2011年高考文科数学试题分类汇编 三角函数教师版
《2011年高考数学试题分类汇编三角函数》
a3 ，求函数 f ( x) 的解析式． 13 1 解： (Ⅰ )由 q = 3, S 3 = 得 a1 = ，所以 an = 3n− 2 ； 3 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 a3 = 3 ，因为函数 f ( x) 最大值为 3，所以 A = 3 ， π π π 又当 x = 时函数 f ( x) 取得最大值，所以 sin( + ϕ ) = 1 ，因为 0 < ϕ < π ，故 ϕ = ， 6 3 6 π 所以函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) = 3sin(2 x + ) 。 6
(a + 4) 2 = a 2 + (a − 4)2 − 2a (a − 4) cos120� ，则 a = 10 ，所以三边长为 6,10,14.△ABC 的面 1 积为 S = × 6 × 10 × sin120� = 15 3 . 2 π 安徽文(15)设 f ( x) = a sin 2 x + b cos 2 x ，其中 a，b ∈ R，ab ≠ 0，若 f ( x ) ≤ f ( ) 对一切则 6 7π π 11π x ∈ R 恒成立，则① f ( ② f( ) ＜ f ( ) ③ f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数 )=0 10 5 12 π 2π ⎤ ⎡ ④ f ( x) 的单调递增区间是 kπ + , kπ + (k ∈ Z ) ⎢ 6 3 ⎥ ⎣ ⎦ ⑤存在经过点（a ，b）的直线与函数的图 f ( x) 像不相交
2011年高考文科数学试题分类汇编 三、三角函数
三、三角函数（一）选择题(DBABDCAB)（重庆文）8．若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A B ．34C D ．1116（辽宁文）（12）已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πf（A ） （B（C ） （D ）2（上海文）17．若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为E 和F ，则〖答〗 （ ）A ．E F ØB ．E F ÙC ．E F =D ．EF =∅（全国新课标文）（7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ） 45-（B ）35- （C ） 35 （D ）45（全国新课标文）（11）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称（B ）()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称（C ）()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称（D ）()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称（全国大纲文）7．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．9（湖北文）6．已知函数()i n c o s,f x x x x R-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．5|,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭（山东文）6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C) 2 (D)3 【解析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ,故选B.（四川文）8．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ答案：C解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222a b c bc ≤+-，即222122b c a bc +-≥，∴1cos 2A ≥，∵0A π<<，故03A π<≤，选C ．（浙江文）（5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2sin cos sin =，∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A . （福建文）9．若a ∈（0，2π），且sin 2a+cos2a=14，则tana 的值等于A ．B ．C ．D ．答案：D（天津文）7．已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则（ ）A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数【答案】A【解析】∵πωπ62=，∴31=ω.又∵12,322k k z πππ⨯+=+∈且4ππ-<<，∴当0k =时，1,()2s i n ()333f x x ππϕ==+，要使()f x 递增，须有122,2332k x k k z πππππ-≤+≤+∈，解之得566,22k x k k z ππππ-≤≤+∈，当0k =时，522x ππ-≤≤，∴()f x 在5[,]22ππ-上递增.（湖南文）7．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ） A ．12-B ．12 C．2- D．2答案：B 解析：22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以 2411'|2(sin cos )44x y πππ===+。
2011年高考三角函数题汇编(老师)
2011年高考三角函数题汇编一、选择、填空题1、 [2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝－8、 r ＝16＋y 2，∵sin θ＝－255＝y 16＋y 2＝－255， 2. [2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45【解析】在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. B 3、[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.－55. 4、[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3 【解析】 因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α， ∴cos 2α＝14， sin 2α＝1－cos 2α＝34， ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝3，故选D. 5、 [2011·重庆卷] 若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________. ∴tan α＝sin αcos α＝43. 6、[2011·福建卷] 若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6，故选D. 7、 [2011·辽宁卷] 设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79故选A. 解sin2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ.由于sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，代入得sin2θ＝－79， 8、[2011·江苏卷] 已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2, 则tan x tan2x的值为________． 【解析】 因为tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，所以tan x ＝13，tan2x ＝2×131－19＝2389＝34，即tan x tan2x ＝49.9、[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增 A 【解析】 原式可化简为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π， 所以ω＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4，又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ， 所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ， 又因为||φ<π2，所以φ＝π4. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ， 所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎫0，π2上单调递减． 10、[2011·辽宁卷] 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图1－7，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( )图1－7A ．2＋ 3 B.3 C.33 D ．2－ 3 【解析】 由图象知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝ tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝3，故选B. 11、 [2011·全国卷] 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) A.13B ．3C ．6D ．9 【解析】 将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.12、[2011·湖北卷] 已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 【解析】 因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin x －π6，由f (x )≥1，得2sin x －π6≥1，即sin x －π6≥12，所以π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z . B 13、[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则 ( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 【解析】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．D 14、[2011·山东卷] 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2 C.32 D.23当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数，即当0≤x ≤π2ω时函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32. C 15、[2011·江苏卷] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图1－1所示，则f (0)的值是________ 62．【解析】 由图象可得A ＝2，周期为4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，将⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2k π＋32π，即φ＝2k π＋π3，所以f (0)＝2sin φ＝2sin π3＝62. 16、[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( ) A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数 B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数A 【解析】 ∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z 且－π<φ≤π， ∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π3，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－52π，π2上递增 17、[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为____27.____． 【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A . 