27特殊三角形(等腰、直角三角形)
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
中考数学专题复习27特殊三角形(解析版)
特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∠ AF =EF .∠ ∠A =∠AEF .∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°.∠ ∠A =36°.∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°.∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒-【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论．【详解】解：在∠ABD 中.AB =BD∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在∠BCD 中.BC =BD∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠ =11802ABC ︒-∠ =11802α︒- 故答案为：11802α︒-．3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC.EO由折叠性质可得：∠EOC=3603012︒=︒.EC=DC.OC平分∠ECD∠∠ECO=11(180275)15 22ECD∠=︒-⨯︒=︒∠∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即OBA∠的度数为135°故答案为：135°4．（2021·山东中考真题）如图.在ABC中.ABC∠的平分线交AC于点D.过点D作//DE BC；交AB于点E．（1）求证：BE DE =；（2）若80,40A C ∠=︒∠=︒.求BDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）30BDE ∠=︒【分析】（1）由题意易得,ABD CBD CBD EDB ∠=∠∠=∠.则有ABD EDB ∠=∠.然后问题可求证； （2）由题意易得60ABC ∠=︒.则有30ABD CBD ∠=∠=︒.然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∠BD 平分ABC ∠.∠ABD CBD ∠=∠.∠//DE BC .∠CBD EDB ∠=∠.∠ABD EDB ∠=∠.∠BE DE =；（2）解：∠80,40A C ∠=︒∠=︒.∠18060ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒.由（1）可得30ABD CBD BDE ∠=∠=∠=︒．5．（2020•台州）如图.已知AB ＝AC .AD ＝AE .BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：∠ABD ∠∠ACE ；（2）判断∠BOC 的形状.并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABD ∠∠ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE .由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB .可求∠OBC ＝∠OCB .可得BO ＝CO .即可得结论．【解答】证明：（1）∠AB ＝AC .∠BAD ＝∠CAE .AD ＝AE .∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形.理由如下：∠∠ABD∠∠ACE.∠∠ABD＝∠ACE.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.∠∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE.∠∠OBC＝∠OCB.∠BO＝CO.∠∠BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.等边三角形ABC的边长为4.C的半3P为AB边上一动点.过点P作C的切线PQ.切点为Q.则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC.利用切线的性质得到CQ∠PQ.可得当CP最小时.PQ最小.此时CP∠AB.再求出CP.利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC.∠PQ和圆C相切.∠CQ∠PQ.即∠CPQ始终为直角三角形.CQ为定值.∠当CP最小时.PQ最小.∠∠ABC是等边三角形.∠当CP∠AB时.CP最小.此时CP∠AB.∠AB=BC=AC=4.∠AP=BP=2.∠CP22-3AC AP∠圆C的半径CQ3∠PQ22-=3.CP CQ故答案为：3．7．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的∠DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长.再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∠等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∠EF＝2.∠DE∠AB.DF∠AC.∠∠DEF是等边三角形.∠剪下的∠DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．（2020•凉山州）如图.点P、Q分别是等边∠ABC边AB、BC上的动点（端点除外）.点P、点Q以相同的速度.同时从点A、点B出发．（1）如图1.连接AQ、CP．