高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算新人教A版必修4
课件4：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
课堂检测 1．向量正交分解中，两基底的夹角等于( ) A．45° B．90° C．180° D．不确定 【答案】B
2．向量O→A＝(x，y)，(O 为原点)的终点 A 位于第二象限，则有( )
A．x>0，y>0
B．x>0，y<0
C．x<0，y>0
D．x<0，y<0
【解析】∵O→A＝(x，y)，∴A(x，y)．
_差____
数乘
实数与向量的积的坐标等 于用这个实数乘原来向量 的__相__应__坐__标____
λa＝_(_λ_x_1，__λ_y_1_) _
向量 坐标公式
一个向量的坐标
等于表示此向量 的有向线段的终 点的坐标减去起
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A→B＝_(x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_
3．向量与坐标的关系 设O→A＝xi＋yi，则向量O→A的坐标_(_x_，__y_) _就是终点 A 的坐标；反 过来，终点 A 的__坐__标___就是向量O→A的坐标(x，y)．因此，在平 面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一 表示．即以原点为起点的向量与实数对是___一__一__对__应_____的．
例 2.设向量 a、b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求 a＋b， a－b,3a,2a＋3b 的坐标． 解:a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)； a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)； 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)； 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(－2＋9,4－15) ＝(7，－11)．
高中数学第2章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算
解 (1)O→P＝tO→A＋O→B＝(3＋t,3＋2t)， ∴P 点坐标为(3＋t,3＋2t)， 若 P 在 x 轴上，则 3＋2t＝0 得 t＝－32， 若 P 在 y 轴上，则 3＋t＝0 得 t＝－3， 若 P 在第二象限，则33＋＋t2<t>0，0， 得 t 无解，
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解 (1)O→P＝O→A＋tO→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t，2＋3t)， 所以 P 点坐标为(1＋3t,2＋3t)．
若 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，得 t＝－23； 若 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，得 t＝－13； 若 P 在第二象限，则12＋＋33tt<>00，， 得－23<t<－13.
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(2)已知A→B＝(1,3)，且点 A(－2,5)，则点 B 的坐标为( )
A．(1,8)
B．(－1,8)
C．(3，－2) D．(－3,2)
解析 因为向量坐标等于终点坐标减去起点坐标，所以 B 点坐标为(－1,8)．
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(3)(教材改编 P100T2)若 a＝(2,1)，b＝(1,0)，则 3a＋2b
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∵A→P＝A→B＋λA→C， ∴xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ， ， ∴xy＝ ＝54＋ ＋57λλ，. (1)若 P 在一、三象限角平分线上，则 5＋5λ＝4＋7λ. ∴λ＝12.
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(2)若 P 在第三象限内，则54＋ ＋57λλ<<00， ， ∴λ<－1. ∴λ＝12时，点 P 在第一、三象限角平分线上；λ<－1 时， 点 P 在第三象限内．
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A版必修4 (2)
变式训练1
在平面直角坐标系中 ,|a|= 4,且 a 如图所示,则 a 的坐标为 ( A.(2√3,2) B.(2,- 2√3) C.(-2,2√3) D.(2√3,-2)
)
解析:设 a=(x,y),则 x=|a|cos y=-|a|sin 30°=-4× =-2. 故 a=(2√3,-2). 答案:D
做一做 2 已知������������=(2,-3),则点 A 的坐标为( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-3,2) D.(3,-2) 解析:������������的起点为原点 O,则������������的坐标与终点 A 的坐标相同. 答案:B
4.平面向量的坐标运算 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y 2),λ∈R,则有下表: 文字描述 两个向量和的坐标分别等于这两 加法 个向量相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于这两 减法 个向量相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这 数乘 个实数乘原来向量的相应坐标 一个向量的坐标等于表示此向量 向量坐 的有向线段的终点的坐标减去始 标公式 点的坐标 符号表示 a+b=(x1+x2,y 1+y2) a-b=(x1-x2,y 1-y2) λa=(λx1,λy1) 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ������������ =(x2-x1,y2-y 1)
2 1
√3 30°=4× =2√3, 2
探究二平面向量的坐标运算 【例 2】 (1)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求������������ , ������������ , ������������ + 1 ������������ , ������������ − ������������ ,2������������ + ������������ ; (2)已知 a=(1,2),b=(-3,4),求向量 a+b,a-b,3a-4b 的坐标. 分析:(1)先计算出������������ , ������������ 的坐标,再进行向量的线性运算; (2)直接利用向量的坐标运算.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
木块产生垂直于斜面的压力F2，G＝ F1＋F2 叫做把重力 G 分解.
由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 a , 均可以分解为不共线的两个向量 1e1和 2 e2 ，
使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
探究一：平面向量的坐标表示
rr (5)a =-4i
r rr (3)a =-i-3 j
r
r
r
答案：(1)a (2,3) (2)a (2, 3) (3)a (1, 3)
r
r
(4)a (0, 5) (5)a (4, 0)
rrrr 例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a，b，c，d，
并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
思考：如图,在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),
C(3,4),D(5,7).设 O A i, O B j, 填空：
y
（1）| i | ___1__,| j | ____1__,
7
D
| OC | ___5___;
（2）若用 i, j 来表示 OC,OD ，
则：O C
_3_ _i __4_ _j_ , O D
a b , a b ,a 的坐标吗？
rr r r
rr
提示: a + b = (x1i + y1 j) + (x2i + y2 j),
由向量线性运算的结合律和分配律可得
(x1i y1 j) (x 2 i y2 j) (x1 x 2 )i (y1 y2 ) j,
rr 即 a b (x1 x2, y1 y2)，
r rr a 2i 3 j r a (2,3)
课件6：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
题型 2 平面向量的坐标运算 例 2 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且 C→M＝ 3C→A，C→N＝2C→B，求 M，N 的坐标和M→N.