所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A＝3cos A ＋5sin A ＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527) 所以AB ＋2BC 的最大值为27.18、若0<α<π2，－π2<β<0，cos π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝233.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. C 19、已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为____153____．【解析】 不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以c ＝6.所以S ＝12bc sin120°＝15 3.20、[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________. 【解析】 因为tan A ＝2，所以sin A ＝255；再由：a sin A ＝b sin B ，即a 255＝522，可得a ＝210 21、[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________. a ＝52322、[2011·福建卷] 如图1－5，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC＝45°，则AD 的长度等于________． 图1－5【解析】 在△ABC 中，cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝(23)22×2×23＝32，则∠ACB ＝30°. 在△ACD 中，由AD sin C ＝AC sin ∠ADC ，∴AD ＝AC ·sin30°sin45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2. 23、[2011·福建卷] 若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 【解析】 方法一：由S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，得 12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. 由AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°＝22＋22－2×2×2×12＝4， ∴ AB ＝2，即边AB 的长度等于2. 方法二：由S △AB C ＝12AC ·BC sin C ，得 12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. ∴AC ＝BC ＝2, 又∠ACB ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB ＝2，即边AB 的长度等于2.24、 [2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3 D. 2【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B得a sin B ＝b sin A ，所以a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 化为b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，故选D.25、[2011·四川卷] 在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎭⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎤0，π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π 【解析】 根据正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，即有cos A ≥12，所以角A 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，π3，选择C. 26、[2011·天津卷]在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66【解析】 设BD ＝2，则AB ＝AD ＝3，BC ＝4.在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22×AD ×BD ＝3＋4－32×3×2＝33， ∴sin ∠BDC ＝1－cos 2∠BDC ＝1－13＝63. 在△BDC 中，由正弦定理得4sin ∠BDC ＝2sin C ，即sin C ＝12sin ∠BDC ＝12×63＝66. 27、[2011·浙江卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12 B.12C ．－1D ．1 【解析】 ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. D28、[2011·课标全国卷] △ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．1534【解析】 解法1：由AC sin B ＝AB sin C ，即7sin120°＝5sin C ， 所以sin C ＝5sin120°7＝5314， 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫53142＝1114， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝60°，所以sin A ＝sin(60°－C )＝sin60°cos C －cos60°sin C ＝32×1114－12×5314＝3314， 所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×5×7×3314＝1534. 29、[2011·重庆卷] 若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34 C.31516 D.1116【解析】 由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入6sin A ＝4sin B ＝3sin C ， 得6a ＝4b ＝3c ， ∴b ＝32a ，c ＝2a ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，①将b ＝32a ，c ＝2a 代入①式，解得cos B ＝1116.故选D. 30、 [2011·泰安期末] 已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝( ) A.53 B. －134 C. 135 D. 13431、[2011·抚州模拟] 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为 ________．32、[2011·济南三模] 函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，133、[2011·重庆卷] 已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 【解析】 cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－2(cos α＋sin α)， ∵sin α＝12＋cos α，∴cos α－sin α＝－12， 两边平方得1－2sin αcos α＝14， 所以2sin αcos α＝34. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＋sin α＝(cos α＋sin α)2＝1＋34＝72， ∴cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－142.二、解答题1、 [2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π. 2、[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0.从而sin C ＝cos C . 又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4. (2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是 3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 3、[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A, 求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值． 【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝b 2－c 2. 故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2， 所以sin C ＝cos A ＝13.4、 [2011·广东卷] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f (0)的值； (2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值． 【解答】 (1)f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－2sin π6＝－1. (2)∵1013＝f 3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π6＝2sin α， 65＝f (3β＋2π)＝2sin 13×(3β＋2π)－π6＝ 2sin β＋π2＝2cos β， ∴sin α＝513，cos β＝35，又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213， sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×35＋1213×45＝6365. 5、[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小． 【解答】 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z . 所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠π8＋k π2，k ∈Z . f (x )的最小正周期为π2. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0， 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12. 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12. 6、[2011·安徽卷] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．【解答】 由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，cos A ＝12，sin A ＝32. 再由正弦定理，得 sin B ＝b sin A a ＝22. 由b <a 知B <A ， 所以B 不是最大角，B <π2， 从而 cos B ＝1－sin 2B ＝22.知 sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝⎛⎭⎫32＋12 .设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12. 7、[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C . 【解答】 由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故 cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin(90°＋2C ) ＝2cos2C . 故22cos C ＋22sin C ＝cos2C ， cos(45°－C )＝cos2C . 因为0°<C <90°， 所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.8、[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C＝b sin B .(1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .【解答】 由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45° ＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6. 9、[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14. (1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4， ∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78. ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值； (2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．【解答】 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sin C 2⎝⎛⎭⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C 2， 由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12， 两边平方得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1. 11、 [2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【解答】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c.(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.12、[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 【解答】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ..所以原式化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B . 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )， 又因为A ＋B ＋C ＝π， 所以原等式可化为sin C ＝2sin A ， 因此sin Csin A ＝2.(2)由正弦定理及sin Csin A＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5. 从而a ＝1， 因此b ＝2.已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．【解答】 (1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎨⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B ，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2，由题设知p ＞0，所以62＜p ＜ 2. 14、[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值； (2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．【解答】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13.(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233，得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2. 则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63， 由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32.15、 [2011·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． 【解】 (1)由B ＝C ，2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，故cos2A ＝2cos 2A －1＝－79.sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝cos2A cos π4－sin2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218. 16、[2011·重庆卷] 设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)．求函数 f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．【解答】 f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin2x －cos2x .由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1， 解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，f (x )为增函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时 ,2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4，f (x )为减函数．所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2. 又因f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2. 17、[2011·重庆卷] 设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)c os x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值． 【解答】 (1)f (x )＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )＝12sin2x ＋32cos2x ＋32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)依题意g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32 ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g (x )为增函数， 所以g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.。
2011——2015年数学高考试题分类汇编(解三角形_三角函数)
2011——2015（全国卷，新课标1卷，新课标2卷）数学高考真题分类训练班级 姓名 一、三角函数1、若函数()sin([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ（ ） （A ）2π （B ）32π （C ）23π （D ）35π2、已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（ ）（A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）25243、当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________.4、已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π45、设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____6、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（ ） （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）12137、若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（B ）8、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）9、设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= 10、已知sin2a 32=，则cos2(a+4π)=( ) （A ）错误！未找到引用源。
（B ）错误！未找到引用源。
（C ）错误！未找到引用源。
（D ）错误！未找到引用源。
11、函数)()2cos(y πϕπϕ<≤-+=，x 的图像向右平移错误！未找到引用源。
个单位后，与函数y=sin （2x+3π）的图像重合，则ϕ=___________. 12、若0tan >α，则（ ）A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 13、在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③14、函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为_________.15.全国卷1高考7）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）916.（2011全国卷），设函数（A ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（C ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 4π对称（D ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 2π对称17.（2011年江西高考14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y=_______. 18．（2011年安徽高考9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦19.（2011年江西高考14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y=_______. 20．（2011年安徽高考9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦二、解三角形1.北京高考9）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 2.（年浙江高考5）.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 3．（2011四川高考8）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ4、已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）55、已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8 （D ）56、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=错误！未找到引用源。
2011年高考文科数学试题分类汇编__三、三角函数
Shenyuanyu 2011年高考三角函数（重庆文）8．若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A ．154B ．34C ．31516D ．1116（辽宁文）（12）已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πf（A ）2+3 （B ）3 （C ）33（D ）23- （上海文）17．若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为E 和F ，则 （ ）A ．E F ØB ．E F ÙC ．E F =D ．EF =∅（全国新课标文）（7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ） 45-（B ）35- （C ） 35 （D ）45（全国新课标文）（11）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称（B ）()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称（C ）()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称（D ）()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称（全国大纲文）7．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．9（湖北文）6．已知函数()3s i n c o s,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．5|,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭（山东文）6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=(A)23 (B)32(C) 2 (D)3 （四川文）8．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ答案：C（浙江文）（5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)- 12 (B) 12(C) -1 (D) 1 【答案】D （福建文）9．若a ∈（0， 2π），且sin 2a+cos2a=14，则tana 的值等于A ．22B ．33C ．2D ．3（天津文）7．已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则（ ）A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数 【答案】A（湖南文）7．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．22-D ．22答案：B（全国新课标文）（15） ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为________答案：4315_ （全国大纲文）14．已知a ∈（3,2ππ），t a n 2,c o s αα=则= 答案：55-（上海文）4．函数2sin cos y x x =-的最大值为 答案：5（上海文）8．在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是 千米。
