3[1].1.2空间向量基本定理
空间向量的基本定理
CD上的点，
则 EF ＝ EA＋ AD＋ DF ，
EF ＝ EB＋ BC ＋CF
①
又E、F分别是AB、CD的中点，故有 EA＝－ EB，
DF ＝－CF ②
将②代入①中，两式相加得2EF ＝ AD＋BC .
所以
EF
＝1 2
AD
＋1 2
BC
，即
EF
与
BC
、
AD 共面．
返回
[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练 地进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本 题实质上是证明存在实数x，y使向量 EF ＝x AD ＋y BC 成 立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形， 用 AD、 BC 表示 EF .
返回
5．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的 一个基底，给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}， ③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}， 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
返回
解析：如图所设 a＝ AB，b＝ AA1 ，c＝ AD，则 x＝ AB1 ，y＝ AD1 ，z＝ AC ，a ＋b＋c＝ AC1 ，由 A、B1、D、C 四点不 共面可知向量 x，y，z 也不共面．同理 可知 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 也不共面，可以作为空间 的基底，因 x＝a＋b，故 a，b，x 共面，故不能作基底．
返回
3．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 ( A．OM ＝3OA－2OB－OC B．OM ＋OA＋OB＋OC ＝0 C． MA＋ MB＋ MC ＝0 D．OM ＝14OB－OA＋12OC 解析：对C由 MA＋ MB＋ MC ＝0， 得 MA＝－ MB－ MC ， M与A、B、C必共面． 答案：C
2 空间向量的基本定理(精讲)(解析版)
1.2 空间向量的基本定理1．空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点．【题型精讲】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D 中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）A ．AB AC AD ，，B ．11AB AA AB ，，C ．11111D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【答案】C【解析】:AB AC AD ，，共面，排除A 11AB AA AB ，，共面，排除B 111AC AC CC ，，共面，排除D 11111 D A DC D D ，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .2．（2018·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 【答案】C【解析】选项A,B 中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D 中，()a b c a b c ++=++，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C 中,,a b b a c +-不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若{a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑}构成空间的一组基底，则( )A ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,a ⃑不共面B ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b ⃑⃑不共面C ．b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑不共面D ．a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑不共面 【答案】A【解析】∵2b ⃑⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+(b ⃑⃑−c ⃑)，∴b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b⃑⃑共面 ∵a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+a ⃑，∴b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑共面∵a ⃑+c ⃑=(a ⃑−2c ⃑)+3c ⃑，∴a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑共面故选A考点二 基底的运用【例2】（2020·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 的中点，AB a =，AD b =，1AA c =，则AO =（ ）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+ 【答案】B【解析】O 为11A C 的中点， ∴()11111111111122AO AC AA AO AA AA A B A D =+=+++=()112AB AD AA =++()12c a b =++ 1122a c b =++． 故选：B ．【玩转跟踪】1．（2020·甘肃靖远。