解：C→A＝(1,8)，C→B＝(6,3)， →CM＝3C→A＝(3,24)， C→N＝2C→B＝(12,6)． 设 M(x，y)，则C→M＝(x＋3，y＋4)， ∴xy＋＋34＝＝32，4， 解得xy＝＝02，0. ∴M(0,20)． 同理可得 N(9,2)．∴M→N＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
典例精析 题型 1 向量的坐标表示 例 1 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|O→A|＝ 4 3，∠xOA＝60°，求向量O→A的坐标．
解：设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3×12＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3·23＝6，即 A(2 3，6)． ∴O→A＝(2 3，6)．
B．x>0，y<0
C．x<0，y＞0
D．x<0，y<0
【答案】C 4．已知m＝(2,7)，n＝(x＋2,7)，若m＝n，则x＝ ________. 【答案】0
规律总结
1．向量的坐标表示 在直角坐标系中，点 A 的位置被点 A 的位置向量O→A
所唯一确定，向量O→A的坐标(x，y)也就是点 A 的坐标； 反之，点 A 的坐标就是点 A 相对于坐标原点的位置向量 O→A的坐标．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都 可以用一个有序实数对唯一表示．
归纳点评 本题是从纯向量运算的角度来思考的，通过点 P 对应向量坐标的讨论来考查 t 的可能取值，而对于是否构成 平行四边形则可从构成平行四边形的条件来进行思考．实际 上，如果换个角度，就会发现，点 A，P，B 三点共线，
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量
2.3.2 平面向量的坐标表示及运算2.3.3 平面向量的坐标运算更上一层楼基础•巩固1.若向量a=(3，2)，b=(0，-1)，则向量2b-a的坐标是( )A.(3，-4)B.(-3，4)C.(3，4)D.(-3，-4)思路分析:2b-a=2(0，-1)-(3，2)=(0，-2)-(3，2)=(-3，-4).答案:D2.设a=(-1，2)，b=(-1，1)，c=(3，-2)，用a、b作基底，可将向量c表示为c=p a+q b，则( )A.p=4，q=1B.p=1，q=-4C.p=0，q=4D.p=1，q=4思路分析:由(3，-2)=p(-1，2)+q(-1，1)=(-p-q，2p+q)，所以.解得p=1，q=-4.答案:B3.已知ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC、BD交于点O，则的坐标为( )A.(，5)B.(，5)C.(，-5)D.(，-5)思路分析:如图所示，=+=(-2，3)+(3，7)=(1，10).∴==(，5).∴=(-，-5).答案:C4.平面直角坐标系中，O为坐标原点.已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0思路分析:设C(x，y)，=(x，y)，由=α+β，∴=(x，y)=α(3，1)+β(-1，3)=(3α-β，α+3β).∴又∵α+β=1，β=1-α,代入①②得③+2×④整理得x+2y-5=0.这就是C点的轨迹方程.答案:D5.已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y 轴的正向上，则向量2+3+的坐标为_________.思路分析:根据题意建立坐标系如图.则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1).∴=(1，0)，=(0，1)，=(1，1).∴2+3+=(2，0)+(0，3)+(1，1)=(3，4).答案:(3，4)综合•应用6.若对n个向量a1，a2，…，a n，存在n个不全为零的实数k1，k2，…，k n，使得k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立，则称向量a1，a2，…，a n为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1，0)，a2=(1，-1)，a3=(2，2)“线性相关”的实数k1、k2、k3依次可以取_______.(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)思路分析:据题意，可知k1a1+k2a2+k3a3=0，即k1(1，0)+k2(1，-1)+k3(2，2)=(0，0).∴令k2=2，则k3=1，k1=-4.答案:-4，2，17.已知A(-1，2)，B(2，8)，=3，=-3，求点C、D和向量的坐标. 解：∵=(2，8)-(-1，2)=(3，6)，∴=3=(9，18).∴=+=(-1，2)+(9，18)=(8，20)，。
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示、平面向
．平面向量的正交分解及坐标表示．平面向量的坐标运算学习目标.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的正交分解思考如果向量与的夹角是°，则称向量与垂直，记作⊥.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知识点二平面向量的坐标表示思考如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是°，且＝，以向量，为基底，如何表示向量?答案＝＋.思考在平面直角坐标系内，给定点的坐标为()，则点位置确定了吗？给定向量的坐标为＝()，则向量的位置确定了吗？答案对于点，若给定坐标为()，则点位置确定．对于向量，给定的坐标为＝()，此时给出了的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此的位置不确定．思考设向量＝()，为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是多少？点坐标是多少？答案向量的坐标为＝()，点坐标为()．梳理()平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得＝＋.平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对(，)叫做向量的坐标，记作＝(，)．②在直角坐标平面中，＝()，＝()，＝()．()点的坐标与向量坐标的区别和联系思考 设，是分别与轴、轴同向的两个单位向量，若设＝(，)，＝(，)，则＝＋，＝＋，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ(λ∈)如何分别用基底，表示？ 答案 ＋＝(＋)＋(＋)， －＝(－)＋(－)，λ＝λ＋λ. 梳理 设＝(，)，＝(，)，段的终点的坐标减去始点的坐标．．相等向量的坐标相等．( √ )．在平面直角坐标系内，若(，)，(，)，则向量＝(－，－)．( × ) 提示 ＝(－，－)．．与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为：＝()，＝()．( √ )类型一 平面向量的坐标表示例 如图，在平面直角坐标系中，＝，＝，∠＝°，∠＝°，＝，＝.四边形为平行四边形．()求向量，的坐标；()求向量的坐标；()求点的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解()作⊥轴于点，则＝·°＝×＝，＝·°＝×＝.∴(，)，故＝(，)．∵∠＝°－°＝°，∠＝°，∴∠＝°.又∵＝＝，∴，∴＝＝，即＝.()＝－＝.()＝＋＝(，)＋＝.反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．跟踪训练在平面直角坐标系中，向量，，的方向如图所示，且＝，＝，＝，分别计算出它们的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解设＝(，)，＝(，)，＝(，)，则＝°＝×＝.＝°＝×＝，＝°＝×＝－，＝°＝×＝，＝(－°)＝×＝，＝(－°)＝×＝－.因此＝(，)，＝，＝(，－)．类型二平面向量的坐标运算例已知＝(－)，＝()，求：()＋；()－；()－.考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算解()＋＝(－)＋()＝(－)＋()＝()．()－＝(－)－()＝(－)－()＝(－，－)．()－＝(－)－()＝－＝.反思与感悟向量坐标运算的方法()若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．()若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．()向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练已知点()，()，向量＝(－，－)，则向量等于( )．(－，－) ．()．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析设(，)，则＝(，－)＝(－，－)，即＝－，＝－，故(－，－)，则＝(－，－)，故选.类型三平面向量坐标运算的应用例已知点()，()，()．若＝＋λ(λ∈)，试求λ为何值时：()点在第一、三象限的角平分线上；()点在第三象限内．