【检测卷】高中数学模块检测试卷(选修1-1)(一)及答案

高中数学模块检测试卷（选修1-1）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列说法中正确的是A).一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B.“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C.“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D.一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真2.设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是A.9B.－3C.-9D.154.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥05.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C的方程是A.x 23＋y 24＝1B. x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D. x 24＋y 23＝16.点P 在曲线y ＝x 3－x ＋3上移动，过点P 的切线的倾斜角的取值范围为A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π7.若k 可以取任意实数，则方程x 2＋ky 2＝1所表示的曲线不可能是A.直线B.圆C.椭圆或双曲线D.抛物线8.函数f (x )＝－13x 3＋x 2在区间[0,4]上的最大值是A .0 B.43 C.－163 D.1639.设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是A.f(0)与f(－1)B.f(－1)与f(1)C.f(－2)与f(2)D.f(0)与f(－2)10.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1都相切，则双曲线C的离心率是A.3或62B.2或 3C.233或2 D.233或6211.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是A.(－3,0)∪(3，＋∞)B.(－3,0)∪(0,3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(0,3)12．若0<x1<x2<1，则( )A.e x2－e x1>ln x2－ln x1B.x2e x1>x1e x2C.e x2－e x1<ln x2－ln x1D.x2e x1<x1e x2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________．14.曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________.15.函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是________．16.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点F 重合，椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，|PF |＝53.则椭圆C 1的方程为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知命题p ：函数f (x )＝x 3＋ax ＋5在区间(－2,1)上不单调，若命题p 的否定是一个真命题，求a 的取值范围．18. (本小题满分12分) 设命题p ：方程x 21－2m ＋y 2m ＋4＝1表示的曲线是双曲线；命题q ：∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0.若命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围．19. (本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．20 (本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋b 所得的弦长为|AB |＝3 5. (1)求b 的值；(2)在x 轴上求一点P ，使△APB 的面积为39.21. (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12，(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0，求k 的取值范围。

22(本小题满分12分)已知函数()ln 1f x a x x =-+（0a ≠）． (1)讨论的()f x 单调性；(2)当1a =时，若函数()f x 的图象全部在直线(1)1y m x =-+的下方，求实数m 的取值范围．高中数学模块检测试卷（选修1-1）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.答案D否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．2.答案A由(a－b)a2<0⇒a≠0且a<b，∴充分性成立；由a<b⇒a－b<0，当0＝a<b时⇒/(a－b)·a2<0，必要性不成立．3.答案A y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.4.答案C故原命题的否定为：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0.故选C.5.答案 D 椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y23＝1，故选D.6.答案 B f ′(x )＝3x 2－1≥－1，即切线的斜率k ≥－1，所以切线的倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.7.答案D Ax 2＋By 2＝c 所表示的圆锥曲线问题，对于k ＝0,1及k ＞0且k ≠1，或k ＜0，分别讨论可知：方程x 2＋ky 2＝1不可能表示抛物线．8.答案B f ′(x )＝2x －x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或2.又∵f (0)＝0，f (2)＝43，f (4)＝－163，∴函数f (x )在[0,4]上的最大值为43.9.【答案】C 由图像知，f ′(2)＝f ′(－2)＝0.∵x >2时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0，∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上单调递增；同理f (x )在(－∞，－2)上单调递增；在(2,2)上单调递减．∴y ＝f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选C.10.答案 C 设圆的两条过原点的切线方程为y ＝kx . 由2k 2＋1＝1得k ＝±3.当b a ＝3时，e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2.当a b ＝3时，e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝233.11.答案D f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则f (x )g (x )是奇函数．又当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，即[f (x )g (x )]′＞0，所以F (x )＝f (x )·g (x )在(－∞，0)上是增函数，又g (－3)＝g (3)＝0，故F (－3)＝F (3)＝0.所以不等式f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．12.答案 B 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x与y ＝1x 的图象，可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A ，C 选项不正确．设g (x )＝e xx (0<x <1)，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数． 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)，∴x 2e x 1>x 1e x 2.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.