1.2-空间向量基本定理-教案-2023学年高二年级数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.2 空间向量基本定理1. 教学内容空间向量基本定理及其相关概念（基底、基向量、单位正交基、正交分解）和定理的简单应用.2. 教学目标（1）通思考现实情境问题，学生能借助实物图形进行联想，感受引入空间向量基本定理的必要性，发展学生的数学抽象和直观想像素养.（2）通过学生对教师提出的问题的思考、讨论等活动，能提高学生解决问题的能力和数学表达、交流的能力，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.（3）通过实例，能加深学生对空间向量基本定理的理解，发展学生的数学运算素养.3. 教学重点与难点教学重点：空间向量基本定理的理解及简单应用.教学难点：空间向量基本定理的证明思路的发现，基底的恰当选择.4. 教学过程设计：引导语：同学们好！前面我们学习了空间向量的概念及其表示（可以用一条有向线段来表示），空间向量的线性运算，空间向量的数量积运算.知道任意两个共线的空间向量a →，b →(b →≠0→)的充要条件是a →=λb →;也知道，如选任意两个不共线的向量a→，b→作为基底(我们常常选择两个互相垂直的单位向量作为基底)，则可以利用平面向量的基本定理，所有与之共面的任意一个向量p →都可以用这个基底唯一地示出来：p→=x a →+y b→.这为向量的运算化归为数的运算奠定了基础，这也是平面向量最数学化的表示方法.同时我们也知道任意两个空间向量是共面的，任意三个向量空间向量不一定是不共面的.例如，在我们的教室中，我们若选定地面上的任意两个位置A ，B ，可以得到从墙角处为起点，以A,B 为终点的两个向量，它们可以表示地面上的任意一个位置，但是，它们还可以表示天花板上某盏灯的位置（也就是从墙角出发到等处的向量）吗？平面内的任意一个向量p →都可以用两个不共线的向量a →,b→表示（平面向量基本定理），这样，同一平面上所有的向量的位置关系和数量关系的研究就可以转化为对有限的两个不共线的向量的关系的研究。
类似地，前面我们学习了空间向量，知道任意一个空间向量可以用一条有向线段来表示，但是这并不是空间向量最数学化的表示方式，为了研究空间中的所有向量的位置关系和数量关系，能否把它们也转化成有限的少数几个向量的关系来研究呢？由此，你想要提出什么问题来进行研究？我们能否利用类比的思想，也用较少的几个向量去表示空间中的所有向量呢？这节课我们就来研究一下这个问题.问题1 在平面向量的学习中，我们知道利用平面向量基本定理可以确定空间中一个点的位置.那么在空间向量的学习中，如何确定空间中一个点的位置呢？例如，在我军近期在台海的军演中出动了很多战机，你如何确定空中一架战机的位置呢？师生活动：学生分组讨论后自由发表意见，教师追问：如果在地面上选定三个地点，以其中一个地点为起点，另两个地点和战机所处的位置为终点，得到三个向量，战机所处的位置对应的向量能用地面的两个向量表示吗？设计意图：让学生引起认知冲突，感受引入空间向量基本定理的必要性.同时，也让学生熟悉在空间中利用空间向量的自由性如何做出一个向量等于一个已知向量.问题2 空间中的任意一个非零向量a→可以表示空间中的所有向量吗？任意两个不共线的向量呢？师生活动：学生独立思考后自由发表意见，教师就学生的意见点评纠错.教师可以在此穿插复习共线向量的充要条件和向量加法的三角形法则、共面向量以及平行四边形法则和平面向量基本定理.(1) 空间向量共线:对于任意两个空间向量a →，b →(b →≠0→),a →//b→⟺ 存在实数λ ，使 a →=λb→ (2) 平面向量基本定理：如果两个向量a →，b →不共线，那么向量p →与向量a →，b→共面⟺ 存在唯一的有序数对(x,y ) ，使 p →=x a →+y b→.师生明确：任意一个空间向量不能用两个不共线的向量来表示.任意两个不共线的向量只能表示与之共面得得向量（空间两个不共线向量的充要条件或反证法）.教师随后增加以下追问： baa b N p A CB O AM B追问1：在长方体ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇中，我们可以选定底面矩形ABCD 中两个互相垂直的向量DA,→ DC → 作为基底来表示向量ＤB ＇→ 吗？为什么？ 追问2：空间中至少需要多少个向量才能用来表示空间中的所有向量呢？你有什么猜想？追问3 :共面的任意三个向量可以表示空间中的所有向量吗？为什么？追问4： 既然共面的任意三个向量不可以表示空间中的所有向量，那么任意三个不共面的向量可以表示空间中的所有向量吗？我们研究一个未知的问题，往往是从特殊的情形着手开始研究，你认为三个不共面的向量最特殊的情形是什么？师生活动：学生独立思考后自由发表意见，教师就学生的意见点评纠错.对于追问1，由学生观察向量DB′→ 与底面不在同一个平面内，不能利用共面定理,反之，如能用底面的两个不共线的向量表示，则共面.由追问2，学生可以猜测应该要三个向量才可能表示空间中所有的向量.通过追问3,学生观察图2，共同明确：共面的任意三个向量（即使两两不共线）也只能表示与之共面的向量，不可以表示与之不共面的任意一个空间向量..设计意图：通过层层递进的几个追问，使学生体验到空间向量与平面向量的联系与区别，“为什么在空间中必须要有三个向量才可能表示空间所有的向量”，使学生积累基本的活动经验，由追问4，引出空间向量基本定理的特殊情形,并引出下一个问题.问题3 任意三个互相垂直的向量可以表示空间中的所有向量吗？为什么？师生活动：学生分小组讨论交流，自由发表意见.然后教师利用以下追问引导学生思考：追问1：假设空间向量ＤB ＇→ 是作用于点D 的一个力，从力的作用效果的角度我们可以将它进行力的正交分解，分解为水平和竖直两个方向上的分力，也就是向量ＤB → 和ＤD ＇→ 的方向.由此可以启发你怎样将向量ＤB ＇→ 分解吗？ 图2图1A B A'B'D'C'DC追问2 ：我们知道向量的投影可以把空间向量的问题转化为平面向量的问题，怎样才能把不与底面平行的向量ＤB ＇→ 转化为与底面平行的向量呢？转化的关键是什么？你有什么猜想？追问3：你可以选择三个两两垂直的向量来表示空间向量ＤB ＇→ 吗？如果我们选用DA → ,DC → ,ＤD ＇→ ,你能用它们来表示空间向量ＤB ＇→ ，更进一步地去表示空间中的任意一个向量吗？追问4 如果我们选用DA → ,DC → ,ＤD ＇→ 来表示空间中的任意一个向量时，你是如何让思考的？任意一个空间宪向量如何表示？它与已知的三个向量会存在哪几种位置关系？可以转化为已知的问题吗？可以用平面向量基本定理吗？学生有困难时，教师引导学生观察，注意到ＤB ＇与ＤD ＇是共面的，故可以用平面向量基本定理，而ＤB ＇与ＤD ＇所确定的平面与另两向量DA → ,DC→ 所确定的平面由于有一个交点D,从而有一条过该点D 的直线，这条直线同时在两个平面内，所以非常关键，它是联系ＤD ＇与DA → ,DC→ 的纽带，然学生思考，如何转化才能用到旧知：平面向量基本定理。
原创1：3.1.2 空间向量的基本定理
典例分析
若{a，b，Ԧc}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋Ԧc，Ԧc＋a}能否
作为该空间的一个基底．
是否共面
【解析】假设a＋b，b＋Ԧc，Ԧc＋a共面，
则存在实数λ，μ使得
a＋b＝λ(b＋Ԧc)＋μ(Ԧc＋a)，
∴ a＋b ＝μa＋λb＋(λ＋μ)Ԧc.
