2020届高三数学(理)“小题精练”8
2020届高三数学(理)“小题精练”4
2020届高三数学（理）“小题速练”413. 14. 15. 16.一、单选题1．若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ）A ．{|14}x x <„B ．{|14}x x <<C ．{1,2,3}D ．{2,3}2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”是假命题C ．若命题p 、q ⌝均为假命题，则命题p q ⌝∧为真命题D ．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()f x 是奇函数”的必要不允分条件 3．已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S =，330n S =，4176n S -=，则n =（ ） A ．14 B ．15C ．16D ．175．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．6．已知向量b =r ，问量a r为单位向量，且1a b ⋅=r r ，则2a b -r r 与2a r 的夹角余弦值为（ ）A ．12B C ．12-D ．7．平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点00(,)P x y ，且(,0)2απ∈-，3cos()65πα+=，则0x 的值为（ ）A B C D 8．关于函数()ln(1)ln(3)f x x x =+--有下述四个结论：①()f x 在(1,3)-单调递增 ②()y f x =的图像关于直线1x =对称 ③()y f x =的图像关于点(1,0)对称 ④()f x 的值域为R 其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）ABC ．43D ．53 10．在ABC ∆中，60BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且有23AD AC t AB =+u u u r u u u r u u u r.若||6AB =uuu r ，则||BC =u u u r（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数2()sin 2cos1(0)2xf x x ωωω=-+>在区间(1,2)上单调，则ω的取值范围是（ ） A ．30,8π⎛⎤⎥⎝⎦B ．30,4π⎛⎤⎥⎝⎦C ．3370,,848πππ⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦U D ．330,,84πππ⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦U 12．已知()(ln 1)(ln 1)f x ax x x x =++++与2()g x x =的图像至少有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．122⎛- ⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．二、填空题13．曲线2()cos2f x x x =-在点(0,(0))f 处的切线方程为___________.14．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，32a =，2106a a =，则6S =____________.15．函数()4sin 3cos f x x x =-，且对任意实数x 都有()(2)()f x f x R αα=-∈，则cos2=α________.16．已知实数α，β满足3e e αα=，4(ln 1)e ββ-=，其中e 是自然对数的底数，则αβ=___________.2020届高三数学（理）“小题速练”4（答案解析）一、单选题1．若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ）A ．{|14}x x <„B ．{|14}x x <<C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】{|44}{3,2,1,0,1,2,3}A x x =∈-<<=---Z ，{|1}U B x x =>ð，(){2,3}U A B =I ð.2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”是假命题C ．若命题p 、q ⌝均为假命题，则命题p q ⌝∧为真命题D ．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()f x 是奇函数”的必要不允分条件 【答案】B【解析】选项A: 命题“若2430x x -+=，则3x =”的 逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，故正确；选项B: (0,)x ∀∈+∞， 022()()13233x x x <==，而0,323xxx>∴<，命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <” 为真，判断错误；选项C: 若命题p 、q ⌝均为假命题， 则命题p ⌝、q 均为真命题， 故命题p q ⌝∧为真命题，判断正确； 选项D: ()f x 是定义在R 上的函数， 若“()f x 是奇函数”则“(0)0f =”正确； 而“(0)0f =”，()f x 不一定是奇函数， 如2()f x x =，选项D 判断正确.3．已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】D【解析】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S =，330n S =，4176n S -=，则n =（ ） A ．14 B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】∴123422a a a a +++=，4123154n n n n n n S S a a a a -----=+++= ∴14()176n a a +=，∴144n a a +=∴由1()2n n n a a S +=得443302n ⨯=，∴15n =. 5．函数2sin 2xy x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求6．已知向量b =r ，问量a r为单位向量，且1a b ⋅=r r ，则2a b -r r 与2a r 的夹角余弦值为（ ）A ．12B C ．12-D ．【答案】A【解析】记OA a =u u u r r ，2OC a =u u u r r ，OB b =u u u r r，由||1a =r ，||2b =r ，且1a b ⋅=r r 知60AOB ︒∠=，∴2a b BC -=r r u u u r，||||2OC OB ==u u u r u u u r，60BOC ︒∠=，∴OBC ∆为正三角形，60C ︒∠=，∴2,260a b a ︒<->=r r r，7．平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点00(,)P x y ，且(,0)2απ∈-，3cos()65πα+=，则0x 的值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】因为(,0)2απ∈-，3cos()65πα+=，所以(,)636πππα+∈-，若(0,)66ππα+∈，3cos()65πα+>>，所以不符合， 所以(,0)63ππα+∈-，4sin()65πα+=-所以03414cos cos ()66525210x ππαα-⎡⎤==+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦. 8．关于函数()ln(1)ln(3)f x x x =+--有下述四个结论：①()f x 在(1,3)-单调递增 ②()y f x =的图像关于直线1x =对称 ③()y f x =的图像关于点(1,0)对称 ④()f x 的值域为R 其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】()f x 的定义域是(1,3)-，1()ln 3x f x x+=-， 令14()1(0,)33x t x x x +-==-∈+∞-- 所以()t x 在(1,3)-单调递增，()ln ()f x t x =在(1,3)-单调递增，且值域为R又因为2(1)ln2x f x x ++=-，2(1)ln2xf x x--=+ 所以(1)(1)f x f x +=--，(1)(1)f x f x +≠- 所以①③④正确，②是错误的.9．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A BC ．43D ．53【答案】C【解析】依题意，sin 2sin A B =，得2BC AC =，222222cos cos 222a c b b c a a B b A c c c+-+-+=+==即2AB =，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴 建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,),0C x y x ¹， 由2BC AC =，则C 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为22516(),039x y x -+=?，边AB 高的最大值为43，∴max 4()3ABC S ∆=.10．在ABC ∆中，60BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且有23AD AC t AB =+u u u r u u u r u u u r.若||6AB =uuu r ，则||BC =u u u r（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由B 、C 、D 三点共线知13t =，2133AD AC AB =+u u ur u u u r u u u r ,2BD DC =u u u r u u u r，即2,2ABD ACD BD DC S S ∆∆=∴=，0011sin 30,sin 3022ABD ACD S AB AD S AC AD ∆∆∴=⨯⨯=⨯⨯， 26AB AC ∴==，所以3AC =，由余弦定理得BC =11．已知函数2()sin 2cos 1(0)2xf x x ωωω=-+>在区间(1,2)上单调，则ω的取值范围是（ ） A ．30,8π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3370,,848πππ⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦UD ．330,,84πππ⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦U 【答案】C【解析】化简得2()sin 2cos 1sin cos )24xf x x x x x ωπωωωω=-+=-=-因为()f x 在区间(1,2)上单调，所以212T πω=-…即0ωπ<„ 令7(,2)(,)44444t x πππππωωω=-∈--⊆- 所以0242ωπππω<⎧⎪⎨-⎪⎩„„或0423242ωπππωππω⎧⎪<⎪⎪-⎨⎪⎪-⎪⎩„…„或03427244ωπππωππω⎧⎪<⎪⎪-⎨⎪⎪-⎪⎩„…„ 所以ω的取值范围是3370,,848πππ⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦U . 12．已知()(ln 1)(ln 1)f x ax x x x =++++与2()g x x =的图像至少有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A．122⎛- ⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D．【答案】B【解析】方程ln 1ln 1()()()(1)1x x f x g x a x x++=⇔++=至少有三个不等的实根令ln 1()x t x x +=得2()(1)1(1)10a t t t a t a ++=⇔+++-=① 冈为2ln ()x t x x -'=，所以ln 1()x t x x+=在(0,1)上单调递增， 在(1,)+∞上单调递减且()t x 的最大值(1)1t =，x 轴是()t x 的渐近线. 所以方程①的两个根1t ，2t 的情况是：（∴）若12,(0,1)t t ∈且12t t ≠，则()f x 与()g x 的图像有四个不同的公共点则12121212000(1)(1)0(1)(1)0t t t t t t t t ∆>⎧⎪+>⎪⎪>⎨⎪-+-<⎪-->⎪⎩a ⇔无解 （∴）若1(0,1)t ∈且21t =或20t =，则()f x 与()g x 的图像有三个不同的公共点，则a 无解（∴）若1(0,1)t ∈且20t <，则()f x 与()g x 的图像有三个不同的公共点 令2()(1)1h t t a t a =+++-则(0)01011(1)02102h a a h a ⎧<-<⎧⇔⇔-<<⎨⎨>+>⎩⎩.二、填空题13．曲线2()cos2f x x x =-在点(0,(0))f 处的切线方程为___________. 【答案】1y =-【解析】()22sin 2f x x x '=+，∴(0)0f '=，又(0)1f =- 故()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为1y =-.14．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，32a =，2106a a =，则6S =____________.【答案】632【解析】因为{}n a 为等比数列，所以2106210a a a a =⋅=，即21,2a q ==，∴112a =∴66161(1)63(1)12a q S a q q -==-=-. 15．函数()4sin 3cos f x x x =-，且对任意实数x 都有()(2)()f x f x R αα=-∈，则cos2=α________.【答案】725-【解析】依题意α为()f x 极值点，()0f α'=，∴4cos 3sin 0αα+=∴4tan 3α=-，∴221tan 7cos21tan 25ααα-==-+. 16．已知实数α，β满足3e e αα=，4(ln 1)e ββ-=，其中e 是自然对数的底数，则αβ=___________. 【答案】4e【解析】因为3e e αα=，4(ln 1)e ββ-=所以ln 3αα+=，ln ln(ln 1)4ββ+-=即ln 30αα+-=，ln 1ln(ln 1)30ββ-+--=所以α，ln 1β-均为方程ln 30x x +-=的根， 又因为方程ln 30x x +-=的根唯一，所以4ln 13ln ln 1ln ln 4e αβαβαβαβ=-⇔-=-⇔+=⇔=.。
2020届高考冲刺数学(理)“小题精练”(11)含详细解答
2020届高三数学（理）“小题速练”1113. 14. 15. 16.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1＋2z1－z ＝i ，则z ＝( )A.15＋35i B ．15－35iC ．－15＋35iD ．－15－35i2．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2)B ．(－1，0)C ．(－3，2)D ．(－1，3)3．为了得到函数y ＝sin 2x 的图象，可以将y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度4．已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．05．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A.17532里 B ．1 050里 C.22 57532里D ．2 100里6．已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(1，2]7．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为( )A.112 B ．12C.13D ．168．为了了解现在互联网行业的就业情况，某高校教授组织学生对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图(如图1)和90后从事互联网行业者岗位分布图(如图2)，则下列结论中不一定正确的是(注：80后是指在1980～1989年(包含1980年与1989年)之间出生，90后是指在1990～1999年(包含1990年与1999年)之间出生，80前是指1979年及以前出生( )A ．互联网行业从业人员中80后的人数不超过一半B ．互联网行业中90后从事技术岗位的人数超过所有年龄从业者总人数的20%C ．互联网行业中90后从事市场岗位的人数不足所有年龄从业者总人数的10%D ．互联网行业中从事职能岗位的人数90后比80后多9．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．3 3D ．4310．已知向量a ，b 满足|a |＝4，b 在a 方向上的投影为－2，则|a －3b |的最小值为( ) A ．12 B ．10 C.10D ．211．设曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，在曲线C 上一点M (1，－4)处的切线记为l ，则切线l 与曲线C 的公共点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．412．设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，73 C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，83 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1＝－1，则a 4＝________． 14．将一个表面积为100π的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为________． 15．已知点M (0，2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若∠AMF ＝π2，则点B 的坐标为________．16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．2020届高三数学（理）“小题速练”11（答案解析）1．解析：选C.解法一：因为1＋2z 1－z ＝i ，所以1＋2z ＝i －i z ，所以z ＝i －12＋i ＝（i －1）（2－i ）5＝－15＋35i ，故选C.解法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为1＋2z1－z ＝i ，所以1＋2(a ＋b i)＝i －i(a ＋b i)，所以2a＋1＋2b i ＝b ＋(1－a )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＝b 2b ＝1－a，解得⎩⎨⎧a ＝－15b ＝35，所以z ＝－15＋35i ，故选C.2．解析：选B.由x 2－x －2<0得－1<x <2，即A ＝(－1，2)，由x 2＋3x <0得－3<x <0，即B ＝(－3，0)，所以A ∩B ＝(－1，0)，故选B.3．解析：选A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后得函数y ＝sin 2x 的图象，故选A.4.解析：选C.构造正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，如图，(1)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，BD ⊂平面ABCD ，但A 1D 与BD 不垂直，故①错；(2)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，l 是平面ADD 1A 1内的任意一条直线，l 与平面ABCD 内同AB 平行的所有直线垂直，故②正确；(3)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，但A 1D 与平面ABCD 不垂直，故③错；(4)当过交线上一点时，④不一定正确．故正确命题个数是1个．5．解析：选C.由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{a n }，则该匹马首日行走的路程为a 1，公比为12，则有a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1271－12＝700，则a 1＝350×128127，则马14天走的总路程为a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12141－12＝22 57532(里)．故选C.6．解析：选D.依题意，⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ＋a －2≤a ，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围为(1，2]，故选D.7．解析：选C.依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有C 24A 33＝36(种)分配方法，若小明必分配到甲村小学，有C 23A 22＋C 13A 22＝12(种)分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为1236＝13，故选C.8．解析：选D.对于A 选项，由饼状图可知80后人数占了41%，故A 正确；对于B 选项，90后从事技术岗位的人数所占比例为39.6%，由饼状图知90后人数占了56%，56%×39.6%＝22.176%>20%，故B 正确；对于C 选项，由饼状图知90后人数占了56%，56%×13.2%＝7.392%<10%，故C 正确；对于D 选项，因为80后从事职能岗位的人数所占比例不清楚，所以无法判断，故D 错误．故选D.9．解析：选D.由已知可得点P 的位置如图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4）＋2x 22－y 2＝1，消去y 得(1－2k 2)x 2＋(16k 2－8k )x －32k 2＋32k －10＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－16k 2＋8k 1－2k 2，x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2，因为P (4，2)为AB 的中点，所以－16k 2＋8k1－2k 2＝8，解得k ＝1，满足Δ>0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所以|AB |＝1＋k 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋12×82－4×10＝43，故选D. 10．解析：选B.