最新衡水中学自用精品资料——两条直线的平行与垂直备考策略
河北二十冶综合学校高考数学总复习两条直线平行与垂直的判定教案
河北二十冶综合学校高考数学总复习两条直线平行与垂直的判定教案教案：直线的平行与垂直判定一、教学目标：1.理解两条直线平行与垂直的定义；2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法；3.运用所学知识解决与两条直线平行与垂直相关的问题。
二、教学重点：1.两条直线平行的判定；2.两条直线垂直的判定。
三、教学难点：1.两条直线平行与垂直判定方法的灵活运用；2.解决实际问题时如何确定两条直线的关系。
四、教学准备：1.教师提前编写好教案和课件；2.学生提前准备好书本、作业本和写字工具。
五、教学过程：Step 1：导入新知识（10分钟）1.教师出示两条平行的直线，引导学生观察并思考，通过实例讲解两条直线的平行定义。
2.教师提问：“什么是两条直线平行？”引导学生回答。
Step 2：两条直线平行的判定（25分钟）1.教师介绍两条直线平行的判定方法（以直线上的两个点为例）。
2.教师出示相关例题，引导学生运用判定方法进行解题。
3.学生个人或小组进行练习，教师巡回辅导。
Step 3：两条直线垂直的判定（15分钟）1.教师出示两条垂直的直线，引导学生观察并思考，通过实例讲解两条直线的垂直定义。
2.教师提问：“什么是两条直线垂直？”引导学生回答。
Step 4：两条直线垂直的判定（25分钟）1.教师介绍两条直线垂直的判定方法（以直线上的两个点为例）。
2.教师出示相关例题，引导学生运用判定方法进行解题。
3.学生个人或小组进行练习，教师巡回辅导。
Step 5：综合运用（15分钟）1.教师出示一道综合题，要求学生判断两条直线的关系，并解答问题。
2.学生独立思考、解答，并相互讨论答案，教师进行必要的引导和澄清。
Step 6：反思总结（10分钟）1.教师带领学生回顾两条直线平行与垂直的判定方法，确认掌握情况。
2.教师与学生共同总结学习收获和不足之处。
3.教师布置相应的练习作业，以巩固所学内容。
六、板书设计：两条直线平行的判定方法两条直线垂直的判定方法七、教学反思：本节课通过引导学生观察、思考和解题练习，使学生理解和掌握了两条直线平行与垂直的定义和判定方法。
2024年新高二数学讲义两条直线平行与垂直的判定(思维导图+2知识点+6考点+过关检测)(解析版)
2024年新高二数学提升精品讲义两条直线平行与垂直的判定（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直；3．运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.知识点1两条直线平行1、直线平行的判定类型斜率存在斜率不存在条件1290︒=≠αα1290︒==αα对应关系1212//＝⇔l l k k 12//⇔l l 两条直线斜率都不存在图示2、对直线平行判定的理解（1）2121//k k l l =⇔成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②21l l 与不重合．（2）1212k k l l =⇒//或21l l 与重合．（3）1212l l k k ⇒=//或两条直线的斜率都不存在．（4）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行．知识点2两条直线垂直1、直线垂直的判定对应关系1l 与2l 的斜率都存在，分别为12,k k ，则12121⊥⇔⋅=-l l k k 1l 与2l 中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则1l 与2l 的位置关系是12⊥l l图示2、对直线垂直判定的理解（1）12121-=⋅⇔⊥k k l l 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；（2）当两条直线的斜率都存在，且121k k ⋅=-时，两条直线垂直；（30，则两条直线也垂直．考点一：两条直线平行的判定例1．（23-24高二上·全国·课后作业）过点()1,2A 和点()1,2B -的直线与直线3y =的位置关系是（）A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对【答案】B【解析】过点()1,2A 和点()1,2B -的直线方程为2y =，斜率为0，又因为直线3y =斜率为0，所以两直线平行.故选：B【变式1-1】（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线1l 、2l 与x 轴正半轴方向所成的角的正切值分别为1k 、2k ，则“12l l //”是“12k k =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题意可知：12,k k 已经存在，若1l ∥2l ，则12k k =，即充分性成立；若12k k =，则12,l l 可能重合，即必要性均不成立；综上所述：“12l l //”是“12k k =”的充分不必要条件.故选：A ．【变式1-2】（23-24高二上·山西临汾·月考）下列各对直线互相平行的是（）A ．直线1l 经过点()0,1A ，()10B ,，直线2l 经过点()1,3M -，()2,0N B ．直线1l 经过点()1,2--A ，()1,2B ，直线2l 经过点()2,1M --，()0,2N -C ．直线1l 经过点()1,2A ，()1,3B ，直线2l 经过点()1,1C -，()1,4D D ．直线1l 经过点()3,2A ，()3,1B -，直线2l 经过点()1,1M -，()3,2N 【答案】A【解析】对于A ，因为1201301,11012l l k k --==-==----，所以12//l l ；对于B ，因为()12122212,11202l l k k -----====-----，所以直线12,l l 不平行；对于C ，由直线1l 经过点()1,2A ，()1,3B ，直线2l 经过点()1,1C -，()1,4D ，得直线12,l l 的斜率都不存在，且两直线重合；对于D ，因为直线1l 经过点()3,2A ，()3,1B -，所以直线直线1l 的斜率不存在，而2123132l k --==-，所以直线12,l l 不平行.故选：A.【变式1-3】（23-24高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线1l 与直线2l 是否平行．(1)1l 经过点()2,3A ，()4,0B -，2l 经过点()3,1M -，()2,2N -；(2)1l 的斜率为12-，2l 经过点()4,2A ，()2,3B ；(3)1l 平行于y 轴，2l 经过点()0,2P -，()0,5Q ；(4)1l 经过点()0,1E ，()2,1F --，2l 经过点()3,4G ，()2,3H ．【答案】(1)不平行；(2)平行或重合；(3)平行；(4)重合【解析】（1）301242AB k -==+，21123MN k -==-+，AB MN k k ≠，所以1l 与2l 不平行．（2）1l 的斜率112k =-，2l 的斜率2231422k -==--，12k k =，所以l 1与l 2平行或重合．（3）由题意，知1l 的斜率不存在，且不与y 轴重合，2l 的斜率也不存在，且与y 轴重合，所以12l l //.（4）由题意，知11120EF k --==--，43132GH k -==-,EF GH k k =，所以1l 与2l 平行或重合．需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，23114FG k --==--.所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以1l 与2l 重合．考点二：两条直线平行关系的应用例2.（23-24高二上·贵州黔西·月考）已知直线1l 过()1,4A -，()2,0B ，且12//l l ，则直线2l 的斜率为（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【解析】由题意直线1l 的斜率为1404123k -==---，又因为12//l l ，所以直线2l 的斜率为2143k k ==-.故选：C.【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知经过点(3,),(5,)A n B m 的直线1l 与经过点()()2,0,0,(0)P m Q n mn -≠的直线2l 平行，则mn的值为（）A ．－1B ．－2C ．－1或2D ．－2或1【答案】C【解析】由题意得122,2l l m n n k k m-==，因为12//l l ，所以12l l k k =，即22m n nm-=，化简得2220m mn n --=，所以m n =-或2m n =，又由0mn ≠得mn＝－1或2，故选:C .【变式2-2】（22-23高二上·福建漳州·期中）过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，则m =（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】A【解析】过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，所以1m ≠-，因此过()(),3,1,A m B m -两点的直线的斜率为31m m---，因为过()(),3,1,A m B m -两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45 ，所以有3tan 45111m m m-==⇒=-- ，故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点()2,0与点()2,4-重合，点()2023,2024与点(),a b 重合，则a b +=（）A ．4046B ．4047C ．4048D ．4049【答案】B【解析】设()2,0A ，()2,4B -，则点A ，B 所在直线的斜率为40122AB k -==---，由题意知，过点()2023,2024，(),a b 的直线与直线AB 平行，所以202412023b a -=--，整理得：202320244047a b +=+=.