变式训练在教学中的作用

浅谈变式训练在数学教学中的作用
潍坊峡山第二中学张坤
培养学生的创新能力，是新时期教学的最终目标，可如何实现这个目标，每个老师有自己的理解和方法，本人认为，通过变式教学，可以达到这一目标。

在传统教学机制下，学生要想获得好的成绩，必须既快又准确的解题，为达到这个目的，很多教师会采用让学生做大量习题，以达到熟练巩固的程度，这样造成学生的负担很重。

随着“减负”的实施，素质教育目标的提出，有效地培养学生的创新能力，让学生从大量的习题中解放出来，已是大势所趋，但同时又不能降低教学质量，本人在变式教学方面做出了一些尝试。

变式教学是对数学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法。

变式教学使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲。

在教学过程中，根据学生的特点，教师通过创设合理的、有挑战性的变式训练，激发学生的学习兴趣。

通过变式训练，教师对学生的思维发展提供一个支架，而这个支架恰好是学生思维发展的一个阶梯，有利于学生构建合理、完整的新知识。

对于每一个变式，通过在师生、学生之间的相互讨论，促进课堂的民主、和谐，真正体现“教师为主导，学生为主体”的思想。

变式教学有利于发展学生的创新能力。

《高中数学新课程标准》要求培养学生的探索精神，发展学生的创新意识。

创新是素质教育的核心，培养学生的创新精神、创新意识、创新思维和创新能力是实施素质教育的关键。

在教学中，变式练习时传统练习和创新的中介，教师通过变式，可以培养学生的探索精神和创新精神。

教师通过改变问题的情景、改变问题的条件、结论或者图形的关系，让学生探索，以激发学生的创新思维，培养他们的创新能力。

通过对一个问题多角度的求解，多方向的思维，已获得多种答案，培养学生的发散思维的能力，这种发散思维，就是创新的基础。

下面本人结合数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。

一、在数学概念的形成过程中，利用变式启发学生积极参与观察、分析、归纳，培养学生正确概括的思维能力。

从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。

在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。

如在讲函数的定义域时，一个函数的定义域是自变量的取值范围。

实际上学生对自变量和变量，难以辨析，此时可以做如下变形：
变式1：若函数()f x 的定义域是[]1,1-，求(2)x
f 的定义域； 变式2：若函数(2)x
f 的定义域是[]1,1-，求()f x 的定义域； 变式3：若函数(2)x f 的定义域是[]1,1-，求2(lo
g )x f 的定义域。

通过以上的变式，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此教师在以后的练习中也明确类似知识点的考查方向，防止教师盲目出题，学生盲目练习，在有限的时间内使得效益最大化。

二、在理解公式、定理及其性质的过程中，利用变式使学生深刻认知定理和公式中概念间的多种联系，从而培养学生多向变通的思维能力。

数学思维的发展，还赖于掌握、应用定理和公式，去进行推理、论证和演算。

由于定理和公式的实质，也是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，所以掌握定理和公式的关
键在于明确理解定理和公式中概念的联系，对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活应用定理和公式的根源，它是缺乏多向变通思维能力的结果。

因此在定理和公式的教学中，也可利用变式，展现相关定理和公式之间的联系以及定理、公式成立依附的条件，培养学生辨析与定理和公式有关的判断，运用。

如在研究三棱锥(即四面体)顶点的射影与底面三角形“各心”的关系时就可设置以下问题：
① 当三棱锥是正三棱锥时；
② 当三条侧棱的长均相等时；
③ 当侧棱与底面所成的角都相等时；
④ 当各个侧面与底面所成的二面角相等，且顶点射影在底面三角形内时； ⑤ 当顶点与底面三边距离相等时；
⑥ 当三条侧棱两两垂直时；
⑦ 当三条侧棱分别与所对侧面垂直时；
教师通过不断变换命题的条件，引深拓广，产生一个个既类似又有区别的问题，使学生产生浓厚的兴趣，在挑战中寻找乐趣，培养了思维的深刻性，同时也进一步巩固了对于线线、线面垂直关系，尤其是三垂线定理的掌握。

防止学生形式地、机械地背诵、套用公式和定理，提高学生变通思考问题和灵活应用概念、公式以及定理的能力。

三、在解题教学中，利用变式来改变题目的条件或结论，揭示条件、目标间的联系，解题思路中的方法之间的联系与规律，从而培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力。