由题意得：a ·b ＝－2×4＝－8， ∴|a －3b |＝|a |2－6a ·b ＋9|b |2＝9|b |2＋64. ∵b 在a 上投影为－2， ∴|b |min ＝2，∴|a －3b |2＝9|b |2＋64≥9×22＋64＝100， ∴|a －3b |＝|a －3b |2≥100＝10(－10舍去)， 即|a －3b |min ＝10.11．解析：选C.y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－12，所以切线l 的方程为12x ＋y －8＝0.联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y －8＝0y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，消去y ，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，所以(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1，所以切线l 与曲线C 有3个公共点．故选C.12．解析：选B.当－1<x ≤0时，0<x ＋1≤1，则f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时，0<x －1≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时，0<x －2≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3)，……由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…12（x ＋1）x ，－1<x ≤0，x （x －1），0<x ≤1，2（x －1）（x －2），1<x ≤2，22（x －2）（x －3），2<x ≤3，…由此作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知当2<x ≤3时，令22(x －2)(x －3)＝－89，整理，得(3x －7)(3x －8)＝0，解得x ＝73或x ＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73，故选B.13．解析：解法一：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)可得S 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1，即a 2＝2a 1＋1＝－1.根据S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2) ①，知S n ＋1＝3S n ＋2n ＋1－3 ②，②－①可得，a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)．两边同时除以2n＋1可得a n ＋12n ＋1＝32·a n 2n ＋12(n ≥2)，令b n ＝a n 2n ，可得b n ＋1＝32·b n ＋12(n ≥2)．∴b n＋1＋1＝32(b n ＋1)(n ≥2)，数列{b n ＋1}是以b 2＋1＝34为首项，32为公比的等比数列．∴b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫32n －2·34(n ≥2)，∴b n ＝12·⎝⎛⎭⎫32n －1－1(n ≥2)． 又b 1＝－12也满足上式，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1·12－1(n ∈N *)，又b n ＝a n 2n ，∴a n ＝2n b n ，即a n ＝3n －1－2n . ∴a 4＝33－24＝11.解法二：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1＝－1，知S 2＝3S 1＋4－3，∴a 2＝－1.S 3＝3S 2＋8－3，∴a 3＝1.S 4＝3S 3＋16－3，∴a 4＝11.答案：1114．解析：解法一：如图，设球的球心为O ，半径为R ，则4πR 2＝100π，解得R ＝5.由题意知圆柱为球O 的内接圆柱，设圆柱底面圆的圆心为O 1，半径为r ，高为h ，A 是圆柱底面圆周上一点，连接OO 1，OA ，O 1A ，则OO 1＝OA 2－O 1A 2＝R 2－r 2＝25－r 2(0<r <5)，则圆柱的高h ＝225－r 2，所以圆柱的体积V ＝πr 2h ＝2πr 225－r 2＝2π25r 4－r 6.令y ＝f (r )＝25r 4－r 6(0<r <5)，再令t ＝r 2，则y ＝g (t )＝25t 2－t 3(0<t <25)，则g ′(t )＝50t －3t 2＝t (50－3t )，易知g (t )在⎝⎛⎭⎫0，503上单调递增，在⎝⎛⎭⎫503，25上单调递减，所以当t ＝503时，函数g (t )取得最大值，即f (r )取得最大值，也即是圆柱的体积取得最大值，此时r 2＝503，h ＝225－503＝1033.解法二：如图，设球的球心为O ，半径为R ，则4πR 2＝100π，解得R ＝5.设圆柱的高为x (0<x <10)，圆柱底面圆的圆心为O 1，A 是圆柱底面圆周上一点，连接OO 1，OA ，O 1A ，则OO 1＝x2，圆柱底面圆的半径O 1A ＝R 2－OO 21＝ 25－x 24，所以圆柱的体积V ＝π⎝⎛⎭⎫25－x 24·x＝π⎝⎛⎭⎫25x －x 34(0<x <10)，则V ′＝π⎝⎛⎭⎫25－3x 24，易知函数V ＝π⎝⎛⎭⎫25x －x 34(0<x <10)在⎝⎛⎭⎫0，1033上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1033，10上单调递减，所以当x ＝1033时，圆柱的体积V 取得最大值．答案：103315．解析：解法一：由抛物线方程y 2＝4x 知焦点F (1，0)．如图易知点A 是第一象限的点，点B 是第四象限的点，因此设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0(y 0>0)，所以MA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0－2，MF →＝(1，－2)．因为∠AMF ＝π2，所以MA →⊥MF →，则MA →·MF →＝0，所以y 204×1＋(y 0－2)×(－2)＝0，整理，得y 20－8y 0＋16＝0，解得y 0＝4，所以A (4，4)，所以直线AB 的方程为y＝4－04－1(x －1)，即x ＝34y ＋1，代入抛物线方程，得y 2＝4⎝⎛⎭⎫34y ＋1，解得y ＝4(舍去)或y ＝－1，所以x ＝14，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1. 解法二：由抛物线方程y 2＝4x 知焦点F (1，0)，所以k MF ＝2－00－1＝－2.因为∠AMF ＝π2，所以MA ⊥MF ，所以直线MA 的斜率为12，所以直线MA 的方程为y ＝12x ＋2，与抛物线方程y 2＝4x联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝4，所以直线AB 的方程为y ＝4－04－1(x －1)，即x ＝34y ＋1，代入抛物线方程，得y 2＝4⎝⎛⎭⎫34y ＋1，解得y ＝4(舍去)或y ＝－1，所以x ＝14，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1. 答案：⎝⎛⎭⎫14，－116．解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140>120，所以优惠10元，顾客实际需要付款130元．(2)设顾客一次购买的水果总价为m 元．由题意易知，当0<m <120时，x ＝0，当m ≥120时，(m －x )×80%≥m ×70%，得x ≤m 8对任意m ≥120恒成立，又m8≥15，所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)15。
2020届高三数学(理)“小题精练”13
2020 届高三数学（理）“小题速练” 13题号123456789101112答案一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．4．随着我国经济实力的不断提升， 居民收入也在不断增加． 某家庭 2019 年全年的收入与 2015 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变 化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是 （ ）A ．该家庭 2019年食品的消费额是 2015 年食品的消费额的一半B ．该家庭 2019 年教育医疗的消费额与 2015 年教育医疗的消费额相当C ．该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 2015 年休闲旅游的消费额的五倍D ．该家庭 2019 年生活用品的消费额是 2015 年生活用品的消费额的两倍5．某学校制订奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的，奖励 （单位：元 ）的计算公式1．已知复数 z ＝ 1＋2i2＋i （其中 i 为虚数单位 ），则 z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限 C ．第三象限B ．第二象限D ．第四象限2．已知全集 U ＝ { x||x|<2} ，集合 P ＝{x|log 2x<1} ，则 ?U P ＝( )A ． （－2，0]B ．（－2，1]C ．(0，1] D ．[1，2)3． 已知 {a n } 为等比数列，若 a 3＝2， a 5＝8，则 a 7＝（ ） A ． 64 B ．32 C ． ± 64D ．± 32为f(n)＝k(n)(n－10)(其中n 是指任课教师所任学科成绩的平均分与本省该科成绩平均分之0(n≤1)0 ，100( 10<n≤1)5 ，差)，而k(n)＝200( 15< n≤2)0 ，现有甲、乙两位数学任课教师，300( 20<n≤2)5 ，400( n>25)，甲所教的学生高考数学成绩的平均分超出本省高考数学成绩平均分18 分，乙所教的学生高考数学成绩平均分超出本省高考数学成绩平均分21 分，则乙所得奖励比甲所得奖励多()A ．600 元B ．900 元C．1 600元D．1 700 元6．2019年 1 月1日，向阳轨道交通 1 号线试运行，向阳轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过向阳地铁APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，王和小李至多一人被选中的概率为( )B．D．准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小7.一个正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中( )A．AB∥CDC．AB⊥CD A，B，C，D 为原正方体的顶点，B ．AB 与CD 相交D ．AB 与CD 所成的角为608.函数f(x)的部分图象如图所示，则A ．f(x)＝x2(x2－π2)C．f(x)＝xsin x f(x)的解析式可以是( ) B ．f(x)＝xcos x＋πD ．f(x)＝x2＋cos x－19．若log2x＝log3y＝log5z<－1，则( )A．2x<3y<5z C．3y<2x<5zB．5z<3y<2xD ．5z<2x<3yπ10．若函数f(x)＝sin ωx－6 (ω>0)在［0，π上］的值1－12， 1 ，则ω的最小值为(2A.3 B．D．11．设F1，F2分别是椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，A.6B 两点，且 A →F 1·A →F 2＝0，A →F 2＝2F →2B ，则椭圆 E 的离心率为 （ ）2 A.3 D ．12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理： “幂势既同， 则积不容异． ”意思是： 两个等高的几何体若在所有等高处的水 平截面的面积相等， 则这两个几何体的体积相等． 已知曲线 C ：y ＝x 2，直线 l 为曲线 C 在点 （1， 1）处的切线，如图所示，阴影部分为曲线 C 、直线 l 以及 x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕 y 轴旋转一周所得到的几何体为 T.给出以下四个几何体：图①是底面直径和高均为图②是将底面直径和高均为 1 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何 体； 图③是底面边长和高均为 1 的正四棱锥；图④是将上底面直径为 2，下底面直径为 1，高为 1 的圆台挖掉一个底面直径为 2，高 为1 的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与 T 的体积相等的是 （ ）A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．已知平面向量 a ，b 满足 a ＝（1， 3），|b|＝3，a ⊥（a －b ），则 a 与 b 夹角的余弦值 为 ____ ．1 14. x 1－1 （ x ＋ 1）5的展开式中， x 的系数为 _____ （用数字作答 ）．xx 2－2ax ＋9， x ≤115．已知函数 f （x ）＝ 4，若 f （x ）的最小值为 f （1） ，则实数 a 的取值范围是x ＋x ＋a ，x >116．已知一族双曲线 E n ：x 2－y 2＝2 0n 19（n ∈N *，且 n ≤2 019，） 设直线 x ＝2与 E n 在第B ．C.的圆锥：1一象限内的交点为A n，点A n在E n的两条渐近线上的射影分别为B n，C n.记△ A n B n C n的面积为a n，则a1＋a2＋a3＋⋯＋a2 019 ＝________ ．＝602020 届高三数学（理）“小题速练” 13 （答案解析）1．解析： 选 D.z ＝12＋＋2i i ＝（（12＋＋2i i ））（（22－－i i ））＝54＋53i ，故 z ＝45－53i ，z 在复平面内对应的点为 54，－ 53 ，故在第四象限，故选 D.2．解析：选 A.U ＝｛x||x|<2｝＝｛x|－2<x<2｝ ，P ＝｛x||log 2x<1｝＝｛x|0<x<2｝，故?U P＝（－2， 0] ．故选 A.3．解析： 选 B.解法一：设 ｛a n ｝ 的公比为 q ，则4 ，a 1q 4＝81 a1＝ ，6 1 3 ∴ 2 ，故 a 7＝ a 1q 6＝2×43＝32.q 2＝ 42 解法二： ∵｛a n ｝为等比数列，∴ a 3，a 5，a 7 成等比数列，即 a 52＝a 3a 7，解得 a 7＝32.故选B.4．解析： 选 C.设该家庭 2015 年全年收入为 a ，则 2019 年全年收入为 2a.对于 A ，2019年食品消费额为 0.2 ×a 2＝ 0.4a ，2015年食品消费额为 0.4a ，故两者相等， A 不正确．对于 B ，2019年教育医疗消费额为 0.2 ×a 2＝0.4a ，2015年教育医疗消费额为 0.2a ，故 B 不正确．对 于C ，2019年休闲旅游消费额为 0.25×2a ＝0.5a ，2015年休闲旅游消费额为 0.1a ，故 C 正确．对于D ，2019年生活用品的消费额为 0.3×2a ＝0.6a ，2015年生活用品的消费额为 0.15a ，故 D 不正确．故选 C.5．解析：选 D.因为 k （18）＝200，所以 f （18）＝ 200 × （1－8 10）＝1 600.又 k （21）＝ 300，所以 f （21）＝300×（2－1 10）＝3 300，所以 f （21）－f （18）＝3 300－1 600＝1 700.故选 D.6．解析： 解法一：选 D.若小王和小李都没被选中，则有 C 22种方法，若小王和小李有一C 22＋ C 12C 21 5人被选中，则有 C 12C 12种方法，故所求概率 P ＝ 2＋C 242 2＝56.15解法二：若小王和小李都被选中，则有 1 种方法，故所求概率 P ＝ 1－ C 12＝ 56.故选 D.7． 解析： 选 D. 如图，把展开图中的各正方形按图 1 所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图 2所示的直观图，可见选项 A ，B ，C 不正确． ∴正确 选项为 D.图2中，BE ∥CD ，∠ABE 为AB 与CD 所成的角， △ABE 为等边三角形， ∴∠ABE8．解析： 选 C.对于选项 A.当 x ＝1 时， f （1） ＝ 1－π2<0 ，与函数图象不符，故排除a 1q 2＝2A；＝60对于选项B，由函数f（x）的部分图象关于y 轴对称可知，该函数是偶函数，故排除B（也可通过f（0）＝π≠0排除B）；对于选项D，当x＝π时，f（π＝）π2－2≠0，与函数图象不符，故排除 D.故选 C.9．解析：选 B.设log 2x＝log 3y＝log5z＝t，则t<－1，x＝2t，y＝3t，z＝5t，因此2x ＝2t 1，3y＝3t＋1，5z＝5t＋1，又t< －1，∴ t＋1<0 ，由幂函数y＝x t＋1的单调性可知5z<3y<2 x.故选 B.πππ1 10．解析：选 A.∵0≤x≤π，ω>0，∴－6≤ωx－6≤ωπ－6.又f（x）的值域为－2，1 ，∴ωπ－π≥ π，∴ω≥ 2，故选 A.6 2 311．解析：选 C.设|B→F2|＝m，则|A→F2|＝2m.连接BF1，由椭圆的定义可知|A→F1|＝2a －2m，|B→F1|＝2a－m.由A→F1·A→F2＝0知AF1⊥AF2，故在Rt△ABF1中，（2a－2m）2＋（3m）2＝（2a－m）2，整理可得m＝a3.故在Rt△AF1F2 中，|A→F 1|＝43a，|A→F 2|＝23a，故23a＋43a＝4c2，解得e＝35. 故选 C.12．解析：选 A. 由题意y＝x2，所以y′＝2x，故直线l 的方程为y＝2x－1. 设直线y ＝t（0≤t≤1）与曲线y＝x2、直线y＝2x－1 的交点分别为P，Q，P（x1，y1）（x1≥0），y＝2x－1 t＋ 1由，解得x2＝t＋1，所以高度为t 处的旋转体y＝t 2设高度为t 处的水平截面的半径为r，即HD＝t，HG＝r，2 r 1－t 1－t 1－t 2则1r＝1－1t，所以r＝1－2t，所以高度为t处的水平截面的面积为S′＝π1－2t，所以S＝2S′，所以旋转体T 的体积与上述圆锥的体积相同，故选 A.13．解析：由a⊥（ a－b）可知a·a（－b）＝a2－a·b＝4－2×3co〈s a，b〉＝0，故cos〈a，b〉2.3.2答案：232y＝xQ（x2，y2），由，解得x1＝t，y＝t21114．解析： x －1 （ x ＋ 1）5的展开式中，含 x 的项为 x 1C 15（ x ）4和－ 1×C 53（ x ）2，故x 的系 xx数为 C 15－C 53＝－ 5.答案： － 5a ≥115．解析： 由题意可知要保证 f （x ）的最小值为 f （1），需满足 f （2）≥f （1），解得 a ≥2.答案：[2，＋ ∞）16．解析： 因为双曲线的方程为 x 2－y 2＝2 0n 19（n ∈N *，且 n ≤2 019），所以其渐近线方程为 y ＝ ±x ，设点 A n （2，y n ），则 4－y n 2＝2 0n 19（n ∈N *，且 n ≤2 019）．1 12 019 × 2 018505 4×2 01×9 2 01＋9 4×2 01×92答案： 5025记 A n （2，y n ） 到两条渐近线的距离分别为d 1，d 2，则 S △ A n B n C n ＝21d 1d 2＝12 |4－ yn2|＝2 019＝ n ，故 an ＝ n ，4 ＝ 4 ＝4×2 019，故 n ＝4×2 01，9因此 {a n } 为等差数列， 故 a 1＋a 2＋a 3＋⋯＋a 2 019。
2020届高三数学(理)“小题精练”25
2020届高三数学（理）“小题速练”2513. 14. 15. 16.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{y |y ＝2x ，x >0}，B ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[0，1) B.(1，2) C ．(1，2] D.[2，＋∞)2．已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D.第四象限3．已知函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的最大值为2 C ．f (x )的图象关于y 轴对称 D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减4．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且b 7＝a 7，则S 13＝( )A ．26 B.52 C ．78 D.1045．已知直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，若f (a )≥1，则a 的取值范围是( )A ．[1，2) B.[1，＋∞)C ．[2，＋∞) D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，y －x ≤2，x －2≤0，则yx ＋2的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) C ．[0，1] D.⎣⎡⎦⎤12，18．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是( )A ．n ≤2 015 B.n ≤2 018 C ．n ≤2 020 D.n ≤2 0219.古希腊雅典学派算学家欧多克索斯提出了“黄金分割”的理论．利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点．具体方法如下：(1)取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ，连接AC ；(2)以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；(3)以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E .点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为(参考数据：5≈2.236)( )A ．0.236B.0.382C ．0.472 D.0.61810．已知△ABC 的内角A ＝π3，AB ＝6，AC ＝4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OA ＝OB ＝OC .设AO ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，则m ＋n 的值为( )A.1118B.1C.718D.211．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，直线PF 2的斜率为－43，△PF 1F 2的面积为243，则双曲线的离心率为( )A ．3 B.2 C.3 D.212．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，∠ABC ＝60°，AC ＝2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P ABC 的体积为V 1，三棱锥O ABC 的体积为V 2.