高一数学期末试卷 (4)
高一数学期末试卷带答案
高一数学期末试卷带答案考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1. 已知则p 是q 成立的（ ）......A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 ......C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.y=的单调减区间为（ ）C ．D ．3.设是等差数列的前n 项和，若S 7=35，则a 4=（）A ．8B ．7C ．6D ．54.等差数列{}中，=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是（ ） A ． B ． C ． D ．5.已知函数，则取最小值时对应的的值为（ ）A ．B ．C ．0D ．16.在中，若则角C 的度数是（ ）.A ．120°B ．60°C ．60或120°D ．45° 7.设函数，若>1，则a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．C ．D ．8.函数是 （ ）A ．上是增函数B ．上是减函数C ．上是减函数D ．上是减函数9.已知函数在区间上的最小值是-2,则的最小值等于( ) A ． B ． C ．2 D ．310.已知的平面直观图A 1B 1C 1是边长为2的正三角形，则原的面积是（ ） A ．B ．C ．D ．11.如图,已知三棱锥则二面角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．12.如图，该程序框图所输出的结果是（ ）A ．32B ．62C ．63D ．6413.若圆x 2 +y 2 −2x −4y =0的圆心到直线x −y +a =0的距离为，则a 的值为（__）Ａ．−2或2 B ． 或 Ｃ．2或0 D ．−2或0 14.下列说法正确的有（ ）（1）和都是等差数列，则为等差数列（2）是等差数列，则为等差数列（3）若为等比数列，其中，则为等差数列；若为等差数列，则为等比数列．（4）若为等比数列，则，都为等比数列．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15.中,已知,则的形状为（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形16.已知：定义在R上的奇函数满足，则的值是（）A． B． C． D．17.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A． B． C． D．18.（2014•咸阳二模）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值19.已知函数，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0B．f(x1)＜0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0D．f(x1)＞0，f(x2)＞020.函数的定义域为，的解集为，的解集为，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．二、填空题21.不等式的解集为R,则实数的取值范围是 .22.计算23.角的终边经过点，则=____________________．24.（2010•北京）如图，⊙O的弦ED ，CB 的延长线交于点A．若BD⊥AE ，AB=4，BC=2，AD=3，则DE= ；CE= ．25.球O的一个小圆O/的面积为25，O到此小圆截面的距离是12，则这个球的表面积为。
2022-2023学年广东省梅州市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝（1+m ）+（2﹣m ）i （m ∈R ，i 为虚数单位）对应的点在第二象限内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜m ＜2B ．m ＜﹣1C ．m ＞2D ．m ＜﹣1或m ＞22．已知|a →|=2，|b →|=3，且a →⊥b →，则|b →−a →|=（ ） A ．1B ．√5C ．√13D ．53．某水果店老板为了了解葡萄的日销售情况，记录了过去10天葡萄的日销售量（单位：kg ），结果如下：43，35，52，65，40，54，49，38，62，57．一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的葡萄尽量新鲜，又能60%地满足顾客的需求（在100天中，大约有60天可以满足顾客的需求），每天大约应进（ ）千克葡萄． A ．49B ．51C ．53D ．554．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A ．若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c B ．a ∥α，b ∥α，则a ∥bC ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥αD ．若a ⊂α，α∥β，则a ∥β5．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A 点观察，滑动横档CD 使得A ，C 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D ，DE 的影子恰好是AE ．然后，通过测量AE 的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD （称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．若在一次测量中，AE ＝60，横档CD 的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（ ） A ．417B ．817C ．1317D ．15176．在直角坐标系xOy 中，已知a →=(1，3)，b →=(3，1)，若∀t ∈R ，|a →−λb →|≤|a →−tb →|恒成立，则λ＝（ ）A ．13B ．23C ．25D ．357．如图，三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为6的正三角形，且AA 1＝A 1C 1＝C 1C ＝3，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，则棱BB 1＝（ ）A ．3√62B ．3√3C ．3D ．3√28．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝2，C =π3，则c 的取值范围为（ ） A ．(2，2√3)B ．(2√3，+∞)C ．(√3，2√3)D ．（2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学期末试卷带答案解析
高一数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.若角的终边上有一点，则的值是（ ）. A ．B ．C ．D ．2.设向量，，，，，若，则的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知集合，则=A ．B ．C ．D ．4.已知lg2≈0.3010，且a = 2×8×5的位数是M ，则M 为( )． A ．20 B ．19 C ．21 D ．225.在中，已知向量，则的面积等于（ ） A ． B ．C ．D ．6.已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取数名学生进行问卷调查．如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为( ) A ．10 B ．9C．8D．79.在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（）A．19 B．-14 C．-18 D．-1910.已知函数的一部分图象如图所示，如果，则（）A． B． C． D．11.已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记的最小值为的最大值为,则( )A． B． C．16 D．-1612.若,则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．13.已知下列说法正确的是（A．B．C．D．14.设f:x→y=2x是A→B的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足（）A．A={1，2，4，8，16}B．A={0，1，2，log23}C．A{0,1,2,log23}D．不存在满足条件的集合15.已知函数，且，则等于（）A． B． C． D．16.已知数列满足（）A． B． C． D．17.已知满足，则直线必过定点( ) A ．B ．C ．D ．18.满足M ｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1，a 2}的集合M 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．419.一名射击运动员射击10次，命中环数如下，则该运动员命中环数的标准差为（ ）10 10 10 9 10 8 8 10 10 8 A ．B ．C ．D ．20.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题 21.已知都是定义域内的非奇非偶函数，而是偶函数，写出满足条件的一组函数，______________；________________； 22.求满足＞的x 的取值集合是 ．23.已知幂函数满足，则24.25.函数的定义域是 .26.二面角α﹣l ﹣β的平面角为120°，在面α内，AB ⊥l 于B ，AB=2在平面β内，CD ⊥l 于D ，CD=3，BD=1，M 是棱l 上的一个动点，则AM+CM 的最小值为 ．27.根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的值在各象限的符号（用“＋”或“－”）填入括号（填错任何一个将不给分）。
北京市通州区2023-2024学年高一上学期期末质量检测试题 数学含解析
通州区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量检测数学试卷（答案在最后）2024年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ，{}21A x x =-<≤，则U A =ð（）A.{}1x x ≤ B.{}1x x ≥C.{2x x ≤-或}1x > D.{2x x <-或}1x ≥2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A.y =B.2(1)y x =- C.2xy -= D.()ln f x x=-3.若,,a b c ∈R 且a b >，则（）A.22ac bc> B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b > D.||||a b >4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数()ln e xf x =的定义域和值域相同的是（）A.y x= B.ln e xy = C.y = D.y=5.已知0.32=a ，0.3log 2b =，0.30.5c =，则（）A.c a b>> B.c b a>> C.a b c >> D.a c b>>6.已知函数2()log 23f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)7.若函数()cos(2)f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取一个值为（）A.π- B.2π-C.4π D.2π8.设x ∈R ，则“cos 0x =”是“sin 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件9.国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L ：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V ：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L K V =+（K 为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）标准对数视力表A.4.8B.4.9C.5.0D.5.110.设函数()2x f x =，2()g x x =，()log (1)a m x x a =>，()(0)n x kx k =>，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 和()g x 的图象有且只有两个公共点B.0x ∃∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立C.0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x m x <成立D.当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln(2)f x x =-的定义域是__________.12.计算：124(lg 2lg5)-+=__________．13.函数()2()1ln f x x x =-的零点个数为__________.14.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点ππcos 2,sin 266P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0=t 时，则tan α=__________；当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积是__________.15.设函数(),22,2x a x f x a x ≥=-<⎪⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论：①当2a =时，方程()f x a =有唯一解；②当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解；③对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 的值域为[0,)+∞；④存在实数a ，使得()f x 在区间()0,∞+上单调递增；其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭，2,5M y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求sin α，sin β的值；（2）求cos POM ∠的值.17.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π64π3sin()A x ωϕ+022-0（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有点向右平行移动π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.18.若函数()2cos (sin cos )1(04)f x x x x ωωωω=+-<<.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在.（1）求()f x 的解析式与最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.条件①：π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件②：R x ∀∈，()8πf x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立；条件③：函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.函数()e e 4x x f x m -=+-，m ∈R .（1）若()f x 为偶函数，求m 的值及函数()f x 的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数m 的取值范围.20.某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI ）与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足如图连续曲线，并测得当天AQI 的取大值为106.当[0,12]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(12,24]x ∈时，曲线是函数log (10)103a y x =--+图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.21.已知有m 个连续正整数元素的有限集合{}1,2,3,,1,m S m m =- （N m +∈，2m ≥），记有序数对()12,,,m A a a a = ，若对任意i ，{}()1,2,,j m i j ∈≠ ，i a ，j m a S ∈且i j a a ≠，A 同时满足下列条件，则称A 为m 元完备数对.条件①：12231m m a a a a a a --≤-≤≤- ；条件②：122312m m a a a a a a m --+-++-=+ .（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；（2）试证明不存在8元完备数对.通州区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量检测数学试卷2024年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ，{}21A x x =-<≤，则U A =ð（）A.{}1x x ≤B.{}1x x ≥C.{2x x ≤-或}1x > D.{2x x <-或}1x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据补集的定义即可求解.【详解】因为全集U =R ，{}21A x x =-<≤，所以{}U |21A x x x =≤->或ð.故选：C2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A.y =B.2(1)y x =- C.2xy -= D.()ln f x x=-【答案】A 【解析】【分析】根据初等基本函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论.【详解】对于A ：因为函数y =(1,)-+∞上是增函数，所以满足条件，故A 正确；对于B ：因为函数2(1)y x =-在(0,1)上是减函数，所以不满足条件，故B 错误；对于C ：因为函数2xy -=在R 上为减函数，所以不满足条件，故C 错误；对于D ：因为函数()ln f x x =-在(0,)+∞上为减函数，所以不满足条件，故D 错误.3.若,,a b c ∈R 且a b >，则（）A.22ac bc >B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b > D.||||a b >【答案】C 【解析】【分析】依据不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可．【详解】因为,,a b c ∈R 且a b >，对于A 选项：当0c =时不成立；对于B 选项：1()2xy =单调递减，所以不成立；对于C 选项：3y x =在(,)-∞+∞单调递增，成立；对于D 选项：举反例1,2a b =-=-，不成立．故选：C ．4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数()ln e xf x =的定义域和值域相同的是（）A.y x =B.ln e xy = C.y = D.y=【答案】D 【解析】【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域一一判定选项即可.【详解】易知()ln exf x x ==，且0x >，ln e 0x >，故其定义域与值域均为()0,∞+.显然A 选项定义域与值域均为R ，故A 错误；因为ln e x y x ==，且e 0x >恒成立，即其定义域与值域均为R ，故B 错误；0y x ==≥，即其定义域为R ，值域为[)0,∞+，故C 错误；0y=>，且0x >，故其定义域与值域均为()0,∞+，即D 正确.故选：D5.已知0.32=a ，0.3log 2b =，0.30.5c =，则（）A.c a b>> B.c b a>> C.a b c>> D.a c b>>【分析】先判断出a b c 、、的范围，再比较大小即可.【详解】因为0.30221a =>=，所以1a >；0.30.3log 2log 10b =<=，0b <；0.3000.50.51c <=<=，01c <<；所以a c b >>.故选：D6.已知函数2()log 23f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，23y x =-在R 上单调递增，所以2()log 23f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，因为()110f =-<，()22log 222320f =+⨯-=>，故函数()f x 零点的区间是(1,2).故选：C7.若函数()cos(2)f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取一个值为（）A.π-B.2π-C.4π D.2π【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式及正弦函数的性质求出ϕ的取值，从而解得.【详解】解：根据诱导公式及正弦函数的性质可知()π212k ϕ=-⋅，Z k ∈，令0k =，可得ϕ的一个值为π2-.故选：B8.设x ∈R ，则“cos 0x =”是“sin 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【分析】分别解出cos 0x =、sin 1x =，结合充分、必要条件的定义即可求解.【详解】由cos 0x =，得ππ,Z 2x k k =+∈，由sin 1x =，得π2π,Z 2x k k =+∈，又ππ2π,Z π,Z 22x x k k x x k k ⎧⎫⎧⎫=+∈⊆=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以“cos 0x =”是“sin 1x =”的必要不充分条件.故选：B.9.国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L ：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V ：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L K V =+（K 为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）标准对数视力表A.4.8B.4.9C.5.0D.5.1【答案】A 【解析】【分析】利用公式结合对数运算法则计算函数关系式即可.【详解】由题意可知4.0lg 0.14lg 0.15K K =+⇒=-=，所以5lg L V =+，故()5lg 0.65lg3lg55lg31lg 2 4.78 4.8+=+-=+--≈≈，故A 正确.故选：A10.设函数()2x f x =，2()g x x =，()log (1)a m x x a =>，()(0)n x kx k =>，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 和()g x 的图象有且只有两个公共点B.0x ∃∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立C.0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x m x <成立D.当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解【答案】D 【解析】【分析】作出函数()f x 和()g x 的图象，结合函数图象即可判断A B ；根据指数函数和对数函数的图象即可判断C ；根据当1k a =时，函数()log (1)a m x x a =>和1()n x kx x a==的图象都过过点(),1a ，即可判断D.【详解】对于A ，如图所示，作出函数()f x 和()g x 的图象，由图可知，函数()f x 和()g x 的图象有三个公共点，故A 错误；对于B ，由A 选项可知，当>4x 时，()()f x g x >，所以不存在0x ∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立，故B 错误；对于C ，如图，作出函数()2x f x =，()log (1)a m x x a =>的图象，由图可知，函数()2x f x =的图象在y x =的图象的上方，函数()log (1)a m x x a =>的图象在y x =的图象的下方，所以()0,x ∞∀∈+，()()f x m x >，所以不存在0(0,)x ∈+∞，使得()()00f x m x <成立，故C 错误；对于D ，因为1,0a k >>，1ak ≤，当1k a=时，函数()log (1)a m x x a =>的图象过点(),1a ，函数1()n x kx x a==的图象过点(),1a ，即直线与函数图象有交点，当1k a<时，直线斜率更小，直线与函数图象有交点，所以当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解，故D 正确.