求证：∠ABQ∠∠CAP；（2）如图1.当点P、Q分别在AB、BC边上运动时.AQ、CP相交于点M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数；（3）如图2.当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时.直线AQ、CP相交于M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质.利用SAS 证明∠ABQ ∠∠CAP 即可；（2）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝60°；（3）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝120°．【解析】（1）证明：如图1.∠∠ABC 是等边三角形∠∠ABQ ＝∠CAP ＝60°.AB ＝CA .又∠点P 、Q 运动速度相同.∠AP ＝BQ .在∠ABQ 与∠CAP 中.{AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ. ∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中.∠QMC 不变．理由：∠∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠ACM 的外角.∠∠QMC ＝∠ACP +∠MAC ＝∠BAQ +∠MAC ＝∠BAC∠∠BAC ＝60°.∠∠QMC ＝60°；（3）如图2.点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时.∠QMC 不变 理由：同理可得.∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠APM 的外角.∠∠QMC ＝∠BAQ +∠APM .∠∠QMC ＝∠ACP +∠APM ＝180°﹣∠P AC ＝180°﹣60°＝120°.即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动.∠QMC 的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．（2020•衡阳）如图.在∠ABC 中.∠B ＝∠C .过BC 的中点D 作DE ∠AB .DF ∠AC .垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°.求∠BAC 的度数．【分析】（1）根据DE ∠AB .DF ∠AC 可得∠BED ＝∠CFD ＝90°.由于∠B ＝∠C .D 是BC 的中点.AAS 求证∠BED ∠∠CFD 即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B ＝50°.根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∠DE ∠AB .DF ∠AC .∠∠BED ＝∠CFD ＝90°.∠D 是BC 的中点.∠BD ＝CD .在∠BED 与∠CFD 中.{∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD. ∠∠BED ∠∠CFD （AAS ）.∠DE ＝DF ；（2）解：∠∠BDE ＝40°.∠∠B＝50°.∠∠C＝50°.∠∠BAC＝80°．10．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上.抽象出如图（2）的平面图形.∠ACB与∠ECD恰好为对顶角.∠ABC＝∠CDE＝90°.连接BD.AB ＝BD.点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时.连接DF（如图（2））.小明经过探究.得到结论：BD∠DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换.即：BD∠DF.则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6.CE＝9.求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF.推出EF＝FD.再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中.取EC的中点G.连接GD．则GD∠BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中.∠∠EDC＝90°.EF＝CF.∠DF＝CF.∠∠FCD＝∠FDC.∠∠ABC＝90°.∠∠A+∠ACB＝90°.∠BA＝BD.∠∠A＝∠ADB.∠∠ACB＝∠FCD＝∠FDC.∠∠ADB+∠FDC＝90°.∠∠FDB＝90°.∠BD∠DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∠BD∠DF.ED∠AD.∠∠BDC+∠CDF＝90°.∠EDF+∠CDF＝90°.∠∠BDC＝∠EDF.∠AB＝BD.∠∠A＝∠BDC.∠∠A＝∠EDF.∠∠A+∠ACB＝90°.∠E+∠ECD＝90°.∠ACB＝∠ECD.∠∠A＝∠E.∠∠E＝∠EDF.∠EF＝FD.∠∠E+∠ECD＝90°.∠EDF+∠FDC＝90°.∠FD ＝FC .∠EF ＝FC .∠点F 是EC 的中点．（3）如图3中.取EC 的中点G .连接GD ．则GD ∠BD ．∠DG =12EC =92. ∠BD ＝AB ＝6.在Rt∠BDG 中.BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152. ∠CB =152−92=3.在Rt∠ABC 中.AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5.∠∠ACB ＝∠ECD .∠ABC ＝∠EDC .