2011年高考题(三角函数)
2011年高考题汇总(三角函数部分)第一部分 选择题1（2011安徽理数）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对x R ∈ 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是 （ ） A ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2（2011福建理数）若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值等于 （ ）A 2B 3C 4D 6 3（2011福建文数）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 24αα+=，则tan α= （ ）A2B3C D4（2011湖北理数）已知函数()cos f x x x =-，x R ∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为 （ ） A ,3x k x k k Zππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B 22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C 5,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ D 522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ 5（2011湖南理数）由直线3x π=-，3x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）A12B 1 C2D6（2011湖南文数）曲线sin 1sin cos 2x y x x=-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为 （ ）A 12- B 12C 2-D27（2011辽宁理数）△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2sin sin cos a A B b A +=，则b a= （ ）A B C D 8（2011辽宁文数）已知函数()tan()(0,)2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如图，则()24f π= （ ）A 2+B C2D 2-9（2011全国卷I 理数）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （ ） A 45-B 35-C35D4510（2011全国卷I 理数）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -= （ ）A ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 11（2011全国卷I 文数）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为 （ ）A BC D12（2011全国卷I 文数）若4sin 5a =-，a 是第三象限角，则sin 4a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A 10-B10C 10-D1013（2011全国卷II 理数）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （ ） A13B 3C 6D 914（2011山东理数）若点(,9)a 在函数3x y =的图像上，则tan6a π的值为 （ ）A 0B 3C 1D 15（2011山东理数）若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （ ） A 3 B 2 C32D2316（2011陕西理数）函数()cos f x x =在[)0,+∞内 （ ）A 没有零点B 有且仅有一个零点C 有且仅有两个零点D 有无穷多个零点 17（2011陕西理数）设集合{}22cos sin ,M y y x x x R==-∈，1N x x x R i ⎧⎫=-<∈⎨⎬⎩⎭i 为虚数单位，则M N 为 （ ）A ()0,1B (]0,1C [)0,1D []0,1 18（2011陕西文数）方程cos x x =在(),-∞+∞内 （ ）A 没有根B 有且仅有一个根C 有且仅有两个根D 有无穷多个根 19（2011上海文数）若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为,EF ，则 （ ） A E F ∅ B E ÙF C E F = D E F =∅20（2011四川理数）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是 （ ） A 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦ B ,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭21（2011天津理数）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A = （ ）A 30︒B 60︒C 120︒D 150︒22（2011天津文数）如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将sin ()y x x R =∈的图像上的所有的点 （ ）A 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变23（2011浙江理数）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是 （ ）A []4,2--B []2,0-C []0,2D []2,4 24（2011浙江文数）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若c o s s i n a A b B =，则2sin cos cos A A B += （ ） A 12-B12C 1-D 125（2011重庆理数）若△ABC 的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且60C =︒，则a b 的值为 （ ）A 43B 8-C 1D 2326（2011重庆文数）若△ABC 的内角,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B = （ ）A4B34C16D1116第二部分 填空题27（2011安徽理数）已知△ABC 的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为_____________。
高考数学真题解析分项版05三角函数 文
2011年高考试题解析数学（文科）分项版05 三角函数一、选择题:1. （2011年高考山东卷文科3)若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为（A ）【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===故选D. 2. （2011年高考山东卷文科6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C) 2 (D)34. （2011年高考海南卷文科11)设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++,则( )A.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4x π=对称 B.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称 C.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线4x π=对称D.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】因为())44f x x ππ=++=)2x π+=2x ,故选D.5. （2011年高考福建卷文科9)若α∈（0， 2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于A.B. C.D. 【答案】D【解析】因为α∈（0，2π），且2sin α+1cos 24α=，所以2sin α+221cos sin 4αα-=,即21cos 4α=,所以cos α=12或12-(舍去),所以3πα=,即tan α=选D.6.（2011年高考浙江卷文科5)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 【答案】 D【解析】：由余弦定理得：2sin ,2sin ,a R A b R B ==2sin cos 2sin sin R A A R B B ∴=2sin cos sin A A B =即则222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=，故选D7. (2011年高考天津卷文科7)已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数 【答案】A 【解析】由题意知26ππω=,解得13ω=,又1sin()132πϕ⨯+=,且πϕπ-<≤,所以3πϕ=,所以1()sin()33f x x π=+,故A 正确.8.（2011年高考辽宁卷文科12)已知函数()tan()(1,||)2f x A x πωϕωϕ=+><, y=f(x)的部分图像如图,则()24f π=(A)22 答案：B解析：函数f(x)的周期是32882πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故22πωπ==，由tan 1,3tan 20,8A A ϕπϕ=⎧⎪⎨⎛⎫⋅+= ⎪⎪⎝⎭⎩得,14A πϕ==.所以()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故tan 224244f πππ⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9. （2011年高考陕西卷文科6)方程cos x x =在(),-∞+∞内 (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根 【答案】C【解析】：令1||y x =，2cos y x =，则它们的图像如图 故选C10.（2011年高考全国卷文科7)设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C 【解析】()cos[()]cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3x x ωπωω-= 22()663k k Z k ωπππω∴-=+∈⇒=--z 则1k =-时min 6ω=故选C11. （2011年高考江西卷文科10)如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在原点O 处，一顶点及中心M 在Y 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿X 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）【答案】A【解析】根据中心M 的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M 的位置会先变高，当C 到底时，M 最高，排除CD 选项，而对于最高点，当M 最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B ,选A.12. （2011年高考四川卷文科8)在△ABC 中，sin 2A ≤ sin 2B+ sin 2C-sinBsinC,则A 的取值范围是 （A ）(0,]6π （B ）[,)6ππ(C) (0,]3π（D ）[,)3ππ 答案：C解析：由正弦定理，得222a b c bc ≤+-，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，则1cos 2A ≥,0A π<<,03A π∴<<. 