若V 1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为( )A.16π9B.64π9C.3π2D.6π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．14．已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则当x ＝________时，1x ＋1y 取得最小值，最小值为________．15．已知函数f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的偶函数，且f (x －1)为奇函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫292＝________．16．已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点．若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________．2020届高三数学（理）“小题速练”25（答案解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{y |y ＝2x ，x >0}，B ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[0，1) B.(1，2) C ．(1，2]D.[2，＋∞)解析：选C 集合A ＝(1，＋∞)，B ＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]，则A ∩(∁R B )＝(1，2]．故选C.2．已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限D.第四象限解析：选D 复数z ＝1＋i 1＋3i ＝（1＋i ）（1－3i ）4＝1＋34＋1－34i 在复平面内对应的点⎝⎛⎭⎪⎫1＋34，1－34在第四象限．故选D.3．已知函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的最大值为2 C ．f (x )的图象关于y 轴对称 D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减解析：选C f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，则f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，A 错误；f (x )的最大值为1，B 错误；f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，C 正确；f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，D 错误．故选C.4．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且b 7＝a 7，则S 13＝( )A ．26 B.52 C ．78D.104解析：选B 因为{a n }是等比数列，所以a 3a 11＝a 27＝4a 7，所以a 7＝4，则b 7＝4.又{b n }是等差数列，则S 13＝13（b 1＋b 13）2＝13b 7＝52.故选B.5．已知直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选D 若n ⊂α，m ∥n ，则m ∥α或m ⊂α；若n ⊂α，m ∥α，则m ∥n 或m ，n 是异面直线，所以“m ∥n ”是“m ∥α”的既不充分也不必要条件．故选D.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，若f (a )≥1，则a 的取值范围是( )A ．[1，2) B.[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B f (a )≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <2，e a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3（a 2－1）≥1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2≥4，则1≤a <2或a ≥2，即a 的取值范围是[1，＋∞)．故选B.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，y －x ≤2，x －2≤0，则yx ＋2的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) C ．[0，1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 约束条件对应的可行域如图中阴影部分所示，目标函数yx ＋2的几何意义是可行域内的点(x ，y )与点P (－2，0)连线的斜率k ，由图可得k P A ＝－2－02－（－2）＝－12，k PB ＝4－02－（－2）＝1，∴k P A ≤k ≤k PB ，即－12≤yx ＋2≤1.故选A.8．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是( )A ．n ≤2 015 B.n ≤2 018 C ．n ≤2 020D.n ≤2 021解析：选C 数列{a n }：12，－1，2，12，－1，2，…，以3为周期．当输出的是2时，n 为3的整数倍，当判断框内的条件是n ≤2 015时，输出时n ＝2 016，A 有可能；当判断框内的条件是n ≤2 018时，输出时n ＝2 019，B 有可能；当判断框内的条件是n ≤2 020时，输出时n ＝2 021，C 不可能；当判断框内的条件是n ≤2 021时，输出时n ＝2 022，D 有可能．故选C.9.古希腊雅典学派算学家欧多克索斯提出了“黄金分割”的理论．利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点．具体方法如下：(1)取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ，连接AC ；(2)以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；(3)以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E .点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为(参考数据：5≈2.236)( )A ．0.236 B.0.382 C ．0.472D.0.618解析：选A 由题意得，AB ＝2，BC ＝1，AC ＝5，AD ＝AE ＝5－1，BE ＝AB －AE ＝3－5，则BE ≤AF ≤AE 的概率P ＝AE －BE AB ＝（5－1）－（3－5）2＝5－2≈0.236.故选A.10．已知△ABC 的内角A ＝π3，AB ＝6，AC ＝4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OA ＝OB ＝OC .设AO ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，则m ＋n 的值为( )A.1118B.1C.718D.2解析：选A 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示平面直角坐标系，则A (0，0)，B (6，0)，C (2，23)．因为OA ＝OB ＝OC ，所以点O 为△ABC 的外接圆的圆心，即各边垂直平分线的交点．AB 的垂直平分线为x ＝3，AC 的垂直平分线为y ＝－33x ＋433，解得O ⎝⎛⎭⎫3，33，则⎝⎛⎭⎫3，33＝m (6，0)＋n (2，2 3)，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ＋2n ，33＝23n ，解得⎩⎨⎧m ＝49，n ＝16，则m ＋n ＝1118.故选A. 11．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，直线PF 2的斜率为－43，△PF 1F 2的面积为243，则双曲线的离心率为( )A ．3 B.2 C.3D.2解析：选B 设P (x ，y )，y >0，△PF 1F 2的面积S ＝12y |F 1F 2|＝6y ＝243，则y ＝4 3.又F 2(6，0)，直线PF 2的斜率43x －6＝－43，则x ＝5，所以P (5，43)．又F 1(－6，0)，由双曲线定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝112＋（43）2－ （－1）2＋（43）2＝13－7＝6，则a＝3，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2.故选B.12．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，∠ABC ＝60°，AC ＝2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P ABC 的体积为V 1，三棱锥O ABC 的体积为V 2.若V 1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为( )A.16π9B.64π9C.3π2D.6π解析：选B 如图所示，设△ABC 的外接圆圆心为O 1，半径为r ，则OO 1⊥平面ABC .设球O 的半径为R ，OO 1＝d ，则2r ＝AC sin ∠ABC ＝2sin 60°＝433，即r ＝233.当P ，O ，O 1三点共线时，⎝⎛⎭⎫V 1V 2max＝R ＋d d ＝3，即R ＝2d .由R 2＝d 2＋r 2，得R 2＝169.所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π9.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．解析：先分类，若甲同学选了牛，则乙同学有2种选法，丙同学有10种选法，共有1×2×10＝20种选法；若甲同学选了马，则乙同学有3种选法，丙同学有10种选法，共有1×3×10＝30种选法．故三位同学的选法共有20＋30＝50(种)．答案：5014．(2019·陕西榆林一模改编)已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则当x ＝________时，1x ＋1y取得最小值，最小值为________． 解析：由基本不等式可得x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立．∵正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，∴xy ≤12，当且仅当x ＝y ＝22时等号成立．∴1x ＋1y≥21xy≥ 22，当且仅当x ＝y ＝22时等号成立，∴1x ＋1y的最小值为2 2. 答案：2222 15．已知函数f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的偶函数，且f (x －1)为奇函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫292＝________．解析：由函数f (x －1)为奇函数，则函数f (x )关于点(1，0)对称，则有f (－x )＝－f (2＋x )，又由函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x )，所以f (x )＝－f (x ＋2)，变形可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f ⎝⎛⎭⎫292＝f ⎝⎛⎭⎫292－16＝f ⎝⎛⎭⎫－32.令x ＝12，得f ⎝⎛⎭⎫12－1＝－f ⎝⎛⎭⎫－12－1＝－f ⎝⎛⎭⎫32，则f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋⎝⎛⎭⎫123＝－78. 答案：－7816．已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点．若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________．解析：由题意知，直线EF 的斜率存在且不为0，故设直线EF 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，与抛物线方程y 2＝2px 联立，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋p 2k 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24.又F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，点M 为线段EF 的中点，得x 1＝p 22＝p 4.由|NF |＝x 2＋p 2＝12，得x 2＝12－p2.由x 1x 2＝p 4⎝⎛⎭⎫12－p 2＝p 24，得p ＝8或p ＝0(舍去)．答案：8。
2020年高考数学(理)必刷试卷8(解析版)
2020年高考必刷卷08数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，然后利用交集的定义可求出集合A B I . 【详解】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x xx=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小. 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p【答案】B 【解析】令i(,)z a b a b =+∈R ，则由2211i i a b R z a b a b-==∈++得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z R ==-∈，而i z R =∉知，故2p 不正确；当12i z z ==时，满足121z z R ⋅=-∈，但12z z ≠，故3p 不正确； 对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺【答案】B 【解析】 【分析】将问题三角形问题，设出另一直角边，则可求出斜边的长，最后利用勾股定理可求出另一直角边. 【详解】已知一直角边为3尺，另两边和为10尺，设另一直角边为x 尺，则斜边为10x -尺，由勾股定理可得：()222310x x +=-，可得 4.55x =尺. 故选：B【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力.5．函数22()11xf x x=-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论. 【详解】22()11xf x x=-+过点()10，，可排除选项A ，D .又()20f <，排除C . 故选:B 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.6．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（ ） A ．16B ．12C ．23D ．56【答案】D 【解析】 【分析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案. 【详解】设{A =两门至少有一门被选中}，则{A =两门都没有选中}，A 包含1个基本事件，则2411()6P A C ==，所以15()166P A =-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．若向量,a b r r 满足||1,||2a b ==r r ，且||3a b -=r r，则向量,a b r r 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B 【解析】 【分析】由||3a b -=r r ,平方求出a b ⋅r r,代入向量夹角公式,求出,a b r r 的夹角余弦值,即可得结果.【详解】设,a b r r的夹角为θ||3,a b -=r r 2222||()2523,a b a b a a b b a b -=-=-⋅+=-⋅=r r r r r r r r r r11,cos ,0,23a b a b ab πθθπθ⋅⋅=∴==≤≤∴=r rr r r r故选:B 【点睛】本题考查向量的模长和向量的夹角计算,着重考查计算能力,属于基础题.8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?【答案】D 【解析】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，1,0;2,2;3,4;n s n s n s ====== 22991100...;99,100,;22n s n s -====101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.9．以n S ?,?T n 分别表示等差数列{}{}n ,?b n a 的前n 项和，若S 73n n n T n =+，则55a b 的值为 A ．7 B ．214C ．378D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和的性质，当n 为奇数时，12n n s na +=，即可把55a b 转化为99S T 求解.【详解】因为数列是等差数列，所以211(21)n n S n a ++=+，故55955997921==9934a a Sb b T ⨯==+,选B. 【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和的性质，属于中档题.10．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则C 的方程为（ ）.A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得2a =，1b =，可得椭圆的方程．【详解】解：22||3||AF BF =Q ，2||4||AB BF ∴=， 又125BF BF =，又12||||2BF BF a +=，23||aBF ∴=， 2||AF a ∴=，1||53BF a =，12||||2AF AF a +=Q ，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=， 在△12BF F 中，由余弦定理可得222154()()33cos 223a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得21320a a a-+=，解得22a =， 222211b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：2212x y +=．故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题．11．设函数431,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 A ．(23－2，32⎤⎥⎦B ．(－23－2，23－2)C ．(32，＋∞) D ．(23－2，＋∞)【答案】A 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，利用()f x 图像，利用换元法，将方程()()22()30fx a f x -++=恰好有六个不同的实数解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示，令()f x t =，则方程()()22()30fx a f x -++=转化为()2230t a t -++=，由图可知，要使关于x 的将方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则方程()2230t a t -++=在(]1,2内有两个不同的实数根，所以()()()222212021221213022230a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪⎨⎪-+⨯+>⎪-+⨯+≥⎪⎩，解得32322a -<≤. 故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数根于判别式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且AB 、AC 、AD 两两夹角都为60︒，若2BD =，则该球的体积为（ ）A ．32πB ．233π C ．34π D ．22π 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可分析四面体A BCD -是正四面体，各条棱长均为2，依据正四面体外接球半径的求法即可得解. 【详解】由题：在四面体A BCD -中，,60AB AC AD BAC BAD CAD ==∠=∠=∠=o，所以,,BAC BAD CAD ∆∆∆均为等边三角形，且边长均为2， 所以四面体A BCD -是正四面体，棱长为2，如图：根据正四面体特征，点A 在底面正投影1O 是底面正三角形的中心，外接球球心O 在线段1AO 上，设外接球半径为R ，取CD 中点E 过点,,B C D 的截面圆的半径1223623323r O B BE ===⨯⨯=， 在△1O AB 中，2211223233O A BA BO =-=-=， 则球心到截面BCD 的距离1233d OO R ==- 在△1O OB 中，22211O B OO OB +=，22262333R R ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 解得32R =， 所以球的体积3433322V ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查求正四面体外接球的体积，通过几何体的特征，确定一个截面，寻找球心，根据三角形关系求出半径即可求解，平常的学习中有必要积累常见几何体外接球半径的求法.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高考冲刺数学(理)“小题精练”(7)含详细解答
,k 6
+ ，k 3
z
B. k
,k
，k z
3
3
C. k
,k
，k z
3
6
D. k
,k
，k z
6
6
2
2
5. 双曲线
x a2
y b2
1(a 0,b 0) 的一个焦点为 F (c, 0) ，若 a 、 b 、 c 成等比数列，则该双
曲线的离率 e （ ）
A. 1 3 2
B. 1 5 2
C. 5 1 2
D. 2 1
PF 5 ，则 △MPF 的面积为 _____．
【答案】 10
【 解 析 】 由 抛 物 线 的 定 义 可 知 |PF|+|PM|=5, 并 且 点 P 到 准 线 的 距 离
5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，
重 2 斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（
）
A. 6 斤
B. 7 斤
C. 9 斤
D. 15 斤
4. 函数 y 2sin( x )( 0,0
区间为（
）
) 的部分图象如图所示． 则函数 f x 的单调递增
轾
A.