故选：B考点三：两条直线垂直的判定例3.（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且12,k k 是方程210x x +-=的两根，则1l 与2l 的位置关系为（）A ．平行B ．相交且垂直C ．重合D ．相交且不垂直【答案】B【解析】由题意121k k =-，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．故选：B ．【变式3-1】（23-24高二上·河北邯郸·月考）（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中12l l ⊥的是（）A ．1l 的倾斜角为45 ，2l 的斜率为1B ．1l 的斜率为2l经过点()2,0A ，(B C ．1l 经过点()2,1P ，()4,5Q --，2l 经过点()1,2M -，()1,0N D ．1l 的方向向量为()1,m ，2l 的方向向量为11,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】对A ，1tan 451l k =︒=，21l k =，121l l k k ⋅≠-，所以A 不正确；对B ，2l k ==，121l l k k ⋅=-，故B 正确；对C ，151142l k --==--，220111l k -==---，121l l k k ⋅=-，故C 正确；对D ，因为()1,m 11,110m ⎛⎫⋅-=-= ⎝，所以两直线的方向向量互相垂直，故12l l ⊥，故D 正确.故选：BCD【变式3-2】（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)1l 经过点(3,4),(1,3),A B --2l 经过点(4,3),(3,1)M N --；(2)1l 经过点(3,4),(3,10),A B 2l 经过点(10,40),(10,40)M N -．【答案】(1)不垂直，理由见解析；(2)垂直，理由见解析【解析】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别设为12,k k ，()()1347134k --==--，()()2134347k --==--，121k k ∴⋅=，∴1l 与2l 不垂直．（2）由题意知1l 的倾斜角为90°，则1l x ⊥轴；由题知直线2l 的斜率存在，设为3k ，34040010(10)k -==--，则2l x ∥轴，∴12l l ⊥．【变式3-3】（23-24高二上·全国·课堂例题）判断直线1l 与2l 是否垂直．(1)1l 的斜率为10-，2l 经过点()10,2A ，()20,3B ；(2)1l 经过点()3,4A ，()3,10B ，2l 经过点()10,40M -，()10,40N ；(3)1l 经过点()1,2A -，()5,1B -，2l 经过点()1,0C ，()4,6D ．【答案】(1)12l l ⊥；(2)12l l ⊥；(3)12l l ⊥【解析】（1）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则110k =-，2321201010k -==-，因为121k k =-，所以12l l ⊥．（2）由点A ，B 的横坐标相等，得1l 的倾斜角为90︒，则1l x ⊥，设直线2l 的斜率为2k ，则()2404001010k -==--，所以2l x ∥轴．故12l l ⊥．（3）方法一：直线1l 的斜率()1121512k --==---，直线2l 的斜率260241k -==-，因为121k k =-，所以12l l ⊥；方法二：直线1l 的方向向量()6,3AB =- ，直线2l 的方向向量()3,6CD =，因为0AB CD ⋅= ，所以AB CD ⊥，所以12l l ⊥．考点四：两条直线垂直关系的应用例4.（23-24高二上·河南郑州·月考）已知1l 的倾斜角为45°，2l 经过点()()2,1,3,P Q m --．若12l l ⊥，则实数m 为（）A ．6B ．－6C ．5D ．－5【答案】B【解析】因为1tan 451l k =︒=，()()211325l m m k --+==--，且12l l ⊥，所以121115l l m k k +⋅=⨯=-，解得6m =-，故选：B.【变式4-1】（23-24高二上·江西宜春·期中）已知点(3,2),(24,4),(,),(3,32)A m B m C m m D m -----+，若直线AB CD ⊥，则m 的值为（）A ．1或1-B ．3-或1-C ．1-或3D ．3或3-【答案】A【解析】∵A ，B 两点纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行.∵AB CD ⊥，则CD 与x 轴不垂直，∴3m -≠，即3m ≠-.当AB 与x 轴垂直时，324m m --=--，解得1m =-，此时，点C ，D 的纵坐标均为1-，则//CD x 轴，此时AB CD ⊥，满足题意；当AB 与x 轴不垂直时，42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+，∵AB CD ⊥，∴1AB CD k k =-，即()()212113m m m +⨯=--++，解得1m =.综上，m 的值为1或1-，故选：A .【变式4-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D【解析】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.【变式4-3】（23-24高二上·广东茂名·期中）已知点()0,2A -，()6,0B ，()0,C a ，且点C 在线段AB 的垂直平分线上，则=a （）A ．2B ．2C ．8D ．8-【答案】C【解析】由点()0,2A -，()6,0B ，可得线段AB 的中点()3,1D -，所以得：线段AB 的斜率为021603AB k +==-，所以得：线段AB 垂直平分线的斜率为1303a k +=-=-，解之得：8a =.故选：C.考点五：直线平行、垂直的综合应用例5.（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知点()()()()4,2,6,4,12,6,2,12P Q R S --，则下列结论正确的是（）A ．//PQ SRB ．PQ PS⊥C ．//PS QRD ．PR QS⊥【答案】ABCD【解析】由斜率公式知423645PQ k --==-+，12632125SR k -==--，122532435PS k -==≠-+，PQ SR k k =，且,,,P Q R S 四点不共线，则//PQ SR ，A 选项正确；35153PQ PS k k =⨯⋅-=-，PQ PS ⊥，B 选项正确；6(4)51263QR PS k k --===-，//PS QR ，C 选项正确；124426QS k +==--，6211244PR k -==+，1414QS PR k k ⋅=-⨯=-，PR QS ⊥，D 选项正确．故选：ABCD ．【变式5-1】（22-23高二上·河北石家庄·月考）（多选）直线12,l l 的斜率12,k k 是关于k 的方程2240k k m -+=）A ．若12l l ⊥，则2m =-B ．若12l l ⊥，则=2mC ．若12//l l 则2m =-D ．若12//l l ，则=2m 【答案】AD【解析】直线1l ，2l 的斜率1k ，2k 是关于k 的方程2240k k m -+=的两根，∴122m k k ⋅=，若12l l ⊥，则1212mk k ==-，得2m =-；若12//l l ，则12k k =，∴1680m ∆=-=，得=2m ，故选：AD【变式5-2】（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线1l 经过()(),1,4,3A m B m ---+，直线2l 经过点()()1,2,4,2C D m --+.(1)若1l //2l ，求m 的值；(2)若12l l ⊥，求m 的值.【答案】(1)1或6；(2)3或4-【解析】（1）由题可知直线2l 的斜率存在且()222143m mk -+==--+，若则直线1l 的斜率也存在，由()2113244m mk k m m --+-+===-+-+，得243m m m -+=--+，即2760m m -+=解得1m =或6，经检验，当1m =或6时，12//l l ；（2）若12l l ⊥，当20k =时，此时10,m l =斜率12142k -==-存在，不符合题意，当20k ≠时，直线2l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的斜率也存在，且121k k ×=-，即2134m mm -+-⋅=--+，即2120m m +-=，解得3m =或4-，所以当3m =或4-时，12l l ⊥.【变式5-3】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线1l 经过()(),3,1,A m B m 两点，2l 经过()()2,1,4,2P Q 两点．(1)若12//l l ，求m 的值；(2)若12,l l 的倾斜角互余，求m 的值．【答案】(1)73m =；(2)53m =【解析】（1）211422PQ k -==-，因为12//l l ，所以3112AB PQ m k k m -===-，得73m =，经检验，符合题意，所以73m =；（2）因为12,l l 的倾斜角互余，设1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为π2α-，所以3121AB PQ m k m k -===-，得53m =．考点六：几何图形的特征的应用例6.（23-24高二上·江苏盐城·期中）以()()()5,1,1,1,2,3A B C -为顶点的三角形是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形【答案】D【解析】直线AB 的斜率1(1)1152AB k --==--，直线BC 的斜率31221BC k -==-，由1AB BC k k ⋅=-，所以AB BC ⊥，故ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形．