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解设点的坐标为(，)，则＝(，)－()＝(－，－)，＋λ＝()－()＋λ[()－()]＝()＋λ()＝(＋λ，＋λ)．∵＝＋λ，且与不共线，∴则()若点在第一、三象限角平分线上，则＋λ＝＋λ，∴λ＝.()若点在第三象限内，则∴λ<－.反思与感悟()待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．()坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练已知平面上三点的坐标分别为(－)，(－)，()，求点的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－，－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－－)，且＝，得(－)，故点坐标为()或()或(－).．已知＝()，＝(，－)，则－等于( )．(－) ．(，－)．(－，－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析－＝()－(，－)＝＝(－)．．已知向量＝(，－)，＝(－，－)，则向量的坐标是( )．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析∵＝－＝(－)，∴＝.．已知四边形的三个顶点()，(－，－)，()，且＝，则顶点的坐标为( )．() ．()考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案解析设点坐标为(，)，则＝()，＝(，－)，由＝，得∴，∴.．已知向量＝(，－)，＝()，＝()，若＝＋，则＋＝.考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析由于＝＋，即()＝(，－)＋()＝(＋，－＋)，所以＋＝且－＋＝，解得＝，＝，所以＋＝.．已知点()，(－)，且＝，则点的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案()解析设(，)，则(－，－)＝(－)＝(－)，∴＝，＝.．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若(，)，(，)，则＝(－，－)．．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题．已知()，()，则的坐标是( )．(，－) ．(－) ．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析＝()－()＝(－)．．已知－＝()，＋＝(，－)，则等于( )．(－，－) ．()．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案．若向量＝()，＝(－)，＝()，则等于( )．－．＋．－＋．＋考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量答案解析设＝＋，则解得∴＝－.．已知两点()，(，－)，则与向量同向的单位向量是( )考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为与同向的单位向量为，＝(，－)－()＝(，－)，＝＝，所以＝.．如果将＝绕原点逆时针方向旋转°得到，则的坐标是( )．(－，)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为＝所在直线的倾斜角为°，绕原点逆时针方向旋转°得到所在直线的倾斜角为°，所以，两点关于轴对称，由此可知点坐标为，故的坐标是，故选.．已知(－)，(，－)，点是线段上的点，且＝－，则点的坐标为( )．(－) ．(，－)．() ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标．若α，β是一组基底，向量γ＝α＋β(，∈)，则称(，)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量在基底＝(，－)，＝()下的坐标为(－)，则在另一组基底＝(－)，＝()下的坐标为( ) ．() ．(，－)．(－) ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析∵在基底，下的坐标为(－)，∴＝－＋＝－(，－)＋()＝()．令＝＋＝(－＋，＋)，∴解得∴在基底，下的坐标为()．二、填空题．已知平面上三点(，－)，()，(－)，则－的坐标是．考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案(－)．已知(－)，(，－)，(－，－)，＝，＝，则的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案(，－)解析＝()＝()，＝()＝()，＝－＝()－()＝(，－)．.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则的值为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析以向量和的交点为原点建立平面直角坐标系，则＝(－)，＝()，＝(－，－)，根据＝λ＋μ得(－，－)＝λ(－)＋μ()，有－λ＋μ＝－，λ＋μ＝－，解得λ＝－且μ＝－，．已知()，()，且＝(α，β)，α，β∈，则α＋β＝. 考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案或－解析因为＝(－)＝＝(α，β)，所以α＝－且β＝，∵α，β∈，所以α＝－，β＝或－，所以α＋β＝或－.三、解答题．已知点(－)，()及＝，＝－，求点，和的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标解设点(，)，(，)，由题意可得＝(＋，－)，＝()，＝(－－－)，＝(－，－)．∵＝，＝－，∴(＋，－)＝()＝()，(－－－)＝－(－，－)＝()，则有和解得和∴，的坐标分别为()和(－)，∴＝(－，－)．．已知＝()，＝(－)，＝()，求＝＋＋，并用基底，表示. 考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量解＝＋＋＝()＋(－)＋()＝()＋(－)＋()＝()．设＝＋＝()＋(－)＝(－，＋)，与不共线，则有解得∴＝＋.四、探究与拓展．已知点(，－)与(－)，点在直线上，且＝，求点的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解设点坐标为(，)，＝.当在线段上时，＝.∴(－，＋)＝(－－－)，∴解得∴点坐标为.当在线段延长线时，＝－.∴(－，＋)＝－(－－－)，∴解得综上所述，点的坐标为或(－)．．已知点()，()，()，及＝＋.()为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？()四边形能为平行四边形吗？若能，求值；若不能，说明理由．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解()＝＋＝()＋()＝(＋＋)，若点在轴上，则＋＝，∴＝－.若点在轴上，则＋＝，∴＝－，若点在第二象限，则∴－<<－.()＝()，＝－＝(－－)．若四边形为平行四边形，则＝，∴该方程组无解．故四边形不能成为平行四边形．。
高中数学第二章平面向量2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算课件新人
AB
1.平面向量坐标的相关概念
【思考】 (1)正交分解与平面向量基本定理有何联系? 提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时). (2)向量的坐标就是其终点的坐标吗? 提示:不一定,以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量 不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向 量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同.
【拓展延伸】
线段定比分点坐标公式如图所示,若点P是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)
的点,且满足 | P 1 P |
|PP2 |
=λ,即 P 1 P
=λP P 2
,则点P的坐标为(x1＋x2， y1＋y2).
1＋ 1＋
【拓展训练】 证明上述命题的正确性.
【补偿训练】 已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,求P点分 A B 的比 λ的值.
3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4, 分别计算出它们的坐标.
【解题策略】 求向量坐标的方法
(1)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (2)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标 即得该向量的坐标.
【题组训练】 1.(2020·济宁高一检测)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 A P ＝ A B ＋ A C
(λ∈R),试求λ为何值时, (1)点P在一、三象限角平分线上. (2)点P在第三象限内.
