傅里叶级数
傅里叶级数收敛定理及其推论
傅里叶级数的形式为：$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$，其中 $a_0, a_n, b_n$ 是常数，取决于原始函数。
傅里叶级数可以用于分析物体的振动模式，通过分析振动信号的频率成分，可以推断物体的振动 性质。
热传导分析
在热传导分析中，傅里叶级数可以用于分析温度场的变化，通过分析温度信号的频率成分，可以 推断热传导的规律。
电磁场分析
在电磁场分析中，傅里叶级数可以用于分析电磁波的传播和散射，通过分析电磁波信号的频率成 分，可以推断电磁场的性质。
02
通过傅里叶级数，可以分析信号的频率成分、进行图像滤波 和增强等操作。
03
在物理学中，该定理用于研究波动方程、热传导方程等偏微 分方程的解的性质。
03 傅里叶级数的收敛性质
收敛速度的讨论
快速收敛
对于具有快速衰减的函数，傅里叶级数可能 以相对较快的速度收敛。
慢速收敛
对于具有振荡或缓慢衰减的函数，傅里叶级 数可能以较慢的速度收敛。
在信号处理中的应用
1 2
信号的频谱分析
傅里叶级数可以将一个复杂的信号分解为多个正 弦波和余弦波的组合，从而分析信号的频率成分 和强度。
信号滤波
通过傅里叶级数，可以将信号中的特定频率成分 进行增强或抑制，实现信号的滤波。
3
信号压缩
傅里叶级数可以用于信号压缩，通过对信号进行 频域变换，去除冗余信息，实现信号的压缩。
傅里叶变换的推论
傅里叶变换的线性
性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个函数， 且 $a, b$ 是常数，则有 $a f(t) + b g(t) rightarrow a F(omega) + b G(omega)$。
傅里叶级数
1. 级数展开和完备性内积（Inner product ）：给定区间[,]a b ，对实函数，(,)()()baf g f x g x dx ≡⎰；如果是复函数，(,)()()baf g f x g x dx ≡⎰。
由内积，可定义范数（距离），||||f g -≡正交：(,)0f g =。
算子的特征值和特征函数：Af f λ=，0f ≠。
结论：自共轭算子的不同特征值对应的特征函数一定是正交的。
正交系：{,1}n X n ≥，(,)n m mn X X δ=。
给定正交系下函数()f x 的级数展开：1()~n nn f x c X∞=∑，其中(,)n n c f X = 完备：对任意的平方可积函数，是否成立1()n nn f x c X∞==∑？Bessel ’s inequality: 221||||nn f c∞=≥∑。
由此：级数在2L 意义下是收敛的。
证明：易知，222221111||||||||2(,)||||0NNNNN n n n n nn n n n n E f c X f c f X c f c =====-=-+=-≥∑∑∑∑，令N →∞即得。
Parseval equality: 221||||n n f c ∞==∑。
由此：如果Parseval equality 成立，则21NL n nn c Xf =−−→∑。
可以认为正交系完备。
判断一个正交系的完备性不是很容易的。
2. 特征值和特征函数序列：分离变量方法归结为微分方程的非零解问题。
0X X λ''+=，(0,)x l ∈；边界条件（1） Dirichlet. (0)()0X X l ==; （2） Neumann.(0)()0X X l ''==；（3） Robin.0(0)()X a X l '=，()()l X l a X l '=-。
一般 boundary conditions111122220()()()()0()()()()0X X X a X b X a X b X a X b X a X b λαβγδαβγδ''+=⎧⎪''+++=⎨⎪''+++=⎩，(,)x a b ∈； 如果满足该方程组的两个解成立0x bx a X Y XY ==''-=，则称symmetric boundary conditions 。
傅里叶级数
上展为余弦级数.
实际计算也不必构造上述F(x)，只要直接使用上
述得出的
计算即可.
例3 将f(x)=x 解 由于
展开为正弦级数.
因此可得正弦级数
由于f(x)=x为
内的连续函数，
因此在
内有
在
处，上述正弦级数分别收敛于
例4 将f(x)=x 解 由于
展开为余弦级数.
因此f(x)的余弦级数为
由于在 因此在
推得欧拉–——傅里叶级数的系数
(因为F(x)sin nx为偶函数).
此时相应的傅里叶级数为
.此级数也
满足前述收敛定理.通常称上述工作为将f(x)在 上
展开成正弦级数.
如果将F(x)构造为
上的偶函数，使其在
上等于f(x)，则可称之将f(x)在
上偶延拓，由此
可推得
此时相应的傅里叶级数为
此级
数也满足前述收敛定理.通常称上述工作为将f(x)在
上述的
的表达式称为欧拉——傅里叶公式.