故选：D【变式6-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）已知(5,1)A -，(1,1)B ，(2,3)C 三点，试判断ABC 的形状.【答案】直角三角形.【解析】如图所示，边AB 所在直线的斜率111512--==--AB k ，边BC 所在直线的斜率13212BC k -==-.由1AB BC k k ⋅=-，得AB BC ⊥，即90ABC ∠=︒，所以ABC 是直角三角形.【变式6-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为()0,0O ，()1,3A ，()3,2B -，()4,1C --．试判断四边形OABC 的形状，并说明理由.【答案】平行四边形，理由见解析【解析】如下图示：OA 边所在直线的斜率3OA k =，AB 边所在直线的斜率14AB k =，BC 边所在直线的斜率3BC k =，CO 边所在直线的斜率14CO k =．由BC CO k k ≠知：点O 不在BC 上，则OA 与BC 不重合，又OA BC k k =，得//OA BC ．同理，由AB CO k k =且AB 与CO 不重合，得//AB CO ．因此四边形OABC 是平行四边形．【变式6-3】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为()()()()0,0,1,,12,2,2,2O P t Q t t R t -+-，其中0t >.试判断四边形OPQR 是否为矩形.【答案】四边形OPQR 为矩形，理由见解析.【解析】由斜率公式得010OP t k t -==-，()()222121RQ t t t t k t ----+-===-20120OR k t t -==---,2211122PQ t t t k t t-==-=--所以OP RQ k k =，OR PQ k k =，从而OP ∥RQ ，OR ∥PQ .所以四边形OPQR 为平行四边形.又1OP OR k k ⋅=-,所以OP OR ⊥，故四边形OPQR 为矩形.一、单选题1．（23-24高二上·湖南张家界·月考）已知直线1l 过()2,3A ，()0,4B ，且12l l ⊥，则直线2l 的斜率为（）A ．2B ．12-C ．2-D ．12【答案】A【解析】由题设1431022l AB k k -===--，又12l l ⊥，则直线2l 的斜率为2.故选：A 2．（23-24高二上·河南焦作·月考）已知过(2,)A m -和(,4)B m 的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是（）A ．－8B ．0C ．2D ．10【答案】A【解析】由题意可知，422AB mk m -==-+，解得8m =-．故选：A 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l 经过点()2,1A a --和()2,1B a --，且与斜率为23-的直线垂直，则实数a 的值是（）A ．23-B ．32C ．23±D ．32±【答案】A【解析】由题意得，直线l 的斜率必存在，且1112(2)AB k a a a=－－＝－－－－－()0a ≠.因为直线l 与斜率为23-的直线垂直所以2113a ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭－，解得23a =-.故选：A .4．（22-23高二下·甘肃兰州·开学考试）已知经过点()2,0A -和点()1,3B a 的直线1l 与经过点()0,1P -和点(),2Q a a -的直线2l a 的值为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．1-或1【答案】C【解析】直线1l 的斜率()13012a k a -==--．①当0a ≠时，直线2l 的斜率()221120a ak a a----==-．因为12l l ⊥，所以121k k =-，即121aa a-⋅=-，解得1a =．②当0a =时，()0,1P -、()0,0Q ，此时直线2l 为y 轴，又()2,0A -、()10B ,，则直线1l 为x 轴，显然12l l ⊥．综上可知，0a =或1.故选：C.5．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知点()1,1A 和()2,4B ，点P 在y 轴上，且APB ∠为直角，则点P 坐标为（）A ．()0,2B ．()0,2或()0,3C ．()0,2或()0,4D ．()0,3【答案】B【解析】由题意，设点()0,P y ，APB ∠ 为直角，AP BP ∴⊥，由141,12AP BP y y k y k --==-=，()4112AP BP y k k y -⎛⎫∴⋅=-=- ⎪⎝⎭，解得3y =或2，所以点P 的坐标为()0,2或()0,3故选：B6．（23-24高二上·全国·课后作业）以(2,1),(4,2),(2,6),(3,1)A B C D ---为顶点的四边形是（）A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．梯形，但不是直角梯形D ．直角梯形【答案】D 【解析】在坐标系中画出ABCD 点，大致如上图，其中11622,2,,//3224AD BC AD BC k k k k AD BC +-==-==-∴=-+-，211,1,422AB AB BC k k k AB BC +===-⊥+ ，AD BC AD ====≠，所以四边形ABCD 是直角梯形；故选：D.二、多选题7．（23-24高二上·青海西宁·月考）下列各组直线中1l 与2l 一定平行的是（）A ．1l 经过点()()2,1,3,5AB -，2l 经过点()()3,3,8,7CD --B ．1l 经过点()()0,1,2,1EF --，2l 经过点()()3,4,2,3GH C ．1l 的倾斜角为60 ，2l 经过点(2,M N --D ．1l 平行于y 轴，2l 经过点()()0,2,0,5P Q -【答案】AD【解析】对于A ．由题意知12514734,325835k k --+==-==----，所以直线1l 与直线2l 平行或重合，又5(3)443335BC k --==-≠---，故12//l l ，A 选项正确；对于B ．由题意知1211341,12023k k ---====---，所以直线1l 与直线2l 平行或重合，4(1)13(2)FG k --==--，故直线1l 与直线2l 重合，B 选项错误；对于C ．由题意知12tan 60k k = ，12k k =，所以直线1l 与直线2l 可能平行可能重合，C 选项错误；对于D ．由题意知1l 的斜率不存在，且不是y 轴，2l 的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以12//l l ，D 选项确．故选：AD8．（23-24高二上·全国·单元测试）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考月考）以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形，下列结论正确的有（）A ．23AB k =-B ．14BC k =-C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【解析】对于A ，因为(1,1),(2,1)A B --，所以1(1)2123AB k --==---，所以A 正确，对于B ，因为(2,1),(1,4)B C -，所以1415214BC k --==-≠--，所以B 错误，对于C ，因为23AB k =-，143112AC k -==--，所以22133AB AC k k ⋅=-⨯=-，所以AB AC ⊥，所以ABC 以A 点为直角顶点的直角三角形，所以C 正确，对于D ，因为23AB k =-，5BC k =-，所以1AB BC k k ⋅≠-，所以D 错误，故选：AC三、填空题9．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）若经过点(),3m 和()2,m 的直线l 与斜率为-4的直线互相平行，则m 的值是．【答案】53/213【解析】由题意32l mk m -=-，又因为直线l 与斜率为-4的直线互相平行，所以342m m -=--，解得53m =.10．（23-24高二上·全国·课后作业）已知(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为．【答案】(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.【解析】由题，(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，所以73231AC k -==-，131512AB k -==--，71335BC k -==--，设D 的坐标为(),x y （1x ≠且5x ≠且3x ≠），分以下三种情况：①当BC 为对角线时，有CD AB k k =，BD AC k k =，所以，125BD y k x -==-，71=32CD y x k -=--，解得75x y =⎧⎨=⎩，即(7,5)D ；②当AC 为对角线时，有CD AB k k =，AD BC k k =，所以331AD y k x -==--，71=32CD y x k -=--，解得19x y =-⎧⎨=⎩，即(1,9)D -；③当AB 为对角线时，有BD AC k k =，AD BC k k =所以132351BD AD y y k k x x --====---，，解得33x y =⎧⎨=-⎩，即(3,3)D -；所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.11．（22-23高二上·北京丰台·月考）在平面直角坐标系中，直线1l 经过()()1,,4,5M m N -两点，2l 经过()6,0,(1,3)R S --两点，若12l l ⊥，则m =；若12l l ∥，则m =．