数列的概念(第二课时)
选择必修第二册 第四章 4.1 数列的概念(第2课时) 课件(共21张PPT)
1
,
(+1)
1
; 3
1×2
− 2 =
以上各式累加，得
1
1
− 1 =
+
+
1
(
−1
1
− )
1×2
=1
2×3
1
− .
1
; 4
2×3
1
+
3×4
∵a1＝－1， − 1 = 1
⋯+
1
− ,
当n=1时，a1＝－1，符合上式.
− 3 =
1
(−1)
∴ =
1
; ⋯ ;
3×4
1
2
1
2
− −1 =
1
3
1
3
1
.
(−1)
1
4
= (1 − ) + ( − ) + ( − ) + ⋯ +
1
− (
≥ 2).
∴数列{an}的通项公式为 =
1
− .
初试身手
3.设数列{an}中，a1＝1，an＝(1 −
1
) (n≥2)，求数列{an}的通项公式an.
−1
解： ∵a1＝1，an＝(1 − 1 )−1 (n≥2)，
=2n.
并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立.
∴{an} 的通项公式是an=2n.
初试身手
2.已知数列{an}的前几项和公式为Sn =-n2+5 ，求{an}的通项公式.
解：当n=1时，a1=S1=-1+5=4;
当n≥2时， an=Sn-Sn-1=-(n2+5)-[-(n-1)2+5]=-2n+1.
数列概念第二课时
如果已 知数列 {an }的第 1项（或前 n项），且任一 项 an与它 的前一 项 an （或前 n项）间的关 系可以用一 个公式 来表示， 1 那么这 个公式就叫 做这 个数列 的递推公式 。 递推公式也是数列的一种表示方法。
1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和 项的关系; 2.由通项公式可以求出数列中的每一项.
1 1 1 1 1 1 ( 3) - 1, , (- ), ,- , , ( - ) 2 3 4 5 6 7
(4)1, 2, ( 3 ),2, 5 , ( 6 ), 7
2、数列{an}通项公式是：an=n2-7n+6 (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这 个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项起各项都是正数？
答案： （1）
an 1
n 1 n 1
（2）
（3）
an 1 1 an 10n 1 an 1 10
n
（4）
观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个 数列的一个通项公式：
(1)2,4, (8 ),16,32, (64 ),128
( 2)(1 ),4,9,16,25, (36 ),49
数列是一种特殊的函数 数列与函数的关系：
对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数（项） an与之对应. 序号n 1 2 3 4 ……64 （自变量）
可以认为：
项 an 1
2 2 2 23
n1
…… 263
（函数值）
an f (n) 2 从函数的观点看， 数列的项 是 序号 的函数。
N 数列可以看作是一个定义域为正整数集 （ 或它的
－1，2， － 3，4， － 5.
4-3-1等比数列的概念课件(人教版)(第二课时)课件(人教版)
解: 设从今年1月起 , 各月的产量及不合格率分别构成数列{an}, {bn}. 由题意，知an=1050×1.05n-1,
bn=1-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n, 其中n=1, 2,… , 24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1× (0.104-0.004n) =1.05n× (104-4n).
出发，利用指数、对数的知识进行证明。
(1) 若{an }为等差数列, 公差d 2, 证明数列 3an 为等比数列;
(2)
若{an }为等比数列,
公比q
1 9
,
证明数列log3
an 为等差数列.
证明 : (1)由已知得an1 an 2. 设bn 3an ,则
bn1 bn
3an1 3an
3an1 an
所以 aman=(a1qm-1) (a1qn-1) = a12qm+n-2,
akal=(a1qk-1) (a1ql-1) = a12qk+l-2, 因为m+n=k+l(m, n, k, l∈N*), 所以aman=akal . 特别地，若m+n=2k (m, n, k∈N*), 则aman=ak2 .
（1）{ an }；√ （2）{lg an} ×
3.已知数列{an}是等比数列.(教材P31练习5） (1) a3, a5, a7是否成等比数列? 为什么? a1, a5, a9呢? (2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列? 为什么?
当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗?
ban
是首项为ba1 , 公比为bd的等比数列.