2.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及 O P ＝ O A ＋ tA B .是否存在t值,使四边形OABP 为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解
2.3.3 平面向量的坐标运算1.若向量a≠0，且a的起点不是原点O，则( )A.使得=a的点A不是唯一的B.不存在点B，使得-=aC.使得=-a的点C是存在的，也是唯一的D.作出=a，A与a的坐标也不一定相同【解析】选C.当O为坐标原点时，若=a，A唯一确定，且A的坐标与a的坐标相同，所以A，D都不正确.因为-=a，则=-a，故B不正确.又=-a，=a，故C正确.2.设向量a=(m，n)，b=(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“⊕”为a⊕b=(ms，nt).若向量p=(1，2)，p⊕q=(-3，4)，则向量q等于( )A.(-3，2)B.(3，-2)C.(-3，-2)D.(3，2)【解析】选A.设向量q=(x，y)，p⊕q=(x，2y)=(-3，4)，所以x=-3，y=2，故向量q=(-3，2).3.若a+b=(1，3)，a-b=(3，5)，则a= ，b= .【解析】由解得答案：(2，4) (-1，-1)4.已知向量a的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且|a|=4，则a的坐标为.【解析】设a=(x，y)，则x=4c os30°=2，y=4s i n30°=2，故a=(2，2).答案：(2，2)5.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及=+t，求：(1)t为何值时，点P在x轴上？在y轴上？在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值？若不能，请说明理由.【解析】设P(x，y)，则由=+t得，(x，y)=(1，2)+t(3，3)=(3t+1，3t+2).(1)当3t+2=0，即t=-时，点P在x轴上；当3t+1=0，即t=-时，点P在y轴上；当即-<t<-时，点P在第二象限.(2)若四边形OABP能成为平行四边形，则=，即(3t+1，3t+2)=(3，3)，无解，故四边形OABP不能成为平行四边形.。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
a b x1 x2且y1 y2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例2 如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并 求它们的坐标． 解：由图可知
A2 A A1
a AA1 AA2 2i 3 j a ( 2,3)
同理， b 2i 3 j ( 2,3) c 2i 3 j ( 2,3)
课前 练习
例3
2.向量 P 1P 2 ( x2 x1 , y2 y1 ) ：
3.向量坐标下的运算： a b ( x1 x2 , y1 y2 ); a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a ( x1 , y1 )
1 3 x 2 4 y x 2 y 2
x
顶点D若M ( 3, 2), N ( 5, 1)且 MP MN , 2 求P点的坐标.
2. 若A(0, 1), B(1, 2), C ( 3, 4), 则 AB 2 BC .
3. 已知四点A(5, 1), B( 3, 4), C (1, 3), D(5, 3), 求证 : 四边形ABCD是梯形.
课堂总结
1.向量 OP 点 P （ x , y） OP x i y j ( x, y ) (平面向量的唯一分解 )
d 2i 3 j ( 2,3)
2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 1.已知a ( x1 , y1 )， b ( x2 , y2 )，求a+b，a-b． 解：a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =（ x1 + x2 )i+（ y1+ y2 )j 即 同理可得 a + b ( x1 x2 , y1 y2 ) a - b ( x1 x2 , y1 y2 )
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的正交分解思考 如果向量a 与b 的夹角是90°，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底． 梳理 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 知识点二 平面向量的坐标表示思考1 如图，向量i ，j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |＝4，以向量i ，j 为基底，如何表示向量a?答案 a ＝23i ＋2j .思考2 在平面直角坐标系内，给定点A 的坐标为A (1,1)，则A 点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为a ＝(1,1)，则向量a 的位置确定了吗？答案 对于A 点，若给定坐标为A (1,1)，则A 点位置确定．对于向量a ，给定a 的坐标为a ＝(1,1)，此时给出了a 的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置不确定．思考3 设向量BC →＝(1,1)，O 为坐标原点，若将向量BC →平移到OA →，则OA →的坐标是多少？A 点坐标是多少？答案 向量OA →的坐标为OA →＝(1,1)，A 点坐标为A (1,1)． 梳理 (1)平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )．②在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系知识点三 平面向量的坐标运算思考 设i ，j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i ，j 表示？答案 a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa ＝λx 1i ＋λy 1j .梳理 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．1．相等向量的坐标相等．( √ )2．在平面直角坐标系内，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．( × ) 提示 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．3．与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量分别为：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)．( √ )类型一 平面向量的坐标表示例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形． (1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．考点 平向向量的正交分解及坐标表示 题点 利用平面向量的正交分解求向量的坐标 解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin45°＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎪⎫22－32，22＋332.反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．考点 平向向量的正交分解及坐标表示 题点 利用平面向量的正交分解求向量的坐标 解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)， 则a 1＝|a |cos45°＝2×22＝ 2. a 2＝|a |sin45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，b 2＝|b |sin120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.因此a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，c ＝(23，－2)．类型二 平面向量的坐标运算例2 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23. 反思与感悟 向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练2 已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →等于( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4，－2)，则BC →＝(－7，－4)， 故选A.类型三 平面向量坐标运算的应用例3 已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试求λ为何值时： (1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第三象限内．考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 解 设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， AB →＋λAC →＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵AP →＝AB →＋λAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若点P 在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ， ∴λ＝12.(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用． (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练3 已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 解 当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )， 由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )， 且AB →＝DC →，得D (2,2)．当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )， 由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →， 得D (4,6)．当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )， 由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →， 得D (－6,0)，故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).1．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则12a －32b 等于( )A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．(－1，－2)D ．(1,2)考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A解析 12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32，12＋32＝(－1,2)． 2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C ．(－8,1)D ．(8,1)考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(－8,1)，∴12AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 A解析 设D 点坐标为(x ，y )，则BC →＝(4,3)， AD →＝(x ，y －2)，由BC →＝2AD →，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝y －，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72.4．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________. 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 答案 7解析 由于p ＝m a ＋n b ，即(9,4)＝(2m ，－3m )＋(n,2n )＝(2m ＋n ，－3m ＋2n )， 所以2m ＋n ＝9且－3m ＋2n ＝4， 解得m ＝2，n ＝5，所以m ＋n ＝7.5．已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12AB →，则点C 的坐标为________．考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 (0,2)解析 设C (x ，y )，则(x －2，y －1)＝12(－4,2)＝(－2,1)，∴x ＝0，y ＝2.1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题1．