遵义2018届中考数学总复习第二编专训5圆的有关计算证明与探究课件
圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。
中考数学题型专题复习题型2圆的证明与计算课件
即(7＋x)2－72＝42－x2，
解得x＝1或－8(舍去)．
∴AC＝8，BD＝
＝
∴S菱形ABFC＝AC·BD＝8 . ∴S半圆＝ ×π×42＝8π.
5．[2018·无锡]如图，四边形ABCD内接于圆
O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cosB＝
3 ，求AD的长．
5
解：如图，延长AD，BC交于点E.
题型2 圆的证明与计算
考查类型
与圆的性质 有关的证明
与计算
年份 2015
2018
2017
与圆的切线 有关的证明
与计算
2016
2014
2013
与扇形有关 的计算
2018
考查形式
题型
以圆内接四边形为背景，判断三角形的形状 ，结合全等三角形探究线段间关系，通过图
形分割探究四边形最大面积
解答
已知圆的切线，根据圆的性质证明两线垂直 ，并求出线段长度及弧长
∴EA＝
∴AD＝EA－DE＝
类型②与圆的位置关系有关的证明与计算
例2►[2018·黄冈]如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦， OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C. (1)求证：∠CBP＝∠ADB；
(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
规范解答：(1)证明：如图，连接OB. ∵BC是⊙O的切线． ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°，即∠OBD＋∠DBC＝90°. ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠DBP＝90°，即∠CBP＋∠DBC＝90°， ∴∠OBD＝∠CBP. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ADB， ∴∠CBP＝∠ADB.…………………………………………(5分)
2018中考数学专题复习 第二十三讲 圆的有关计算(共69张PPT)
命题角度1:阴影部分面积由扇形的面积与其他图形的 面积和差得到 【示范题3】(2017·青岛中考)如图,直线AB,CD分别 与☉O相切于B,D两点,且AB⊥CD,垂足为P,连接BD,若 BD=4,则阴影部分的面积为________.
【思路点拨】根据阴影部分的面积=扇形OBD的面积△OBD的面积,计算得出答案.
360 2
=2π-4.
答案:2π -4
命题角度2:阴影部分由多个扇形等简单组合而成 【示范题4】(2017·德州中考)某景区修建一栋复古 建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对 角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切 点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影 部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半
2
∴阴影部分的面积=S△BTD=
1 2 2 1. 2
【答题关键指导】 求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图
形的面积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不 规则图形面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂 问题简单化,便于求解.这种解题方法也体现了整体
思想、转化思想.将不规则图形面积转化为规则图形 的面积,常用的方法有:①直接用公式法;②和差法; ③割补法.
∠B1A1B2=30°,A1A2=A2B2,
∴B1B2= 1 3
A1B1= 3 3
,∴A2B2=12
A1B2=B1B2=3
3
,
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2,
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积∶正六边形A1B1C1D1E1 的面积=( 3 )2 1 ,
2
【答题关键指导】
正多边形的有关边的计算的常用公式
(1)r2+ ( a ) 2 =R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长).
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
【数学课件】2018年中考数学第2篇考点聚焦第10讲与圆有关的证明及计算
(2)(2017·大连)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AD 平分∠CAB， BD 是⊙O 的切线，AD 与 BC 相交于点 E. ①求证：BD＝BE； ②若 DE＝2，BD＝ 5，求 CE 的长．
解：①设∠BAD＝α，∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝α，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－2α，∵BD 是⊙O 的 切线，∴BD⊥AB，∴∠DBE＝2α，∠BED＝∠BAD＋∠ABC＝90°－α， ∴∠D＝180°－∠DBE－∠BED＝90°－α，∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE ②设 AD 交⊙O 于点 F，CE＝x，则 AC＝2x，如图，连接 BF，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB＝90°，∵BD＝BE，DE＝2，∴FE＝FD＝1，∵BD＝ 5，
(2)解：由(1)知：∠BEC＝90°，∵在 Rt△BEC 与 Rt△BCA 中，∠B＝ ∠B，∠BEC＝∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BBCE＝BBAC，∴BC2＝BE·BA， ∵AE∶EB＝1∶2，设 AE＝x，则 BE＝2x，BA＝3x，∵BC＝6，∴62 ＝2x·3x，解得 x＝ 6或－6(舍去)，即 AE＝ 6
【点评】 本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能 求出∠OED＝∠BCA和△BEC∽△BCA是解此题的关键．
[对应训练] 1．(1)(2017·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为 直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延 长线于点F. ①求证：DE是⊙O的切线； ②若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．
∴tanα＝12，∴AB＝taBnFα＝2 5，在 Rt△ABC 中，由勾股定理可知(2x)2
＋(x＋ 5)2＝(2 5)2，解得 x＝－ 5(舍去)或 x＝3 5 5，∴CE＝3 5 5
人教版(遵义专版)中考一轮总复习数学：专项集训四 圆的综合证明与计算课件
数学·配人教 (遵义专版)
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第一篇 过教材•考点梳理
13．(贵州安顺中考模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，sin
(3)证明：∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴OOEC＝OOCF＝13.∵∠COE＝∠FOC， ∴△COE∽△FOC，∴∠OEC＝∠OCF＝90°，∴CF 是⊙O 的切线．
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第一篇 过教材•考点梳理
︵
18．(广东深圳中考模拟)如图，在⊙O 中，BC＝2，AB＝AC，点 D 为AC 上的 动点，且 cos∠ABC＝ 10.