故选：D .【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln(2)f x x =-的定义域是__________.【答案】(,2)-∞【解析】【分析】利用对数的限制条件可得答案.【详解】由题意得，20x ->得2x <，所以定义域是(,2)-∞.故答案为：(,2)-∞12.计算：124(lg 2lg5)-+=__________．【答案】1【解析】【分析】利用分数指数幂运算和对数运算性质求解即可【详解】124(lg2lg5)2lg10211-+=-=-=.故答案为：113.函数()2()1ln f x x x =-的零点个数为__________.【答案】1【解析】【分析】令()0f x =，直接求解，结合函数定义域，即可得出函数零点，确定结果.【详解】()2()1ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，令()2()1ln 0f x x x =-=，则210x -=或ln 0x =，解得1x =或=1x -（舍）.故答案为：114.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点ππcos 2,sin 266P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0=t 时，则tan α=__________；当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积是__________.【答案】①.3-②.π6【解析】【分析】当0=t 时，求出点P 对应的1P 坐标，即可求得tan α的值，当π6t =时，求出点P 对应的2P 坐标，即可确定扇形12O P P 的圆心角，从而可以求得线段OP 扫过的面积.【详解】当0=t 时，ππ3cos cos 662⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ1sin sin 662⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时点P位于点11,22P ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，所以132tan 332α-==-，此时，1π6xOP ∠=-，当π6t =时，πππcos 2cos 6662⎛⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ1sin 2sin 6662⎛⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时点P位于点21,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，此时，2π6xOP ∠=，所以12πππ663POP ⎛⎫∠=--= ⎪⎝⎭，且1OP =，所以 12ππ133PP =⨯=，所以当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积就是扇形12O P P 的面积，即121ππ1236OP P S =⨯⨯=扇形，故答案为：33-，π6.15.设函数(),22,2x a x f x a x ≥=-<⎪⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论：①当2a =时，方程()f x a =有唯一解；②当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解；③对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 的值域为[0,)+∞；④存在实数a ，使得()f x 在区间()0,∞+上单调递增；其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②【解析】【分析】直接解方程可判定①，分类讨论解方程可判定②，利用幂函数与指数函数的单调性可判定③，利用分段函数的性质可判定④.【详解】当2a =时，()2,222,2x x f x x ≥=-<⎪⎩，则方程()2f x =，若2,222x x ≥∴=⇒=，若2,222242xxx x <∴=-⇒=⇒=，与前提矛盾，舍去，所以当2a =时，方程()f x a =有唯一解2x =，故①正确；当(0,1)a ∈时，若2,2x a a x ≥∴=⇒=，若2,2xx a a <∴=-，易知2x y a =-在(),2∞-上单调递减，则当log 2a x ≤时,20x y a =-≥，且2x y a =-在(),2∞-上单调递减，当log 22a x <<时，20x y a =-<，则2(2)2x f x a a =-<-，此时()()()222222102a aaa a a a a --=+-=-+<⇒<-，作出函数()f x 与y a =的草图如下，可知当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解，故②正确；因为0a >且1a ≠，可知0y a =+>恒成立，若()0,1a ∈，由上可知2x y a =-在(),2∞-上单调递减，且()log 2log 20a a x =<时，20x y a =-=，此时20xy a =-≥；若1a >，易知2x y a =-在(),2∞-上单调递增，即222x y a a =-<-，（i 1a ≥>时，20x y a =-<，则20xa ->，（ii ）当a >()log 2log 22a a x =<时，20xy a =-=，此时20x y a =-≥；1a ≥>时，()f x 取不到最小值0，故③错误；由上可知()0,1a ∈和)∞+时，()f x 在(),log 2a ∞-上单调递减，1a ≥>时，()f x 在(),2∞-上单调递减，故④错误.故答案为：①②【点睛】难点点睛：难点在第二个结论和第三个结论，需要利用指数函数的单调性与零点分类讨论参数的范围，讨论容易遗漏.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭，2,5M y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求sin α，sin β的值；（2）求cos POM ∠的值.【答案】（1）3sin 5α=，5sin 5β=.（2）5-【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义计算即可；（2）利用余弦的差角公式计算即可.【小问1详解】根据题意可知：1sin 0y α=>，4cos 5α=，则3sin 5α==，同理2sin 0y β=>，cos 5β=-，则sin 5β==；【小问2详解】易知POM βα∠=-，所以()cos cos cos cos sin sin POM βαβαβα∠=-=+4355555=-⨯+⨯=-.17.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π64π3sin()A x ωϕ+022-0（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有点向右平行移动π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】（1）π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）π2π2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【解析】【分析】（1）由五点法，可求周期，从而求出ω，代点求出ϕ，从而求出()y f x =的解析式.（2）根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，即可得出.【小问1详解】由表格知，2A =且4πππ233T =-=，即2πT =，故2π1T ω==，由ππ32+=ωϕ，则ππ32ϕ+=，故π6ϕ=，则π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由题意知ππ()2sin 36⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x f x x ，由πππ2π2π262k x k -+≤-≤+，Z k ∈，所以π2π2π2π33k x k -+≤≤+，Z k ∈，即函数()y g x =的单调增区间为π2π2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.18.若函数()2cos (sin cos )1(04)f x x x x ωωωω=+-<<.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在.（1）求()f x 的解析式与最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.条件①：π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭条件②：R x ∀∈，()8πf x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立；条件③：函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，πT =（2；最小值1-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简()f x ，若选条件①可推得函数()f x 不存在，选择条件②③，可求得函数的解析式，进而得到最小正周期；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，借助正弦函数性质可求出最值.【小问1详解】因为2()2sin cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-，04ω<<，所以π()sin 2cos 224f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，若选条件①：因为π()24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小值为.所以π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 存在.若选条件②：因为x ∀∈R ，()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.故()f x 在π8x =处取最大值，即πππ2π442k ω+=+，k ∈Z ，所以18k ω=+，因为04ω<<，故1ω=，所以π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为：πT =.若选条件③：因为函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.ππ044ω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以πππ44k ω-+=，k ∈Z ，即14k ω=-，k ∈Z ，因为04ω<<，故1ω=.所以π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为：πT =.【小问2详解】因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x +=，即π8x =时，()f x ；故当π5π244x +=，即π2x =时，()f x 取最小值1-.19.函数()e e 4x x f x m -=+-，m ∈R .（1）若()f x 为偶函数，求m 的值及函数()f x 的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =，2-（2）(4,)m ∈+∞【解析】【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数()e e 4x x f x m -=+-计算m ，利用换元法e 0x u =>，结合基本不等式进行最小值的求解即可.（2）由于函数()f x 图像恒在x 轴上方，所以函数()0f x >，进行参数分离，得到24e e ,[1,1]x x m x >-∈-恒成立，结合换元法进行讨论即可.【小问1详解】因为函数()e e 4x x f x m -=+-为偶函数.所以()()f x f x -=恒成立，即e e 4e e 4x x x x m m --+-=+-恒成立.即()(1)ee 0xx m ---=恒成立，解得1m =，所以1()e e 4e 4exxx x f x -=+-=+-，令e 0x u =>，1442y u u =+-≥-=-，当且仅当1u =，即0x =时，等号成立.所以函数()f x 的最小值为2-.【小问2详解】当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，故当[1,1]x ∈-时()e e 40x x f x m -=+->恒成立.即24e e ,[1,1]x x m x >-∈-恒成立.令2()4e e x x h x =-，令e x t =，1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.因为24y t t =-，对称轴为2t =，故当2t =即ln 2x =时，()h x 取最大值4，故(4,)m ∈+∞.20.某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI ）与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足如图连续曲线，并测得当天AQI 的取大值为106.当[0,12]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(12,24]x ∈时，曲线是函数log (10)103a y x =--+图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.【答案】20.()()[]()(]2210106,0,12log 10103,12,24x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨--+∈⎪⎩ 21.这一天在1014x -≤≤这个时间段的空气，空气属于污染状态，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解；（2）由（1）可得()f x 的解析式，分类讨论解不等式()101f x ≥即可得结果.【小问1详解】当[0,12]x ∈时，由图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为(10,106)，且过()8,102，()12,102，可设2()(10)106f x b x =-+，0b <，代入点(8,102)可得2(810)106102b -+=，解得1b =-，故当[0,12]x ∈时，2()(10)106f x x =--+；点(12,102)代入log (10)103a y x =--+，解得2a =，故当(12,24]x ∈时，2()log (10)103f x x =--+；()()[]()(]2210106,0,12log 10103,12,24x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨--+∈⎪⎩ .【小问2详解】当[0,12]x ∈时，令2()(10)106101f x x =--+≥，解得1012x ≤≤，当(12,24]x ∈时，令2()log (10)103101f x x =--+≥，解得1214x <≤，所以1014x -≤≤，综上所述：这一天在1014x ≤≤这个时间段的空气，空气属于污染状态.21.已知有m 个连续正整数元素的有限集合{}1,2,3,,1,m S m m =- （N m +∈，2m ≥），记有序数对()12,,,m A a a a = ，若对任意i ，{}()1,2,,j m i j ∈≠ ，i a ，j m a S ∈且i j a a ≠，A 同时满足下列条件，则称A 为m 元完备数对.条件①：12231m m a a a a a a --≤-≤≤- ；条件②：122312m m a a a a a a m --+-++-=+ .（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；（2）试证明不存在8元完备数对.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用m 元完备数对的定义推理判断即得.（2）令1(1,2,,7)k k k b a a k +=-= ，根据m 元完备数对的定义确定k b 的所有可能情况，再导出矛盾即可.【小问1详解】当3m =时，由12(1,2)+-≤=i i a a i ，得12235-+-<a a a a ，不符合题意，所以不存在3元完备数对；当4m =时，当13a =，22a =，34a =，41a =时，满足122331a a a a a a -≤-≤-且1223346-+-+-=a a a a a a ，符合题意，所以(3,2,4,1)A =为4元完备数对.【小问2详解】假设存在8元完备数对，当8m =时，令1(1,2,,7)k k k b a a k +=-= ，则1211b b b ≤≤≤≤ ，且12710b b b +++= ，则k b 有以下三种可能：①()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ ；②()()()1,1,2,,52,63,7k k b k k ⎧=⎪==⎨⎪=⎩；③()()1,1,2,,42,5,6,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩当()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，于是126b b b === ，即1223671a a a a a a -=-==-= ，由112|(1,2,,7)|||k k k k a a a a k +++--== ，得112k k k k a a a a +++-=-或121k k k k a a a a +++--=，而,{1,2,3,4,5,6,7,8},,i j i j i j a a ∈≠≠，则有112k k k k a a a a +++-=-，因此1a ，2a ，…，7a ，8a 分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，由74b =得874a a =+或874a a =-，与已知矛盾，则当()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，不存在8元完备数对；当()()()1,1,2,,52,63,7k k b k k ⎧=⎪==⎨⎪=⎩或()()1,1,2,,42,5,6,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，同理不存在8元完备数对，所以不存在8元完备数对.【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.。
高一数学下学期期末模拟试卷4答案
高一数学下学期期末模拟试卷4 姓名：___________1．(终边相同角问题) 与610°角终边相同的角表示为( B ) A. k ·360°+230°(k ∈Z ) B. k ·360°+250°(k ∈Z ) C. k ·360°+70°(k ∈Z ) D. k ·360°+270°(k ∈Z )2．（向量计算）在等边△ABC 中，边长为1,AB BC ⋅等于( A )A. 12-B. 12C. D 3．（数列基本概念）在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 1 000等于( D )A ．5B ．－5C ．1D ．－14（不等式的性质）设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( B)A.1a >1bB.1a －b >1aC.|a |>－bD.－a >－b5．（三角变换求值）若cos α+2sin α=-5,则tan α等于 （ B ）A.21 B.2 C.21- D.-26．（平面区域问题）若设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ＋2≥0，则目标函数z ＝|x ＋3y |的最大值为(C )A ．4B ．6C ．8D ．107．（三角函数线）设0≤α＜2π,若sin α＞3cos α,则α的取值范围是（ C ） A.)2,3(ππB. ),3(ππC. )34,3(ππD.)23,3(ππ 8.等差数列基本计算）在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为(C )A ．4B ．6C ．8D ．10 9．（向量坐标形式计算）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 10．（图象变换）为了得到函数y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+63πx ，x ∈R 的图象，只需把函数y=2sinx ，x ∈R 的图象上所有的点 （ C ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 11．（三角函数图象）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的图象的一部分如下图所示，则函数f (x )的解析式为(C )A. f (x )＝sin(π4x ＋π4.)B. f (x )＝2sin(8πx ＋π4.)C f (x )＝2sin(π4x ＋π4.) D. f (x )＝2sin(π4x ＋8π.)12解三角形与三角变换）在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10，则·AC →等于( A )A ．－32B ．－23 C.23 D.32 13．(已知三角函数值求角) 若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,则A+B 的值为______74π__.14．(利用基本不等式求最值)求 y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值2________15．(向量计算) 平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于__ _____16．(三角函数性质) 给出下列命题：①函数f(x)=sinx+cosx 的最小正周期为π②y=-sinx 是在（0,2π）上递减且以2π为周期的奇函数.③函数y=|sinx|的一个单调增区间是)43,4(ππ ④f(x)=cos(ωx-6π)最小正周期为5π，其中ω＞0，则ω=10其中正确的序号为②④________．(填所有正确的序号)17 (等差数列前n 项和问题) 等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 的前10项和为__75______18(解三角形与三角变换) 在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为________19.(解三角形问题) 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为___ _____20．(三角函数与三角变换) 已知函数f (x )＝2sin(π－ωx )cos ωx 的一条对称轴为4π(1)求ω (2) ()g x = f (x )－2cos 2x ＋1,求()g x 在区间[0，π]上的最大值和最小值及相应的x 的值(3) 求()g x 的单调区间 ω=1()g x )4x π-当38x π=时, ()g x当x π= ,()g x 最小值为增区间[3,88k k ππππ-++],k Z ∈减区间[37,88k k ππππ++],k Z ∈21．(等差数列与等比数列综合问题)已知{a n }是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n .(1) 求数列{a n }的通项公式(2)求数列{b n }的通项公式；(3)1n n c b =+,求数列{2211log log n n c c + }的前n 项和项公式；(3)1n n c b =+,求数列{2211log log n n c c + }的前n 项和解析：(1)由已知得a n ＝n . (2)b n ＋1＝b n ＋2n，即b n ＋1－b n ＝2n.∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.2n n c =2211log log n n c c + = 111n n -+{2211log log n n c c + }的前n 项和为111n -+=1n n +22．(向量与三角变换的综合) 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)，(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；解析：(1)∵b －2c ＝(sin β－2cos β，4cos β＋8sin β)，且a 与b －2c 垂直，∴4cos α(sin β－2cos β)＋sin α(4cos β＋8sin β)＝0， 即sin αcos β＋cos αsin β＝2(cos αcos β－sin αsin β)， ∴sin(α＋β)＝2cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝2. (2)∵b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)， ∴|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2＝1＋2sin βcos β＋16－32cos βsin β＝17－15sin2β， ∴当sin2β＝－1时，|b ＋c |取最大值，且最大值为32＝42。
