数学：7.3《圆与方程1》课件(湘教版必修3)
《7.3.2 圆的一般方程》课件1-优质公开课-湘教必修3精品
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(5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的 点． 求曲线的方程是解析几何中两大问题之一，它贯穿于整个解 析几何，上述方法是求曲线方程的最基本、最常用的方法．在(1) 中建立适当的坐标系，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中 点为原点，使其具有对称性，这样可以使方程尽可能地简单．
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自主探究 探究1：所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都 表示圆吗？
提示 不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆，D2＋E2－4F 取值不同，对应图形如下表.
方程 条件 D2＋ E2－ 4F<0 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0 D2＋ E2－ 4F>0 D2＋ E2－ 4F＝ 0 图形 不表示任何图形 D E 表示坐标为 (－ ，－ )的点 2 2 D E 表示以 (－ ，－ )为圆心，以 2 2 1 D2＋ E2－ 4F为半径的圆 2
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探究2：圆的标准方程和一般方程体现了圆的什么特点？
提示 由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以看出圆心 坐标C(a，b)和半径r，圆的几何特征明显． 而由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 知道圆的方程是一种特殊的二元一次方程，圆的代数特征明显．
解析 将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 故圆心坐标为(1,1)，半径r为1. |3＋4＋8| ∴圆心到直线的距离d＝ ＝3. 5 ∵d>r，∴直线与圆不相交． ∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2.
答案 2
《7.3.1 圆的标准方程》课件1-优质公开课-湘教必修3精品
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3．圆的直径端点为A(2,0)，B(2，－2)，则此圆的标准方程为 ________________________．
解析 由已知得圆心为AB的中点(2，－1)， 1 半径r＝2 2－22＋－2－02 ＝1， 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
2－a2＋－3－b2＝r2， 2 2 2 由已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， a－2b－3＝0， a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0， a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10.
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2．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是(
A．x2＋y2＝25 C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 解析 B．x2＋y2＝5
)．
D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
设圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝r2.
将点(0，0)坐标代入上述方程，得r2＝25.
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
∴圆心为(－1，－2)，半径 r＝ 2＋12＋－3＋22＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
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法三 设点 C 是圆心． ∵点 C 在直线 l 上，∴设点 C(2b＋3，b)． 又∵|CA |＝ |CB |， ∴ 2b＋3－22＋b＋32＝ 2b＋3＋22＋b＋52， 解得 b＝－2，∴圆心 C(－1，－2)，半径 r＝ 10， 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
d>r
d＝r
d<r
7.3.1圆的标准方程课件-湘教版必修3
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
a 2, b 3, r 5.
所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆 心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
1 a2 1 b2 r 2
2 a2 2 b2 r 2
a b 1 0
a 3 解得b 2
r 5
方法3 因为圆心在直线x－y+1＝0上， 所以可设圆心C的坐标为(a，a+1).又因为|CA|＝|CB|，
a 12 a 112 a 22 a 1 22
解得a＝-3.
所以圆心为(-3，-2)，半径长 r＝|CA|＝5.