已知M (2,3)，N (3,1)，则NM →的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(1，－2)海阔天空专业文档考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 B解析 NM →＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( ) A ．3a －b B ．3a ＋b C ．－a ＋3bD ．a ＋3b考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 用坐标形式下的基底表示向量 答案 A解析 设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，∴c ＝3a －b .4．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 A解析 因为与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|，AB →＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，|AB →|＝32＋－2＝5，海阔天空专业文档所以AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.5．如果将OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →，则OB →的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎪⎫32，－12C ．(－1，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D解析 因为OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12所在直线的倾斜角为30°，绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →所在直线的倾斜角为150°，所以A ，B 两点关于y 轴对称，由此可知B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，故OB →的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，故选D.6．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN →＝－2PM →，则P 点的坐标为( ) A ．(－14,16) B ．(22，－11) C ．(6,1)D ．(2,4) 考点 平面向量坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 D7．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0，－2) C ．(－2,0)D ．(0,2) 考点 平面向量坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)． 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 二、填空题8．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________．考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 (－3,6)9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，则MN →的坐标为________． 考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 (9，－18)解析 CM →＝3(1,8)＝(3,24)， CN →＝2(6,3)＝(12,6)，MN →＝CN →－CM →＝(12,6)－(3,24)＝(9，－18)．10.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ的值为________．考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 答案 4解析 以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb 得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.11．已知A (2,3)，B (1,4)，且12AB →＝(sin α，cos β)，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求参数 答案π6或－π2解析 因为12AB →＝12(－1,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＝(sin α，cos β)，所以sin α＝－12且cos β＝12，∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝－π6，β＝π3或－π3，所以α＋β＝π6或－π2.三、解答题12．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →的坐标．考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)， ∴CD →＝(－2，－4)．13．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a ，b 表示p . 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 用坐标形式下的基底表示向量 解 p ＝2a ＋3b ＋c＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2) ＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．设p ＝x a ＋y b ＝x (2,1)＋y (－1,3)＝(2x －y ，x ＋3y )，a 与b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，x ＋3y ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝197，y ＝247.∴p ＝197a ＋247b .四、探究与拓展14．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 解 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|. 当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →. ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0.∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0.当P 在线段AB 延长线时，AP →＝－2PB →. ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8.综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0或(－5,8)． 15．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13，若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.(2)OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．海阔天空专业文档。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算教案新人教A
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算1.知识与技能(1)理解平面向量的坐标概念.(2)掌握平面向量的坐标运算.2.过程与方法通过对平面向量的正交分解方法的探究过程,培养学生的发现问题、解决问题的能力,通过对平面向量的坐标表示,培养学生数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对本节的学习和运用实践,培养学生的探索精神和应用意识,学会用数学的方式解决问题、认识世界.重点:平面向量的坐标运算.难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性.【例】已知向量u=(x,y)和v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及f(b)的坐标;(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标;(3)对于任意向量a,b及常数λ,μ,证明:f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.分析:按照v=f(u)进行向量的运算和证明.(1)解:由题意知,当a=(1,1)时,f(a)=(1,2×1-1)=(1,1).当b=(1,0)时,f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(2)解:设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(4,5),푦=4, 푥=3,则{2푦-푥=5,解得{푦=4,即c=(3,4).(3)证明:设任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则λa+μb=(λx1+μx2,λy1+μy2),所以f(λa+μb)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2)).又f(a)=(y1,2y1-x1),f(b)=(y2,2y2-x2),所以λf(a)+μf(b)=λ(y1,2y1-x1)+μ(y2,2y2-x2)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2))=f(λa+μb).所以f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.1变式训练已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设퐴퐵=a,퐵퐶=b,퐶퐴=c,且퐶푀=3c,퐶푁=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=m b+n c的实数m,n;(3)求M,N的坐标及푀푁的坐标.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵m b+n c=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),∴{-6푚+푛=5,-3푚+8푛=-5, 푚=-1,解得{푛=-1.(3)∵퐶푀=푂푀―푂퐶=3c,∴푂푀=3c+푂퐶=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).∴M(0,20).又퐶푁=푂푁―푂퐶=-2b,∴푂푁=-2b+푂퐶=(12,6)+(-3,-4)=(9,2).∴N(9,2).∴푀푁=(9,-18).2。
课件8：2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3平面向量的坐标运算
跟踪训练
2．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且C→M＝3C→A， C→N＝2C→B，求 M、N 的坐标和M→N的坐标．
解：因为 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以C→A＝(1,8)，C→B＝(6,3)． 设 M＝(x，y)，则C→M＝(x＋3，y＋4)．由C→M＝3C→A得(x＋3，y＋4)＝3(1,8)， 即xy＋＋34＝＝32，4， 解得xy＝＝02，0， 即 M(0,20)． 同理可得 N(9,2)，所以M→N＝(9，－18).
∴xy－＋34＝＝－4－2－2y，2x，
解得 x＝13， y＝0，
∴P 点的坐标为13，0.
【正确解答】由|A→P|＝2|P→B|知A→P＝2P→B或A→P＝－2P→B.设 P 点的坐标为(x，y)．
当A→P＝2P→B时，得(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴xy－＋34＝＝－4－2－2y，2x，
基础梳理
一、平面向量的坐标表示 1．向量的正交分解：把一个向量分解为两个 互相垂直单位向量 的向量， 叫做把向量正交分解． 2．向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝__xi_＋__y_j __， 则有序数对 (x，y) 叫做向量a的坐标，记作a＝ (x，y) ，其中x叫做a在x轴上的坐标， y叫做a在y轴上的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点 坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
(3)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
【特别提醒】(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、 终点的关系． (2)要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． (3)要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关， 只与其相对位置有关．
高中数学第二章平面向量2.3.2、3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算aa高一数学
∴D→F＝－F→D＝－12A→D＝－12－72，－4＝74，2.