犏犏臌k -
2
12. 已知函数 f (x)
log5(1 x) ( x 2)2 2
( x 1) ，则关于 x 的方程 f
( x 1)
x
1 x
2
a 的实根个
数不可能为（
）
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
【答案】 A
【解析】∵函数 f x
log 5 1 x , x 1
2020届高三理科数学 大题精练 14套 含答案
(2) 当 AB ⊥ CD 时，点 P，Q 在什么位置时， PQ 取得最小值？ 解： (1) 设 A( x1, y1 ) ， B ( x2, y2 ) ， P ( x0, −1) ，
则 x12 = 4 y1 ， x22 = 4 y2 ，
10 读万卷书 行万里路
抛物线的方程可变形为 y = 1 x2 ，则 y' = x ，
uuur
∴ CA = （1，﹣2，0）， CS = （0，﹣1，1）， CB = （1，0，0），
ur 设平面 ASC 的法向量 m = （x，y，z），
则
mv mv
⋅ ⋅
uuuv CuuAuv CS
= =
x −
− y
2 +
y z
= =
0 0
，取
y＝1，得
ur m
=
（2，1，1），
r 设平面 BSC 的法向量 n = （x，y，z），
解： (1) 由饼图得： a = 1− (6% + 9% + 27% +12% +14% + 3%) = 29% ． (2) 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的 100 名学生每天平
均使用手机的平均时间在第 4 组．
7 读万卷书 行万里路
旗开得胜
(3)Q样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机
旗开得胜
20．过抛物线外一点 M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点 M 对应的切点弦已
知抛物线为 x2 = 4 y ，点 P，Q 在直线 l：y = −1上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为 AB，
CD
2020届高三数学(理)“小题精练”12
2020届高三数学（理）“小题速练”1213. 14. 15. 16.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |y ＝ln(x －1)}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{2，3} C ．{1，2，3}D ．{0，1，2，3}2．若z 为纯虚数，且满足(z －a )i ＝1＋2i(a ∈R )，则a ＝( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．23．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，则a 33＝( ) A ．82B ．97C ．100D ．1154．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点(5，0)到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±23xC ．y ＝±32xD ．y ＝±2x5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫π12，0 B ．⎝⎛⎭⎫π4，0 C.⎝⎛⎭⎫π3，0D ．⎝⎛⎭⎫π2，06．已知a ＝0.50.8，b ＝0.80.5，c ＝0.80.8，则( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．a <b <cD ．a <c <b7．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210C.132D ．3108．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18 B ．38C.58D ．789．设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1 B ．5－12C.22D ．2＋110．如图，AB 是圆锥SO 的底面圆O 的直径，D 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，以AO 为直径的圆与AD 的另一个交点为C ，P 为SD 的中点．现给出以下结论：①△SAC 为直角三角形； ②平面SAD ⊥平面SBD ；③平面P AB 必与圆锥SO 的某条母线平行． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．311．已知函数f (x )＝ln 1＋x 1－x ＋x ＋1，且f (a )＋f (a ＋1)＞2，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－1，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D ．⎝⎛⎭⎫－12，1 12．在△ABC 中，B ＝30°，BC ＝3，AB ＝23，点D 在边BC 上(与B ，C 均不重合)，点B ，C 关于直线AD 的对称点分别为B ′，C ′，则△BB ′C ′的面积的最大值为( )A.9－332B ．637C.937D ．332二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝|b |＝1，且a ⊥(a －λb )，则实数λ＝________．14．若⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是________． 15．某电子商务公司对10 000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x x ，x ≥1ax 2－a ，x ＜1，若函数g (x )＝f (x )－13恰有2个零点，则a 的取值范围为________．2020届高三数学（理）“小题速练”12（答案解析）1．解析：选B.因为A ＝{x |y ＝ln(x －1)}＝{x |x －1>0}＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{2，3}，故选B.2．解析：选A.由(z －a )i ＝1＋2i ，得z ＝1＋2i i ＋a ＝－i ＋2＋a ＝a ＋2－i ，根据题意，得a ＋2＝0，解得a ＝－2，故选A.3．解析：选 C.解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 8－a 5＝9S 8－S 5＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋7d ）－（a 1＋4d ）＝9（8a 1＋28d ）－（5a 1＋10d ）＝66， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3a 1＝4，所以a 33＝a 1＋32d ＝4＋32×3＝100，故选C.解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 8－a 5＝9，得3d ＝9，即d ＝3.由S 8－S 5＝66，得a 6＋a 7＋a 8＝66，结合等差数列的性质知3a 7＝66，即a 7＝22，所以a 33＝a 7＋(33－7)×d ＝22＋26×3＝100，故选C.4．解析：选D.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意，得c ＝ 5.双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，所以5bb 2＋a2＝2，又c 2＝a 2＋b 2＝5，所以b ＝2，所以a ＝c 2－b 2＝1，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D.5．解析：选A.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin[2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，故所得图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π12，0，选A. 6．解析：选D.因为函数y ＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.80.5>0.80.8，即b >c .因为函数y ＝x 0.8在(0，＋∞)上为增函数，所以0.50.8<0.80.8，即a <c ，所以a <c <b ，故选D.7.解析：选C.(补形法)如图，将直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面补成矩形，得到长方体ABDC A 1B 1D 1C 1.显然，直三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球就是长方体ABDC A 1B 1D 1C 1的外接球．而长方体ABDC A 1B 1D 1C 1的外接球的直径等于长方体的体对角线长，连接AD 1，则AD 1＝32＋42＋122＝13，所以直三棱柱外接球的半径为132.故选C.8．解析：选D.解法一：4位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动共有24＝16(种)结果，而周六、日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人，另一天三人，有C 14A 22＝8(种)；②每天二人，有C 24＝6(种)，所以P ＝8＋616＝78. 解法二：4位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动，共有24＝16(种)结果，而4人都选周六或周日有2种结果，所以P ＝1－216＝78.9.解析：选A.不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，∴椭圆E 的离心率e ＝2－1.故选A.10.解析：选C.如图，连接OC ，∵AO 为圆的直径，∴AC ⊥OC .∵SO 垂直于底面圆O ，AC ⊂底面圆O ，∴AC ⊥SO .∵SO ∩OC ＝O ，∴AC ⊥平面SOC .又SC ⊂平面SOC ，∴AC ⊥SC ，∴△SAC 为直角三角形，故①正确．由于点D 是圆O 上的动点，∴平面SAD 不能总垂直于平面SBD ，故②错误．连接DO 并延长交圆O 于E ，连接SE ，PO ，∵P 为SD 的中点，O 为DE 的中点，∴OP ∥SE .又OP ⊂平面P AB ，SE ⊄平面P AB ，∴SE ∥平面P AB ，故③正确，故选C.11．解析：选C.由题意知函数f (x )的定义域为(－1，1)，令g (x )＝ln 1＋x1－x ＋x ，则g (－x )＝ln1－x 1＋x －x ＝－ln 1＋x1－x－x ＝－g (x )，故函数g (x )为奇函数，并且g (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＋x ，易得g (x )在(－1，1)上为增函数．f (a )＋f (a ＋1)>2，即g (a )＋g (a ＋1)>0，∴g (a ＋1)>－g (a )，∴g (a ＋1)>g (－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a <1－1<a ＋1<1a ＋1>－a，∴－12<a <0，故选C.12．解析：选D.由余弦定理得，AC 2＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB cos B ＝9＋12－2×3×23×32＝3，∴AC ＝3，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .∵CC ′∥BB ′，∴点C ′到直线B ′B 的距离等于点C 到直线BB ′的距离， ∴S △C ′B ′B ＝S △CBB ′.以C 为坐标原点，CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示平面直角坐标系，则C (0，0)，B (3，0)，A (0，3)． 设直线AD 的方程为y ＝kx ＋3⎝⎛⎭⎫k <－33，则点B 到直线AD 的距离d ＝|3k ＋3|k 2＋1，∴|BB ′|＝2d ＝23|3k ＋1|k 2＋1.∵BB ′⊥AD ，∴直线BB ′的方程为y ＝－1k (x －3)，即x ＋ky －3＝0，∴点C (0，0)到直线BB ′的距离d ′＝3k 2＋1， ∴S △C ′B ′B ＝S △CBB ′＝12×23|3k ＋1|k 2＋1×3k 2＋1＝33|3k ＋1|k 2＋1.令3k ＋1＝t ，则k ＝t －13，∵k <－33，∴3k ＋1<0，即t <0，∴S △C ′B ′B ＝33|t |t 2－2t ＋13＋1＝93|t |t 2－2t ＋4＝－93t t 2－2t ＋4＝93－t －4t ＋2≤332，当且仅当－t ＝－4t ，即t ＝－2时，S △C ′B ′B 取得最大值为332，故选D.13．解析：由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos π3＝12，∵a ⊥(a －λb )，∴a ·(a －λb )＝|a |2－λa ·b ＝1－λ2＝0，∴λ＝2.答案：214．解析：∵⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n展开式的二项式系数之和为2n ，∴2n ＝64，∴n ＝6，∴二项展开式的通项T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r⎝⎛⎭⎫－1x r＝C r 626－r(－1)r x 12－3r ，令12－3r ＝0，得r ＝4，∴展开式中的常数项为T 5＝C 4626－4(－1)4＝60. 答案：6015．解析：(1)由频率分布直方图，得(1.5＋2.5＋a ＋2.0＋0.8＋0.2)×0.1＝1，解得a ＝3； (2)消费金额在[0.5，0.9]的购物者的人数为：10 000×(1－1.5×0.1－2.5×0.1)＝10 000×0.6＝6 000.答案：(1)3 (2)6 00016．解析：当x ≥1时，g (x )＝f (x )－13＝ln x x －13，则g ′(x )＝1－ln x x 2，由g ′(x )＞0，得1≤x＜e ，由g ′(x )＜0，得x ＞e ，所以函数g (x )在[1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (x )在[1，＋∞)上有最大值，且g (x )max ＝g (e)＝1e －13＞0，又g (1)＝－13＜0，g (e 3)＝3e 3－13＜0，所以在[1，＋∞)上g (x )＝f (x )－13有2个不同的零点，则由题意知当x ＜1时，函数g (x )＝f (x )－13＝ax 2－a －13无零点．当a ＞0时，g (x )在 (－∞，1)上有最小值，且g (x )min ＝g (0)＝－a－13＜0，此时函数g (x )有零点，不满足题意；当a ＝0时，g (x )＝－13＜0，此时函数g (x )无零点，满足题意；当a ＜0时，g (x )在(－∞，1)上有最大值，且g (x )max ＝g (0)＝－a －13，由g (x )max＜0，得－13＜a ＜0.综上可知，实数a 的取值范围是(－13，0]．答案：(－13，0]。
河北省衡水中学2020届高三数学(理)试卷及答案
0,
12、定义在
上的单调函数 f x ， x 0,
， f f x log2 x 3 ，则方程
fx f x 2
的解所在区间是（
）
1 0, A． 2
1 ,1
B． 2
1,2
C．
2,3
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
1
tan
13 、 若
tan
为
．
10 3，
2
,
sin 2
其中正确命题的个数是
．
a7 ．
16、已知函数 f x 为偶函数且 f x
fx f x 4 ，又
x2 3 x 5,0 x 1 2
2x 2 x,1 x 2
，
gx
函数
x
1
2
a
Fx
，若
f x g x 恰好有 4 个零点，则 a的取值范围
是
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ）
（）
1 A． 2
y
4、已知函数
B． 1
C． 2
D． 3
sin x
m 的最大值为 4 ，最小值为 0 ．两个对称轴间最短距离为
x
2 ，直线
6 是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（
）
y 4sin 2x
A．
6
y 2sin 2x
2
B．
6
y
C．
2sin x 3
y 2sin 2x
2
D．
3
5、在
C 中，三个内角 ， ，C 所对的边为 a ， b ， c ，若 S C 2 3 ， a b 6 ，
河北省石家庄市2020届高三模拟(八)数学(理)试题 Word版含解析
2020届高三五月模拟考试（八）数学试卷（理科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =+->，{1,0,1,2}B =-，则( )A. {2}A B =B. A B R =C. (){1,2}R BC A =-D. (){|12}R BC A x x =-<<【答案】A 【解析】 【分析】首先解不等式220x x +->得到{|2A x x =<-或1}x >，再根据{2}AB =即可得到答案.【详解】因为2{|20}{|2A x x x x x =+->=<-或1}x >，{1,0,1,2}B =-， 所以{2}A B =，AB R ≠，(){1,0,1}RC A B =-，()[2,1]{2}R C A B =-故选：A【点睛】本题主要考查集合的运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于简单题. 2.已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则 a 等于（ ）A. B. 1-D. 1【答案】D 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ++-+++==--+，1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【详解】551log 2log 2a =<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.20.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<． 故选A ．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．4.下边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.()modm n N ≡表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如()104mod6≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A. 11B. 13C. 14D. 17【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图依次执行循环，直至跳出循环，输出结果. 【详解】()()11,112mod3,113mod4n =≡≡ 继续执行循环：()12,120mod3,n =≡ 继续执行循环：()13,131mod3,n =≡继续执行循环：()()14,142mod3,142mod4n =≡≡ 继续执行循环：()15,150mod3,n =≡ 继续执行循环：()16,161mod3,n =≡继续执行循环：()()17,172mod3,171mod4n =≡≡ 跳出循环，输出17n = 故选：D【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.5.若a b ，是两个非零向量，且13a b m a m b m ⎡⎤+==∈⎣⎦，，.则向量b 与a b -夹角的取值范围是( )A. 233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C. 2536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】C 【解析】 【分析】设|a |=|b |=t ，设向量b 与a b -夹角为θ，由已知和a b ⋅ 222m t =-t 2，计算出a b -后，由向量数量积求出cos θ，由m 的范围可得结论．