∠∠ABC ∠∠EDC .∠AC EC =BC CD. ∠3√59=3CD. ∠CD =9√55. ∠AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 11．（2020•常德）已知D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.过点D 作Rt∠DEF 使∠DEF ＝90°.∠DFE ＝30°.连接CE 并延长CE 到P .使EP ＝CE .连接BE .FP .BP .设BC 与DE 交于M .PB 与EF 交于N ．（1）如图1.当D .B .F 共线时.求证：∠EB ＝EP ；（2）如图2.当D .B .F 不共线时.连接BF .求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．【分析】（1）∠证明∠CBP 是直角三角形.根据直角三角形斜边中线可得结论； ∠根据同位角相等可得BC ∠EF .由平行线的性质得BP ∠EF .可得EF 是线段BP 的垂直平分线.根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2.延长DE 到Q .使EQ ＝DE .连接CD .PQ .FQ .证明∠QEP ∠∠DEC （SAS ）.则PQ ＝DC ＝DB .由QE ＝DE .∠DEF ＝90°.知EF 是DQ 的垂直平分线.证明∠FQP ∠∠FDB （SAS ）.再由EF 是DQ 的垂直平分线.可得结论．【解答】证明（1）∠∠∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.∠∠A ＝90°﹣30°＝60°.同理∠EDF ＝60°.∠∠A ＝∠EDF ＝60°.∠AC ∠DE .∠∠DMB ＝∠ACB ＝90°.∠D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.AC ∠DM .∠BM BC =BD AB =12. 即M 是BC 的中点.∠EP ＝CE .即E 是PC 的中点.∠ED ∠BP .∠∠CBP ＝∠DMB ＝90°.∠∠CBP 是直角三角形.∠BE =12PC ＝EP ； ∠∠∠ABC ＝∠DFE ＝30°.∠BC ∠EF .由∠知：∠CBP ＝90°.∠BP ∠EF .∠EB＝EP.∠EF是线段BP的垂直平分线.∠PF＝BF.∠∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2.延长DE到Q.使EQ＝DE.连接CD.PQ.FQ.∠EC＝EP.∠DEC＝∠QEP.∠∠QEP∠∠DEC（SAS）.则PQ＝DC＝DB.∠QE＝DE.∠DEF＝90°∠EF是DQ的垂直平分线.∠QF＝DF.∠CD＝AD.∠∠CDA＝∠A＝60°.∠∠CDB＝120°.∠∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP.∠∠FQP∠∠FDB（SAS）.∠∠QFP＝∠BFD.∠EF是DQ的垂直平分线.∠∠QFE＝∠EFD＝30°.∠∠QFP+∠EFP＝30°.∠∠BFD+∠EFP＝30°．考点4：勾股定理及其逆定理12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.ABC中.∠=︒==.将ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.则CE的长为90,8,6ACB AC BC（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10.再利用折叠的性质得到AE=BE.AD=BD=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2.解得x.可得CE．【详解】解：∠∠ACB=90°.AC=8.BC=6.∠AB22AC BC+∠∠ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.∠AE=BE.AD=BD=12AB=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中∠BE2=BC2+CE2.∠x2=62+（8-x）2.解得x=25 4.∠CE=2584-=74.故选：D．。
等腰直角三角形的特征
等腰直角三角形的特征
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有一些独特的特征。
本文将从三个方面介绍等腰直角三角形的特征：形状特征、角度特征和边长特征。
一、形状特征
等腰直角三角形的形状特征是其两条腰相等且与底边垂直。
也就是说，一个等腰直角三角形有两条边相等，另外一条边与这两条边相交的角度为90度。
这种形状特征赋予了等腰直角三角形一种独特的美感，使得它在几何学中具有重要的地位。
二、角度特征
等腰直角三角形的角度特征是其两个锐角相等，每个角都是45度。
这是因为直角三角形的一个特性是直角两边的角度相等，而等腰直角三角形又具有两条边相等的特点，所以两个锐角的角度都是45度。
这种角度特征使得等腰直角三角形在数学和科学中有广泛的应用。
三、边长特征
等腰直角三角形的边长特征是其两条腰相等，而底边的长度可以通过勾股定理计算得出。
设等腰直角三角形的腰长为a，底边长为b，则根据勾股定理可得a^2 + a^2 = b^2，化简得2a^2 = b^2，进一步化简得a = b/√2。
这个公式表明了等腰直角三角形腰长与底边
长之间的关系。
在实际应用中，可以根据已知的底边长来计算腰长，或者根据已知的腰长来计算底边长。
等腰直角三角形具有形状特征、角度特征和边长特征。
通过这些特征，我们可以清楚地描述和识别等腰直角三角形。
在实际应用中，等腰直角三角形有着广泛的用途，例如在建筑设计中常用于绘制直角拐角、在数学中用于解决勾股定理相关问题等。
因此，熟练掌握等腰直角三角形的特征对于数学和科学学习至关重要。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解和应用等腰直角三角形的特征。