由欧拉——傅里叶公式确定
得到的三角级数
称为f(x)的傅里叶级数. 对傅里叶级数有以下结论：
定理10.10 (狄利克雷定理) 设f(x)为周期等于2π的函
数，f(x)在[–π,π]上有定义且有界.假定[–π,π]可以分
成有限个子区间，在每个子区间上f(x)是连续且单调
其中
此级数收敛，它的和满足： (1) 当x为f(x)的连续点时，和等于f(x)； (2) 当x为f(x)的间断点时，和等于 (3) 当x= –l或l时，和等于
例5 将f(x)=x(–2≤x＜2)展开为傅里叶级数. 解 由于f(x)=x在–2≤x＜2上展开，因此l=2.
(对称区间上奇函数的积分等于0)
傅里叶级数
− 2
n
T 2
= bn ∫ T sin nωt d t
2
− 2
T 2
2 即 bn = T
T = bn 2
∫
T 2
T − 2
fT ( t )sin nω t d t
最后可得:
a0 fT (t) = + ∑(an cos mωt + bn sin nωt) (1.1) 2 n=1 T 2 2 其 中 a0 = ∫ T fT (t) dt T −2 T 2 2 an = ∫T fT (t) cos nωt dt (n =1,2,L ) T −2 T 2 2 bn = ∫T fT (t) sin nωt dt (n =1,2,L ) T −2
1= 12 dt = T ∫T
− 2 T 2 T 2 T 2
1+ cos 2nωt T cos nωt = ∫T cos nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
2
1− cos 2nωt T sin nωt = ∫T sin nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
T 2
f4 (t) =
n=−∞
∑ f (t + 4n),
+∞
2π 2π π nπ = = , ωn = nω = ω= T 4 2 2
f4(t)
−1
T=4
1
3
t
则
1 T 2 − jωnt cn = ∫ T fT (t )e dt T −2 1 2 1 1 − jωnt − jωnt = ∫ f4 (t )e dt = ∫ e dt T −2 T −1 1 1 1 − jωnt jωn − jωn = e = e −e −Tjωn Tjωn −1 2 sinωn 1 = ⋅ Sa(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L ) T =4 = T ωn 2
《傅里叶级数》课件
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
傅里叶级数
2. 三角级数的一般形式
一般的三角级数为
取 1, 由于
A A i n ( n x ) 0 ns n
n 1
s i n c o s n x c o s s i n n x s i n ( n x ) n n n
a0 设 A0 , 2
A s i n a , A c o s b n n n n n n
最简单的周期运动，可用正弦函数
y A s i n ( x )
( 1 )
来描写。 由(1)所表达的周期运动称为简谐振动
初 相 角 , 其 中 A 振 幅 , 角 频 率 ,
简谐振动(1)的周期为
2 T
对于较为复杂的周期运动，常可以用几个 简谐振动
f ( x )cos nxdx ，
1
n0,1,2,
f ( x )sin nxdx
1
， n 1 , 2 ,
2. Fourier系数和Fourier级数 Euler―Fourier公式：
如 f 是以2 为周期 的函数 , 则
可换为
c 2
c
设函数 f ( x ) 在区间[ , ] 上可积，称公式
1 , s i n k x sinkxdx 0 ,
k 1 , 2 , ;
k , h 1 , 2 ,
s i n k x c o s h x d x s i n, k x c o s h x 1 s i n ( kh ) x s i n ( kh ) x d x 0, 2
傅立叶级数
上它们都是收敛于同一个函数 。展成余弦级数或正弦级数的好处是系
数的计算量比较小。由此可见，对于只在区间 上有定义的函数，只要
它满足收敛定理的条件，即可展成余弦级数，也可展成正弦级数。
例9. 将函数 （ 不是整数）在上展成傅里叶级数。
解：因为给定的函数是偶数，所以可展成余弦级数，有
于是，我们得到函数 的傅里叶级数展开式： （10）
例8． 将函数在展成傅里叶级数.
解：按偶式展开，开拓的函数在是偶函数，它的傅里叶级数是例5
的结果，即
.
按奇式展开，开拓的函数在是奇函数，它的傅里叶系数是
.
.
于是，
.
当时，傅里叶级数收敛于
.