4.2.1等差数列的概念(第二课时)课件(人教版)
B [由条件可设an＝dn＋b，则2an＝2dn＋2b，∴数列{2an}的公 差为2d．]
学以致用：
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则 a5 的值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
A [由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5， 又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10， ∴a5＝5．]
学以致用：
所以等差数列通项公式也可以表示为：
等差数列的图象为相应直线上的点。
等差数列中的主要方法： 1．等差数列的判定方法
(1)定义法: an1 an d(常数) (n N)
(2)中项法: 2an1 an an2
(3)通项公式判定: an a1 (n 1)d 等差数列的通项公式是关于n的一次函数
2、在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450,
则a2+a8 =（ ）
3、在等差数列{an}中a1-a5+a9-a13+a17=117,
则a3+a15=（ ）
学以致用：
1．若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则数列{2an}是( ) A．公差为 d 的等差数列 B．公差为 2d 的等差数列 C．非等差数列 D．以上说法均不正确
例3、已知数列的通项公式为 an pn，其q 中 p，q是常数，那么这种数列是否一定是等 差数列？
等差数列的概念(第二课时)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
典
例 例3.已知数列{an}是等差数列，p,q,s,t,∈N*,且p+q=s+t,
分 析
则ap + aq = as + at
分析：只要根据等差数列的定义写出ap,aq,as,at,再利用 已知条件即可得证。
证明：设数列{an}的公差为d, 则ap =a1+(p-1)d, aq =a1+(q-1)d,
4.已知数列{an} 的通项公式为 an 19 2n(n N * ) ，
问数列从第几项开始小于0？
课堂小结
请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1.本节课学习的等差数列的性质有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
数学与生活实际有着密切联系，数学概念来源于生活实际，又应用于生活实际。
又, a1 220 d, an a1 (n 1) -d 220 nd.
由aa1101
220 5%, 220 5%.
即222200
10d 11d
11, 11.
解得19 d 20.9,
所以, d的取值范围为19 d 20.9.
典
例 分 析
例2.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插 入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项？若是,它是{an}的第几项？若不是，说明理由.
补充作业
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2，则 a 等 于（ )
A . -1
B. 1
C .-2 D. 2
2.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12 ，求此三数.
4.3.1 等比数列的概念(第二课时)(同步练习)(附答案)
4.3.1 等比数列的概念（第二课时）（同步练习）一、选择题1.在等比数列{a n}中，已知a1a38a15＝243，则a39a11的值为()A.3B.9C.27D.812.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A.100B.－100C.10 000D.－10 0003.若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1－a2b2的值等于()A.－12 B.12 C.±12 D.144.随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低13，则2003年价格为8 100元的计算机到2018年时的价格应为()A.900元B.2 200元C.2 400元D.3 600元5.数列{a n}是等比数列，对任意n∈N*，都有a n＞0.若a3(a3＋a5)＋a4(a4＋a6)＝25，则a3＋a5＝()A.5B.10C.15D.206.已知{a n}为等比数列，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则a2a16a9的值为()A.－2＋22 B.－ 2C. 2D.－2或 27.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a2·a6·a10＝33，b1＋b6＋b11＝7π，则tan b2＋b101－a3·a9的值是()A.－22 B.22C. 1D.－ 38.(多选)(2022年海南期末)在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a1＋a5＝1a1＋1a5＝52，则下列结论正确的是()A.a2a4＝1B.a2＋a4＝32 2C.q＝2或12 D.a1＝2或12二、填空题9.若数列{a n}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝________10.在3和一个未知数间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6成等比数列，则此未知数是________11.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则x ＋y＋z的值为________12.各项均为正数的等比数列{a n}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{a n}的通项公式a n＝________三、解答题13.有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．14.为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到2019年年底，将当地沙漠绿化了40%.从2020年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(参考数据：lg 2≈0.3)15.已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，由{a n}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，ab n，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{b n}的通项公式．16.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，公比是q，且满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.(1)求a n与b n；(2)设c n＝3b n－λ·na32，若数列{c n}是递增数列，求实数λ的取值范围．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1a 38a 15＝243，a 1a 15＝a 28，∴a 8＝3，∴a 39a 11＝a 38q 3a 8q3＝a 28＝9. 