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1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝
(D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
[目标] 1.能用坐标表示向量，知道平面向量基本定理中向量 与有序实数对的一一对应关系． 2.会两个向量的和差及实数与 向量积的坐标表示．
[重点] 平面向量的正交分解及坐标表示． [难点] 平面向量的坐运算．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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向量的坐标运算主要利用向量的加、减及数乘运算法则进 行，解题的关键是由已知的有向线段两个端点的坐标求出相应向 量的坐标.
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[变式训练 3] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)， C(4,3)，M，N，D 分别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
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[解] 方法 1(利用平行四边形对边对应的向量相等，即A→D＝ B→C)如图①，设顶点 D 的坐标为(x，y)，在▱ABCD 中，A→D＝B→C，
又A→D＝(x＋2，y－1)，B→C＝(4,1)， ∴(x＋2，y－1)＝(4,1)， 即xy＋ －21＝ ＝41， ， 解得xy＝＝22，， ∴顶点 D 的坐标为(2,2)．
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2017_2018学年高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量
2．3.2 &2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算平面向量的正交分解及坐标表示[提出问题]问题1：在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量对e1，e2的分解是唯一的吗？提示：唯一．问题2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量OA.根据平面向量基本定理，OA＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？提示：相同．问题3：如果向量OA也用(x，y)表示，那么这种向量OA与实数对(x，y)之间是否一一对应？提示：一一对应．[导入新知]1．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则(x，y)叫做a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．3．向量i，j，0的坐标表示i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．[化解疑难]辨析点的坐标与向量的坐标(1)当且仅当向量的起点在原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标．(2)书写不同，如：a＝(1,2)，A(1,2)．(3)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个．(4)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔Error!注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同.平面向量的坐标运算[提出问题]设a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.问题1：a，b的坐标分别是什么？提示：(x1，y1)，(x2，y2)．问题2：试求3a和2a－b.提示：3a＝3(x1i＋y1j)＝3x1i＋3y1j，2a－b＝(2x1－x2)i＋(2y1－y2)j.问题3：3a与2a－b的坐标分别是什么？提示：(3x1,3y1)，(2x1－x2,2y1－y2)．问题4：若把向量OA平移到BC，则OA和BC的坐标相同吗？BC的坐标是C点的坐标吗？提示：相同．BC的坐标不是C点坐标．[导入新知]平面向量的坐标运算文字符号两个向量和的坐标分别等于这若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，加法两个向量相应坐标的和则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)两个向量差的坐标分别等于这若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，减法两个向量相应坐标的差则a－b1－x2，y1－y2)实数与向量的积的坐标等于用若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝数乘向量这个实数乘原来向量的相应坐(λx，λy) 标一个向量的坐标等于表示此向已知向量AB的起点A(x1，y1)，重要结论量的有向线段的终点的坐标减终点B(x，y2)，则AB＝(x2－x1，2去始点的坐标y2－y1) [化解疑难]向量坐标的特点(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变.平面向量的坐标表示[例1]已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标．[解]由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得3 1 x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，2 23 1∴B( 2).，21 3 x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，2 21 3∴D( ，.－2)23 1 1 3( 2)，AD＝( 2).∴AB＝，－，2 2[类题通法]求点和向量坐标的常用方法(1)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．[活学活用]已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝4 3，∠xOA＝60°.(1)求向量OA的坐标；(2)若B( 3，－1)，求BA的坐标．答案：(1)OA＝(2 3，6)(2)BA＝( 3，7)平面向量的坐标运算(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．[解](1)(11,13)(－7，－14)- 3 -(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)；a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)；3a＝3(－1,2)＝(－3,6)；2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．[类题通法]平面向量的坐标运算技巧在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘向量相应坐标的积)．[活学活用]1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()1 3 1 3A．－a＋b B. a－b2 2 2 23 1 3 1C. a－b D．－a＋b2 2 2 2答案：B2．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC等于()A．(－2，－4) B．(3,4)C．(6,10) D．(－6，－10)答案：A由向量相等求坐标[例3](1)若a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且c＝pa＋qb，则p＝________，q＝________.(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM＝3CA，CN＝2CB，求M，N 及MN的坐标．[解](1)1 4(2)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得CA＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，CB＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，所以CM＝3CA＝3(1,8)＝(3,24)，CN＝2CB＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则CM＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20；CN＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2，所以M(0,20)，N(9,2)，MN＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．[类题通法]坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值．[活学活用]已知a＝AB，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．答案：A(8，－10)6.向量坐标运算的应用[典例](12分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP＝OA＋t AB，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不可能，请说明理由．[解题流程][规范解答] [名师批注]由向量坐标与点的坐标之间的关系可由题可知OA＝(1,2)，AB＝(3,3)，知，向量OP的坐标就是P点坐标．正确求OP＝(1,2) ＋t(3,3) ＝(1 ＋3t,2 ＋3t)．(2分)解OP的坐标是后续解题的关键．(1)若P在x轴上，2则有2＋3t＝0，t＝－；(3分)3点在x轴上，只需纵坐标为0即可．1若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；(43 点在y轴上，只需横坐标为0即可．点在第二象限，需横坐标小于0，纵坐分)标大于0.此处易搞混坐标符号而导致解题Error!2 1解得－<t<－.(6分)3 3错误．(2) PB＝PO＋OB＝(－1－3t，－2－3t)＋(4,5)＝(3－3t，3－3t)．(8分)假设四边形OABP是平行四边形，则OA 若四边形OABP是平行四边形，则有OA＝＝PB.由OA＝PB相等求t，依据t是否PB，(10分)有解判断假设是否成立即可．此处易出现找即Error!方程组显然无解．(11分)不到关于t的关系式而造成无法求解的情∴四边形OABP不可能是平行四边形．(12分)况.[活学活用]如图，已知平行四边形的三个顶点坐标分别为A(4,3)，B(3，－1)，C(1，－2)，求第四个顶点D的坐标．答案：点D的坐标是(2,2)或(6,4)或(0，－6)- 6 -―→―→1．(全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝() A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)答案：A2．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a＝()A．(－3,4) B．(5，－12)C．(1，－4) D．(－4,8)答案：A3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则AB＋2BC＝________.答案：(－4,9)4．已知a＝(3,4)，点A(1，－3)，若AB＝2a，则点B的坐标为________．答案：(7,5)5．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，则λ为何值时，(1)点P在第一、三象限角平分线上？