13．（2011年高考重庆卷文科8)若△ABC 的内角，,,ABC 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A B ．34C D ．1116【答案】D二、填空题：13.（2011年高考江西卷文科14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且sin θ=y=_______. 16.(2011年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ1272【解析】由图象知：函数()sin()f x A wx φ=+的周期为74()123πππ-=，而周期2T wπ=，所以2w =，由五点作图法知：23πφπ⨯+=，解得3πφ=，又所以函数())3f x x π=+，所以(0)f =3π=17.(2011年高考安徽卷文科15)设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交 以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）. 【答案】①③【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像.【解析】()sin 2cos2)f x a x b x x ϕ=+=+…1()sin cos 06332f a b b πππ=+=+…，由题意()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则122a b +对一切则x ∈R 恒成立，即222231442a b a b ab +++…，2230a b +剠0恒成立，而223a b +…，所以223a b +==，此时0a =>.所以()sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.①1111()2sin 01266f b πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故①正确； ②774713()2sin 2sin 2sin 10563030f b b b πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 21713()2sin 2sin 2sin 5563030f b b b πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，19. （2011年高考福建卷文科14)若△ABC 的面积为3，BC =2，C=︒60，则边AB 的长度等于_____________. 【答案】2【解析】由于△ABC 的面积为3，BC =2，C=︒60122AC =⨯⋅,所以AC=2,△ABC 为正三角形,所以AB=2.20．（2011年高考湖北卷文科6)已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ 答案：Acos 1x x -≥，即1sin()62x π-≥，解得22()3k x k k z ππππ+≤≤+∈，所以选A.三、解答题：22. （2011年高考山东卷文科17)（本小题满分12分） 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（I ） 求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cos C 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA =2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.23.(2011年高考安徽卷文科16) (本小题满分13分)在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【命题意图】：本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。
2011年高考文科数学试题汇编----函数与导数(教师用)
函数与导数一、选择题（安徽文5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) 【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可 能是（A ）1 (B) 2(C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当1n =时，()()()f x ax x a x x x 232=1-=-2+g，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫⎪⎝⎭递增，0.1xyO0.在1,13⎛⎫⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选A.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A（福建文6）若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A ．（－1，1）B ．（－2，2）C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C（福建文8）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0x ＋1，x ≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D（广东文4）函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞ 【答案】C（湖南文7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12- B ．12C ．22-D ．22【答案】B 【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以 2411'|2(sincos )44x y πππ===+。
2011—2017年高考全国卷Ⅰ文科数学三角函数、解三角形总汇编
新课标全国卷I 文科数学汇编三角函数、解三角形、选择题【2017, 11】△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .已知 si nB sin A(si nC _cosC)=0 , a=2, c= . 2 ,6】若将函数y =2sin i 2x • n 的图像向右平移 丄个周期后，所得图像对应的函数为(I 6丿 4则 C=()n12 A .B - nD. n3【2016,4】△ ABC 的内角A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 a = 5 , c = 2, cos A =—，贝y b =()3A .2 B .3 C . 2【2016,A .n 1y = 2sin I 2xI 4丿n 1B .八22x3C . y = 2sin 2x —— n D-y =2sin i 2x--I 3丿【2015,8】函数f (x )=cos( 3 x +0 )的部分图像如图所示，则 A . (k 「：」,k 二3),k Z B . (2k 二-[,2k 二？),k Z 44 4 4C. (k 」,k 3), k Z D . (2k 」,2k 3), k Z4 4 4 4【2014, 7】在函数① y=cos|2xL ,② y=|cos x |，③ y = cos(2x )，④ y = tan(2x)中，最小正周64期为n 的所有函数为 A .①②③ B2】若 tan 二:.■- 0，则( sin ：； >0 B .【2014, ().①③④ c.②④ D .①③sin 2：；- >0 Dcos2= 010】已知锐角厶ABC 的内角 则b =(A . 10【2013, A , B, 2C 的对边分别为 a , b , c, 23cos A + cos 2 A = 0, a = 7, c = 6,【2012, 9】 9 .已知 0 ,<n 直线x是函数f(x)=s in•「)图像的两条相4).邻的对称轴，则D.—4【2011,7】已知角 二的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y = 2x 上，则cos 2 =().二、填空题【2017, 15】已知 a w j0,— , tana =2，则(n 3f n【2016 ,】14.已知日是第四象限角，且 sin 10 + -=工，则tan |0 --=I4丿5I4丿【2013, 16】设当X = B 时，函数f (X ) = sin X -2cos X 取得最大值，则 cos 【2014, 16】如图所示，为测量山高 MN ，选择A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点•从 A 点测得M 点的仰角• MAN =60 , C 点的仰角CAB =45 以及.MAC =75 ;从 C 点测得• MCA 二 60 .已知山高BC =100m ，则山高MN m .【2011, 15】△ ABC 中，B =120；, AC = 7 , AB =5，则△ ABC 的面积为 _________ 三、解答题 【2015, 17 】已知 a,b,c 分别为△ ABC 内角 A, B,C 的对边，si n 2B =2s in AsinC .(1 )若 a =b ，求 cosB ; (2)设.B =90「，且 a =：$2，求△ ABC 的面积.【2012, 17】已知a , b , c 分别为△ ABC 三个内角A, B , C 的对边，c =-、3as in C-ccosA .(1 )求 A ; ( 2)若 a = 2 , △ ABC 的面积为-、3，求 b , c .【2011, 11】设函数f (X ) 二 sin2XJ C0S 2X 7，则A.f (X )在0,n单调递增，其图象关于直线I 2丿n ,对称4B.f (X )在'' 0,n"单调递增，其图象关于直线 I 2丿 C.f (X )在 10,nI 2单调递减，其图象关于直线D.f (X )在'o,n 单调递减，其图象关于直线cos :一、选择题【2017, 11】△ ABC 的内角 A B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .已知 si nB sin A(si nC _cosC)=0 , a=2, c= . 2 , 则 C=()八nn小nnA .B.C.D.—12643【答案】B【解法】解法一：因为 si nB si nA(si nC -cosC) =0 , sin B =si n(A C),所以 sin C(sin A • cosA) = 0 ,又 sin C . 0，所以 sin A = -cos A , tan A = _1，又 0 ：：： A ：：： -•，所以 A = —4， 又a =2, c =.、2，由正弦定理得22,即sin C 二丄•又0 ：：： C ，所以C ，故选B.罷 sinC2262解法二：由解法一知 sin A cos A =0，即 2s in (A ')=0，又0 ：：: A ：：：二，所以A=—.下同解法一.4 4 【2016, 4】△ ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c .已知a =』5 , c=2, cosA = —，贝y b =()3A . 、—B . 、、3C . 2D . 3【2016, 6】若将函数y =2sin i 2x •-的图像向右平移1个周期后，所得图像对应的函数为（）.I 6丿 4解析：选D .由余弦定理得cos A =2 2 2b c-a2bc，即整理得 b 2 -8b-1 二 b -3 b+ 1）=0，解得b=3 .故A . y = 2sin I 2x —B . y = 2sin I 2x -C . y = 2sin I 2x 「—4 D . "2sin 2X—:解析：选D.将函数y=2sin‘2x+ n 的图像向右平移 丄个周期，即向右平移 I 6丿 4n卫个单位,4故所得图像对应的函数为 y=2sin |2.'x — = 2sin ' 2x — n |.故选D.X 4丿6」 I 3丿 【2015, 8】函数f (x )=cos( 3 x +0 )的部分图像如图所示，贝U 1 31 3A . (k—,k 二—),k Z B . (2k —,2k 二一),k Z 4 44 4f （x ）的单调递减区间为（）TTTT【2014, 7】在函数① y=cos|2xL ，② y=|cos x |，③ y = cos(2x )，④ y = tan(2x)中，最小正周6 4期为n 的所有函数为() A .①②③ B .①③④C .②④D .①③解：选 A .由y = cosx 是偶函数可知①y=cos|2 x|= cos2x ，最小正周期为n ；② y=|cos x |的最小正周 期也是n;③中函数最小正周期也是n;正确答案为①②③，故选A2 2 1解析：选 D.由 23cos A + cos 2 A = 0,得 cos A=.25•••cos A = 36—92Pb13 b = 5 或b —亍舍).由此f(x) =sin(x 」)，由已知x 处f (x) =sin(x •「)取得最值, 4JIA .设P(t,2t)(t=0)为角二终边上任意一点，则 cosr- L . V5t【2014, A . 解: 2】若tan .篇a 0，则( sin >0 B 选 C. tan a >0, ) cos 、； ,0 C . sin2、z ,0 D a 在一或三象限，所以 sin a 与cos a 同号，故选Ccos2、； > 0 【2013,则b =( A . 1010】已知锐角厶 ). B . 9ABC 的内角A , B, C 的对边分别为 2a ,b , c, 23cos A + cos 2 A = 0, a = 7,c = 6, 【2012, 9】9.已知■ 0 , 0 ：：：「：：：二，直线x 和x4是函数f(x)二sin C x )图像的两条相4邻的对称轴, A . 【解析】 选A. 由直线x 3 JI 和45 二x盲是函数f(x)f(x) =sinC ，x •「)的最小正周期Tsin (「x •「)图像的两条相邻的对称轴, )二2二，从而屏=1.1 3 C (k 2k 4)，k ZD • (2k_4,2k 4)K Z4 4解：选D.依图,卜z且Az'；，解得…，® =4，二心)丸。