答案
②③
典例分析
空间四边形OABC中，M，N是△ABC，△OBC的重心，设＝a，
＝b， ＝Ԧc，用向量a，b，Ԧc表示向量， ， .
利用线性运算，结合图形，
【解析】如图，取BC中点P，
O
对向量进行分解
则A、M、P，O、N、P分别共线，
a
cԦ
连结AP，OP.
2
AM＝OA＋AM＝a＋ AP
＝ k ＝k( + )
跟踪训练
＝k( − + − )
＝ − + −
＝ + .
所以E、F、G、H共面．
(2) ＝ − ＝k( − )＝k ，
且由第(1)问的证明中知＝k，
于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，
已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量
＝k， ＝k ， ＝k ， ＝k ＝k，
求证：(1)四点E、F、G、H共面；
(2)平面EG∥平面AC.
证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 = + ，
= − ＝ k － k
第三章 空间向量与立体几何
§3.1.2
空间向量的基本定理
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
空间向量基本定理
回顾复习
一、共线向量： 1.共线向量:
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，
则这些向量叫做共线向量或平行向量．
r
r
r a
平行于
r b
记作
r a
//
r b
．
规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
rrr r
2、共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(a 0),
ur r r
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
r b
C
ur p
P
请证明
A
r a
B
思考2：有平面ABC， 若P点在此面内，须 满足什么条件？
ur
rC
p
br Aa
B
P
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
uuur uuur uuur
1.存在唯一有序实数对x,y使 AP x AB y AC
uuuur uuuur uuuur (4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
ur ur
2.
已知uue1ur, e2
是平面内两个不共线的向量,
ur uur uuur ur uur
uuur
ur
uur
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
uuur OP
2
uuur OA1来自uuur OB2
uuur OC
;
555
uuur uuur uuur uuur
(2) OP 2OA 2OB OC ；
uuur r uuur r
例1.如图三棱柱,设AB a, AC b, A1
19版高中数学全程学习方略选修2-1人B3.1.2 空间向量的基本定理
2.证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共
线.
(1)存在实数λ,使
uuur PA
uur PB
成立.
(2)对空间任一点O,有
uuur OP
uuur OA
tAuuBur(t∈R).
(3)对空间任一点O,有
uuur OP
uuur xOA
uuur yOB
P
DuuBur，所以
uur FE
P
uuuur uur NM，即EF
P
uuuur MN.
又λ与
μ不一定相等,故
uuuur MN
不一定等于
uur EF .
2.如图所示,在正方体ABCD������ A1B1C1D1中,E在A1D1上,且
uuuur A1E
uuuur 2ED1,
F
在对角线A1C上,且
(2)证明三个向量共面 如果向量a,b,c满足关系式c=xa+yb,那么可以判定向量 a,b,c是共面向量.
(3)证明四个点共面
空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序
实数对(x,y),使
uuur MP
uuuur xMA
yMuuuBr.满足这个关系式的点P
都在平面MAB内;反之,平面MAB内的任一点P都满足这个
(x+y=1).