从这个例子看到，上给定的函数 ，在上即可按偶数延拓，也可以按奇
函数延拓，从而有余弦级数与正弦级数。这是两个不同的级数，但是在
于是， . 例7．的傅里叶级数的几何意义是当时，它的部分和的图像无限趋近 函数的图像，即 图像的极限状态就是 的图像，如图9.5，并且在傅里 叶级数收敛于 。
3. 函数f(x)的偶开拓或奇开拓 有时需要将函数在区间展成傅里叶级数，为了便于计算傅里叶系
数，将函数开拓到，使其开拓的函数在区间是偶函数或奇函数，即称函
（7）
设将要证明的收敛定理是，在一定条件下，函数的傅里叶级数的部 分和收敛于函数，即需要证明。为此，一方面，要将函数与化为相同的 数学形式（这里化为积分形式），从而能够进行差的运算；另一方面， 将差化为积分形式之后，要有相应定理，使其极限为。这就是下面的引
理1及其推论和引理2. 设由§9.1例14，不难得到
推论：例9的的傅里叶级数展成式可以得到函数 与 的简单分式展开。
在（10）式中，令，就得到
傅里叶级数
a0 dx an cos nxdx bn sin nxdx 2 n 1 n 1
a0 2 a0 2
1 a0 f ( x )dx
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
(2) 求ak .
a0 f ( x )cos kxdx 2
cos kxdx
[an cos nx cos kxdx bn sin nx cos kxdx ]
n 1
ak cos 2 kxdx ak ,
ak
f ( x )cos kxdx
1
( k 1, 2, 3,)
傅里叶级数
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
傅里叶级数:以傅里叶系数为系数的三角级数.
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
问题:
a0 f ( x ) 条件 ? (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
3、收敛条件 定理：若 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数，且在一个 周期内连续或只有有限个第一类间断点,则 f ( x ) 的傅 里叶级数收敛,并且
(1) 当 x 是 f ( x ) 的连续点时,级数收敛于 f ( x ) .
f ( x 0) f ( x 0) (2)当 x是 f ( x ) 的间断点时,收敛于 . 2
f ( 0) f ( 0) (3) 当 x为端点 x 时,收敛于 . 2
傅里叶级数
一般周期的傅里叶级数
FFT具有高效性、稳定性和易于实现 等优点，是数字信号处理领域的重要 算法之一。
FFT广泛应用于语音识别、图像处理 、频谱分析、雷达和声呐信号处理等 领域。
小波变换（Wavelet Transform）
定义
小波变换是一种时频分析方法， 它通过小波基函数的伸缩和平移 来分析信号在不同尺度上的变化 特性。小波变换能够提供信号在 不同频率和时间尺度上的信息， 具有多分辨率分析的特点。
周期函数的傅里叶级数展开可以通过傅里叶变换来实现，傅里叶变换将 时域信号转换为频域信号，提供了一种分析信号频率成分的有效方法。
非周期函数的展开
非周期函数的特性
非周期函数没有固定的重复模式，其波形不具有周期性。
非周期函数的近似展开
对于非周期函数，傅里叶级数展开式中的正弦和余弦函数具有连续的频率，这些频率覆盖了整个频域。通过选取一定 数量的频率分量，可以对非周期函数进行近似展开。
三角恒等式
正弦和余弦函数的线性组合
对于任意的实数$a$和$b$，有$sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b$和$cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b$。
三角恒等式的应用
在傅里叶级数展开中，三角恒等式用于将一个复杂的周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合。
其中，a0、an和bn为常数，n为整数 ，Σ表示求和符号，x为自变量。
傅里叶级数的一般形式为：f(x) = a0 + Σ[(an * cos(nx)) + (bn * sin(nx))]
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数的起源可以追溯到18世纪 初，法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫· 傅里叶在研究热传导问题时提出了该 理论。
傅里叶级数
一、三角函数系的正交性 函数集合
{ 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,..., cos nx , sin nx ,... }
称为三角函数系。 1、系中任意两个不同函数的乘积在区间[−π , π ] 上的积分为 0 , 这一性质称为三角函数系的 正交性。 2、 系中任一函数自己与自己的乘积在区间[−π , π ] 上的积分不为0。
ω
y 一列简谐振动， = An sin( nω t + ϕ n ) n = 0,1,2,... 2π 它们有公共周期 T = ω 2π 问： 给了一个复杂的波， 其周期为 ， ω 能否将它表示为许多个简谐振动之和？
即：
f (t )
= ∑ An sin( nω t + ϕ n ) ?
