江苏省盐城市2011届高三第一次调研考试数学

江苏省盐城市2010—2011学年度高三年级第一次调研考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合{}{}4,2,0,2,4,|13=--=-<<P Q x x ,则P Q = ▲ ． 2．若复数1234,12(z i z i i =+=+是虚数单位）,则12-z z = ▲ ． 3．命题:,sin 2x R x ∀∈<的否定是 ▲ ．4．某单位有职工100人,其中不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,50岁及以上的有30人．现在用分层抽样的方法抽取20人进行问卷调查,则35岁到49岁的应抽取 ▲ 人．5．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ▲ ．6．运行如图所示的程序框图,则输出的结果S= ▲ ．7．函数23cos(2)4π=--y x x 的最小正周期为 ▲ ． 8．观察下列几个三角恒等式: ①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=； ②tan5tan100tan100tan(15)+- tan(15)tan51+-=； ③tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++=．一般地,若tan ,tan ,tan αβγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲ ．9．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ,则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为 ▲ ．10．设,x y 满足约束条件1210,0≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩y x y x x y ,若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为35,则a b +的最小值为 ▲ ．11．已知平面,,αβγ,直线,l m 满足:,,,αγγαγβ⊥==⊥ m l l m ,那么①m β⊥；第6题②l α⊥；③βγ⊥；④αβ⊥．可由上述条件可推出的结论有 ▲ （请将你认为正确的结论的序号都填上）．12．在ABC ∆中,60ACB ∠=,sin :sin 8:5A B =,则以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为 ▲ ．13．已知{n a }是公差不为0的等差数列,{n b } 是等比数列,其中112242,1,,2a b a b a b====,且存在常数α、β ,使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立,则βα= ▲ ．14．已知函数2342011()12342011=+-+-+⋅⋅⋅+x x x x f x x ,2342011()12342011=-+-+-⋅⋅⋅-x x x x g x x ,设()(3)(3)=+⋅-F x f x g x ,且函数()F x 的零点均在区间[,](,,)<∈a b a b a b Z 内,则-b a 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内． 15．（本小题满分14分）如图,O 为坐标原点,点,,A B C 均在O 上,点A 34(,)55,点B 在第二象限,点C (1,0)．（Ⅰ）设COA θ∠=,求sin 2θ的值；（Ⅱ）若AOB ∆为等边三角形,求点B 的坐标． 16．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为11AC 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点．（Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B ．第15题ABCD17．（本小题满分16分）已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F ．M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A ,交M 于另一点B ,且2AO OB ==．（Ⅰ）求M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值；（Ⅲ）过l 上的动点Q 向M 作切线,切点为,S T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标．18．（本小题满分14分） 因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放(14≤≤a a ,且)∈a R 个单位的药剂,它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅,其中161(04)8()15(410)2⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩x xf x x x ．若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验,当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时,它才能起到有效治污的作用． （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? （Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a 个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a 的最小值（精确到0．1,参考数据1．4）．第17题19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足12,a =前n 项和为n S ,11()2()n n n pa n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数．（Ⅰ）若数列{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥,试求数列{}n b 前n 项和n T ； （Ⅱ）若数列{}n c 满足2n n c a =,试判断{}n c 是否为等比数列,并说明理由；（Ⅲ）当12p =时,问是否存在*n N ∈,使得212(10)1n n S c +-=,若存在,求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数2()|ln 1|f x x a x =+-,()||22ln 2,0g x x x a a =-+->． （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值； （Ⅱ）若3(),[1,)2f x a x ≥∈+∞恒成立,求a 的取值范围；（Ⅲ）对任意1[1,)x ∈+∞,总存在惟一的．．．2[2,)x ∈+∞,使得12()()f x g x =成立,求a 的取值范围．数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内． A ．（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点,⊥OC AB ,过点F 作⊙O 的切线FD 交AB的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ．求证：2DE DB DA =⋅．ADB ．（选修4—2：矩阵与变换）求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值．D ．（选修4—5：不等式选讲）已知0m a b >∈R ，，，求证：()22211a mb a mb mm++≤++．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内． 22．（本小题满分10分） 设,m n N ∈,()(12)(1)mnf x x x =+++．（Ⅰ）当m n ==2011时,记220110122011()f x a a x a x a x=+++⋅⋅⋅+，求0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-；（Ⅱ）若()f x 展开式中x 的系数是20，则当m 、n 变化时，试求2x 系数的最小值．23．（本小题满分10分）有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4n n=关时，需要抛掷n次骰子，点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第(1,2,3)当n次骰子面朝下的点数之和大于2n时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．（Ⅰ）求仅闯过第一关的概率；（Ⅱ）记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列和期望．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．{}0,2 2．22+i 3．,sin 2∃∈≥x R x 4．5 5．346．61 7．π8．90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++= 当时9．22(2)(2)10-+-=x y 10．8 11．②④ 12．71313．4 14．9二、解答题：本大题共6小题，计90分． 15．解：（Ⅰ）因为34cos ,sin 55θθ==,所以 24sin 22sin cos 25θθθ==………………………………6分（Ⅱ）因为A O B ∆为等边三角形,所以60AOC ∠=,所以c o s c o s (∠=∠+ B O C A O C310-=……………………………………………………………………10分同理, 4sin 10BOC +∠=,故点A 的坐标为………………………………14分 16．（Ⅰ）证明:因为E 、F 分别为11AC 、11B C 的中点,所以 11////EF A B AB ………………………4分而,EF ABD AB ABD ⊄⊂面面,所以直线EF ∥平面ABD ………………………………………7分（Ⅱ）因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥,而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1BB BC B = ,所以AB ⊥面11BCC B ………… 11分又AB ABD ⊂面,所以平面ABD ⊥平面11BCC B …………………………………………………14分17．解：（Ⅰ）因为1c o s 602122p OA =⋅=⨯= ,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x =……… 2分设M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅= ,所以M 的方程为 22(2)4x y -+=……………… 5分（Ⅱ）设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++……8分所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2 …………………………………10分（Ⅲ）以点Q 这圆心,QS 为半径作Q ,则线段ST 即为Q 与M 的公共弦………… 11分设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+…13分从而直线QS 的方程为320x ty --=（*）………………………………………………………………14分因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程（*）的解,所以直线QS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)3……………16分18．解：（Ⅰ）因为4a =,所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩…………………………………………………1分则当04x ≤≤时,由64448x-≥-,解得0x ≥,所以此时04x ≤≤…………………………………… 3分当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤………………………………………5分综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天…………… 6分（Ⅱ）当610x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---……………………………………………9分 =161014a x a x -+--=16(14)414a x a x-+---,因为14[4,8]x -∈,而14a ≤≤,所以[4,8]故当且仅当14x -=时,y有最小值为4a - ………………………12分令44a -≥,解得2424a -≤≤,所以a 的最小值为24 1.6-≈ ………………14分19．解：（Ⅰ）据题意得2214n n n b a a n +=+=-,所以{}n b 成等差数列,故 222n T n n =--……………4分（Ⅱ）当12p =时,数列{}n c 成等比数列； 当12p ≠时,数列{}n c 不为等比数列……………………5分理由如下:因为122212n n n c a pa n +++==+2(4)2n p a n n =--+42n pc pn n =--+,所以12(12)n n nc n p p c c +-=-+,故当12p =时,数列{}n c 是首项为1,公比为12-等比数列； 当12p ≠时,数列{}n c 不成等比数列 …………………………………………… 9分 （Ⅲ）当12p =时,121()2n n n a c -==-,121214()2n n n n a b a n -+=-=---…………………10分因为21112...n n S a b b b +=++++=2222n n --+（1n ≥） …………………………12分212(10)1n n S c +-= ，244164n n n ∴++=，设2()44416x f x x x =---(2)x ≥，则()()4ln 484x g x f x x '==--， 2()(ln 4)480x g x '∴=->(2)x ≥，且(2)(2)0g f '=>，()f x ∴在[2,)+∞递增，且(30f =），(1)0f ≠，∴仅存在惟一的3n =使得212(10)1n n S c +-=成立……………………16分20．