【变式训练】
1.已知空间四边形ABCD,E,F分别是AB与AD边上的点,
M,N分别是BC与CD边上的点,若
uuur uuur uuur uuur AE＝AB，AF＝AD，
CuuMur＝CuuBur，CuuNur＝CuuDur，则向量
3.1.2空间向量的基本定理
由①知
E G kA C
A
H
D
C
E G // A C E F // A B
B
G
由面面平行判定定理的推论得：
面 E G // 面 A C
E
F
16
课外思考题: 如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量 AB a , AC b , AD c ,若 M 为 BC 的中点, G 为
(D)
1
3
18
课外补充练习:
1.下列说明正确的是： D (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是：C (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面
规定: o
与任一向量 a
是共线向量.
≠0
） ，
7
思考
:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a
的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A
l
注:非零向量 a
a
BP
叫做 直线 l 的方向向量.
O ⑴∵ A P // a ,∴存在唯一实数 t R
p
P
B
12
思考 1:如图,平面
b 的非零向量 a 、
为经过已知点 A 且平行两不共线
p
的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P
C b A a
呢?
P
高二数学 3.1.2 空间向量的基本定理
3.1.2 空间向量的基本定理1．共线向量定理两个空间向量a ，b (________)，a ∥b 的充要条件是____________________，使__________．2．向量共面的条件(1)向量a 平行平面α的定义 已知向量a ,作OA →＝a ,如果a 的基线OA_______________________，则就说向量a 平行于平面α，记作________．(2)共面向量的定义 平行于____________的向量，叫做共面向量．(3)共面向量定理 如果两个向量a ，b __________，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是，________________________，使____________．3．空间向量分解定理(1)空间向量分解定理如果三个向量a ，b ，c __________，那么对空间任一向量p ，_________________________________，使_____________．(2)基底 如果三个向量a ，b ，c 是三个________________，则a ，b ，c 的线性组合____________能生成所有的空间向量，这时a ，b ，c 叫做空间的一个________，记作____________，其中a ，b ，c 都叫做__________．表达式xa ＋yb ＋zc ，叫做向量a ，b ，c 的________________________________.探究点一 向量共线问题问题1(1)两向量共线时，它们的方向有什么关系？(2)在两向量共线的充要条件中，为什么要求b ≠0?问题2 向量共线在几何中有什么应用？例1 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．跟踪1 如图所示，四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．探究点二 向量共面问题 问题1 如何理解向量与平面平行？问题2 在三个向量共面的充要条件中，若两向量a 、b 共线，那么结论是否还成立？问题3 向量共面在几何中有什么应用？问题4 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？例2已知斜三棱柱ABC —A ′B ′C ′，设AB →＝ a ，AC →＝b ，AA ′→＝c .在面对角线AC ′上和棱BC 上分别取点M 和N ，使AM →＝kAC ′→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．求证：(1)MN →与向量a 和c 共面；(2)MN 与面A ′AB 平行吗？跟踪2 已知A 、B 、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13OA →＋ 13OB →＋13OC →.(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内． 探究点三 空间向量分解定理问题1平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？问题2 和平面向量基本定理类似，请你思考怎样用空间的基底来表示任何一个空间向量？ 问题3 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底？例3 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB→＝b ，OC →＝c .试用向量a ，b ，c 表示向量GH →.跟踪3 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 是CA ′上的点，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →； (2)AM →； (3)AN →； (4)AQ →.【达标检测】1．空间的任意三个向量a ，b,3a －2b ，它们一定是( )A ．共线向量B ．共面向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量2．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C 有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则 （ ）A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面3．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }，其中可以作为空间的基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS→＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ,H 为RS 的中点，则GH →＝__________________.(用a ，b ，c 表示)【课堂小结】1．利用空间向量的数乘运算可以划定两个向量共线．2．空间三个向量a 、b 、c 共面，只要找到一个向量能用其余两个向量线性表示即可．3．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．3.1.2 空间向量的基本定理一、基础过关1．“a ＝x b ”是“向量a 、b 共线”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →|3．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c4．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则AM →等于( ) A.b －c 2 B.c －b 2 C.b －c 3 D.c －b 35．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________.6．在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．二、能力提升7．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 8．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝25OA →－15OB →－15OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝09．在以下3个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线．③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间一个基底．10．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，试求实数k 的值．11.如图所示，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．12.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →、B 1C →、EF→是共面向量．三、探究与拓展13.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z .。
1.2 空间向量基本定理
解析：由题意知，D―1→A1，D―1→C1，―D1→D不共面，可以作为空
间向量的一个基底．
答案：C
题型一 基底的判断 [学透用活]
[典例 1] 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且―O→A ＝e1 ＋2e2－e3，―O→B ＝－3e1＋e2＋2e3，―O→C ＝e1＋e2－e3，试判断 {―O→A ，―O→B ，―O→C }能否作为空间的一个基底？
(|a|－|c|)·(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0，得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1. 而由(1)知CC1⊥BD，又显然BD⊥AC， ∴BD⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD. 综上可得，当CCCD1＝1时，A1C⊥平面C1BD.
