆内接多边形面积｛n S ｝具有单调这一特性：12S ＜24S ＜48S ……＜S *翻译成高等数学的语言，就是逼近数列｛n S ｝收敛到作为极限值的圆面积S * 其二：设某个数列｛n X ｝夹于两个数列｛n y ｝，｛n z ｝之间n y ＜n X ＜n z 如果左右两个数列｛n y ｝，｛n z ｝都收敛，且极限值相等，那么数列｛n X ｝必收敛于该极限值。

与图四比较，我们称图三中的小长方形的圆外边界构成一条包围圆周的曲线为“破缺”外切n 边形，设其面积为n R 外切n 这形ABCA ’B ’C ’面积为n T 便有：n S ＜S *＜n R ＜n T依据｛n S ｝与｛n T ｝的收敛性，可断言｛n R ｝亦收敛于圆面积S *。

此处，刘徽为何采用“破缺”外切边形，是为了便于计算,具体细节不是本文要讨论的。

2．2极限在开方术中的应用刘徽不公将极限思想用于割圆术，而且将它引入开方术中。

《九章算术》开方术说“若开之不尽者为不可开，当以面命之”就是说，凡开不尽数，可发面命之，“以面命之”就是以余数表示，即：r A +2=A ……r其中（A 2+r ）为被开方数，A 为其平方根的近似值。

r 为开方不尽的余数。

在古代为了表示开方不尽的数的值，一般常用方法是加借算命分和不加借算命分，这两种表示方法并非理想的方法，所以刘徽说：“令不加借算而命分，则常微少。

其加借算而命分，则又微多，其数不可得而言，故惟以面命之，为不失耳。

”就是说只有 r A +2=A …… r没有误差，但是由于这种子选手表示法不够具体，于是刘徽利用极限思想创立了十进分数的表示法。

他说：“不以面命之，加定法如前，求其微数。

微数无名者，以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母，退之弥下其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。

”用现代数学语言翻译为：S n n lim +∞→=lim +∞→n ( A+101a +1022a +…10n n a )=r A +2其中A 为整数，1a 2a 3a ……n a 是平方根的十进分数的分子，都是一位整数。

i a =10i ia 刘徽称其为“微数”（因此“开方术”有时也称“微数术”）取近似值则得 r A +2=A+101a +1022a +…10n na 或 r A +2=n S因为古代是用正方形来解释开平方的，所谓“朱幂”相当于被开方数与近似平方根的平方之差，用现代符号表示，即：（A 2+r ）－s n 2而“朱幂虽有所弃之数，不足言也”则为：［（A 2+r ）－s n 2］→0 用图形表示较直观：虚线正方形越来越小最终趋于零。

这就是极限思想在开方方面的应用。

其实除以上两方面外，刘徽在《九章算术》的注释里，曾多次使用了极限观念得其理论，正确地解决了一些疑难的数学问题。

如在弧田术中的应用，阳马术中的应用等，但极限最重要的价值要属对现代微积分的影响。