高一数学必修4期末试卷及答案
高一年级数学《必修4》试题一、选择题（每小题4分,共40分）1．与463-︒终边相同的角可以表示为(k Z)∈ （ ）A ．k 360463⋅︒+︒B ．k 360103⋅︒+︒C ．k 360257⋅︒+︒D ．k 360257⋅︒-︒ 2 如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是 （ ）A ．AB OC = B ．AB ∥DE C ．AD BE =D ． AD FC =3．α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（ ） A513B 513-C 512D 512-4． 2255log sinlog cos 1212π+π的值是（ ）A 4B 1C 4-D 1-5． 设()sin()cos()f x a x b x =π+α+π+β+4，其中a b 、、、αβ均为非零的常数，若(1988)3f =，则(2008)f 的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．不确定6． 若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．27． 为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位8． 函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．)48sin(4π-π-=x yB ．)48sin(4π-π=x yC ．)48sin(4π+π=x yD ．)48sin(4π+π-=x y9． 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x =（ ）A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数10．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( )A ．互相垂直B ．同向平行C ．反向平行D ．既不平行也不垂直二、填空题（每小题4分，共16分）11．23sin 702cos 10-=-12．已知函数()2sin 5f x x π⎛⎫=ω- ⎪⎝⎭的图象与直线1y =-的交点中最近的两个交点的距离为3π，则函数()f x 的最小正周期为 。
山东省潍坊市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则集合A ，B 的关系是（ ） {}N A x y x =∈{}4,3,2,1B =A ． B ． C ．D ．B A ⊆A B =B A ∈A B ⊆【答案】A【分析】计算得到，据此得到集合的关系.{}0,1,2,3,4A =【详解】，，故错误； {}{N}0,1,2,3,4A xy x ==∈=∣{}4,3,2,1B =A B =集合中元素都是集合元素，故正确；B A B A ⊆是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故错误；A B ，∈B A ∈集合中元素存在不属于集合的元素，故错误. A B A B ⊆故选：A2．函数的定义域为（ ）()()2ln 2f x x x =-A ． B ． (,0)(2,)-∞+∞ (,0][2,)-∞⋃+∞C ． D ．()0,2[]0,2【答案】C【分析】根据对数型函数的定义域运算求解. 【详解】令，解得，220x x ->02x <<故函数的定义域为.()()2ln 2f x x x =-()0,2故选：C.3．命题“，”的否定形式是（ ） 2x ∀>240x -≠A ．， B ．， 2x ∃>240x -≠2x ∀≤240x -=C ．， D ．，2x ∃>240x -=2x ∃≤240x -=【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为，. 2x ∃>240x -=故选：C.4．已知，，，则（ ） 0.13a =30.3b =0.2log 3c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c b a <<b a c <<c<a<b 【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出结果.0,1【详解】，.3000.10.20.2log 3log 100.30.3133<=<<==< c b a ∴<<故选：B.5．某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用12分层抽样的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别6%A 为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，21024210272522425227【答案】D【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为；()1000800100014006%252+++⨯=区抽取的食品摊位数为.A 10006%0.4527⨯⨯=故选：D.6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为1214（ ） A ． B ．C ．D ．12131415【答案】C【分析】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，并利用D ，E ，F 构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立， 且. ()()()1,2P D P E a P F ===恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， DEF DEF DEF ++DEF DEF DEF ，，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++，()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭整理得，他三道题都答错为事件，()2112a -=DEF 故.()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭故选：C.7．定义在上的奇函数满足：对任意的，，有，且R ()f x ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >，则不等式的解集是（ ） ()10f =()0f x >A ． B ． ()1,1-()()1,01,-⋃+∞C ． D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定的单调性，结合可得不等式()f x ()()110f f -=-=的解集.【详解】对任意的，，有， ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >在上单调递增，又定义域为，， ()f x \()0,∞+()f x R ()10f =在上单调递增，且，；()f x \(),0∞-()()110f f -=-=()00f =则当或时，， 10x -<<1x >()0f x >即不等式的解集为. ()0f x >()()1,01,-⋃+∞故选：B.8．已知函数，若函数有七个不同的零点，()11,02ln ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()()()()24433g x f x t f x t =-+⎤⎦+⎡⎣则实数t 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先以为整体分析可得：和共有7个不同的根，再结合的图象()f x ()34f x =()f x t =()f x 分析求解.【详解】令，解得或， ()()()()244330g x f x t f x t =-+⎦+⎤⎣=⎡()34f x =()f x t =作出函数的图象，如图所示，()y f x =与有4个交点，即方程有4个不相等的实根，()y f x =34y =()34f x =由题意可得：方程有3个不相等的实根，即与有3个交点， ()f x t =()y f x =y t =故实数t 的取值范围是.{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解． （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．的最小值为 B ．无最小值 ()4f x x x=+4()4f x x x=+C ．的最大值为D ．无最大值()()3f x x x =-94()()3f x x x =-【答案】BC【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.【详解】对于AB ，当时，（当且仅当时取等号）； 0x >44x x +≥=2x =当时，（当且仅当时取等号）， 0x <()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2x =-的值域为，无最小值，A 错误，B 正确； ()4f x x x∴=+(][),44,-∞-⋃+∞对于CD ，，()()22393324f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭当时，取得最大值，最大值为，C 正确，D 错误. ∴32x =()f x 94故选：BC.10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） (0,)+∞A ． B ．C ．D ．y x =||e x y =-12log y x =13y x -=【答案】BC【分析】A 选项不满足单调性；D 不满足奇偶性，B 、C 选项均为偶函数且在上单调递减正(0,)+∞确.【详解】在上单调递增，A 选项错误；y x =()0,∞+，故为偶函数，当时为单调递减函数，B()e ,)()e (xxf x f x f x =--==-||e x y =-()0,x ∈+∞e x y =-选项正确；，故为偶函数，当时为单调递1122()()log ,log ()g g g x x x x x =-==12log y x =()0,x ∈+∞12log y x =减函数，C 选项正确；是奇函数，D 选项错误. 13y x -=故选：BC11．如图，已知正方体顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的1111ABCD A B C D -某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为，则下列n P 说法正确的是（ ）A ．B ． 123P =259P =C ．D ．点Q 移动4次后恰好位于点的概率为012133n n P P +=+1C 【答案】ABD【分析】根据题意找出在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分Q 析计算确定各选项的正误.【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：， Q 23在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：，13所以，故A 选项正确； 123P =对于B ：，故B 选项正确；22211533339P =⨯+⨯=对于C ：，故C 选项错误； ()1211113333n n n n P P P P +=+-=+对于D ：点由点移动到点处至少需要3次， Q A 1C 任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能 到达点，所以点Q 移动4次后恰好位于点的概率为0. 1C 1C 故D 选项正确； 故选：ABD.12．已知实数a ，b 满足，，则（ ） 22a a +=22log 1b b +=A ． B ． C ． D ．22a b +=102a <<122a b->5384b <<【答案】ACD【分析】构建，根据单调性结合零点存在性定理可得，再利用指对数互()22xf x x =+-13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化结合不等式性质、函数单调性分析判断. 【详解】对B ：∵，则，22a a +=220a a +-=构建，则在上单调递增，且，()22xf x x =+-()f x R 3413350,202244f f ⎛⎫⎛⎫=<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故在上有且仅有一个零点，B 错误；()f x R 13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对A ：∵，则， 22log 1b b +=222log 20b b +-=令，则，即，22log t b =22t b =220t t +-=∴，即，故，A 正确； 2lo 2g a t b ==22a b =22a b +=对D ：∵，则，D 正确； 22a b +=253,284a b -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭对C ：∵，且在上单调递增， 23211224a a ab a ---=-=>->-2x y =R ∴，C 正确. 11222a b-->=故选：ACD.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题13．已知一元二次方程的两根分别为和，则______． 22340x x +-=1x 2x 1211x x +=【答案】## 340.75【分析】利用韦达定理可直接求得结果.【详解】由韦达定理知：，，. 1232x x +=-122x x =-1212121134x x x x x x +∴+==故答案为：. 3414．已知函数（且）的图象恒过定点M ，则点M 的坐标为______．1log (2)3a y x =-+0a >1a ≠【答案】13,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数存在参数，当时所求出的横纵坐标即是定点坐标． log (2)0a x -=【详解】令，解得，此时，故定点坐标为． log (2)0a x -=3x =13y =13,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：13,3⎛⎫⎪⎝⎭15．将一组正数，，，…，的平均数和方差分别记为与，若，1x 2x 3x 10x x 2s 10214500i i x ==∑250s =，则______． x =【答案】20【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.【详解】由题意得，()10221110i i s x x ==-∑， 102211105010i i x x =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑代入数据得，， ()214500105010x -=解得.20x =故答案为：2016．已知两条直线：和：，直线，分别与函数的图象相交1l 1y m =+2l ()221y m m =+>-1l 2l 2x y =于点A ，B ，点A ，B 在x 轴上的投影分别为C ，D ，当m 变化时，的最小值为______． CD【答案】()2log 2-【分析】分别求出直线，与函数的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求1l 2l 2x y =最值.【详解】由与函数相交得，解得，所以，1y m =+2x y =21x m =+()2log 1x m =+()()2log 1,0C m +同理可得，()()22log 2,0D m +所以，()()222222log 2log 1log 1m CD m m m +=+-+=+令，()2231211m g m m m m +==++-++因为， 所以,当且仅当时取最小值. 1m >-()31221g m m m =++-≥-+1m =所以 ()()22min log 2log 2CD ==所以的最小值为. CD ()2log 2-故答案为:()2log 2【点睛】利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.四、解答题17．设全集，已知集合，． U =R {}11A x a x a =-+≤≤+401x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭(1)若，求；3a =A B ⋃(2)若，求实数a 的取值范围． A B ⋂=∅【答案】(1)或；{1x x <}2x ≥(2). 23a ≤≤【分析】（1）由已知解出集合A ，B ，根据并集的运算即可得出答案； （2）若，根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a 的取值范围. A B ⋂=∅【详解】（1）当，， 3a ={}24A x x =≤≤由得，所以或， 401x x ->-(4)(1)0x x -->{1B x x =<}4x >或；{1A B x x ∴⋃=<}2x ≥（2）已知， {}11A x a x a =-+≤≤+由（1）知或， {1B x x =<}4x >因为，且， A B ⋂=∅B ≠∅∴且， 11a -+≥14a +≤解得，23a ≤≤所以实数a 的取值范围为.23a ≤≤18．已知函数．()22f x x ax a =-+(1)若的解集为，求实数的取值范围； ()0f x ≥R a (2)当时，解关于的不等式． 3a ≠-x ()()43f x a a x >-+【答案】(1) []0,1(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；R 0∆≤（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可. ()()30x x a +->3a >-3a <-【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：， 220x ax a -+≥R 2440a a ∴∆=-≤01a ≤≤即实数的取值范围为.a []0,1（2）由得：；()()43f x a a x >-+()()()23330x a x a x x a +--=+->当时，的解为或； 3a >-()()30x x a +->3x <-x a >当时，的解为或；3a <-()()30x x a +->x a <3x >-综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为3a >-()(),3,a -∞-+∞ 3a <-.()(),3,a -∞-+∞ 19．受疫情影响年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生的上课2022注意力指数与听课时间（单位：）之间满足如下关系：()f t t min ，其中，且．已知在区间上的最大()()224,016log 889,1645a mt mt n t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩0m >0a >1a ≠()y f t =[)0,16值为，最小值为，且的图象过点． 8870()y f t =()16,86(1)试求的函数关系式；()y f t =(2)若注意力指数大于等于时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听85课效果最佳？请说明理由．【答案】(1) ()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳1224t ⎡⎤∈-⎣⎦【分析】（1）根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得的值，由此可得； ,,m n a ()f x （2）分别在和的情况下，由可解不等式求得结果.016t ≤<1645t ≤≤()85f t ≥【详解】（1）当时，，[)0,16t ∈()()()222412144f t m t t n m t m n =--+=--++，解得：； ()()()()max min 1214488070f t f m n f t f n ⎧==+=⎪∴⎨===⎪⎩1870m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩又，，解得：， ()16log 88986a f =+=log 83a ∴=-12a =.()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪∴=⎨-+≤≤⎪⎩（2）当时，令，解得：；16t ≤<21370858t t -++≥1216t -≤<当时，令，解得：；1645t ≤≤()12log 88985t -+≥1624t ≤≤教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.∴1224t ⎡⎤∈-⎣⎦20．已知函数，函数． ()()33log log 39x f x x =⋅()1425x x g x +=-+(1)求函数的最小值；()f x (2)若存在实数，使不等式成立，求实数x 的取值范围．[]1,2m Î-()()0f x g m -≥【答案】(1) 94-(2)或 109x <≤27x ≥【分析】（1）将化为关于的二次函数后求最小值；()f x 3log x （2）由题意知，求得后再解关于的二次不等式即可.min ()()f x g m ≥min ()g m 3log x 【详解】（1） ()()3333()log log (3)log 2log 19x f x x x x =⋅=-+ ()233log log 2x x =--， 2319log 24x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴显然当即, ， 31log 2x =x =min 9()4f x =-∴的最小值为. ()f x 94-（2）因为存在实数，使不等式成立，[]1,2m Î-()()0f x g m -≥所以， 又，min ()()f x g m ≥()()21421524x x x g x +=-+-=+所以，()()2124m g m -=+又，显然当时，，[]1,2m Î-0m =()()02min 2414g m -=+=所以有，即，可得， ()4f x ≥()233log log 24x x --≥()()33log 2log 30x x +-≥所以或，解得 或. 3log 2x ≤-3log 3x ≥109x <≤27x ≥故实数x 的取值范围为或. 109x <≤27x ≥21．某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得[)55,60[)60,65[]90,95到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x ，y ，从下面两个条件中选一个，求事件E 的概率．()P E ①事件E ：；[]0,5x y -∈②事件E ：．(]5,15x y -∈注：如果①②都做，只按第①个计分．【答案】(1)0.08；81.8(2)选①：；选②： 715815【分析】（1）根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于此分数所占的频率为0.12求得此分数.（2）分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E 所包含事件的个数的概率，根据古典概型求解.【详解】（1）第七组的频率为， 30.0650＝所以第六组的频率为，()10.0650.00820.0160.0420.060.08--⨯++⨯+=第八组的频率为0.04，第七、八两组的频率之和为0.10，第六、七、八组的频率之和为0.18，设优秀等级的最低分数为，则，m 8085m <<由，解得， 850.040.060.080.155m -++⨯=81.8m ≈故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数.81.8（2）第六组的人数为4人，设为,，第八组的人数为2人，设为， [80,85),a b ,c d [90,95],A B 随机抽取两名学生，则有共15种情况，,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad bc bd cd aA bA cA dA aB bB cB dB AB选①：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，[]:0,5E x y -∈所以事件包含的基本事件为共7种情况，E ,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 故. 7()15P E =选②：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，(]:5,15E x y -∈所以事件包含的基本事件为共8种情况，E ,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB 故. 8()15P E =22．已知函数的定义域为D ，对于给定的正整数k ，若存在，使得函数满足：()f x [],a b D ⊆()f x 函数在上是单调函数且的最小值为ka ，最大值为kb ，则称函数是“倍缩函()f x [],a b ()f x ()f x 数”，区间是函数的“k 倍值区间”．[],a b ()f x (1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）()3f x x =(2)证明：函数存在“2倍值区间”；()ln 3g x x =+(3)设函数，，若函数存在“k 倍值区间”，求k 的值． ()2841x h x x =+10,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()h x 【答案】(1)是，理由见详解(2)证明见详解(3){}4,5,6,7k ∈【分析】（1）取，结合题意分析说明；1,1,1k a b ==-=（2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析ln 32x x +=证明；（3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.【详解】（1）取，1,1,1k a b ==-=∵在上单调递增，()3f x x =[]1,1-∴在上的最小值为，最大值为，且， ()3f x x =[]1,1-()1f -()1f ()()()1111,1111f f -=-=⨯-==⨯故函数是“倍缩函数”.()3f x x =（2）取，2k =∵函数在上单调递增，()ln 3g x x =+[],a b 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， ()ln 3g x x =+0a b <<ln 32ln 32a a b b+=⎧⎨+=⎩等价于至少有两个不相等的实根，ln 32x x +=等价于至少有两个零点，()ln 23G x x x =-+∵，且在定义内连续不断， ()()()332e 0,110,2ln 210e G G G -=-<=>=-<()G x ∴在区间内均存在零点，()G x ()()3e ,1,1,2-故函数存在“2倍值区间”.()ln 3g x x =+（3）对，且，则， 121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦12x x <()()()()()()12121212222212128148841414141x x x x x x h x h x x x x x ---=-=++++∵，则， 12102x x ≤<≤221212120,140,410,410x x x x x x -<->+>+>∴，即，()()120h x h x -<()()12h x h x <故函数在上单调递增， ()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦若函数存在“k 倍值区间”，即存在，使得成立， ()h x *10,2a b k ≤<≤∈N 22841841a ka ab kb b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即在内至少有两个不相等的实根， 2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵是方程的根，则在内有实根， 0x =2841x kx x =+2841k x =+10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦若，则，即，且， 10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦[)284,841x ∈+[)4,8k ∈*k ∈N ∴，即.4,5,6,7k ={}4,5,6,7k ∈【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。