特殊三角形
特殊三角形知识定位特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。
特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理三角形类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“R t△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）2、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
特殊三角形知识点
特殊三角形知识点三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，有一些特殊类型的三角形，它们具有一些独特的性质和特征。
本文将介绍几种常见的特殊三角形，并讨论它们的特点和相关的知识点。
1. 等边三角形（Equilateral Triangle）：等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
它的三个角也都相等，每个角都是60°。
等边三角形具有以下特点：- 它的三条高（从一个顶点到对边的垂线）相等，且相互重合。
- 它的三条角平分线（从一个角到对边上的点）相等，且相互重合。
- 它的外接圆和内切圆都与三条边相切。
2. 等腰三角形（Isosceles Triangle）：等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
它的两个角也相等。
等腰三角形具有以下特点：- 它的底边的中垂线（从底边的中点到顶点的垂线）是等腰三角形的高，且与底边相垂直。
- 它的两条底边角平分线相等，且相互重合。
- 它的外接圆和内切圆的圆心都在等腰三角形的角平分线的延长线上。
3. 直角三角形（Right Triangle）：直角三角形是指其中一个角是90°的三角形。
直角三角形具有以下特点：- 它的两条边相互垂直。
- 它的直角边是斜边上其他两条边的高。
- 它的斜边是其他两条边的最长边。
- 它的角度满足勾股定理：斜边的平方等于两个直角边的平方和。
4. 锐角三角形（Acute Triangle）：锐角三角形是指其中的三个角都小于90°的三角形。
锐角三角形具有以下特点：- 它的三条高都在三个顶点和对边之间。
- 它的外接圆的圆心在三个顶点的中垂线的交点处。
5. 钝角三角形（Obtuse Triangle）：钝角三角形是指其中一个角大于90°的三角形。
钝角三角形具有以下特点：- 它的最长边是对应的钝角的边。
- 它的最长边是其他两条边的高。
- 它的外接圆的圆心在最长边的中点延长线上。
特殊三角形的性质和特点对于解决三角形相关问题非常有帮助。
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。
一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。
2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。
（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。
直角三角形分类题型(全)
直角三角形分类题型(全)直角三角形是指其中一个角为直角的三角形。
在几何学中，直角三角形是一个重要的概念，对于学生来说，了解和分类直角三角形的题型是十分必要的。
本文将介绍几种常见的直角三角形分类题型。
1. 根据边长判断根据直角三角形的边长可以将题型分为三类：- 等腰直角三角形：即两条直角边的边长相等。
在解题过程中，可以利用等腰三角形的性质来简化计算。
- 正直角三角形：即除了直角边外的第三边也是整数长度。
这种题型在应用中相对较为少见，但在数学理论研究中有一定的重要性。
- 普通直角三角形：即除了直角边外的第三边可能是无理数长度。
这是最常见的直角三角形分类。
2. 根据角度判断根据直角三角形中的其他两个角的大小关系，可以将题型分为两类：- 锐角直角三角形：即直角三角形中的另外两个角都是锐角。
这种题型要求在解题过程中对角度进行合理的估计和计算。
- 钝角直角三角形：即直角三角形中的另外两个角其中至少有一个是钝角。
对于这种题型，需要根据给定的条件进行角度计算。
3. 根据特殊线段判断根据直角三角形中的特殊线段，可以将题型分为四类：- 中线问题：即寻找直角三角形的中线并计算其长度。
通过运用中线的性质，可以简化解题过程。
- 垂线问题：即寻找直角三角形的垂线并计算其长度。
垂线的长度可以通过几何关系和比例等方法进行计算。
- 角平分线问题：即寻找直角三角形的角平分线并计算其长度。
通过角平分线的性质，可以找到解题的关键。
- 外接圆问题：即寻找直角三角形的外接圆并计算其半径或直径。
利用外接圆的性质，可以解决与直角三角形有关的难题。
综上所述，了解和掌握直角三角形的分类题型对于解题和几何学的研究都具有重要意义。
通过分析边长、角度和特殊线段等要素，可以更加灵活地应用几何知识解决问题，提高解题效率和准确性。
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点
等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点等腰三角形是初中数学中的一种基本几何图形，具有很多特殊的性质和定理。
本文将对等腰三角形的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握等腰三角形的特点和应用。
以下是等腰三角形知识点总结汇总，希望对大家的学习有所帮助。
1、等腰三角形知识总结，定义(1)等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