【答案】0345-【解析】由已知()2303165l k -==---，当12l l ⊥时，所以155413l m k --==--，解得0m =，当12l l ∥时，153415l m k --==-，解得345m =-，经验证：当345m =-时，12,l l 不重合.四、解答题12．（23-24高二上·四川·期中）已知()4,0A ，()1,2B ，(),C m m ，()7,1D -.(1)若直线AB 与CD 平行，求m 的值；(2)若ABC 为直角三角形，求m 的值.【答案】(1)115；(2)1-或12【解析】（1）依题意可得AB CD k k =，即201147m m---=--，解得115m =.又202143AB k -==--，101743AD k --==--，所以AB AD k k ≠，所以A 、B 、C 、D 四点不共线，所以115m =.（2）若A 为直角，则1AB AC k k =-，即2001144m m --⨯=---，解得12m =.若B 为直角，则1AB BC k k =-，即2021141m m --⨯=---，解得1m =-.若C 为直角，则1AC BC k k =-，即02141m m m m --⨯=---，解得m =综上，m 的值为1-或1213．（22-23高二上·广东广州·期中）已知四边形MNPQ 的顶点(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)M N P Q -.(1)求斜率MN k 与斜率PQ k ；(2)求证：四边形MNPQ 为矩形.【答案】(1)1,1MN PQ k k =-=-；(2)证明见解析【解析】（1）因为(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)M N P Q -，所以1,111203124MN PQ k k ---=-==--=-，即1,1MN PQ k k =-=-.（2）因为1,1MN PQ k k =-=-，所以//MN PQ .又因为01,12112134MQ NP k k -=--=--==，所以//MQ NP ，所以四边形MNPQ 为平行四边形，又因为1MN MQ k k ⋅=-，所以MN MQ ⊥，所以四边形MNPQ 为矩形.。
高中数学衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题九 破解两条直线的位置关系问题
专题九破解两条直线位置关系问题【方法综述】平面解析几何中两条直线有相交和平行两种位置关系,其中垂直是相交特殊情况.而平面解析几何中距离问题、对称问题,往往涉及平行、垂直（相交）,因此成为考试命题热点.下面举例说明．1.根据直线平行、垂直求参数值问题给出两直线方程(方程系数中含有参数),利用直线平行或垂直条件求解参数取值． 例1. 已知直线()12:210,:20l ax a y l ax y +++=-+=.若12//l l ,则实数a 值是（） A. 0或3- B. 2或1- C. 0 D.3-解：12//l l ,则()()12a a a ⨯-=+即230a a +=03a a ∴==-或经检验都符合题意故选A.例2.已知直线l 倾斜角为23π,直线l 1经过P(−2,√3),Q(m,0)两点,且直线l 与l 1垂直,则实数m 值为（ ）A. -2B. -3C. -4D. -5 解：∵k l · k l 1=−√3 · √3−0−2−m =−1,∴m =−5,故选D ．点评：如何用直线方程系数来反映两直线位置关系是解题切入点．利用此法只需把直线方程化为一般式即可． 2.有关直线相交问题有关直线相交问题一般有两类：(1)有关直线交点问题,主要是通过解两直线方程组成方程组,得到交点坐标,解决这种问题关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交问题,只要用两直线方程一次项系数关系判断两直线不平行,即可判断相交．例3.若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0交点在第四象限,求实数m 取值范围． 分析：可通过解两直线方程组成方程组求得两直线交点坐标．由于交点在第四象限,所以交点横坐标大于0,纵坐标小于0,进而可求出m 取值范围．解：根据题意,由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，可得这两条直线交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋37，m －27.衡水独家秘籍之2019高中期末复习因为交点在第四象限,所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋37>0，m －27<0.解得－32<m <2.所以实数m 取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2.点评： 本题考查直线交点求法,又由于交点在第四象限,因此又考查了解不等式能力． 3.有关距离问题在平面直角坐标系中,与直线有关距离问题主要有两类：(1)点到直线距离；(2)两平行线间距离．这两类距离可由相应距离公式求得：其中点P (x 0,y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程化为一般式方程；(2)使x ,y 系数分别对应相等)． 例4.求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0,l 2：4x ＋6y －1＝0距离．分析：用上述平行线距离公式时,首先需要把两直线方程中x ,y 系数化为分别对应相等,然后用公式可求出距离．解：把l 1：2x ＋3y －8＝0变形为l 1：4x ＋6y －16＝0. 利用公式,可得l 1与l 2距离为d ＝|(－16)－(－1)|42＋62＝151326. 4.对称问题中学数学涉及对称问题有两大类：一类是中心对称,另一类是轴对称．常见对称问题有以下四种类型． （1）点关于点对称点P (a ,b )关于点M (x 0,y 0)对称点为P ′(2x 0－a,2y 0－b )．事实上点关于点对称本质是中点问题,由中点坐标公式即可求得对称点坐标． （2）直线关于点对称直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0关于点M (x 0,y 0)对称直线l ′方程是A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0. 事实上,设对称直线l ′上任一点为P (x ,y ),则P 关于点M (x 0,y 0)对称点为P (2x 0－x,2y 0－y ),而点P 在直线l 上,故将P 坐标(2x 0－x,2y 0－y )代入Ax ＋By ＋C ＝0得A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.（3）点关于直线对称求点P (a ,b )关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点P ′(a ′,b ′),要抓住其两个几何特征：①PP ′⊥l ；②PP ′中点在l 上,即由方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ′－b a ′－a ·(－AB)＝－1，A ·a ＋a ′2＋B ·b ＋b ′2＋C ＝0，解出a ′,b ′.但较特殊对称情况可直接写出结果： ①P (a ,b )关于x 轴对称点P ′(a ,－b )； ②P (a ,b )关于y 轴对称点P ′(－a ,b )；③P (a ,b )关于直线x ＝x 0对称点P ′(2x 0－a ,b )； ④P (a ,b )关于直线y ＝y 0对称点P ′(a,2y 0－b )；⑤P (a ,b )关于直线x ＋y ＋c ＝0对称点P ′(－b －c ,－a －c )； ⑥P (a ,b )关于直线x －y ＋c ＝0对称点P ′(b －c ,a ＋c )． （4）直线关于直线对称求直线l 1关于直线l 对称直线l 2方程可以按以下方法求解：①在l 1上任取相异两点P 1,P 2,求出P 1,P 2关于直线l 对称点P 1′,P 2′,再由P 1′,P 2′坐标写出直线l 2方程．②任取l 2上一点P (x ,y ),用x ,y 表示出点P 关于直线l 对称点P ′坐标(x ′,y ′),再将(x ′,y ′)代入直线l 1方程整理可得l 2方程． 特别地,若l 1∥l ,l 2还有其他求法(请自己思考)．例5.求直线3x －4y ＋5＝0关于点M (2,－3)对称直线方程．解：方法一 由对称直线l 与3x －4y ＋5＝0平行,故设直线方程为3x －4y ＋m ＝0,而M 到两直线距离相等,则|3×2－4×(－3)＋m |32＋42＝|3×2－4×(－3)＋5|32＋42, 解得m ＝－41,m ＝5(舍去)． 所以直线l 方程为3x －4y －41＝0.方法二 由方程3x －4y ＋5＝0,取该直线上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0,它们关于点M (2,－3)对称点为A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－294,B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫173，－6.过A ′,B ′直线即为l ：3x －4y －41＝0. 方法三 设所求直线l 上任意一点为P (x ,y ),则P 关于点(2,－3)对称点为P ′(4－x ,－6－y ),将P ′坐标代入3x －4y ＋5＝0,得3(4－x )－4(－6－y )＋5＝0,即3x －4y －41＝0,这就是所求直线l 方程．点评： 通过三种解法比较,这类问题采用方法三解法更简捷．例6.已知直线l 1：2x ＋y －4＝0,求l 1关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称直线l 2方程．解：方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0得l 1与l 交点P (3,－2)．