1.1.1任意角
1.1.1 任意角
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α
与整数个周角的和.
终边相同的角不一定相等，但相等的角终边 一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360°的整数倍
【即时训练】
下列说法正确的是（ C ） A.终边相同的角一定相等
B.第一象限角都是锐角
C.锐角都是第一象限角 D.小于90°的角都是锐角
(2) 已知角 终边与 50 角终边互相垂直, 求角的集合N .
解： (1) 230 与 50 的终边关于y轴对称,
M { 230 k 360 , k Z }.
(2) 50 90 与 50 角终边互相垂直,
N { 50 90 k 360 , k Z }.
第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度?
提示：900o
体操中有转体两周或 转体两周半，如何度 量这些角度呢？ 提示：
角的范围需要扩展
经过1小时，秒针、分针各转了多少度？ 提示：21 600o，360o.
在齿轮转动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋 转的. 一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时 针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一 条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角， 与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？ 提示：不相等
2、如果α ，β 终边相同，则α -β 的终
边落在（
A ）
B. X轴的负半轴上 D. y轴的负半轴上
A. X轴的正半轴上 C. y轴的正半轴上
3、与-1 778°的终边相同且绝对值最小 22° 的角是___________ 。
课件7：1.1.1 任意角
[再练一题] 1．有下列说法： ①相差 360°整数倍的两个角，其终边不一定相同； ②终边相同的角一定相等； ③终边关于 x 轴对称的两个角 α，β 之和为 k·360°，(k∈Z)． 其中正确说法的序号是________．
【解析】 ①不正确．终边相同的两个角一定相差 360°的整数倍， 反之也成立； ②不正确．由①可知终边相同的两个角一定相差 k·360°，(k∈Z)． ③正确．因为终边关于 x 轴对称的两个角，当 α∈(－180°，180°)， 且 β∈(－180°，180°)时 α＋β＝0°，当 α，β 为任意角时，α＋β＝ k·360°(k∈Z)．
直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角． 2．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．
知识点 3 终边相同的角 1．前提：α 表示任意角． 2．表示：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合
S＝{β|β＝__α_＋__k_·__3_6_0_°__，___k_∈__Z__}，即任一与角 α 终边相同的角，都 可以表示成角 α 与整数个_周__角__的和．
【自主解答】 在 0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于 150°而小 于 225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋ 150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}． 【答案】 C
(2)已知角 β 的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角 β 的取值范围．
【解】 阴影在 x 轴上方部分的角的集合为： A＝{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k<Z}． 阴影在 x 轴下方部分的角的集合为： B＝{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}． 所以阴影部分内角 β 的取值范围是 A∪B，即{β|k·360°＋60°≤ β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360＋285°， k∈Z)，其中 B 可以化为：{β|k·360°＋180°＋60°≤β<k·360°＋ 180°＋105°，k∈Z}． 即{β|(2m＋1)×180°＋60°≤β<(2m＋1)×180°＋105°，m∈Z}．
1.1.1 任意角 课件(共31张PPT)
第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 任意角的概念 例1 下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②小于180°的角是钝角、直角或锐角； ③正角大于负角；
栏目 导引
第一章 三角函数
④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同． 其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)． 【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角， 显然390°>120°，所以①不正确． ②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故②不正确． ③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、 负数的规定一样，正角大于负角，③正确． ④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立， 故④不正确．
栏目 导引
(3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类：
名称 正角 负角
定义 按__逆__时__针___方向旋转形成的角 按__顺__时__针___方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
第一章 三角函数
图形
栏目 导引
第一章 三角函数
想一想 1.理解角的概念要注意哪几个要素？ 提示：顶点，始边，终边和旋转方向． 做一做 1. 图 中 OA 为 始 边 ， 则 α ＝ ________ ， β ＝ ________.
栏目 导引
3. 如右图，
跟踪训练
第一章 三角函数
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合 是________． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的 集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
高中数学 1.1.1任意角 新人教A版必修4(2)
【解】 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角 的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k ∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为 {α|α＝30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一 个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边 相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角 的和．
5．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 答：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数 倍；相等的角，终边相同．
1．解读任意角的概念 (1)用运动的观点来定义角，就可以把角的概念推广到 任意角，包括任意大小的正角、负角和零角． (2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字． ①要明确旋转的方向； ②要明确旋转的大小； ③要明确射线未作任何旋转时的位置．
2．终边相同的角的关注点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子 k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成 k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数 个，它们相差周角的整数倍．相等的角终边一定相同．
课堂篇02
合作探究
终边相同的角及象限角
【例1】 将下列各角表示为k·360°＋α(k∈ Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.