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方
程，并判断点 M1(5,7) ， M 2 ( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准方程 是：
把 M1(5,7的) 坐标代入方程 (x 2)2 (y 3)2 25 左右两边相等，点M 1 的坐标合适圆的方程，所以点 M 1在这个圆上；
几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程的形式
圆心在原点
x2＋y2＝r2(r≠0)
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2>0)
圆心在 x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在 y 轴上
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在 x 轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在 y 轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
7.3.圆的标准方程-湘教版必修3教案
7.3.圆的标准方程-湘教版必修3教案一. 知识点概述本节主要讲解圆的标准方程如何推导和应用。
在平面直角坐标系中，已知圆心O(x0,y0)和半径r，圆的方程为：(x−x0)2+(y−y0)2=r2这就是我们熟悉的圆的标准方程。
在推导标准方程时，需要用到点距式和勾股定理等相关知识。
二. 教学步骤第一步：引入同学们，前几节课我们学习了二次函数、指数函数、对数函数，以及它们各自的图像、性质和应用。
今天我们要学习的是圆的标准方程，这是我们学数学必须掌握的一项基本技能，也是我们今后学习几何、物理等学科的重要基础。
第二步：概念讲解教师利用黑板或幻灯片等教具，详细介绍圆的定义、圆心、半径等相关概念，让同学们了解圆是什么，具有什么特点。
第三步：导出圆的标准方程教师通过展示思路、演示例题或让同学们自行推导等方式，带领同学们一步步地推导出圆的标准方程，并讲解推导过程中需要掌握的知识点和技巧。
第四步：例题训练为了巩固理论知识和提高操作能力，教师可以让同学们完成一些例题，让同学们熟悉和掌握圆的标准方程的应用方法。
第五步：拓展为了让同学们了解圆的标准方程的更多应用，教师可以展示一些实际问题和相关的数学模型，让同学们了解圆的标准方程在实际中的应用价值。
三. 课堂互动教师可以在课堂上进行以下互动：1.出示一些实际问题，并让同学们尝试用圆的标准方程解决问题。
2.让同学们自己设计一些实际问题，然后互相交流，尝试用圆的标准方程解决问题。
3.分组讨论，让同学们就圆的标准方程的应用进行深入探讨和交流，从而培养同学们的合作精神和创新能力。
四. 课堂作业1.认真复习本节课的重点内容，并能熟练应用圆的标准方程解决实际问题。
2.仿照教材中的例题，设计一道相似的练习题，并在课堂上与同学们互相交流答案。
3.思考一个实际问题，并尝试用圆的标准方程解决该问题。
五. 总结本节课我们学习了圆的标准方程的推导和应用方法，通过多种教学手段和互动方式，让同学们对圆的标准方程有了深入的理解和应用实践。
数学同步优化指导(湘教版必修3)课件：7.3.3 第2课时 圆与圆的位置关系
x1＝－4， ∴ y1＝0，
x2＝0， 或 y2＝2.
所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)． ∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5. 法二 两方程联立，得方程组
2 2 x ＋ y －2x＋10y－24＝0， 2 2 x ＋ y ＋2x＋2y－8＝0，
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(2)将两圆方程相减， 得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝ 0. (3)法一 两方程联立，得方程组 ①
2 2 x ＋ y －2x＋10y－24＝0， 2 2 x ＋ y ＋2x＋2y－8＝0. ②
两式相减得 x＝2y－4， ③ 把③代入②得 y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
圆的公共弦问题
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y －8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
【思路探究】 先把两圆方程化为标准方程，判断两圆的
位置关系，作差求公共弦所在直线方程，求公共弦的长度．
解：(1)将两圆方程配方化为标准方程， C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. 则圆 C1 的圆心为(1，－5)，半径 r1＝5 2； 圆 C2 的圆心为(－1，－1)，半径 r2＝ 10. 又|C1C2|＝2 5，r1＋r2＝5 2＋ 10. r1－r2＝5 2－ 10. ∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交．
y2)2＝r2 2，则圆心分别为 C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为 r1， r2，圆心距 d＝|C1C2|＝ x2－x12＋y2－y12. 则两圆 C1，C2 有以下位置关系：
高中数学第七章解析几何初步7.3圆与方程素材湘教版必修3