2.C 解析：∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.3.A 解析：∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1. 又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 4.C 解析：8 100×323（）＝2 400.故选C.5.A 解析：由等比数列的性质及a 3(a 3＋a 5)＋a 4(a 4＋a 6)＝25，得a 3(a 3＋a 5)＋a 4(a 3q ＋a 5q)＝25. ∴(a 3＋a 5)(a 3＋a 4q)＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25.∵对任意n ∈N *，都有a n ＞0，∴a 3＋a 5＞0，∴a 3＋a 5＝5.6.D 解析：由a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，可得a 2＋a 16＝－6，a 2a 16＝2，显然两根同为负值，所以a 9＝± a 2a 16＝±2，所以a 2a 16a 9＝±2.7.D 解析：因为{a n }是等比数列，所以a 2·a 6·a 10＝a 36＝33，所以a 6＝ 3.因为{b n }是等差数列，所以b 1＋b 6＋b 11＝3b 6＝7π，所以b 6＝7π3.所以tan b 2＋b 101－a 3·a 9＝tan 2b 61－a 26＝tan 14π31－3＝－tan 7π3＝－ 3.故选D. 8.ABD 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＋a 5＝1a 1＋1a 5＝52，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝52，a 1a 5＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 5＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，a 5＝2，即2×q 4＝12或12×q 4＝2，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q 2＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q 2＝2，所以选项C 错误，选项D 正确；因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 2a 4＝a 1a 5＝1，选项A 正确；a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝322，选项B 正确．故选ABD ．二、填空题 9.答案：256解析：∵{a n }是等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8，a 9＋a 10为等比数列，∴a 9＋a 10＝1×44＝256. 10.答案：3或27解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.11.答案：2解析：∵x 2＝24，∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.同理，第二行后两格中数字分别为52，3.∴y ＝5·312（），z ＝6·412（）.∴x ＋y ＋z ＝1＋5·312（）＋6·412（）＝3216＝2.12.答案：2n －1解析：设等比数列的公比为q(q>0)．由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1，q ≠1，所以a 1＝1q －1. a 3＝a 1q 2＝q 2q －1＝1－1q 2＋1q(q>0)，而－1q 2＋1q＝－⎝⎛⎭⎫1q －122＋14≤14，当且仅当q ＝2时取等号， 所以当q ＝2时，a 3有最小值4.此时a 1＝1q －1＝12－1＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.三、解答题13.解法一：设前三个数为a q ，a ，aq ，则a q ·a·aq ＝216，所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q ，6,6q.由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.解法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d)2，由题意知14(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.14.解：设该地区沙漠与绿洲的总面积为1,2019年年底绿洲面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2019年年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.依题意，a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲面积a n 减去被侵蚀的部分，即a n －8%·a n ；另一部分是新绿化的绿洲面积，即12%·b n . ∴a n ＋1＝a n －8%·a n ＋12%(1－a n )＝45a n ＋325，即a n ＋1－35＝45⎝⎛⎭⎫a n －35. 又a 1－35＝－15，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －35是以－15为首项，45为公比的等比数列，则a n ＋1＝35－15×n 45（） 由a n ＋1＞50%，得35－15×n 45（）＞12，∴n 45（）＜12，∴n ＞log 4512＝lg 21－3lg 2≈3. 则当n ≥4时，不等式n 45（）＜12恒成立．∴至少需要4年才能使绿洲面积超过50%.15.解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，②由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1.因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.16.解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，整理得q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍)，从而a 2＝6， 所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1. (2)由(1)知，c n ＝3b n －λ·n a 32＝3n －λ·2n .由题意知c n ＋1＞c n 对任意的n ∈N *恒成立，即3n ＋1－λ·2n ＋1＞3n －λ·2n 恒成立，即λ·2n ＜2·3n 恒成立，即λ＜2·n32（）恒成立．因为函数y ＝x 32（）是增函数，所以n min 3]2[2（）＝2×32＝3，故λ＜3，即实数λ的取值范围为(－∞，3)．。
等差数列的概念(第二课时)等差数列的性质 课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
思考：若数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，在 中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
解:
解1:
解2:
探究2 等差数列的综合问题
问题1：对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：
（1）设这三个数分别为 ， ， .