【解】 (1)420°＝360°＋60°， 而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角． (2)－510°＝－2×360°＋210°， 而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角． (3)用1 020°除以360°的商为2，余数为300°， 即1 020°＝2×360°＋300°， 而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．
1.1.1任意角
第四象限角 0
α
x
0
角α始边
第三象限角
平面直角坐标系
定义：我们使角的顶点与原点重合，角的 始边与X轴的非负半轴重合。那么，角的 终边在第几象限，我们就说这个角是第几 象限角。
练习1：锐角、钝角分别是第几象限角？第一 象限角一定是锐角吗？第四象限角一定是负 角吗？（口答）
练习2： 作出下列各角，并指出它们是第几象限角。 ⑴420°⑵-75°⑶-32° ⑷-392°⑸328°⑹-752°
是按相反方向旋转的.一般地，一条射线 绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋 转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600 所形成的角，与按顺时针方向旋转600所 形成的角是否相等？
【角的概念的推广】 逆时针旋转： 正角 负角 顺时针旋转： 零角 不发生旋转：
注意：
B
正角
o o o o
例2
写出终边在y轴上的角的集合。
• 解：终边落在ｙ轴非负半轴上的角的集合为 S1={β| β=90°+k∙360°， k∈Z} ={β| β=90°+2k∙180°,k∈Z} ｛偶数｝∪｛奇数｝ ={β| β=90°+180° 的偶数倍} ＝｛整数｝ 终边落在ｙ轴非正半轴上的角的集合为 S2={β| β=270°+k∙360°,k∈Z} 90°+k∙360° ={β| β=90°+180°+2K∙180°,K∈Z} y ={β| β=90°+（2K+1）180° ，K∈Z} ={β| β=90°+180°的奇数倍} 所以，终边落在ｙ轴上的角的集合为 0 x S=S1∪S2 ={β| β=90°+180° 的偶数倍} ∪{β| β=90°+180° 的奇数倍} ={β| β=90°+180° 的整数倍} 270°+k∙360° ={β| β=90°+K∙180° ，K∈Z}
1.1.1任意角(优秀经典公开课比赛教案)
1.1.1任意角
一、教学目标：
(1)要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念;
(2)学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；
(3)并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．
二、教学重难点
教学重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．教学难点：“旋转”定义角; 终边相同的角的表示．
三、教学过程
四、课堂小结及课后作业：
五、教学反思：
这堂课从实际问题引入，引起学生的认知冲突。
说明角的概念扩展的必要性，然后通过学生的自主探索，得出了定义，为后面的探究打下了基础，体现了新课程理念，教学效果好，是一堂好课。
由于学生的计算机技术不高，导致教学时间过紧。
(1.1.1任意角)ppt
S { | k 360 0, k Z}
即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角
与整数个周角的和。
练一练：填表格
600 S | 600 k • 360 0, k Z 200 S | 200 k • 360 0, k Z 2400 S | 240 0 k • 360 0, k Z 2300 S | 230 0 k • 360 0, k Z
1.1.1 任意角
回顾：
过去我们是如何定义一个角的？角范围是什么？
角:一点出发的两条射线所围成的图形.