n =0
∞
这一展开的物理意义是： 一个复杂的周期运动 可以分解成许多不同频率的简谐振动的叠加。 电工学中， 将这种展开称为 谐波分析 A0 sin ϕ 0 ： f ( t ) 的直流分量 A1 sin(ωt + ϕ1 ) ： f ( t ) 的一次谐波(或基波)
f ( x ) 的傅里叶系数， 简称傅氏系数。
以傅氏系数构成的三角级数
a0 + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) 2 n =1
∞
称为函数 f ( x )的傅里叶级数， 简称傅氏级数。
说明
只要(2)(3)式中的积分存在， 就可求出
傅氏系数 a0、an、bn , ( n = 1,2,...) ， 从而， 就得到函数 f ( x ) 的傅氏级数
2
( −1)n +1 cos nx + sin nx n
傅里叶级数
1
an
1
f ( x)cos nxdx
0
x
cos
nxdx
1
n2
2
(1
(1)n )
n 1, 2, 3, .... n0
1
bn f ( x)sin nxdx
1 0
(1)n1
x sin nxdx
n
(n 1, 2, 3, )
在 [ , )上应用收敛定理得：
当 x 时,
定义在[0, ]上的函数展开为Fourier级数： 设 f (x) 在[0, ]上有定义,
( 1 ) 要把 f ( x) 展成正弦级数 :
f ( x) x (0, ]
令 F ( x) 0
x0
---f ( x)的奇式延拓.
f ( x) x [ , 0)
则F( x)在[ , ]上为奇函数, F( x)的Fourier级数为
2
4x
例 6 把 f ( x) 2 x 在 (0, 2)内展成以4为周期的 2
正弦级数,并作出其和函数在[4, 4]上的图形.
解：把 f (x) 延拓成(2, 2)上的奇函数
an 0,
bn
2 l
l 0
f (x) sin n x dx
l
2
(1
x ) sin
n
x
dx
2
0
2
2
n
2 x 2 sin nx x (0, 2)
定理1 (Dirichlet(狄利克雷 )收敛定理)
设 f ( x)以2 为周期, 在[ , ]上满足：
1.连续或只有有限个第一类间断点, Dirichlet条件
2.只有有限个极值点,
则 f ( x) 的Fourier级数
傅里叶级数的意义
傅里叶级数的意义一个周期为T的函数f(t)可以表示为傅里叶级数的形式：f(t) = a₀ + Σ(an*cos(nω₀t) + bn*sin(nω₀t))其中，a₀是函数f(t)在一个周期内的平均值，an和bn是傅里叶系数，n是非负整数，ω₀=2π/T是角频率。
傅里叶级数的主要思想是将周期函数用一系列谐波进行逼近，每个谐波对应一个傅里叶系数。
1.函数逼近：傅里叶级数可以将周期函数表示为无限多个谐波的叠加，它提供了一种将不规则或复杂的函数表示为简单函数的方法。
通过适当选择傅里叶系数，可以用有限个谐波对函数进行逼近，从而得到一个近似函数，这在信号处理和图像处理等领域中具有重要的应用。
2.波动和振动现象的研究：傅里叶级数广泛应用于波动和振动现象的研究中。
许多真实的波动和振动现象都可以用周期函数来描述，如机械振动、声波、光波等。
通过傅里叶级数的分析，可以研究波动和振动的频谱特性、频率分量的强度以及谐波的相位等重要信息。
3.信号处理：傅里叶级数在信号处理中有着广泛的应用。
通过对信号进行傅里叶级数分析，可以将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱特性。
这对于分析和处理信号的频谱分量、频带宽度、频率响应等具有重要意义，例如，音频信号处理、图像处理、通信系统等。
4.电路分析：傅里叶级数在电路分析中也有重要的应用。
对于周期性电路，可以将周期函数表示为傅里叶级数的形式，通过求解傅里叶系数可以得到电路中各频率分量的振幅和相位信息，从而研究电路的频率响应和稳态分析等问题。
5.数学理论：傅里叶级数作为一种数学工具，也具有重要的理论意义。
它涉及到函数的正交性、完备性、收敛性等基本概念和定理，为实分析、泛函分析等数学领域的研究提供了重要的工具和思想。
总之，傅里叶级数作为一种将周期函数表示为无限三角函数级数的方法，具有广泛的应用和深远的意义。
它在函数逼近、波动和振动现象的研究、信号处理、电路分析以及数学理论等方面具有重要作用，为解决各种周期性现象的问题提供了有效的数学工具。
傅里叶级数
当题目给出的函数在周期内
为奇函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：正弦
级数，如下：
求解傅里叶级数时利用奇
偶性进行简化运算
当题目给出的函数在周期内
为偶函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：余弦
级数，如下：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
对于f(X)的傅
里叶级数在任
何点x都是收
敛的，并且在
前提区间的求
和函数为：
可以看到当f(X)在x上连续时，该函数的傅里叶级数式收敛于函数本身的
对f(X)在x上连续
Байду номын сангаас