(2)等边三角形:特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2、等腰三角形知识总结，等腰三角形的相关概念(1)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴。
(2)等腰三角形的外心、内心、重心和垂心都在顶角平分线上，即四心共线。
(3)等边三角形的外心、内心、重心和垂心四心合一，成为等边三角形的中心。
3、等腰三角形知识总结，等腰三角形的性质定理(1）推理格式:在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C。
(2)定理的作用:证明同—个三角形中的两个角相等。
4、等腰三角形知识总结，等腰三角形性质定理的推论(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
5、等腰三角形知识总结，等腰三角形的判定定理(1)该定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
(2)注意:该定理不能叙述为“如果一个三角形中有两个底角相等，那么它的两腰也相等”。
因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。
相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。
(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180°减去底角的两倍；(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。
等腰直角三角形
11等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为（根号2加1），所以r:R=1:（根号2加1）。
目录1关系2线段3解三角形4勾股定理5证明方法6定理7相关定理8梅涅劳斯9特殊等腰高：顶点到对边垂足的连线。
角平分线；顶点到两边距离相等的点所构成的直线。
中位线：任意两边中点的连线。
3解三角形在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r)（2）余弦定理。
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA cosA=c^2+b^2-a^2/2cbb^2=a^2+c^2-2ac*CosB cosB=a^2+c^2-b^2/2acc^2=a^2+b^2-2ab*CosC cosC=a^2+b^2-c^2/2ab4勾股定理如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。
如果三角形的三条边A，B，C 满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：AB=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。
（称勾股定理的逆定理）5证明方法证法1作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ AB EG是一个边长为c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°即∠CBD= 90°又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则a^2+b^2=c^2证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2证法3作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°,∴G,B,I,J在同一直线上，a^2+b^2=c^2证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ 即a^2+b^2=c^2证法5(欧几里得的证法)《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。
三角形的分类
三角形的分类三角形是几何学中最常见和最基本的图形之一。
根据其特性，三角形可以分为不同的类型。
以下是三角形的一些主要分类：1等边三角形：三条边都相等的三角形称为等边三角形。
这种三角形的所有角都是相等的，每个角都是60度。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
2等腰三角形：有两条边长度相等的三角形称为等腰三角形。
这种三角形的两个底角是相等的，顶角与两个底角的和加起来等于180度。
直角三角形：有一个角是90度的三角形称为直角三角形。
这种三角形的斜边长等于其两条直角边的平方和的平方根。
直角三角形的一个锐角是45度。
钝角三角形：有一个角大于90度的三角形称为钝角三角形。
这种三角形的钝角对应的边比其他两边长。
锐角三角形：所有角都小于90度的三角形称为锐角三角形。
这种三角形的所有边都相等。
斜三角形：三条边长度不相等的三角形称为斜三角形。
斜三角形可以进一步分为钝角斜三角形和锐角斜三角形，取决于其最大的角是钝角还是锐角。
这些分类可以根据三角形的不同特性进行进一步的细分。
例如，等腰三角形可以进一步分为等边等腰三角形和底角与顶角不相等的等腰三角形等。
还有等腰直角三角形等腰钝角三角形等特殊形式。
三角形的分类对于理解几何学中的基本概念和性质非常重要。
通过掌握不同类型的三角形的特性和关系，我们可以更好地理解几何学中的基本原理和应用。
三角形是数学几何中一个非常基础且重要的概念，而三角形的分类也是学生需要掌握的一项重要技能。
根据边长和角的特征，三角形可以分为以下几类：等边三角形等腰三角形、直角三角形和普通三角形。
等边三角形是一种三边长度相等的三角形，其中三个角的大小也相等。
等边三角形的判定方法是：如果一个三角形的三边长度相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形是一个特殊的等腰三角形。