（一）多题一解，适当变式，.培养学生求同存异的思维能力。

许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。

如：题1：已知，,a b R +∈且1a b +=，求1
1(1)(1)a b
++的取值范围。

题2：已知，,a b R +
∈且231a b +=，求11
(1)(1)a b
++的取值范围。

题3：已知，,a b R +∈且234a b +=，求11(1)(1)a b ++的取值范围。

这些题目都是对均值定理的应用，教师要把这类题目成组展现给学生，让学生在比较中感悟它们的共性。

（二）一题多解，触类旁通，培养学生发散思维能力，培养学生思维的灵活性。

一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。

在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。

这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。

这方面的例子很多，通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。

如有这么一个选择题，已知向量(2,0),(2,2)OB OC ==，(2)CA αα=， 则OB 与OA 夹角的范围是（ ）
A 、5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B 、0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C 、5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D 、5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
这个题学生一般想到利用OA OC CA =+，先求出OA ，然后用两向量夹角的余弦公式求解，这样运算不仅费时费力的加大了运量，而且还求不出正确的结果。

再者说对于一个选择题也不应该投大量的时间。

那么这个题如果采用另外一种方法就会简单的多了。

那
就是利用(2,2)OA OC CA αα=+=++，可以判断出点A 的轨迹是以
(2,2)为半径的圆。

然后利用数形结合的方法有图形就可以很简单的求出夹角的范围了。

这个题从不同的角度进行多向思维，把各个知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。

（三）一题多变，总结规律，培养学生思维的探索性和深刻性。

通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。

从而使一个题目延伸出一类题目，达到举一反三、触类旁通的目的。

伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。

故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能。

譬如书本上有这样一道题，已知空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，
,G H 分别是,CB CD 上的点，::2:3CH CB CG CD ==，
求证：四边形EFGH 是梯形。

这道题目的目的是加强对公理4的理解和应用，对这个题目可从改变条件，探索新的结论和改变图形的角度进行很多变化。

变式1：条件不变，该求证HE 与GF 交于一点。

学生在上题中已经证得EFGH 是梯形，对结论的深化应该不是难事，关键是教师在教学过程中，要引导学生在不改变条件的情况下，要对结论进行探索，要培养学生的深层次探索意识和主动研究的精神。

变式2：改已知条件为E 、F 、G 、H 分别是AB 、AD 、CB 、CD 的中点，（1）则四边形EFGH 的形状。

（平行四边形）(2)且AC=BD ，则四边形EFGH 的形状。

（菱形）（3）且AC BD ⊥，则四边形EFGH 的形状。

（矩形）（4）且AC=BD ，AC BD ⊥则四边形EFGH 的形状。

（正方形）（5）且AB=BC ，AD=DC ，则四边形EFGH 的形状。

（矩形）
变式3：改已知条件,E H 分别为AB ，BC 的中点，:3AF FD =，过H 、E 、F 做一平面交CD 于G ，①:CG CD ②求证：EF 与GH 交于一点。

通过改变条件得到不同结论的变式，可以大大激发学生的兴趣，提高他们的求知欲望，变式2的一组题目跟初中平面几何的题目有类似性，可以促进学生从平面到空间的迁移变式3有例题及前两个变式的基础，教师为学生的巩固掌握打好了支架，学生要理解就比较容易了。

变式4：设图形G 、H 分别是CB 、CD 反向延长线上的点，其余条件不变，求证：EFGH 是梯形。

变式5；当图形G 、H 分别是CB 、CD 反向延长线上的点时，（1）四边形图形EFGH 是平行四边形，求:CG CB 。

（2）在①的基础上满足什么条件时，再补充条件使四边形EFGH
是矩形。

变式4、变式5改变了图形中G 、H 的位置，但线段的一些基本关系没变，学生已有前面变式的经验，还是比较容易掌握。

但变式5中②是一个开放性题目，对所补充条件，每个学生考虑的角度不同会得出不同的答案，如,EH BD 或AB=AD 且BC=DC ，对于学生的探索，推理过程只要存在着一定得合理成分，教师都应该予以肯定，并作出适当的点评，让学生对自己的探索充满信心。

总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。

特别是，变式训练能培养培养学生敢于思考，敢于联想，敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新精神。

当然，课堂教学中的变式题最好以教材为源，以学生为本，体现出“源于课本，高于课本”，并能在日常教学中渗透到学生的学习中去。

让学生也学会“变题”，使学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素质。