“课下过关检测”见“课下过关检测（三）” (单击进入电子文档)
(一)教材梳理填空 1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向 量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_p_＝__x__a_＋__y_b_＋__z_c___.
其中，把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做 基向量 ， 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
使 0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.
()
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，可以作为空间向量一个基底
的是
()
A．―A→B ，―A→C ，―A→D C．D―1→A1，D―1→C1，―D1→D
B．―A→B ，―AA→1 ，―AB→1 D．―AC→1 ，―A1→C ，―CC→1
试用 a，b，c 表示：―B→F ，―B→E ，―A→E ，―E→F .
[解] 连接 BO(图略)，则―B→F ＝12―B→P ＝12(―B→O ＋―O→P ) ＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c. ―B→E ＝―B→C ＋―C→E ＝－a＋12―C→P ＝－a＋12(―C→O ＋―O→P )＝－a －12b＋12c. ―A→E ＝―A→P ＋―P→E ＝―A→O ＋―O→P ＋12(―PO→＋―O→C ) ＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c. ―E→F ＝12―C→B ＝12―O→A ＝12a.
1.2空间向量基本定理高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
解 设=x+y ,则 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),
即 e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,
-3 = 1,
∴ + = 2,此方程组无解.
用基底表示空间向量
【例 2】 如图,在三棱柱 ABC-A'B'C'中,已知'=a, =b, =c,点 M,N 分别
是 BC',B'C'的中点,试用基底{a,b,c}表示向量, .
解 连接 A'N(图略).
= +
= +
1
'
2
1
(
2
−
= +
1
(
2
1
人教A版 数学 选择性必修
第一册
课 程 标 准
1.掌握空间向量基本定理.
2.了解空间向量正交分解的含义.
3.会用空间向量基本定理解决有关问题
基础落实·必备知识全过关
知识点
空间向量基本定理
1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在
唯一的
有序实数组(x,y,z),使得p= xa+yb+zc .
明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,
一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
变式训练2[北师大版教材习题]如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F
3.1.2空间向量的基本定理
第 1 页 共 2 页格言：成功的先决条件，是不变的信心，坚强的意志3.1.2 空间向量的基本定理学习目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及空间向量分解定理；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式学习重点：共线、共面定理、分解定理学习难点：共线、共面定理、分解定理及其应用。
学习方法：自主探究、小组合作、展示交流、质疑释疑三.教学过程复习：空间向量的概念及表示（5～10分钟）（一）共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a 平行于b ，记作：//a b．（二）共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ= （λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a = ，则①式可化为OP OA t AB =+ 或(1)OP t OA tOB =-+ ②当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+ ③①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．（三）向量与平面平行：已知平面α和向量a，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的．（四）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ①上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．例2．已知ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量alPBA O第 2 页 共 2 页 格言：成功的先决条件，是不变的信心，坚强的意志,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ==== ，（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG ．（五）空间向量分解定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个惟一的有序实数组x ，y ，z ，使p=xa+yb+zc.1、本节课的主要知识点是：______________________;2、本节课的主要思想方法是：______________________;3、这节课学习中存在的问题：_________________________.1．已知两个非零向量21,e e 不共线，如果21AB e e =+ ，2128AC e e =+ ，2133AD e e =-，求证：,,,A B C D 共面．2．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++ ，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值。
空间向量基本定理(23张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
B ,1,
,1,
A
口
1,
C.
9
解析：由题意知d=aa+βb+γc=α(e₁+e₂+e₃)+β(e₁+e₂-e₃)+y(e₁-e₂+e₃)=(a+β+y)e₁+(a+β-y)e₂+(α-β+y)e₃,
.故选A.
又d=e₁+2e₂+3e₃, 所 以
解得
5.(多选) 设a,b,c 是空间的一个基底，( BCDA. 若alb,b⊥c, 则 a ⊥cB. 则 a,b,c 两两共面，但a,b,c 不可能共面C.对空间任一向量p, 总存在有序实数组(x,y,z), 使p =xa+yb+zcD.则a+b,b +c,c+a 一定能构成空间的一个基底
D₁C₁ ,C₁B₁ 的中点.求证MN⊥AC₁ .
构成空间的一个基底，我们用它们表示MN,AC,贝 ,AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c,所
证明：设AB=a,AD=b,AA₁=c, 这三个向量不共面，{a,b,c}
所以
8.如图所示，已知四面体ABCD 的棱长为1,点E,F,G 分别是AB,AD,CD 的中
(1)EF·BA;(2)|EG|.