【详解】根据题意，设|a |=|b |=t ，则|a b +|=mt ，再设向量b 与a b -夹角为θ，则有|a b +|2=（a b +）2a =2b +2+2a b ⋅=m 2t 2，变形可得 a b ⋅ 222m t =-t 2，则有|a b -|2=（a b -）2a =2b +2﹣2a •b =2t 2﹣2（222m t -t 2）=4t 2﹣m 2t 2，变形可得|a b -|=，则cosθ()222222112224m t t t b a b a b b b a b b a b t --⋅-⋅-=====---⨯-又由1≤m ≤1≤≤，则有≤cosθ12≤-， 又由0≤θ≤π，则有23π≤θ56π≤，即θ的取值范围为[23π，56π]；故选：C .【点睛】本题考查求平面向量间的夹角，掌握平面向量数量积的定义是解题关键． 6.函数()()1ln 1f x x x =-+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】设()1ln ,0=-->f x x x x ，用导数法可得ln 1x x <-，从而有()ln 1,1+<>-x x x ，可得()0f x >确定选项.【详解】设()1ln ,0=-->f x x x x ， 所以()11f x x'=-， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以()()10f x f >=， 所以ln 1x x <-，所以()ln 1,1+<>-x x x ， 所以()()10ln 1=>-+f x x x ，排除B ，C ，D.故选A【点睛】本题主要考查由函数的解析式识别函数图象，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.7.圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是( )A. 4M NB.()4N MN-C.2M NN+D.42M NN+【答案】B【解析】【分析】首先求出0＜a＜1，0＜b＜1，构成的区域面积，然后利用余弦定理求出满足是锐角三角形所构成的区域，然后利用几何概型—面积比即可求解.【详解】学校共有学生N人，每人随机写出一对小于1的正实数a，b，得到N个实数对（a，b），因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以N个实数对（a，b）都在边长为1的正方形AOBC内，如图所示：若a，b，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角，所以1a b+>，2212a bab+-＞，即a2+b2＞1，1a b+>所以N对实数对落在单位圆x2+y2=1外的有M对，由几何概率的概率公式可得：21111411MNπ⨯-⨯==⨯114π-，所以π()4N MN-=，故选：B.【点睛】本题考查了几何概型—面积比，几何概型的应用，解题的关键是求出满足条件的事件所构成的区域面积，属于基础题.8.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A. (10)(1)-⋃+∞，， B. (1)(01)-∞-⋃，， C. (1)(1)-∞-⋃+∞，， D. (10)(01)-⋃，， 【答案】D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内9.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）.若△MAB 的面积为|AB |=( )A. 2B. 4C. D. 8【答案】D 【解析】 【分析】设直线l 的方程为x =ty +1，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及弦长公式表示出|AB |，根据三角形的面积求出|y 1﹣y 2|=，代入计算即可求解. 【详解】抛物线y 2=4x 的焦点F 为（1，0）， 可设直线l 的方程为x =ty +1，代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4，则|AB|=|y 1﹣y 2|.=△MAB的面积为12|MF |.|y 1﹣y 2|12=⨯2|y 1﹣y 2|=， =，解得t =±1， 则|AB |=.=8， 故选：D .【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ()21nnS S -=.数列{b n }满足(1)(21)n n n b n a =-⋅+则数列{b n }的前100项和T 100为( ) A.101100B. 101100-C. 100101-D.100101【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出12,a a ，归纳猜测出n a ，再用数学归纳法证明猜测n a 对于*n N ∈成立，进而求出数列{b n }通项公式，用裂项相消法，即可求出结论. 【详解】∵()21n nnS a S -=，∴当n =1时，有a 1211(1)S S -=，解得a 112=；当n =2时，可解得a 216=，故猜想：a n ()11n n =+，下面利用数学归纳法证明猜想：①当n =1，2时，由以上知道a n ()11n n =+显然成立；②假设当n =k （k ≥2）时，有a k ()11k k =+成立，此时S k ()11111111112231122311k k k k k k =+++=-+-++-=⨯⨯+++成立， 那么当n =k +1时，有2221111111(1)(1)(1)11k k k k k k k k k ka S S a k a k S S a a k ++++++++--+-+===+++，解得a k +1()()1111k k =⎡⎤+++⎣⎦，这说明当n =k +1时也成立.由①②知：a n ()11n n =+.∵(1)(21)n n n b n a =-⋅+，∴111(1)(21)(1)()(1)1nn n b n n n n n =-⋅+⋅=-+++，∴数列{b n }的前100项和1001111111(1)()()()22334100101T =-+++-++++ 11001101101=-+=-. 故选：C .【点睛】本题考查数学归纳法证明数列通项公式，以及裂项相消法求数列的前n 项和，考查计算求解能力，属于中档题. 11.对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx =+--.有下列说法：①()f x 的值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值；③函数()f x 的最小正周期是π；④当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时,()0f x >.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先得到()cosx sinx cosxf x sinx sinx cosx ≥⎧=⎨<⎩，，，作出函数的图像，结合函数图像，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为()()1122cosx sinx cosx f x sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x 的值城为21,2⎡-⎢⎣⎦，①错误；函数()f x 的最小正周期是2π，③错误； 当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值，②正确；当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数与余弦函数的图像和性质即可，属于常考题型.12.三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，△PAC 为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为68π.则三棱锥体积的最大值为（ ）A. 1B. 2C.12D.13【答案】D 【解析】 【分析】由已知作出图象，找出二面角P AC B --的平面角，设出AB BC AC ，，的长，即可求出三棱锥P ABC -的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有AC 长度的字母表示），再设出球心O ，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求.【详解】如图所示，过点P 作PE ⊥面ABC ，垂足为E ，过点E 作ED AC ⊥交AC 于点D ，连接PD ，则PDE ∠为二面角P AC B -的平面角的补角，即有6cos PDE， 易知AC ⊥面PDE ，则AC PD ⊥，而△PAC 为等边三角形，∴D 为AC 中点， 设22ABa BCb ACa b c ，，，则3PE PDsin PDE =∠=c 32c =， 故三棱锥P ABC -的体积为：1132V ab =⨯2231121212224c a b c abc c +⨯=≤⨯=，当且仅当a b ==时，体积最大，此时B D E 、、共线. 设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，半径为R ，由已知，248R ππ=，得R =.过点O 作OF PE ⊥于F ，则四边形ODEF 为矩形，则OD EF ==232ED OF PDcos PDE c ==∠=⨯=，2c PE =，在Rt △PFO 中222)(22c =+，解得2c = ∴三棱锥P ABC -的体积的最大值为：332124243c ==.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题.第II 卷二、填空题：13.已知()()511x ax -+的展开式中，2x 的系数为0，则正实数a =_____． 【答案】12【解析】 【分析】()()511x ax -+()()5511x ax ax =+-+，然后利用()51ax +展开式的通项公式研究2x ．【详解】解：∵()()511x ax -+()()5511x ax ax =+-+，故原式展开式中，含2x 的项为()244335511xC ax C ax ⋅⋅-⋅⋅()22510a ax=-，令25100a a -=，得12a =，或0a =（舍去）， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查二项展开式通项公式的应用，属于基础题．14.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若PAB △为等腰三角形，120PAB ∠=，则双曲线的离心率为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，由已知条件求出(2,3)P a a -，代入双曲线方程得到221a b=，再求离心率即可. 【详解】如图所示：过点P 做PD x ⊥轴，垂足为D .因为PAB △为等腰三角形，所以2PA AB a ==， 又因为120PAB ∠=，所以60PAD ∠=.sin 603PD PA a =⋅=，cos60AD PA a =⋅=，故(23)P a a -.因为点(23)P a a -在双曲线22221x y a b-=上，所以2222431a a a b -=，即221a b=.222222212c a b b e a a a+===+=2【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，同时考查了数形结合的思想，属于中档题. 15.已知数列{a n }满足11111n n a a n n n n +-⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭（n ∈N *），且a 2=6，则{a n }的通项公式为_____. 【答案】22n n - 【解析】 【分析】由题意令n =1可得a 1，当2n ≥时，转化条件可得11111n n a a n n n n +--+=-，进而可得121na n n -=-，即可得解.【详解】因为数列{a n }满足11111n n a a n n n n +-⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭（n ∈N *），所以11111n n a a n n n n +-⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭， ①当n =1时，110a -=即a 1=1，②当2n ≥时，由11111n n a a n n n n +-⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭可得11111n n a a n n n n+--+=-， ∴数列11n a n n ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭从第二项开始是常数列，又212221a -=-，∴121n a n n -=-，∴()222n a n n n =-≥，又1121a ==-满足上式，∴22n a n n =-.故答案为：22n n -.【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的通项公式，考查了构造新数列的能力与运算求解能力，合理构造新数列是解题的关键，同时要注意n 的取值范围，属于中档题. 16.改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求.某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z 1（单位：分钟）服从正态分布N （33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z 2（单位：分钟）服从正态分布N （44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟.现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大.则以上说法中正确的序号是_____.参考数据：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ≤μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜Z ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ≤μ+3σ）=0.9974 【答案】②④ 【解析】 【分析】利用正态分布对每一个说法求解其概率，逐项分析，即可选出正确答案．【详解】解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故()()12145452P Z P Z -<<≥=10.99740.00132-==， ∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误； ②若8：02出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足P （Z≤41）()()1254125410.97722P Z P Z -=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：02出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足P （Z≤48）()()1404840480.99722P Z P Z -=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确； ③若8：06出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足()()()129373729370.84132P Z P Z P Z -≤=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：06出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足()1440.52P Z ≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误； ④若8：12出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足()31P Z ≤时，江先生乘坐公交不会迟到， 而()()()1293731290.18572P Z P Z P Z -≤>≤==＜＜；若8：12出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足()()13850380.001352P Z P Z -<<≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到，由0.18570.00135>，∴若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确； 故答案为：②④．【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若222sin A sin CbsinB--=，且△ABC 外接圆的半径为1. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）4π；. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正弦定理和题设条件，化简可得222a cb -=-，即22222a b c ab +-=，由余弦定理求得cos 2C =，即可求得角C ；（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式，求得2ab ≤=+即可求得面积的最大值.【详解】（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理22a b c R sinA sinB sinC====， 可得sin 2a A =，sin 2b B =，sin 2cC =，又由222sin A sin C b sinB --=，可得22442a c b -=，整理得222a cb -=-，即22222a b c ab +-=，由余弦定理可得222cos 22a b c C ab +-==，又因为(0,)C π∈，所以4C π.（Ⅱ）由正弦定理2c sinC =，可得2sin 24c π==， 由余弦定理，可得2222222(22)2a b ab ab ab ab =+-⋅≥-=-， 可得2222ab ≤=+-，当且仅当a b =时等号成立，可得1221sin 2ABC S ab C ab ∆+==≤，当且仅当a b =时等号成立， 即ABC ∆面积的最大值为212+. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．18.如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠BAD =60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形ACFE 为梯形，EF //AC ，点E 在平面ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面ABCD 所成角为45°.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）217. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取AO 中点H ，连结EH ，则EH ⊥BD ，又AC ⊥BD ，由此可证；（Ⅱ）以H 为原点，HA 为x 轴，在平面ABCD 中过H 作AC 的垂线为y 轴，HE 为z 轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）知，∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，再根据平面的法向量的夹角即可求出答案．