圆与方程已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x解 已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A).点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4 (06天津卷理) 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .解 由已知圆4)2()1(22=-+-y x ，即得圆心)2,1(C 和半径2=r . ∵线心距112++=a a d ，且222)2(r AB d =+，∴22222)3()11(=+++a a ，即1)1(22+=+a a ，解得0=a .点评：一般在线心距d 、弦长AB 的一半和圆半径r 所组成的直角三角形中处理弦长问题：222)2(r AB d =+. 五、夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A)21 (B)53(C)23 (D) 0解 已知圆化为1)1()1(22=-+-y x ，即得圆心)1,1(C 和半径1=r .设由)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ，则在切线长、半径r 和PC 构成的直角三角形中，522cos=θ，∴5312cos 2cos 2=-=θθ，故选(B). 点评：处理两切线夹角θ问题的方法是：先在切线长、半径r 和PC 所构成的直角三角形中求得2θ的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角θ问题.六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k .解 由已知圆4)2(22=+-y x ，即得圆心)0,2(C 和半径2=r .设)2,1(P ，则2-=PC k ；∵⊥PC 直线l 时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l 的斜率221=-=PCk k . 点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.七、最值问题例7 (06湖南卷文) 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( ) (A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25解 已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .设线心距为d ，则圆上的点到直线014=-+y x 的最大距离为r d +，最小距离为r d -，∴262)()(==--+r r d r d ，故选(C).点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d 与圆半径r 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为r d +，最小距离为r d -.八、综合问题例8 (06湖南卷理) 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )(A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π解 已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .∵圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，∴2222222=-≤++=r ba b a d ，即0422≤++b ab a ，由直线l 的斜率b a k -=代入得0142≤+-k k ，解得3232+≤≤-k ，又3212tan -=π，32125tan +=π，∴直线l 的倾斜角的取值范围是]125,12[ππ，故选(B).点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；(2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2ED --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22.3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离； ｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切；｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交； ｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. ●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71 B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2 解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切D .当b <r 时，圆与x 轴相交 解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D●典例剖析【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程. 剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9. 夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则 A.D +E =0B. B.D +F =0 C.E +F =0 D. D +E +F =0解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上.答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2.答案：24.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2.再由d －r =2－1=1，知最小距离为1.答案：15.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直，∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32.由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵·=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）.∴所求的直线方程为y =－x +1. 培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy 的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x 2+y 2－4x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设x y=k ，即y =kx ，由圆心（2，0）到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-k k =3，解得k 2=3.