等腰三角形是一种两边长度相等的三角形，其中两个角的大小也相等。
等腰三角形的判定方法是：如果一个三角形有两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
初中数学专题27 特殊三角形【考点精讲】
第四部分 三角形数学专题27 特殊三角形知识导航知识精讲考点1：等腰三角形的性质与判定1．定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质:①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的两底角相等，即“等边对等角”;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线. 3．判定:①有两条边相等的三角形是等腰三角形;②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.B15°或75°针对训练B10或11知识精讲考点2：等边三角形的性质与判定1．定义:三边相等的三角形是等边三角形.2．性质:①等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;② “三线合一”;③等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.3．判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.方法技巧（1）等边三角形与全等三角形的结合运用;（2）等边三角形与含30°角的直角三角形的结合运用.针对训练B知识精讲考点3：直角三角形的性质1．性质:①直角三角形的两锐角互余;②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;③直角三角形中,斜边上的中线长等于斜边长的一半.2．判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.140°针对训练B知识精讲考点4：勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.12方法技巧（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.（3）用于证明平方关系的问题.针对训练DC按ESC键退出全屏播放。
等腰直角三角形顶点和直角边中点的连线-定义说明解析
等腰直角三角形顶点和直角边中点的连线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以描述文章所要探讨的主题以及该主题的重要性和应用。
在这篇文章中，我们将讨论等腰直角三角形顶点和直角边中点的连线，并探究其几何意义、性质和特点。
在数学中，三角形是研究的基本对象之一，而等腰直角三角形是其中的一类特殊三角形。
它具有两边长度相等的性质，同时其中一个角是直角。
顶点和直角边中点的连线是一条连接等腰直角三角形顶点和直角边中点的直线。
这条连线的几何意义是非常有意思的。
它不仅可以帮助我们更好地理解等腰直角三角形的性质，还能揭示出一些有趣的几何关系。
通过研究这条连线，我们可以更深入地了解等腰直角三角形的内部结构以及其中隐藏的几何奥秘。
在接下来的部分中，我们将探讨这条连线的性质和特点。
从连线的长度和角度的角度变化，到连线和其他几何元素（如中线、高线等）的关系，我们将深入研究并解释这些重要的观察结果。
本文的目的是为读者提供对等腰直角三角形顶点和直角边中点连线的深入理解，以及揭示一些相关的重要性质和几何关系。
通过阅读本文，读者将能够更全面地理解等腰直角三角形，并将这些概念应用到实际问题中。
总而言之，本文将通过引言的概述，带领读者进入等腰直角三角形顶点和直角边中点连线的探讨。
深入分析这条连线的几何意义、性质和特点，让读者能够更好地理解和应用等腰直角三角形的相关概念。
1.2 文章结构文章结构的主要部分分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构、目的和总结四个方面。
在概述中，简要介绍等腰直角三角形顶点和直角边中点的连线问题，并引起读者的兴趣。
文章结构部分说明整篇文章的组织结构，包括各个章节的内容和顺序。
目的部分是明确研究该问题的目的，以便读者能够清楚地了解文章的研究重点。
总结部分概括了整个文章的主要内容和结论。
正文部分是对等腰直角三角形顶点和直角边中点的连线的几何意义进行详细的探讨。
其中，2.1节主要介绍了等腰直角三角形的定义和性质，为后续的讨论奠定基础。
等腰直角三角形的性质定理
等腰直角三角形的性质定理
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8.等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。
9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高；腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
等腰直角三角形底边和高的关系证明-概述说明以及解释
等腰直角三角形底边和高的关系证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等且与底边垂直的性质。
在几何学中，研究等腰直角三角形底边和高的关系是一项重要且有趣的任务。
本文旨在证明等腰直角三角形底边和高之间的关系，并探讨其性质及应用。
为了达到这一目的，我们将首先介绍等腰直角三角形的定义和性质，然后对底边和高的定义和性质进行详细的阐述。
最终，我们将通过证明来建立等腰直角三角形底边和高的具体关系。
通过深入研究等腰直角三角形的底边和高之间的关系，我们可以更好地理解等腰直角三角形的特性和性质。
这不仅有助于提高我们的几何学知识和技能，还可以应用于实际生活中的问题解决和几何推理中。
在结论部分，我们将对等腰直角三角形底边和高的关系进行总结，并讨论其可能的应用。