(2)点P在第三象限内？1答案：(1)λ＝(2)λ<－12[课时达标检测]一、选择题11．已知向量OA＝(1，－2)，OB＝(－3,4)，则AB等于()2A．(－2,3)B．(2，－3)C．(2,3) D．(－2，－3)答案：A2．已知a＝(－5,6)，b＝(－3,2)，c＝(x，y)，若a－3b＋2c＝0，则c等于() A．(－2,6) B．(－4,0)C．(7,6) D．(－2,0)答案：D3．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则()A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝－2C．m＝4，n＝2 D．m＝－4，n＝－2答案：C14．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且AC＝2CB，则实数a等于()A．2 B．14 5C. D.5 3答案：A5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)答案：D二、填空题1 ππ6．已知A(2,3)，B(1,4)，且AB＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β2 (－，2 )2＝________.ππ答案：或－6 27．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为________．1 4答案：a＝e1＋e27 7π8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2 2，且∠AOC＝.4 设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ＝________.2答案：3三、解答题1 19．已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC＝AB，DA＝－BA，求点C，D和CD的坐3 3标．解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，3- 8 -1(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)．3则有Error!Error!解得Error!Error!∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此CD＝(－2，－4)．10．已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)．(1)λ为何值时，点P在正比例函数y＝x的图象上？(2)设点P在第三象限，求λ的取值范围．解：设P点坐标为(x1，y1)，则AP＝(x1－2，y1－3)．AB＋λAC＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)，即AB＋λAC＝(3＋5λ，1＋7λ)，由AP＝AB＋λAC，可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，则Error!解得Error!∴P点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．1(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝，21∴当λ＝时，P点在函数y＝x的图象上．2(2)因为点P在第三象限，∴Error!解得λ＜－1，∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．11．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．(1)证明：对任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q是常数)的向量c的坐标．解：(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，- 9 -f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，∴y＝p,2y－x＝q，∴x＝2p－q，即向量c＝(2p－q，p)．- 10 -。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
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2。
3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2。
3。
3 平面向量的坐标运算1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.（难点)2。
理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则。
（重点）3。
向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面向量的正交分解及坐标表示阅读教材P94～P95内容，完成下列问题.1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2。
平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。
对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝（x,y），其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,a＝（x,y)叫做向量的坐标表示.显然,i＝（1，0)，j＝（0,1），0＝(0,0).判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1)若OA→＝(2,－1），则点A的坐标为（2，－1）。
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐
第二章 2.3 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算A 级 基础巩固一、选择题1．已知MN →＝(2,3)，则点N 位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．不确定[解析] 因为点M 的位置不确定，则点N 的位置也不确定．2．设A (1,2)，B (4,3)，若向量a ＝(x ＋y ，x －y )与AB →相等，则( C ) A ．x ＝1，y ＝2 B ．x ＝1，y ＝1 C ．x ＝2，y ＝1D ．x ＝2，y ＝2[解析]AB →＝(3,1)与a ＝(x ＋y ，x －y )相等，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝1.∴x ＝2，y ＝1．3．向量OA →＝(2x ，x －1)，O 为坐标原点，则点A 在第四象限时，x 的取值X 围是( D ) A ．x >0 B ．x <1 C ．x <0或x >1D ．0<x <1[解析] 由A 点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x >0x －1<0，解得0<x <1．4．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( C ) A ．(4,0)，(－2,6) B ．(－2,6)，(4,0) C ．(2,0)，(－1,3)D ．(－1,3)，(2,0)[解析]2a ＝(a ＋b )＋(a －b )＝(4,0)，于是a ＝(2,0)，所以b ＝(－1,3)． 5．已知AB →＝a ，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( A )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫18，1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－3 [解析]a ＝AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－2，λa ＝12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，－1，故选A ． 6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(11,7)，若c ＝k a ＋l b ，则k 、l 的值为( D ) A ．－2,3 B ．－2，－3 C ．2，－3D ．2,3[解析] 利用相等向量的定义求解． ∵a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(11,7)， ∴(11,7)＝k (1,2)＋l (3,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝k ＋3l7＝2k ＋l，解得：k ＝2，l ＝3．二、填空题7．若O (0,0)、A (1,2)且OA ′→＝2OA →，则A ′的坐标为__(2,4)__．[解析]A ′(x ，y )，OA ′→＝(x ，y )，OA →＝(1,2)，∴(x ，y )＝2(1,2)＝(2,4)． 8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝__(－3，－5)__．[解析]∵BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．三、解答题9．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°． (1)求向量OA →的坐标．(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．[解析] (1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos60°＝23，y ＝43sin60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．10．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →．(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．[解析] (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0⇒t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0⇒t ＝－13；若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，解得－23<t <－13．(2)OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形，需OA →＝PB →，于是⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．B 级 素养提升一、选择题1．若向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b 满足( C ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限角的平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限角的平分线 [解析]∵a ＋b ＝(0，x 2＋1)， ∴向量a ＋b 满足平行于y 轴．2．已知i 、j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为原点，设OA →＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x ∈R )，则点A 位于( D )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]∵x 2＋x ＋1>0，－(x 2－x ＋1)<0，∴点A 位于第四象限，故选D ．