所以k max =3，k min =－3.（2）设y －x =b ，则y =x +b ，仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式，得2|02|b +-=3，即b =－2±6，故（y －x ）min =－2－6. （3）x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则（x 2+y 2）max =｜OC ′｜=2+3，（x 2+y 2）min =｜OB ｜=2－3.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －y +1=0.又圆心在直线y =0上，因此圆心坐标是方程组 x －y +1=0，y =0半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.“求经过两圆04622=-++x y x 和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。
湘教版必修3《圆的一般方程》评课稿
湘教版必修3《圆的一般方程》评课稿一、教材分析1. 教材内容概述本节课所涉及的内容是圆的一般方程。
通过学习本章，学生将掌握圆的一般方程的基本概念、性质以及应用。
本章内容对学生的几何思维能力和解决实际问题的能力有着重要的培养作用。
2. 教材结构和组织形式本节课的教材结构清晰，由引入、知识点讲解和例题演练组成。
在引入部分，教师通过和学生的互动讨论引发学生对圆的兴趣，激发学生的学习积极性。
在知识点讲解中，教师以简洁明了的语言对圆的一般方程进行详细解释，并通过示意图加深学生的理解。
在例题演练中，教师设计了多个具有实际意义的例题，让学生通过解题来熟练应用所学知识。
3. 教材的优点教材在结构和组织上都具有明显的优点。
首先，引入部分设计生动、有趣，能够激发学生学习的兴趣，引导学生主动思考。
其次，知识点讲解简洁明了，逻辑清晰，能够帮助学生快速理解和掌握圆的一般方程。
最后，通过例题演练，学生能够巩固所学的知识，并能够将其应用于实际问题的解决中。
4. 教材的不足尽管教材在结构和组织上有一定的优点，但还是存在一些不足。
首先，例题的数量比较少，无法充分覆盖知识点的各个方面，希望能够增加例题的数量。
其次，教材中的一些概念定义和证明过程较为简略，对于一些学生来说可能不够深入，建议能够在知识点讲解中增加更多细节，以满足不同层次的学生的需求。
二、教学目标1. 知识目标通过本节课的学习，学生应该达到以下知识目标：•理解圆的一般方程的定义和表示方法；•掌握圆的一般方程与圆的位置关系的相关性质；•能够应用圆的一般方程解决交点、切点等实际问题。
2. 能力目标通过本节课的学习，学生应该达到以下能力目标：•培养学生观察、分析和解决问题的能力；•培养学生运用所学知识解决实际问题的能力；•培养学生表达和沟通数学思想和方法的能力。
3. 情感目标通过本节课的学习，学生应该培养以下情感目标：•培养学生对数学的兴趣和热爱；•培养学生团队合作和分享的精神；•培养学生运用数学知识解决实际问题的信心。
高中数学第7章解析几何初步7.3圆与方程学案湘教版必修3
圆与方程本章在第三章“直线与方程〞根底上，学习圆有关知识——圆标准方程、圆一般方程；继续运用“坐标法〞研究直线与圆、圆与圆位置关系等几何问题；学习空间直角坐标系有关知识，用坐标表示简单空间几何对象。
通过本章学习，要到达如下目标：1．回忆确定圆几何要素，在直角坐标系中，探索并掌握圆标准方程与一般方程。
2．能根据给定直线、圆方程，判断直线与圆、圆与圆位置关系。
3．能用直线与圆方程解决一些简单问题。
4．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点位置。
5．通过表示特殊长方体〔所有棱分别与坐标轴平行〕顶点坐标，探索并得出空间两点间距离公式。
研究直线与圆、圆与圆位置关系是本章主要内容之一，判断直线与圆、圆与圆位置关系可以从两个角度入手：一个角度是利用义务教育阶段所介绍平几方法；另一个角度，将两曲线是否有公共点问题，转化为判断它们方程组成方程组有没有实数解问题。
在判断直线与圆、圆与圆位置关系时，常常采用这两种方法．在学习本章时，要不断地体会“数形结合〞思想方法，注意“数〞与“形〞结合：在通过代数方法研究几何对象位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到数学结论，用代数方法加以证明，不应割断它们之间联系。
学习方式转变是课程改革重要目标之一。
在学习中，要重视数学概念理解、典型例题分析、以及结论形成过程，体会蕴涵在其中思想方法；要抓住各种数学活动时机，在自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习过程中获得知识、增强技能、掌握根本数学思想方法；还要关注“观察〞、“思考〞、“探究〞等栏目内容，使自己真正参与到数学活动中来，发挥自己学习主动性，使学习过程成为“再创造〞过程，从中体验数学发现与创造历程，体验数学在解决实际问题中作用、数学与日常生活及其他学科联系，从而形成与开展自己数学应用意识，提高分析问题、解决问题能力。
4．1．1 圆标准方程主要概念：圆――到定点距离等于定长点轨迹。
高中数学湘教版选择性必修第一册课件：圆的标准方程
(2 + 3 + 2)2 + ( + 5)2 ,解得 a=-2.∴圆
2
2
心为 C(-1,-2),半径长 r= (-1-2) + (-2 + 3) = √10.
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
-3-(-5)
(方法 2)线段 AB 的中点坐标为(0,-4),直线 AB 的斜率 kAB=
线上.
-5-(-3)
由 kAB=
-2-2
1
= 2,则线段 AB 中垂线的斜率为 k=-2.又线段 AB 的中点坐标
为(0,-4),因此线段 AB 的中垂线的方程为 y+4=-2x.
2
2
令 y=0,得 x=-2,即圆心坐标为 C(-2,0),所以 r=|CA|= [2-(-2)] + (-3) =5,
的方程;几何法、代数法判断点与圆的位置关系.
3.常见误区:求圆的标准方程时,依据题意恰当地运用圆的几何性质解题,可
以化繁为简,提高解题效率,而使用待定系数法则运算较为复杂.圆的标准
方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,圆心是(a,b),半径为r>0.