解三角形历年部分高考题——教师版文科
4.（2011年高考浙江卷文科5)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)- 12 (B) 12(C) -1 (D) 1 【答案】 D【解析】：由余弦定理得：2sin ,2sin ,a R A b R B ==2sin cos 2sin sin R A A R B B ∴= 2sin cos sin A A B =即则222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=，故选D6．（2011年高考重庆卷文科8)若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B = （ ）A 15B ．34C ．315D ．11166、（湖南文）17．（本小题满分12分）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =（Ⅰ）求角C 的大小；（II 3cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 23.(2011年高考安徽卷文科16) (本小题满分13分)在V ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=32，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【命题意图】：本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。
【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=o ，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 22sin 23b A B a ===o ， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC ＝2sin 752sin(4530)=+o o o2321312()2+=⨯+⨯=. 【解题指导】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可。
上海市各地市2011年高考数学 最新联考试题分类大汇编(5)三角函数
OMNxy P上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第5部分:三角函数一、选择题：15．(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科) “1sin 2α=”是“1cos 22α=”的 [答]（ A ）(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.17．(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点，M N 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，3POM π∠=，PON α∠=,[)0απ∈，，()f OM ON α=⋅，则()αf 的范围为 [答]（ A ）(A) 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦. (B) 11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. (C) 1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. (D) 1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 15、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)在△ABC 中，“C b B c cos cos =”是“△ABC是等腰三角形”的（ A ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件15．(上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科) “πϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+是奇函数”的 （ A ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 二、填空题：5．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．2a12．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．3825．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．2a13．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．382 7、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)若P ，Q 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 的三等分点，则=∠PCQ tan ．433．(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)已知1cos()43πα-=，则sin()4πα+= . 132、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)若1sin 3x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则x = （结果用反三角函数表示）31arcsin10．(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)在△ABC 中，已知最长边23=AB ，3=BC ，∠A =30︒，则∠C = . 【∠C =135︒】7、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C2sin c A =，则角C 的大小为 。
2011—2017年高考全国卷Ⅰ文科数学三角函数、解三角形总汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编三角函数、解三角形一、选择题【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，2，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知5a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．2 B3 C ．2 D ．3【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ 【2014，2】若tan 0α>，则（ ）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5 【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称 二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______． 【2014，16】如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =m ．【2011，15】ABC △中，120B =o ，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为 ． 三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=o ，且a =ABC △的面积．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ．解 析一、选择题【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，，则C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解法】解法一：因为sin sin (sin cos )0B A C C +-=，sin sin()B A C =+，所以sin (sin cos )0C A A +=，又sin 0C >，所以sin cos A A =-，tan 1A =-，又0A π<<，所以34A π=，又a =2，c=即1sin 2C =．又02C π<<，所以6C π=，故选B ．解法二：由解法一知sin cos 0A A +=)04A π+=，又0A π<<，所以34A π=．下同解法一．【2016，4】ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．BC ．2D ．3解析：选D ．由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即245243b b +-=， 整理得()28113033b b b b ⎛⎫--=-+= ⎪⎝⎭，解得3b =．故选D ． 【2016，6】若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）． A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解析：选D ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期，即向右平移π4个单位， 故所得图像对应的函数为ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D ．【2015，8】函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 解：选D ．依图，153++4242ππωϕωϕ==且，解得ω=π，=4πϕ， ()cos()4f x x ππ∴=+， 224k x k πππππ<+<+由，，解得132244k x k -<<+，故选D ． 【2014，7】在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：选A ．由cos y x =是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x ，最小正周期为π；②y=|cos x |的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A【2014，2】若tan 0α>，则（ ）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos20α>解：选C ．tan α>0，α在一或三象限，所以sin α与cos α同号，故选C【2013，10】已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5 解析：选D ．由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125．∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15．∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．【2012，9】9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π【解析】选A ．由直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52()244T πππ=-=，从而1ω=．由此()sin()f x x ϕ=+，由已知4x π=处()sin()f x x ϕ=+取得最值，所以sin()14πϕ+=±，结合选项，知ϕ=4π，故选择A ． 【2011，7】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【解析】设(,2)(0)P t t t ≠为角θ终边上任意一点，则cosθ=当0t >时，cos 5θ=；当0t <时，cos 5θ=-．因此223cos 22cos 1155θθ=-=-=-．故选B ．【2011，11】设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称 B ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称【解析】因为ππππ()sin 2cos 2224444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当π02x <<时，02πx <<，故()f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．