（2）设该数列的首项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .
（3）设该数列的中间项为 ,公差为 ,则这三个数分别为 , , .那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？
若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.
新知运用
例1 （1）已知等差数列 ， ， ，求 的值；
（2）已知等差数列 ， ，求 的值；
（3）已知数列 ， 都是等差数列，且 ， ， ，求 的值．
[解析] （1）（法一）设 的公差为 ，则 解得 故 . （法二）因为 ，所以在等差数列 中有 ，从而 . （法三）因为5, , 成等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，因此 ，即 ，解得 .
2A=a+b
第四章 数列
4.2 等差数列
课时2 等差数列的性质及其应用
学习目标
1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.
探究：观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？
方法总结 等差数列项的常见设法：（1）通项法.（2）对称项设法.对称项设法的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为 .
4.1数列的概念(第二课时)获奖公开课课件
1
3
3
9
3
2
∴这个数列的一个通项公式是 = −
27
3
3
新知讲解
问题1除了通项公式，你还能发现这个数列的项的其它取值规律吗？
从第二项起，前一项是后一项的3倍
1
3
0
1
3
×3
3
27
9
×3
3
2
×3
3
3
, =
.......
=
− , ≥
1 = 1
2 = 31
3 = 32
（1）， ， ， ， ...
（1） =
（2），
−
， ， ， ...
（2） =
−
教学目标
教学
目标
难点
重点
一
了解数列递推公式定义
二
易错点
了解数列前n项和公式的定义
三
能通过数列递推公式及数列前n项和求数
列通项
新知探究
探究一：数列的递推公式
新知讲解
下面请大家欣赏科普视频：谢尔宾斯三角形的美妙
大家所熟悉的
游戏动画，如
何产生三维既
视感，这就是
得益于谢尔宾
斯三角形。
三角形的美不
仅仅是稳定性！
新知讲解
例4 下图就是一系列三角形图案的谢尔宾斯基三角形。在图中4个三
个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成数列的前4项，请你
写出这个数列的通项公式。
1
3
0
回顾2 什么是数列的通项公式？
数列的概念与简单表示法第二课时改省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
f x x2
连续旳曲线
9
4
an n2
孤立旳点
1
01 234 5 6
5
做出常数数列：4,4,4,4,图象
4
是些孤立点
3
做出摆动数列：- 1，1，- 1，1，图象
2
1
0
1
2
3
4
5
根据数列旳前若干项写出旳通项公式 旳形式唯一吗？请举例阐明。
以数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ···为例
当n-1≥1即n≥2时Sn-1才有意义.
2024/9/28
11
3．Sn与an之间旳关系： 由旳定义可知，当n=1时，S1=a1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，
即an
S1(n 1) Sn Sn1(n
2)
阐明：数列旳前n项和公式也是给出数列旳一 种措施.
2024/9/28
12
例 4 已知下列数列{an}A的组前 n 专项题和 基Sn，础训练
an
与它的前一项 an－1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可
以用一个公式来表示．
题型一 根据递推关系求数列旳项
例2 . 已知数列1｛an｝旳第1项是1，后来旳各项 由公式 an 1 an 1 给出，写出这个数列旳前5项.