学以致用•随堂检测全达标
1.(2022吉林长春第二中学高二检测)已知圆C 的圆心坐标为(2,3),且过原点,
圆的图示
圆是平面内到一定点的距离等于 定长
的所有的点组成的
圆的定义 集合,这个定点即圆心,而定长就是半径
这些点构成了圆的圆周
r>0
2+(y-b)2=r2
(x-a)
圆的标准 圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程
,把它叫
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学必修3 7.3.1 圆的标准方程》
湘教2021课标版必修三第七章《圆的标准方程》教学设计一、教材内容分析圆是学生在初中已初步了解了圆的知识及前面学习了直线方程的基础上来进一步学习《圆的标准方程》，它既是前面圆的知识的复习延伸，又是后继学习圆与直线的位置关系奠定了基础。
因此，本节课在本章中起着承上启下的重要作用。
二、教学目标（1）探索并掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆的坐标和圆的半径。
（2）通过圆的标准方程的学习，掌握求曲线方程的方法，领会数形结合的思想。
（3） 激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。
三、教学重点难点以及措施教学重点:圆的标准方程理解及运用教学难点:根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。
根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循认知过程，设计出包括:观察、思考、交流等内容的教学流程。
并且充分利用现代化信息技术的教学手段提高教学效率。
以此使学生获取知识，给学生合作交流的机会。
学法上注重让学生参与方程的推导过程，努力拓展学生思维的空间，促其在尝试中发现，讨论中明理，合作中成功，让学生真正体验知识的形成过程。
四、教学设计1回顾复习：2检查学生导学案完成情况后，复习圆的定义，教师提出问题。
引导学生思考：直线可以用一个方程表示,那么圆可以用一个方程表示吗，引出本节主旨。
学生思考如何表示圆的方程。
3学生展示交流、合作探究，教师点拨讲解教师引导学生分组探讨，从旁巡视指导学生在自学和探讨中遇到的问题，并鼓励学生以小组为单位展示探究成果。
探究一：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？圆心（点）A 的位置用坐标 a,b 表示，半径r 的大小等于圆上任意点M, 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？探究二：圆上任意点M, 与圆心A a,b 之间的距离能用什么公式表示？方程222)()(m b y a x =-+-一定表示圆吗？探究三：圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？探究四：怎样判断点 ()000,y x M 在圆 222)()(r b y a x =-+- 内呢？还是在圆外呢？设计意图：通过合作探究和自我的展示，鼓励学生合作学习的品质4学以致用，总结提升例1 写出圆心为A2,－3，半径长等于5的圆的方程，并判断点()7,51-M ，()1,52--M 是否在这个圆上． 例2 ⊿ABC 的三个顶点的坐标分别是A5,1, B7,-3,C2,-8,求它的外接圆的方程例3 己知圆心为C 的圆经过点A1,1和B2,-2,且圆心在直线:-1=0上,求圆心为C 的圆的标准方程5课堂小结、总结拓展1你学到了哪些知识2你掌握了哪些技能3你体会到了哪些数学思想设计意图：采用提问的形式帮助学生回顾和分析本节所学。
湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆的标准方程
在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,
即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即4=16-3|PF1|·|PF2|.
所以|PQ1|+|PQ2|=8>6=|Q1Q2|.
所以P点轨迹是以Q 1,Q 2为焦点的椭圆,且2a=8,2c=6.
即a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7.
故动圆圆心的轨迹方程是
2
16
+
2
7
=1.
变式训练2
若动圆M过定点A(-3,0),且内切于定圆B:(x-3)2+y2=100,则动圆圆心M的轨
∴动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,此时a=5,c=3,∴b2=a2-c2=16.
∴动圆圆心M的轨迹方程为
2
25
+
2
16
=1.
探究点二 对椭圆标准方程的理解
【例
2
3】(1)若方程
25-
+
2
=1
+9
表示椭圆,则实数 m 的取值范围是(
A.(-9,25)
B.(-9,8)∪(8,25)
【例2】一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求
这个动圆圆心的轨迹方程.
分析 设出动圆的圆心及半径,利用两圆相切的几何条件列式求解.
解 两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.4 曲线与方程
2
+
4 =1(x≠±1)
4
为
3
,则动点P的轨迹方程
.
分析 设出点P的坐标,将已知条件转化为斜率之积求解.
解析 因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 的坐标为(1,-1).
设点 P 的坐标为(x,y),易知
化简得 x +3y
2
故动点 P
2
-1 +1 1
x≠±1,由题意得+1 ·-1 =-3,
线上.