B
O
A
00~3600
提纲：
1.与初中的角的定义相比较，高中是怎样定义的？ 2. 任意角包括那些角?是怎样定义的？
3.什么叫象限角？判定象限角应注意什么？
任意角概念
B
O
A
任意角概念
B
O
A
顶点
B
例题：
（1）与角 950012 终边相同的角的集合为：
S | 950 012 k • 360 0, k Z
（2）在00~3600范围内，找出与角 950012
终边相同的角，并判定它是第几象限角。
练一练：在00~3600范围内，找出与角终边相 同的角，并判定它是第几象限角。
4200 750
思考:锐角是第几象限角？ 第一象限角一定是锐角吗？
锐角是第一象限角
y
300 第一象限角不一定是锐角
o
x
试想：都有哪些角的终边与300角的终边相同？
k Z
与300角的终边相同的角的集合是：
S | 300 k • 360 0, k Z
终边相同的角
一般地，所有与角 终边相同的角பைடு நூலகம்连同角
1.1.1任意角(第一课时)
初中角的概念
初中 B
O A
角——一点出发的两条射线所围成的 图形 00~3600
锐角 周角
钝角
平角
如何表示大于平角小于周角的角？
一、任意角的概念
B 角——一点出发的两条射线所围成的
O
图形
A
（静止地） 终边
始边
B
角——平面内一条射线绕着端点
O
A 从一个位置旋转到另一个位置所
（运动地） 形成的图形
第一章 三角函数 第二章 平面向量 第三章 三角恒等变换
第一章 解三角形 第二章 数列 第三章 不等式
地球自转引起的昼夜交 替变化
公转引起的四季交替变 化
月亮圆缺变化
必修4 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角(1)
思考?
你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?你 的手表快了1.25小时,你又是怎样将它校准的?当 时间校准后,分针旋转了多少度?
思考?
1：锐角是第几象限角，第一象限角一定是锐角吗？ y
锐角是第一象限角
300
第一象限角不一定是锐角
x
试想：都有哪些角的终边与300角的终边相同
300+3600 300+2*3600
3900
7500
300+3*3600 11100
300+4*3600 14700
300+（-3600） 300+（-2*3600）
在00~3600范围内，找出与角-950012’终边相 同的角，并判定它是第几象限角。 解：-950012’ =129048’ ﹣ 3×3600 角-950012’终边与129048’相同 角-950012’是第二象限角
1.1.1_任意角
作业：
P5
练习： 3. 5.
练习：P5
4.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边 相同的角，并判定它们是第几象限角． （1）-54°18′ （2）395°8′ （3）-1190°30′
小结：
00～3600的角
任意角
正 角 负 角
象 限 角
终 边 相 同 的 角
S k 360o , k Z
y -3300 3900
300
x
o
300=
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600 －3300=300－3600 =300－1x3600
300+2x3600 ,
300+3x3600 ,
…,
300－2x3600
300－3x3600
…,
与300终边相同的角的一般形式为： 300＋k· 3600，k ∈ Z
（3）S
| 363 14 k 14 2 360 356 46, 363 14 1 360 3 14, 363 14 0 360 363 14.
21 2 260 699
四、终边相同的角及其表示方法
注：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可以构成一个集合
{ | k 360 , k Z}
0
即任一与角 终边相同的角，都可以表示 成角 与整数个周角的和。
说明:终边相同 的角不一定相 等,相等的角终 边一定相同
例题分析（板书解题过程） 【例1】在 0 ～ 360 间，找出与下列各角终
高中数学必修四：1.1.1《任意角》 PPT课件 图文
精讲领学
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 , k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 , k Z }21,339,699
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等， 终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.
1.1.1 任意角 课件
={β|β=90°+K∙180°，K∈Z}.
课后练习：
终边落在各坐标轴上的角的集合
（1）终边落在x轴的正半轴上的角的集合： （2）终边落在y轴的正半轴上的角的集合：
例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把 S中适合不等式-360°≤ β＜720°的元素β写 出来.
Y
解：在0°～360°范围内，终边落在直线 y=x的角有两个：45°，225°.因此终边 落在直线y=x上的角的集合为：
45 O 225
X
S 45 k 360 , k Z 225 k 360 , k Z
45 n 180 , n Z
45 2 180 315
S中适合-360°≤ β＜720°的元素是：
S2={β| β=270°+K∙360°,K∈Z}
={β| β=90°+180°+2K∙180°,K∈Z} ={β| β=90°+（2K+1）180°,K∈Z} ={β| β=90°+180°的奇数倍}.
所以，终边落在y轴上的角的集合为
S=S1∪S2
={β|β=90°+180°的偶数倍}
∪{β|β=90°+180°的奇数倍} ={β|β=90°+180°的整数倍}
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
＋K· 0，K∈Z 360
九、课后练习
练习：P5：3(1)(2),4(2), 5(2) 作业：习题1.1 A组: 1、2、3
一、角的定义
新的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所成的图形叫做角.