3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( D )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)[解析] 由题意，得4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，则d ＝－4a －4b ＋2c －2(a －c )＝－6a －4b ＋4c ＝(－2，－6)．4．在△ABC 中，已知A (2,3)，B (6，－4)，G (4，－1)是中线AD 上一点，且|AG →|＝2|GD →|，那么点C 的坐标为( C )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)[解析] 由题意，知点G 是△ABC 的重心，设C (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2＋6＋x 3＝4，3－4＋y3＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.故C (4，－2)．二、填空题5．已知两点M (3，－2)，N (－5，－1)，点P 满足MP →＝12MN →，则点P 的坐标是 (－1，－32) ． [解析] 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， MN →＝(－8,1)．∵MP →＝12MN →，∴(x －3，y ＋2)＝12(－8,1)．即⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4y ＋2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－32，∴P (－1，－32)．6．设向量OA →绕点O 逆时针旋转π2得向量OB →，且2OA →＋OB →＝(7,9)，且向量OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，235．[解析] 设OA →＝(m ，n )，则OB →＝(－n ，m )，所以2OA →＋OB →＝(2m －n,2n ＋m )＝(7,9)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝7，m ＋2n ＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝235，n ＝115.因此，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，235．三、解答题7．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)及AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )． (1)λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？ (2)若点P 在第三象限内，求λ的取值X 围．(3)四边形ABCD 能成为平行四边形吗？若能，求出相应的λ的值；若不能，请说明理由．[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)，AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)． ∵AP →＝AB →＋λAC →，∴(x －2，y －3)＝(3,1)＋λ(5,7)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5λ＋5，y ＝7λ＋4，∴P (5λ＋5,7λ＋4)．(1)当点P 在第一、三象限的角平分线上时，由5λ＋5＝7λ＋4得λ＝12．(2)当点P 在第三象限时，由⎩⎪⎨⎪⎧5λ＋5<0，7λ＋4<0得λ<－1．(3)AB →＝(3,1)，PC →＝(2－5λ，6－7λ)． 若四边形ABCP 为平行四边形，需AB →＝PC →，于是⎩⎪⎨⎪⎧2－5λ＝3，6－7λ＝1.方程组无解，故四边形ABCP 不能成为平行四边形．8．已知点A (－1,2)，B (2,8)，及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 和CD →的坐标．[解析] 设点C 、D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)，即(x 1＋1，y 1－2)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝(1,2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴点C 、D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)． 因此CD →＝(－2，－4)．C 级 能力拔高已知向量u ＝(x ，y )与向量ν＝(y,2y －x )的对应关系用ν＝f (u )表示．(1)求证：对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标．[解析] (1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立．(2)f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)． (3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )． ∴y ＝p,2y －x ＝q .∴x ＝2p －q ． ∴向量c ＝(2p －q ，p )．。
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量．为了加以区分，在叙述中，常说来自(x，y)或向量(x，y)．4．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述 加法 减法 数乘 向量坐 标公式 符号表示 两个向量和的坐标分别等于这两个 和 向量相应坐标的______ 两个向量差的坐标分别等于这两个 差 向量相应坐标的______ 实数与向量的积的坐标等于用这个 相应坐标 实数乘原来向量的____________ 一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的 坐标
x1＝x2， a＝b⇔ y1＝y2.
注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却 可以不同．
2．区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2)． (2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可 以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x，y)在平 面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向
(x1__ ＋_ x__ y1__ ＋__ y2 ) a＋b＝____ __ ______ 2， ( x1 － x2_ ， y1 － y2__ ) ____ a－b＝____ __ __ __ __ __ (λx1， λy 1) ____ λa＝________ __ ____
→ 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB x2__ －__ x1 ， y__ 2－ 1) ____ ＝____( __ __y __ __
1→ 1．已知 A(－5，－1)，B(3，－2)，是－2AB的坐标为 A．(8,1) C．(－8,1) 1 B．(－4，2) D．(－8，－1)
( B )
[解析]
→ AB＝(3，－2)－(－5－1)＝(8，－1)，
1→ 1 ∴－2AB＝(－4，2)．
2．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是 A．a＝(－2,4)，b＝(0,3) B．a＝(2,3)，b＝(3,2) C．a＝(2，－1)，b＝(3,7)
新课标导学
数 学
必修④ ·人教A版
第二章
平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
1 2
自主预习学案
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，如 何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？
|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
[解析] 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)， 2 则 a1＝|a|cos45° ＝2× 2 ＝ 2， 2 a2＝|a|sin45° ＝2× 2 ＝ 2， 1 3 b1＝|b|cos120° ＝3×(－2)＝－2，
3 3 3 b2＝|b|sin120° ＝3× 2 ＝ 2 ， 3 c1＝|c|cos(－30° )＝4× 2 ＝2 3， 1 c2＝|c|sin(－30° )＝4×(－2)＝－2． 3 3 3 因此 a＝( 2， 2)，b＝(－2， 2 )，c＝(2 3，－2)．
→ → → → → [解析] 由于AD⊥AB，则BD＝AD－AB是正交分解．
4．已知a＝(1,3)，b＝(－2,1)，则b－a等于
A．(－3,2) C．(－3，－2) B．(3，－2) D．(－2，－3)
( C )
互动探究学案
命题方向1 ⇨利用正交分解求向量的坐标
典例 1
在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向如图所示，且|a|＝2，
『规律总结』
求向量坐标的三个步骤：
平移 ―→ 将向量的始点移至坐标原点 ↓ 找出以x轴正向为始边，向量所在 求角 ―→ 射线为终边的角θ ↓ 根据x＝rcosθ，y＝rsinθr为向量的 求坐标 ―→ 模求终点坐标，即为向量坐标
3．向量与坐标的关系 → → (x__ ，__ y) ____就是终点 A 的坐标； 设OA＝xi＋yi， 则向量OA的坐标______ 反过来， → 坐标 就是向量OA 终点 A 的________ 的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一 个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是 一一对应 的． ____________
( D )
D．a＝(4，－2)，b＝(－8,4)
[解析] 1 D 选项 a＝－2b 共线，不能作基底．
3．如图所示，在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，下列是正交分解的是 ( B )
→ → → A．AB＝OB－OA → → → C．AD＝AB＋BD
→ → → B．BD＝AD－AB → → → D．AB＝AC＋CB
1．平面向量的正交分解 垂直 的向量，叫做平面向量的正交分 把一个平面向量分解为两个互相 ________ 解．
2．平面向量的坐标表示 相同 的两个 (1) 基底：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向 ________ 单位 向量i，j作为________ 基底 ． ________ 有且只有一 对实数x、y，使得a＝xi (2)坐标：对于平面内的一个向量a，______________ (x ， y)____叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其 ＋yj，我们把有序实数对______ __ __ x __轴上的坐标，y叫做向量a在____ y __轴上的坐标． 中x叫做向量a在____ (3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示． (1,0) (0,1) ，0＝_________ (0,0) (4)特殊向量的坐标：i＝________ ，j＝________ ．
[知识点拨]点的坐标与向量的坐标的联系与区别 点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向 量仅由大小和方向决定，与位置无关． 1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身 的坐标． (2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则