答案x 24－y 212＝1 由题意知c ＝4，e ＝ca ＝2，故a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12，双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 14.答案 3x －y ＋1＝0y ′＝e x ＋x e x ＋2，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＋0＋2＝3， 所以切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0. 15.答案 －π2∵f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＞0，∴sin x ＜12.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，sin x ＜0＜12，即f ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒大于0，∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2.16.答案 x 24＋y 23＝1抛物线C 2的焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，依据抛物线的定义，由|PF |＝53，得1＋x 0＝53，解得x 0＝23.因为点P 在抛物线C 2上，且在第一象限，所以y 0＝263.所以点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.因为点P 在椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以49a 2＋83b 2＝1.又c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，联立解得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解 考虑命题p 为真命题时a 的取值范围，因为f ′(x )＝3x 2＋a ，令f ′(x )＝0，得到x 2＝－a3，…………………………3分当a ≥0时，f ′(x )≥0，函数f (x )在区间(－2,1)上是增加的，不合题意；……………………6分当a <0时，由x 2＝－a3，得到x ＝±－a3，要使函数f (x )＝x 3＋ax＋5在区间(－2,1)上不单调，则－a3<1或－－a3>－2，即a >－12，综上可知－12<a <0，……………………9分故命题p 的否定是一个真命题时，a 的取值范围是a ≤－12或a ≥0.……………………10分18.解:对于命题p ，因为方程x 21－2m ＋y 2m ＋4＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m )(m ＋4)<0，解得m <－4或m >12，则命题p ：m <－2对于命题q ，因为∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0，即不等式3x 2＋2mx ＋m ＋6<0在实数集R 上有解，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m ＋6)>0， 解得m <－3或m >6.则命题q ：m <－3或m >6.……………………6分因为命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以命题p 与命题q 有且只有一个为真命题．若命题p 为真命题且命题q 为假命题，即⎩⎨⎧ m <－4或m >12，－3≤m ≤6，得12<m ≤6；……………………9分若命题p 为假命题且命题q 为真命题，即⎩⎨⎧－4≤m ≤12，m <－3或m >6，得－4≤m <－3.……………………11分综上，实数m 的取值范围为[－4，－3)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，6.……………………12分19.解：(1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．……………………1分因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－4(2)因为当x ＜1时，f ′(x )＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0； 当x ＞2时，f ′(x )＞0.……………………8分 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ； 当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (2)＞0或f (1)＜0时，f (x )＝0仅有一个实根． 解得a ＜2或a ＞52.……………………12分20.解： (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋b ，消去y ，得方程：4x 2＋(4b－4)x ＋b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24，……………………3分 |AB |＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(1－b )2－b 2＝35，解得b ＝－4.……………………6分 (2)将b ＝－4代入直线y ＝2x ＋b ，得AB 所在的直线方程为2x －y －4＝0，设P (a,0)，则P 到直线AB 的距离为d ＝|2a －4|5 (9)分△APB 的面积S ＝12×|2a －4|5×35＝39，则a ＝－11或15，所以P 点的坐标为(－11,0)或(15,0)．……………………12分21.解： (1)由题意e ＝12，即e ＝c a ＝12，∴a ＝2c .∴b 2＝a 2－c 2＝(2c )2－c 2＝3c 2. ∴椭圆C 的方程可设为x 24c 2＋y 23c 2＝1.……………………2分 代入A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，得14c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3223c 2＝1.解得c 2＝1， ∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，……………………4分(2)由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由题意，Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0， 整理得：3＋4k 2－m 2＞0，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)， x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k 2.……………………8分 由已知，MN ⊥GP ，即k MN ·k GP ＝－1，即k ·3m3＋4k 2－0－4km 3＋4k 2－18＝－1，整理得：m ＝－3＋4k 28k .代入①式，并整理得：k 2＞120，即|k |＞510，∴k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－510∪⎝ ⎛⎭⎪⎫510，＋∞.……………………12分22.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且'()1aa xf x x x-=-=． 当0a <时，'()0f x <，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由'()0f x >，得0x a <<，∴()f x 在(0,)a 上单调递增；由'()0f x <，得x a >，∴()f x 在(,)a +∞上单调递减． (4)分（2）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，则由题意知，不等式ln 1(1)1x x m x -+<-+，即ln 0x mx -<在(0,)+∞上恒成立．……………………5分 令()ln g x x mx =-，则11'()mxg x m xx-=-=．……………………7分 当m<0时，则'()0g x >，()g x 在区间(0,)+∞上是增函数． ∵(1)0g m =->，∴不等式ln 0x mx -<在(0,)+∞上不恒成立.……………………8分当0m =时，()g x 有唯一零点1x =，即函数()g x 的图象与x 轴有唯一交点，即不等式ln 0x mx -<在(0,)+∞上不恒成立.……………………9分 当0m >时，令'()0g x =，得1x m =，则在区间1(0,)m上，'()0g x >，()g x 是增函数；在区间1(,)m+∞上，'()0g x <，()g x 是减函数； 故在区间(0,)+∞上，()g x 的最大值为11()ln 1ln 1g m m m =-=--，…………………10ln 10m --<，得1m e>，即m 的取值范围为1(,)e+∞.……………………12分。