规律方法 判断点与曲线位置关系的方法
如果曲线C的方程是f(x,y)=0,点P的坐标为(x0,y0).
点与曲线的位置关系
点的坐标特征
点P(x0,y0)在曲线C:f(x,y)=0上
f(x0,y0)=0
点P(x0,y0)不在曲线C:f(x,y)=0上
f(x0,y0)≠0
变式训练1
已知直线l:x+y+3=0,曲线C:(x-1)2+(y+3)2=4,若P(1,-1),则点P与l,C的关系
如果采用直接法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个参
数t,以此量作为参数(如涉及旋转时,常用角度作为参数;涉及两直线互相垂
直时,常用斜率作为参数等),分别建立点P的横、纵坐标x,y与该参数t的函
数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的标准方程F(x,y)=0.
变式训练5
[提醒]轨迹与轨迹方程的区别:
轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,求轨迹不但要求出轨迹方程,而且还要
说明方程的形状.
变式训练3
已知点A(0,-1),当点B在曲线y=2x2+1上运动时,线段AB的中点M的轨迹方程
高中数学湘教版选择性必修第一册课件：圆的一般方程
= 12.
即△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
(2)由(1)知,△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0,
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解
第2章
2.5.2 圆的一般方程
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.掌握圆的一般方程,能够进行圆的一般方程与标准方程的互化;
2.了解二元二次方程表示圆的条件.
基础落实•必备知识全过关
知识点 圆的一般方程
我们将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(
答案 圆外
解析 将点P(1,-2)代入圆的方程,得1+4+m2-2+m2=2m2+3>0,故点P在圆外.
5.(2022浙江温州高二期末)若方程x2+2x+m=-y2+4y(m∈R)表示圆,则圆心
坐标为
答案 (-1,2)
,实数m的取值范围是
.
(-∞,5)
解析 将方程x2+2x+m=-y2+4y(m∈R)配方,得(x+1)2+(y-2)2=5-m.若方程表
r=
1
2
(2)2 + (-2)2 -4(2 + 5) =
1-5.因此圆的面积为
高中数学 7.3《圆的标准方程1》教案 湘教版必修3[001]
![高中数学 7.3《圆的标准方程1》教案 湘教版必修3[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/fb959248c950ad02de80d4d8d15abe23482f0366.png)
圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。
（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点Mr =① 化简可得：222()()x a y b r -+-=②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
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都是这些大计策？又是朝廷，又是官场，你壹个姑娘家家的，怎么这么多主意？唉，是不是《三国》看的太多了？不是权术，就是谋略，你真 是枉生了女儿身了！啧，啧，怪不得连二哥都佩服你，还没见二哥说他服过谁呢。”“哪里是我的主意多啊，爹爹当了壹辈子的大官，大哥二 哥少年就考取功名，凝儿出身官宦世家，从小潜移默化、耳濡目染，就算是没吃过猪肉，还没有见过猪跑？”“你敢说爹爹和大哥二哥是 猪？”“玉盈姐姐，你真坏啊！”“这明明是你自己说的，又不是我逼的你，怎么我又成了是坏人了？”年总督听了夫人的壹番话，跟夫人如 出壹辙，对凝儿大赞不已，真没想到，怎么这个闺女就能另辟蹊径，想出这么壹个万全之策呢？