课件9：1.1.1 任意角
终边落在 y 轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在 y 轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在 x 轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
2．锐角、0°～90°的角、小于 90°的角、第一象限角的区别
(1)锐角、0°～90°的角，小于 90°的角、第一象限角的范围，如
拓展
1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}
第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}
第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}
C．395°
D．－265°
【答案】D (2)与 210°角的终边相同的角连同 210°角在内组成的角的集合 是_{_β_|β_＝__2_1_0_°_＋__k_·3_6_0_°_，__k_∈__Z_}___．
4.(1)已知角 2α 的终边在 x 轴上方，那么角 α 的范围是( ) A．第一象限角的集合 B．第一或第二象限角的集合 C．第一或第三象限角的集合 D．第一或第四象限角的集合
(2)∵－1020°＝－360°×3＋60°，∴和－1020°终边相同的所有角 为 k·360°＋60°，k∈Z. 根据题意有：－720°≤k·360°＋60°<720°， 解之得－163≤k<161，∴k＝－2，－1,0,1. 从而所求的角为： －2×360°＋60°＝－660°，－1×360°＋60°＝－300°，0×360°＋60° ＝60°，1×360°＋60°＝420°.
1.1.1任意角赛课获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
注意下列四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
(3) k 3600与之间是“+”号， 如k 3600-30°，应看成 k 3600+(-30°)
(4)终边相似的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相似，终边相似的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范畴内，找出与下列各角终边 相似的角，并判断它是哪个象限的角.
例2终边在y轴正半轴上角的集合 ｛β︱β= 900 +k·360°,k∈Z｝
终边在y轴负半轴上角的集合 ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝ 或｛β︱β= -900+k·360°,k∈Z｝
变式训练 写出终边落在y轴上的角的集合。
• 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+k∙3600,k∈Z}
4.培养学生用运动变化的观点审 视事物;通过与数的类比,理解正 角、负角和零角,让学生感受图 形的对称美、运动美 教学重点: 1.任意角的概念，象限角的概念 2.掌握终边相似的角的表达办法 及鉴定
教学难点: 把终边相似的角用集合和符号语言 对的地表达出来
突破办法：
在平面内建立适宜的坐标系，通过数 形结合来认识角的几何表达和终边相 同的角集合
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小能够任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一种 给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角含有代数和几何双重意义.
2.终边相似的角有无数个，在0°～360°范畴 内与已知角β终边相似的角有且只有一种. 用 β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α 必须是正数），则α即为所找的角.
1.掌握终边相似的角的 表达办法及鉴定 2.注意： 00到900的角； 00～3600的角； 第一象限角；锐角； 不大于900的角的区别
高中数学 必修四 1.1.1任意角和弧度制
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°， 得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所 给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______， 将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定 是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举 出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针 旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.
1.1.1任意角
角．
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边
落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指
出它们是哪个象限的角？
(1)420º ，(2) －75º ，(3)3855º ，(4) －510º ． 答：(1)第一象限角； (2)第四象限角，
(3)第二象限角，
(4)第三象限角.
3. 写出与下列各角终边相同的角的集合， 并把集合中适合不等式－720º≤β <360º的 元素β 写出来。 （1）1303º18’ (2)-225º
3. 终边相同的角的关系
所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k·360º}(k∈Z).
练习题
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于90º 的角是锐角吗？区间 (0º )内的角是锐角吗？ ,90º 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º 的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º )内的角是锐 ,90º
定义1. 任意角
⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角 α． 始边，终边，顶点． ⑵“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫 做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做 负角。
定义2．“象限角”
角的顶点重合于坐标原点， 角的始边重合于x轴的正半轴， 这样一来，角的终边落在第几 象限，我们就说这个角是第几 象限的角（角的终边落在坐标 轴上，则此角不属于任何一β=α±90o
C β=k· o+90o+α,k∈Z 360
D β=k· o±90o+α, k∈Z 360
9. 若90º <β<α<135º ，则α－β的范围是 (0º ) ,45º (180º ,270º ) __________，α+β的范围是___________;
课件5：1.1.1 任意角
S={β| β=α+k·360º，k∈Z}，
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
⑷注意以下四点： ① k∈Z， k> 0，表示逆时针旋转； k< 0，表示顺时针旋转.