解 :据题意可知：a1=1, a2
1
1 a1
1 a3 1 a2
11 2
3, 2
4. 数列旳通项公式：
假如数列 an旳第n项 an与项数n之间旳关系能够用一种公式
an=f(n)来表达，那么这个公式就叫做这个数列旳通项公式. 5 .数列能够看成以正整数集N*(或它旳有限子集{1,2,3,...n})为 定义域旳函数an=f(n)
第二章 2.1 数列的概念与简单表示法 第二课时 数列的性质和递推公式1
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18 n 2．在数列{an}中，an＝(n＋1)( ) (n∈N*)． 19 (1)求证：数列{an}先递增，后递减； (2)求数列{an}的最大项．
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18 n n＋119 an 解：(1)∵ ＝ 18 n－1 an－1 n· 19 18 n＋1 ＝19× n (n≥2)． an 当 ＞1 时， an－1 18 n＋1 即19× n ＞1，
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• 1, 解析：计算得a2＝5/7，a3＝3/7，a4＝6/7， • 故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 011＝670×3＋1，所以a2 011＝a1＝6/7. • 2．解析：∵an＝2an－1－1， • ∴a2＝2×a1－1＝1， • a3＝2×a2－1＝1，…，a99＝1. • 答案：1
故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2. 返回
2an (2)∵a1＝1，an＋1＝ ， 2＋an ∴a2＝ 2a1 2 2a2 1 ＝3，a3＝ ＝2， 2＋a1 2＋a2
2a3 2 2a4 1 a4＝ ＝5，a5＝ ＝3. 2＋a3 2＋a4
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2 1 2 1 ∴它的前 5 项依次是 1，3，2，5，3. 2 2 2 2 2 它的前 5 项又可写成 ， ， ， ， ， 1＋1 2＋1 3＋1 4＋1 5＋1 2 故它的一个通项公式为 an＝ . n＋ 1
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预习思考：
1，我们知道有了数列的通项公式可以确定数列中的项， 还有什么方法可以确定数列中的项？ 2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，则 a3，a4，a5为何值？
3．数列{an}中，a1＝1，对任意的n∈N*(n≥2)，有an＝3an－1＋2 试写出该数列的前5项，指出数列的增减性
高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念 第二课时 数列的通项公式与递推公式》课件
题型二 由前 n 项和 Sn 求通项公式 an [学透用活]
[典例 2] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn＝3n＋3,求{an}的通项 公式．
[解] 因为 2Sn＝3n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3. 当 n≥2 时，2Sn－1＝3n－1＋3， 两式相减得 2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1， 即 an＝3n－1，所以 an＝33n，－1n，＝n1≥，2.
题型三 数列中的最大项、最小项 [学透用活]
[典例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由 n2－5n＋4<0，解得 1<n<4.
∵n∈N *，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝n2－n，则 an＝2n－2. ( ) (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝3n－2，则 an＝2×3n－1.
答案：(1)√ (2)×
()
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，那么 a10
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94， 可知对称轴方程为 n＝52＝2.5.
又∵n∈N *，故 n＝2 或 3 时，an 有最小值， 且 a2＝a3，其最小值为 22－5×2＋4＝－2.
法二：设第 n 项最小，由aann≤ ≤aann＋ －11， ， 得nn22－－55nn＋＋44≤≤nn－＋1122－－55nn－＋11＋＋44， . 解不等式组，得 2≤n≤3， ∴n＝2 或 3 时 an 有最小值且 a2＝a3， ∴最小值为 22－5×2＋4＝－2.
等比数列的概念(第二课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
现出任意性.
知识梳理
知识梳理
判定与证明等比数列的方法
a
*且n≥2，q为不为0的常数)；
q
1.定义法： n ＝____(n∈N
an－1
*且n≥2)；
an－1an＋1
2.等比中项法：a2n＝________(n∈N
a1qn－1 a1·qn ＝A·qn(A≠0).
3.通项公式法：an＝_______＝
q
即
（
2 n 2),
则当n 2时，
2,
an 1 1
bn 1 an 1 1
an 1 1
an 1 1
∴ 数列{ + 1}是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）知等比数列{ + 1}的首项为2，公比为2，
∴ + 1＝2 × 2−1 ＝2，∴ ＝2 − 1.
n
是否一定是等比数列？ 如果数列{an }是各项均为正的等比数 列，
那么数列{log b an }是否一定是等差数列？
b an1
a n1 -a n
d
b
b
b an
➯
性质1：数列{an}是等差数列
⇔数列{b a n }是等比数列.
an1
logb a n1 logb an logb
logb q
1
又 S2＝3(a2－1)，
1
1
即 a1＋a2＝3(a2－1)，得 a2＝4.
典例分析
(2)求证：数列{an}是等比数列.