对f(X)在x上不连续
X=±
4.傅里叶级数的收敛定理
从收敛定理中可知：
即使函数有傅里叶级数的形式，但是也是在一些点上面是不连续的，但
是即使不连续，通过这个定理级数也收敛于左右极限的算术平均值
上，才能任意展开成为正弦级
数或者余弦级数，并且此函数
的傅里叶级数的形式是不唯一
的
谢谢观看，同学们学习进步噢！
正弦级数和预先级数
（1）求正弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
正弦级数和预先级数
（2）求余弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
注意：这个函数只有在区间[0,π]
微积分
傅里叶级数
1.傅里叶级数的定义
傅里叶级数
得信号的傅立叶展开式为： 得信号的傅立叶展开式为：
f (t ) = 1 4 1 1 sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + ⋯ + sin( nΩt ) + ⋯, n = 1,3,5,⋯ π 3 5 n
它只含一、 奇次谐波分量。 它只含一、三、五、…奇次谐波分量。
n
因为傅里叶系数 将
an b 和
n
Fn =
1 1 1 An e jϕn = ( An cos ϕ n + jAn sin ϕ n ) = (an + jbn ) 2 2 2
系数公式带入上式得
1 Fn = T
∫
T 2
−T 2
1 f (t ) cos(nΩt )dt − j T
∫
T 2
−T 2
f (t ) sin(nΩt )dt
0, 2 = [1 − cos(nπ )] = 4 nπ nπ ,
n = 2,4,6,⋯ n = 1,3,5,⋯
将系数代入下面的式子： 将系数代入下面的式子：
∞ a0 ∞ f (t ) = + ∑ an cos(nΩt ) + ∑ bn sin( nΩt ) 2 n =1 n =1
某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数 某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数 的波形有关 而且与时间坐标原点的选择 有关， 时间坐标原点的选择有关 的波形有关，而且与时间坐标原点的选择有关 如下图是三角波的偶函数。 。如下图是三角波的偶函数。 f (t )
T 1 − 2 T 2
0
f (t )
坐标原点左移
∑Aeϕe
n
n
傅里叶级数
法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数(法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数)一种特殊的三角级数。
形如(1)的级数，其中αn(n=0,1,2,…)和b n(n=1,2,…)是与x无关的实数，称为三角级数。
特别,当(1)中的系数αn，b n可通过某个函数ƒ(x)用下列公式表示时，级数(1)称为ƒ的傅里叶级数：(2)式中ƒ是周期2π的可积函数，即ƒ∈l(-π,π)。
此时，由公式(2)得到的系数αn，b n称为ƒ的傅里叶系数。
ƒ的傅里叶级数记为。
(3)当然,ƒ的傅里叶级数并不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于ƒ(x)。
假如已知三角级数一致收敛于ƒ(x)，即，那么双方都乘以cos nx或sin nx后,在(－π,π)上可以逐项积分,由三角函数系的正交性,即得公式(2)。
所以,如果三角级数(1)一致收敛于ƒ(x)，级数(1)必为ƒ的傅里叶级数。
问题往往是，给定函数ƒ,需要把它表示成三角级数(1)。
J.-B.-J.傅里叶的建议是，利用公式(2),求出ƒ的傅里叶系数αn,b n,就得到傅里叶级数(3)。
可以证明,只要ƒ满足一定的条件,那么ƒ的傅里叶级数σ【ƒ】收敛于ƒ。
傅里叶级数的收敛判别法常用的判别法有：①迪尼判别法对固定的点x，如有数s,使得函数φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在【-π,π】上勒贝格可积,则σ【ƒ】在点x收敛于s。
由此可知,当ƒ在点x连续,并满足李普希茨条件,即(0<u≤h)，那么σ【ƒ】在x收敛于ƒ(x)，其中M ，h，α均为正数,且α≤1。
另外，当ƒ(x)具有连续的导函数ƒ┡(x)时,σ【ƒ】一致收敛于ƒ(x)。
②狄利克雷－若尔当判别法假设函数ƒ在含有点x的某区间,例如［x-h,x+h］上分段单调，则ƒ的傅里叶级数在点x收敛于(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换是数学分析中两个重要的概念和理论工具，它们在信号处理、图像处理、物理学等领域有广泛的应用。
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列谐波的方法，而傅里叶变换是将非周期函数分解成连续谱的方法。
首先，我们来介绍一下傅里叶级数。
傅里叶级数是将一个周期为T的函数f(t)展开为一系列谐波的和的形式，其中每个谐波都有一个特定的频率和振幅。