(完整版)高一数学必修4期末试卷及答案,推荐文档
．
2
14．下面有五个命题：
①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 ．
②终边在 y 轴上的角的集合是｛a|a= k , k Z ｝． 2
③在同一坐标系中，函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点．
④把函数 y 3sin(2x ) 的图像向右平移 得到 y 3sin 2x 的图像．
13
B 头头 头头头头头头 /wxc/
头头头头 头头头 wxckt@
头头 头头头头头头
/wxc/
头头头头 头头头 wxckt@
5 13
C
头头 头头头头头头
/wxc/
A．互相垂直
B．同向平行
C．反向平行
D．既不平行也不垂直
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）
11．
3 sin 70 2 cos2 10
12．已知函数
f
(x)
2 sin
x
5
的图象与直线
y
1的交点中最近的两个交点的距离为
3
，则函数
f(x)Biblioteka 的最小正周期为。13．已知函数 f (x) sin(x ) cos(x ) 是偶函数，且 [0, ] ，则 的值 为
84
84
9．
设函数
f (x)
sin
x
3
(x
R)
，则
f (x) =（
）
A．在区间
2 3
，7 6
上是增函数
B．在区间
，
2
上是减函数
C．在区间
8
， 4
上是增函数
D．在区间
3
，5 6
上是减函数
10．设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 DC 2BD, CE 2EA, AF 2FB, 则 AD BE CF 与 BC ( )
北京市通州区2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
2024北京通州高一（下）期末数 学2024年7月本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复平面内点所对应复数的虚部为（A ）1（B ） （C ） （D ）（2）样本数据3，5，7，2，10，2的中位数是（A ）7（B ）6（C ）5（D ）2（3）已知向量，，那么向量可以是（A ）（B ）（C ）（D ）（4）在△中，角所对的边分别为，已知（A ）（B ）（C ）或（D ）或（A ）（）在下列关于直线（A ）若，且，则 （B ）若，且，则（C ）若，，，则（D ）若，且，则（8）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有(1,2)-A 2-i 2-i（-1,2）a =⊥a b b 21（，）(21)-，(21)-，(12)-，ABC ,,A B C ,,a b c ,1,6A a b π==B =3π4π4π34π3π23π11111116π⊂l β⊥αβ⊥l α⊥l β//αβ⊥l α//αβl ⊂α⊂m β//l m⊥l β⊥αβ//l α（A ）（B ））达芬奇方砖是在正六边形上画了具六片这样的达·芬奇方砖拼成下图的组合，这个组合再转换成几何体，则需要10个正方体叠落而成，若一个小球从图中阴影小正方体出发，等概率向相邻小正方体（具有接触面）移动一步，则经过两步移动后小球又回到阴影小正方体的概率为第二部分（非选择题 共二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11）设复数满足（12）从写有数字1，2，3，4，5是 ．（13）已知分别是△的角的对边，若，，，则= ，△的面积为 ．（14）在正方形中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出可以使得成立的，的一组数据为 ．（15）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 ．①直线与直线相交；②当时，为四边形；③当为的中点时，平面截正方体所得的截面面积为；④当时，截面与，分别交于，则23z ()1i 2i -=z ,,a b c ABC ,,A B C 5=b 4=c 10⋅=-AB AC A ABC ABCD E DC 2=DE EC F AE =+AF AB AD λμλμ(),λμ1111ABCD A B C D -E BC F 1CC A E FS 1D D AF 102CF <<S F 1CC AEF 9834CF =S 11A D 11C D ,M N MN三、解答题共6小题，共85分。
2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)
2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。
人教版高一上期末数学试卷(有答案)
人教版高一上期末数学试卷(有答案) 无明显问题的段落：一、选择题：1.已知集合M={x∈R|x^2+2x=0}，N={2}，则M∩N={2}。
2.若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为3/4π。
3.设x∈R，向量a=(3,x)，b=(-1,1)，若a⊥b，则||a||=6.4.二次函数f(x)=ax^2+bx+1的最小值为f(1)=0，则a-b=-2.5.已知点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①，②，③，④。
其中可作为该平面其他向量基底的是①④。
6.已知函数f(x)=|x-1|，则与y=f(x)相等的函数是g(x)=1-x。
7.已知a=log3 2，b=log3 4，c=log3 5，则c>b>a。
8.已知函数f(x)=x^2-4x+5，若g(x)=f(x)-m为奇函数，则实数m的值为2.9.某人欲购买标价为2700元的商品，他可以享受的实际折扣率约为75%。
10.将函数y=f(x)的图象上所有点向左平行移动1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴的方程是y=-1.11.函数y=f(x)的图象可能是D。
12.关于x的方程(a^2-1)x^2+2ax+a=0 (a>1且a≠-1)解的个数是2.二、填空题：13.函数f(x)=sin(x-π/2)，则sinα=f(α+π/2)，tan(π-α)=tanα。
14.已知角α为第四象限角，且tanα=-3/4，则cosα=4/5，sinα=-3/5.解得m=2c-1=2log3(5)-1。
故选：C．4．（3分）二次函数f（x）=ax2+bx+1的最小值为f（1）=0，则a-b=（）A．-2 B．-1 C．1 D．3解：由题意可得f(1)=a+b+1=0，即a=-b-1，代入a-b中得a-b=-2b-1.所以选A。
5．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①（3，1），②（1，1），③（1，-1），④（-2，-2）与（-1，2）；其中可作为该平面其他向量基底的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④解：根据向量组共线或不共线的特性，可以排除②和④。
2022～2023学年高一年级数学上册期末备考模拟试卷(4)【含答案】
期末模拟试卷(4)一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．设全集=U R ，集合=−−A x x x {|20}2，=>B x lgx {|0}，则=A B ( ) A ．−x x {|12} B ．<x x {|12} C ．<<x x {|12} D ．−x x {|1}2．=A x x {|02}，=B y y {|12}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是A ．B ．C ．D ．3．单位圆上一点P 从(0,1)出发，逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为A ．−2(1B ．−2()1C ．−2(,1D ．2()14．不等式>+x 216|21|的解集为 A ．+∞2[,)3 B ．−∞−+∞22(,)(,)53C ．−∞−+∞22(,](,)53D ．−∞−2(,)55．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 A ．415 B ．154 C ．815 D ．1206．设=a =b 0.90.8，=c log 0.80.9，则 A ．>>c a b B ．>>a c b C ．>>a b c D ．>>c b a7．已知函数=−−f x x x ()log (45)212，则函数f x ()的减区间是A ．−∞(,2)B ．+∞(2,)C ．+∞(5,)D ．−∞−(,1)8．已知实数>>x y 0，且+−+=x y 216111，则−x y 的最小值是 A ．21 B ．25 C ．29 D ．33二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求） 9．下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是 A ．∃∈x R ，x ||0B ．存在∈x R ，使得++=x x 102C ．至少有一个无理数x ，使得x 3是有理数D ．有的有理数没有倒数10．下列说法正确的是A ．若⋅>ααsin cos 0，则α为第一象限角B ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是−︒30C ．终边经过点≠a a a ,0)()(的角的集合是Z =+∈ααππk k 4,}{ D ．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30°的扇形，则该扇形面积为πcm 23211．已知函数−=x f x ||2()1，则下列结论中正确的是A ．f x ()是偶函数B ．f x ()在−∞−(,2)上单调递增C ．f x ()的值域为RD ．当∈−x (2,2)时，f x ()有最大值12．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，O 为AD 的中点，点P 沿着→→→A B C D 的方向运动，设∠AOP 为x ，阴影部分的面积为f x ()，则下列说法中正确的是A ．f x ()在π2(，π)上为减函数B ．=πf 42()1C ．+−=πf x f x ()()4D ．f x ()图象的对称轴是=πx 2三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．求值：2617sin cos()34ππ+−= ．14．已知幂函数2()(57)m f x m m x =−+是R 上的增函数，则m 的值为 ．15．若“13x <<”的必要不充分条件是“22a x a −<<+”，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数{25,2()(2),2x x f x xlg x x −−=+>−，若方程()1f x =的实根在区间(k ，1)()k k Z +∈上， 则k 的所有可能值是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2021-2022学年黑龙江省高一上学期期末考试数学试卷（含解析）
2021-2022学年黑龙江省高一上学期期末考试数学试卷（含解析）2021-2022学年黑龙江省高一上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin 600°＋tan 240°的值为（?）A．B．C．D．2．已知集合，，则（?）A．B．C．D．3．角的终边经过点，且，则（?）A．B．C．D．4．已知函数，下列结论中错误的是（?）A．，B．函数最多两个极值C．若是的极值点，则D．若是的极小值点，则在区间上单调递减5．若，，，则，，的大小关系为（?）A．B．C．D．6．已知函数，则下列说法正确的是A．的最小正周期为B．的最大值为2C．的图像关于轴对称D．在区间上单调递减7．要得到函数的图像，只需把函数的图像（?）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位8．已知集合，，则，（?）A．B．C．D．二、多选题9．若，，则（?）A．B．C．D．10．已知函数的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（?）A．B．若，且，则C．若，则D．的值域为11．下列说法正确的是（?）A．“”是“”的必要不充分条件B．“且”是“”的充分不必要条件C．当时，“”是“方程有解”的充要条件D．若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件12．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（?）A．B．C．D．三、填空题13．若是第三象限的角，则是第________象限角；14．以下说法正确的是______．①函数的定义域为②函数的值域为③函数的值域是④函数在上不具有单调性，则实数k的取值范围为．15．已知，则___________ ．四、双空题16．已知函数，则函数的最大值为____，若函数在上为增函数，则w的取值范围为______．五、解答题17．已知函数的图像经过点(1)求的值并判断的奇偶性；(2)判断并证明函数在的单调性，并求出最大值.18．（1）计算：（2）化简：19．求下列函数的值域：(1)；(2).20．设函数.(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值.参考答案：1．C【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得答案.【详解】解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－＋＝．故选：C.2．C【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】因为，则或，因此，.故选：C.3．A 【分析】利用三角函数的定义可求得的值，再利用三角函数的定义可求得的值.【详解】由三角函数的定义可得，则，解得，因此，.故选：A.4．D【分析】根据零点存在定理，导数与极值、单调性的关系判断．【详解】，最多有两个解，因此最多有两个极值点，B正确；根据极值的定义，是的极值点，则，C正确；设有两个解，且，则或时，时，，因此函数在和上递增，在上递减，是极小值点，D错误．由上分析，可得时，，时，，由零点存在定理知在上至少存在一个零点，A正确；故选：D．5．D【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以，故选：D6．C【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选C．【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．7．C【分析】根据函数图象满足“左加右减”进行求解平移后的解析式，得到正确答案.【详解】把函数的图象向右平移个单位得到把函数的图象向左平移个单位得到把函数的图象向右平移个单位得到，把函数的图象向左平移个单位得到，故C正确；故选：C8．D【分析】解一元二次不等式得到集合，再利用集合交集的定义进行运算求解即可.【详解】集合又，，故选：D9．BCD【分析】根据不等式的性质，并结合指数函数与幂函数的单调性依次分析各选项即可得答案.【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误；对于B选项，因为，所以，故B选项正确；对于C选项，由于函数是增函数，所以当，，故C选项正确；对于D选项，由于函数在单调递减，所以，，故D选项正确；故选：BCD10．ABD【分析】根据题意，由指数函数的性质分析、的值，即可得函数的解析式，根据函数的奇偶性以及单调性即可对选项逐一求解.【详解】函数的图像过原点，，即，，且的图像无限接近直线，但又不与该直线相交，，，，故A确；由于为偶函数，故若，且，则，即，故B确，由于在上，单调递减，故若，则，故C错误，由于，，，，故D确；故选：ABD11．ABD 【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定义即可判断答案.【详解】对A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，满足成立，但显然得不到.所以A正确；对B，由且显然可以得到，但若，满足，但不满足且.所以B正确；对C，时，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也无法得到.所以C错误.对D，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.所以D正确.故选：ABD.12 ．AC【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递增；故选：AC13．一或三【分析】根据的范围求得的范围，从而确定正确答案.【详解】依题意，，，所以当为奇数时，在第三象限；当为偶数时，在第一象限.故答案为：一或三14．②④【解析】根据函数的解析式求出函数的定义域与值域，再利用二次函数的性质即可得出结果.【详解】对于①，函数，则，解得且，所以函数的定义域为，故①错误；对于②，函数，令，则，所以，所以函数的值域为，故②正确；对于③，函数，由，所以函数的值域为，故③错误；对于④，函数在上不具有单调性，则，解得，实数k的取值范围为，故④正确；故答案为：②④15．【分析】将化为，再利用平方关系化弦为切，将代入即可求解.【详解】解：，因为，所以.故答案为：.16．3【分析】根据正弦函数值域即可求f(x)最大值；求出f(x)的增区间，则根据为其子集即可求出ω关于整数k的范围，令k为具体的整数即可求出ω的具体范围.【详解】当sin＝1时，取最大值3；函数在上为增函数，根据正弦函数的性质可知，区间的长度最长为该正弦型函数最小正周期的一半，即.令，则，k∈Z；则，k∈Z；∵，∴时，；时，；时，∵，故不符题意；综上，ω∈.故答案为：3；.17．（1），奇函数；（2）函数在上递增，证明见解析，最大值为.【分析】（1）利用点列方程，解方程求得的值.根据函数奇偶性的定义，判断出函数的奇偶性.（2）首先判断出函数在上递增，然后利用单调性的定义，证明出单调性，并根据单调性求得函数的最大值.【详解】（1）由于函数过点，故，所以.函数的定义域为，且，所以函数为奇函数.（2）函数在上递增，证明如下：任取，则，由于，所以，所以函数在上递增，且最大值为.【点睛】本小题主要求函数解析式，考查函数的奇偶性，考查利用定义证明函数的单调性，考查根据函数的单调性求最值，属于中档题.18．（1）；（2）.【分析】（1）根据对数的运算性质可知，，代入原式，可求出结果；（2）利用诱导公式可化简，约分，得出结果.【详解】（1）；（2）.19．(1) ；(2) .【分析】(1)根据函数的解析式的特征,利用换元法求解函数的值域；(2)根据函数的解析式的特征,进行常变量分离即可求出函数的值域.【详解】(1)令,因此有：,所以函数的值域为：；(2) ,所以函数的值域为：.【点睛】本题考查了利用换元法和常变量分离法求函数的值域,考查了数学运算能力.20．(1)，(2)时，最大值是2，时，最小值是1【分析】（1）利用正弦函数的性质求解；（2）由正弦函数的性质求解.(1)解：的最小正周期为，由，得，所以函数的对称轴方程为；(2)由（1）知，时，，则，即时，，，即时，，的最大值是2，此时，的最小值是1，此时.试卷第1页，共3页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）如图是一个正四棱锥，它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．2．（4分）已知点(1，)(0)a a >到直线:20l x y +-=的距离为1，则a 的值为( ) A ．2B ．22-C ．21-D ．21+3．（4分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒4．（4分）在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，5AB =，4BC =，2CD =，则梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为( )A ．52πB ．1163π C ．1003πD (28410)+ 5．（4分）已知直线倾斜角的范围是2[,)(,]3223ππππα∈⋃，则此直线的斜率的取值范围是()A ．[3,3]-B ．(,3][3,)-∞-+∞C ．33[,]33-D ．33(,][,)33-∞-+∞ 6．（4分）正三角形ABC 的边长为2cm ，如图，△A B C '''为其水平放置的直观图，则△A B C '''的周长为( )A ．8cmB ．6cmC ．(26)cm +D ．(223)cm +7．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为( )A ．24πB ．6πC ．86πD 6π8．（4分）已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则m n ⊥；③αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥；④m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确命题的序号为( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④9．（4分）若实数x ，y 满足不等式组031y x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩，则2||z x y =-的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．210．（4分）已知圆1Γ与2Γ交于两点，其中一交点的坐标为(3,4)，两圆的半径之积为9，x轴与直线(0)y mx m =>都与两圆相切，则实数(m = ) A ．158B ．74C ．235 D ．35二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为 ，体积为 ．12．（6分）若直线12y kx k =+-与曲线21y x =-有交点，则实数k 的最大值为 ，最小值为 ．13．（6分）若过点(1,1)的直线l 被圆224x y +=截得的弦长最短，则直线l 的方程是 ，此时的弦长为 ．14．（6分）已知点(2,1)和圆22:220C x y ax y ++-+=，若点P 在圆C 上，则实数a = ；若点P 在圆C 外，则实数a 的取值范围为 ． 