当n≥2时，
1
1
an＝Sn－Sn－1＝3(an－1)－3(an－1－1)，
1
1
4.1数列的概念(第二课时)
4.1.2 数列的概念（2）
讲课老师：XX老师
学习目标
1. 会准确说出数列递推公式的定义，能根据数列的递推公式求
该数列的项。
2. 能说出数列前n项和公式的定义，能由通项公式与前n项和公
式的关系求该数列的通项公式。
复习旧知
问题1
如果数列{}的通项公式为 = 2 + 2,那么120是不是这个数列的项
问题探究
追问
数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？
= 1 + 2 + 3 来自 ⋯ + −1
= − −1
问题探究
追问
数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？
= 1 + 2 + 3 + ⋯ +
−1
−1 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + −1
一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。
上面问题中数列的递推公式为： + +1 = +2
学习新知
追问1
数列1，3，9，27，. . . ，你能找出它的递推公式吗？
= 3−1 (n≥2)
追问2
数列的通项公式和递推公式有何异同？
学习新知
追问2
数列的通项公式和递推公式有何异同？
讲授新课
数列的前n项和:
我们把数列{ }从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列的前n项
和，记作 ，即 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 。
数列的前n项和公式:
如果数列{ }的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子
来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式。
4.1数列的概念第二课时数列的递推公式(教学课件)——高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
法二 (迭代法)：同法一，得aan＋n 1＝n＋n 1，∴an＋1＝n＋n 1an， ∴an＝n－n 1·an－1＝n－n 1·nn－ －21·an－2＝n－n 1·nn－ －21·nn－ －32·an－3
… ＝n－n 1·nn－ －21·nn－ －32·…·12a1＝1na1. 又∵a1＝1，∴an＝1n.
3.an与Sn的关系式 an＝____SS__n1__－____S_，n－_1_n_＝_1，，n≥2.
拓展深化
[微判断] 1.数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.( √ ) 2.利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.( ×)
提示 只有给出a1的值，才可以确定数列{an}. 3.设数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1.( × )
【训练 2】 设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n∈N*)，则 它的通项公式 an＝________.
解析 法一 (累乘法)：把(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0 分解因式， 得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0. ∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0， ∴aan＋n 1＝n＋n 1，∴aa21·aa32·aa43·…·aan－n 1＝12×23×34×…×n－n 1， ∴aan1＝1n.又∵a1＝1，∴an＝1na1＝1n.
本节内容结束
【迁移2】 把例3中数列{an}的前n项和改为Sn＝2n－1，求数列{an}的通项公式.
解 ∵Sn＝2n－1，∴当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－ Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1. 当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝2n－1.
《数列的概念》第2课时示范课教学PPT课件【高中数学】
（2）a1＝S1＝1＋2＝3，①
而n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2＋2）－［（n－1）2＋2］＝2n－1．②
在②中，当n＝1时，2×1－1＝1，故a1不适合②式．
3， = 1，
∴数列｛an｝的通项公式为 = ቊ
新知探究
17
练 在数列｛an｝中，若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则a3＝______．
解析：因为a1＝1，an＋1＝3an＋2，所以a2＝3a1＋2＝5，
所以a3＝3a2＋2＝17．
通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映了an与n之间的关系，即已知n的值，就
可代入通项公式求得该项的值an；递推关系则是间接反映数列的式子，它是数列任意两
A．15
B．255
C．16
D．63
2
16
若数列｛an｝的通项公式为an＝－2n2＋25n，则数列｛an｝的各项中最大项是第_____项．
目标检测
3
已知数列｛an｝，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，并猜想通项公式．
解答： a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，
猜想an＝2n（n∈N*）．
新知探究
由递推公式写出数列的项的方法：
（3）递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，
用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项．
（4）递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．
注意点：与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．
且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，
4.1数列的概念(第二课时)课件(人教版)
初生兔子 成熟兔子 第1月 第2月 第3月
第4月 第5月
兔子总数（对）
1+0=1 0+1=1 1+1=2
1+2=3 2+3=5
斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
a3 a2 a1
a4 a3 a2 a5 a4 a3 ......
an an-1 an2
n N * 且n 3 此数列的递推公式
递推公式：如果数列{an}的第1项或前几项已知， 并且数列{an}的第n项an与它的前一 项an－1(或前几项)的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子就叫
做这个数列的递推公式．
an
an1
1
nn 1
n
2，求an
an
2-
1 n
已知数列{an}满足 a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求 an.
an en1
a2 a1 ( 5 ) a3 a2 ( 5 ) a4 a3 ( 5 )
......