通过这些应用，我们可以进一步探索等腰直角三角形在各个领域中的实际应用和意义。
总之，本文将通过对等腰直角三角形底边和高的关系的论证，深入探讨这一问题，并对其性质和应用进行全面分析。
通过这篇文章，我们希望读者能够加深对等腰直角三角形的了解，提升几何学的认识和理解能力。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述等腰直角三角形底边和高的关系的证明：1. 引言：首先介绍等腰直角三角形和底边、高的基本概念，并简要阐述本文的目的。
2. 正文：2.1 等腰直角三角形的定义和性质：详细叙述等腰直角三角形的定义、性质以及常见应用，为后续证明做准备。
2.2 底边和高的定义和性质：具体描述底边和高的定义以及相关性质，包括与等腰直角三角形的关系。
2.3 底边和高的关系证明：详细推导和证明等腰直角三角形底边和高的关系，列出证明过程中的重要步骤和公式推导，以确保证明的完整性和准确性。
3. 结论：3.1 总结等腰直角三角形底边和高的关系：总结证明过程中得出的结论，强调底边和高之间的关系，并提醒读者注意该关系在几何学中的应用价值。
3.2 应用等腰直角三角形底边和高的关系：展示等腰直角三角形底边和高关系在实际问题中的应用案例，包括几何推理、工程测量、图像处理等领域。
等腰直角三角形底与腰的关系
等腰三角形的腰和底边的关系为：底边=√（2*腰长度的平方）=（√2）*腰的长度。
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹一直角锐角45°，斜边上中线角平分线垂线三线合一。
等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为√2+1，所以r/R=1/(√2+1)。
扩展资料：
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的特点是：
1、两底角等于45°。
2、两腰相等。
3、等腰直角三角形三边比例为1：1：√2。
等腰三角形的判定：
1、有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。
2、三边比例为1：1：√2的三角形是等腰直角三角形。
3、底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
4、有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
5、直角边和斜边的比例为1：√2的直角三角形是等腰直角三角形。
6、有一个角是45°，并且这个角所对的边和它的一条边长度比为1：√2的三角形是等腰直角三角形。
直角等腰三角形边长公式
直角等腰三角形边长公式
等腰直角三角形边长公式：a*a+b*b=c*c。
扩展资料：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，稳定性，两直角边相等直角边夹一直角锐角45°，斜边上中线角平分线垂线三线合一。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）。
等腰直角三角形的底边和腰的关系
等腰直角三角形的底边和腰的关系
在一个等腰直角三角形中，底边和腰之间有一个特殊的关系。
我们可以通过勾股定理来证明这个关系。
首先，我们知道，在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两个边长的平方之和。
因此，在一个等腰直角三角形中，腰的长度等于底边长度的倍数，即：
腰 = 底边× √2
这个公式可以通过勾股定理来证明。
假设等腰直角三角形的两个腰的长度为a，底边的长度为b。
根据勾股定理，我们有：
a =
b + b
化简得：
a = 2b
两边同时开根号，得：
a =
b × √2
因此，我们可以得到等腰直角三角形的底边和腰的关系：腰等于底边长度的倍数，倍数为√2。
这个关系在计算等腰直角三角形的边长时非常有用。
- 1 -。
等腰直角三角形计算公式
等腰直角三角形计算公式等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两条直角边相等，也称为等边直角三角形、等腰直角三角形或等腰质数三角形，由此可知，它的两个内角都等于90°，有一条斜边，斜边的长度和等于两条直角边的和：1. 三角形的两个边长分别为a，b，那么斜边的长度就是：c = √(a² + b²)；2. 三角形的面积： S = 1/2 × a × b；3. 如果知道了三角形的斜边c，那么可以通过公式求得两边a和b：a = √((c²-b²)/2)b = √((c²-a²)/2)4. 对半分角度： A° = 90° / 2 = 45°5. 由勾股定理可知，斜边c的平方等于它的两边（即等腰）的平方之和： c² = a²+b²6. 如果已知三角形的一边长度和外角，就可以计算出另外两边的长度：a =b × tan A°；b = a / tan A°。
7. 将斜边的长度分别代入求出的两边的长度，再用公式进行计算：a = √((c²-b²)/2)b = √((c²-a²)/2)8. 如果只知道三角形的斜边和外角，可以通过公式求出两边：a = c × sin A°；b =c × cos A°；9. 将斜边等于两边之和分解式中的A°代入：a = √(c²/2 - c × sin (A°/2) × cos (A°/2)；b = √(c²/2 +c × sin (A°/2) × cos (A°/2)；总结：1. 三角形的斜边长度：c = √(a² + b²)；2. 三角形的面积： S = 1/2 × a × b；3. 已知3个边长求斜边：a = √((c²-b²)/2) ；b = √((c²-a²)/2)；4. 对半分角度： A° = 90° / 2 = 45°；5. 斜边c的平方等于它的两边的平方之和： c² = a²+b²；6. 已知外角和一边长度求边长： a = b × tan A°；b = a / tan A°；7. 已知斜边和外角求两边：a = c × sin A°；b = c × cos A°；8. 将斜边等于两边之和分解式中的A°代入：a = √(c²/2 - c × sin (A°/2) × cos (A°/2)；b = √(c²/2 +c × sin (A°/2) × c os (A°/2)；。