又取l 1上一点A (2,0),设A 关于直线l 对称点为B (x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－2＝43，3·2＋x 02＋4·0＋y2－1＝0，解得B (45,－85)．显然P (3,－2)、B (45,－85)都在l 2上,由此可得l 2方程为2x ＋11y ＋16＝0.方法二 设直线l 2上任一动点为M (x ,y ),它关于直线l 对称点为M ′(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝43，3·x 0＋x 2＋4·y 0＋y 2－1＝0，解得x 0＝7x －24y ＋625,y 0＝－24x －7y ＋825.由M ′(x 0,y 0)在直线l 1上,故2·7x －24y ＋625＋－24x －7y ＋825－4＝0,化简为2x ＋11y ＋16＝0,这就是直线l 2方程．点评：本题也可在直线l 1上任取两点,求出它们关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称点,从而得出l 2方程．例7.已知△ABC 顶点A (3,－1),∠B ,∠C 角平分线方程分别是x ＝0,y ＝x ,求BC 边所在直线方程．解：如图,设点A 关于直线BO ,CD 对称点分别为A 1,A 2.因为A (3,－1),且∠B 平分线方程为x ＝0,故点A 关 于直线BO 对称点A 1坐标为(－3,－1)．又因为∠C 平分线CD 方程为y ＝x ,所以点A 关于直线CD 对称点A 2坐标为(－1,3)． 而A 1(－3,－1),A 2(－1,3)两点都在直线BC 上, 由此可得直线BC 方程为2x －y ＋5＝0.点评：本题解答抓住了角平分线性质——对称性(AB ,CB 两直线关于直线BO 对称,AC ,BC 两直线关于直线CD 对称)求解．【针对训练】1．已知m ≠0,若直线mx +2y +m =0与直线3mx +(m −1)y +7=0平行,则m 值为（ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9 【答案】B 【解析】直线斜率显然存在,因此由题意有3mm =m−12≠7m ,解得m =7．故选B ．2．在直线3x −4y −27=0上到点P (2,1)距离最近点坐标是（ ） A ． (5,−3) B ． (9,0) C ． (−3,5) D ． (−5,3) 【答案】A 【解析】根据题意可知：所求点即为过P 点垂直于已知直线直线与已知直线交点, 因为已知直线3x ﹣4y ﹣27=0斜率为34,所以过P 点垂直于已知直线斜率为−43,又P （2,1）,则该直线方程为：y ﹣1=−43（x ﹣2）即4x+3y ﹣11=0,与已知直线联立得：{4x +3y −11=0①3x −4y −27=0②①×4+②×3得：25x=125,解得x=5, 把x=5代入①解得y=﹣3, 所以{x =5y =−3,所以直线3x ﹣4y ﹣27=0上到点P （2,1）距离最近点坐标是（5,﹣3）． 故选：A ．3．直线ｙ＝3ｘ-4关于点Ｐ（2,-1）对称直线方程是（ ）A ． ｙ＝3ｘ-10B ． ｙ＝3ｘ-18C ． ｙ＝3ｘ+4D ． ｙ＝4ｘ+3 【答案】A 【解析】设(m,n)为所求直线上任意一点,则该点关于点P(2,−1)对称点为(4−m,−2−n),由题意得点(4−m,−2−n)在直线y=3x−4上,∴−2−n=3(4−m)−4,整理得n=3m−10,所以所求直线方程为y=3x−10．故选A．4．如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过路程是( )A．2√5 B．3√3 C． 6 D．2√10【答案】D【解析】点P关于y轴对称点P′坐标是(−2,0),设点P关于直线AB:x+y−4=0对称点P"(a,b),由{b−0a−2×(−1)=−1a+2 2+b+02−4=0,解得{a=4b=2,故光线所经过路程|P′P"|=√(−2−4)2+22=2√10,故选D.5．已知直线(a+3)x+y−4=0和直线x+(a−1)y+4=0互相垂直,则实数a值为__________；【答案】-1【解析】∵直线(a+3)x+y−4=0和直线x+(a−1)y+4=0互相垂直,∴（a+3）×1+1×（a-1）=0,解得a=-1．故答案为：-1．6．点(−1,1)关于直线x−y−1=0对称点是______.【答案】(2,−2)【解析】设点M （﹣1,1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称点N 坐标（x,y ） 则MN 中点坐标为（x−12,y+12）,利用对称性质得：K MN =y−1x+1=﹣1,且 x−12﹣y+12﹣1=0,解得：x=2,y=﹣2,∴点N 坐标（2,﹣2）, 故答案为（2,﹣2）．7．若直线l 与直线2x −y −2=0关于直线x +y −4=0对称,则l 方程是__________． 【答案】x −2y +2=0 【解析】设直线l 上任意一点为P (x,y ),则P 关于直线x +y −4=0对称点P′(m,n )在直线2x −y −2=0上,由对称性可得{y−nx−m⋅(−1)=−1x+m2+y+n 2−4=0,解得{m =4−y n =4−x ,代入直线l 可得2(4−y )−(4−x )−2=0,化简可得所求直线方程为x −2y +2=0,故答案为x −2y +2=0. 8．已知动点A,B 分别在x 轴和直线y =x 上,C 为定点(2,1),则ΔABC 周长最小值为_______. 【答案】√10 【解析】点C 关于直线y=x 对称点为C ′（1,2）,点C 关于x 轴对称点为C ′′（2,﹣1）．三角形PAB 周长最小值为C ′（1,2）与C ′′（2,﹣1）两点之间直线距离,|C ′C ′′（2,﹣1）|=√(2−1)2+(−1−2)2=√10． 故答案为：√10．9．已知直线l 斜率为−34,且直线l 经过直线kx −y +2k +5=0所过定点P ． （1）求直线l 方程；（2）若直线m 平行于直线l ,且点P 到直线m 距离为3,求直线m 方程． 【答案】（1）l:3x +4y −14=0； （2）y =−34x −14,或y =−34x +294.【解析】（1）,所以过定点P (-2,,)因此y −5=−34(x +2),即l:3x +4y −14=0（2）设直线m:y =−34x +b ,则3=|34(−2)+5−b|√916+1⇒b =−14或294∴ 直线m 为：y =−34x −14,或y =−34x +29410．已知直线l ：kx −y +1+2k =0(k ∈R) (1))若直线l 不经过第四象限,求k 取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A,交y 轴正半轴于点B,O 为坐标原点,设△AOB 面积为S,求S 最小值及此时直线l 方程．【答案】（1）k≥0；（2）面积最小值为4,此时直线方程为：x ﹣2y+4=0 【解析】（1）直线l 方程可化为：y=kx+2k+1,则直线l 在y 轴上截距为2k+1, 要使直线l 不经过第四象限,则{k ≥01+2k ≥0 ,解得k 取值范围是：k ≥0 （2）依题意,直线l 在x 轴上截距为：﹣1+2k k,在y 轴上截距为1+2k,∴A（﹣1+2k k,0）,B （0,1+2k ）,又﹣1+2k k＜0且1+2k ＞0,∴k＞0,故S=12|OA||OB|=12×1+2k k（1+2k ）=12（4k+1k +4）≥12（4+4）=4,当且仅当4k=1k ,即k=12时取等号,故S 最小值为4,此时直线l 方程为x ﹣2y+4=0考试注意事项1．进入考场时携带物品。
高中数学 3.1.2两条直线的平行与垂直教案 新人教A版必修2
河北武邑中学课堂教学设计备课人授课时间课题§3.1.2两条直线的平行与垂直教学目标知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.过程与方法启发引导，合作讨论，探究归纳情感态度价值观通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．重点两条直线平行和垂直的条件难点把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．教学设计教学内容教学环节与活动设计一、创设情景，揭开课题上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式.现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．二、探究两条直线平行与垂直(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线1l和2l的斜率分别为1k和2k.我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．思考：1l∥2l时，1k与2k满足什么关系？若1l∥2l (图3.1—7)，则1l与2l它们的倾斜角相等：12αα=．12αα=，12tg tgαα∴=，即12k k=．反过来，若两条直线的斜率相等:河北武邑中学课堂教学设计教学设计教学内容教学环节与活动设计即12k k=，则12tg tgαα=．由于10180α︒︒≤<，20180α︒︒≤<，12αα∴=．又∵两条直线不重合，1l∴∥2l．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即1l∥212l k k⇔=.注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果12k k=, 那么一定有1l∥2l; 反之则不一定.用斜率证明三点共线时，就需要用到这个结论.例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA的斜率13012(4)2k-==--,直线PQ的斜率22111(3)2k-==---,因为120.5k k==, 所以直线BA∥PQ.例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证. 解同上.（三）下面我们研究两条直线垂直的情形．思考：12l l⊥时，1k与2k满足什么关系？设两条直线1l和2l的倾斜角分别是1α和2α（12,90αα︒≠）.河北武邑中学课堂教学设计教学设计教学内容教学环节与活动设计若12l l⊥，这时12αα≠，否则两直线平行．设12αα>(图1-30)，甲图的特征是1l与2l的交点在x轴上方；乙图的特征是1l与2l的交点在x轴下方；丙图的特征是1l与2l的交点在x轴上，无论哪种情况下都有1290αα︒=+．因为1l、2l的斜率分别是1k、2k，即190α︒≠，所以2α︒≠．由1221(90)tg tgtgααα︒=+=-，得121kk=-或121k k=-．反过来，若121k k=-．不妨设120,0k k<>，则1221(90)tg tgtgααα︒=+=-，可以推出：1290αα︒=+．即12l l⊥．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121l l k k⊥⇔=-．注意: 结论成立的条件. 即如果121k k=-, 那么一定有12l l⊥; 反之则不一定.例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率16023(6)3k-==--,直线PQ的斜率2633202k-==---,因为121k k=-，所以 AB⊥PQ.河北武邑中学课堂教学设计教教学内容教学环节与活动设计学设计例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)课堂练习P89 练习 1. 2.教学小结(1)两条直线平行或垂直的等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.课后反思。