an an-1 ( 5 )
n N * 且n 2 此数列的递推公式
意大利数学家斐波那契，提出了一个关于兔子繁殖的问题：
假定在不死的情况下，一对兔子每月可以生下一对 兔子（一雌一雄），初生兔子在第三个月又能生一 对兔子。由一对初生兔子开始，50个月后会有多少 对兔子？
8
A 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln
1＋1 n
，则
an＝(
)
A．2＋ln n
B.2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n
数列的概念第二课时课件
已知数列 满足 , . 写出这个数列的前五项,归纳其通项公式,并验证是否满足递推公式.
例三
已知数列 中， 则 的通项公式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
已知数列 的前n项和 ，求数列的通项公式： ⑴ =n +2n； ⑵ =n -2n-1.
课堂练习
1、 根据数列 的通项公式，写出它的前5项。
2、已知下列各数列
的前n项和的Leabharlann 式，求的通项公式＝2n
－3n;
(1)
(2)
＝
－2.
小结
递推公式 通项公式的灵活运用
与 之间的关系
例四
设 是首项为１的正项数列，且 求它的通项公式 .
数列的前n项和
数列中， 称为数列 的前n项和，记为 . 表示前1项之和： = 表示前2项之和： = …… 表示前n-1项之和： = 表示前n项之和： = . ∴当n≥1时 才有意义；当n-1≥1即n≥2时 才有意义.
递推公式
像上面这样,如果已知一个数列的第一项(或前几项),且任一项 与它的前一项 (或前几项)的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式也是给出数列的一种方法.
例一
已知数列 的第一项是1,以后各项由公式 给出。写出这个数列的前五项.
与 之间的关系
由 的定义可知，当n=1时， = ； 当n≥2时， = - ， 即 = . 说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.
例5
复习巩固
1. 数列:按一定顺序排列的一列数叫做数列.
2. 通项公式：
复习巩固
写出下面数列的一个通项公式.
递推公式
观察下面这组数列, 1,2,4,8,16,32,64,-------- 它的通项公式为
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，
小结
►递推公式 ►通项公式的灵活运用
红包封是包著金钱作为红包送人的包装封套，粤语称利市封。相传送红包的习俗，在很久以前就流行。相传送红包的习俗，在很久以前 就流行，但当时人们不过是以寓意吉祥的鲜红色纸，包著一张写满祝福字句的字条，送给亲朋好友，以表心意。 红包封在唐代时已经出现，当时是用手工织的布袋做“封面”，仅限于宫廷及官方使用，民间则以寓意吉祥的鲜红色纸，包著一张写满 祝福字句的字条，送给亲朋好友，以表心意。
给出。写出这个数列的前五项.
例二
► 已知数列
满足
{an } 2 a n , a ( n N *) a1 1 n 1 a 2
n
.
写出这个数列的前五项,归纳其通项公式,并验证是否满 足递推公式.
例三
► 已知数列
{an } 中，
1 an a n 1 ( n 2) n( n 1)
递推公式
► 观察下面这组数列,
1,2,4,8,16,32,64,-------n 1 ► 它的通项公式为 a n 2
►
这个数列的后一项跟它的前面一项有什么关系呢?
{
a1 1 a n 2 a n1 ( n 2 )
由上面数列的第一项,以及 an与a n 1 之间的关系 式,可以写出这个数列的各项.
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jeh83mcg 到了约300年前，人们则改用一张形状与正方形相若的红纸，包裹铜钱，封作“利市”。而第一代的印刷纸质红包封，约于1900年，印 刷术开始广为所用时，才得以问世。当时的所谓红包封，做法非常简单，只以红纸印上黄油，再于未干的黄油上缀上金粉，效果就如现 今烫了金字的红包封般，而图案则多以简单为主，再配以吉利的字句。
复习巩固
► 写出下面数列的一个通项公式.