既然已经身处险境，年总督当即决定，险境也 只能用险招，也算是铤而走险，希望能够绝境逢生、出奇制胜！而且事不宜迟，现在日头已经偏西了，于是赶快写下帖子，差年峰立即亲自递 送到雍亲王府。年峰都出发了，年总督才腾出空儿来，把两个公子叫到跟前，说了冰凝的主意。大公子年希尧自是交口称赞：“凝儿这姑娘小 时候就爱弄个稀其古怪的，没想到大姑娘了，都能为父兄排忧解难了。”“大哥，你别再夸了，再夸她就敢跟我邀功请赏，说她能当花木兰 了！”二公子这回被冰凝这丫头抢了头功，嘴上虽然没说什么，心里倒也甜丝丝的：这丫头从来都是鬼怪得很，败给凝儿，不算没面子。几个 人正沉浸在难题迎刃而解的喜悦之中，还没有来得及开始猜测王府那边会是什么情况呢，好像也就是壹眨眼的功夫，眼见着年峰就回来了，把 众人都吓了壹跳，二公子更是即刻就从椅子上站了起来，冲到门口：“年峰，你怎么又回来了，出了什么岔子？”第壹差 第二十章 备礼“不 是，不是，没有，没出岔子！老爷夫人，大爷二爷，王府允了！”年峰的壹句话说完，众人的那颗悬了半天的心也算是踏踏实实地落了地，大 家都如释重负地松了口气。只是这口气刚松下来，另个壹口气又提了起来：礼单！原本早早就备好了礼单，可是，那是为了拜见王爷，完全照 着王爷的喜好置备的，而且大年初六的时候还要送到王府。明天要拜见的是福晋，就必须重新置办壹份新的礼物。内容上，要针对福晋的喜好， 而在份量上，却又是丝毫不能比给王爷的那份差。眼看着天都黑了，明天壹大早就要用，年家虽然家大业大，可是要在这么短的时间里，置办 起壹套既体面又能讨福晋欢心的见面礼，可真真地是巧妇难为无米之炊！没办法，年夫人只得先让年峰去库房里捡贵重的、能送给女宾的礼品 先挑出来，她和老爷再从这些物件里逐壹仔细甄选。望着这些绫罗绸缎、珍珠玛瑙、玉石古玩，左挑右选，年老夫妇壹直拿不定主意，总感觉 缺少壹件最贵
练习：1、写出下列各圆的方程： (1)圆心在点C(3, 4 )，半径是
5 (x-3)2+(y-4)2=5 (x-8)2+(y+3)2=25
(2) 经过点P(5,1),圆心在C(8,-3) 补充练习：
写出下列各圆的圆心坐标和半径： (1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9
第一课时
圆的方程
问题情境:
1.在平面内点A(3,4)到原点0的距离为多少? B(-3,4)
•2.平面内还有点到原点距离为 5的吗?有多少个?
O
A
圆的标准方程
(x a) ( y b)
2 2
r
2
特点：
1.是关于x、y的二元二次方程,无xy项；
2. 明确给出了圆心坐标和半径。 3、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即a、b、r . 4.若圆心在坐标原点，则圆方程为 x2 + y 2 = r2
(1,0)
(-1,2) (-a,0) 6 3 |a|
(3)(x+a)2+y2=a2
例2 已知隧道的截面是半径为4m的半圆， 车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆 宽为 2.7m ，高为 3m 的货车能不能驶入 这个隧道?
变式1 求满足下列条件的各圆C的方程： (1)和直线4x＋3y－5＝0相切，圆心在直线 x－y＋1＝0上，半径为4； (2) 经过两点 A( － 1,0) ， B(3 ， 2) ，圆心在 直线x＋2y＝0上．
护栏常用钢材所制，如：不锈钢，圆钢管，方钢管或压型钢板，铁丝。表面处理工艺：全自动静电粉末喷涂（即喷塑）或喷漆。近年来也较流 行铝合金材质的插接，组装式护栏。 ； / 锌钢护栏 交通护栏 kfh41ndg 护栏的立柱通过膨胀螺栓与地面固定。通常安装于如物流通道两侧，生产设备周边，建筑墙角，门的两侧及货台边沿等等。有效减免搬运设备 往来穿梭时带来意外撞击造成的设备、设施的损坏。护栏材料有：铝合金、玛钢类（球墨铸铁）、碳钢（喷涂或镀锌）、不锈钢、塑钢、锌钢、 PVC及其他金属护栏等。 另外对物流搬运设备自身也起到防护作用。（如装卸货平台边沿的防护栏起到防止叉车意外跌落的危险）
判断下列方程是否为圆的方程如果是的写出下 列各圆的圆心坐标和半径： (1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3) x2+(y+3)2=0
#43;a)2+y2=a2
|a|
例1 求圆心是C(2，－3)，且经过原点的 圆的方程．