【详解】（Ⅰ）证：取AO 中点H ，连结EH ，则EH ⊥平面ABCD ，∵BD 在平面ABCD 内，∴EH ⊥BD ， 又菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，且EH ∩AC =H ， EH ，AC 在平面EACF 内， ∴BD ⊥平面EACF ， ∴BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知EH ⊥平面ABCD ，∴以H 为原点，HA 为x 轴，在平面ABCD 中过H 作AC 的垂线为y 轴，HE 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵EH ⊥平面ABCD ，∴∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH =45°， ∵AB =4，∴AO =3AH 3=EH 3=∴H （0，0，0），A 30，0），D （3-2，0），O （3-，0，0），E （0，03， 平面ABCD 的法向量n =（0，0，1），AO =（﹣3，0，0），DE =33，，）， ∵EF //AC ，∴EF AO λ==（﹣3，0，0）， 设平面DEF 的法向量m =（x ，y ，z ），则3230230m DE x y z m EF x λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y 3=m =（032），∴cos 717n m n m n m ⋅===-⋅⋅,∴平面DEF 与平面ABCD 7=【点睛】本题主要考查线面垂直的证明和二面角的求法，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中档题．19.已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x +y =1被椭圆截得的弦的中点坐标为3144P ⎛⎫⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 交椭圆于A ，B两点，当△ABF 2面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）23x +y 2=1；（Ⅱ）x ﹣y =0或x +y =0. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据直线椭圆的过上顶点，得b =1，再利用点差法以及弦中点坐标解得a 2=3，即得椭圆方程；（Ⅱ）先设直线l 方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理，并以|F 1F 2|为底边长求△ABF 2面积函数关系式，在根据基本不等式求△ABF 2面积最大值，进而确定直线l 的方程. 【详解】（Ⅰ）直线x +y =1与y 轴的交于（0，1）点，∴b =1， 设直线x +y =1与椭圆C 交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 232=，y 1+y 212=，∴221122x y a b +=1，222222x y a b+=1， 两式相减可得21a （x 1﹣x 2）（x 1+x 2）21b +（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=0， ∴()2121221212()y y b x x x x a y y -+=--+，∴22b a- ⋅3212=-1，解得a 2=3，∴椭圆C 的方程为23x +y 2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F 1（，0），F 2，0），设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），可设直线l 的方程x =my l 的方程x =my 23x +y 2=1，可得（m 2+3）y 2﹣my ﹣1=0， 则y 3+y423m =+，y 3y 4213m -=+， |y 3﹣y 4|==∴212ABF S=|F 1F 2|⋅|y 3﹣y 4|=⋅|y 3﹣y 4|223m ==≤=+，=，即m =±1，△ABF 2面积最大，即直线l 的方程为x ﹣y =0或x +y =0.【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法、基本不等式求最值以及利用韦达定理研究直线与椭圆位置关系，考查综合分析与求解能力，属中档题.20.为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x ，进行统计整理的频率分布直方图.根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：|x﹣12|≤1为一级品，1＜|x﹣12|≤2为二级品，|x﹣12|＞2为三级品.（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x∈[12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x∈[14，15]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验.已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元.检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿.现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由；（Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备.已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件.乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是25，12，110.若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据.应选购哪种设备？请说明理由.【答案】（Ⅰ）分布列见解析，13；（Ⅱ）不对剩余产品进行逐一检验，理由见解析；（Ⅲ）应选购乙设备，理由见解析.【解析】【分析】（I）利用频率分布直方图中的频率（概率）求出尺寸在[12,15]的产品件数，及在[14,15]的产品件数，得ξ的可能取值为0，1，2，分别计算出概率得概率分布列，由分布列计算出期望；（II）三级品的概率为（0.1+0.075）×1=0.175，计算对剩余产品逐一检验和对剩余产品不检验需支付的费用，比较后可得；（III ）利用频率（概率）计算出两种方案的利润期望，比较可得．【详解】（I ）抽取的40件产品中，产品尺寸x ∈[12，15]的件数为：40×[（0.2+0.175+0.075）×1]=18，其中x ∈[14，15]的产品件数为40×（0.075×1）=3， ∴ξ的可能取值为0，1，2，∴P （ξ=0）2152183551C C ==，P （ξ=1）11153218517C C C ⋅==，P （ξ=2）23218151C C ==， ∴ξ的分布列为：∴E ξ＝03551⨯+1517⨯+211513⨯=. （II ）三级品的概率为（0.1+0.075）×1=0.175，若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用50×100=5000；若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用50×10+200×90×0175=3650， ∵5000＞3650，故不对剩余产品进行逐一检验.（III ）设甲设备生产一件产品的利润为y 1，乙设备生产一件产品的利润为y 2， 则E （y 1）=500×（0.3+0.2）+400×（0.150+0.175）+200×0.175=415， E （y 2）=50025⨯+40012⨯+200110⨯=420. ∵E （y 1）＜E （y 2）. ∴应选购乙设备.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查随机变量的概率分布列和期望，考查期望的应用，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于中档题． 21.已知函数()ln 1f x x ax =++.（Ⅰ）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围； （Ⅱ）()xf x xe ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(1,0)-；（Ⅱ）(,1]-∞.【解析】 【分析】（Ⅰ）先求导，对a 分类讨论，求出单调区间，结合零点存在性定理，即可求出结论； （Ⅱ）分离参数转化为满足1xlnx a e x x≤--在(0,)+∞上恒成立时，a 的取值范围，设1()x lnx g x e x x=--，通过求导求出min ()g x ，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由已知得x ＞0，()'1fx a x=+. ①当a ≥0时，()0f x '>，此时f （x ）是增函数，故不存在两个零点； ②当a ＜0时，由()10f x a x'=+=，得10x a =-＞，此时10x a ，⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '＞，此时()f x 是增函数； 当1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 时，()0f x '＜ ，此时()f x 是减函数， 所以1x a=-时，f （x ）取得极大值，由f （x ）有两个零点， 所以11()ln()0f a a-=->，解得10a -<<.又10a f e e ⎛⎫=⎪⎝⎭＜，所以f （x ）在（0，1a-）有唯一零点. 再取021()e x a a=--＞， 则()01121212210e e e f x ln a a a aa -⎛⎫⎛⎫=+-+++--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＜. 所以f （x ）在1()a-+∞，有唯一实数根， 所以a 的取值范围是(1,0)-.（Ⅱ）()xf x xe ≤恒成立，即ln 1x xe x ax ≥++在(0,)+∞上恒成立，即1xlnx a e x x≤--在(0,)+∞上恒成立. 令1()xlnx g x e x x =--，则()2'22x xlnx x e lnx g x e x x+=+=. 令2()xh x x e lnx =+，则()'212x xh x xe x e x=++＞0.所以()h x 在(0,)+∞上递增，而121(1)0,()10ee h e h e e=>=-<，故存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得0()0h x =，即02000xx e lnx +=.∴0010000001111ln x x x e lnx ln ln e x x x x ⋅=-==令(),(0,)xx xe x λ=∈+∞，()(1)0xx x e λ'=+>， 所以()x λ在(0,)+∞上递增，∴001x lnx =. 而0(0,)x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x 上递减；0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，故()g x 在0(,)x +∞上递增.所以0x x =时，()g x 取得极小值，也是最小值，0100min0000011()()1ln x x lnx x g x g x e e x x x x -==--=--=，∴a ≤1.所以a 的取值范围是(,1]-∞.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点，以及恒成立和最值的关系，确定极值点满足的条件是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为1211t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩（t 为参数），曲线C 2的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）射线1(0)2πθββ=<<与曲线C 2交于O ，P 两点，射线22πθβ=+与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP |的值.【答案】（Ⅰ）10x y -+=，4cos ρθ=；（Ⅱ）【解析】 【分析】（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程消去参数t ，即得曲线C 1的普通方程. 由曲线C 2的参数方程消去参数α，得曲线C 2的普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即得曲线C 2的极坐标方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，设点()4cos ,P ββ.曲线C 1的普通方程化为极坐标方程得cos sin 10ρθρθ-+=，则点1,cos sin 2Q πβββ⎛⎫+⎪+⎝⎭.由112POQSOP OQ =⨯⨯=，求出β，即求OP 的值. 【详解】（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为1211t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，（t 为参数），消去参数t ，得曲线C 1直角坐标方程为：10x y -+=.曲线C 2的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α，得直角坐标方程为2240x y x +-=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅱ）由曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，设点()4cos ,P ββ. 由于直线C 1的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=， 可得点1,cos sin 2Q πβββ⎛⎫+⎪+⎝⎭，114cos 12cos sin POQSβββ∴=⨯⨯=+， cos sin ,4πβββ∴=∴=.∴|OP |＝4cos β=【点睛】本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]23.已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c =1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32a b c b c a c a b ++≥+++. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）每个式子通分后把1用a b c ++代换后分子应用基本不等式可证结论； （Ⅱ）变形111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，三个分式中分子a b c ++提取出来并变为()()()12b c a c a b ⎡⎤+++++⎣⎦，即原不等式左边 ()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭，再用柯西不等式可证得结论． 【详解】证明：（Ⅰ）1111111118a b c b c a c a b a b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⋅⋅=⋅⋅≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当“a =b =c ”时取等号；（Ⅱ）111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭22113333222≥-=⨯-=，当且仅当“a =b =c ”时取等号.【点睛】本题考查用基本不等式和柯西不等式证明不等式成立，解题关键是要凑出基本不等式和柯西不等式的形式，然后才可得出结论，掌握基本不等式和柯西不等式是解题．。
2020届高三数学(理)“小题精练”21
2020届高三数学（理）“小题速练”2113. 14. 15. 16.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |x －1>0}，B ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，2] B.(1，2) C ．(1，＋∞) D.(2，＋∞)2．已知向量a ＝(2m －1，m )，b ＝(3，1)，若a ∥b ，则a ·b ＝( ) A ．1 B.－1 C ．－10 D.±13．已知α是第二象限角，若sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－13，则sin α＝( )A ．－2 23B.－13C.13D.2 234．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3与a 8的等差中项为10，则S 10＝( ) A ．200 B ．100 C ．50 D ．255．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题的个数是( )①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β＝n 且m ∥n ，则m ∥α，且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. A ．3 B ．2 C ．1D ．06．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A ．11 B.9 C ．7 D.57．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线的离心率为( )A.233B.63C.62D.29.我国明代著名乐律学家朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个c 1键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为122的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音a 1的频率为440 Hz ，那么频率为220 2 Hz 的音名是( )A ．dB ．cC ．#dD ．f10．已知点P 为直线l ：x ＝－2上任意一点，过点P 作抛物线y 2＝2px (p >0)的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )A ．2 B.p 24 C ．p 2D.411．函数f (x )＝(x 2－4x ＋1)·e x 的大致图象是( )12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，周长为6，则b 的最小值是( )A ．2B ．3C ．3D ．4 33二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若⎝⎛⎭⎫x －4x n的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为________．14．某公司招聘员工，以下四人中只有一人说真话，只有一人被录取．甲说：“我没有被录用”；乙说：“丙被录用”；丙说：“丁被录用”；丁说：“我没有被录用”．根据以上条件，可以判断被录用的人是________．15．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为________．16．(2019·河南名校联考改编)已知六棱锥P ABCDEF ，底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面的射影为其中心．将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形ABCDEF 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为________，此时正六边形的边长为________．2020届高三数学（理）“小题速练”21（答案解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |x －1>0}，B ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，2] B.(1，2) C ．(1，＋∞)D.(2，＋∞)解析：选B 依题意A ＝{x |x >1}．由2－x >0，解得x <2，所以B ＝{x |x <2}，则A ∩B ＝{x |1<x <2}．故选B.2．已知向量a ＝(2m －1，m )，b ＝(3，1)，若a ∥b ，则a ·b ＝( ) A ．1 B.－1 C ．－10D.±1解析：选C 由a ∥b 得2m －1－3m ＝0，解得m ＝－1，即a ＝(－3，－1)，则a ·b ＝－3×3＋1×(－1)＝－10.故选C.3．已知α是第二象限角，若sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－13，则sin α＝( )A ．