高考数学一轮复习课件：第41课两条直线的平行与垂直
解:当 m 0时， l1 ： x 6 0， l2 ： x 0 ，∴ l1 ∥ l2 ；
当 m 2 时， l1 ： x 4 y 6 0 ， l2 ： 3y 2 0 ，∴ l1 与 l2 相交；
当 m 0 且 m 2 时，由 1 m2 ，得 m 1或 m 3 ，由 1 6 ，得 m 3 .
x 0或y 3 x 的方程为 _______________________ 4
4、三条直线 ax 2y 8 0 、 4x 3y 10 0 、
2x y 10 0 相交于一点，则实数 a ___a____1____
例1. 已知两条直线 l1 : x m2 y 6 0 ，l2 : (m 2)x 3my 2m 0 ， 当 m 为何值时, l1与l2 （1）相交；（2）平行；（3）重合.
C
4k 2k
5 2
,
7k 2k
8 2
在
此解法完善吗？
问题3:用两点式求直线 l 的方程时,另一点选择哪点?
解法2:点 C在直线 x 2 y 3 0上,又在 x y 3 0
上，……
2
问题4：除了上述两种解法，你还有其它解法吗？或
者你还有什么发现吗？沿着这一特点，你还能有其它
解法吗？
。
当堂反馈
4.已知直线 l1 : x 3y 5 0 与l2 : 3kx y 1 0，使得l1, l2 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，此时k的值
为 3。
解题反思
1、研究直线间的位置关系要注意两点：一是识记 好各自的充要条件；二是注重转化思想的应用， 将直线方程转化为点斜式方程，同时，在转化的 过程中，要注意分类讨论思想的应用，如例1。
思考1：选择所求直线方程的表达形式。
思考2：正方形的中心与正方形的四条边存在怎样 的关系？
两条直线的平行与垂直备考策略
两条直线的平行与垂直备考策略
内容
两条直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直 (1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1
＝k 2.
②当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：
①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 思维规律解题
考点一：两条直线的平行与垂直的判断.
例1．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4k )y ＋1＝0，与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )
A ．1或3
B ．1或5
C ．3或5
D ．1或2
【解析】 当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：3－k 4－k
＝k －3，解得：k ＝5.
【答案】 C
考点二：两条直线的平行与垂直与命题充要条件的结合的应用.
例2.设R a ∈,则“1=a ”是“直线01-21=+y ax l ：与直线0412=+++
y a x l ）（：平行”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】 A 备考策略：在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条。
高考数学一轮复习备课手册第41课两条直线的平行与垂直
第课两条直线的平行与垂直一、考纲要求.能根据斜率判定两条直线平行或垂直；.了解二元一次方程组的解与两条直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，进而确定两直线的位置关系（平行、相交、重合）；.掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离. ．通过分类讨论、数形结合等数学思想的运用，培养思维的严谨性、辩证性。
二、知识梳理回顾要求.两条直线分别为，，则的充要条件是；的充要条件是。
.两条直线分别为，，其中不全为，也不全为，则的充要条件是；的充要条件是。
如果已知,两条直线的位置关系又如何？.掌握平面上两点间距离公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两平行线间距离公式。
.完成课本页例，从中体会如何合理建立坐标系。
建立坐标系是将几何问题转化为代数问题的基础。
要点解析．两条直线平行等价于它们的倾斜角相等，但用代数的方法研究两条直线平行和垂直时，运用斜率比运用倾斜角方便。
．在判断两条直线平行的位置关系时，要注意两条直线斜率均不存在的情况；在判断两条直线垂直的位置关系时，也不能忽略一条直线斜率不存在而另一条直线斜率等于零的情况。
．求点到直线的距离时，需先把直线方程化为一般式再求解。
使用两平行线间距离时要注意首先将两直线方程中的的系数化为相同的。
三、诊断练习：、教学处理：课前由学生自主完成道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误，进行有针对性地点评。
、诊断练习点评：、已知两点，，则线段的垂直平分线方程是.【分析与点评】考查两条直线的垂直关系及直线方程的求法.答案：.、若直线和直线平行，则。
【分析与点评】根据两条直线平行的充要条件得。
值得注意的是：由于直线的斜率是存在的，故无须对直线的斜率是否存在进行讨论，注意解题的简洁性。
、已知过原点，且点（）到直线的距离为，则的方程为【分析与点评】设直线的点斜式方程时注意讨论斜率是否存在的问题，然后把点斜式化为一般式。
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考点二 两条直线垂直的判定 例 2 已知△ABC 的三个顶点分别是 A(2,2＋2 2)，B(0,2－2 2)， C(4,2)，试判断△ABC 是否是直角三角形．
在．
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图示
【练习 1】 (1)已知直线 l1 经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线 l2 经过两点(2,1)，(x,6)，且 l1∥l2，则 x 等于________．
(2)过点 A(1,3)和点 B(－2,3)的直线与直线 y＝0 的位置关系为 ________．
分析：(1)(3)需先求出两直线的斜率，再判断是否平行；(2)由条件 可知两直线的斜率都不存在．
解析：(1)直线 l1 的斜率 k1＝21－－－－12＝1， 直线 l2 的斜率 k2＝－ －11－ －43＝54， 因为 k1≠k2，所以 l1 与 l2 不平行． (2)因为 l1，l2 都与 x 轴垂直且 l1，l2 不重合， 故 l1∥l2. (3)由题意可知直线 l1 的斜率 k1＝tan60°＝ 3， 直线 l2 的斜率 k2＝－－2 23－－1 3＝ 3， 因为 k1＝k2，所以 l1∥l2 或 l1，l2 重合．
前提 α ＝ 高中数学 时 两条直线平行与垂直的判定课件 新人教A版必修
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条件 α ≠90° 高中数学
高中数学
时 时
两条直线平行与垂直的判定课件 两条直线平行与垂直的判定课件
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α1＝α2＝90°
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让我们时刻怀着一颗感恩的心，让我们一起成为懂得感恩的人，感谢我们的父母，感谢所有爱我们的人。的尾气；故乡那承载我童年苦乐与希望的田埂，便渐渐从我的生活中消失；不过，田埂情节却始终萦绕在我的心头，夜深人静之时，我常常飘然回到梦境般的故乡田野，站在蜿蜒起伏的田埂上，去等候蓑衣人、等候白鹭、等候老牛…… 老家所在的村庄，静卧在藕池河的东岸。站在老家门口，展现在我眼前的便是那绵长而温润的田埂。过完年，大人们在田埂的两旁撒下蚕豆、绿豆或烟苗，这些种子一接触泥土，似乎就在跟春天赛跑，用不了几天时间，翠绿的嫩芽便冒出地面。“野火烧不尽，春风吹又生”的小草，也探头探脑地从土里钻出来，争先恐后的在田埂上摇头晃脑，以灿烂而甜美的笑容装饰着田埂，打扮着乡村。烟苗在阳光雨露的滋润下，疯狂地生长，几场春雨下来，一棵棵长得枝繁叶茂的烟叶便傲立于田埂之上，阔大的叶片横七竖八的舒展开来，让一条条田埂呈现出一片盎然的绿意。
yx11(x1
x2)
t
p
1 2
5730
2.在平面直角坐标系中，平行与垂
直是两条不同直线的两种特殊位置
关系，我们设想通过直线的斜率来
判定这两种位置关系.