傅里叶级数的基本公式为：f(t) = a0 + Σ(An cos(nω0t) + Bn sin(nω0t))其中a0表示直流分量，An和Bn分别表示正弦和余弦项的振幅，n为谐波的阶数，ω0为基本频率。
傅里叶级数的系数可以通过求解积分或者利用傅里叶级数的性质进行计算。
傅里叶级数的应用十分广泛。
例如在信号处理中，傅里叶级数可以用来将一个周期信号分解为多个频率成分，从而进行频域分析和滤波等操作。
此外，傅里叶级数也可以用来恢复被损坏的信号，例如在音频和图像压缩中，傅里叶级数可以用来还原被压缩的信号。
接下来，我们来介绍傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个非周期函数f(t)分解成连续的频谱。
傅里叶变换的基本公式为：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)] dt其中F(ω)表示函数f(t)在频率ω处的频谱，e^(-jωt)是一个旋转复指数，j为虚数单位。
傅里叶变换的结果是一个连续的函数，其中包含了函数f(t)在不同频率上的振幅和相位信息。
傅里叶变换的应用也非常广泛。
在信号处理中，傅里叶变换可以用来将一个时域信号转换成频域信号，在频域进行滤波、增强和分析操作。
在图像处理中，傅里叶变换可以用来进行图像的频域滤波、边缘检测和压缩等操作。
在物理学中，傅里叶变换可以用来研究波动、振动和量子力学等问题。
傅里叶级数和傅里叶变换是相互联系的。
当一个函数是周期函数时，傅里叶级数可以通过傅里叶变换来计算。
而当一个函数是非周期函数时，傅里叶变换可以通过傅里叶级数来近似计算。
总之，傅里叶级数和傅里叶变换是数学分析的两个重要工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域具有广泛的应用。
傅里叶级数及其应用
傅里叶级数及其应用一、傅里叶级数的定义与性质傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，它由三角函数的线性组合构成。
该级数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
傅里叶级数的基本性质包括：1.任何周期函数都可以表示为无穷级数；2.傅里叶级数的系数是该函数的傅里叶系数；3.傅里叶级数在数学上具有收敛性，即级数的和收敛于原函数；4.傅里叶级数具有唯一性，即不同的周期函数不能用相同的傅里叶级数表示。
二、傅里叶级数的展开与系数傅里叶级数的展开需要使用三角函数的正交性，通过正交分解法得到级数的系数。
对于一个具有周期的函数，其傅里叶级数的展开可以表示为：f(t)=a0+Σ(an*cos(2πnft)+bn*sin(2πnft))其中，f是函数的周期，an和bn是傅里叶系数，可以通过积分计算得到。
三、傅里叶变换与逆变换傅里叶变换是一种将时域函数转换为频域函数的方法，而逆变换则是将频域函数转换为时域函数的方法。
通过傅里叶变换与逆变换，我们可以更好地理解函数的性质及其在时域和频域中的表现。
四、傅里叶级数在信号处理中的应用在信号处理领域，傅里叶级数被广泛应用于频谱分析和信号调制等方面。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而更好地分析信号的频率成分和特征。
此外，傅里叶级数还被用于数字信号处理中的离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）算法。
五、傅里叶级数在图像处理中的应用在图像处理中，傅里叶变换被广泛应用于图像的频域分析和滤波等方面。
通过傅里叶变换，我们可以将图像从空间域转换到频域，从而更好地分析图像的频率成分和特征。
例如，我们可以使用傅里叶变换进行图像压缩和去噪，以及实现图像的滤波和增强。
六、傅里叶级数在数值计算中的应用在数值计算中，傅里叶级数被广泛应用于求解偏微分方程和积分方程等方面。
通过傅里叶变换，我们可以将问题从时域或空间域转换到频域，从而简化问题的求解。
此外，傅里叶级数还被用于数值求解振动问题和热传导问题等。
高等数学傅里叶级数展开公式
高等数学傅里叶级数展开公式（最新版）目录1.傅里叶级数的概念与背景2.傅里叶级数展开公式的形式3.傅里叶级数展开的例子4.傅里叶级数展开的意义和应用正文一、傅里叶级数的概念与背景傅里叶级数是一种特殊的三角级数，由法国数学家傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）在研究偏微分方程的边值问题时提出。
傅里叶级数将一个周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的叠加，从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。
二、傅里叶级数展开公式的形式傅里叶级数展开公式可以表示为：f(x) = a0/2 + Σ[an*cos(nx) + bn*sin(nx)] （n 从 0 到无穷大）其中，f(x) 是待求函数，an 和 bn 分别是傅里叶级数的系数，n 是积分次数，x 是自变量。