1 9 25 49 (1). , , , , , 2 4 6 8 (2). 2 , 5, 2 2 , 11, , 1 2 3 4 (3).1 ,2 ,3 ,4 , , 2 3 4 5 (4).7,77,777,7777, ,
复习巩固
数列{an }的通项公式为an n 2 5n 4,问 （1）数列中有多少项为负数. （2）n为何值时，an有最小值，并求出最小值
递推公式
► 像上面这样,如果已知一个数列的第一项(或前几
项),且任一项 an 与它的前一项 an 1 (或前几项) 的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫 做这个数列的递推公式.
► 递推公式也是给出数列的一种方法.
例一
► 已知数列
{an }的第一项是1,以后各项由公式 1 an 1 ( n 2) an 1
a1 1,
►则
{an } 的通项公式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
例四
►设
{an }是首项为１的正项数列，且
2 2
( n 1) a( n 1) nan a( n 1) an 0( n 1,2,3, , ),
► 求它的通项公式
an .
例五
n 1 { a } n ► 设数列 n 的前n项和 S n ( 1) ► 求数列 {an }的通项公式．
都不知道壹两银子能干多少事情的大丫鬟，怎么突然跟她打起赌来，赌的还是50两银子！望着万分不解的姐姐，冰凝赶快解释道：“如 果凝儿赌赢了，我就把赢了姐姐的这50两捐给宝光寺去。”“你怎么就能保证你会赢？哎，先说好了，不许事先跟二哥串通啊！”“怎 么可能呢！你还真瞧不起凝儿，我怎么可能会用这种下三滥的手段呢！姐姐真是欺负凝儿！”“嘿，你还会倒打壹耙了！行了，行了， 服了你这个鬼人精儿！你倒是说说，具体怎么办这个施粥？”“咱们出钱出人，在府里熬好腊八粥送到寺里去，用寺里的火炉加热就行。 不过，我也不能保证宝光寺今年肯定没有这个能力。如果人家有能力已经施了粥，咱们就算是锦上添花，如果确实如凝儿所料，境况不 好，那咱们年家的粥施可是壹举两得，既是给宝光寺和众香客雪中送炭，也是给年家积德祈福。怎么样？”“嘿，你都没有搞清楚状况 的事情，竟敢张口就提？”下午，年二公子刚刚从衙门里回来，还没喝上壹口热茶呢，这玉盈和冰凝两个妹妹齐唰唰地站到了他的面前， 把他吓了壹跳。玉盈再是急脾气，也得容他更衣喝茶呀？再壹看冰凝，着实把二公子惊出壹身冷汗，凝儿还从来没有表情这么严肃地跟 他说过话！“二哥哥，凝儿有壹事还要烦请二哥作主。”“什么事儿？这么急？”“本来就是着急的事情嘛。”“行了，还是我来说吧， 两句话了，还没说出来壹个字儿的正事儿呢！凝儿是想给宝光寺施粥，咱们年家出钱出力出人！”“噢，就这事儿？爷还以为多大的事 情呢！就照凝儿的意思办吧。”“二哥！您真是凝儿的好二哥！”“二哥！您也不先问问，这人手从哪儿找啊？”“先去人市上找，实 在找不到，让家仆们先做这件事，没两天就到日子了，还得赶快抓紧。”玉盈见二哥答应了，虽然很费事儿，但也是为年家积德行善的 事情，就不再说什么，赶快出门吩咐年府大管家年峰，立即着手准备。冰凝见二哥答应得这么干脆利落，把玉盈姐姐弄得无计可施，兴 奋得上前壹把抱住二哥：“二哥哥！凝儿赢了！”“赢什么了？”“二哥答应凝儿施粥，玉盈姐姐就要输凝儿50两银子！”“你既知道 二哥肯定会答应，自己又不缺银子，凭白地干嘛还要难为玉盈？”“这怎么是难为呢？明明是给年家积德行善啊？”年二爷对这个冰凝 妹妹，绝对的说壹不二，自己只有这么壹个亲妹子，从小就疼爱得不行；而且明年冰凝就要出嫁了，以后再也不可能像现在这样，由着 自己疼惜爱怜。因此，对于冰凝的要求，哪怕是要上天摘星星月亮，只要能有办法，他必定会去办。更何况只是施粥而已，虽然很费功 夫，但也不是什么天大的难事。眼看着冰凝妹妹欢喜得什么似的，二公子也庆幸自己刚刚这么痛快地就答应了她，只是