15．（4分）异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为 ．16．（4分）在棱长均为2的三棱锥A BCD -中，E 、F 分别AB 、BC 上的中点，P 为棱BD 上的动点，则PEF ∆周长的最小值为 ．17．（4分）在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2PA PB ==，22PC AB BC ===，作BD PC ⊥交PC 于D ，则BD 与平面PAB 所成角的正弦值是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（14分）正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 为PC 中点． （1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值．19．（15分）已知圆22:(2)(3)2C x y -+-=．（1）过原点O 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）过圆C 外的一点P 向圆C 引切线PA ，A 为切点，O 为坐标原点，若||||PA OP =，求使||PA 最短时的点P 坐标．20．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE DC ⊥；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．21．（15分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，E 在1CC 上，且12CE C E =． （1）求证：1AC ⊥平面1A BD ；（2）在线段1DD 上存在一点P ，1DP D P λ=，若1//PB 平面DME ，求实数λ的值．22．（15分）已知点(1,0)A ，(4,0)B ，曲线C 上任意一点P 满足||2||PB PA =． （1）求曲线C 的方程；（2）设点(3,0)D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由．2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）如图是一个正四棱锥，它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：该几何体直观图为一个正四棱锥，所以其俯视图轮廓为正方形，并且能够看到其四个侧棱，构成正方形的对角线， 故选：D ．2．（4分）已知点(1，)(0)a a >到直线:20l x y +-=的距离为1，则a 的值为( ) A ．2B ．22-C ．21-D ．21+【解答】解：点(1，)(0)a a >到直线:20l x y +-=的距离为1，∴|12|12a +-=，解得12a =+故选：D ．3．（4分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解答】解：11//AB DC ，1DC B ∴∠是直线1AB 与1BC 所成角， 1BDC ∆是等边三角形，∴直线1AB 与1BC 所成角60︒．故选：C ．4．（4分）在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，5AB =，4BC =，2CD =，则梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为( ) A ．52πB ．1163π C ．1003π D ．(28410)3π+ 【解答】解：梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体是圆台，圆台的高4h BC ==，上底面圆半径2r CD ==，下底面圆半径5R AB ==，∴梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积：221()3V h R Rr r π=++14(25104)3π=⨯⨯++ 52π=．故选：A ．5．（4分）已知直线倾斜角的范围是2[,)(,]3223ππππα∈⋃，则此直线的斜率的取值范围是()A ．[3,3]-B ．(,3][3,)-∞-+∞C ．33[,]33-D ．33(,][,)33-∞-+∞ 【解答】解：根据题意，直线倾斜角的范围是2[,)(,]3223ππππα∈⋃，其斜率tan k α=， 则3k -或3k，即k 的取值范围为(-∞，3)(3-⋃，)+∞； 故选：B ．6．（4分）正三角形ABC 的边长为2cm ，如图，△A B C '''为其水平放置的直观图，则△A B C '''的周长为( )A ．8cmB ．6cmC ．(26)cmD ．(223)cm +【解答】解：正ABC ∆的边长为2cm ，则它的直观图△A B C '''中，2A B ''=，132sin 602O C ''=︒=； 2222332726612cos45121()42B C O B O C O B O C --∴''=''+''-''''︒=+-⨯==， 612B C ∴''=； 又2222332726612cos135121(()4A C O A O C O A O C ++''=''+''-''''︒=+-⨯=， 61A C +∴''=； ∴△A B C '''的周长为61612(26)()cm -+=+． 故选：C ．7．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为( )A ．24πB ．6πC ．86πD ．6π【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其四个顶点是以俯视图为底面，以1为高的三棱锥的四个顶点，如图是长方体的一部分， 故其外接球，相当于一个长2，宽1，高1的长方体的外接球，故外接球的半径2221612122R ⨯++=， 故球的体积346()632V ππ=⨯=，故选：D ．8．（4分）已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则m n ⊥；③αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥；④m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确命题的序号为( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解答】解：①m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥不一定成立，进而αβ⊥不一定成立，故错误；②令α，β，γ为底面为直角三角形的三棱柱的三个侧面，且αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则//m n ，即m n ⊥不一定成立，故错误； ③αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥，故正确；④若m α⊥，m n ⊥，则//n α，或n α⊂，又由n β⊥，则αβ⊥，故正确； 故选：C ．9．（4分）若实数x ，y 满足不等式组031y x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩，则2||z x y =-的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2【解答】解：画出实数x ，y 满足不等式组031y x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩的可行域如图所示，可得(1B ，2)(1A -，0)，(3,0)C ，(0,1)D当目标函数2||z x y =-经过点(0,1)D 时，z 的值为1-， 故选：A ．10．（4分）已知圆1Γ与2Γ交于两点，其中一交点的坐标为(3,4)，两圆的半径之积为9，x 轴与直线(0)y mx m =>都与两圆相切，则实数(m = ) A ．158B ．74C 23D ．35【解答】解：两切线均过原点，∴连心线所在直线经过原点，该直线设为y tx =，设两圆与x 轴的切点分别为1x ，2x ，则两圆方程分别为：222111222222()()()()()()x x y tx tx x x y tx tx ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 圆1Γ与2Γ交点的坐标为(3,4)P ， (3,4)P ∴在两圆上．∴222111(3)(4)()x tx tx -+-=①，222222(3)(4)()x tx tx -+-=②，又两圆半径之积为9，∴21212||||||9tx tx x x t ==③，联立①②③，可得1x ，2x 是方程222(3)(4)()x tx tx -+-=的两根， 化简得2(68)250x t x -++=，即1225x x =． 代入③，得2925t =，即35t =．由于所求直线的倾斜角是连心线所在直线倾斜角的两倍，即221tm t =-． 158m ∴=． 故选：A ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为 6π ，体积为 ． 【解答】解：设圆柱的底面直径为2R ，则高为2R ， 圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，244R ∴=，解得1R =，∴该圆柱的表面积2122126S πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=，体积2122V ππ=⨯⨯=． 故答案为：6π，2π．12．（6分）若直线12y kx k =+-与曲线21y x =-有交点，则实数k 的最大值为 1 ，最小值为 ．【解答】解：直线12y kx k =+-，即(2)1y k x =-+经过定点(2,1)P ． 曲线21y x =-表示圆221x y +=的上半部分，(1,0)A ，(0,1)B ． 直线12y kx k =+-与曲线21y x =-有交点， 则实数k 的最大值为10121PA k -==-，最小值为0PB k =． 故答案为：1，0．13．（6分）若过点(1,1)的直线l 被圆224x y +=截得的弦长最短，则直线l 的方程是 2x y += ，此时的弦长为 ．【解答】解：直线I 的方程为1(1)y k x -=-，与圆联立可得出两点M ，N ，即22(1)4x kx k +-+=，韦达定理求解得2122221k k x x k -+=+，2122231k k x x k --=+，2222121222323(1)1()442211k k k MN k x x x x k k +++=++-=+++，当1k =-时，MN 最短，直线I 为2x y +=，弦长为22 故填：2x y +=；2214．（6分）已知点(2,1)和圆22:220C x y ax y ++-+=，若点P 在圆C 上，则实数a = 52- ；若点P 在圆C 外，则实数a 的取值范围为 ．【解答】解：①P 在圆C 上，将P 点代入圆的方程，即22212220a ++-+=，解得52a =-，代入圆检验成立，②P 在圆C 外，将P 点代入圆的方程，即22212220a ++-+，解得5a -，圆的方程为222()(1)124a a x y ++-=-，2104a ->，解得2a >或2a <-，25a ∴->-或2a >，故填52-；25a ->-或2a >．15．（4分）异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为 (6π，)3π．【解答】解：由最小角定理可得：异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为：63ππθ<<，故答案为：(6π，)3π．16．（4分）在棱长均为2的三棱锥A BCD -中，E 、F 分别AB 、BC 上的中点，P 为棱BD 上的动点，则PEF ∆周长的最小值为 23 ．【解答】解：棱长均为2的三棱锥A BCD -中，E 、F 分别AB 、BC 上的中点，首先把三棱锥转换为平面图形，即转换为平面图形在平面展开图，棱长均为2的三棱锥A BCD -中，EF 分别为AB ，BC 的中点（中位线定理）得1EF =，因为所求周长最小为PE PF EF ++的值，所以要求PE PF +的值最小故2222cos120EF BE BF BE BF =+-︒，由于1BE BF ==，解得EF由于E 、F 分别为AB ，BC 的中点（中位线定理）得1EF =， 所以PEF ∆周长的最小值1EG FG EF ++=．故答案为：1+17．（4分）在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2PA PB ==，PC AB BC ===，作BD PC ⊥交PC 于D ，则BD 与平面PAB 所成角的正弦值是． 【解答】解：如图，取AB 中点E ，AC 中点F ，连接EF ，PE ，AF ，2,AP PB AB ===PE ∴ AB BC ⊥，AB BC ==4AC ∴=，在APC ∆中，余弦定理可得2223cos 24PC AP AC PAC AP AC -++∠==．在APF∆中，余弦定理可得cos PF AP AF PAC =∠ 在PEF ∆中，PE PF EF ===AB ⊥面PEF ， 过F 作FO EP ⊥，易得FO ⊥面ABP ，且FO=，∴点C 到面ABP122PBCS∆=⨯=． ∴12PC BD ⨯⨯，∴BD =，PD =， :1:4PD PC ∴=，∴点D 到面ABP故BD 与平面PAB=，故答案为：2114．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（14分）正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 为PC 中点． （1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值．【解答】解：（1）连接AC ， 设AC ，BD 的交点为O ， 连接OE ， 因为//OE PA ，PA ⊂/面EBD ，又OE ⊂面EBD ， 故//AP 面BDE ， （2）由（1）可得：DEO ∠为异面直线PA 与DE 所成的角，设2AB =，则1EO =，2OD ，3DE ， 由勾股定理可得：ODE ∆为直角三角形，则13cos 33OE DEO DE ∠===， 故异面直线PA 与DE 所成角的余弦值为33．19．（15分）已知圆22:(2)(3)2C x y -+-=．（1）过原点O 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）过圆C 外的一点P 向圆C 引切线PA ，A 为切点，O 为坐标原点，若||||PA OP =，求使||PA 最短时的点P 坐标．【解答】（1）原点O 在圆22:(2)(3)2C x y -+-=外，可得直线l 的斜率存在， 设直线方程为y kx =，即0kx y -=．由直线l 被圆C 所截得的弦长为2，得圆心(2,3)到直线的距离为1． 211k =+，解得623k ±=． ∴直线l 的方程为623y -=或623y +； （2）由圆的切线长公式可得22222||||(2)(3)2PA PC R x y =-=-+--， 由||||PA PO =得，2222(2)(3)2x y x y -+--=+，即46110x y +-=，即11342x y =-， 此时22222113133121||||()13()4222613PA PO x y y y y ==+-+=-+∴当3326y =，即11(13P ，33)26时，||PA 最短．20．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE DC ⊥；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM ． 由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故//EM DC ， 且12EM DC =， 又由已知，可得//EM AB ，且EM AB =， 故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM ． 因为PA ⊥底面ABCD ，故PA CD ⊥， 而CD DA ⊥，从而CD ⊥平面PAD ， 因为AM ⊂平面PAD ，于是CD AM ⊥， 又//BE AM ，所以BE CD ⊥．⋯（6分）（Ⅱ）解：连接BM ，由（Ⅰ）有CD ⊥平面PAD ，得CD PD ⊥， 而//EM CD ，故PD EM ⊥．又因为AD AP =，M 为PD 的中点，故PD AM ⊥， 可得PD BE ⊥，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ．所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ， 而BE EM ⊥，可得EBM ∠为锐角，故EBM ∠为直线BE 与平面PBD 所成的角．⋯（9分） 依题意，有22PD =，而M 为PD 中点， 可得2AM =，进而2BE =． 故在直角三角形BEM 中，12tan 22EM AB EBM BE BE ∠====， 所以直线BE 与平面PBD 所成的角的正切值为22．⋯（12分）21．（15分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，E 在1CC 上，且12CE C E =． （1）求证：1AC ⊥平面1A BD ；（2）在线段1DD 上存在一点P ，1DP D P λ=，若1//PB 平面DME ，求实数λ的值．【解答】证明：（1）以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设6AB =，则(6A ，0，0)，1(0C ，6，6)，1(6A ，0，6)，(6B ，6，0)，(0D ，0，0)， 1(6AC =-，6，6)，1(6DA =，0，6)，(6DB =，6，0)，110AC DA =，10AC DB =， 11AC DA ∴⊥，1AC DB ⊥， 1DA DB D =，1AC ∴⊥平面1A BD ．解：（2）在线段1DD 上存在一点P ，1DP D P λ=，设(06)DP t t =，则(0P ，0，)t ，1(6B ，6，6)，(6M ，3，0)，(0E ，6，4)， 1(6PB =，6，6)t -，(6DM =，3，0)，(0DE =，6，4)，设平面DME 的法向量(n x =，y ，)z ，则630640n DM x y n DE y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1x =，得(1n =，2-，3)， 1//PB 平面DME ，∴16121830PB n t =-+-=，解得4t =，2λ∴=．22．（15分）已知点(1,0)A ，(4,0)B ，曲线C 上任意一点P 满足||2||PB PA =． （1）求曲线C 的方程；（2）设点(3,0)D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，||2||PB PA =．∴2222(4)2(1)x y x y -+-+224x y +=．（2）设存在定点Q 满足条件，设直线l 的方程为y kx b =+． 设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ． 联立224y kx b x y =+⎧⎨+=⎩， 化为：22()4x kx b ++=， 222(1)240k x kbx b ∴+++-=，△0>．12221kbx x k ∴+=-+，212241b x x k -=+， 无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠， 则0DE DF k k +=，∴1212033y yx x +=--． 1221()(3)()(3)0kx b x kx b x ∴+-++-=， 12122(3)()60kx x b k x x b ∴+-+-=，222422(3)6011b kb k b k b k k -∴---=++，化为：430k b +=．34k b ∴=-．3(1)4y b x ∴=-+，可得直线经过定点4(3，0)．∴存在过定点4(3Q ，0)的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x轴都平分EDF ∠．。
高一数学期末考试试题及答案
高一数学期末考试试题及答案高一期末考试试题一、选择题1.已知集合M={x∈N/x=8-m,m∈N}，则集合M中的元素的个数为（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：B。
解析：当m=1时，x=7；当m=2时，x=6；当m=3时，x=5；当m=4时，x=4；当m=5时，x=3；当m=6时，x=2；当m=7时，x=1；当m=8时，x=0.因此，集合M中的元素的个数为8.2.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且AB=26，则实数x的值是（）A.−3或4 B.6或2 C.3或−4 D.6或−2答案：C。
解析：根据勾股定理，AB=√[(x-2)²+(1-3)²+(2-4)²]=√[(x-2)²+4]。
因为AB=26，所以√[(x-2)²+4]=26，解得x=3或-7.但是题目中说了点A的横坐标为实数，所以x=3.3.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（）A.1:3 B.1:3 C.1:9 D.1:81答案：B。
解析：设两个球的半径分别为r1和r2，则它们的表面积之比为4πr1²:4πr2²=1:9，化简得.4.圆x+y=1上的动点P到直线3x−4y−10=0的距离的最小值为（）A.2 B.1 C.3 D.4答案：A。
解析：首先求出直线3x−4y−10=0与圆x+y=1的交点Q，解得Q(2,-1)，然后求出点P到直线的距离d，设P(x,y)，则d=|(3x-4y-10)/5|，根据点到直线的距离公式。
将P点的坐标代入d中，得到d的表达式为d=|(3x-4y-16)/5|。
将d表示成x和y的函数，即d=f(x,y)=(3x-4y-16)/5，然后求出f(x,y)的最小值。
由于f(x,y)的系数3和-4的比值为3:4，所以f(x,y)的最小值为f(2,-1)=-2/5，即P点到直线的最小距离为2/5，取整后为2.5.直线x−y+4=0被圆x²+y²+4x−4y+6=0截得的弦长等于（）A.12B.22C.32D.42答案：B。