三、傅里叶级数展开的例子例如，对于函数 f(x) = e^(-πx^2)，我们可以将其展开为傅里叶级数：f(x) = ∑[an*cos(nx) + bn*sin(nx)] （n 从 0 到无穷大）利用傅里叶级数的性质，我们可以计算出系数 an 和 bn：an = (1/π) * ∫[e^(-πx^2) * cos(nx)] dx（n 从 0 到无穷大）bn = (1/π) * ∫[e^(-πx^2) * sin(nx)] dx（n 从 0 到无穷大）通过计算，我们可以得到傅里叶级数的展开式。
四、傅里叶级数展开的意义和应用傅里叶级数展开的意义在于将一个复杂的周期函数分解为一系列简单的三角函数的叠加，从而便于研究和分析。
傅里叶级数在许多领域都有广泛的应用，如信号处理、图像处理、量子力学等。
例如，在信号处理中，傅里叶级数可以用来将一个信号分解为一系列不同频率的正弦波，从而实现信号的频谱分析。
傅里叶级数
傅里叶级数
如果函数f(x)以2l为周期，或者只定义在[-l,l]上，且函数f(x)在[-l,l]上可积。
则函数f(x)能够展开成如下形式的三角级数：
则称右边的级数为函数f(x)的傅里叶级数，相关的系数为傅里叶系数。
注意上方标绿的地方，此处用到的是单约号而不是等号！意思是，对于x的某个值，傅里叶级数可能收敛，但收敛值与f(x)的值不一定相等。
求一个函数的傅里叶级数，自然要求出傅里叶级数中的系数。
为了能够更好地帮助大家理解系数的由来，小编先给出推导，首先求a0，具体
过程如下：
考虑到a0的几何意义，因此在三角级数中用到的是a0/2，此处回答了第1节的问题。
可以根据类似的方法求出傅里叶级数中其它的系数，具体过程如下：。
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f a0 an cos nx ， 2 n 1第 3 页/共 11 页 Nhomakorabea其中
1 π 2 π f ( x)cos nxdx f ( x)cos nxdx, n 0 π π π 0 这称为 f 的余弦级数 。 an
例 13.1.3：求 f ( x) x （ x (0, π) ）的正弦级数和余弦级数。 解：正弦级数， f ( x) x ， x (π, π) ，
x(t ( )) y(t ( ))
2
2
,
y (t ( ))
x(t ( ))
L2 。 4π 2
2
y (t ( ))
2
于是
X ( )
因此
2
Y ( )
2
2π L2 2 2 X ( ) Y ( ) d 。 2π 0
2 2 2 2 π n an bn n n n 1
2π n an n bn n 2 A
n 1
其中不等式中的等号成立当且仅当 n 1 ， an bn n n 0 （ n 2 ） ，
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2π t L 0
x(u) 2 y(u) 2 du ，于是
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x X ( ) x(t ( )) ， y Y ( ) y(t ( )) ，
满足
1 (t ) 2π L 1 Y ( ) y (t ( ))t ( ) y (t ( )) (t ) 2π L X ( ) x(t ( ))t ( ) x(t ( )) x(t ( ))
第 13 讲 Fourier 级数
13.1 Fourier 级数的定义 简谐振动可由三角函数来表达
x(t ) A sin t 0
其中 t 是时间， A 是振幅，
2π 是频率， T 是周期， 0 是初始相位。这 T
描述了一种最简单的连续的周期性变化。是否可以利用正余弦函数来刻画 一般的周期性变化呢？ 假设 f 是一个周期为 T 的函数， f 是否为一组周期为 T 的简谐振动的叠加 呢？即
bn 1 π 2 π 2 x sin nxdx x sin nxdx (1) n1 ， π π π 0 n
2 所以 f 的正弦级数为 (1)n 1 sin nx 。 n n 1
余弦级数， f ( x) | x | ， x (π, π) ，
a0 1 π 2 π | x | dx xdx π π π π 0
π 4 cos(2n 1) x 2 n 1 (2n 1)2 π
π 4 f (0) 0 ， 2 n 1 (2n 1)2 π
于是
1 π2 (2n 1)2 8 。■ n 1
例 13.1.7：设 : ( x(t ), y(t )) （ t [0, T ] ）是一条光滑封闭曲线， x(T ) x(0) ， y(T ) y(0) 。 的周长为 L ，所围区域面积为 A 。则
于是
1 π2 2 6。 m 1 m
取 x 0 ，则
1 2 4 π (1)m 2 f (0) 0 ， 3 m m 1
于是
(1)m1 1 2 m2 12 π 。■ m 1
例 13.1.6： 由 f ( x) x（ x (0, π) ） 的余弦级数 得到
an
1 π 2 π 2 | x | cos nxdx x cos nxdx 2 (1)n 1 ， π π π 0 n π
所以 f 的余弦级数为
π 4 cos(2n 1) x 。■ 2 n 1 (2n 1)2 π