解：（Ⅰ）当1a =,[1,]x e ∈时2()ln 1f x x x =-+,1()2(1)1f x x f x''=-≥=, 所以()f x 在[1,]e 递增,所以2max ()()f x f e e ==………………………………………………………4分（Ⅱ）①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xax x f +='2)(，0>a ，0)(>∴x f 恒成立, )(x f ∴在),[+∞e 上增函数,故当e x =时，2min )(e e f y ==…………………………………………5分②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(a x a x x x a x x f -+=-='， （i ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数,故当1=x 时，a y +=1min ，且此时 )()1(e f f <2=e ………………………………………………………7分（ii ）当e a <<21,即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e a x ∈ 时为正数,所以)(xf 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a 上为增函数,故当2ax =时，2ln 223min a a a y -=，且此时)()2(e f af <2=e ……………………………………………………8分（iii ）当e a≥2,即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1,e]上为减函数，故当e x =时， 2min )(e e f y ==…………………………………………………………9分综上所述，函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min 2,22,2ln 22320,1e a e e a aa a a a y ……………………………10分所以当312a a +≥时,得02a <≤; 当33ln 2222a a a a -≥（222a e <<）时,无解；当232e a ≥（22a e ≥）时,得a ≤不成立． 综上,所求a 的取值范围是02a <≤…………………………………………11分（Ⅲ）①当02a <≤时,()g x 在[2,)+∞单调递增,由(2622ln 21g a a =--≤+）, 得52ln 2233a -≤≤……………………………………………………12分 ②当122a <≤时，()g x 在[2,)+∞先减后增,由3(2222ln 2ln 222=--<-）a a ag a ,得ln 22ln 20222a a a+--<, 设()ln 22ln 2()2ah t t t t t =+--=,()2ln 0(12)h t t t '=+><<,所以()h t 单调递增且(2)0h =，所以()0h t <恒成立得24a <<……………………………………14分③当222a e <<时,()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2a a 递减，在[,)a +∞递增,所以由()2a g 3ln 222a a a<-,得23ln 22ln 204222a a a a-++-<,设2()3ln 22ln 2m t t t t t =-++-,则2()22ln 0((2,)m t t t t e '=-+>∈,所以()m t 递增，且(2)0m =, 所以()0m t >恒成立，无解．④当22a e >时，()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2a a 递减，在[,)a +∞递增,所以由()2a g e <得2222ln 204a e -+-<无解． 综上,所求a 的取值范围是52[ln 2,4)33a ∈-………………………16分 数学附加题部分21．A ．证明：连结OF ,因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°,所以∠OFC +∠CFD =90°． 因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ,又因为CO ⊥AB 于O ， 所以∠OCF +∠CEO =90°……………………………………………………5分 所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ,因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·D A ． 所以DE 2=DB ·DA …………………………………………………………10分 B ．解：特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--………………………………3分由()0f λ=，解得121,3λλ==……6分 将11λ=代入特征方程组，得0,0--=⎧⎨--=⎩x y x y0⇒+=x y ,可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量…………………8分同理,当23λ=时,由0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩,所以可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………………………………10分C．解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为22sin ρρθ= ……………………………………………2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===,所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3y x =--………………………………………6分令0y =,得2x =,即M 点的坐标为（2,0）．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为（1,0）， 半径1r =，则MC 分所以1MN MC r +=≤……………………………………10分D ．因为0m >，所以10m +>，所以要证()22211a mb a mb mm++≤++，即证222()(1)()a mb m a mb +≤++，即证22(2)0m a ab b -+≥，即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()222a mb a mb ++≤…10分 22．解：（Ⅰ）令1x =-，得0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-=20112011(12)(11)1-+-=-………………………4分（Ⅱ）因为112220m n C C m n +=+=，所以202n m =-,则2x 的系数为2222m nC C +2(1)(1)1422(202)(192)222m m n n m m m m --=⨯+=-+--=2441190m m -+ ……………7分所以当5,10m n ==时，()f x 展开式中2x 的系数最小，最小值为85…………………………10分23．解：（Ⅰ）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A,则339()41664P A =⋅= ……………………4分 （Ⅱ）由题意得, ξ的取值有0,1,2,3,且1(0)4p ξ==,9(1)64p ξ==,(2)p ξ==3135641664⋅⋅273512=,(3)p ξ==313841664⋅⋅39512=,即随机变量ξ的概率分布列为:ξ0 1 2 3p14 964 273512 39512……………………………8分所以,19273397350123464512512512E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (10)。