∵∠DBM＝∠EBD，∴△BDM∽△BED，∴BBDE＝BBMD ，∴BD2＝BM·BE，∴BM＝
3 7
＝3 7 7.
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第一篇 过教材•考点梳理
16 ． ( 四 川 雅 安 中 考 ) 如 图 ， 已 知 AB 是 ⊙O 的 直 径 ， AC 、 BC 是 ⊙O 的 弦 ， OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA 的延长线于点F．
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第一篇 过教材•考点梳理
9．(202X·四川广元中考)如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝ 56
10，AH＝8，⊙O的半径为7，则AB＝____5__．
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第一篇 过教材•考点梳理
10．(湖北鄂州中考)如图，在平面直角坐标系中，已知C(3,4)，以点C为圆心的 圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA＝OB，点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°， 则AB长度的最大值为__1_6___.
2018年中考数学总复习 第二编 中档题型专训(5)圆的有关计算、证明与探究试题
中档题型专训(五)圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．与圆的有关性质【例1】如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，C，D为OA，OB上的两点，且AC＝BD.求证：AD＝BC.【解析】首先证明OC ＝OD ，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD ＝BC. 【答案】证明：∵OA，OB 是⊙O 的两条半径， ∴AO ＝BO.∵AC ＝BD ，∴OC ＝OD ，在△ODA 和△OCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝BO ，∠O ＝∠O，OD ＝OC ，∴△ODA ≌△OCB(SAS )， ∴AD ＝BC.1．(2017玉林一模)如图，AB 是半圆O 上的直径，E 是BC ︵的中点，OE 交弦BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点F ，已知BC ＝8，DE ＝2.(1)求⊙O 的半径； (2)求CF 的长．解：(1)设⊙O 的半径为x ， ∵E 点是BC ︵的中点，O 点是圆心， ∴OD ⊥BC ，DC ＝12BC ＝4，在Rt △ODC 中，OD ＝x －2， ∴OD 2＋DC 2＝OC 2， ∴(x －2)2＋42＝x 2， ∴x ＝5，即⊙O 的半径为5； (2)∵FC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CF.又∵E 是BC ︵的中点．∴OD ⊥BC ，∴OC 2＝OD·OF，即52＝3·OF， ∴OF ＝253.在Rt △OCF 中，OC 2＋CF 2＝OF 2，∴CF ＝203.圆的切线的性质与判定【例2】(2017遵义二中一模)如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt△OBF中，∠ABD＝30°，OF＝1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影＝S扇形OBD－S△BOD，即可求解．【答案】解：(1)连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°.∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD.∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；(2)在Rt△OBF中，∵∠ABD＝30°，OF＝1，∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝ 3.∵OF⊥BD，∴BD＝2BF＝23，∠BOD＝2∠BOF＝120°.∴S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD＝120π×22360－12×23×1＝43π－ 3.2．(2017南宁中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为H ，连接AC ，过BD ︵上一点E 作EG∥AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连接CE.(1)求证：△ECF∽△GCE； (2)求证：EG 是⊙O 的切线；(3)延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan G ＝34，AH ＝33，求EM 的值．解：(1)∵AC∥EG， ∴∠G ＝∠ACG. ∵AB ⊥CD ， ∴AD ︵＝AC ︵， ∴∠CEF ＝∠ACD， ∴∠G ＝∠CEF. ∵∠ECF ＝∠ECG，∴△ECF ∽△GCE ； (2)连接OE. ∵GF ＝GE ，∴∠GFE ＝∠GEF＝∠AFH. ∵OA ＝OE ， ∴∠OAE ＝∠OEA. ∵∠AFH ＋∠FAH＝90°， ∴∠GEF ＋∠AEO＝90°， ∴∠GEO ＝90°， ∴GE ⊥OE.又∵OE 为⊙O 半径， ∴EG 是⊙O 的切线，(3)连接OC.设⊙O 的半径为r.在Rt △AHC 中，tan ∠ACH ＝tan G ＝AH HC ＝34，∵AH ＝33， ∴HC ＝43， 在Rt △HOC 中，∵OC ＝r ，OH ＝r －33，HC ＝43， ∴(r －33)2＋(43)2＝r 2， ∴r ＝2536.∵GM ∥AC ， ∴∠CAH ＝∠M. ∵∠OEM ＝∠AHC， ∴△AHC ∽△MEO ， ∴AH EM ＝HC OE ， ∴33EM ＝432536， ∴EM ＝2538.