点，设AB=a,AC=b,AD=c,{a,b,c}
为空间向量的一个基底，计算：
解析：(1)由题意得la月bHc=1,
事
小结：回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量基本定理2.基底和基向量
=0.所以MN⊥AC₁ .
例3如图，正方体 ABCD-A'B'CD 的棱长为1,E,F,G 分别为
1.2 空间向量基本定理
(2)在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设 A→B ＝a， A→D ＝ b， A→A′ ＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的 中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c} 表示以下向量：
①A→P；②A→M；③A→N；④A→Q.
存在实数x，y
使O→A＝xO→B＋yO→C成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)， 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3
y－3x＝1， ∴x＋y＝2，
2x－y＝－1，
此方程组无解．
即不存在实数x，y使得O→A＝xO→B＋yO→C，
成套的课件成套的教案成套的试题成套
解析：如图所示，令a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D，
则x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C， a＋b＋c＝ A→C1 .由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x， y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．故选 BCD. 答案：BCD
成套的课件成套的教案成套的试题成套
例 2 在长方体 OAEB－O1A1E1B1 中，OA＝3，OB＝4，OO1 ＝2，点 P 在棱 AA1 上，且 AP＝2PA1，点 S 在棱 BB1 上，且 SB1＝ 2BS，点 Q、R 分别是棱 O1B1，AE 的中点，求证：PQ∥RS.
成套的课件成套的教案成套的试题成套
证明：设O→A＝a，O→B＝b，O→O1＝c， 则P→Q＝P→A1＋A→1O1＋O→1Q＝13A→A1＋A→1O1＋12O→1B1 ＝13O→O1－O→A＋12O→B＝－a＋12b＋13c R→S＝R→E＋E→B＋B→S＝12A→E＋E→B＋13B→B1 ＝12O→B－O→A＋13O→O1＝－a＋12b＋13c ∴P→Q＝R→S ∵R∉PQ ∴PQ∥RS.
课件1：3.1.2空间向量的基本定理
点，点G在MN上，且MG＝2GN，设
→ OA
＝a，
→ OB
＝b，
→ OC
＝c，
试求向量O→G在基底{a，b，c}下的分解式．
【解】 如图所示，由线段中点的向量表达式，得O→G＝O→M
＋
M→G
＝
O→M
＋
2 3
M→N
＝
1 2
O→A
＋
2 3
(
M→O
＋
O→C
＋
C→N
)
＝
1 2
a
＋
2 3
－12a＋c＋12
b－c
1．判断三个(或以上)向量共面，主要使用空间向量共面定 理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可．通常应结合 图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基 向量线性表示．当然，必要时也可选择目标向量以外的一组基底， 通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．
2．向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都 过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)．
2．证明空间三个向量共面，常用如下方法： ①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线 性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a、b、c共面； ②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
1．在下列条件下，使M与A，B，C一定共面的是( ) A.O→M＝3O→A－2O→B－O→C B.O→M＋O→A＋O→B＋O→C＝0 C.M→A＋M→B＋M→C＝0 D.O→M＝14O→B－O→A＋12O→C
2．在图中任找一向量p，是否都能用a，b，c来表示？ 【提示】 是．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc .
【高中数学】空间向量基本定理(教学课件)+高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
在 i，j，k 上的分向量。
探究
在空间中，如果用任意三个不共面的向量 a，b，c 代
替三个两两垂直的向量 i，j，k，你能得出类似的结论吗？
新知1.空间向量基本定理
定理：如果三个向量 ，，不共面，那么对任意一个空间向量，
思路 : 即证a b, b c, c a是否共面.
析 : 假设a b, b c, c a共面,
则存在x, y使a b x(b c) y(c a),
假设三个向量共面，建立x,y的方
程组，若有解，则不可构成基底；
若无解，则可构成基底.
整理得a b ya xb ( x y)c,
AG CE
2
2
2
cos AG, CE
5
5
5
| AG || CE |
2
2
2
CE与AG所成角的余弦值是 .
5
【基底法的应用4】证线线垂直(向量数量积为0)
同类题：P14-3
P15-6/7(1)
P13-例2.如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，
a
P10-8.(三垂线定理)若平面内的一条直线与这个平面的斜
4
43
4
4
2
4
1
11
1
OA OB OC
4
22
2
1
1
1
OA OB OC
4
4
4
以三角形法则或平行四边形法则为切入点，
建立目标向量与基底的关系.
