二次函数及其图象

C
B D
1
P
ＰＥ y1 y2 ( x2 2x 3) (x 3) x2 3x
9 1 9 2 S PAB S CAB , 3 ( x 3x) 3 8 2 8
E
1
3 x 2
代入y 1 x 2x 3,
2
O
A
x
归类探究6 结合几何图形的函数综合题 如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x 轴于点A(3，0)， 交y 轴于点B。 （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， y 是否存在一点P，使S△PAB＝ 9 S△CAB ， C 8 若存在，求出P点的坐标； B 若不存在，请说明理由。
1
O 1 图1 A x
(1)抛物线解析式为 y1 ( x 1) 2 4,即y1 x 2 2 x 3
直线AB解析式为 y2 x 3.
2C(1,4),当x 1时，y1 4, y2
2.
y
CD 2， sCAB sBCD sACD . 1 SCAB 3 2 3 2 设P点的横坐标为x.
第15课时┃ 二次函数的应用
(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600 元？ (2)设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获的利 润为 y 元， 求 y(元)与 x(件)之间的函数关系式， 并写出 自变量 x 的取值范围； (3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件 数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增 多，公司所获的利润反而减少这一情况 .为使商家一次 购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最 低销售单价调整为多少元？ (其他销售条件不变)
第15课时┃ 二次函数的应用 解
(1) 设件数为 x，依题意，得 3000－10(x－10) ＝2600，解得 x＝50. 答：商家一次购买这种产品 50 件时，销售单价恰好为 2600 元． (2)当 0≤x≤10 时，y＝(3000－2400)x＝600x；当 10＜x≤50 时，y ＝[3000－10(x－10)－2400]x，即 y＝－10x2＋700x； 当 x＞50 时，y＝(2600－2400)x＝200x. 600x（0≤x≤10，且x为整数）， 2 ∴y＝－10x ＋700x（10<x≤50， 且x为整数），200x（x>50，且x为整数）. (3)由函数 y＝－10x2＋700x 可知其图象开口向下，当 x＝ 700 － ＝35 时，y 有最大值，此时，销售单价为 3000－10(x－ 2×（－10） 10)＝2750(元)． 答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元．
►
归类探究考点1
二次函数的图像及性质
2
例 1．[2012· 烟台] 已知二次函数 y＝2(x－3) ＋1， 下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为 直线 x＝－3；③其图象顶点坐标为(3，－1)；④当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小.其中说法正确的有( A．1 个 B．2 个 C．3 个
2 2 2
3．交点式： y＝ a(x－ x1)(x－x2)(a≠ 0) 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标， 则设交点式 y＝ a(x－x1)(x－ x2)(a≠0)，将第三点的坐 标或其他已知条件代入， 求出待定系数 a， 最后将解析 式化为一般式．
温馨提示 一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达 式， 它们之间可以互相转化.将顶点式、 交点式去括号、 合并同类项就可转化为一般式；把一般式配方、因式 分解就可转化为顶点式、交点式.
例 2（1） ．抛物线 y＝－3x2－x＋4 与坐标轴的交点个数是 ( A ) A.3 B.2 C.1 D.0
（2） ．如图 14－1，已知二次函数 y＝x2＋bx ＋c 的图象经过点 A(－1，0)，B(1，－2)，该 图象与 x 轴的另一个交点为 C，则 AC 的长 为
3
.
归类探究3
二次函数图象的平移
A
)
D．4 个
对应练习
1．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象如图 13－3，则下列结论中 正确的是( D )
A．a＞0 B．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大 C．c＜0 D.3 是关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根
归类探究考点2
二次函数与一元二次方程的关系
考点五
二次函数解析式的求法
1．一般式： y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0) 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式 y＝ ax ＋ bx＋ c(a≠ 0)，将已知条件代入，求出 a，b， c 的值． 2．顶点式： y＝ a(x－ h) ＋ k(a≠ 0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大 值或最小值，则设顶点式 y＝ a(x－ h) ＋k(a≠0)，将已 知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般 式．
2
考点二 二次函数的图象和性质
考点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象特征与 a，b，c 及 b2－4ac 的符号之间的关系
考点四
二次函数图象的平移
2 2
任意抛物线 y＝ a(x－ h) ＋ k 可以由抛物线 y＝ ax 经过平移得到，具体平移方法如下：
温馨提示 二次函数图象间的平移可看作是顶点间的平移， 因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函 数图象间的平移 .
y
A
O
C
x
M
B
(2)过点M作MD x轴于点D, 设M点的坐标为（ m, n) 1 2 则AD m 4, MD -n,n m m - 4. 2 S SAMD S梯形DMBO - SABO 1 1 1 （m 4)(-n) (-n 4)(-m)- 4 4 2 2 2 -2n - 2m - 8 1 2 -2( m m - 4) - 2m - 8 2 -m2 - 4m(-4 m 0).
对应训练 1.（2013·宁波）已知抛物线y与x轴交于点A（1，0）， B（3，0）且过点C（0，－3）. （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点 落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式.
┃归类探究5
二次函数在营销问题方面的应用
2．[2012· 黄冈] 某科技开发公司研制出一种新型产品，每件 产品的成本为 2400 元， 销售单价定为 3000 元.在该产品的 试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决 定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多购 买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但 销售单价均不低于 2600 元.
归类探究4 待定系数法确定二次函数的解析式 已知二次函数 求其解析式。 的图象如图所示，
解法一： ∵图象的顶点C的坐标是（1，4） ∴设解析式为
又∵A(-1,0)在抛物线上， ∴ ∴ a = -1 ∴
已知二次函数 求其解析式。 解法二：设解析式为
的图像如图所示，
ห้องสมุดไป่ตู้
∵图象的顶点C的坐标是（1，4）， ∴对称轴 是 x=1.
S最大值 4.
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0， -4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为 m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S 的最大值．
分析：如图，容易求出Q1(-4,4)、Q2（4，-4)
第14讲 二次函数 及其图象
考点一
二次函数的定义
2
1．一般地，如果 y＝ax ＋bx＋c(a，b，c 是常数， a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数． 2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h) ＋k(a≠0)，它直接显示二 次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1，x2 是图象与 x 轴交点的横坐标．
例 3[2013· 河南] 如图 14－2，抛物线的顶 点为 P(－2，2)，与 y 轴交于点 A(0，3)，若 平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P′(2，－2)，点 A 的对应点为 A′，则抛物线 上 PA 段扫过的区域 ( 阴影部分 ) 的 面积 为
12
.
对应练习：[2013· 贵州] 将二次函数 y＝x2 的图象向右平移 1 个单位， 再向上平移 3 个单位， 所得图象的关系式为( A ) A. C. y＝(x－1)2＋3 y＝(x－1)2－3 B. D. y＝(x＋1)2＋3 y＝(x＋1)2－3
3 15 P（ ， ） 2 4
15 y1 4
图2
对应训练：（2010.河南）在平面直角坐标系中，已知抛 物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐 标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式， 并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判 断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形 为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
∵A(-1,0)和点B关于 x=1对称， ∴B（3，0）.
∵A(-1,0)、B（3，0）和C（1，4）在 抛物线上， ∴ 即： 解得
已知二次函数
求其解析式。
的图像如图所示，
解法三：设解析式为
∵抛物线与x 轴的两个交点坐标 为 A (-1,0)、B（3，0） ∴ ∴ y = a (x+1) (x- 3) 又 点 C（1，4）在抛物线上 ∴ 4 = a (1+1) (1-3) ∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3) 即：