最少拍数字控制器的设计 (2)

摘要本次设计针对一阶惯性积分系统在单位速度信号输入作用下进行最少拍数字控制器的设计，验证了最少拍控制器的优点，并对最少拍算法进行理论分析，分别设计出最少拍有纹波和无纹波数字控制器，利用 MATLAB 仿真平台对设计的最少拍数字控制器进行系统仿真研究，并对有纹波和无纹波系统进行对比研究。

关键词最少拍控制；无纹波控制器；有纹波控制器；Matlab仿真目录摘要 (1)第一章最少拍有纹波控制器设计 (3)1.1设计原理 (3)1.2设计举例 (5)第二章最少拍无纹波控制器设计 (5)2.1 设计原理 (5)2.2 设计举例 (6)第三章基于Matlab的最少拍控制的实现 (7)3.1 输入单位阶跃信号 (7)3.2 输入单位速度信号 (8)3.3 输入单位加速度信号 (9)参考文献 (10)致谢 (11)离散控制系统最少拍控制最少拍系统控制设计是指系统在典型输入信号（如单位阶跃输入信号、单位速度输入信号、单位加速度输入信号等）作用下，经过最少拍（有限拍），使系统输出的稳态误差为零。

最少拍控制系统也称为最少拍无差系统、最少拍随动系统，实际上是时间最优控制系统，系统的性能指标就是系统的调节时间最短或者尽可能的短。

可以看出，这种系统对闭环脉冲传递函数的要求是快递性和准确性。

最少拍控制系统的设计与被控对象的零极点位置有很密切的关系。

第一章 最少拍有纹波控制器设计1.1设计原理由系统闭环脉冲传递函数可以看出，在Φ（z ）中，D(z)和G （z ）总是成对出现的。

只有当广义对象稳定[即G （z ）在z 平面单位圆上和单位圆外没有极点]且不包含纯滞后环节时，上述方法才是可行的，否则，不允许D （z ）与G （z ）发生零极点对消。

这是因为，简单地利用D （z ）的零点去对消G （z ）不稳定极点，虽从理论上来说可以得到一个稳定的闭环系统，但这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。

当系统参数产生飘逸，或者对象辨识有误差时，这种零极点对消就不可能准确实现，从而引起闭环系统不稳定。

座椅建立在零极点对消基础上的稳定系统实际上是不可能稳定工作的，没有实用价值。

当G （z ）含有单位圆上或单位圆外零极点时，为保证D(z)与G （z ）不会发生零极点对消，在选择Φ（z ）时，必须附加一个稳定性约束条件。

设广义脉冲传递函数G(z)为)(')1()1()(1111z G zazb z G v i iui i ∏∏=-=---=式中，b 1、b 2、…、b u 为G （z ）的u 个不稳定零点，a 1、a 2、…、a v 为G （z ）的v 个不稳定极点，z G ('）为G （z ）中不包含单位圆上或单位圆外的零极点部分。

当对象不包含延迟环节时，m=1；当对象包含延迟环节时，m>1。

为避免发生D()与G()的不稳定零极点发生对消，Φ（z ）应该满足如下稳定性条件：①在)(z e Φ的零点中，必须包含G (z )在z 平面单位圆外或单位圆上的所有极点，即：∏=--=Φ-=Φvi i e z F za z z 111)()1()(1)(F1(z )为z -1的多项式，且不包含G (z )中的不稳定极点a i 。

②）在)(z Φ的零点中，必须包含G(z)在z 平面单位圆外或单位圆上的所有零点，即：∏=---=Φui i zF zb z 1121)()1()(式中，F2(z )为z -1的多项式，且不包含G (z )中的不稳定零点b j 。

因此，满足了上述稳定性条件后即D(z)不在包含G （z ）的z 平面单位圆上或单位圆外零极点。

1.2 设计举例对于给定一阶惯性加积分环节，时间常数为1S ，增益为10，采样周期T 为1S 的对象，其传递函数为：G c (S)=10/S(S+1)，针对单位阶跃信号输入，设计最少拍系统如下： 被控对象的脉冲传递函数为：G(z)=Z [])()(s G s H c ∙=Z⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙--)(1s G s e c Ts =10(1-z -1)Z⎥⎦⎤⎢⎣⎡+)1(12s s=3.68×)368.01)(1()717.01(1111------+z z zz(1)由（1）式知 d =0， u =0， v =1， j =1， q =2，且j ≤q ，则有：m =u +d ＝0 n =v-j+q ＝2对单位速度输入信号，选择∏-=----=Φ-=Φjv i qi e z F zza z z 1111)()1)](1([)(1)(21)1(--=z∏=---=Φui i dz F zb zz 121)()]1([)(222121--+=zf zf结合)(1)(z z e Φ-=Φ得21222121)1(1----=--zzf zf根据多项式相等，其系数相等的的性质，有1,22221-==f f所以，212)(---=Φzzz=Φ-Φ=)(1)()(1)(z z z G z Dqj z F z z G z F jq ≤---,)()1)((')(112)1)(718.01(68.3)2)(368.01(111211-------+--=z zzzzz=Φ-Φ=)(1()()(1)(z z z G z D ,)()(')(11112---z F z G z F)1)(718.01()368.01)(5.01(543.01111-----+--=zzz z（2）从而，)()()(z z R z E e Φ=21211)1()1(-----=zz Tz 1-=z)()()(z z R z Y Φ=)2()1(21211------=zzz Tz...432432+++=---zzz)()()(z D z E z U =)1)(718.01()368.01)(5.01(543.0.11111------+--=zz z zz...25.012.040.032.054.054321++-+-=-----zzzzz其控制器输出与系统输出如下图所示：最少拍控制器设计是采用z 变化进行的，仅在采样点处是闭环反馈控制，在采样点间实际上是开环运行的。