－2 23B.－13C.13D.2 23解析：选D 由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－13，得cos α＝－13.又α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α＝223.故选D. 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3与a 8的等差中项为10，则S 10＝( ) A ．200 B ．100 C ．50D ．25解析：选B 由a 3与a 8的等差中项为10得a 3＋a 82＝10，则a 3＋a 8＝a 1＋a 10＝20，故S 10＝10（a 1＋a 10）2＝10×202＝100.故选B.5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中真命题的个数是( )①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β＝n 且m ∥n ，则m ∥α，且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选C 对于①，若m ⊂α，n ∥α，则m 与n 平行或异面，故不正确；对于②，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确；对于③，若α∩β＝n ，m ∥n ，则m 也可能在平面α或β内，故不正确；对于④，垂直于同一直线的两平面平行，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，故④正确．综上，是真命题的只有④.故选C.6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A ．11 B.9 C ．7D.5解析：选C 执行程序，n ＝1，S ＝0，判断为否，S ＝0＋11×3＝12·⎝⎛⎭⎫1－13＝13，n ＝3；判断为否，S ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＝25，n ＝5；判断为否，S ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＝37，n ＝7；判断为是，退出循环，输出n ＝7.故选C.7．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1.所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．故选A.8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线的离心率为( )A.233B.63C.62D.2解析：选A 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，不妨取直线y ＝ba x ，则圆心(2，0)到直线y ＝b a x 的距离为|2b |a 2＋b 2＝1，平方得a 2＋b 2＝4b 2，即a 2＝3b 2.由e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝43得e ＝2 33.故选A.9.我国明代著名乐律学家朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个c 1键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为122的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音a 1的频率为440 Hz ，那么频率为220 2 Hz 的音名是( )A ．dB ．cC ．#dD ．f解析：选C 依题意q ＝ 122，则2202·q n －1＝440，解得n ＝7，则频率为220 2 Hz的音名为#d .故选C.10．已知点P 为直线l ：x ＝－2上任意一点，过点P 作抛物线y 2＝2px (p >0)的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )A ．2 B.p 24 C ．p 2D.4解析：选D 由于点P 为直线l ：x ＝－2上任意一点，不妨设点P (－2，0)，由题意可知切线的斜率存在，故可设切线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立得k 2x 2＋(4k 2－2p )x ＋4k 2＝0，则x 1x 2＝4k 2k2＝4.故选D.11．函数f (x )＝(x 2－4x ＋1)·e x 的大致图象是( )解析：选A f ′(x )＝(x 2－2x －3)e x ＝(x ＋1)(x －3)e x ，令f ′(x )>0，得x <－1或x >3，令f ′(x )<0，得－1<x <3，则当x ∈(－1，3)时，函数单调递减，当x ∈(－∞，－1)，(3，＋∞)时，函数单调递增，排除选项B 、D ；当x <0时，x 2－4x ＋1>0，e x >0，f (x )>0恒成立，排除C.故选A.12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，周长为6，则b 的最小值是( )A ．2B ．3C ．3D ．4 33解析：选A 由题意及余弦定理可得△ABC 的面积为12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，化简得tan B ＝ 3.∵0<B <π，∴B ＝π3，从而b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac－ac ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3×（a ＋c ）24＝（a ＋c ）24(当且仅当a ＝c 时，取等号)，即b ≥a ＋c 2.∵a ＋c ＋b ＝6，∴b ≥6－b2，∴b ≥2，故b 的最小值为2.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若⎝⎛⎭⎫x －4x n的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为________． 解析：在⎝⎛⎭⎫x －4x n 中，令x ＝1可得，其展开式中各项系数的和为(－3)n ＝81，解得n ＝4.又展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x4－r ·⎝⎛⎭⎫－4x r＝C r 4(－4)r x 4－2r，令4－2r ＝0，解得r ＝2，所以常数项为C 24×(－4)2＝96.答案：9614．某公司招聘员工，以下四人中只有一人说真话，只有一人被录取．甲说：“我没有被录用”；乙说：“丙被录用”；丙说：“丁被录用”；丁说：“我没有被录用”．根据以上条件，可以判断被录用的人是________．解析：若甲说的是真话，则根据四人中只有一人说真话可知乙、丙、丁都说假话，所以丁被录用，又丙说：“丁被录用”，所以丙说的也是真话，这与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，故被录用的人是甲(实际上甲、乙、丙、都说假话，丁说真话)．答案：甲15．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为________．解析：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为{a n }是等差数列，S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(a 1＋a 2)2＝a 1(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，因为a 3＝5，所以(5－2d ＋5－d )2＝(5－2d )(5－2d ＋15)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以5＝a 1＋(3－1)×2，即a 1＝1，所以a n ＝2n －1.答案：a n ＝2n －116．(2019·河南名校联考改编)已知六棱锥P ABCDEF ，底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面的射影为其中心．将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形ABCDEF 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为________，此时正六边形的边长为________．解析：如图，设点P 在底面的射影为点O ，取CD 中点G ，连接OG ，PG .设正六边形ABCDEF 的边长为x (x >0)，故OG ＝32x .又∵展开后点P在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，∴PG ＝5－32x >0，∴0<x <1033， 故PO ＝⎝⎛⎭⎫5－32x 2－⎝⎛⎭⎫32x 2＝25－53x ，∴六棱锥的体积V ＝13×6×12×x 2×32×25－53x ＝1525x 4－3x 5.令f (x )＝5x 4－3x 5⎝⎛⎭⎫0<x <1033，∴f ′(x )＝20x 3－53x 4＝5x 3(4－3x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，433时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫433，1033时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．故当x ＝433时，函数f (x )取得最大值，即体积最大，体积最大值为8153.答案：8153 433。
2020年高考数学(理)复习【算法初步】小题精练卷附答案解析
2020年高考数学（理）复习【算法初步】小题精练卷刷题增分练○40一、选择题1．[2019·吉林长春质检]执行如图所示的程序框图，则输出的B＝()A．31B．63C．127D．255答案：C解析：由框图得，A＝1，B＝1，满足A≤6，B＝2×1＋1＝3，A＝2；满足A≤6，B＝2×3＋1＝7，A＝3；满足A≤6，B＝2×7＋1＝15，A＝4；满足A≤6，B＝2×15＋1＝31，A＝5；满足A≤6，B＝2×31＋1＝63，A＝6；满足A≤6，B＝2×63＋1＝127，A＝7；不满足A≤6，所以输出的B＝127.故选C.2．[2019·太原模拟]如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中可填入的条件是()A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9答案：B解析：第一次执行循环体，得到S＝10，k＝9；第二次执行循环体，得到S＝90，k＝8；第三次执行循环体，得到S＝720，k＝7，此时满足条件．故选B.3．[2019·云南大理统测]我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“今有垣高九尺．瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果n＝()A．4B．5C．6D．7解析：模拟执行程序，可得a＝0.7，S＝0，n＝1，S＝1.7；不满足条件S≥9，执行循环体，n＝2，a＝1.4，S＝3.4；不满足条件S≥9，执行循环体，n＝3，a＝2.1，S＝5.1；不满足条件S≥9，执行循环体，n＝4，a＝2.8，S＝6.8；不满足条件S≥9，执行循环体，n＝5，a＝3.5，S＝8.5；不满足条件S≥9，执行循环体，n＝6，a＝4.2，S＝10.2.退出循环，输出n的值为6.故选C.第3题图第4题图4．设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是()A．13B．13.5C．14D．14.5答案：A解析：当填i<13时，i值顺次执行的结果是5,7,9,11，当执行到i＝11时，下次就是i＝13，这时要结束循环，因此计算的结果是1×3×5×7×9×11，故不能填13，但填的数字只要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是1×3×5×7×9×11×13.5．[2019·江西南昌调研]执行如图所示的程序框图，输出的n为()A．1B．2C．3D．4解析：当n＝1时，f(x)＝x′＝1，此时f(x)＝f(－x)，但f(x)＝0无解；当n＝2时，f(x)＝(x2)′＝2x，此时f(x)≠f(－x)；当n＝3时，f(x)＝(x3)′＝3x2，此时f(x)＝f(－x)，且f(x)＝0有解，此时结束循环，输出的n为3.故选C.6．[2019·长沙模拟]1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程序的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”．至于如此简单明了的一个命题为什么都够开辟一个全新的领域，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i分别为()A．a是偶数6B．a是偶数8C．a是奇数5D．a是奇数7答案：D解析：由已知可得，①处应填写“a是奇数”．a＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i ＝4；a＝4，i＝5；a＝2，i＝6；a＝1，i＝7，退出循环，输出的i＝7.故选D.7．[2019·甘肃模拟]某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图中记录了每天的销售量(单位：台)，把这些数据经过如图所示的程序框图处理后，输出的S＝()A．28B．29C．196D．203答案：B解析：由程序框图可知，该程序框图输出的是销售量的平均值，结合茎叶图可知，输出的S＝20＋22＋26＋33＋33＋34＋357＝29，故选B.8．[2019·广东省七校联考]如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是()A ．i >10B ．i <10C ．i >20D ．i <20答案：A解析：通解s ＝0，n ＝2，i ＝1；不满足条件，执行，s ＝12，n ＝4，i ＝2；不满足条件，执行，s ＝12＋14，n ＝6，i ＝3，…；不满足条件，执行，s ＝12＋14＋16＋…＋120，n ＝22，i ＝11；满足条件，输出的s ＝12＋14＋16＋…＋120，则判断框内应填入的条件是“i >10”，故选A.优解依题意，得12＋14＋16＋…＋120可表示为数列12n 的前10项和，故需循环10次，即当i ＝11时退出循环，所以判断框内应填入的条件是“i >10”，故选A.第8题图第9题图二、非选择题9．[2019·北京朝阳模拟]执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为________．答案：30解析：第一次，i ＝1，满足条件i <6，i ＝1＋2＝3，S ＝6；第二次，i ＝3，满足条件i <6，i ＝3＋2＝5，S ＝6＋10＝16；第三次，i ＝5，满足条件i <6，i ＝5＋2＝7，S ＝16＋14＝30；第四次，i ＝7，不满足条件i <6，循环终止，输出S ＝30.10．[2019·贵阳摸底]执行如图所示的程序框图，若输出的y ＝12，则输入的x 的最大值为________．答案：1解析：由程序框图知，当x ≤2，y ＝sin π6x ＝12，x ∈Z ，得π6x ＝π6＋2k π(k ∈Z )或π6x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，即x ＝1＋12k (k ∈Z )或x ＝5＋12k (k ∈Z )，所以x max ＝1；当x >2时，y ＝2x >4≠12.故输入的x 的最大值为1.11．根据如图所示的伪代码，输出的结果为________．答案：70解析：i ＝1，S ＝－2；i ＝3，S ＝3×3－2＝7；i ＝5，S ＝3×5＋7＝22；i ＝7，S ＝3×7＋22＝43；i ＝9，S ＝3×9＋43＝70，结束循环，输出的结果为70.第11题图第12题图12．执行如图所示的程序框图，若a ＝0.182，b ＝log 20.18，c ＝20.18，则输出的结果是________．答案：20.18解析：易知该程序框图的功能是输出a ，b ，c 中的最大者．结合函数y ＝0.18x ，y ＝log 2x ，y ＝2x 的图象(图略)易知0<a <1，b <0，c >1，∴b <a <c .故输出的结果是20.18.刷题课时增分练○401．[2019·郑州模拟]执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是()A ．(30,42]B ．(30,42)C ．(42,56]D ．(42,56)答案：A解析：k ＝1，S ＝2；k ＝2，S ＝2＋4＝6；k ＝3，S ＝6＋6＝12；k ＝4，S ＝12＋8＝20；k ＝5，S ＝20＋10＝30；k ＝6，S ＝30＋12＝42；k ＝7，此时不满足S ＝42<m ，退出循环，所以30<m ≤42，故选A.第1题图第2题图2．[2019·武昌调研]执行如图所示的程序框图，如果输入的a依次为2,2,5时，输出的S为17，那么在判断框中可以填入()A．k>n B．k<n C．k≥n D．k≤n答案：A解析：第一次输入a＝2，此时S＝0×2＋2＝2，k＝0＋1＝1，不满足k＝1>n＝2；第二次输入a＝2，此时S＝2×2＋2＝6，k＝1＋1＝2，不满足k＝2>n＝2；第三次输入a＝5，此时S＝6×2＋5＝17，k＝2＋1＝3，满足k＝3>n＝2，循环终止，输出的S＝17.故选A.3．[2019·河北唐山模拟]如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是()A．求1＋3＋5＋…＋(2n－1)B．求1＋3＋5＋…＋(2n＋1)C．求12＋22＋32＋…＋n2D．求12＋22＋32＋…＋(n＋1)2答案：C解析：根据题意得a＝0，S＝0，i＝1；a＝1；S＝1，i＝2；a＝4，S＝1＋4，i＝3；a＝9，S＝1＋4＋9，i＝4；a＝16，S＝1＋4＋9＋16，i＝5，……依次写出S的表达式，总结规律，选项C满足要求．故选C.4．[2019·兰州市诊断考试]图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6,8,0，则输出的i＝()A．3B．4C．5D．6答案：B解析：执行程序框图，可得a＝6，b＝8，i＝0；i＝1，不满足a>b，不满足a＝b，b＝8－6＝2；i＝2，满足a>b，a＝6－2＝4；i＝3，满足a>b，a＝4－2＝2；i＝4，不满足a>b，满足a＝b，故输出的a ＝2，i＝4.5．[2019·江西师大附中模拟]按如图所示的程序框图，若输入a＝110011，则输出的b＝() A．45B．47C．49D．51答案：D解析：程序框图的效果是将二进制的数转化为十进制的数，即110011＝25＋24＋21＋20＝51，故选D.第5题图第6题图6．[2019·福建漳州八校联考]执行如图所示的程序，若输出的值为1，则输入的值为()A．0B．1C．0或1D．－1,0或1答案：C解析：当x ≥1时，由x 2＝1得x ＝±1，∴x ＝1符合题设；当x <1时，由－x 2＋1＝1得x ＝0，符合题设．∴输入的值为0或1.7．[2019·辽宁鞍山模拟]执行如图所示的程序框图，若输出的结果是3132，则输入的a 为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C解析：n ＝1，S ＝0＋121＝12；n ＝2，S ＝12＋122＝34；n ＝3，S ＝34＋123＝78；n ＝4，S ＝78＋124＝1516；n ＝5，S ＝1516＋125＝3132.∴若输出的结果是3132，则输入的a 为5.8．[2018·全国卷Ⅱ]为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入()A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4答案：B解析：把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下．循环次数①②③…○50N0＋110＋11＋130＋11＋13＋15…0＋11＋13＋15＋…＋199T0＋120＋12＋140＋12＋14＋16…0＋12＋14＋16＋…＋1100S1－121－12＋13－141－12＋13－14＋15－16…1－12＋13－14＋…＋199－1100因为N＝N＋1i，由上表知i是1→3→5，…，所以i＝i＋2.故选B.二、非选择题9．[2019·临汾模拟]图1是随机抽取的15户居民月均用水量(单位：吨)的茎叶图，月均用水量依次记为A1、A2、…、A15，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，则输出的n的值为________．答案：7解析：由程序框图知，算法的功能是计算15户居民中月均用水量大于2.1的户数，由茎叶图得，在这15户居民中，月均用水量大于2.1的户数为7，∴输出n的值为7.10．某超市一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…，a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该超市用右面的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，请将程序框图补充完整，将①②③处的内容填在下面对应的横线上．(要求：画出程序框并填写相应的内容)①处应填________．②处应填________．③处应填________．答案：①处应填②处应填S ＝S ＋A③处应填V ＝S ＋T11．[2019·菏泽市一模]执行如图的程序框图，若输入k 的值为3，则输出S 的值为________．答案：778解析：执行如图所示的程序框图，如下：k ＝3，n ＝1，S ＝1，满足条件2S <kn ，执行循环体，n ＝2，S ＝53；满足条件2S <kn ，执行循环体，n ＝3，S ＝3512；满足条件2S <kn ，执行循环体，n ＝4，S ＝214；满足条件2S <kn ，执行循环体，n ＝5，S ＝778；不满足条件2S<kn，终止循环，输出S的值为77 8 .12．关于函数f(x)＝－x，1<x≤4，cos x，－1≤x≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a，b]，则输出的区间是________．答案：[0,1]解析：由程序框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cos x，x∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f′(x)＝－sin x≤0，即0≤x≤1.故输出区间为[0,1]．11。