1.2空间向量基本定理教学设计
1.2空间向量基本定理教学设计1.2空间向量基本定理教学设计主题：空间向量基本定理的教学设计一、引言在学习空间向量的基本定理之前，我们需要了解什么是空间向量及其相关概念。
空间向量是指具有大小和方向的有向线段，可以用来表示空间中的物理量。
本文将围绕空间向量的基本定理展开讲解，并设计相应的教学内容和活动，旨在帮助学生理解和掌握该定理的原理和应用。
二、教学目标通过本次教学，学生应能达到以下目标：1. 理解空间向量的概念及其基本性质；2. 掌握空间向量的加法、减法和数量乘法；3. 理解和运用空间向量基本定理。
三、教学内容与教学过程1. 空间向量的概念和性质（课堂讲解）a. 三维直角坐标系与空间向量的关系；b. 空间向量的表示方法（坐标、分解）；c. 空间向量的基本性质（相等、相反、共线等）。
2. 空间向量的运算（课堂讲解与练习）a. 空间向量的加法和减法原理；b. 空间向量数量乘法的定义和性质；c. 练习题：如何用坐标和分解法计算空间向量的加减法和数量乘法。
3. 空间向量基本定理的引入（课堂讲解）a. 空间向量基本定理的公式和意义；b. 理解空间向量基本定理的几何意义。
4. 空间向量基本定理的应用（课堂讲解与实例分析）a. 利用空间向量基本定理求解空间图形的性质和关系；b. 练习题：通过运用空间向量基本定理解决几何问题。
5. 教学活动设计a. 通过图示展示空间向量的概念和性质，引导学生观察和思考；b. 利用实际问题引入空间向量的加法、减法和数量乘法，培养学生的思维能力；c. 设计小组合作活动，让学生运用空间向量基本定理解答相关问题；d. 利用练习题、小测验等形式，检测学生对空间向量基本定理的理解和应用能力。
四、教学评价1. 课堂互动：通过课堂讨论和问题解答，检测学生对空间向量概念和运算的理解程度。
2. 实际问题解决：通过应用练习和解析实例，考察学生对空间向量基本定理的运用能力。
3. 作业评估：布置练习题和探究性问题，评估学生对空间向量基本定理的掌握情况。
1.2空间向量基本定理教案
1.2空间向量基本定理教案
一、教学目标：
1. 知识目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。
2. 能力目标：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量。
会作空间任一向量的分解图。
类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。
二、教学重难点：
重点：空间向量基本定理及其应用。
难点：空间向量基本定理的证明。
三、教学过程：
1. 导入：复习平面向量基本定理，引出空间向量基本定理。
2. 定理讲解：讲解空间向量基本定理的内容，并借助多媒体演示其证明过程。
3. 例题讲解：通过例题，让学生学会运用空间向量基本定理解决立体几何问题。
4. 课堂练习：让学生练习一些典型的立体几何问题，加深对空间向量基本定理的理解。
5. 小结：总结本节课的主要内容，强调空间向量基本定理的重要性。
四、作业布置：
布置一些与空间向量基本定理相关的练习题，让学生巩固所学知识。
1.2空间向量基本定理2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册+
2
→ —→
∴EF⊥B1C，即 EF⊥B1C.
例3 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱
1
CD上，且CG＝ CD.
3
(1)证明：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
→ 1 1 1 —→ —→ →
1
（2）∵EF＝ i＋ j－ k，C1G ＝C1C ＋CG＝－k－ j，
1.2 空间向量基本定理
教学目标
1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.
2.会用基底表示空间向量．(重点)
3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法.(难点)
根据平面向量的学习经验，在建立了平面向量及其运算的知识体系后，我
们研究了平面向量基本定理，这一定理给出了用向量表示平面上任意一点
Ԧ = Ԧ + + Ԧ
基向量个数
1
2
3
基向量要求
Ԧ ≠ 0
，不共线
Ԧ
，，
Ԧ
不共面
Ԧ
对应实数（对、组）
(, )
(, , )
分类
例1 已知{1 , 2 , 3 }是空间的一个基底，且 = 1 + 2 2 − 3 ， =
− 31 + 2 + 23 ， = 1 + 2 − 3 ，试判断{, , }能否作为空间
则B1C＝B1B ＋BC＝－i－k，
1 1
1→ 1→
1 → 1—→ 1 1
→ → → 1 → → 1 —→ →
j－ i
j＋ k
DC－ DA
DC＋ DD1
MF＝AF－AM＝ (AD＋AB)－ ( AA1 ＋AB)＝ 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小结:
1. 共线向量定理. 2.共面向量定理. 3.空间向量基本定理及推论. (1)注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即 空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和； (2)介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面
的三个向量作为基向量，并用它们表示出指定的向量， 是用向量法解立体几何问题的一项基本功。
问题 情境
（e1、2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 有 向 量 的 一 组 基 底 ) e 所
这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线向量来线性表示. 能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基 本定理呢? 即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?