2022-2023学年河南省平顶山市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z =5i 31−2i 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．数据71，73，79，83，89，90，96，98的25%分位数为（ ） A ．73B ．75C ．76D ．793．某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.24．已知向量a →=(−2，4)，b →=(−1，1)，则a →在b →上的投影向量为（ ） A ．(35，−65)B ．(−35，65)C ．（3，﹣3）D ．（﹣3，3）5．已知圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则它的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．π2B ．πC ．4π3D ．3π26．在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →，则CD →=（ ） A ．12CM →+14BM →B ．14CM →+12BM →C ．13CM →+13BM →D ．13CM →−13BM →7．已知在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点M ，N 分别是BC ，BB 1的中点，则异面直线D 1M ，DN 所成角的余弦值为（ ） A ．17B ．√3514C ．914D ．678．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A +sin （A +C ）＝2sin C ，则（ ） A ．sin C 的最小值为12B ．sinC 的最大值为√32 C ．cos C 的最小值为0 D ．cos C 的最大值为12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．|z|=|z| B ．z −z 一定是虚数 C ．z +z 一定是实数D ．z 2≥010．从1～9这9个整数中随机取1个数，记M ，N 是此试验中的两个事件，且满足P （M ）=13，P （N ）=23，则下列说法正确的是（ ） A ．M 与N 是对立事件B ．若M ⊆N ，则P （MN ）=13C ．若P(MN)=19，则M 与N 相互独立D ．若P （M ∪N ）＝1，则M 与N 互斥11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且b ＝3，A ＝2B ，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ＜b ，则△ABC 是钝角三角形 B ．△ABC 可能是顶角为钝角的等腰三角形C ．若a =3√3，则C =π2D ．若c ＝1，则a =2√312．如图所示，扇形OAB 的半径OA ＝4，∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点，点D ，E 是线段OB ，OA 上的动点且满足|OD →|=|AE →|，则CD →⋅CE →的值可以是（ ）A ．6B ．8C ．2√10D ．3√10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)，若(a →+2b →)⊥c →，则t ＝ ． 14．设一组样本数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的方差为5，则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差是 ．15．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为16，甲和乙两本书都买的概率为12，则小王买乙书的概率为 ．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，平面ABC ⊥平面P AB ，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z1＝t+（t2﹣1）i，z2＝sinθ+（2cosθ+1）i，其中t∈R，θ∈[0，π]．（1）若z1，z2∈R且z1＞z2，求t的值；（2）若z1＝z2，求θ．18．（12分）某型号新能源汽车近期升级一项新技术，现随机抽取了100名该技术的体验用户对该技术进行评分（满分100分），所有评分数据按照[84，88），[88，92），[92，96），[96，100]进行分组得到了如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计对该技术的评分的中位数；（2）现从评分在[84，88），[96，100]内的体验用户中按人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率．19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1B1，AB，AD的中点．（1）求平面AEC截正方体所得截面面积；（2）证明：平面AEC⊥平面MEF．20．（12分）如图所示，四边形ABCD的外接圆为圆O，BC＝2，AC＝3，tan B＝﹣2√2．（1）求sin∠ACB；（2）若∠COD＝∠AOD，求AD的长．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PD＝AB＝3AD＝3．（1）求点A到平面PBC的距离．（2）若E是P A的中点，F是PB上靠近点P的三等分点，棱PB上是否存在一点G使CG∥平面DEF？证明你的结论并求BG的长．22．（12分）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖．每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中．甲、乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖．（1）若m＝60，求这两人中奖的概率；（2）若m＝240，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率．2022-2023学年河南省平顶山市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z =5i 31−2i在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：z =5i 31−2i =−5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2−i ，则z 在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限． 故选：D ．2．数据71，73，79，83，89，90，96，98的25%分位数为（ ） A ．73B ．75C ．76D ．79解：8×25%＝2，该组数据的25%分位数为从小到大第2个数据和第3个数据的平均数 73+792=76．故选：C ．3．某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2解：前三年6月份最高气温小于30°C 的天数为5+7+24＝36，所以概率为3690=0.4，所以可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于30°C 的概率0.4． 故选：C ．4．已知向量a →=(−2，4)，b →=(−1，1)，则a →在b →上的投影向量为（ ） A ．(35，−65)B ．(−35，65)C ．（3，﹣3）D ．（﹣3，3）解：∵a →⋅b →=2+4=6，b →2=2，∴a →在b →上的投影向量为：a →⋅b →|b →|⋅b→|b →|=62(−1，1)=(−3，3)．5．已知圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则它的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．π2B ．πC ．4π3D ．3π2解：根据题意，设圆锥的高为h ，它的侧面展开图的圆心角θ， 圆锥的底面半径是2，体积为8√33π，则V =π×4×ℎ3=8√33π， 则h ＝2√3，故该圆锥的母线长l =√12+4=4， 则4θ＝2π×2，解可得θ＝π． 故选：B ．6．在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →，则CD →=（ ） A ．12CM →+14BM →B ．14CM →+12BM →C ．13CM →+13BM →D ．13CM →−13BM →解：如图，在梯形ABCD 中，AB →=2DC →，AM →=2MD →， 则CD →=CM →+MD →⋯⋯①， BA →=BM →+MA →⋯⋯②，①×2+②可得：4CD →=2CM →+BM →，即CD →=12CM →+14BM →．故选：A ．7．已知在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点M ，N 分别是BC ，BB 1的中点，则异面直线D 1M ，DN 所成角的余弦值为（ ） A ．17B ．√3514C ．914D ．67解：延长BB 1至G ，使得B 1G ＝1，连接D 1G ，GM ， 易知D 1G ∥DN ，则∠MD 1G 为异面直线D 1M ，DN 所成角，因为D 1G =√32+22+12=√14，MG =√12+32=√10，D 1M =√12+32+22=√14，故△MD 1G 中，cos ∠MD 1G =D 1M 2+D 1G 2−MG 22D 1M⋅D 1G =14+14−102×14×14=914．8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A +sin （A +C ）＝2sin C ，则（ ） A ．sin C 的最小值为12B ．sinC 的最大值为√32 C ．cos C 的最小值为0 D ．cos C 的最大值为12解：由已知得sin A +sin B ＝2sin C ，根据正弦定理可得a +b ＝2c ， 根据余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab =(a+b)2−2ab−c 22ab =3c 22ab −1≥3c 22(a+b 2)2−1=32−1=12，当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以cos C 的最小值为12，sin 2C +cos 2C =1，从而sin C 的最大值为√32． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．|z|=|z| B ．z −z 一定是虚数 C ．z +z 一定是实数D ．z 2≥0解：对于ABC ，不妨设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 则z =a −bi ，对于A ，|z|=|z|=√a 2+b 2，故A 正确； 对于B ，z −z =(a +bi)−(a −bi)=2bi ， 当b ＝0时，z −z =0，故B 错误；对于C ，z +z =a +bi +a −bi =2a ∈R ，故C 正确； 对于D ，设z ＝i ， z 2＝﹣1＜0，故D 错误． 故选：AC ．10．从1～9这9个整数中随机取1个数，记M，N是此试验中的两个事件，且满足P（M）=13，P（N）=23，则下列说法正确的是（）A．M与N是对立事件B．若M⊆N，则P（MN）=13C．若P(MN)=19，则M与N相互独立D．若P（M∪N）＝1，则M与N互斥解：对于A，M与N不一定为对立事件，也有可能由交集，比如M为“抽出的数大于等于7”，N为“抽出的数大于等于8或小于等于4”，A错误；对于B，当M⊆N，则P（MN）＝P（M）=13，B正确；对于C，由P（M）=13，P（N）=23，可得P（N）＝1−23=13，则P（M N）＝P（M）P（N），可得M，N互相独立，即有M与N相互独立，C正确；对于D，由P（M）=13，P（N）=23，可得P（M）+P（N）＝P（M∪N）＝1，即有P（MN）＝0，M与N也可能由交集，比如M为“抽出的数小于等于3”，N为“抽出的数大于等于3且小于等于8”显然P（M∪N）=49+49+19=1，二者的交集是“抽出的数字为3”，互斥，D正确．故选：BCD．11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝3，A＝2B，则下列说法正确的是（）A．若c＜b，则△ABC是钝角三角形B．△ABC可能是顶角为钝角的等腰三角形C．若a=3√3，则C=π2D．若c＝1，则a=2√3解：对于A，若c＜b，则C＜B，由π＝A+B+C＜4B，得B＞π4，所以A＞π2，故A正确；对于C，由正弦定理得asinA =bsinB，即asin2B=bsinB，所以a2sinBcosB=bsinB，结合b＝3得a＝6cos B，若a＝3√3，则\cos B=√32，所以B=π6，A=π3，则C=π2，故C正确；对于B，若△ABC是等腰三角形，当A＝C时，A+B+C＝5B，则顶角B=π5为锐角，当B＝C时，A+B+C＝2A，则顶角A=π2为直角，即顶角不可能为钝角，故B错误；对于D ，由选项C 的分析可知a ＝6cos B ，再由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+1−92a ， 所以a ＝6×a 2+1−92a，整理得a 2＝12，所以a ＝2√3，故D 正确．故选：ACD ．12．如图所示，扇形OAB 的半径OA ＝4，∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点，点D ，E 是线段OB ，OA 上的动点且满足|OD →|=|AE →|，则CD →⋅CE →的值可以是（ ）A ．6B ．8C ．2√10D ．3√10解：∵∠AOB =2π3，C 是弧AB 的中点， ∴∠BOC =∠AOC =π3，设|AE |＝x ，（0≤x ≤4），则|OD |＝x ，|OE |＝4﹣x ， ∴CD →=OD →−OC →，CE →=OE →−OC →， ∴CD →⋅CE →=(OD →−OC →)⋅(OE →−OC →) =OD →⋅OE →−OD →⋅OC →−OC →⋅OE →+OC →2 =x ⋅(4−x)⋅(−12)−4x ⋅12−4(4−x)⋅12+16 =12x 2−2x +8=12(x −2)2+6，0≤x ≤4， ∴6≤CD →⋅CE →≤8，故AB 正确；又6=2√9＜2√10＜2√16=8，故C 正确； (3√10)2=90＞64=82，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)，若(a →+2b →)⊥c →，则t ＝ 32．解：a →=(1，2)，b →=(−2，1)，c →=(2，t)， 则a →+2b →=（1，2）+（﹣4，2）＝（﹣3，4）， ∵(a →+2b →)⊥c →，∴2×（﹣3）+4t ＝0，解得t =32． 故答案为：32．14．设一组样本数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的方差为5，则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差是 45 ．解：已知4＝1×3+1，7＝2×3+1，3a +1＝3×a +1， 3b +1＝3×b +1，16＝5×3+1，19＝6×3+1，25＝8×3+1，所以数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25是数据1，2，2，a ，b ，5，6，8的3倍再加1， 则数据4，7，7，3a +1，3b +1，16，19，25的方差为32×5＝45． 故答案为：45．15．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为16，甲和乙两本书都买的概率为12，则小王买乙书的概率为34．解：设事件A 表示“小王买甲书”，事件B 表示“小王买乙书”， 由题意可知，事件A 与事件B 相互独立， 所以事件A 与事件B 也相互独立，所以P （A B ）＝P （A ）P （B ）＝P （A ）（1﹣P （B ））=16，即P （A ）﹣P （A ）P （B ）=16， 又因为P （AB ）＝P （A ）P （B ）=12，所以P （A ）=12+16=23，P （B ）=1223=34，即小王买乙书的概率为34．故答案为：34．16．在三棱锥P ﹣ABC 中，平面ABC ⊥平面P AB ，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点，PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 40π ．解：因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外接圆圆心即点D ，三棱锥外接球球心在过点D 与平面ABC 垂直的直线上，即在平面P AB 内，所以球心即为△P AB 的外接圆圆心，球的半径即为△P AB 的外接圆半径R ，因为PD ⊥PB ，PB ＝PD ＝2，所以BD =2√2，从而AD =2√2，设P A ＝x ，在△P AD 中，根据余弦定理有PA 2=22+(2√2)2−2×2×2√2cos3π4=20，所以PA =2√5， 由正弦定理得2R =2√5sin∠PBA =2√10，所以R =√10，所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝40π．故答案为：40π．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知复数z 1＝t +（t 2﹣1）i ，z 2＝sin θ+（2cos θ+1）i ，其中t ∈R ，θ∈[0，π]．（1）若z 1，z 2∈R 且z 1＞z 2，求t 的值；（2）若z 1＝z 2，求θ．解：（1）由z 1，z 2∈R 且z 1＞z 2，可得{t 2−1=2cosθ+1=0t ＞sinθ，且θ∈[0，π]，解得t ＝1； （2）因为z 1＝z 2，所以{t =sinθt 2−1=2cosθ+1θ∈[0，π]，解得cos θ＝﹣1，所以θ＝π．18．（12分）某型号新能源汽车近期升级一项新技术，现随机抽取了100名该技术的体验用户对该技术进行评分（满分100分），所有评分数据按照[84，88），[88，92），[92，96），[96，100]进行分组得到了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并根据频率分布直方图，估计对该技术的评分的中位数；（2）现从评分在[84，88），[96，100]内的体验用户中按人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率．解：（1）因为4（0.025+0.075+0.1+a ）＝1，解得a ＝0.05，易得评分在[84，92）内的频率为4（0.025+0.075）＝0.4＜0.5，评分在[84，96）内的频率为4（0.025+0.075+0.1）＝0.8＞0.5，所以中位数在区间[92，96）内，则中位数为92+0.5−0.40.8−0.4×4=93；（2）易知这6人中评分在[84，88）内的有2人，记为x 、y ，评分在[96，100]内的有4人，记为a ，b ，c ，d ，则从这6人中随机抽取2人有：xy 、xa 、xb 、xc 、xd 、ya 、yb 、yc 、yd 、ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共15种情况，其中至少有一人评分在[84，88）内的有：xy 、xa 、xb 、xc 、xd 、ya 、yb 、yc 、yd 共9种情况，则这2人中至少有一人评分在[84，88）内的概率P =915=35． 19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是A 1B 1，AB ，AD 的中点．（1）求平面AEC 截正方体所得截面面积；（2）证明：平面AEC ⊥平面MEF ．解：（1）平面AEC 截正方体所得截面为梯形ACQE ，其中Q 为B 1C 1的中点，由题易知AC ＝2√2，EQ =√2，OC ＝AE =√5，∴梯形的高h =√5−12=√92=3√22，所以截面面积为√2+2√22×3√22=92． 证明：（2）连接BD ，∵M ，F 为AD ，AB 的中点，∴MF ∥BD ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴AC ⊥MF ，∵E ，F 分别是A 1B 1，AB 的中点，∴EF ∥AA 1，∵AA1⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥AC，又∵EF∩MF＝F，∴AC⊥平面MEF，又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面MEF．20．（12分）如图所示，四边形ABCD的外接圆为圆O，BC＝2，AC＝3，tan B＝﹣2√2．（1）求sin∠ACB；（2）若∠COD＝∠AOD，求AD的长．解：（1）由tanB=−2√2，可得sinB=2√23，cosB=−13，设AB＝c（c＞0），在△ABC中，由余弦定理得9=4+c2−4c×(−13)，即c2+43c−5=0，解得c＝﹣3（舍去）或c=5 3，由正弦定理得sin∠ACB=c⋅sinB3=53×2√233=10√227．（2）∵∠COD＝∠AOD，∴AD＝CD，由已知得∠B+∠ADC＝π，∴cos∠ADC=1 3，设AD＝CD＝m（m＞0），在△ACD中，由余弦定理得9=m2+m2−2m2×13=43m2，所以m2=27 4，所以m=3√32，即AD=3√32．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PD＝AB＝3AD＝3．（1）求点A到平面PBC的距离．（2）若E是P A的中点，F是PB上靠近点P的三等分点，棱PB上是否存在一点G使CG∥平面DEF？证明你的结论并求BG的长．解：（1）因为AD∥BC，AD∉平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离即点D到平面PBC的距离，作DM⊥PC，垂足为M，如下图所示：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又BC⊥CD，CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD，且交线为PC，又DM⊂平面PCD，所以DM⊥平面PBC，点D到平面PBC的距离即DM，在等腰直角△PCD中，PD＝CD＝3，所以DM=3×332=3√22，即点A到平面PBC的距离为3√2 2．证明：（2）存在满足条件的点G，且点G为线段PB上靠近点B的三等分点，证明如下：连接AC，BD交于点O，连接OG，AG，因为点F，G是PB的三等分点，所以F为PG的中点，G为BF的中点，在矩形ABCD中，O为BD的中点，所以OG∥DF，OG∉平面DEF，所以OG∥平面DEF，因为点E为P A的中点，所以EF∥AG，AG∉平面DEF，所以AG∥平面DEF，又因为OG∩AG＝G，OG，AG⊂平面ACG，所以平面ACG∥平面DEF，又因为CG⊂平面ACG，所以CG∥平面DEF，因为PB=√12+32+32=√19，所以BG=√193．22．（12分）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖．每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中．甲、乙共有购物小票一张，购物金额为m 元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖．（1）若m ＝60，求这两人中奖的概率；（2）若m ＝240，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率．解：（1）记1个红球为a ，4个白球分别为b ，c ，d ，e ．则从箱子中随机摸出两球，样本点有：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10个样本点 其中含有红球的为：ab ，ac ，ad ，ae ，共4个样本点，所以在一次摸奖中，中奖概率为410=25． 当m ＝60时，甲、乙两人只能摸奖一次，所以他们中奖的概率为25．（2）当m ＝240时，他们可以摸奖4次．记事件第i 次由甲摸奖为A i （i ＝1，2，3，4），记第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖为事件B ， 则B =A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4，所以P(B)=P(A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4+A 1A 2A 3A 4)，=P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)+P(A 1A 2A 3A 4)，=12×(25)3+12×25×35×35+12×35×35×25+12×35×25×35 =31125．。
2022-2023学年福建省龙岩市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年福建省龙岩市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z ＝a +3i ，z =2+bi(a ，b ∈R)，则a +b ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．52．已知向量a →，b →，满足|a →|=3，|b →|=4，a →与b →的夹角的余弦值为34，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．a →B ．3a →C ．94b →D ．916b →3．从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．454．已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为x 1，x 2，x 3，…，x 40，经计算全班数学平均成绩x =90，且∑ 40i=1x i 2=324400，则该班学生此次数学成绩的标准差为（ ）A ．20B ．2√5C ．10D ．√105．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（ ）A ．若E ∈BD 1，F ∈BD ，则EF ⊥ACB ．若E ∈BD 1，F ∈BD ，则平面BEF ⊥平面A 1BC 1C ．若E ∈AC ，F ∈CD 1，则EF ∥AD 1 D ．若E ∈AC ，F ∈CD 1，则EF ∥平面A 1BC 16．闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美．某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为A 点，纪念碑的最底端记为B 点（B 在A 的正下方），在广场内（与B 在同一水平面内）选取C ，D 两点，测得CD 的长为15米，∠ACB ＝45°，∠CBD ＝30°，∠ADB ＝30°，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑高度为（ ）A ．14米B ．15米C ．16米D ．17米7．已知等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 的中点，将△ADB 沿AD 折到△ADB 1，使得△B 1CD 为等边三角形，则直线B 1D 与AC 所成的角的余弦值为（ ） A ．−√32B ．0C ．12D ．148．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2B +cos B cos （A ﹣C ）＝sin A sin C ，a =2√3，则△ABC 周长的取值范围是（ ） A ．(6√3，6+6√3) B ．(3+3√3，6+6√3) C ．(3+3√3，9√3)D ．(6√3，9√3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z 满足z •（1﹣3i ）＝10，则（ ） A ．|z|=√10B ．z 的虚部为3iC ．z −3(cos π4+isin π4)2=1D ．复数z 在复平面内对应的点位于第二象限10．新型冠状病毒阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊病例．如图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则（ ）A ．本地新增阳性人数最多的一天是10日B ．本地新增确诊病例的极差为84C ．本地新增确诊病例人数的中位数是46D ．本地新增无症状感染者的平均数大于本地新增确诊病例的平均数11．已知M 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面内一点，t =(MA →+MC →)⋅(MB →+MD →)，则下列结论正确的是（ ）A ．当M 为正六边形ABCDEF 的中心时，t =12B ．t 的最大值为4C ．t 的最小值为−14 D ．t 可以为012．如图，水平放置的正方形ABCD 边长为1，先将正方形ABCD 绕直线AB 向上旋转45°，得到正方形ABC 1D 1，再将所得的正方形绕直线BC 1向上旋转45°，得到正方形A 2BC 1D 2，则（ ）A ．直线A 2C 1∥平面ABCDB ．