因此，在采样点处的误差是零，并不能保证采样点之间的误差也为零。

事实上，按前面的方法设计的最少拍控制器的输出响应在采样点间存在波纹。

如上图所示，经过2拍后，在采样时刻系统误差为零，输出跟踪上了输出的变化，但在非采样时刻，输出有波纹存在，原因在于数字控制器的输出u(kT)经过2拍后不为零或常值，而是振动收敛。

波纹不仅造成误差，同时也消耗功率、浪费能量，增加机械磨损，因此，设计时应考虑加以消除。

第二章 最少拍无纹波控制器设计2.1设计原理①设计最少拍无纹波控制器的必要条件 很明显，为使被控对象在稳态时的输出和输入同步，要求被控对象必须具有相应的能力。

例如，如输入为等速输入函数，被控对象G()的稳态输出也应为等速函数。

因此就要求G()中至少有一个积分环节。

再如，若输入为等加速度输入函数，则被控对象G()的稳态输出也应为等加速函数，要求G()中至少有两个积分环节。

所以最少拍无纹波控制器能够实现的必要条件是被控对象G （）中含有与输入信号相对应的积分环节数。

u 0.50y 4213②最少拍无纹波系统确定Ф(z )的约束条件要使系统的稳态输出无纹波，就要求稳态时的控制信号u (k )为常值（包括0）。

由)()()()()(z U z G z R z z Y =Φ=可知U(z)= )()(z R z Φ/G(z)要使u(kT)在稳态时无波动，就意味着U(z)与R （z ）之比为的有限项多项式。

而这要求)()(z R z Φ包含G （z ）的所有零点。

即∏=---=Φwi i zF zb z 111)()1()(2.2 设计举例仍然按照有纹波控制器的设计步骤设计 同样的，由（1）式知被控对象不含纯滞后z -d ，d =0; 共包含一个零点b1 =-0.718, w =1;包含一个单位圆外或单位圆上的极点，v =1，且一个极点在单位圆上， j =1； 输入信号为单位速度， q =2，且j <q ，则有： m =w +d ＝1 n =v-j+q ＝2 因此：11111)(-+=zf z F2221212)(--+=zf zf z F对单位速度输入信号，选择jq z F zza z z jv i qi e ≥--=Φ-=Φ∏-=--,)()1)](1([)(1)(1111)1()1(11121--+-=zf z∏=---=Φwi i dz F zb zz 121)()]1([)())(718.01(2221211---++=zf zf z由)(1)(z z e Φ-=Φ 得)1()1(11121--+-zf z))(718.01(12221211---++-=zf zf z展开有 ：311211111)21()2(1---+-+-+zf zf zf 32222122121718.0)718.0(1----+--=zf zf f zf对应系数相等，得：592.011=f ，408.121=f ，825.022-=f故有)592.01()1()(121--+-=Φzzz e)825.0408.1)(718.01()(211----+=Φzzz z最后，求得数字控制器的脉冲函数为=Φ-Φ=)(1)()(1)(z z z G z D )1)(592.01()368.01)(5859.01(383.01111-----+--⨯z zzz（3）闭环系统的输出序列为)()()(z z R z Y Φ=)825.0408.1)(718.01()1(211211------+-=zzzzTz...4341.1432+++=---zz z)()()(z z R z E e Φ=21121211592.0)592.01()1()1(------+=+--=zzzz zTz)()()()()()(z G z z R z G z Y z U Φ== ...09.009.002.038.04321++++=----zzzz其控制器输出与系统输出如下图所示：u0.40y 4213第三章 基于Matlab 的最少拍控制的实现3.1输入单位阶跃信号计算可得到最少拍数字控制器为检验误差序列：运用Simulink 对其控制结果进行仿真，系统Simulink 仿真模型框图如下图所示：将示波器的数据存为矩阵形式，命名为y1 在Matlab 命令窗口输入：>> plot(tout(:,1),y1(:,2:4));>> hold on,legend(' 输入','误差','输出')可得输入、输出和误差三条曲线仿真结果如下图所示：3.2输入单位速度信号原理同上)718.01)(1()3679.01)(5.01(5434.0))(1)(()()(1111zzzzz z G z Z D ----+---=-=φφ检验误差：z z R z z E 1)())(1()(-=-=φ 控制系统Simulink 框图如下图所示：输入、输出和误差三条曲线仿真结果如下图所示：3.3输入单位加速度信号原理同上检验误差：控制系统Simulink 框图如下图所示：输入、输出和误差三条曲线仿真结果如下图所示：参考文献[1] 李元春. 计算机控制系统. 高等教育出版社. 133-145[2] 毕效辉. 自动控制理论. 中国轻工业出版社. 321-327离散控制系统最少拍控制致谢。