两条直线平行与垂直的判定
知识探究（一）:两条直线平行的判定
思考1:在平面直角坐标系中，已知 一条直线的倾斜角为400，那么这条 直线的位置是否确定？
眼光和思维所涉及的面，尽量往大了走、往高了去，则是人人可以努力靠近的。 综上：儒家拿得起、佛家放得下、道家想得开，合起来其实就是一句话：带着佛家的出世心态，凭着道家的超世眼界，去做儒家入世的事业。这也正是南怀瑾所说的人生最高境界：佛为心，道为骨，儒为表，大度看世界。车水马龙的闹市里，双眸里闪烁着都市的霓虹，衣服上沾满着汽车 曾经有一个人，她永远占据在你心最柔软的地方，你愿用自己的一生去爱她，这个人，叫“母亲”；有一种爱，它可以让你随意的索取、享用，却不要你任何的回报，不会向你抱怨，总是自己一个人默默地承受着这一切。这种爱，叫“母爱”！
2021年高考数学大一轮复习 第十章 第55课 两条直线的平行与垂直要点导学
2021年高考数学大一轮复习第十章第55课两条直线的平行与垂直要点导学两直线的平行与垂直关系(xx·广东六校联考)如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,那么a=.[答案]2或-2[解析]由于直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则有(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=±2.(xx·佳木斯模拟)若直线l1:(3+a)x+4y=5-3a和直线l2:2x+(5+a)y=8平行,则a=.[答案]-7[解析]根据题意有=≠,解得a=-7.利用直线之间的关系求直线方程已知两点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).若点M,N到直线l的距离相等,求直线l的方程.[解答]因为点M,N到直线l的距离相等,所以l∥MN或l过MN的中点.因为M(0,2),N(-2,0),所以k MN=1,MN的中点坐标为C(-1,1).又直线l:kx-y-2k+2=0过点D(2,2),当l∥MN时,k=k MN=1,经检验符合题意;当l过MN的中点时,-k-1-2k+2=0,解得k=.综上,直线l的方程为x-y=0或x-3y+4=0.【题组强化·重点突破】1. 与直线3x+4y-6=0平行且距离为4的直线的方程是.[答案]3x+4y+14=0或3x+4y-26=0[解析]根据平行直线系,可设直线的方程为3x+4y+m=0,由平行距离公式=4,解得m=14或-26.故所求直线的方程为3x+4y+14=0或3x+4y-26=0.2. 已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,那么直线l的方程为. [答案]x-y+1=0[解析]因为k PQ==-1,所以k l=1,PQ的中点为,即(2,3),直线l的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.3. 从点(2,3)射出的光线沿与直线x-2y=0平行的直线射到y轴上,经y轴反射的光线所在的直线方程为.[答案]x+2y-4=0[解析]由题意得,射出的光线方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0,与y轴交点为(0,2).又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线所在直线过点(0,2),(-2,3),故所求直线方程为y-2=x,即x+2y-4=0.4. (xx·南安模拟)过点(-1,2)且与原点的距离最大的直线方程是.[答案]x-2y+5=0[解析]设A(-1,2),则OA的斜率等于-2,故所求直线的斜率等于,由点斜式求得直线的方程为y-2=(x+1),化简得x-2y+5=0.5. (1) 已知直线l1:ax+by=0,l2:(a-1)x+y+2b=0.若直线l1,l2同时平行于直线x+2y+3=0,那么a=,b=.(2) 若直线(m-1)x+(2m+3)y+2=0与(m+2)x+(1-m)y-3=0互相垂直,则实数m=.[答案](1) 3 (2) ±1[解析](1) 由两直线平行的充要条件,得解得a=,b=3,经检验符合题意.(2) 由两直线垂直的充要条件,得(m-1)(m+2)+(2m+3)(1-m)=0,所以m=±1.关于直线(或点)的对称问题已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0.(1) 求点A关于直线l的对称点A'的坐标;(2) 求直线l关于点A的对称直线l'的方程.[思维引导](1) 点A与A'关于直线l对称,主要运用两点,一个是AA'⊥l,另一个是AA'的中点坐标满足直线l的方程3x+y-2=0;(2) 关于点A对称的两直线l与l'互相平行,由此可以求出直线l 关于点A的对称直线l'的方程.[解答](1) 设点A'的坐标为(x',y').因为点A与A'关于直线l对称,所以AA'⊥l,且AA'的中点在l上,而直线l的斜率是-3,所以k AA'=,即=. ①因为直线l的方程为3x+y-2=0,AA'的中点坐标是,所以3·+-2=0. ②由①和②,解得x'=2,y'=6,所以点A'的坐标为(2,6).(2) 因为关于点A对称的两直线l与l'互相平行,于是可设l'的方程为3x+y+c=0.在直线l上任取一点M(0,2),其关于点A对称的点为M'(x',y'),于是M'点在l'上,且MM'的中点为点A, 由此得=-4,=4,即x'=-8,y'=6,故有M'(-8,6).因为点M'在l'上,所以3×(-8)+6+c=0,所以c=18.故直线l'的方程为3x+y+18=0.(xx·江苏模拟)已知直线a:3x+4y+1=0关于直线l对称的直线b的方程为12x-5y=0,求直线l的方程.[解答]设点P(x,y)为直线l上的任意一点,点P到直线a,b的距离相等,即=,整理得21x-77y-13=0或99x+27y+13=0,即为直线l的方程.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1) 点P到点A(4,1)和B(3,4)的距离之和最小;(2) 点P到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.[思维引导](1) A,B两点在直线l的同侧,直线l上点P到A,B两点的距离之和等价于点P到A,B'两点的距离之和(点B'与点B关于直线l对称);这样就将原来的问题转化为简单问题“在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P到点A(4,1)和点B'的距离之和最小”了,所求点即为直线l与AB'的交点.(2) A,B两点在直线l的异侧,直线l上点P到A,B两点的距离之差等价于点P到A,B'两点的距离之差(点B'与点B关于直线l对称);这样就将原来的问题转化为简单问题“在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P到点A(4,1)和点B'的距离之差最大”了,所求点即为直线l与AB'的交点.[规范答题](1) 如图(1),设点B关于直线l的对称点为B',则PA+PB=PA+PB'≥AB',即PA+PB的最小值等于AB'.此时直线AB'与直线l的交点即为点P.(2分)设点B'(m,n),则解得即点B'的坐标为. (6分)由两点式可求得直线AB'的方程为19x+17y-93=0.则易得直线AB'与l的交点坐标为,即为所求的点P的坐标. (7分)图(1) 图(2)(范题赏析)(2) 如图(2),设点B关于直线l的对称点为B',则PA-PB=PA-PB'≤AB',即PA-PB的最大值等于AB'.此时直线AB'与直线l的交点即为点P.(9分)设点B'(m,n),则解得即点B'的坐标为(3,3).所以直线AB' 的方程为2x+y-9=0.(12分)所以直线AB'与直线l的交点为(2,5),即点P的坐标为(2,5).(14分)[精要点评]本题无法直接去做,需通过求点B的对称点B',将PB转化为PB',从而实现问题的解决.这里运用了重要的数学思想方法——化归思想!1. 若点A(1,3)在直线l上的射影为(-5,1),则直线l的方程是.