又当π2x =π22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭π2x =是()y f x =的一条对称轴．故选D ．二、填空题【2017，15】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【解析】10．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，sin tan 22sin 2cos cos ααααα=⇒=⇒=，又22sin cos 1αα+=，解得sin α=，cos α=，cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭． 【基本解法2】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，tan 2α=，∴角α的终边过(1,2)P ，故sin y r α==，cos 5x r α==，其中r ==cos (cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭． 【2016，】14．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ． 解析：43-．由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ， 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 方法2：还可利用ππtan tan 144θθ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭来进行处理，或者直接进行推演，即由题意4cos 45θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan 44θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭143tan 4θ-=-π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【2013，16】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．答案：解析：． ∵f (x )＝sin x －2cos xx －φ)，其中sin φ，cos φ．当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)． ∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝255-．【2014，16】16．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =m ．解：在Rt ΔABC 中，由条件可得1002AC =， 在ΔMAC 中，∠MAC=45°；由正弦定理可得sin60sin 45AM AC =︒︒，故310032AM AC ==Rt ΔMAN 中，MN=AM sin60°=150．【2011，15】ABC △中，120B =o ，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为 ． 【解析】由余弦定理知2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅o ， 即249255BC BC =++，解得3BC =． 故113153sin120532224ABC S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=o △．故答案为1534．三、解答题【2015，17】已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=o，且2a =ABC △的面积．解析：（1）由正弦定理得，22b ac =．又a b =，所以22a ac =，即2a c =．则22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⋅．（2）解法一：因为90B ∠=o，所以()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-o ， 即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =．又因为在ABC △中，90B ∠=o ，所以090A <∠<o， 则290A ∠=o ，得45A ∠=o．所以ABC △为等腰直角三角形，得a c ==112ABC S ==△． 解法二：由（1）可知22b ac =，① 因为90B ∠=o，所以222a c b +=，②将②代入①得()20a c -=，则a c ==，所以112ABC S ==△． 解：(Ⅰ) 因为sin 2B =2sin A sin C ． 由正弦定理可得b 2=2ac ．又a =b ，可得a=2c ， b=2c ，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==． (Ⅱ)由(Ⅰ)知b 2=2ac ． 因为B=90°，所以a 2+c 2=b 2=2ac ．解得a = 所以ΔABC 的面积为1．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC ，求b ，c ． 【解析】（1）根据正弦定理2sin sin a cR A C==，得A R a sin 2=， C R c sin 2=，因为sin cos c C c A =-，所以2sin sin )sin 2sin cos R C R A C R C A =-⋅， 化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-， 因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即21)6sin(=-πA ， 而π<<A 0，6566πππ<-<-A ，从而66ππ=-A ，解得3π=A ．（2）若2a =，△ABC1）得3π=A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=43cos 233sin 21222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=8422c b bc ， 从而解得2=b ，2=c ．。
三角函数(2011-2015全国卷文科)
一.选择、填空题1.（2012.全国新课标9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin (ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）A ．π4 B.π3 C.π2 D.3π42.（2013.全国1卷9）函数f （x ）=（1-cosx ）sinx 在[-π，π]的图像大致为（ ）C3.（2013.全国1卷10）已知锐角△ABC的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A +cos 2A =0，a =7，c =6，则b =（ ）A.10B.9C.8D.54.（2014.全国1卷16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .1505.（2015.全国1卷8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈ 6.（2013.全国2卷4）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，π6B =，π4C =，则△ABC 的面积为（ ） A． BC．2 D17.（2013.全国2卷6）已知sin 2α＝23，则2πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝（ ）A ．16B ．13C ．12D ．238.（2013.全国2卷16）函数y ＝cos (2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像重合，则φ＝__________.5π6 9.（2014.全国2卷14）函数)sin()(ϕ+=x x f —2ϕsin x cos 的最大值为_________.1二.解答题10.（2012.全国新课标17）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3asinC －ccosA(1)求A(2)若a =2，△ABC 的面积为3，求b,c11.（2015.全国1卷17）（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.三角函数（2011-2015全国卷文科）解答题参考答案一.选择、填空题（一）新课标卷4.A（二）全国Ⅰ卷1.C2.D 6. 150 7. D（三）全国Ⅱ卷1.B2.A3.5π6 4. 1（一）新课标卷1.（2012.全国新课标17）解：（二）全国Ⅰ卷1.（2015.全国1卷17）解：（I ）由题设及正弦定理可得2b =2ac.又a=b ，可得cosB=2222a c b ac +-=14 ……6分（II ）由（I ）知2b =2ac.因为B=o 90，由勾股定理得222a c =b +.故22a c =2ac +，的所以△ABC 的面积为1. ……12分。
高考真题汇编2010-2011 三角函数和平面向量大题 文科
三角函数和平面向量（2011广东文）16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值． （2011北京文）15．（本小题共13分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期： （Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. （2011四川文）18．（本小题共l2分）已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤．求证：2[()]20f β-=．（2011福建文）21．（本小题满分12分）设函数f （θ）cos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0θπ≤≤。
（1）若点P 的坐标为1(2，求f ()θ的值； （II ）若0.2πθ≤≤，求函数()f θ的最小值和最大值。
（2010上海文数19）.（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin))]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+.（2010浙江文数18） (本题满分l4分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =- (I)求sinC 的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．（2010北京文数15）（本小题共13分）在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.（2010重庆文数18） (本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a(Ⅰ) 求sinA 的值； (Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.（2010浙江文数18）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足222)4S a b c =+-。
江西省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第5部分三角函数
江西省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第5部分:三角函数一、选择题：1．(江西省九校2011年高三联合考试文科）计算cos 28° cos17° - sin 28° sin17°的结果等于 （ B )A ．12B ．2C D8. (江西省“八校”2011年4月高三联合考试文科）2002年8月在北京召开了国际数学家大会, 会标如图示， 它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， 若直角三角形中较小的锐角为θ， 大正方形面积是1 小正方形面积是251， 则θθ22cos sin -的值是（ B )A 。
2524-B 。
257-C 。
2524 D.2578．(江西省吉安市2011届高三第二次模拟文科）将函数()cos y f x x =的图像向左移4π个单位后，再作关于x 轴的对称变换得到的函数22cos 1y x =-的图像,则()f x 可以是（ C ）A ．2cos x -B ．2cos xC ．2sin x -D ．2sin x8。
(江西省九江市六校2011年4月高三第三次联考理科）2(sin cos )1y x x =+-是(D ）A 。
最小正周期为π2的偶函数 B.最小正周期为π2的奇函数C.最小正周期为π的偶函数 D 。
最小正周期为π的奇函数3. (江西省九江市六校2011年4月高三第三次联考文科）已知A 是ABC∆内角,命题p ：21sin =A ；命题q ：23cos =A ，则q 是p 的( A ）A.充分不必要条件 B 。