②是任意角. ③k·360º与之间是“+”号，如角k·360º－30º，1.1.1 任意角
1.角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形叫做角， 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的. 初中学过的角的范围是：0º至360º. 然而生活中有很多实例的角会不在该范围，例如： 体操运动员转体720º（即“转体2周”），跳水运动员 向内、向外转体1080º（即“转体3周”）. 这些例子中有的角不仅不在范围0º至360º内 ，而且方向 也各不相同.
例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 －360º~720º之间的角写出来. (1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.
解：(1)S={β| β=60º+k·360º，k∈Z}， S中在－360º～720º间的角包括： 0×360º+60º=60º； －1×360º+60º=－300º； 1×360º+60º=420º．
成(－30º)+k·360º. ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定 相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整 数倍.
例1 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角， 并判断它是哪个象限的角. (1)－120º；(2)640º.
解：⑴∵－120º=240º+（-1）×360º， ∴－120º的角与240º的角终边相同， ∴它是第三象限角． ⑵ ∵640º=280º+1×360º， ∴640º的角与280º的角终边相同， ∴它是第四象限角．
课件10：1.1.1 任意角
(3)角的分类：
ห้องสมุดไป่ตู้名称
定义
正角
按 逆时针 方向旋转形成的角
负角 按 顺时针 方向旋转形成的角
零角 一条射线 没有 作任何旋转形成的角
图示
点睛 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要 明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明 确射线未作任何旋转时的位置．
2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合， 角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的 终边 在 第几象限，就说这个角是第几 象限角 ；如果角的终边 在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
点睛：象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合， 角的始边与 x 轴的非负半轴重合．
3．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一 个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角 α 终 边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和．
点睛：对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即 k 为整数这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一．
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在 90°≤β<180°范围内的角 β 不一定是钝角
D．小于 90°的角是锐角
【解析】 终边与始边重合的角还可能是 360°， 720°，…，故 A 错；终边和始边都相同的两个角可能相 差 360°的整数倍，如 30°与－330°，故 B 错；由于在 90°≤β<180°范围内的角 β 包含 90°角，所以不一定是钝 角，C 正确；小于 90°的角可以 是 0°，也可以是负角，故 D 错误． 【答案】 C
类题通法 1．终边落在直线上的角的集合的步骤 (1)写出在 0°～360°范围内相应的角； (2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合； (3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
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任 意 角基础归纳：1、角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．2、终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．知识点一 角的概念思的推广1、 定义：由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.2、 区分形成角的两种不同的旋转方向，规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.3、 如何确定一个角呢？a 、有过程 ①方向：顺时针、逆时针 ②圈数 b 、有结果终点位置知识点二 象限角为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角思考1、锐角是第几象限角？思考2、第一象限角一定是锐角吗？思考3、第二象限的角一定比第一象限的角大吗？思考4、若 180°≤α≤360°，那么α一定在第三象限或第四象限吗？思考5、在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.例1、给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案： C知识点三 终边相同的角思考1、与－32°角终边相同的角有多少个？ 这些角与－32°角在数量上相差多少？k ²360°（k ∈Z ）思考2、所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S ，你能用描述法表示集合S 吗？S={β|β=﹣32°＋k·360°，k ∈Z}思考3、一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S 可以怎样表示？S={β|β=α＋k·360°，k ∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.注：① k ∈Z ；② 角相等，终边一定相同；但终边相同，角不一定相等，这样的角有无穷多个，它们相差360°的整数倍；③ α是任意角(正角，负角，零角)，但一般人们通常选用0°到360°之间的角，以便观察它是第几象限角．1、终边在第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？第一象限：S={α | k·360°<α<90°＋k·360 °，k ∈Z}；第二象限：S={α | 90°＋k·360°<α< 180°＋k·360°，k ∈Z}；第三象限：S={α | 180°＋k·360°<α< 270°＋k·360°，k ∈Z}；第四象限：S={α | －90°＋k·360°<α<k·360°，k ∈Z}.2、终边在x 轴正半轴、负半轴，y 轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？x 轴正半轴：α= k·360°，k ∈Z ；x 轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k ∈Z ；y 轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k ∈Z ；y 轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k ∈Z .3、终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别如何表示？