[答案]3x+y+14=0[解析]因为点A(1,3)在直线l上的射影为P(-5,1),所以k PA=,所以k l=-3,所以直线l的方程是3x+y+14=0.2. 设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y=0与直线l2 :x+(a+1)y+4=0平行”的条件. [答案]充分不必要[解析]由=,解得a=1或a=-2.所以当a=1时,两直线平行成立,因此是充分条件;当两直线平行时,a=1或a=-2,不是必要条件.3. 若过点P(1,2)作一直线l,使点M(2,3)和点N(4,-1)到直线l的距离相等,则直线l的方程是.[答案]2x+y-4=0或x+2y-5=0[解析]当直线l经过MN的中点时,其方程是x+2y-5=0;当直线平行于直线l时,直线l的方程是2x+y-4=0.4. 若直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称,则b=.[答案]25. 在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图所示),若光线QR经过△ABC的重心,则AP=.(第5题)[答案][解析]不妨设AP=m(0≤m≤4),建立坐标系,设AB所在的直线为x轴,AC所在的直线为y轴,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),Q(x Q,y Q),R(0,y R),P(m,0),可知△ABC的重心为G,根据反射性质,可知点P关于y轴的对称点P1(-m,0)在直线QR上,点P关于直线BC:x+y=4的对称点P2(4,4-m)在直线RQ上,则QR的方程为=,将点G代入可得3m2-4m=0,即m=或m=0(舍去).[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第109-110页).37255 9187 醇31450 7ADA 竚^#21181 52BD 劽L33514 82EA 苪21627 547B 呻&7b%y|h。
高考数学一轮复习备课手册：第41课两条直线的平行与垂直
第41课 两条直线的平行与垂直一、考纲要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直；2.了解二元一次方程组的解与两条直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，进而确定两直线的位置关系（平行、相交、重合）；3.掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离.4．通过分类讨论、数形结合等数学思想的运用，培养思维的严谨性、辩证性。
二、知识梳理回顾要求1.两条直线分别为111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则12l l 的充要条件是2121,b b k k ≠=；12l l ⊥的充要条件是121-=k k 。
2.两条直线分别为1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，其中11,A B 不全为0，22,A B 也不全为0，则12l l 的充要条件是0012211221≠-=-C B C B B A B A 且；12l l ⊥的充要条件是02121=+B B A A 。
如果已知01221=-B A B A ,两条直线的位置关系又如何？3.掌握平面上两点间距离公式、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两平行线间距离公式。
4.完成课本104页例3，从中体会如何合理建立坐标系。
建立坐标系是将几何问题转化为代数问题的基础。
要点解析1．两条直线平行等价于它们的倾斜角相等，但用代数的方法研究两条直线平行和垂直时，运用斜率比运用倾斜角方便。
2．在判断两条直线平行的位置关系时，要注意两条直线斜率均不存在的情况；在判断两条直线垂直的位置关系时，也不能忽略一条直线斜率不存在而另一条直线斜率等于零的情况。
3．求点到直线的距离时，需先把直线方程化为一般式再求解。
使用两平行线间距离时要注意首先将两直线方程中的y x ,的系数化为相同的。
三、诊断练习：1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
高中数学同步教学课件 两条直线平行~ 两条直线垂直
(2)由 l′与 l 垂直，可设 l′的方程为 4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得 n＝13. ∴所求直线的方程为 4x－3y＋13＝0.
2．已知直线 l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0， 求满足下列条件的 a 的值． (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2.
解：法一：由题可知 A1＝a，B1＝2，C1＝－3， A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a. (1)当 l1∥l2 时，aa（×（a＋－1a））－－2（×3－＝30），×3≠0， 解得 a＝2. (2)当 l1⊥l2 时，A1A2＋B1B2＝0， 即 3a＋2(a＋1)＝0，解得 a＝－25 .
解：(1)∵l1∥l2，∴两直线斜率相等． ∴m2－2＝－1 且 2m≠1，∴m＝±1. (2)∵l1⊥l2，∴2m－1＝12 . ∴m＝34 .
随堂检测
1．已知直线 l1 的倾斜角为 30°，且 l2⊥l1，则直线 l2 的倾斜角为 ．
解析：如图，设直线 l2 的倾斜角为 α，由 l2⊥l1 可知， α＝30°＋90°＝120°.
且 l1∥l2，则 m＝
．
解析：∵l1∥l2，且 k2＝11－－20 ＝－1，∴k1＝－43－－1m ＝－1，
∴m＝0.
答案：0
名师点津
1．l1∥l2⇔k1＝k2 成立的前提条件是： (1)两条直线的斜率都存在； (2)l1 与 l2 不重合． 2．l1⊥l2⇔k1k2＝－1 成立的前提条件是： (1)两条直线的斜率都存在； (2)k1≠0 且 k2≠0.
当 a≠－1 时，l2：y＝－a＋3 1 x＋a＋a 1 ，
∵l1⊥l2，∴－a2 ·－a＋3 1 ＝－1，解得 a＝－25 .
题型三 利用两条直线平行、垂直的条件求参数 [的例 值3] (1)当 a 为何值时，直线 l1：y＝－x＋2a 与直线
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两条直线的平行与垂直备考策略
主标题：两条直线的平行与垂直备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道. 关键词：两条直线的平行与垂直，知识总结备考策略
难度：2
重要程度：2
内容
两条直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.
思维规律解题
考点一：两条直线的平行与垂直的判断.
例1．(2009·上海高考)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4k )y ＋1＝0，与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )
A ．1或3
B ．1或5
C ．3或5
D ．1或2
【解析】 当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3时，由两直线平行，
斜率相等，得：3－k 4－k
＝k －3，解得：k ＝5. 【答案】 C
考点二：两条直线的平行与垂直与命题充要条件的结合的应用.
例2.（2012·浙江.理3文4）设R a ∈,则“1=a ”是“直线01-21=+y ax l ：与
直线0412=+++
y a x l ）（：平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】 A
备考策略：在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条。