等腰直角三角形公式总结
等腰直角三角形公式总结
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，下面整理了一些等腰直角三角形公式，希望能帮助到大家。
等腰直角三角形的公式
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形。
(1)若假设等腰直角三角形两腰分别为a,b，底为c，则可得其面积：S=ab/2。
(2)且由等腰直角三角形性质可知：底边c上的高h=c/2，则三角面积可表示为S=ch/2=c²/4。
等腰直角三角形的性质
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。
当然，等腰直角三角形同样具有一般三角形的性质，如正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理等。
等腰直角三角形求斜边的方法
可以用勾股定理：指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a²+b²=c²。
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26、特殊三角形（等腰、直角三角形）
班级_________ 姓名__________
学号______ 一、典型例题解析
例1、如图，BD 、CD 分别分平分∠ABC 、∠ACB ，DE ∥AB ， DF ∥AC ，BC=4，求△DEF 的周长。
例2、已知，如图，在AB 的同侧作两个Rt △ABC 和Rt △ABD ， 其中∠ACB=∠ADB=90°，M 、N 分别是AB 、CD 的中点， 求证：MN ⊥CD 。
二、课堂练习与提高
1、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，则图中等腰三角形的个数为______个。
2、等腰三角形的一边长为6，一边长为8，则其周长为________。
3、已知△ABC 中，AB=12，AC=5，BC=12，则∠C=______度。
4、等腰直角三角形一条直角边为1㎝，则它斜边上的高为________。
5、等边三角形中线长为3，则其边长等于______，面积为________。
6、如图，在Rt △ABC 中，已知∠C=90°，DE ⊥AB 于点D ，交BC 于点E ，BC=1，AC=AD=1，
求DE 、BE 的长。
三、变式议练与提高
1、等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则此等腰三角形的顶角为_______度。
2、小明把一根70㎝长的木棒放到一个长、宽、高分别为30㎝、40㎝、50㎝的木箱中，他
______放进去(选填“能”或“不能”)。
3、如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 向内作等边△ABD ， 连接DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B 、E 在CD 的同侧， 若AB=2，则BE=______。
4、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则其底边长为___________。
5、如图，已知点E 、D 在△ABC 的边BC 上，AD=AE ，BD=EC ， 求证：AB=AC
四、作业设计
（一）填空：1、一个等腰三角形的两边分别为8㎝和4㎝，则它的周长为___________。
2、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=44°，CD ⊥AB 于点D ，则 ∠DCB=_______度。
3、在等腰△ABC 中，BC=8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102
=+-m x x
的两根，则m 的值为________。
4、如图，等边△ABC 的点B 在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），点A 关于x 轴对称点A′的坐标为_________。
5、如图，把矩形纸片ABCD 沿AC 对折，点B 落在B′处，AB′交CD 于点E ，若∠DCB′=28°，
则∠EAC=_______。
6、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=20°，且AE=AD ，则∠CDE=_______。
7、如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长为________。
8、从边长为1的等边三角形内一点，分别向三边作垂线，三条垂线段的长的和为_______。
9、已知直角三角形的周长为62+，斜边上的中线长为1，则这个直角三角形的面积为
________。
10、如图，AOB 是一根钢架，∠AOB=10°，为使钢架
更坚固，需在内部添加一些钢管EF 、FG 、GH……，添 加的钢管的长度都与OE 相等，最多能添加这样的钢管_______根。
（二）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点O ，过O 作DE ∥BC ，若BD+EC=5，求DE 。
（三）已知如图，△ABC 是正三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 到E 点，使CE=CD ，试判断DB 与DE 之间的大小关系，并说明理由。
A
M
D
C
D
E
O
A
E
A
B
C A
B
C
D
E
A
B C
D
E C
D
A
E
D B A
E
M
G
F
B
A O
A
D
E
O
A C
D
E
B ′ A B C
D
E
A
D。