2020届高三数学(理)“小题精练”27
不满足条件 k＞m+2，s＝10，k＝11；
不满足条件 k＞m+2，s＝21，k＝12；
不满足条件 k＞m+2，s＝33，k＝13，
满足条件 k＞m+2，退出循环，输出 s 的值为 33．
故选：C．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
D．47
A．
B．
C．
D．
解：由题意可知几何体是组合体，左侧是四棱锥右侧是三棱柱，如图：
A．x2﹣ ＝1
B．x2﹣4y2＝2
C．x2﹣ ＝1
D．x2﹣2y2＝1
5．已知 x，y 满足不等式组
，则 z＝3x﹣2y 的最小值为（ ）
A．
B．﹣
C．2
D．﹣2
6．若非零向量 ， 满足| |＝ | |，且（ + ）⊥（3 ﹣2 ），则 与 的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
1
7．如图所示的程序框图，若输入 m＝10，则输出的 S 值为（ ）
2020 择题（本题共 12 个小题）
1．已知集合 A＝{x|x（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x＜1}，则 A∩B＝（
A．（0，1）
B．（﹣∞，0]
C．（﹣∞，0）
） D．（1，+∞）
2．复数 ＝1﹣i， 为 z 的共轭复数，则 +i ＝（ ）
A．2
B．﹣2
C．2i
A．①④ 解：由茎叶图知，
B．②③
甲的平均数是
═78；
C．①③
乙的平均数是
═81，
且甲的极差为：96﹣63＝33； 乙的极差为 97﹣69＝28； 所以乙更稳定，故乙的方差较小，甲的方差较大； 故正确的说法为①④； 故选：A．
2020高三数学理小题狂做(8)
2021高三数学小题狂做 (15 )理一、选择题 (本大题共12小题 ,每题5分 ,总分值60分．在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的． )1、集合{}24x x M =< ,{}1x x N =< ,那么MN = ( ) A ．{}21x x -<< B ．{}2x x <- C ．{}1x x < D ．{}2x x <2、设i 是虚数单位 ,假设复数z 满足()11z i i +=- ,那么复数z 的模z = ( ) A ．1- B ．1 C ．2 D ．23、在C ∆AB 中 ,45∠A = ,C 105∠= ,C 2B =,那么边长C A 为 ( )A ．31-B ．1C ．2D ．31+4、椭圆C 的中|心在原点 ,焦点在x 轴上 ,离心率等于12,且它的一个顶点恰好是抛物线283x y =的焦点 ,那么椭圆C 的标准方程为 ( )A ．22142x y +=B ．22143x y +=C ．221129x y +=D ．2211612x y +=5、以下程序框图中 ,输出的A 的值是 ( )A ．128 B ．129 C ．131 D ．1346、将函数()()sin 2f x x ϕ=+ (2πϕ< )的图象向左平移6π个单位后的图形关于原点对称 ,那么函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最|小值为 ( ) A ．32 B ．12 C ．12- D ．32- 7、函数cos 622x xxy -=-的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．8、不等式组110x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为D ,假设直线3y kx =-与平面区域D 有公共点 ,那么k 的取值范围是 ( ) A ．[]3,3- B ．11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．(][),33,-∞-+∞D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9、某几何体的三视图如下图 ,图中的四边形都是边长为2的正方形 ,两条虚线互相垂直 ,那么该几何体的体积是 ( ) A ．203 B ．163C ．86π-D ．83π-10、()421x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．1211、如图 ,1F 、2F 是双曲线22221x y a b-= (0a > ,0b > )的左、右焦点 ,过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．假设2F ∆AB 为等边三角形 ,那么双曲线的离心率为 ( ) A ．4 B ．7C ．233D ．3 12、函数()11,14ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩ ,那么方程()f x ax =恰有两个不同的实根时 ,实数a 的取值范围是 ( )A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题 (本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分． )13、()0,απ∈ ,4cos 5α=,那么()sin πα-= ． 14、在C ∆AB 中 ,90∠B = ,C 1AB =B = ,点M 满足2BM =AM ,那么C C M ⋅A = ．15、如图 ,在边长为1的正方形C OAB 中任取一点 ,那么该点落在阴影局部中的概率为 ．16、直三棱柱111C C AB -A B 中 ,C 90∠BA = ,侧面11CC B B 的面积为2 ,那么直三棱柱111C C AB -A B 外接球外表积的最|小值为 ．2021高三理科数学小题狂做 (15 )参考答案一、选择题 (本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分．在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的． ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBDCDACACBB二、填空题 (本大共4小题 ,每题5分 ,总分值20分． ) 13、35 14、3 15、1316、4π。
2020年高三综合复习检测题数学(理)试题
高三数学理科第1页（共2页）2020年高三综合复习检测题高三数学（理科）时间：120分钟 满分：150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分 .考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U =Z ，集合{|04}A x x =∈<<N ，2{|540}B x x x =-+=， 则()U A B =I ð ( ) （A ）{1}（B ）{4}（C ）{1,4}（D ）∅（2）已知复数z 满足(2)2z i i -=+，则z 在复平面内对应的点位于 ( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3） 如图所示是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升． 其中正确结论的个数为 ( )（A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）3（4） (1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是 ( ) （A ）－4 （B ）－3 （C ）3 （D ）4 （5）设 a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )（A ）a ＜b ＜c （B ）b ＜c ＜a（C ）b ＜a ＜c （D ）c ＜b ＜a（6）sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )（A ）－sin α （B ）－cos α （C ）sin α （D ）cos α（7）已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a|＝1，|b|＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是 ( )（A ）π6 （B ）5π6 （C ）.π4 （D ）3π4（8）已知,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，则下列命题错误．．的是 ( ) （A ）如果α∥β，n α⊂，那么n ∥β （B ）如果m α⊥，n ∥α，那么m n ⊥ （C ）如果m ∥n ，m α⊥，那么n α⊥（D ）如果m n ⊥，m α⊥，n ∥β，那么αβ⊥（9）将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是 ( )（A ）1936 （B ） 12 （C ）736 （D ）518（10）若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) （A ）(1,3) （B ）(1,2) （C ）(0,3) （D ）(0,2)（11）函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，并且函数g (x )在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的值为( )（A ）74 （B ）32 （C ）2 （D ）54（12）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，C 的右支上一点P 满足1260F PF ∠=︒，若坐标原点O 到直线1PF距离是2，则C 的离心率为( ) （A（B（C ）2（D ）3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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15．已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn
3 2
a 3n ，则
S6 S3
__________．
16．一只蚂蚁从一个正四面体 ABCD 的顶点 A 出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点， 则蚂蚁爬行五次还在点 A 的爬行方法种数是__________．
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2020 届高三数学（理）“小题速练”8
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案
13.
14.
15.
16.
一、单选题
1．设集合 A x y 1 x ， B x x 1x 2 0 ，则 A B （ ）
A．1, 2
B． 1,1
C． 1,1
D． 1, 2
2．计算
3 1
4i 2i
为（ ）
A． 3
B． 4
C． 5
D． 6
uuur r r uuur r r
7．已知 a,b 是不共线的向量，OA a b ，OB 2a b ，OC a 2b ，若 A、B、C
三点共线，则 、 满足（ ）
A． 3
B． 3
C． 2
D． 2
0 x 3
8．已知变量
x,
y
满足
x
y
0
，则 z 2x 3y 的最大值为（
）
x y 3 0
A． 9
B． 9
C． 12
D．12
9．已知函数 f x 2sin x 0 在 x a, 2a 0 上最大值为1且递增，则 2 a
的最大值为（
A． 6
） B． 7
C． 9
D． 8
10．已知 f x ln x2 1 x ，不等式 f a x2 1 f x2 2 0 对 x R 成立，
a2 (b2 c2 ) c2
，由于 x0
( 5 a, 4 a) ，所以 43
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25 a2 16
a2(b2 c2) c2
16 9
a2
，9 16
b2 c2
7 9
9
，
16
1
1 e2
7 9
2
，
9
1 e2
7 16
16
，
7
e2
9 2
，
4 7 e3 2.
7
2
12．已知对任意实数 x 都有 f x 3ex f x ， f 0 1，若不等式 f x a x 2
a, b 是不共线的向量，
t
1，
t
2
，
3
.
0 x 3
8．已知变量
x,
y
满足
x
y
0
，则 z 2x 3y 的最大值为（
）
x y 3 0
A． 9
B． 9
C． 12
D．12
【答案】A
0 x 3
【解析】画出
x
y
0
表示的可行域，如图，
x y 3 0
平移直线 y 2 x 1 z ，当直线经过点 (0, 3) 时，直线截距最小， z 最大， 33
3
根据图像，欲使解集中恰有两个整数，则比较点 2,0 与四个点 (1, 2e) ，(0, 1) ，(1, 4) ，
e
(2,
7 e2
)
连线的斜率，由
2e
7 4e2
4 3e
1 2
可得
a
[
7 4e2
, 4). 3e
二、填空题
13．若直线 2x cy 1 0 是抛物线 x2 y 的一条切线，则 c __________．
D．既不充分又不必要
条件
【答案】B
【解析】当 m 且 n m 时,我们可以得到 n / / 或 n （因为直线 n 与平面 的位置
关系不确定）,所以充分性不成立;当 n / / 时,过直线 n 可做平面 与平面 交于直线 a ,则
有 n / /a .又有 m ,则有 m a ,即 m n .所以必要性成立,故选 B .
客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（ ）
1
A．
7
1
B．
8
1
C．
9
1
D．
10
5．《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，
其意思为：现一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常 量），第1天织了五尺，一个月（按 30 天计算）共织九匹三丈（一匹 四丈，一丈 十尺），
a
x2 x2
2 1
(
x2 1
1 )， x2 1
( x2 1
1 x2
1
)max
2 ，所以 a
2 .
11．在直角坐标系
xOy
中，
F1、F2
分别是双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1
a 0,b 0
的左、右焦
点，点
P
x0
,
y0
是双曲线右支上的一点，满足
PF1
PF2
0
，若点
P
的横坐标取值范围是
x0
x0
5 4
a,
4 3
a
，则双曲线
C
的离心率取值范围为（
）
A．
5 4
,
4 3
B．
16 7
,
9 2
C．
4
7 7
,
3
2 2
D．
4
5
5
,
5
2 3
12．已知对任意实数 x 都有 f x 3ex f x ， f 0 1，若不等式 f x a x 2
（其中 a 1 ）的解集中恰有两个整数，则 a 的取值范围是（ ）
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【答案】 3 2 2
【解析】如图，过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图，
设球的半径为 R ，则圆柱体底面圆半径 r 1 ,正方形的边长为 2 ，由题意可得，
2020 届高三数学（理）“小题速练”8（答案解析）
一、单选题
1．设集合 A x y 1 x ， B x x 1x 2 0 ，则 A B （ ）
A．1, 2
B． 1,1
C． 1,1
D． 1, 2
【答案】B
【解析】由题意 A x 1 x 0 x x 1 ， B x 1 x 2 ，∴ A B (1,1] ．
A．
4 3e
,
1 2
B．
4 3e
,1
C．
7 4e2
,
4 3e
D．
7 4e2
,
1 2
二、填空题
13．若直线 2x cy 1 0 是抛物线 x2 y 的一条切线，则 c __________．
14．一个棱长为 2 的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面
上，侧面与正方体的侧面相切，则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为 __________．
满足条件 n 28 ， MOD 28, 4 0 ， i 2, n 5 ；
满足条件 n 28 ， MOD 28,5 3 ， i 1, n 6 ；
…
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D． 6
28 N ，可得程序框图的功能是统计 28 大于1的约数的个数，由于约数有：2, 4, 7,14, 28 n
【答案】 1
2x cy 1 0
【解析】联立直线和抛物线得到
x
2
y
cx2 2x 1 0 0 c 1．
14．一个棱长为 2 的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面
上，侧面与正方体的侧面相切，则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为
__________．
可得，该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 0.5 1 . 4.5 9
5．《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，
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其意思为：现一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常 量），第1天织了五尺，一个月（按 30 天计算）共织九匹三丈（一匹 四丈，一丈 十尺），
4．上海地铁 2 号线早高峰时每隔 4.5 分钟一班，其中含列车在车站停留的 0.5 分钟，假设乘
客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（ ）
1
A．
7
1
B．
8
1
C．
9
1
D．
10
【答案】C
【解析】 每 4.5 分钟一班列车，其中列车在车站停留 0.5 分钟，根据几何概型概率公式
所以， z 最大值为 z 2 0 3 3 9 ，
9．已知函数 f x 2sin x 0 在 x a, 2a 0 上最大值为1且递增，则 2 a
的最大值为（ ）
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A． 6
B． 7
C． 9
D． 8
【答案】D
【解析】由题意可知，[a, 2]
[
2
,
2
5 4
a,
4 3
a
，则双曲线
C
的离心率取值范围为（
）
A．
5 4
,
4 3
B．
16 7
,
9 2
C．
4
7 7
,
3
2 2
D．
4