终边在x 轴上：S={α|α=k·180°，k ∈Z}；终边在y 轴上：S={α|α=90°＋k·180°，k ∈Z}.4、区分几个容易混淆的角①锐角：{α| 0°＜α＜90°} ② 0°～90°：{α| 0°≤α< 90°}③小于90°的角：{α|α＜90°}④ 第一象限角：{α| k·360°＜α＜k·360°+90°，k ∈Z}例l 、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角： ①1110° ② -1234°③ 665° ④-540°48`解：①第一象限角②第三象限角③第四象限角④第二象限角例2、已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2³180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4³180°＋45°，k ∈Z ，判断两集合的关系．[解答] (1)β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)³45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)³45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合巩固练习：1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、－1120°角所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、把－1485°转化为α＋k ²360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ）A ．45°－4³360°B ．－45°－4³360°C ．－45°－5³360°D ．315°－5³360°4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ²180°<α<180°＋k ²180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ²180°<α<－180°＋k ²180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ²360°<α<－180°＋k ²360°，k ∈Z ｝5、下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα 6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C7.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④8.若α是第一象限的角，则-2α是( ) A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角9.下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等10.集合A={α｜α=k ²90°,k ∈N +}中各角的终边都在( )A.x 轴的正半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴或y 轴上D.x 轴的正半轴或y 轴的正半轴上11.α是一个任意角，则α与-α的终边是( )A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称12.集合X={x ｜x=(2n+1)²180°,n ∈Z}，与集合Y={y ｜y=(4k ±1)²180°,k ∈Z}之间的关系是( )A.X ØYB.X ÙYC.Ｘ=YD.X ≠Y13.设α、β满足-180°＜α＜β＜180°，则α-β的范围是( )A.-360°＜α-β＜0°B.-180°＜α-β＜180°C.-180°＜α-β＜0°D.-360°＜α-β＜360°14．设k ∈Z ，下列终边相同的角是 （ ）A ．（2k +1）²180°与（4k ±1）²180°B ．k ²90°与k ²180°+90°C ．k ²180°+30°与k ²360°±30°D ．k ²180°+60°与k ²60°15．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对16．设集合M ={α|α=5-2ππk ，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π}，则M ∩N 等于 （ ）A ．{－105ππ3,} B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,} D ．{07,031-1ππ } 17．若角α是第三象限角，则2α角的终边在 . 18．与－1050°终边相同的最小正角是 .答案:BDDDD BCDCC BCAAB C 17．第二或第四象限 18．30°任 意 角一、选择题：1．在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．与120°角终边相同的角是( )A ．－600°＋k ²360°，ｋ∈ＺB ．－120°＋k ²360°，ｋ∈ＺC ．120°＋(2k ＋1）²180°，ｋ∈ＺD ．660°＋k ²360°，ｋ∈Ｚ3．终边落在X 轴上的角的集合是（ ）Α.{ α|α=k ²360°,K ∈Z } B.{ α|α=(2k+1)²180°,K ∈Z }C.{ α|α=k ²180°,K ∈Z }D.{ α|α=k ²180°+90°,K ∈Z }4.若α是第四象限角，则180°－α一定是（ ）Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角5. 今天是星期一，100天后的那一天是（ ）Α. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期一6．若α是第二象限角，则3α一定不是（ ） Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角7．角α＝45°＋ｋ²180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 ( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限8．设o {90A =小于的角｝，{B =锐角｝，{C ＝第一象限的角｝，00{900}D =小于而不小于的角 ，那么有（ ）．A ．BC A B ．B A C C ．D (A C ) D ．C D =B二、填空题：9．与1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 ．10．钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度)．11．若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．12．若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系是__________________．13．第二象限角的集合可表示为 ．三、解答题：14．写出与370°23′终边相同角的集合S ，并把S 中在－720°～360°间的角写出来．15．写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)参考答案一、选择题：1．Ｃ 2．Ａ 3．Ｃ 4．Ｃ 5．Ｂ 6．Ｃ 7．Ａ 8．Ｄ二、填空题：9．40° 320° 10．－120°－1440° 11．{α|α=k ²360°+135°,k ∈z }12．α-β=(2k+1).180°,k ∈z,两者相关180°的奇数倍。