圆与相似及三角函数综合【例3】(2017无锡中考)如图，以原点O 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A ，B 两点(点B 在点A 的右边)，P 是半径OB 上一点，过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别交于C ，D 两点(点C 在点D 的上方)，直线AC ，DB 交于点E.若AC∶CE＝1∶2.(1)求点P 的坐标；(2)求过点A 和点E ，且顶点在直线CD 上的抛物线的函数解析式．【解析】(1)如图，作EF⊥y 轴于F ，DC 的延长线交EF 于H.设C(m ，n)，则P(m ，0)，PA ＝m ＋3，PB ＝3－m.首先证明△ACP∽△ECH，推出AC CE ＝PC CH ＝AP HE ＝12，推出CH ＝2n ，EH ＝2m ＋6，再证明△DPB∽△DHE，推出PB EH ＝DP DH ＝n4n ＝14，可得3－m 2m ＋6＝14，求出m 即可解决问题；(2)由题意设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋3)(x －5)，求出E 点坐标代入即可解决问题．【答案】解：(1)如图，作EF⊥y 轴于F ，DC 的延长线交EF 于H.设C(m ，n)，则P(m ，0)，PA ＝m ＋3，PB ＝3－m.∵EH ∥AP ，∴△ACP ∽△ECH ， ∴AC CE ＝PC CH ＝AP HE ＝12， ∴CH ＝2n ，EH ＝2m ＋6，∵CD⊥AB，∴PC＝PD＝n，∵PB∥HE，∴△DPB∽△DHE，∴PBEH＝DPDH＝n4n＝14，∴3－m2m＋6＝14，∴m＝1，∴P(1，0)；(2)由(1)可知，PA＝4，HE＝8，EF＝9，连接OC，在Rt△OCP中，PC＝OC2－OP2＝22，∴CH＝2PC＝42，PH＝62，∴E(9，62)，∵抛物线的对称轴为直线CD，∴(－3，0)和(5，0)在抛物线上，设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－5)，把E(9，62)代入得到a＝2 8，∴抛物线的解析式为y＝28(x＋3)(x－5)，即y＝28x2－24x－1528.3．(2017呼和浩特中考)如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上的四个点，C 是劣弧BD ︵的中点，AC 与BD 交于点E.(1)求证：DC 2＝CE·AC；(2)若AE ＝2，EC ＝1，求证：△AOD 是正三角形；(3)在(2)的条件下，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点H ，求△ACH 的面积． 解：(1)∵C 是劣弧BD ︵的中点， ∴∠DAC ＝∠CDB， ∵∠ACD ＝∠DCE， ∴△ACD ∽△DCE ， ∴AC DC ＝CD CE， ∴DC 2＝CE·AC； (2)连接OC ，OD ， ∵AE ＝2，EC ＝1， ∴AC ＝3，∴DC 2＝CE·AC＝1×3＝3， ∴DC ＝ 3.∵C 是劣弧BD ︵的中点， ∴OC 平分∠DOB，BC ＝DC ＝ 3. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AC B ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝23， ∴OB ＝OC ＝OD ＝DC ＝BC ＝3， ∴△OCD ，△OBC 是正三角形， ∴∠COD ＝∠BOC＝∠OBC＝60°， ∴∠AOD ＝180°－2×60°＝60°. 又∵OA＝OD ， ∴△AOD 是正三角形； (3)∵CH 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥CH. ∵∠COH ＝60°， ∴∠H ＝30°，∵∠BAC ＝90°－60°＝30°， ∴∠H ＝∠BAC， ∴AC ＝CH ＝3，∴OH ＝CH 2＋OC 2＝23， ∴AH ＝33，∴AH 上的高为BC·sin 60°＝32，∴△ACH 的面积＝12×33×32＝934.4．(2017云南中考)已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，C 是⊙O 上的点，AC ∥OP ，M 是直径AB 上的动点，A 与直线CM 上的点连线距离的最小值为d ，B 与直线CM 上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)设OP ＝32AC ，求∠CPO 的正弦值；(3)设AC ＝9，AB ＝15，求d ＋f 的取值范围．解：(1)连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠OCA， ∵AC ∥OP ，∴∠A ＝∠BOP，∠ACO ＝∠COP， ∴∠COP ＝∠BOP.∵PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径， ∴∠OBP ＝90°.在△POC 与△P OB 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OB ，∠COP ＝∠BOP，OP ＝OP ，∴△COP ≌△BOP ， ∴∠OCP ＝∠OBP＝90°. 又∵OC 为⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线； (2)过O 作OD⊥AC 于D ，∴∠ODC ＝∠OCP＝90°，CD ＝12AC ，∵∠DCO ＝∠COP， ∴△ODC ∽△PCO ，∴CD OC ＝OC PO， ∴CD ·OP ＝OC 2.∵OP ＝32AC ， ∴AC ＝23OP ， ∴CD ＝13OP ， ∴13OP ·OP ＝OC 2， ∴OC OP ＝33， ∴sin ∠CPO ＝OC OP ＝33； (3)连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ，∵AC ＝9，AB ＝15，∴BC ＝AB 2－AC 2＝12，当M 与A 重合时，d ＝0，f ＝BC ＝12，∴d ＋f ＝12，当M 与B 重合时，d ＝9，f ＝0， ∴d ＋f ＝9，∴d ＋f 的取值范围是：9≤d＋f≤12.。