猜想:
如 果 三 个 向 量1、2、3不 共 面 ， 那 么 空 间 任 一 e e e 向 量p， 存 在 一 个 唯 一 的 有 实 数 组 x， y， z， 序 使p xe1 ye2 ze3。
xa yb zc
然后证唯一性
看书P83
三.空间向量基本定理：
把 e1、2、3 称为空间的一个基底, e1、2、3叫做基向量. e e e e
如果三个向量e1、2、3 不共面，那么空间任一 e e 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p xe1 ye2 ze3 .
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了
请证明
C b A B a
p
P
思考2：有平面ABC， 若P点在此面内，须 满足什么条件？
O
C b A a B
p
P
结论:空间一点P位于平面ABC内
uuu r uuu r uuu r 1.存在唯一有序实数对x,y使 AP x AB y AC uuu uur r u uuu r uuu r 2.对空间任一点O,有 OP OA x AB yAC
O/
A/
a
O A
c
b
B
C/ '
B/ G
' BA c b ' CA a b c
OB a b c
1 C OG a b 1 c 2 2
4：已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M 和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使 MG=2GN，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG
追问:求证 : MN 平面. AA1 B1 B
A
C1 B1 M
b
a
B
C N
在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 平面向量基本定理
如 果e1，2是 同 一 平 面 内 的 两 个 共 线 向 量 ， e 不 那 么 对 于 这 一 平 面 内 任 一 向 量， 有 且 只 有 的 a 一 对 实 数 λ， λ 2， 使a＝ λ 1 e1＋ λ 2 e 2。 1
求证:A,B,C,D 四点共面.
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
1 1 O， OM xOA ＋ OB ＋ OC 3 3
,则x的值为： D
A. 1
B. 0
C. 3
1 D. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
OP xOA yOB zOC O
C
A P
B
练 习3 1.已知向量{a , b , c} 是空间的一个基底，从
a , b , c 中选哪一个向量，一定可以与向量
p a b ， a b p
构成空间的另一个基底？
2.如果向量 a , b 与任何向量都不能构成 空间的一个基底，那么a , b 之间应有什 NhomakorabeaD
B
OB OC OD OE BA c p
作 AB // b, BD // a, BC // c
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a , b, c
a
(2) OP 2OA 2OB OC ；
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
例1.如图三棱柱, 设 AB a, AC b, A1 AA1 c, AM k AC1 , BN k BC , 求证 : MN与向量a和c共面. c
解：在△OMG中，
O
M
G
OG OM MG
C N
1 2 OA MN 2 3 1 2 OA (ON OM ) 2 3
A B
1 1 1 OA OB OC 6 3 3
平面向量基本定理：
如果是 e1，2 同一平面内两个不共线的 e 向量，那么对于这一平面内的任一向 量 a ，有且只有一对实数1，2，使 a 1 e1 2 e2 a
思考1：空间任意向 量 p 与两个不共线 的向量 a， 共面时， b 它们之间存在怎样 的关系呢？
说明： ①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量。（零向量与 任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面） ③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基 向量是指基底中的某一个向量。
三.空间向量基本定理：
如果三个向量e1、2、3 不共面，那么空间任一 e e 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p xe1 ye2 ze3 . 推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间 任一点P，都存在唯一的有序实数对 x、y、z使
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
2. 已知 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
如果三个向量 a 、 、c 不共面,那么对于空间任一向 b 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 x, y, z 使 p xa yb zc . 证明思路：先证存在性
类似地,
空间向量分解定理
b E
p
O C
A
对向量 p 进行分解,
3.1.2空间向量基本定理
回顾复习
一、共线向量： 1.共线向量:
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， r 则这些向量叫做共线向量或平行向量． a 平行于 b 记作 a // b ． 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
r r r r 2、共线向量定理 对空间任意两个向量 a, b(a 0), r r r r b与a共线的充要条件是存在实数λ, 使b a.
b C b A B a
P
二.共面向量:
1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.
a
O A
a
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、 不共线,则向 b 量 p 与向量 a 、 共面的充要条件是存在唯一的有 b 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
么关系？
3.已知平行六面体OABC－O’A’B’C’,且
OO OC OA a ， b， c ，用a , b , c 表示如下 向量:(1) OB , BA , CA； (2)OG （点G是侧面BB’C’C的中心）
3.能转化为都以O为起点的向量吗？ uur u uur uur uuu u r OP 1 x y)OA xOB yOC （
uuu r uur u uuu uuu r r OP xOA yOB zOC (其中，x y z 1)
可证明或判断四点共面
练 习2:
B 1.下列命题中正确的有： (1) p xa yb p 与 a 、 共面 ; b (2) p 与 a 、 共面 p xa yb b ； uuu r uuu r uuu r (3) MP xMA yMB P、M、A B共面； 、