D 2到平面ABCD 的距离为1+√22C ．点A 到点D 2的距离为3−√2D ．平面A 2BC 1D 2与平面ABCD 所成的锐二面角为60°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．方程x 2+2x +3＝0在复数范围内的根为 ．14．数据13，11，12，15，16，18，21，17的第三四分位数为 ．15．为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动．某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题．已知甲同学答对的概率是12，甲、丙两位同学都答错的概率是16，乙、丙两位同学都答对的概率是13．若各同学答题正确与否互不影响．则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为 ．16．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，DB ⊥AB ，AB ＝DB ＝BP ＝PC ＝2．记四面体P ﹣BCD 的外接球的球心为O ，M 为球O 表面上的一个动点，当∠MAO 取最大值时，四面体M ﹣ABD 体积的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝4，AP →=λAB →(0≤λ≤1)．（1）当λ=23时，用CA →，CB →表示CP →；（2）求CP →⋅(CA →+CB →)的值．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AA 1＝AB ＝4，BC ＝3． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面积；（2）设D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面BC 1D ．19．（12分）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12．（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色． （i ）写出该试验的样本空间Ω；（ii ）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．20．（12分）某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐．为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量L （单位：M ）的数据，其频率分布直方图如图：若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题． （1）求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；（2）在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M ，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M ，方差为40000．（ⅰ）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m ，x ，s 12；n ，y ，s 22，记总的样本平均数为ω，样本方差为s 2．证明：s 2=1m+n{m[s 12+(x −ω)2]+n[s 22+(y −ω)2]}．（ⅱ）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，侧面PBC ⊥底面ABCD ． （1）若∠PBC ＝90°，求证：AC ⊥PD ；（2）若AC 与平面PCD 所成角为30°，求点A 到直线PC 的距离．22．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 在边AB 上，∠A =π4，BD ＝CD ，AD ＝2．（1）若BD =√53b ，求c ；（2）若a =2√2，求△ABC 的面积．2022-2023学年福建省龙岩市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z ＝a +3i ，z =2+bi(a ，b ∈R)，则a +b ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．5解：复数z ＝a +3i ，z =2+bi ，由共轭复数的定义可知，a ＝2，b ＝﹣3，则有a +b ＝2﹣3＝﹣1． 故选：A ．2．已知向量a →，b →，满足|a →|=3，|b →|=4，a →与b →的夹角的余弦值为34，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ）A ．a →B ．3a →C ．94b →D ．916b →解：因为向量a →，b →，满足|a →|=3，|b →|=4，a →与b →夹角的余弦值为34，所以向量a →在向量b →上的投影向量为a →⋅b →|b →|b→|b →|=3×4×344×b→4=916b →．故选：D ．3．从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45解：五条线段中任取3条有C 53种结果，这些结果等可能出现．要使选出的三条线段可构成三角形，则两条较小边的和要大于第三边， 故只有：（3，7，8），（3，7，9），（3，8，9），（7，8，9）这四种可能， 故所求概率为P =4C 53=410=25． 故选：B ．4．已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为x 1，x 2，x 3，…，x 40，经计算全班数学平均成绩x =90，且∑ 40i=1x i 2=324400，则该班学生此次数学成绩的标准差为（ ）A ．20B ．2√5C ．10D ．√10解：已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为x 1，x 2，…，x 40，因为全班数学平均成绩x =90，且∑ 40i=1x i 2=324400，所以该班学生此次数学成绩的标准差s=√∑(x i−x)240i=140=√∑x i2−2x∑40i=1x i+40x240i=140=√∑x i2−2x⋅40x+40x240i=140=√∑x i2−40x240i=140=√324400−40×90240=√10．故选：D．5．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）A．若E∈BD1，F∈BD，则EF⊥ACB．若E∈BD1，F∈BD，则平面BEF⊥平面A1BC1C．若E∈AC，F∈CD1，则EF∥AD1D．若E∈AC，F∈CD1，则EF∥平面A1BC1解：对于A，如图所示：若E∈BD1，F∈BD，则EF⊂平面B1D1DB，因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则DD1⊥AC，又AC⊥BD，且DD1∩BD＝D，DD1⊂平面B1D1DBBD⊂平面B1D1DB，所以AC⊥平面B1D1DB，又EF⊂平面B1D1DB，所以EF⊥AC，故A正确；对于B，若E∈BD1，F∈BD，则EF⊂平面B1D1DB，由正方体的性质得AC⊥平面B1D1DB，又A1C1∥AC，则A1C1⊥平面B1D1DB，即A1C1⊥平面A1BC1，又A1C1⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面A1BC1，故B正确；对于C，当E∈AC，F∈CD1时，则EF⊂平面AD1C，则EF与AD1共面，不一定平行，故C错误；对于D，如图所示：若E∈AC，F∈CD1，则EF⊂平面AD1C，因为A1B∥D1C，AB⊄平面ACD1，D1C⊂平面ACD1，所以A1B∥平面ACD1，同理BC1∥平面ACD1，又A1B∩BC1＝B，所以平面A1BC1∥平面ACD1，又EF⊂平面ACD1，所以EF∥平面A1BC1，故D正确；故选：C．6．闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美．某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为A点，纪念碑的最底端记为B点（B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C，D两点，测得CD的长为15米，∠ACB＝45°，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑高度为（）A．14米B．15米C．16米D．17米解：设AB＝h，在Rt△ABC中，因为∠ACB＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形，所以BC＝AB＝h，在Rt△ABD中，因为∠ADB＝30°，所以BD=√3AB=√3ℎ，在△BCD中，由余弦定理知，CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BD cos∠CBD，所以152＝（√3ℎ）2+h2﹣2•√3ℎ•h cos30°，解得h＝15米．故选：B ．7．已知等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 的中点，将△ADB 沿AD 折到△ADB 1，使得△B 1CD 为等边三角形，则直线B 1D 与AC 所成的角的余弦值为（ ） A ．−√32B ．0C ．12D ．14解：分别取CD ，B 1C ，AD 的中点E ，F ，G ，连接GF ，DF ，EF ，GE ， 则GE ∥AC ，EF ∥B 1D 且EF =12B 1D =1，GE =12AC =2，DF =GD =√3， 所以直线AC 与B 1D 所成的角为∠GEF （或其补角），由题意可知：AD ⊥CD ，AD ⊥B 1D ，B 1D ∩CD ＝D ，B 1D ，CD ⊂平面B 1CD ， 所以AD ⊥平面B 1CD ，且DF ⊂平面B 1CD ，可得AD ⊥DF ，则GF =√GD 2+DF 2=√6，在△GEF 中，由余弦定理可得cos ∠GEF =GE 2+EF 2−GF 22GE⋅EF =4+1−62×2×1=−14，所以直线B 1D 与AC 所成的角的余弦值为14．故选：D ．8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2B +cos B cos （A ﹣C ）＝sin A sin C ，a =2√3，则△ABC 周长的取值范围是（ ） A ．(6√3，6+6√3) B ．(3+3√3，6+6√3) C ．(3+3√3，9√3)D ．(6√3，9√3)解：∵cos 2B +cos B cos （A ﹣C ）＝sin A sin C ∴cos B [cos B +cos （A ﹣C ）]＝sin A sin C ，∵A +B +C ＝π，∴cos B [﹣cos （A +C ）+cos （A ﹣C ）]＝sin A sin C ， cos B [（sin A sin C ﹣cos A cos C ）+（sin A sin C +cos A cos C ）]＝sin A sin C 2cos B sin A sin C ＝sin A sin C ，∵0＜A ，C ＜π2，∴sin A ＞0，sin C ＞0， ∴cosB =12，∴B =π3， 由正弦定理得a sinA=b sinB=c sinC，∴b =asinB sinA =2√3×√32sinA =3sinA ，c =asinCsinA ，∴△ABC 的周长为a +b +c =3sinA +2√3sinCsinA+2√3=3sinA +2√3sin(2π3−A)sinA +2√3=3+2√3(√32cosA+12sinA)sinA+2√3=3(1+cosA)+√3sinA sinA +2√3=6cos 2A 22sin A 2cos A2+3√3 =3tan A 2+3√3 ∵{0＜A ＜π20＜2π3−A ＜π2⇒π6＜A ＜π2⇒π12＜A 2＜π4⇒2−√3＜tan A 2＜1， ∴△ABC 的周长为a +b +c ∈(3+3√3，6+6√3)， 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z 满足z •（1﹣3i ）＝10，则（ ） A ．|z|=√10B ．z 的虚部为3iC ．z −3(cos π4+isin π4)2=1D ．复数z 在复平面内对应的点位于第二象限解：z •（1﹣3i ）＝10，则z =101−3i =10(1+3i)(1−3i)(1+3i)=1+3i ，|z|=√12+32=√10，故A 正确； z 的虚部为3，故B 错误；(cos π4+isin π4)2=12(1+i)2=i ，故z −3(cos π4+isin π4)2=1+3i −3i =1，故C 正确； 复数z 在复平面内对应的点（1，3）位于第一象限，故D 错误． 故选：AC ．10．新型冠状病毒阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊病例．如图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则（ ）A ．本地新增阳性人数最多的一天是10日B ．本地新增确诊病例的极差为84C ．本地新增确诊病例人数的中位数是46D ．本地新增无症状感染者的平均数大于本地新增确诊病例的平均数解：对于A ，由图可得2日至16日新增阳性人数依次为8，15，44，63，120，72，30，59，131，66，95，85，99，102，92，其中本地新增阳性人数最多的一天是10日，故A 正确．对于B ，由图可知本地新增确诊病例的极差为90﹣6＝84，故B 正确．对于C ，由图可知本地新增确诊病例人数从小到大排列依次为6，10，14，14，20，33，40，46，51，72，81，82，90，90，90，则中位数为第8个数46，故C 正确．对于D ，由图可知本地新增无症状感染者的平均数为：0+5+30+43+69+39+16+13+49+26+15+4+9+12+2015≈23，本地新增确诊病例的平均数为6+10+14+20+51+33+14+46+82+40+90+81+90+90+7215≈49，所以本地新增无症状感染者的平均数小于本地新增确诊病例的平均数，故D 错误． 故选：ABC ．11．已知M 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面内一点，t =(MA →+MC →)⋅(MB →+MD →)，则下列结论正确的是（ ）A ．当M 为正六边形ABCDEF 的中心时，t =12B ．t 的最大值为4C ．t 的最小值为−14D ．t 可以为0解：以O 为原点，以AD 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图， ∵正六边形边长为1， ∴A(−1，0)，B(−12，−√32)，C(12，−√32)，D(1，0)，设M （x ，y ），则MA →=(−1−x ，−y)，MC →=(12−x ，−√32−y)，MB →=(−12−x ，−√32−y)，MD →=(1−x ，−y)，∴MA →+MC →=(−12−2x ，−√32−2y)，MB →+MD →=(12−2x ，−√32−2y)，t =(MA →+MC →)⋅(MB →+MD →) =(−12−2x)(12−2x)+(−√32−2y)2， =4x 2−14+4y 2+2√3y +34 =4x 2+4y 2+2√3y +12=4x 2+4(y +√34)2−14≥−14， 当x =0，y =−√34时，t 的最小值为−14，故C 对，当M 为正六边形的中心时，即x ＝y ＝0时，t =12，故A 对， ∵t ∈[−14，+∞)．∴t 可以为0，t 没有最大值，∴故D 对，B 错， 故选：ACD ．12．如图，水平放置的正方形ABCD 边长为1，先将正方形ABCD 绕直线AB 向上旋转45°，得到正方形ABC 1D 1，再将所得的正方形绕直线BC 1向上旋转45°，得到正方形A 2BC 1D 2，则（ ）A ．直线A 2C 1∥平面ABCDB ．D 2到平面ABCD 的距离为1+√22C ．点A 到点D 2的距离为3−√2D ．平面A 2BC 1D 2与平面ABCD 所成的锐二面角为60°解：由已知条件中的旋转，可将正方形ABC 1D 1放于两个全等正方体的公共面上， 正方形ABCD 和正方形A 2BC 1D 2的位置如图所示，连接MD 1，PC 1，P A ，PC 1，A 2C 1，如图所示，因为平面ABCD ∥平面MD 1C 1P ，直线A 2C 1与平面MD 1C 1P 相交， 则直线A 2C 1与平面ABCD 相交，所以A 选项错误；平面A 2BC 1D 2与平面ABCD 所成的锐二面角可转化为平面A 2BC 1D 2与平面MD 1C 1P 所成的锐二面角， MP ⊥平面MAD 1N ，AN ⊂平面MAD 1N ，MP ⊥AN ，正方形MAD 1N 中，MD 1⊥AN ， MD 1，MP ⊂平面MD 1C 1P ，MD 1∩MP ＝M ，AN ⊥平面MD 1C 1P ， 同理，AP ⊥平面A 2BC 1D 2，平面A 2BC 1D 2与平面MD 1C 1P 所成的锐二面角，等于直线AP 与AN 所成的角， 由△APN 为等边三角形，可得所求锐二面角的平面角为60°，故选项D 正确．过D 2作D 2H ∥C 1D 1，则有D 2H ∥AB ，D 2H ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，D 2H ∥ABCD ， D 2到平面ABCD 的距离等价于H 到平面ABCD 的距离，如图所示，CB ＝C 1D 2＝1，∠BFC 1＝∠D 2C 1H ＝45°，则C 1H =√22，CF =√2−1，点C 到HF 的距离为1−√22， S △HBC =S △HBF −S △HCF =12×(1+√22)×1−12×(1+√22)×(1−√22)=1+√24，S △ABC =12×1×1=12设H 到平面ABCD 的距离为h ，根据等体积关系V H ﹣ABC ＝V A ﹣HBC ， 有13ℎS △ABC =13⋅AB ⋅S △HBC ，解得ℎ=1+√22， 由此得D 2到平面ABCD 的距离为1+√22，故B 选项正确；连接D 1D 2、AD 2，如图所示，△D 2D 1C 1中，D 1C 1＝1，D 2D 1＝1，∠D 2C 1D 1＝45°，由余弦定理得D 1D 22=D 2C 12+D 1C 12−2D 2C 1⋅D 1C 1cos∠D 2C 1D 1=2−√2，在Rt △AD 1D 2中，AD 2=√AD 12+D 1D 22=√3−√2，故C 选项错误．故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．方程x 2+2x +3＝0在复数范围内的根为 −1±√2i ．解：方程x 2+2x +3＝0在复数范围内的根为x =−2±2√2i2=−1±√2i ． 故答案为：−1±√2i ．14．数据13，11，12，15，16，18，21，17的第三四分位数为 17.5 ． 解：这组数据共8个数，从小到大排列是11，12，13，15，16，17，18，21， 8×34=6，所以第三四分位数是第6个数和第7个数的平均数，即17+182=17.5． 故答案为：17.5．15．为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动．某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题．已知甲同学答对的概率是12，甲、丙两位同学都答错的概率是16，乙、丙两位同学都答对的概率是13．若各同学答题正确与否互不影响．则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为712．解：设甲同学答对的事件为A ，答错的事件为A ，设乙同学答对的事件为B ，答错的事件为B ，丙同学答对的事件为C ，答错的事件为C ，因为甲同学答对的概率是12，甲、丙两位同学都答错的概率是16，乙、丙两位同学都答对的概率是13，所以P （A ）=12，P （A ）P （C ）=16，P(BC)=P(B)⋅P(C)=13， 解得P （C ）=23，P （B ）=12， 至少2位同学答对这道题的概率为： P =P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=12×23×12+12×13×12+12×23×12+12×23×12=712， 故答案为：712．16．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，DB ⊥AB ，AB ＝DB ＝BP ＝PC ＝2．记四面体P ﹣BCD 的外接球的球心为O ，M 为球O 表面上的一个动点，当∠MAO 取最大值时，四面体M ﹣ABD 体积的最大值为4√1015．解：依题可得，四面体P ﹣BCD 的外接球的球心O 为BC 中点，外接球半径r =√2，要使∠MAO 取到最大值，则∠AMO ＝90°，即AM 与球O 相切时， ∴sin ∠MAO =rAO ， 在△ABO 中，AO 2=AB 2+BO 2−2AB ⋅BO ⋅cos∠ABO =4+2−2⋅2⋅√2⋅cos135°=10， ∴AO =√10， ∴sin ∠MAO =r AO =√210=√55，∴AM =√AO 2−r 2=√10−2=2√2， 过M 作MH ⊥AO ，垂足为H ，∴点M 在以H 为圆心MH 为半径的圆上， 又MH =AM ⋅sin ∠MAO =2√2×√55=2√105， ∴四面体M ﹣ABD 体积的最大值为13⋅S △ABD ⋅MH =13⋅12⋅2⋅2⋅2√105=4√1015．故答案为：4√105． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝4，AP →=λAB →(0≤λ≤1)．（1）当λ=23时，用CA →，CB →表示CP →；（2）求CP →⋅(CA →+CB →)的值． 解：（1）当λ=23时，AP →=23AB →，则CP →=CA →+AP →=CA →+23AB →=CA →+23(CB →−CA →) =13CA →+23CB →； （2）法一：∵CP →=CA →+λAB →=CA →+λ(CB →−CA →)=（1﹣λ）CA →+λCB →，cos ∠ACB =62+62−422×6×6=79，∴CA →⋅CB →=6×6×79=28，∴CP →⋅(CA →+CB →)=[(1−λ)CA →+λCB →]⋅(CA →+CB →) =(1−λ)CA →2+(1−λ)CA →⋅CB →+λCA →⋅CB →+λCB →2 ＝36﹣36λ+28﹣28λ+28λ+36λ ＝64；法二：取AB 中点D ，则CA →+CB →=2CD →，且CD ⊥AB ，∴CP →⋅(CA →+CB →)=2CP →⋅CD →=2(CD →+DP →)⋅CD →=2CD →2+0=2CD →2， 因为AC ＝BC ＝6，AB ＝4， 所以CD =√36−4=√32， 所以CP →⋅(CA →+CB →)=64．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AA 1＝AB ＝4，BC ＝3． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面积；（2）设D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面BC 1D ．证明：（1）因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以侧面BCC 1B 1，BAA 1B 1，CAA 1C 1均为矩形，又AB ⊥BC ，所以△ABC ，△A 1B 1C 1均为直角三角形， 又AA 1＝AB ＝4，BC ＝3，∴AC =√AB 2+BC 2=√42+32=5，所以三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面积为（AB +BC +AC ）•AA 1＝（3+4+5）×4＝48． 所以三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面积为48． （2）连接B 1C ，设B 1C ∩BC 1＝O ，连接OD ， ∵四边形BCC 1B 1为矩形， ∴O 为B 1C 的中点，∵D 为AC 的中点，∴OD ∥AB 1， ∴AB 1⊄平面BC 1D ，OD ⊂平面BC 1D ， ∴AB 1∥平面BC 1D ．19．（12分）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12．（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色． （i ）写出该试验的样本空间Ω；（ii ）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．解：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A ，B ，C ， 因为A ，B ，C 为两两互斥事件，由已知得{ P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=34P(B)+P(C)=12，解得{ P(A)=12P(B)=14P(C)=14，∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；（2）（i ）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a 表示黄球，用b 表示蓝球，m 表示第一次取出的球，n 表示第二次取出的球，（m ，n ）表示试验的样本点，则样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，a ），（1，b ），（2，1），（2，2），（2，a ），（2，b ），（a ，1），（a ，2），（a ，a ），（a ，b ），（b ，1），（b ，2），（b ，a ），（b ，b ）}；（ii ）由（i ）得n （Ω）＝16，记“取到两个球颜色相同”为事件M ，“取到两个球颜色不相同”为事件N ，则n （M ）＝6， 所以P(M)=616=38， 所以P(N)=1−P(M)=1−38=58， 因为58＞38，所以此游戏不公平．20．