必要不充分条件 C.充要条件 D 。
既不充分也不必要条件4。
(江西省新余市2011年高三第二次模拟理科)已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长 为2的等边三角形，则(1)f 的值为( D ） A ．3．6C 3 D.3-4。
2011高考数学文科函数真题汇编
文 科 函 数一、选择题：1. 【2011上海文】15、下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）A 2y x -= B 1y x -= C 2y x = D 13y x =3. 【2011全国文】10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．124. 【2011北京文】3．如果,0log log 2121<<y x 那么A ．y< x<1B ．x< y<1C ．1< x<yD ．1<y<x7.【2011四川文】4．函数1()12x y =+的图象关于直线y =x 对称的图象像大致是（ ）8. 【2011天津文】5．已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>9. 【2011安徽文】（5）若点（a,b ）在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（ ）（A ）（a1，b ） （B ）（10a,1-b ） （C ） （a10,b+1） （D ）（a 2,2b ）10. 【2011安徽文】（10）函数2)1()(x ax x f n-=在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）411. 【2011山东】3．若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为( ) A ．0 B ．33C ．1D ．312. 【2011山东】10．函数2sin 2xy x =-的图象大致是()13. 【2011广东文】4．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是( ) A ．(,1)-∞-B ．（1，+∞）C ．（-1，1）∪（1，+∞）D ．（-∞，+∞）15. 【2011全国新课标文】3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( )A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=16. 【2011全国新课标文】10．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( )A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)2417. 【2011全国新课标文】12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个18. 【2011江西文】3. 若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞ C.1(,0)(0,)2-⋃+∞ D.1(,2)2- 19. 【2011江西文】4.曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A.1B.2C.eD.1e20. 【2011浙江文】（10）设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()2f x e的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是( )21. 【2011湖北文】3．若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf x gx e +=，则()g x =( )A ．xxe e-- B ．1()2x x e e -+C ．1()2x x e e --D ．1()2x x e e -- 22. 【2011湖南文】7．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．22-D ．2223. 【2011湖南文】8．已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为( )A ．[22,22]-+B ．(22,22)-+C ．[1,3]D ．(1,3)26. 【2011福建文】8．已知函数f （x ）= 。
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2011年高考文科数学试题分类汇编—解三角形
一、填空题
1.（全国新课标文）（15） ABC ∆中，120,7,5B A C A B =︒==，则ABC ∆的面积为______4
315___． 2．（全国大纲文）14．已知a ∈（3,2ππ），t a n 2,c o s αα=则=
3.（上海文）8．在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，
若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ．C
千米。
4.（福建文）14．若△ABC 的面积为3，BC=2，C=︒60，则边AB 的长度等于____2___．
5.（北京文）（9）在ABC 中，若15,,sin 43
b B A π=∠==，则a = . 【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =
又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,1sin 34
a a π==二、解答题
1.（安徽文）（16）
（本小题满分13分）
在△ABC 中，
a ，
b ，
c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=b=12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.
（16）（本小题满分13分）本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求和能力.
解：由A C B C B -=+=++π和0)cos(21，得 .2
3sin ,21cos ,0cos 21===-A A A 再由正弦定理，得.22sin sin ==
a A
b B .2
2sin 1cos ,2,,=-=<<<B B B B A B a b 从而不是最大角所以知由π
由上述结果知).2
123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h ，则有.213sin +=
=C b h 2.（天津文）16．（本小题满分13分）
在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，已知,2.B C b ==
（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）cos(2)4
A π
+的值． （16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的
正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13分。
（Ⅰ）解：由,2,2B C b c b a ====可得
所以222222331cos .2322
a a a
b
c a A bc +-+-=== （Ⅱ）解：因为1cos ,(0,)3
A A π=∈
，所以sin 3A ==
27cos 22cos 1.sin 22sin cos 9A A A A A =--=-==故
所以78cos 2cos 2cos sin 2sin 444929218A A A πππ+⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3.（陕西文）18.（本小题满分12分）
叙述并证明余弦定理。
【分析】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固．
【解】叙述：
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。
或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有
2222cos a b c bc A =+-，
2222cos b c a ca B =+-，
2222cos c a b ab C =+-.
证明：（证法一） 如图，2c BC = ()()A C A B A C A B =-∙- 222AC AC AB AB =-∙+222cos AC AC AB A AB =-∙+
222cos b bc A c =-+
即 2222c o s a b c b c A
=+- 同理可证 2222c o s b c a c a B =+-，
2222c o s c a b a b C
=+- （证法二） 已知ABC ∆中，,,A B C 所对边分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，
∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++
222cos b c bc A =+-，
即 2222c o s a b c b c A
=+- 同理可证 2222c o s b c a c a B
=+-， 2222c o s c a b a b C
=+- 4.（山东文）17.（本小题满分12分）
在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a =cos B b . （I ） 求
sin sin C A 的值； （II ） 若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长. 【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以c o s A -2c o s C 2c -a =c o s B b =2sin sin sin C A B
-,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin C A
=2. (2)由(1)知sin sin C A
=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得： 2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44
a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2. 5.（湖北文）16．（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知11,2,c o s 4
a b C ===
（I）求ABC
∆的周长；
（II）求c o s()
A C
-的值。
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。
（满分12分）
解：（Ⅰ）222
1
2cos1444
4
c a b ab C
=+-=+-⨯= 2.
c
∴=
ABC
∴∆的周长为122 5.
a b c
++=++=
（Ⅱ）
1
cos,sin
4
C C
=∴===
sin4
sin
28
a C
A
c
∴===
,
a c A C
<∴<，故A为锐角，
7
cos.
8
A
∴===
7111
cos()cos cos sin sin.
848816
A C A C A C
∴-=+=⨯+⨯=
6.（全国大纲文）18．（本小题满分2分）（注意：在试题卷上作答无效
．．．．．．．．．）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c
．己知sin csin sin sin,
a A C C
b B
+=（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若0
75,2,
A b a c
==求与
18．解：
（I
）由正弦定理得222.
a c b
+-=…………3分由余弦定理得2222cos.
b a
c ac B
=+-
故cos,45.
2
B B
==︒
因此…………6分
（II）sin sin(3045)
A=︒+︒
s i n30c o s45c o s30s i n45
4
=︒︒+︒︒
=
…………8分
故sin 1sin A a b B =⨯
==
s i n s i n 62.s i n s i n 4C c b B ︒=⨯=⨯=︒ …………12分 7.（辽宁文）（17）（本小题满分12分）
△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A ． （I ）求b a
；
（II ）若c 2=b 22，求B ．
17．解：（I ）由正弦定理得，22sin sin cos A B A A +=，即
22sin (sin cos )B A A A +=
故sin ,b B A a
==所以 ………………6分
（II ）由余弦定理和222,cos c b B =+=
得
由（I ）知222,b a =故22(2.c a =+
可得21cos ,cos 0,cos 452B B B B =>==又故所以 …………12分。