定理 13.1.4 如果 2π 周期函数 f 满足以下条件之一， (1) f 逐段连续且在各端点处有单侧极限、逐段可微且在各端点处有单 侧导数； (2) （Dirichlet） f 逐段单调（即 f 只有有限多个单调区间） ； 则 f 的 Fourier 级数在任何 x 处收敛于
如果上式成立，如何计算系数 an 和 bn ？后一个问题是由 Euler 解决的。将 上式两端乘以 cos mx ，然后在 [π, π] 上积分，得到
a0
π f ( x) cos mxdx 2 π cos mxdx
π π an cos nx cos mxdx bn sin nx cos mxdx π π n 1
1 π 2 2 x dx π 2 , π π 3 1 π 2 4 am x cos mxdx (1) m 2 , π π m π 1 bm x 2 sin mxdx 0. π π a0
因此 f 的 Fourier 级数为
1 2 4 π (1)m 2 cos mx 。■ 3 m m 1
这时面积
A Y ( ) X ( )d 。
0 2π
设
X ( )
a0 an cos n bn sin n ， Y ( ) 0 n cos n n sin n 。 2 n 1 2 n 1
于是
X ( ) nan sin n nbn cos n ， Y ( ) n n sin n n n cos n ，
am 1 π f ( x) cos mxdx 。 π π
1 π f ( x)sin mxdx 。 π π
类似可得
bm
定义 13.1.1（Fourier 级数） 称
a0 an cos nx bn sin nx 为函数 f 的 Fourier 级数 ，其中 2 n 1
π
π
当 m 0 时，
π
π
f ( x)cos mxdx πa0 ，于是
a0 1 π f ( x) cos mxdx 。 π π
对一般的 m ，
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2π, m n 0 cos(m n) x cos(m n) x dx π , m n 0 π cos nx cos mxdx π 2 0, m n π π sin( m n) x sin( n m) x dx 0, π sin nx cos mxdx π 2
f
bn sin nx,
n 1
bn
1 π 2 π f ( x)sin nxdx f ( x)sin nxdx 。 π π π 0
这称为 f 的正弦级数 。 如果对 f 作偶延拓： f ( x) f ( x) ， x (π,0) ， 则延拓所得函数的 Fourier 级数为
如果 f 可以表示成上述三角级数的形式，如何计算系数 an 和 bn 呢？
周期为 T 的函数 f 可经变量代换 u
2π x 变成一个周期为 2π 的函数 g ： T
T g (u ) f u 。 2π 因此上述问题可以转化为：对周期为 2π 的函数 f ，是否成立
f ( x) a0 an cos nx bn sin nx ？ 2 n 1
n 1
同理可得
2 2 2 2 2 2 2 2 0 X ( ) d π n an bn ， 0 Y ( ) d π n n n ，
2π
2π
n 1
n 1
所以
2π L2 2 2 2 2 2 2 X ( ) Y ( ) d π n 2 an bn n n 2π 0 n 1
f ( x 0) f ( x 0) （ f ( x) ， 如果 f 2
在 x 处连续） 。 如果 2π 周期函数 f 具有二阶连续导函数，则
f ( x) nan sin nx nbn cos nx ，
n 1
其中 an , bn 是 f 的 Fourier 系数。
L2 4π A ，
等式成立当且仅当 是个圆。因此在给定周长的曲线中，圆所围区域面积 最大。 证明：不妨设 随参数 t 增长逆时针旋转。
L
T 0
x(t )
2
y(t ) dt ， A y(t ) x(t )dt 。
2
T
0
取 的新参数 (t )
a1 1 且 b1 1 ，此时
a0 a1 cos b1 sin ， Y ( ) 0 b1 cos a1 sin ， 2 2 即 是个圆。■
X ( )
注：等周问题（isoperimetirc problem）是个古老的数学问题，古希腊时期 人们就知道等周问题的答案是圆，但严格的数学证明直到 19 世纪才出现。 例 13.1.8：求微分方程 y y sin x 的 2π 周期解。 解：设 y( x)
π π
π cos mxdx 0, π sin nx sin mxdx π
所以
π π
π π
π
π, m n 0 cos(m n) x cos(m n) x dx 2 0, m n or m n 0
f ( x)cos mxdx πam ，
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注：若 f 是偶函数，则 f 的 Fourier 级数中只出现余弦函数。类似的，若 f 是奇函数，则 f 的 Fourier 级数中只出现正弦函数。 正弦级数和余弦级数 对于 (0, π) 上的函数 f ，我们可以有多种方式把它延拓至 (π,0) ，从 而得到 (π, π) 上的函数。 如果对 f 作奇延拓： f ( x) f ( x) ， x (π,0) ， 则延拓所得函数的 Fourier 级数为