（12分）某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐．为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量L （单位：M ）的数据，其频率分布直方图如图：若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题． （1）求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；（2）在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M ，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M ，方差为40000．（ⅰ）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m ，x ，s 12；n ，y ，s 22，记总的样本平均数为ω，样本方差为s 2．证明：s 2=1m+n{m[s 12+(x −ω)2]+n[s 22+(y −ω)2]}．（ⅱ）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差．解：（1）估计这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数450， 由频率分布直方图可知流量少于300M 的所占比例为30%， 流量少于400M 的所占比例为55%，故抽取的100名员工近一周每人手机日使用流量的中位数在[300，400）内， 则中位数为300+(400−300)×0.5−0.30.55−0.3=380．（2）（i ）证明：总样本的方差为：s 2=1m+n [∑(x i −ω)2+∑ n j=1(y j −ω)2mi=1] =1m+n [∑(x i −x)2+∑2(x i m i=1−x)(x −ω)+∑(x −ω)2mi=1+∑(y i −y)2+nj=1mi=1∑2(y i −y)(y −ω)+∑(y −ω)2nj=1n j=1]由∑(x i −x)mi=1=∑x i −m m i=1x =0，可得：∑2(x i −x)(x −ω)=2mi=1(x −ω)∑(x i −x)=0mi=1， 同理可得∑2(y j −y)(y −ω)=0n j=1，故s 2=1m+n [∑(x i −x)2+∑(x −ω)2+∑(y j −y)2+nj=1mi=1∑ n j=1(y −ω)2mi=1]=1m+n{m[s 12+(x −ω)2]+n[s 22+(y −ω)2]}； （ii ）估计该企业全体员工手机日使用流量的平均数为：ω=20×800+40×110020+40=1000M ， 由（i ）知，估计该企业全体员工手机日使用流量的方差为： s 2=1m+n {m[s 12+(x −ω)2]+n[s 22+(y −ω)2]}=160{20[10000+(800−1000)2]+40[40000+(1100−1000)2]}=50000．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，侧面PBC ⊥底面ABCD ． （1）若∠PBC ＝90°，求证：AC ⊥PD ；（2）若AC 与平面PCD 所成角为30°，求点A 到直线PC 的距离．解：（1）证明：如图，连接BD，因为侧面PBC⊥底面ABCD，侧面PBC∩底面ABCD＝BC，PB⊥BC，PB⊂底面PBC，所以PB⊥底面ABCD，且AC⊂平面ABCD，可得AC⊥PB．在正方形ABCD中，AC⊥BD，PB∩BD＝B，BD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，且PD⊂平面PBD，可得AC⊥PD．（2）因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，过B作BM⊥PC，垂足为M，连接AM，因为侧面PBC⊥底面ABCD，侧面PBC∩底面ABCD＝BC，CD⊥BC，CD⊂底面ABCD，所以CD⊥底面PBC，且BM⊂底面PBC，可得BM⊥CD，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，可得BM⊥底面PCD，则A到平面PCD的距离即为B到平面PCD的距离BM，由AC 与平面PCD 所成的角为30°，则BM =ACsin30°=3√22， 又因为AB ∥CD ，则AB ⊥平面PBC ，且PC ，BM ⊂平面PBC ，可得AB ⊥PC ，AB ⊥BM ，BM ⊥PC ，AB ∩BM ＝B ，AB ，BM ⊂平面ABM ，所以PC ⊥平面ABM ，且AM ⊂平面ABM ，可得PC ⊥AM ， 即AM 的长度即为点A 到PC 的距离，可得AM =√AB 2+BM 2=√9+92=3√62 所以点A 到PC 的距离为3√62．22．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 在边AB 上，∠A =π4，BD ＝CD ，AD＝2．（1）若BD =√53b ，求c ；（2）若a =2√2，求△ABC 的面积．解：（1）在△ACD 中，∠A =π4，AD ＝2，CD =BD =√53b ，则由余弦定理得，CD 2=AD 2+AC 2−2AD ⋅ACcosA =22+b 2−4bcos π4=4+b 2−2√2b ，即(√53b)2=4+b 2−2√2b ，化简得2b 2−9√2b +18=0，解得b =3√2，或b =3√22．∴BD =√53b =√53×3√2=√10，或BD =√53b =√53×3√22=√102．∴c =AB =AD +BD =2+√10，或c =AB =AD +BD =2+√102， 综上可得c =2+√10，或c =2+√102．（2）在△BCD 中，BD ＝CD ，设∠B ＝∠BCD ＝θ，则∠BDC ＝π﹣2θ，∵a =2√2，由正弦定理得：a sin2θ=CD sinθ， ∴CD =asinθsin2θ=2√2sinθ2sinθcosθ=√2cosθ，在△ACD 中，∠ADC ＝2θ，∠ACD =3π4−2θ，由正弦定理得：AD sin∠ACD =CD sinA ，即2sin(3π4−2θ)=√2cosθsin π4，∴2×√22=√2cosθ×sin(34π−2θ)， ∴cosθ=sin(3π4−2θ)，即sin(π2−θ)=sin(3π4−2θ)，∵0＜θ＜π2，∴0＜π2−θ＜π2，−π4＜3π4−2θ＜3π4， ∴π2−θ=3π4−2θ，或π2−θ+3π4−2θ=π， 解得θ=π4或θ=π12，当θ=π4时，∠ACB =π2，AC =BC =2√2，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴△ABC 的面积为S △ABC =12×2√2×2√2=4； 当θ=π12，∠ACB =π−π12−π4=2π3， 在△ABC 中，由正弦定理得a sinA =c sin∠ACB ， ∴c =a sinA ⋅sinC =2√2√22√32=2√3，∴△ABC 的面积为S △ABC =12×2√2×2√3×sin π12=2√6×√6−√24=3−√3， 综上可得△ABC 的面积为4或3−√3．。
2022-2023学年山东省济宁市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z =i2−i在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若P （﹣1，2）为角α终边上的一点，则cos α＝（ ） A ．−√55B ．√55C ．−2√55D ．2√553．若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A ′C ′∥O ′B ′，B ′C ′⊥O ′B ′，A ′C ′＝1，O ′B ′＝2，则原四边形AOBC 的边BC 的长度为（ ）A ．2B ．2√2C ．3D ．44．cos70°cos170°﹣cos20°sin170°＝（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√325．已知一个圆锥的表面积为4π，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A ．√2πB ．2√2πC ．√2π3D ．2√2π36．如图所示，要测量电视塔AB 的高度，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个观测基点C 与D ，在点C 测得塔顶A 的仰角为30°，在点D 测得塔顶A 的仰角为45°，且CD ＝30m ，∠BDC ＝60°，则电视塔AB 的高度为（ ）A ．25mB ．20mC ．15mD ．10m7．在三棱锥P ﹣ABC 中，AB =AC =√22BC ，△P AC 是边长为6的等边三角形，若平面P AC ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．72πB ．84πC ．108πD ．120π8．在△ABC 中，AB ＝AC ，边BC 上一点P 满足sin ∠P AB ＝2sin ∠P AC ，若AP →=xAB →+yAC →，则xy=（ ）A ．3B ．2C ．12D ．13二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(答案+解析)(4)
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∩（∁U B）=（）A．{5} B．{2，4} C．{2，4，5，6} D．{1，2，3，4，5，7}2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是（）A．y=sin x B．y=cos x C．y=ln x D．y=x33．（5分）已知平面向量=（1，﹣2），=（2，m），且∥，则m=（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣44．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．5．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．， B．，C．，D．，6．（5分）已知a=sin80°，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a7．（5分）已知cosα+cosβ=，则cos（α﹣β）=（）A．B．﹣C．D．18．（5分）已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2] D．[2，+∞）10．（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）和g（x）均为奇函数，h（x）=af（x）+bg（x）+2在区间（0，+∞）上有最大值5，那么h（x）在（﹣∞，0）上的最小值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣3 D．512．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2017）B．（1，2018）C．[2，2018] D．（2，2018）二、填空题13．（5分）已知tanα=3，则的值．14．（5分）已知，则的值为．15．（5分）已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到y=g（x）的图象，则g（x）在上的值域为．16．（5分）下列命题中，正确的是．①已知，，是平面内三个非零向量，则（）=（）；②已知=（sin），=（1，），其中，则；③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为2；④O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．三、解答题17．（10分）已知=（4，3），=（5，﹣12）．（Ⅰ）求||的值；（Ⅱ）求与的夹角的余弦值．18．（12分）已知α，β都是锐角，，．（Ⅰ）求sinβ的值；（Ⅱ）求的值．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．20．（12分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0．当x＞0时，f（x）=﹣4x+8×2x+1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣3，﹣1]时，求f（x）的最大值和最小值．21．（12分）已知向量=（），=（cos），记f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，若函数y=g（x）﹣k在上有零点，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；（3）是否存在m，使f（2（）2﹣4）+f（4m﹣2（））＞0对任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，3，5，7}，∴C U B={2，4，6}，又A={2，4，5}，则A∩（C U B）={2，4}．故选B.2．A【解析】y=sin x为奇函数，且以2π为最小正周期的函数；y=cos x为偶函数，且以2π为最小正周期的函数；y=ln x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3为奇函数，不为周期函数．故选A．3．D【解析】∵∥，∴m+4=0，解得m=﹣4．故选：D．4．A【解析】∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ），又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z），∵，∴取k=0，得φ=﹣，故选：A．5．B【解析】对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．故选：B．6．B【解析】a=sin80°∈（0，1），=2，＜0，则b＞a＞c．故选：B．7．B【解析】已知两等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=，（sinα+sinβ）2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=，∴2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，即cosαcosβ+sinαsinβ=﹣，则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣．故选B.8．C【解析】由已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），可得•（2+）=2+=0，设与的夹角为θ，则有2+||•4||•cosθ=0，即cosθ=﹣，又因为θ∈[0，π]，所以θ=，故选：C．9．B【解析】；∴有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B．10．A【解析】图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．11．B【解析】令F（x）=h（x）﹣2=af（x）+bg（x），则F（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，h（x）≤5，∴x∈（0，+∞）时，F（x）=h（x）﹣2≤3．又x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），∴F（﹣x）≤3⇔﹣F（x）≤3⇔F（x）≥﹣3．∴h（x）≥﹣3+2=﹣1，故选B．12．D【解析】作出函数的图象，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2017x=1，解得x=2017，即x=2017，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2017，因此可得2＜a+b+c＜2018，即a+b+c∈（2，2018）．故选：D．二、填空题13．【解析】===，故答案为：.14．﹣1【解析】∵，∴f（）==，f（）=f（）﹣1=cos﹣1=﹣=﹣，∴==﹣1．故答案为：﹣1．15．[﹣1，]【解析】将函数=sin2x+﹣=sin（2x+）的图象，向左平移个单位长度后得到y=g（x）=sin（2x++）=﹣sin2x的图象，在上，2x∈[﹣]，sin2x∈[﹣，1]，∴﹣sin（2x）∈[﹣1，]，故g（x）在上的值域为[﹣1，]，故答案为：[﹣1，]．16．②③④【解析】①已知，，是平面内三个非零向量，则（）•=•（）不正确，由于（）•与共线，•（）与共线，而，不一定共线，故①不正确；②已知=（sin），=（1，），其中，则•=sinθ+=sinθ+|sinθ|=sinθ﹣sinθ=0，则，故②正确；③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=1﹣tanα﹣tanβ+tanαtanβ=1﹣tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ=1﹣（﹣1）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ=2，故③正确；④∵，λ∈（0，+∞），设=，=，=+λ（+），﹣=λ（+），∴=λ（+），由向量加法的平行四边形法则可知，以，为邻边的平行四边形为菱形，而菱形的对角线平分对角∴直线AP即为A的平分线所在的直线，即一定通过△ABC的内心，故④正确．故答案为：②③④.三、解答题17．解：（Ⅰ）根据题意，=（4，3），=（5，﹣12）．则+=（9，﹣9），则|+|==9，（Ⅱ）=（4，3），=（5，﹣12）．则•=4×5+3×（﹣12）=﹣16，||=5，||=13，则cosθ==﹣．18．解：（Ⅰ）∵α，β都是锐角，且，．∴cos，sin（α+β）=，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=；（Ⅱ）=cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2×．19．解：f（x）=cos2x﹣2sin x cos x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）（1）T=π（2）∵∴20．解：由f（x）+f（﹣x）=0．当，则函数f（x）是奇函数，且f（0）=0，当x＞0时，f（x）=﹣4x+8×2x+1．当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣4﹣x+8×2﹣x+1．由f（x）=﹣f（﹣x）所以：f（x）=4﹣x﹣8×2﹣x﹣1．故得f（x）的解析式；f（x）=（Ⅱ）x∈[﹣3，﹣1]时，令，t∈[2，8]，则y=t2﹣8t﹣1，其对称轴t=4∈[2，8]，当t=4，即x=﹣2时，f（x）min=﹣17．当t=8，即x=﹣3时，f（x）max=﹣1．21．解：（Ⅰ）f（x）==sin cos+=sin+=sin（+）+，由2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，所以f（x）的单调递减区间是[4kπ+，4kπ+]．（Ⅱ）由已知f（a）=得sin（+）=，则a=4kπ+，k∈Z．∴cos（﹣a）=cos（﹣4kπ﹣）=1．（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）=sin（﹣）+的图象，则函数y=g（x）﹣k=sin（﹣）+﹣k．∵﹣≤﹣≤π，所以﹣sin（﹣）≤1，∴0≤﹣sin（﹣）+≤．若函数y=g（x）﹣k在上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，所以实数k的取值范围为[0，]．22．（1）证明：令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），∴﹣f（x）=f（﹣x），即f（x）为奇函数；（2）解：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵当x＞0时，f（x）＞0，且x1＜x2，∴f（x2﹣x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数，∴当x=﹣2时，函数有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．当x=6时，函数有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；（3）解：∵函数f（x）为奇函数，∴不等式可化为，又∵f（x）为增函数，∴，令t=log2x，则0≤t≤1，问题就转化为2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，即4m＞﹣2t2+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞y max，而（0≤t≤1），∴当时，，则．∴m的取值范围就为．。
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高一数学期末试卷
1、若角α的终边过点（sin30o ,－cos30o ）,则sin α等于( ）
A ．21
B ．－21
C ．－23
D ．－3
3 2、已知向量()1,3=→a ，()3,-=→
x b
，且→→⊥b a ，则实数x 的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．1-
D ．1 3、化简式子cos72cos12sin 72sin12+ 的值是（ ）
A ．21
B ．23
C ．33
D ．3
4、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A.B.C 的关系是( )
A ．B=A ∩C
B ．B ∪C=
C C ．A ∪B=C
D ．A=B=C
5、四边形ABCD 是梯形，AD∥BC，则OA BC AB ++ 等于( )
A ．−→−CD
B ．−→−O
C C ．−→−DA
D ．−→
−CO 6、已知α是三角形的一个内角,且3
2cos sin =+αα,则这个三角形( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．不等腰的直角三角形 D ．等腰直角三角形
7、21,e e 是夹角为600的两单位向量，a =221e e +，b =2123e e +-，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
8、设0ω>,函数sin()23y x πω=+
+的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （A ）23 （B ） 43 （C ） 32
（D ） 3 9、已知点C 在线段AB
的延长线上，且λλ则,CA BC ==等于 ( )
A ．3
B ．
31 C ．3- D ．3
1- 10、已知,AB AC 不共线,()AP AB AC λ=+ (λ∈R),则点P 的轨迹一定过△ABC 的（ ） A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心
11、已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．
是
( )
12、已知凸函数的性质定理：如果函数f （x ）在区间D 上是凸函数，则对于区间内的任意x 1，x 2，…，x n ，有n
1［f （x 1）
C
+f （x 2）+…+f （x n ）］≤)(
21n
x x x f n ++．已知y=sinx 在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值为（ ） A ．2 B ．233 C ．2
3 D ．3 13、2222sin 1sin 2sin 3sin 89+++= ；
14、已知b a ,是非零向量，且b a ,夹角为3π
，则向量p +=的模为 ． 15、函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，
则k 的取值范围是__________．
16、设,,a b c 是三个非零向量，给出以下四个命题：
①若||||0a b a b ⋅+= ，则a ∥b ； ②若22a b = ，则a b = 或a b =- ；
③若||||a b a b +=- ，则a b ⊥ ； ④若 c a b a ⋅=⋅，则b c = .
则所有正确命题的序号为 .
17、已知在直角坐标系中（O 为坐标原点），)3,(),1,3(),5,2(x ===。
(1) 若A 、B 、C 可构成三角形，求x 的取值范围；
（2）当x=6时，直线OC 上存在点M ，且−→
−−→−⊥MB MA ,求点M 的坐标．
18、已知α∈(0，2
π)，且cos2α＝45. (Ⅰ)求sinα＋cosα的值； (Ⅱ)若β∈(
2
π，π)，且5sin(2α＋β)＝sin β，求角β的大小 ． 19、已知函数)3sin()(π+=kx a x f ，)3tan()(π-=kx b x g （0>k ），它们的周期之和为23π，且)2
()2(ππg f =，1)4
(3)4(+-=ππg f ，试求k b a ,,的值。
20、已知向量(sin ,cos )OA λαλα= (0)λ≠，(cos ,sin )OB ββ= ，且4αβ+=. (1)求当0>λ时，OA 与OB 的夹角θ； (2)求||AB 的最小值.
21、函数)4sin()4sin(sin )tan 11()(2ππ-+++=x x m x x x f (1) 当m=0时，求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ上的取值范围； (2) 当2tan =α时，5
3)(=αf ，求m 的值。
22、矩形ABCD
的长AD =1AB =，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限.
求2OB 的最大值.。